【精品】高中数学 4、3、1空间直角坐标系优秀学生寒假必做作业练习二 新人教A版必修2

【关键字】数学4.3空间直角坐标系第1题. 在空间直角坐标系中，点，过点作平面的垂线，则的坐标为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ．第2题. 已知点，则点关于原点的对称点的坐标为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ．第3题. 在平面内的直线上确定一点，使到点的距离最小．答案：解：由已知，可设，则．．第4题. 求到两定点，距离相等的点的坐标满足的条件．答案：解：设为满足条件的任一点，则由题意，得，．，即为所求点所满足的条件．第5题. 在轴上与点和点等距离的点的坐标为．答案：第6题. 已知，，则的最小值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ．第7题. 已知三角形的三个顶点，，．则（1）过点的中线长为；（2）过点的中线长为；（3）过点的中线长为．答案：；；第8题. 已知，，，，则长为．答案：．第9题. 给定空间直角坐标系，在轴上找一点，使它与点的距离为．答案：解：设点的坐标是，由题意，，即，．解得或．点坐标为或第10题. 下列各点不在曲线上的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ．第11题. 坐标原点到下列各点的距离最小的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ａ．第12题. 已知点坐标为，，点在轴上，且，则点坐标为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ａ．第13题. 在空间直角坐标系中，的所有点构成的图形是．答案：过点且与轴笔直的平面第14题. 点到平面的距离为 ．答案：第15题. 求证：以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形．答案：证明：，，，且．为等腰直角三角形．第16题. 已知，，，，则 PC 长为 ． 答案：773． 第17题. 如图，长方体OABC DABC -''''中，3OA =，4OC =，3OD ='，AC ''于BD ''相交于点P ．分别写出C ，B '，P 的坐标．答案：C ，B '，P 各点的坐标分别是(0,4,0)，(3,4,3)，3(,2,3)2．第18题. 在xOy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ；使M 到点(6,5,1)N 的距离最小． 答案：解：设点(,1,0)M x x -则 min 51MN =∴．第19题. 试解释方程222(12)(3)(5)36x y z -+++-=的几何意义．答案：该方程几何意义是：在空间中以点(12,3,5)-为球心，球半径长为６的球面． 第20题. 点(203)，，在空间直角坐标系中的位置是在（ ）Ａ．y 轴上 Ｂ．xOy 平面上 Ｃ．xOz 平面上 Ｄ．第一卦限内答案：Ｃ．第21题. 点(321)P --，，关于平面xOy 的对称点是 ，关于平面yOz 的对称点是 ，关于平面zOx 的对称点是 ，关于x 轴的对称点是 ，关于y 轴的对称点是 ，关于z 轴的对称点是 ．答案：(321)-，，，(321)-，，，(321)---，，，(321)-，，，(321)，，，(321)--，，． 第22题. 点(435)M -，，到原点的距离d = ，到z 轴的距离d = ． 答案：52，5．第23题. 已知两点1(102)M -，，，2(031)M -，，，此两点间的距离为（ ） Ａ．19 Ｂ．11 Ｃ．19 Ｄ．11答案：Ａ．第24题. 若向量a 在y 轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量a 平行的坐标平面是（ ）Ａ．xOy 平面Ｂ．xOz 平面 Ｃ．yOz 平面 Ｄ．以上都有可能 答案：Ｂ．第25题. 在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点1P 的坐标特点为 ，在Oy 轴上的点2P 的坐标特点为 ，在Oz 轴上的点3P 的坐标特点为 ，在xOy 平面上的点4P 的坐标特点为 ，在yOz 平面上的点5P 的坐标特点为 ，在xOz 平面上的点6P 的坐标特点为 ．答案：1(00)P x，，，2(00)P y ，，，3(00)P z ，，，4(0)P x y ，，，5(0)P y z ，，，6(0)P x z ，，． 第26题. 已知空间三点的坐标为(152)A -，，，(241)B ，，，(32)C p q +，，，若AB C ，，三点共线，则p = ，q = ．答案：3，2第27题. 已知点P 的坐标为(345)，，，试在空间直角坐标系中作出点P ．答案：解：由(345)P ，，可知点P 在Ox 轴上的射影为(300)A ，，，在Oy 轴上射影为(040)B ，，，以OA OB ，为邻边的矩形OACB 的顶点C 是点P 在xOy 坐标平面上的射影，(340)C ，，． 过C 作直线垂直于xOy 坐标平面，并在此直线的xOy 平面上方截取5个单位，得到的就是点P ．4.3空间直角坐标系第1题. 在空间直角坐标系中，点23)P ，，，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为（ ）Ａ．(02，， Ｂ．(023)，， Ｃ．(103)， Ｄ．(12，，答案：Ｄ．第2题. 已知点(314)A -，，，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ）Ａ．(134)--，，Ｂ．(413)--，， Ｃ．(314)--，，Ｄ．(413)-，， 答案：Ｃ．第3题. 在xOy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ，使M 到点(651)N ，，的距离最小． 答案：解：由已知，可设(10)M x x -，，， 则222(6)(15)(01)MN x x =-+--+-22(1)51x =-+．min 51MN =∴．第4题. 求到两定点(230)A ，，，(510)B ，，距离相等的点的坐标()x y z ，，满足的条件． 答案：解：设()P x y z ，，为满足条件的任一点，则由题意，得222(2)(3)(0)PA x y z =-+-+-，222(5)(1)(0)PB x y z =-+-+-． PA PB =∵，64130x y --=∴即为所求点所满足的条件．第5题. 在z 轴上与点(417)A -，，和点(352)B -，，等距离的点C 的坐标为 ． 答案：14(00)9，，第6题. 已知(11)A t t t --，，，(2)B t t ，，，则AB 的最小值为（ ） Ａ．55 Ｂ．555 Ｃ．355 Ｄ．115答案：Ｃ．第7题. 已知三角形的三个顶点(214)A -，，，(326)B -，，，(502)C ，，．则（1）过A 点的中线长为 ；（2）过B 点的中线长为 ；（3）过C 点的中线长为答案：211；5142；622第8题. 已知(121)A ，，，(134)B -，，，(111)C ，，，2AP PB =，则PC 长为 ．答案：773． 第9题. 给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点0(412)P ，，的距离为30． 答案：解：设点P 的坐标是(00)x ，，，由题意，030P P =，即222(4)1230x -++=， 2(4)25x -=∴．解得9x =或1x =-．