费曼-海尔曼定理

Hellmann—Feynman定理及其应用
马明晓
【期刊名称】《广西民族大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1995(000)002
【摘要】本文主要讨论了Ｈｅｌｌｍａｎｎ—Ｆｅｙｎｍａｎ定理在求解量子体系力学量平均值和体系能级等问题中的优越性，并就将其应用到定态做扰理论的情形进行探讨；提出了在类氢离子体系中所遇到的困难．
【总页数】6页(P69-74)
【作者】马明晓
【作者单位】广西民族学院物理系
【正文语种】中文
【中图分类】O413
【相关文献】
1.Feynman—Hellmann定理的两个推广式及其应用 [J], 高守恩
2.Deriving Internal Energy by Virtue of Generalized Feynman-Hellmann Theorem for Mixed States [J], FAN Hong-Yi;JIANG Zhong-Hua
3.Deriving Internal Energy by Virtue of Generalized Feynman-Hellmann Theorem for Mixed States [J], FAN;Hong-Yi;JIANG;Zhong-Hua
4.系综平均意义下的Hellmann-Feynman定理 [J], 陈丽华;范洪义
5.对Hellmann—Feynman定理的讨论 [J], 杨成全;仝庆华
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费曼卡茨定理
费曼卡茨定理，也称作路径积分定理，是量子力学中的一个重要定理。

该定理简单来说就是一个物理系统从一个初始状态到一个末状态的所有可能路径的概率幅的积分等于该系统从初始状态到末状态的概率幅。

通过费曼卡茨定理，我们可以用概率幅来描述量子力学中的物理过程。

这个定理的发现对于理解量子力学的本质和应用于各种物理问题都具有重要的意义。

费曼卡茨定理在量子场论、量子电动力学和高能物理等领域中都有广泛应用。

该定理的贡献使得我们可以通过数学的方式描述量子力学中更加复杂的过程，为我们理解和探索这个奇妙的世界提供了重要的工具。

- 1 -。

费马小定理
费马小定理，也称为费马最后定理，是由法国数学家皮埃尔·德·费马在1636年提出的数论中的一个重要定理。

该定理的内容是：如果p是一个质数，并且整数a不是p的倍数，那么a的p次方减1的结果等于1（mod p）。

具体表述为：
费马小定理：如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有\( a^{(p-1)} \equiv 1 \pmod p \)。

这个定理在现代数论中有广泛的应用，特别是在因数分解和模运算中。

费马小定理也是更一般化的欧拉定理的一部分，后者考虑的是任何整数而非仅仅是质数的情况。

关于费马小定理的历史，存在一些争议。

有一种说法是费马在1640年的信件中首次提出了这个定理，但这并不准确。

实际上，费马的信件中没有提到这个定理，而是在他的著作《算术》中首次正式发表了这个定理。

此外，还有人声称在1683年前莱布尼茨已经得到了几乎相同的证明，尽管这一点没有确凿的证据支持。

需要指出的是，费马小定理并不是费马自己独立发现的，而是他与同时代的其他数学家共同工作的结果之一。

例如，欧拉在1736年的论文中提到了这个定理，但他并没有提供独立的证明。

相反，他引用了莱布尼茨的工作，以及后来由卡迈克尔等人进一步完善的证明。

综上所述，费马小定理是费马在1636年提出的，并且在后来的研究中得到了进一步的完善和发展。

费曼卡茨定理费曼卡茨定理：关于计算概率的数学原理费曼卡茨定理是一种用于计算概率的数学原理，由美国物理学家理查德·费曼和约翰·卡茨于20世纪50年代提出。

它是一种针对复杂事件的概率计算方法，可以通过简化问题来得到更容易的答案。

在概率论中，复合事件是指多个事件的组合。

例如，在掷骰子游戏中，掷出6点的概率是1/6，掷出奇数点的概率是1/2，掷出偶数点的概率是1/2。

如果我们想知道同时掷出奇数点和6点的概率，这就是一个复合事件。

费曼卡茨定理可以帮助我们计算这个概率。

这个定理的基本公式是：P(A and B) = P(A | B) × P(B) = P(B | A) × P(A)。

其中，A和B都是事件。

符号“|”表示在给定B发生的条件下，A发生的概率。

如上例中，A是掷出6点，B是掷出奇数点。

P(A and B)表示同时发生A和B的概率，P(A | B)表示在掷出奇数点的情况下，掷出6点的概率，P(B)表示掷出奇数点的概率。

这个公式的意义是，我们可以通过知道一个事件发生的条件和该事件本身的概率，来计算这个事件和其他事件的联合概率。

例如，如果我们现在知道掷出奇数点的概率是1/2，而掷出奇数点上出现6点的概率是1/3，那么根据费曼卡茨定理，同时掷出奇数点和6点的概率就是1/6。

除了针对两个事件的联合概率计算，费曼卡茨定理还可以扩展到更多的事件之间的联合概率计算。

例如，我们现在有三个事件A、B、C，它们之间的关系是A and B and C。

我们可以根据费曼卡茨定理计算这三个事件的联合概率：P(A and B and C) = P(C | A and B) × P(A and B) = P(C | A and B) × P(B | A) × P(A)。

值得一提的是，费曼卡茨定理也可以用于贝叶斯定理的推导。

贝叶斯定理是一种用于推断未知概率的方法，它基于一组先验概率和观测到的条件，计算出更新后的后验概率。

shutand calculate费曼定理费曼定理，也称费曼路径积分，是量子场论中的一项基本原理。

它由美国物理学家理查德·费曼于20世纪40年代提出，被广泛应用于量子力学和量子场论的研究中。

费曼定理通过一种特殊的数学表达方式描述了粒子在空间中的运动轨迹。

本文将详细介绍费曼定理的概念、公式推导以及实际应用。

费曼定理的基本概念是通过路径积分来描述量子力学中的运动。

在经典物理学中，粒子的运动可以通过牛顿的力学定律来描述，而在量子力学中，粒子的运动却无法准确地用传统的轨迹描述。

费曼定理则从整个历史角度出发，将粒子的运动视为从初始点到末尾点的所有可能路径的总和，并引入相干性概念来计算每条路径的贡献。

这种路径积分的思想使得费曼定理在处理量子场论中的复杂问题时具有独特的优势。

费曼定理的数学表达可以通过路径积分来实现。

对于一个粒子在空间中的运动，可以将其轨迹分成无数小段，每一小段对应一个时间间隔。

费曼定理认为，每一小段轨迹的贡献可以通过一个振幅因子来描述，此振幅因子为路径对应的作用量的指数函数。

对于整个轨迹，其贡献则是所有小段轨迹的振幅因子的乘积。

将所有可能的轨迹加起来就得到了粒子从初始点到末尾点的振幅。

费曼定理的数学表达可以通过如下公式来表示：\[K(x'',t'';x',t') = \int [dx]e^{i/\hbar S[x(t)]}\]其中，\[K(x'',t'';x',t')\]表示粒子从初始点\[x'\]在时间\[t'\]到达末尾点\[x''\]在时间\[t''\]的振幅。