∴点P 坐标为(900)，，或(100)-，，． 第10题. 下列各点不在曲线22212x y z ++=上的是（ ）Ａ．(222)-，， Ｂ．(0222)，， Ｃ．(222)-，， Ｄ．(134)，， 答案：Ｄ．第11题. 坐标原点到下列各点的距离最小的是（ ）Ａ．(111)，，Ｂ．(122)，， Ｃ．(235)-，， Ｄ．(304)，，答案：Ａ．第12题. 已知A 点坐标为(111)，，，(333)B ，，，点P 在x 轴上，且PA PB =，则P 点坐标为（ ）Ａ．(600)，，Ｂ．(601)，， Ｃ．(006)，， Ｄ．(060)，， 答案：Ａ．第13题. 在空间直角坐标系O xyz -中，1z =的所有点构成的图形是 ． 答案：过点(001)，，且与z 轴垂直的平面第14题. 点(235)P ，，到平面xOy 的距离为 ．答案：5第15题. 求证：以(419)A ---，，，(1016)B --，，，(243)C ---，，为顶点的三角形是等腰直角三角形．答案：证明：222()(410)(11)(96)7d A B =-++--+-+=，， 222()(42)(14)(93)7d A C =-++-++-+=，，222()(102)(14)(63)72d B C =-++++-+=，，∵222()()()d A B d A C d B C +=，，，且()()d A B d A C =，，．ABC ∴△为等腰直角三角形第16题. 已知(1,2,1)A ，(1,3,4)B -，(1,1,1)C ，2AP PB =，则 PC 长为 ． 答案：773． 第17题. 如图，长方体OABC DABC -''''中，3OA =，4OC =，3OD ='，AC ''于BD ''相交于点P ．分别写出C ，B '，P 的坐标．答案：C ，B '，P 各点的坐标分别是(0,4,0)，(3,4,3)，3(,2,3)2．第18题. 在xOy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ；使M 到点(6,5,1)N 的距离最小． 答案：解：设点(,1,0)M x x -则 min 51MN =∴．第19题. 试解释方程222(12)(3)(5)36x y z -+++-=的几何意义．答案：该方程几何意义是：在空间中以点(12,3,5)-为球心，球半径长为６的球面． 第20题. 点(203)，，在空间直角坐标系中的位置是在（ ）Ａ．y 轴上 Ｂ．xOy 平面上 Ｃ．xOz 平面上 Ｄ．第一卦限内 答案：Ｃ．第21题. 点(321)P --，，关于平面xOy 的对称点是 ，关于平面yOz 的对称点是 ，关于平面zOx 的对称点是 ，关于x 轴的对称点是 ，关于y 轴的对称点是 ，关于z 轴的对称点是 ．答案：(321)-，，，(321)-，，，(321)---，，，(321)-，，，(321)，，，(321)--，，． 第22题. 点(435)M -，，到原点的距离d = ，到z 轴的距离d = ．答案：525．第23题. 已知两点1(102)M -，，，2(031)M -，，，此两点间的距离为（ ） 19 11 Ｃ．19 Ｄ．11答案：Ａ．第24题. 若向量a 在y 轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量a 平行的坐标平面是（ ）Ａ．xOy 平面Ｂ．xOz 平面 Ｃ．yOz 平面 Ｄ．以上都有可能 答案：Ｂ．第25题. 在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点1P 的坐标特点为 ，在Oy 轴上的点2P 的坐标特点为 ，在Oz 轴上的点3P 的坐标特点为 ，在xOy 平面上的点4P 的坐标特点为 ，在yOz 平面上的点5P 的坐标特点为 ，在xOz 平面上的点6P 的坐标特点为 ．答案：1(00)P x，，，2(00)P y ，，，3(00)P z ，，，4(0)P x y ，，，5(0)P y z ，，，6(0)P x z ，，． 第26题. 已知空间三点的坐标为(152)A -，，，(241)B ，，，(32)C p q +，，，若A B C ，，三点共线，则p = ，q =答案：3，2第27题. 已知点P 的坐标为(345)，，，试在空间直角坐标系中作出点P ．答案：解：由(345)P ，，可知点P 在Ox 轴上的射影为(300)A ，，，在Oy 轴上射影为(040)B ，，，以OA OB ，为邻边的矩形OACB 的顶点C 是点P 在xOy 坐标平面上的射影，(340)C ，，． 过C 作直线垂直于xOy 坐标平面，并在此直线的xOy 平面上方截取5个单位， 得到的就是点P ．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高中数学人教新课标A版必修二4.3空间直角坐标系同步训练1（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共21分)1. （2分） (2015高二上·承德期末) 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为（0，2，1），点B的坐标为（﹣2，0，3），则线段AB的中点坐标为（）A . （﹣1，1，2）B . （﹣2，2，4）C . （﹣1，﹣1，1）D . （1，﹣1，2）2. （2分） (2019高二上·台州期末) 如图所示，把棱长为1的正方体放在空间直角坐标系中，则点D的坐标为A . 0，B . 1，C . 0，D . 1，3. （2分）三棱锥O－ABC中，O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,3)此三棱锥的体积为（）A . 1B . 2C . 3D . 64. （2分） (2017高一下·菏泽期中) 空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A . 2B . ﹣8C . 2或﹣8D . 8或25. （2分）设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A,B的坐标分别为A(1，2，2),B （2，-2，1），则|AB|=（）A . 18B . 12C .D .6. （2分） (2018高一下·三明期末) 在空间直角坐标系中，若点，，点是点关于平面的对称点，则（）A .B .C .D .7. （2分）已知，，，则△ABC的形状是（）A . 等腰三角形B . 锐角三角形C . 直角三角形D . 钝角三角形8. （2分）设在轴上，它到点的距离等于到点的距离的两倍，那么点的坐标是（）A . 和B . 和C . 和D . 和9. （2分）若已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（）A . 4B . 2C . 4D . 310. （2分）已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，－1，0），D（2，-1，-1），则（）A . |AB|>|CD|B . |AB|<|CD|C . |AB|≤|CD|D . |AB|≥|CD|11. （1分）点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离为到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是________．二、填空题 (共4题；共6分)12. （1分） (2016高二上·定州期中) 如图所示，在长方体OABC﹣O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=3，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________．13. （2分）已知点A（－3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为________；AB的长为________．14. （2分）已知点A（﹣3，1，4），则点A关于原点的对称点B的坐标为________ ；AB的长为________15. （1分）已知A（﹣2，3，4），在y轴上求一点B，使|AB|=3 ，则点B的坐标为________．三、解答题 (共3题；共15分)16. （5分）已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，|AA1|＝2，M ， N分别是A1B1 ，A1A的中点，求MN的长．17. （5分）求下列两点间的距离：A（1，1，0），B（1，1，1）18. （5分）如图，正四棱锥P－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为，M ， N分别为AB ， BC的中点，以O为原点，射线OM ， ON ， OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．若E ， F分别为PA ，PB的中点，求A ， B ， C ， D ， E ， F的坐标．参考答案一、单选题 (共11题；共21分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共6分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共3题；共15分)16-1、17-1、18-1、。

4.3.1 空间直角坐标系【课时目标】 1．了解空间直角坐标系的建系方式．2．掌握空间中任意一点的表示方法．3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标．1．如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O 为原点，分别以射线OA 、OC 、OD ′的方向为正方向，以线段OA 、OC 、OD ′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这时我们说建立了一个______________________________，其中点O 叫做________________，x 轴、y 轴、z 轴叫做________________，通过每两个坐标轴的平面叫做________________，分别称为__________________________，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即________指向x 轴的正方向，________指向y 轴的正方向，________指向z 轴的正方向．2．空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的____________，y 叫做点M 的____________，z 叫做点M 的____________．一、选择题1．在空间直角坐标系中，点A (1,2，－3)关于x 轴的对称点为( ) A ．(1，－2，－3) B ．(1，－2,3) C ．(1,2,3) D ．(－1,2，－3) 2．设y ∈R ，则点P (1，y,2)的集合为( ) A ．垂直于xOz 平面的一条直线 B ．平行于xOz 平面的一条直线 C ．垂直于y 轴的一个平面 D ．平行于y 轴的一个平面3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．其中实圆•代表钠原子，空间圆代表氯原子．建立空间直角坐标系Oxyz 后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1B ．(0,0,1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12 4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为( )A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5)5．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)、Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 6．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( )A ．a 2＋b 2B ．|a |C ．|b |D ．|c |二、填空题7．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )；②在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c )；③在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )；④在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c )．其中正确说法的序号是________．8．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为(1，2，3)，过点P 作yOz 平面的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标是______．9．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为____________________．三、解答题10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1．请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标．11．如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．能力提升12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2．试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．13．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8．BC 是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标．1．点坐标的确定实质是过此点作三条坐标轴的垂面，一个垂面与x轴交点的横坐标为该点的横坐标，一个垂面与y轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，另一个垂面与z轴交点的竖坐标为该点的竖坐标．2．明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“关于谁对称，谁不变，其余均相反；关于原点对称，均相反”．①点(x，y，z)关于xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴，原点的对称点依次为(x，y，－z)，(－x，y，z)，(x，－y，z)，(x，－y，－z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，z)，(－x ，－y ，－z )．