\[S[x(t)]\]表示整个轨迹的作用量，\(\hbar\)则为约化普朗克常数。

费曼定理的公式推导相对复杂，需要使用泛函积分等高级数学工具。

具体的推导过程可以参考相关专业书籍或学术论文。

热尔曼定理
热尔曼定理（Hermann's theorem）是电磁场中的一个基本定理，描述了电场和磁场的相互关系。

它由德国物理学家费迪南德·热尔曼于1929年提出。

热尔曼定理表示，对于任何一种时变电磁场，其电场与磁场之间满足以下关系：
旋度（curl）电场 = -时间的变化率 ×磁场
即，
∇ × E = - ∂B / ∂t
这个定律表明，在电磁场中，电场的转动（旋度）与磁场的时间变化率相互关联。

换言之，如果磁场随时间变化，那么会产生一个旋度电场。

这个定律是麦克斯韦方程组的推论之一，进一步深化了电磁场理论。

热尔曼定理在电磁场的研究中具有重要的意义，它建立了电场和磁场之间的联系，并且可以通过测量一个场的旋度来推断另一个场的变化。

一．选择题1.一个空腔可以看作黑体。

实验得出，当空腔与内部的辐射处于平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线形状和位置[ ]A.只与绝对温度有关B.与绝对温度及组成物质有关C.与空腔的形状及组成物质有关D.与绝对温度无关，只与组成物质有关2.光电效应中，光电子的能量[ ]A.只与光强有关，与光的频率无关B.只与光的频率有关，与光强无关C.与光强和光的频率都有关D.与光强和光的频率都无关，和金属材料有关3.实验表明，高频率的X 射线被轻元素中的电子散射后，波长[ ] A.随散射角的增加而增大 B.不变C.随散射角的增加而减小D.变化情况视元素种类而定4.根据德布罗意关系，与自由粒子相联系的波是[ ] A.定域的波包 B.疏密波 C.球面波 D.平面波5.普朗克常数的单位是[ ]A.s J ⋅B.s N ⋅C.K s J /⋅D.K s N /⋅6.一自由电子具有能量150电子伏，则其德布罗意波长为A.1A B.15A C.10A D.150A7.下列表述正确的是A.波函数归一化后是完全确定的B.自由粒子的波函数为r p i p Ae t r⋅=),(ψD.所有的波函数都可以归一化8. 在球坐标中，ϕθψππd drd z y x 220),,(⎰⎰表示A.在),(ϕθ方向的立体角中找到粒子的几率B.在球壳),(dr r r +中找到粒子的几率C.在),,(ϕθr 点找到粒子的几率D.在),,(ϕθr 点附近，ϕθd drd 体积元中找到粒子的几率9.波函数的标准条件为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒10.下列波函数中，定态波函数是 A. tE i ix tE i ix ex v ex u t x ---+=ψ)()(),(1 B. tE i ix tE i ix ex v e x u t x+--+=ψ)()(),(2C. )()()(),(21321E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ--D. )()()(),(21421E E ex u e x u t x t E it E ≠+=ψ+-11.一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔 A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比 C.和粒子质量成正比 D.随量子数n 增大而增大12.若量子数不变，一维无限深势阱的宽度增加一倍，其中粒子的能量 A.增大为原来的四倍 B.增大为原来的两倍 C.减小为原来的四分之一 D.减小为原来的二分之一13. 对于一维谐振子，势能为2221)(x x V μω=，若令xμωξ=，则波函数形如)()(22ξξψξH e -=，其中)(ξH 满足0)1(222=-+-H d dHd H d λξξξ为使±∞→ξ时，)(ξψ有限，则λ值为A.整数B.奇数C.偶数D.零14.设体系处于的状态102111Y c Y c +=ψ，式中1c 、2c 是常数，则在此状态下，测量力学量2L 和z L ，下列结论中正确的是A. 测量2L 有确定值，测量z L 也有确定值 B. 测量2L 有确定值，测量z L 没有确定值 C. 测量2L 和z L 都没有确定值D. 测量2L 没有确定值，测量z L 有确定值15. 若Aˆ、B ˆ是厄密算符，则下列结论中正确的是 A. B A+仍然是厄密算符 B. B A ˆˆ仍然是厄密算符 C. B Aˆˆ是对易的 D. A ˆ、B ˆ的本征函数是实函数16.一质量为m 的粒子禁闭在边长为a 的立方体内，粒子的能量)(2222222z y x n n n n n n maE zy x ++=π ， x n 、y n 、z n =1，2，3，…则第一激发态能量A.不简并B.二重简并C.三重简并D.四重简并17.一维谐振子处于10ϕϕψB A +=，其中A 、B 为实常数，n ϕ为谐振子的第n 个归一化本征函数，则A.122=+B AB.1)(2=+B A C.1=+B A D.B A =18. 球谐函数ϕθϕθim m l lm m lm e P N Y )(cos )1(),(-=，其中)(cos θml P 是A.贝塞尔函数B. 缔合勒盖尔函数C.缔合勒让德函数D.拉格朗日函数19.关于球谐函数20Y 和21Y 的奇偶性，下列说法正确的是A. 20Y 、21Y 都是奇函数B. 20Y 、21Y 都是偶函数C. 20Y 是奇函数，21Y 是偶函数D. 21Y 是奇函数，20Y 是偶函数20.粒子在库仑场中运动，薛定谔方程径向部分是0)1()(222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++u r l l r Ze E dr u d s μ其中A.0>E 构成连续谱，0<E 构成分立谱B.0<E 构成连续谱，0>E 构成分立谱C.0>l 构成连续谱，0<l 构成分立谱D.0<l 构成连续谱，0>l 构成分立谱21.氢原子的径向波函数)2()2()(01200r na Z L r na Z eN r R l l n l r na Z nl nl ++-=中的)2(012r na Z L l l n ++是 A.拉格朗日函数 B.拉普拉斯函数 C.缔合勒盖尔函数 D. 缔合勒让得函数22.不考虑电子自旋，库仑场中粒子束缚态能级的简并度为A.2n B.22n C.n D.n 223.氢原子核外电子的角分布Ωd W lm ),(ϕθ（即径向),(ϕθ附近立体角内找到粒子的几率）A.与r 有关C.与ϕ有关，与θ无关D.与θ、ϕ皆有关24.表示厄密算符的矩阵称为厄密矩阵。