②点(x ，y ，z )在xOy 面，yOz 面，xOz 面，x 轴，y 轴，z 轴上的投影点坐标依次为(x ，y,0)，(0，y ，z )，(x,0，z )，(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z )．§4．3 空间直角坐标系 4．3．1 空间直角坐标系答案知识梳理1．空间直角坐标系Oxyz 坐标原点 坐标轴 坐标平面 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面 右手拇指 食指 中指 2．横坐标 纵坐标 竖坐标 作业设计1．B [两点关于x 轴对称，坐标关系：横坐标相同，纵竖坐标相反．] 2．A 3．A4．A [两点关于平面yOz 对称，坐标关系：横坐标相反，纵竖坐标相同．] 5．C [三坐标均相反时，两点关于原点对称．] 6．D 7．②③④ 8．(0，2，3) 9．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22 10．解如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0， G ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12． 11．解 由于已经建立了空间直角坐标系，由图可直接求出各点的坐标：B (－2,3，－1)，C (2,3，－1)，D (2，－3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．12．解 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (32，32，0)，D (12，32，0)，P (0,0,2)，E (1，32，0)．13．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB＝AC＝6，BC是圆O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形且AF⊥BC，BC＝62．以O为原点，OB、OF、OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O及A、B、C、D、E、F各个点的坐标分别为O(0,0,0)、A(0，－32，0)、B(32，0,0)、C(－32，0,0)、D(0，－32，8)、E(0,0,8)、F(0,32，0)．。

课后导练基础达标1点A(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置( )A.在y 轴上B.在xOy 平面上C.在xOz 平面上D.在第一象限内解析：由于点A 的纵坐标为y=0,横坐标与竖坐标分别为2,3,所以点A 应在xOz 平面上. 答案：C2点M(3,-3,1)关于xOy 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：一点关于xOy 平面的对称点,它们的横,纵坐标不变,而竖坐标互为相反数,∴对称点为(3,-3,-1).答案：C3点M(3,-3,1)关于xOz 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(3,3,1)解析：M 点关于xOz 平面的对称点与M 的横,竖坐标相同,纵坐标互为相反数.答案：D4点M(3,-3,1)关于yOz 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于yOz 平面的对称点与M 的纵,竖坐标相同,而横坐标互为相反数.答案：B5点M(3,-3,1)关于x 轴的对称点是( )A.(3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于x 轴的对称点与M 的横坐标相同,纵,竖坐标都互为相反数.答案：A6点M(3,-3,1)关于y 轴的对称点是( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于y 轴的对称点与M 的纵坐标相同,而横、竖坐标都互为相反数.答案：B7点M(3,-3,1)关于z 轴的对称点是( )A.(-3,3,1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于z 轴的对称点与M 的竖坐标相同,而横,纵坐标分别互为相反数.答案：D8点A(-3,1,5)与B(4,3,1)的中点的坐标是( ) A.(27,1,-2) B.(21,2,3) C.(-12,3,5) D.(31,34,2)解析：设中点坐标为(x,y,z),由中点坐标公式得x=21243=+-,z=215+=3,y=231+=2. 答案：B综合运用 9在空间直角坐标系中,点P(1,2,3),过点P 作平面yOz 的垂线,垂足为Q,则Q 的坐标为( ) A.(0,2,0) B.(0,2,3) C.(1,0,3) D.(1,2,0)解析：由于PQ ⊥平面yOz,且Q 在yOz 内,所以点Q 的横坐标x 为0,而Q 与P 的纵,竖坐标分别相同.∴Q(0,2,3).答案：B10点A(a,b,c)在x 轴上投影点的坐标为_____________解析：设投影点为A′(x,y,z),因为A′在x 轴上,∴y=0,z=0,又AA′⊥x 轴,∴A′与A 的横坐标相同,即x=a.答案：(a,0,0)11设z 为任意实数,相应的所有点P(1,2,z)的集合是什么图形？解：由于z ∈R ,所以P(1,2,z)对应的所有点的横,纵坐标分别相等,竖坐标任意,因此这些点都在一条与xOy 平面垂直的直线上.故点P(1,2,z)的集合是过平面xOy 内一点(1,2,0)且与xOy 面垂直的一条直线.拓展探究12已知一长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O,交于同一顶点的三个平面分别平行于三个坐标平面,顶点A 的坐标为(-2,-3,-1).求其他7个顶点的坐标.解：如图,∵A 与C 1点关于原点对称,∴C 1(2,3,1),又∵A 与D 点关于平面yOz 对称,∴D(2,-3,-1),又D 与B 1关于原点对称,∴B 1(-2,3,1),又A 与A 1关于平面xOy 对称,∴A 1(-2,-3,1),又A 1与C 关于原点对称,∴C(2,3,-1).又∵A 1与D 1关于yOz 对称,∴D 1(2,-3,1),又D 1与B 关于原点对称,∴B(-2,3,-1).故其他7个顶点的坐标分别为B(-2,3,-1)、C(2,3,-1)、D(2,-3,-1)、A 1(-2,-3,1)、B 1(-2,3,1)、C 1(2,3,1)、D 1(2,-3,1).。

4．3.1 空间直角坐标系基础梳理1．空间直角坐标系．(1)空间直角坐标系及相关概念．①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x，y，z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x，y，z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．练习1：原点O的坐标是(0，0，0)．2．空间一点的坐标．空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M 的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．►思考应用在空间直角坐标系中，一些特殊点的坐标特征是怎样的？(1)xOy平面是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集；(2)xOz平面是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集；(3)yOz平面是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集；(4)x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集；(5)y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集；(6)z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集．其中x，y，z均为任意实数．自测自评1．点P(－1，0，2)位于(C)A．y轴上B．z轴上C．xOz平面内D．yOz平面内解析：点P的纵坐标为0，则点P在平面xOz上．2．y轴上的点的坐标的特点是(C)A．竖坐标是0 B．横坐标是0C．横、竖坐标都是0 D．横、纵坐标都是0解析：y轴上的点的坐标是(0，c，0)．3．在空间直角坐标系中，点(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标是(B)A．(－2，1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1，4) D．(2，1，－4)解析：点P(a，b，c)关于x轴的对称点为P′(a，－b，－c)．4．点M(－2，1，2)在x轴上的射影的坐标为(B)A ．(－2，0，2)B ．(－2，0，0)C ．(0，1，2)D ．(－2，1，0)解析：点M(－2，1，2)在x 轴上的射影的坐标为(－2，0，0)．基础达标1．在空间直角坐标系中，已知点P(x ，y ，z)，那么下列说法正确的是(D )A ．点P 关于x 轴对称的点的坐标是P 1(x ，－y ，z)B ．点P 关于yOz 平面对称的点的坐标是P 2(x ，－y ，－z)C ．点P 关于y 轴对称的点的坐标是P 3(x ，－y ，z)D ．点P 关于原点对称的点的坐标是P 4(－x ，－y ，－z)2．点A(－1，2，1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为(B ) A ．(－1，0，1)，(－1，2，0)B ．(－1，0，0)，(－1，2，0)C ．(－1，0，0)，(－1，0，0)D ．(－1，2，0)，(－1，2，0)解析：点A(－1，2，1)在x 轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1，0，0)，点A(－1，2，1)在xOy 平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1，2，0)．3．点P(1，1，1)关于xOy 平面的对称点为P 1，则点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是(B )A ．(1，1，－1)B ．(－1，－1，－1)C ．(－1，－1，1)D ．(1，－1，1)解析：P 1(1，1，－1)，P 2(－1，－1，－1)．4．已知等腰直角△OAB 的直角顶点A 的坐标为(0，1，0)，其中O 为坐标原点，顶点B 在坐标平面内，则B 的坐标为(C )A ．(0，1，1)B ．(1，1，0)C ．(0，1，1)或(1，1，0)D ．(－1，－1，0)解析：当B 在平面yOz 上时，B 的坐标为(0，1，1)，当B 的坐标在平面xOy 上时，B 的坐标为(1，1，0)．5．在xOy 平面内有两点A(－2，4，0)，B(3，2，0)，则AB 的中点坐标是________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋32，4＋22，0＋02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，0 6．已知A(3，5，－7)和B(－2，4，3)，则线段AB 在坐标平面yOz 上的射影的长度为________．答案：1017．已知一长方体ABCDA 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个平面分别平行于三个坐标平面，顶点A 的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．解析：∵A(－2，－3，－1)，根据长方体各顶点的对称关系，不难求得B(－2，3，－1)，C(2，3，－1)，D(2，－3，－1)．将A、B、C、D分别关于平面xOy对称，可得到A1(－2，－3，1)，B1(－2，3，1)，C1(2，3，1)，D1(2，－3，1)．巩固提升8．在空间直角坐标系中，作出点A(2，2，－1)，B(－3，2，－4)，并判断直线AB与坐标平面xOz的关系．解析：作出点A可按以下步骤进行：先在x轴上作出横坐标是2的点A1，再将点A1沿与y轴平行的方向向右移动2个单位得到A2，然后将A2沿与z轴平行的方向向下移动1个单位得到点A.作出点B可按以下步骤进行：先在x轴上作出横坐标是－3的点B1，再将点B1沿与y轴平行的方向向右移动2个单位得到B2，然后将B2沿与z轴平行的方向向下移动4个单位得到点B.由于A、B两点的纵坐标都是2，则A、B两点到坐标平面xOz的距离都是2，且都在坐标平面xOz的同侧，所以AB平行于坐标平面xOz.9．VABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．解析：以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系∵V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零，∴点V的坐标是(0，0，3)．而A、B、C、D都在xOy平面上，∴它们的竖坐标都是零．又|AB|＝2，∴A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，V(0，0，3)．10．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形．且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，|PD|＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．解析：由图知：DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA.故以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵E，F，G，H分别是侧棱的中点，则可易知平面EFGH∥平面ABCD.从而这四点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，即为b.由H为DP的中点，得H(0，0，b)，E在底面ABCD上的投影为AD的中点，∴E(a，0，b)，同理G(0，a，b)．F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G，故F与E横坐标相同，F与G纵坐标相同．∴F(a，a，b)．1．对空间直角坐标系的理解．(1)三条轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；(2)一般情况下建立的坐标系是右手直角坐标系，即让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向．2．点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点的问题有口诀：“关于谁对称谁不变，其他的互为相反数”。