21-centimeter line, 21厘米线AAbsorption, 吸收Addition of angular momenta, 角动量叠加Adiabatic approximation, 绝热近似Adiabatic process, 绝热过程Adjoint, 自伴的Agnostic position, 不可知论立场Aharonov-Bohm effect, 阿哈罗诺夫-玻姆效应Airy equation, 艾里方程；Airy function, 艾里函数Allowed energy, 允许能量Allowed transition, 允许跃迁Alpha decay, 衰变；Alpha particle, 粒子Angular equation, 角向方程Angular momentum, 角动量Anomalous magnetic moment, 反常磁矩Antibonding, 反键Anti-hermitian operator, 反厄米算符Associated Laguerre polynomial, 连带拉盖尔多项式Associated Legendre function, 连带勒让德多项式Atoms, 原子Average value, 平均值Azimuthal angle, 方位角Azimuthal quantum number, 角量子数BBalmer series, 巴尔末线系Band structure, 能带结构Baryon, 重子Berry's phase, 贝利相位Bessel functions, 贝塞尔函数Binding energy, 束缚能Binomial coefficient, 二项式系数Biot-Savart law, 毕奥-沙法尔定律Blackbody spectrum, 黑体谱Bloch's theorem, 布洛赫定理Bohr energies, 玻尔能量；Bohr magneton, 玻尔磁子；Bohr radius, 玻尔半径Boltzmann constant, 玻尔兹曼常数Bond, 化学键Born approximation, 玻恩近似Born's statistical interpretation, 玻恩统计诠释Bose condensation, 玻色凝聚Bose-Einstein distribution, 玻色-爱因斯坦分布Boson, 玻色子Bound state, 束缚态Boundary conditions, 边界条件Bra, 左矢Bulk modulus, 体积模量CCanonical commutation relations, 正则对易关系Canonical momentum, 正则动量Cauchy's integral formula, 柯西积分公式Centrifugal term, 离心项Chandrasekhar limit, 钱德拉赛卡极限Chemical potential, 化学势Classical electron radius, 经典电子半径Clebsch-Gordan coefficients, 克-高系数Coherent States, 相干态Collapse of wave function, 波函数塌缩Commutator, 对易子Compatible observables, 对易的可观测量Complete inner product space, 完备内积空间Completeness, 完备性Conductor, 导体Configuration, 位形Connection formulas, 连接公式Conservation, 守恒Conservative systems, 保守系Continuity equation, 连续性方程Continuous spectrum, 连续谱Continuous variables, 连续变量Contour integral, 围道积分Copenhagen interpretation, 哥本哈根诠释Coulomb barrier, 库仑势垒Coulomb potential, 库仑势Covalent bond, 共价键Critical temperature, 临界温度Cross-section, 截面Crystal, 晶体Cubic symmetry, 立方对称性Cyclotron motion, 螺旋运动DDarwin term, 达尔文项de Broglie formula, 德布罗意公式de Broglie wavelength, 德布罗意波长Decay mode, 衰变模式Degeneracy, 简并度Degeneracy pressure, 简并压Degenerate perturbation theory, 简并微扰论Degenerate states, 简并态Degrees of freedom, 自由度Delta-function barrier, 势垒Delta-function well, 势阱Derivative operator, 求导算符Determinant, 行列式Determinate state, 确定的态Deuterium, 氘Deuteron, 氘核Diagonal matrix, 对角矩阵Diagonalizable matrix, 对角化Differential cross-section, 微分截面Dipole moment, 偶极矩Dirac delta function, 狄拉克函数Dirac equation, 狄拉克方程Dirac notation, 狄拉克记号Dirac orthonormality, 狄拉克正交归一性Direct integral, 直接积分Discrete spectrum, 分立谱Discrete variable, 离散变量Dispersion relation, 色散关系Displacement operator, 位移算符Distinguishable particles, 可分辨粒子Distribution, 分布Doping, 掺杂Double well, 双势阱Dual space, 对偶空间Dynamic phase, 动力学相位EEffective nuclear charge, 有效核电荷Effective potential, 有效势Ehrenfest's theorem, 厄伦费斯特定理Eigenfunction, 本征函数Eigenvalue, 本征值Eigenvector, 本征矢Einstein's A and B coefficients, 爱因斯坦A,B系数；Einstein's mass-energy formula, 爱因斯坦质能公式Electric dipole, 电偶极Electric dipole moment, 电偶极矩Electric dipole radiation, 电偶极辐射Electric dipole transition, 电偶极跃迁Electric quadrupole transition, 电四极跃迁Electric field, 电场Electromagnetic wave, 电磁波Electron, 电子Emission, 发射Energy, 能量Energy-time uncertainty principle, 能量-时间不确定性关系Ensemble, 系综Equilibrium, 平衡Equipartition theorem, 配分函数Euler's formula, 欧拉公式Even function, 偶函数Exchange force, 交换力Exchange integral, 交换积分Exchange operator, 交换算符Excited state, 激发态Exclusion principle, 不相容原理Expectation value, 期待值FFermi-Dirac distribution, 费米-狄拉克分布Fermi energy, 费米能Fermi surface, 费米面Fermi temperature, 费米温度Fermi's golden rule, 费米黄金规则Fermion, 费米子Feynman diagram, 费曼图Feynman-Hellman theorem, 费曼-海尔曼定理Fine structure, 精细结构Fine structure constant, 精细结构常数Finite square well, 有限深方势阱First-order correction, 一级修正Flux quantization, 磁通量子化Forbidden transition, 禁戒跃迁Foucault pendulum, 傅科摆Fourier series, 傅里叶级数Fourier transform, 傅里叶变换Free electron, 自由电子Free electron density, 自由电子密度Free electron gas, 自由电子气Free particle, 自由粒子Function space, 函数空间Fusion, 聚变Gg-factor, g-因子Gamma function, 函数Gap, 能隙Gauge invariance, 规范不变性Gauge transformation, 规范变换Gaussian wave packet, 高斯波包Generalized function, 广义函数Generating function, 生成函数Generator, 生成元Geometric phase, 几何相位Geometric series, 几何级数Golden rule, 黄金规则"Good" quantum number, "好"量子数"Good" states, "好"的态Gradient, 梯度Gram-Schmidt orthogonalization, 格莱姆-施密特正交化法Graphical solution, 图解法Green's function, 格林函数Ground state, 基态Group theory, 群论Group velocity, 群速Gyromagnetic railo, 回转磁比值HHalf-integer angular momentum, 半整数角动量Half-life, 半衰期Hamiltonian, 哈密顿量Hankel functions, 汉克尔函数Hannay's angle, 哈内角Hard-sphere scattering, 硬球散射Harmonic oscillator, 谐振子Heisenberg picture, 海森堡绘景Heisenberg uncertainty principle, 海森堡不确定性关系Helium, 氦Helmholtz equation, 亥姆霍兹方程Hermite polynomials, 厄米多项式Hermitian conjugate, 厄米共轭Hermitian matrix, 厄米矩阵Hidden variables, 隐变量Hilbert space, 希尔伯特空间Hole, 空穴Hooke's law, 胡克定律Hund's rules, 洪特规则Hydrogen atom, 氢原子Hydrogen ion, 氢离子Hydrogen molecule, 氢分子Hydrogen molecule ion, 氢分子离子Hydrogenic atom, 类氢原子Hyperfine splitting, 超精细分裂IIdea gas, 理想气体Idempotent operaror, 幂等算符Identical particles, 全同粒子Identity operator, 恒等算符Impact parameter, 碰撞参数Impulse approximation, 脉冲近似Incident wave, 入射波Incoherent perturbation, 非相干微扰Incompatible observables, 不对易的可观测量Incompleteness, 不完备性Indeterminacy, 非确定性Indistinguishable particles, 不可分辨粒子Infinite spherical well, 无限深球势阱Infinite square well, 无限深方势阱Inner product, 内积Insulator, 绝缘体Integration by parts, 分部积分Intrinsic angular momentum, 内禀角动量Inverse beta decay, 逆衰变Inverse Fourier transform, 傅里叶逆变换KKet, 右矢Kinetic energy, 动能Kramers' relation, 克莱默斯关系Kronecker delta, 克劳尼克LLCAO technique, 原子轨道线性组合法Ladder operators, 阶梯算符Lagrange multiplier, 拉格朗日乘子Laguerre polynomial, 拉盖尔多项式Lamb shift, 兰姆移动Lande g-factor, 朗德g-因子Laplacian, 拉普拉斯的Larmor formula, 拉摩公式Larmor frequency, 拉摩频率Larmor precession, 拉摩进动Laser, 激光Legendre polynomial, 勒让德多项式Levi-Civita symbol, 列维-西维塔符号Lifetime, 寿命Linear algebra, 线性代数Linear combination, 线性组合Linear combination of atomic orbitals, 原子轨道的线性组合Linear operator, 线性算符Linear transformation, 线性变换Lorentz force law, 洛伦兹力定律Lowering operator, 下降算符Luminoscity, 照度Lyman series, 赖曼线系MMagnetic dipole, 磁偶极Magnetic dipole moment, 磁偶极矩Magnetic dipole transition, 磁偶极跃迁Magnetic field, 磁场Magnetic flux, 磁通量Magnetic quantum number, 磁量子数Magnetic resonance, 磁共振Many worlds interpretation, 多世界诠释Matrix, 矩阵；Matrix element, 矩阵元Maxwell-Boltzmann distribution, 麦克斯韦-玻尔兹曼分布Maxwell's equations, 麦克斯韦方程Mean value, 平均值Measurement, 测量Median value, 中位值Meson, 介子Metastable state, 亚稳态Minimum-uncertainty wave packet, 最小不确定度波包Molecule, 分子Momentum, 动量Momentum operator, 动量算符Momentum space wave function, 动量空间波函数Momentum transfer, 动量转移Most probable value, 最可几值Muon, 子Muon-catalysed fusion, 子催化的聚变Muonic hydrogen, 原子Muonium, 子素NNeumann function, 纽曼函数Neutrino oscillations, 中微子振荡Neutron star, 中子星Node, 节点Nomenclature, 术语Nondegenerate perturbationtheory, 非简并微扰论Non-normalizable function, 不可归一化的函数Normalization, 归一化Nuclear lifetime, 核寿命Nuclear magnetic resonance, 核磁共振Null vector, 零矢量OObservable, 可观测量Observer, 观测者Occupation number, 占有数Odd function, 奇函数Operator, 算符Optical theorem, 光学定理Orbital, 轨道的Orbital angular momentum, 轨道角动量Orthodox position, 正统立场Orthogonality, 正交性Orthogonalization, 正交化Orthohelium, 正氦Orthonormality, 正交归一性Orthorhombic symmetry, 斜方对称Overlap integral, 交叠积分PParahelium, 仲氦Partial wave amplitude, 分波幅Partial wave analysis, 分波法Paschen series, 帕邢线系Pauli exclusion principle, 泡利不相容原理Pauli spin matrices, 泡利自旋矩阵Periodic table, 周期表Perturbation theory, 微扰论Phase, 相位Phase shift, 相移Phase velocity, 相速Photon, 光子Planck's blackbody formula, 普朗克黑体辐射公式Planck's constant, 普朗克常数Polar angle, 极角Polarization, 极化Population inversion, 粒子数反转Position, 位置；Position operator, 位置算符Position-momentum uncertainty principles, 位置-动量不确定性关系Position space wave function, 坐标空间波函数Positronium, 电子偶素Potential energy, 势能Potential well, 势阱Power law potential, 幂律势Power series expansion, 幂级数展开Principal quantum number, 主量子数Probability, 几率Probability current, 几率流Probability density, 几率密度Projection operator, 投影算符Propagator, 传播子Proton, 质子QQuantum dynamics, 量子动力学Quantum electrodynamics, 量子电动力学Quantum number, 量子数Quantum statics, 量子统计Quantum statistical mechanics, 量子统计力学Quark, 夸克RRabi flopping frequency, 拉比翻转频率Radial equation, 径向方程Radial wave function, 径向波函数Radiation, 辐射Radius, 半径Raising operator, 上升算符Rayleigh's formula, 瑞利公式Realist position, 实在论立场Recursion formula, 递推公式Reduced mass, 约化质量Reflected wave, 反射波Reflection coefficient, 反射系数Relativistic correction, 相对论修正Rigid rotor, 刚性转子Rodrigues formula, 罗德里格斯公式Rotating wave approximation, 旋转波近似Rutherford scattering, 卢瑟福散射Rydberg constant, 里德堡常数Rydberg formula, 里德堡公式SScalar potential, 标势Scattering, 散射Scattering amplitude, 散射幅Scattering angle, 散射角Scattering matrix, 散射矩阵Scattering state, 散射态Schrodinger equation, 薛定谔方程Schrodinger picture, 薛定谔绘景Schwarz inequality, 施瓦兹不等式Screening, 屏蔽Second-order correction, 二级修正Selection rules, 选择定则Semiconductor, 半导体Separable solutions, 分离变量解Separation of variables, 变量分离Shell, 壳Simple harmonic oscillator, 简谐振子Simultaneous diagonalization, 同时对角化Singlet state, 单态Slater determinant, 斯拉特行列式Soft-sphere scattering, 软球散射Solenoid, 螺线管Solids, 固体Spectral decomposition, 谱分解Spectrum, 谱Spherical Bessel functions, 球贝塞尔函数Spherical coordinates, 球坐标Spherical Hankel functions, 球汉克尔函数Spherical harmonics, 球谐函数Spherical Neumann functions, 球纽曼函数Spin, 自旋Spin matrices, 自旋矩阵Spin-orbit coupling, 自旋-轨道耦合Spin-orbit interaction, 自旋-轨道相互作用Spinor, 旋量Spin-spin coupling, 自旋-自旋耦合Spontaneous emission, 自发辐射Square-integrable function, 平方可积函数Square well, 方势阱Standard deviation, 标准偏差Stark effect, 斯塔克效应Stationary state, 定态Statistical interpretation, 统计诠释Statistical mechanics, 统计力学Stefan-Boltzmann law, 斯特番-玻尔兹曼定律Step function, 阶跃函数Stem-Gerlach experiment, 斯特恩-盖拉赫实验Stimulated emission, 受激辐射Stirling's approximation, 斯特林近似Superconductor, 超导体Symmetrization, 对称化Symmetry, 对称TTaylor series, 泰勒级数Temperature, 温度Tetragonal symmetry, 正方对称Thermal equilibrium, 热平衡Thomas precession, 托马斯进动Time-dependent perturbation theory, 含时微扰论Time-dependent Schrodinger equation, 含时薛定谔方程Time-independent perturbation theory, 定态微扰论Time-independent Schrodinger equation, 定态薛定谔方程Total cross-section, 总截面Transfer matrix, 转移矩阵Transformation, 变换Transition, 跃迁；Transition probability, 跃迁几率Transition rate, 跃迁速率Translation,平移Transmission coefficient, 透射系数Transmitted wave, 透射波Trial wave function, 试探波函数Triplet state, 三重态Tunneling, 隧穿Turning points, 回转点Two-fold degeneracy , 二重简并Two-level systems, 二能级体系UUncertainty principle, 不确定性关系Unstable particles, 不稳定粒子VValence electron, 价电子Van der Waals interaction, 范德瓦尔斯相互作用Variables, 变量Variance, 方差Variational principle, 变分原理Vector, 矢量Vector potential, 矢势Velocity, 速度Vertex factor, 顶角因子Virial theorem, 维里定理WWave function, 波函数Wavelength, 波长Wave number, 波数Wave packet, 波包Wave vector, 波矢White dwarf, 白矮星Wien's displacement law, 维恩位移定律YYukawa potential, 汤川势ZZeeman effect, 塞曼效应。