4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系基础过关练题组一空间直角坐标系1.点M(a,b,0),N(0,a,b),P(a,0,b)分别在平面( )A.xOy,yOz,xOz上B.yOz,xOy,xOz上C.xOz,yOz,xOy上D.xOy,xOz,yOz上2.点A(-1,2,1)在x轴上的射影和在xOy平面上的射影的坐标分别为( )A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)3.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则四边形AA1B1B对角线的交点坐标为( )A.(0,12,12) B.(12,0,12)C.(12,12,0) D.(12,12,12)4.(2019湖北荆州高一期末)设A(1,-1,1),B(3,1,5),则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是( )A.在y轴上B.在xOy平面内C.在xOz平面内D.在yOz平面内5.设z是任意实数,相应的点P(2,2,z)运动的轨迹是( )A.一个平面B.一条直线C.一个圆D.一个球6.(2019河南禹州高一期中)如图,棱长为√2的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的x轴,y轴,z轴上,则顶点D的坐标为( )A.(1,1,1)B.(√2,√2,√2)C.(√3,√3,√3)D.(2,2,2)题组二空间中点的对称问题7.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于z轴对称D.关于原点对称8.在空间直角坐标系中,已知点M(a,b,c).给出下列命题:①点M关于x轴对称的点M1的坐标为(a,-b,c);②点M关于yOz平面对称的点M2的坐标为(a,-b,-c);③点M关于y轴对称的点M3的坐标为(a,-b,c);④点M关于原点对称的点M4的坐标为(-a,b,-c).其中真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.09.(2019安徽天长关塘中学高一期末)在空间直角坐标系Oxyz中,点(-1,2,-4)关于原点O对称的点的坐标为.10.(2019四川阆中中学高二期中)点P(-3,2,1)关于点Q(1,2,-3)对称的点M的坐标为.11.(2019江苏高二期末)在空间中,点(3,4,5)关于x轴对称的点的坐标为.12.(2019四川雅安中学高二月考)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是.能力提升练一、选择题1.(2019陕西高一期末,★★☆)点P(a,b,c)到坐标平面yOz的距离是( )B.|a|C.|b|D.|c|A.492.(★★☆)在空间直角坐标系中,点P(2,3,4)和点Q(-2,-3,-4)的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于yOz平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对3.(★★☆)设x,y为任意实数,则相应的所有点P(x,y,3)的集合是( )A.z轴上的两个点B.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的直线C.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的平面D.以上答案都有可能4.(★★☆)设y∈R,则点P(1,y,2)构成的集合为( )A.垂直于xOz平面的一条直线B.平行于xOz平面的一条直线C.垂直于y轴的一个平面D.平行于y轴的一个平面5.(★★☆)点A(2,3-μ,-1+v)关于x轴对称的点为A'(λ,7,-6),则( )A.λ=-2,μ=-1,v=-5B.λ=2,μ=-4,v=-5C.λ=2,μ=10,v=8D.λ=2,μ=10,v=76.(2018四川成都外国语学校高一上期中,★★☆)已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9,-3,4)、B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( )A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.xOz或yOz平行7.(★★☆)在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A.(4,0,6)B.(-4,7,-6)C.(-4,0,-6)D.(-4,7,0)二、填空题8.(★★☆)已知平行四边形ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为.9.(★★☆)已知三角形ABC的三个顶点A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4),则三角形的重心的坐标为.10.(★★☆)若点P(a,b,c)既在平面xOy内,又在平面yOz内,则a+c= .11.(2019云南高一期末,★★☆)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AD=4,AB=6,如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则该长方体的中心M的坐标为.三、解答题12.(★★☆)四面体PABC中,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=2,PC=1,E为线段AB的中点,建立适当的空间直角坐标系,并写出P、A、B、C、E的坐标.13.(★★☆)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5√2,侧棱长为13,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.14.(★★☆)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的空间直角坐标系,并写出各点的坐标.答案全解全析 基础过关练1.A 根据xOy 平面上的点,竖坐标为0,yOz 平面上的点的横坐标为0,xOz 平面上的点的纵坐标为0,知M(a,b,0)在xOy 平面上,N(0,a,b)在yOz 平面上,P(a,0,b)在xOz 平面上.故选A.2.B 在空间直角坐标系中,点在某坐标轴或坐标平面上的射影满足下列条件:与坐标轴或坐标平面对应的坐标不变,其他的坐标为0.故选B.3.B 如图,四边形AA 1B 1B 对角线的交点的横坐标为线段AB 的中点的横坐标,竖坐标为线段AA 1的中点的竖坐标,纵坐标为0,所以四边形AA 1B 1B 对角线的交点坐标为(12,0,12).故选B.4.C ∵A(1,-1,1),B(3,1,5),∴线段AB 的中点为(2,0,3).∵线段AB 中点的纵坐标为0,∴此点是xOz 平面内的点.