21-centimeter line, 21厘米线AAbsorption, 吸收Addition of angular momenta, 角动量叠加Adiabatic approximation, 绝热近似Adiabatic process, 绝热过程Adjoint, 自伴的Agnostic position, 不可知论立场Aharonov-Bohm effect, 阿哈罗诺夫—玻姆效应Airy equation, 艾里方程；Airy function, 艾里函数Allowed energy, 允许能量Allowed transition, 允许跃迁Alpha decay, α衰变；Alpha particle, α粒子Angular equation, 角向方程Angular momentum, 角动量Anomalous magnetic moment, 反常磁矩Antibonding, 反键Anti-hermitian operator, 反厄米算符Associated Laguerre polynomial, 连带拉盖尔多项式Associated Legendre function, 连带勒让德多项式Atoms, 原子Average value, 平均值Azimuthal angle, 方位角Azimuthal quantum number, 角量子数BBalmer series, 巴尔末线系Band structure, 能带结构Baryon, 重子Berry's phase, 贝利相位Bessel functions, 贝塞尔函数Binding energy, 束缚能Binomial coefficient, 二项式系数Biot-Savart law, 毕奥—沙法尔定律Blackbody spectrum, 黑体谱Bloch's theorem, 布洛赫定理Bohr energies, 玻尔能量；Bohr magneton, 玻尔磁子；Bohr radius, 玻尔半径Boltzmann constant, 玻尔兹曼常数Bond, 化学键Born approximation, 玻恩近似Born's statistical interpretation, 玻恩统计诠释Bose condensation, 玻色凝聚Bose-Einstein distribution, 玻色—爱因斯坦分布Boson, 玻色子Bound state, 束缚态Boundary conditions, 边界条件Bra, 左矢Bulk modulus, 体积模量CCanonical commutation relations, 正则对易关系Canonical momentum, 正则动量Cauchy's integral formula, 柯西积分公式Centrifugal term, 离心项Chandrasekhar limit, 钱德拉赛卡极限Chemical potential, 化学势Classical electron radius, 经典电子半径Clebsch-Gordan coefficients, 克—高系数Coherent States, 相干态Collapse of wave function, 波函数塌缩Commutator, 对易子Compatible observables, 对易的可观测量Complete inner product space, 完备内积空间Completeness, 完备性Conductor, 导体Configuration, 位形Connection formulas, 连接公式Conservation, 守恒Conservative systems, 保守系Continuity equation, 连续性方程Continuous spectrum, 连续谱Continuous variables, 连续变量Contour integral, 围道积分Copenhagen interpretation, 哥本哈根诠释Coulomb barrier, 库仑势垒Coulomb potential, 库仑势Covalent bond, 共价键Critical temperature, 临界温度Cross-section, 截面Crystal, 晶体Cubic symmetry, 立方对称性Cyclotron motion, 螺旋运动DDarwin term, 达尔文项de Broglie formula, 德布罗意公式de Broglie wavelength, 德布罗意波长Decay mode, 衰变模式Degeneracy, 简并度Degeneracy pressure, 简并压Degenerate perturbation theory, 简并微扰论Degenerate states, 简并态Degrees of freedom, 自由度Delta-function barrier, δ势垒Delta-function well, δ势阱Derivative operator, 求导算符Determinant, 行列式Determinate state, 确定的态Deuterium, 氘Deuteron, 氘核Diagonal matrix, 对角矩阵Diagonalizable matrix, 对角化Differential cross-section, 微分截面Dipole moment, 偶极矩Dirac delta function, 狄拉克δ函数Dirac equation, 狄拉克方程Dirac notation, 狄拉克记号Dirac orthonormality, 狄拉克正交归一性Direct integral, 直接积分Discrete spectrum, 分立谱Discrete variable, 离散变量Dispersion relation, 色散关系Displacement operator, 位移算符Distinguishable particles, 可分辨粒子Distribution, 分布Doping, 掺杂Double well, 双势阱Dual space, 对偶空间Dynamic phase, 动力学相位EEffective nuclear charge, 有效核电荷Effective potential, 有效势Ehrenfest's theorem, 厄伦费斯特定理Eigenfunction, 本征函数Eigenvalue, 本征值Eigenvector, 本征矢Einstein's A and B coefficients, 爱因斯坦A,B系数；Einstein's mass-energy formula, 爱因斯坦质能公式Electric dipole, 电偶极Electric dipole moment, 电偶极矩Electric dipole radiation, 电偶极辐射Electric dipole transition, 电偶极跃迁Electric quadrupole transition, 电四极跃迁Electric field, 电场Electromagnetic wave, 电磁波Electron, 电子Emission, 发射Energy, 能量Energy-time uncertainty principle, 能量—时间不确定性关系Ensemble, 系综Equilibrium, 平衡Equipartition theorem, 配分函数Euler's formula, 欧拉公式Even function, 偶函数Exchange force, 交换力Exchange integral, 交换积分Exchange operator, 交换算符Excited state, 激发态Exclusion principle, 不相容原理Expectation value, 期待值FFermi-Dirac distribution, 费米—狄拉克分布Fermi energy, 费米能Fermi surface, 费米面Fermi temperature, 费米温度Fermi's golden rule, 费米黄金规则Fermion, 费米子Feynman diagram, 费曼图Feynman-Hellman theorem, 费曼—海尔曼定理Fine structure, 精细结构Fine structure constant, 精细结构常数Finite square well, 有限深方势阱First-order correction, 一级修正Flux quantization, 磁通量子化Forbidden transition, 禁戒跃迁Foucault pendulum, 傅科摆Fourier series, 傅里叶级数Fourier transform, 傅里叶变换Free electron, 自由电子Free electron density, 自由电子密度Free electron gas, 自由电子气Free particle, 自由粒子Function space, 函数空间Fusion, 聚变Gg-factor, g—因子Gamma function, Γ函数Gap, 能隙Gauge invariance, 规范不变性Gauge transformation, 规范变换Gaussian wave packet, 高斯波包Generalized function, 广义函数Generating function, 生成函数Generator, 生成元Geometric phase, 几何相位Geometric series, 几何级数Golden rule, 黄金规则"Good" quantum number, “好”量子数"Good" states, “好”的态Gradient, 梯度Gram-Schmidt orthogonalization, 格莱姆—施密特正交化法Graphical solution, 图解法Green's function, 格林函数Ground state, 基态Group theory, 群论Group velocity, 群速Gyromagnetic railo, 回转磁比值HHalf-integer angular momentum, 半整数角动量Half-life, 半衰期Hamiltonian, 哈密顿量Hankel functions, 汉克尔函数Hannay's angle, 哈内角Hard-sphere scattering, 硬球散射Harmonic oscillator, 谐振子Heisenberg picture, 海森堡绘景Heisenberg uncertainty principle, 海森堡不确定性关系Helium, 氦Helmholtz equation, 亥姆霍兹方程Hermite polynomials, 厄米多项式Hermitian conjugate, 厄米共轭Hermitian matrix, 厄米矩阵Hidden variables, 隐变量Hilbert space, 希尔伯特空间Hole, 空穴Hooke's law, 胡克定律Hund's rules, 洪特规则Hydrogen atom, 氢原子Hydrogen ion, 氢离子Hydrogen molecule, 氢分子Hydrogen molecule ion, 氢分子离子Hydrogenic atom, 类氢原子Hyperfine splitting, 超精细分裂IIdea gas, 理想气体Idempotent operaror, 幂等算符Identical particles, 全同粒子Identity operator, 恒等算符Impact parameter, 碰撞参数Impulse approximation, 脉冲近似Incident wave, 入射波Incoherent perturbation, 非相干微扰Incompatible observables, 不对易的可观测量Incompleteness, 不完备性Indeterminacy, 非确定性Indistinguishable particles, 不可分辨粒子Infinite spherical well, 无限深球势阱Infinite square well, 无限深方势阱Inner product, 内积Insulator, 绝缘体Integration by parts, 分部积分Intrinsic angular momentum, 内禀角动量Inverse beta decay, 逆β衰变Inverse Fourier transform, 傅里叶逆变换KKet, 右矢Kinetic energy, 动能Kramers' relation, 克莱默斯关系Kronecker delta, 克劳尼克δLLCAO technique, 原子轨道线性组合法Ladder operators, 阶梯算符Lagrange multiplier, 拉格朗日乘子Laguerre polynomial, 拉盖尔多项式Lamb shift, 兰姆移动Lande g-factor, 朗德g—因子Laplacian, 拉普拉斯的Larmor formula, 拉摩公式Larmor frequency, 拉摩频率Larmor precession, 拉摩进动Laser, 激光Legendre polynomial, 勒让德多项式Levi-Civita symbol, 列维—西维塔符号Lifetime, 寿命Linear algebra, 线性代数Linear combination, 线性组合Linear combination of atomic orbitals, 原子轨道的线性组合Linear operator, 线性算符Linear transformation, 线性变换Lorentz force law, 洛伦兹力定律Lowering operator, 下降算符Luminoscity, 照度Lyman series, 赖曼线系MMagnetic dipole, 磁偶极Magnetic dipole moment, 磁偶极矩Magnetic dipole transition, 磁偶极跃迁Magnetic field, 磁场Magnetic flux, 磁通量Magnetic quantum number, 磁量子数Magnetic resonance, 磁共振Many worlds interpretation, 多世界诠释Matrix, 矩阵；Matrix element, 矩阵元Maxwell-Boltzmann distribution, 麦克斯韦—玻尔兹曼分布Maxwell’s equations, 麦克斯韦方程Mean value, 平均值Measurement, 测量Median value, 中位值Meson, 介子Metastable state, 亚稳态Minimum-uncertainty wave packet, 最小不确定度波包Molecule, 分子Momentum, 动量Momentum operator, 动量算符Momentum space wave function, 动量空间波函数Momentum transfer, 动量转移Most probable value, 最可几值Muon, μ子Muon-catalysed fusion, μ子催化的聚变Muonic hydrogen, μ原子Muonium, μ子素NNeumann function, 纽曼函数Neutrino oscillations, 中微子振荡Neutron star, 中子星Node, 节点Nomenclature, 术语Nondegenerate perturbationtheory, 非简并微扰论Non-normalizable function, 不可归一化的函数Normalization, 归一化Nuclear lifetime, 核寿命Nuclear magnetic resonance, 核磁共振Null vector, 零矢量OObservable, 可观测量Observer, 观测者Occupation number, 占有数Odd function, 奇函数Operator, 算符Optical theorem, 光学定理Orbital, 轨道的Orbital angular momentum, 轨道角动量Orthodox position, 正统立场Orthogonality, 正交性Orthogonalization, 正交化Orthohelium, 正氦Orthonormality, 正交归一性Orthorhombic symmetry, 斜方对称Overlap