故选C.5.B 轨迹是过点(2,2,0)且与z 轴平行的一条直线.6.A 因为AB=BC=AC=√2,所以OA=OB=OC=1,将正四面体ABCD 放入正方体中,如图所示,所以点D 的坐标为(1,1,1).故选A.7.B 由A,B 两点的横坐标、竖坐标均互为相反数,纵坐标相同可知A,B 关于y 轴对称. 8.D ①点M 关于x 轴对称的点M 1的坐标为(a,-b,-c),故命题①错误; ②点M 关于yOz 平面对称的点M 2的坐标为(-a,b,c),故命题②错误; ③点M 关于y 轴对称的点M 3的坐标为(-a,b,-c),故命题③错误;④点M 关于原点对称的点M 4的坐标为(-a,-b,-c),故命题④错误.故选D. 9.答案 (1,-2,4) 10.答案 (5,2,-7)解析 设M(x,y,z),因为点P 关于点Q 对称的点为M,所以Q 是线段MP 的中点,所以{ x -32=1,y+22=2,z+12=-3,解得{x =5,y =2,z =-7,所以M(5,2,-7).11.答案 (3,-4,-5)解析 在空间中,点关于x 轴对称的点:横坐标不变,纵坐标、竖坐标取相反数. 点(3,4,5)关于x 轴对称的点的坐标为(3,-4,-5). 12.答案 (√3,-1,2)解析 ∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都是2,∴B(√3,1,0),∴顶点B 1的坐标是(√3,1,2),则其关于xAz 对称的点的坐标为(√3,-1,2).能力提升练一、选择题1.B 由题意可知点P(a,b,c)到坐标平面yOz 的距离是|a|,故选B.2.C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均互为相反数,故它们关于坐标原点对称.3.C 由于点P 的竖坐标为定值3,故当x,y∈R 时,点P 组成的集合为过点(0,0,3)且与z 轴垂直的平面.4.A 由空间直角坐标系的定义,易知点P(1,y,2)(y∈R)构成的集合为垂直于xOz 平面的一条直线.5.D 由对称性知{λ=2,3-μ=-7,-1+v =6,解得{λ=2,μ=10,v =7.6.C ∵线段AB 的两个端点的横坐标相等,纵坐标和竖坐标不等,故线段AB 与坐标平面yOz 平行.7.C 点M 关于y 轴对称的点是M'(-4,7,-6),点M'在xOz 平面上的射影的坐标为(-4,0,-6).二、填空题8.答案 (5,13,-3)解析 设平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为P,则点P 为AC,BD 的中点.由A(4,1,3),C(3,7,-5),得点P 的坐标为(72,4,-1).又点B(2,-5,1),所以点D 的坐标为(5,13,-3). 9.答案 (23,1,43)解析 设重心坐标为(x,y,z).由题意得x=2+0+03=23,y=0+3+03=1,z=0+0+43=43.10.答案 0解析 点P 在平面xOy 和平面yOz 的交线上,即y 轴上,由y 轴上点的坐标特征知a=0,c=0,b∈R,所以a+c=0. 11.答案 (2,3,1)解析 由题意得B(4,6,0),D 1(0,0,2),因为M 点是线段BD 1的中点,所以点M 的坐标为(2,3,1).三、解答题12.解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1),又因为点E 是线段AB 的中点,所以点E 的坐标是(1,1,0).13.解析 若建立如图(1)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A (5√22,-5√22,0),B (5√22,5√22,0),C (-5√22,5√22,0),D (-5√22,-5√22,0).若建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A(5,0,0),B(0,5,0),C(-5,0,0),D(0,-5,0).14.解析 如图所示,取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1,连接BO 、OO 1,可得BO⊥AC,BO⊥OO 1,分别以OB,OC, OO 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.因为各棱长均为1,所以|OA|=|OC|=|O 1C 1|=|O 1A 1|=12,|OB|=√32,因为A,B,C 均在坐标轴上,所以A (0,-12,0),B (√32,0,0),C (0,12,0).因为点A 1,B 1,C 1在xOy 平面内的正投影分别为点A,B,C,且BB 1=1,所以A 1(0,-12,1),B 1(√32,0,1),C 1(0,12,1).。

课时作业29 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点P (1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为( )A ．(－1,2,3)B ．(1，－2，－3)C ．(－1，－2,3)D ．(－1,2，－3) 2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( ) A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5) 3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )A ．(2,2,1)B ．(2,2，23)C ．(2,2，13) D ．(2,2，43) 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( ) A ．9 B.29 C ．5D ．2 6 5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( ) A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 6 6．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 7．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝10.8．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为．9．已知空间点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则点A 到平面yOz 的距离是.10.如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．11．(1)已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)，①在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．12．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62 B. 3 C.32 D.6313．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 在( )A ．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于2393. 15．