integral, 交叠积分PParahelium, 仲氦Partial wave amplitude, 分波幅Partial wave analysis, 分波法Paschen series, 帕邢线系Pauli exclusion principle, 泡利不相容原理Pauli spin matrices, 泡利自旋矩阵Periodic table, 周期表Perturbation theory, 微扰论Phase, 相位Phase shift, 相移Phase velocity, 相速Photon, 光子Planck's blackbody formula, 普朗克黑体辐射公式Planck's constant, 普朗克常数Polar angle, 极角Polarization, 极化Population inversion, 粒子数反转Position, 位置；Position operator, 位置算符Position-momentum uncertainty principles, 位置—动量不确定性关系Position space wave function, 坐标空间波函数Positronium, 电子偶素Potential energy, 势能Potential well, 势阱Power law potential, 幂律势Power series expansion, 幂级数展开Principal quantum number, 主量子数Probability, 几率Probability current, 几率流Probability density, 几率密度Projection operator, 投影算符Propagator, 传播子Proton, 质子QQuantum dynamics, 量子动力学Quantum electrodynamics, 量子电动力学Quantum number, 量子数Quantum statics, 量子统计Quantum statistical mechanics, 量子统计力学Quark, 夸克RRabi flopping frequency, 拉比翻转频率Radial equation, 径向方程Radial wave function, 径向波函数Radiation, 辐射Radius, 半径Raising operator, 上升算符Rayleigh's formula, 瑞利公式Realist position, 实在论立场Recursion formula, 递推公式Reduced mass, 约化质量Reflected wave, 反射波Reflection coefficient, 反射系数Relativistic correction, 相对论修正Rigid rotor, 刚性转子Rodrigues formula, 罗德里格斯公式Rotating wave approximation, 旋转波近似Rutherford scattering, 卢瑟福散射Rydberg constant, 里德堡常数Rydberg formula, 里德堡公式SScalar potential, 标势Scattering, 散射Scattering amplitude, 散射幅Scattering angle, 散射角Scattering matrix, 散射矩阵Scattering state, 散射态Schrodinger equation, 薛定谔方程Schrodinger picture, 薛定谔绘景Schwarz inequality, 施瓦兹不等式Screening, 屏蔽Second-order correction, 二级修正Selection rules, 选择定则Semiconductor, 半导体Separable solutions, 分离变量解Separation of variables, 变量分离Shell, 壳Simple harmonic oscillator, 简谐振子Simultaneous diagonalization, 同时对角化Singlet state, 单态Slater determinant, 斯拉特行列式Soft-sphere scattering, 软球散射Solenoid, 螺线管Solids, 固体Spectral decomposition, 谱分解Spectrum, 谱Spherical Bessel functions, 球贝塞尔函数Spherical coordinates, 球坐标Spherical Hankel functions, 球汉克尔函数Spherical harmonics, 球谐函数Spherical Neumann functions, 球纽曼函数Spin, 自旋Spin matrices, 自旋矩阵Spin-orbit coupling, 自旋—轨道耦合Spin-orbit interaction, 自旋—轨道相互作用Spinor, 旋量Spin-spin coupling, 自旋—自旋耦合Spontaneous emission, 自发辐射Square-integrable function, 平方可积函数Square well, 方势阱Standard deviation, 标准偏差Stark effect, 斯塔克效应Stationary state, 定态Statistical interpretation, 统计诠释Statistical mechanics, 统计力学Stefan-Boltzmann law, 斯特番—玻尔兹曼定律Step function, 阶跃函数Stem-Gerlach experiment, 斯特恩—盖拉赫实验Stimulated emission, 受激辐射Stirling's approximation, 斯特林近似Superconductor, 超导体Symmetrization, 对称化Symmetry, 对称TTaylor series, 泰勒级数Temperature, 温度Tetragonal symmetry, 正方对称Thermal equilibrium, 热平衡Thomas precession, 托马斯进动Time-dependent perturbation theory, 含时微扰论Time-dependent Schrodinger equation, 含时薛定谔方程Time-independent perturbation theory, 定态微扰论Time-independent Schrodinger equation, 定态薛定谔方程Total cross-section, 总截面Transfer matrix, 转移矩阵Transformation, 变换Transition, 跃迁；Transition probability, 跃迁几率Transition rate, 跃迁速率Translation,平移Transmission coefficient, 透射系数Transmitted wave, 透射波Trial wave function, 试探波函数Triplet state, 三重态Tunneling, 隧穿Turning points, 回转点Two-fold degeneracy , 二重简并Two-level systems, 二能级体系UUncertainty principle, 不确定性关系Unstable particles, 不稳定粒子VValence electron, 价电子Van der Waals interaction, 范德瓦尔斯相互作用Variables, 变量Variance, 方差Variational principle, 变分原理Vector, 矢量Vector potential, 矢势Velocity, 速度Vertex factor, 顶角因子Virial theorem, 维里定理WWave function, 波函数Wavelength, 波长Wave number, 波数Wave packet, 波包Wave vector, 波矢White dwarf, 白矮星Wien's displacement law, 维恩位移定律YYukawa potential, 汤川势ZZeeman effect, 塞曼效应。

hellmann—feynman定理及其应用Hellmann—Feynman定理及其应用
Hellmann—Feynman定理，是一种由美国物理学家Richard Phillips Feynman 提出来的量子力学定理。

它宣称可以用电子的动能来计算分子的绑定能，可以用来求解绑定结构。

Hellmann—Feynman定理主要用于了解在给定大致结构的条件下分子的可用绑定能，以及相应的外力变量，而不必去计算各个分子或原子间交互作用及密度分布。

由于Hellmann—Feynman定理中假设了分子为单一自由张量，因此，在求解分子复杂结构时，往往会在细节上有所缺失或出错。

为了解决这一问题，经典量子化学把Hellmann—Feynman定理作为外力分解的一个特例，这就是所谓的Hellmann—Feynman 外力分解定理，即在求解分子结构时，要将它分解为几部分，再分别使用Hellmann—Feynman定理求解，以及各部分之间的势能。

以此可以更好地求解分子结构。

Hellmann—Feynman定理不仅在物理化学中有广泛应用，同时也在计算机科学和智能技术研究中被广泛应用，被称之为“正则化技巧”。

它能用来降低模型的复杂度，避免性能瓶颈，辅助模型的优化，帮助进行一些简单的反问题求解等等。

Hellmann—Feynman定理也可以被用于串行科学应用程序的并行化(parallelization)，提高计算效率，从而加快量子力学模拟的进展速度。

总之，Hellmann—Feynman定理在物理化学、计算机科学和智能技术等多个领域有着重要应用，能够解决许多实际中遇到的分子结构求解问题，并有助于改善众多应用程序的效率。

费格曼定律摘要：1.费格曼定律的定义与背景2.费格曼定律的应用场景3.费格曼定律在个人与职业生活中的实践方法4.总结：费格曼定律的价值与意义正文：费格曼定律，又称“费曼效应”，是指人们在学习过程中，对于自己熟悉或感兴趣的内容，会不自觉地给予更多的关注和理解。

这一定律源于美国著名物理学家理查德·费曼，他发现自己在讲解复杂问题时，用简单的语言让普通人也能理解，反而能让听众更容易记住并掌握知识点。

本文将探讨费格曼定律的应用场景、实践方法及其在个人与职业生活中的价值与意义。

一、费格曼定律的应用场景1.教育领域：教师在讲授知识时，运用生动形象、简单易懂的语言，有助于提高学生的学习兴趣和理解能力。

2.培训与讲座：培训师或演讲者通过讲述贴近听众实际需求的故事，能让听众更容易接受新知识。

3.商业领域：销售人员运用费格曼定律，用简单明了的方式介绍产品特点，能提高客户的购买意愿。

4.沟通交流：在日常生活中，用简洁明了的语言表达自己的观点，有助于增进双方的理解和信任。

二、费格曼定律在个人与职业生活中的实践方法1.增强表达能力：通过学习、实践和反思，提高自己的沟通能力，使自己的语言更加简洁、有力。

2.善于倾听：关注他人需求，用心倾听，了解对方真实意图，提高自己的理解能力。

3.深入浅出地传授知识：在教授他人时，用简单易懂的方式让对方快速掌握知识点，提高传授效果。

4.保持好奇心：对未知领域保持好奇心，不断学习新知识，拓宽自己的知识体系。

总结：费格曼定律为我们提供了一种更加高效的学习、沟通和传授知识的方法。

在个人与职业生活中，掌握费格曼定律，善于用简单明了的语言表达自己的想法，关注他人的需求，将有助于提高自己的沟通能力、理解能力和传授知识的效果。

系综平均意义下的hellmann-feynman定理Hellmann-Feynman定理是量子力学中一个重要的定理，它描述了波函数中随外加势能变化而引起的能量变化。

这个定理在理论化学和固体物理等领域有着广泛的应用。

在本文中，我们将探讨在系综平均意义下的Hellmann-Feynman定理。

Hellmann-Feynman定理可以用来计算任意系统的总能量对外加势能的导数。

假设我们考虑的系统由N个粒子组成，其波函数为Ψ(R1,...,RN)。

若外加一个势能V(R1,...,RN)，则系统的总能量E可以表示为：E=⟨Ψ，(T+V)，Ψ⟨其中，T表示系统的动能算符，V表示外加的势能。

根据Hellmann-Feynman定理，我们可以得到系统总能量关于势能的导数：∂E/∂λ=⟨Ψ，(dV/dλ)，Ψ⟨其中，λ表示势能的一些参数，dV/dλ表示外加势能对该参数的导数。

这个导数可以通过引入一个耦合常数λ'来实现：dV/dλ=(dV/dλ')x(dλ'/dλ)因此，我们可以得到：∂E/∂λ=⟨Ψ，(dV/dλ')，(dλ'/dλ)，Ψ⟨在进行推导之前，让我们对系综平均所涉及的概念进行进一步的说明。

在量子力学中，我们通常使用系综平均来描述物理量的期望值。

系综平均是对于大量相同系统的平均。

对于N个粒子系统，系综平均值可以表示为：〖<〗(A)〗_ens = ∑_(j=1)^N a_j ，ψ_j，^2其中，a_j表示第j个粒子的物理量A的本征值，ψ_j，^2表示第j个粒子的波函数的模平方。

而在我们的讨论中，物理量A即为(dV/dλ')。

根据Hellmann-Feynman定理，我们可以将∂E/∂λ转化为一种平均值的形式：∂E/∂λ=∑_(j=1)^N(a_j/，ψ_j，^2)，ψ_j，^2(dλ'/dλ)对上述公式稍加整理，我们可以得到：∂E/∂λ=∑_(j=1)^Na_j，ψ_j，^2(dλ'/dλ)这个表达式表示了系统总能量对势能参数λ的导数，可以看做是系综平均下的Hellmann-Feynman定理。