在空间直角坐标系中，已知点A (3,0,1)和B (1,0，－3)，试问：(1)在y 轴上是否存在点M 满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使得△MAB 为等边三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，课时作业29 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点P (1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为( B )A ．(－1,2,3)B ．(1，－2，－3)C ．(－1，－2,3)D ．(－1,2，－3)解析：关于x 轴对称，横坐标不变． 2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( A )A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5)C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5)解析：关于yOz 平面对称，y ，z 不变．3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( D )A ．(2,2,1)B ．(2,2，23)C ．(2,2，13) D ．(2,2，43) 解析：∵EB ⊥xOy 平面，而B (2,2,0)，故设E (2,2，z )，又因|EB |＝2|EB 1|， 所以|BE |＝23|BB 1|＝43， 故E (2,2，43)． 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( B )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6 解析：由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29.5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( B )A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 6 解析：|AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2＝5a 2＋10a ＋59＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54.∴|AB |min ＝54＝3 6.6．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( C )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：由两点间的距离公式得|AB |＝89，|BC |＝14，|AC |＝75，满足|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，故选C.7．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝10.解析：∵点B 的坐标为B (2，－3，－5)，∴|AB |＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10.8．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为(0,0,3)．解析：设P (0,0，c )，由题意得(0－1)2＋(0＋2)2＋(c －1)2 ＝(0－2)2＋(0－2)2＋(c －2)2解之得c ＝3，∴点P 的坐标为(0,0,3)．9．已知空间点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则点A 到平面yOz 的距离是2或6.解析：∵|AB |＝26，∴(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝24，即(x －2)2＝16，∴x ＝－2或x ＝6，∴点A 到平面yOz 的距离为2或6.10.如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．解：点A 在x 轴上，且OA ＝1，∴A (1,0,0)．同理，O (0,0,0)，C (0,2,0)，O 1(0,0,3)．B 在xOy 平面内，且OA ＝1，OC ＝2，∴B (1,2,0)．同理，C 1(0,2,3)，A 1(1,0,3)，B 1(1,2,3)．∴O 1B 1的中点P 的坐标为(12，1,3)． 11．(1)已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)，①在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．解：(1)①设P (a,0,0)，则由已知得(a －1)2＋(－2)2＋12＝(a －2)2＋4，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P 点坐标为(1,0,0)．②设M (x,0，z )，则有(x －1)2＋(－2)2＋(z ＋1)2 ＝(x －2)2＋(z －2)2，整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0.故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线．(2)由已知，可设M (x,1－x,0)，则|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51.所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M (1,0,0)．12．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( A ) A.62 B. 3 C.32 D.63解析：设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62. 13．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 在( C )A ．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定解析：(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2的几何意义是动点P (x ，y ，z )到定点(1,1，－1)的距离为2的点的集合．故选C.14．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于2393. 解析：设正方体的棱长为a ，由|AM |＝9＋4＋0＝13可知，正方体的体对角线长为3a ＝213，故a ＝2133＝2393. 15．在空间直角坐标系中，已知点A (3,0,1)和B (1,0，－3)，试问：(1)在y 轴上是否存在点M 满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使得△MAB 为等边三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)假设在y 轴上存在点M 满足|MA |＝|MB |.由点M在y轴上，可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然此式对任意y∈R恒成立，故y轴上所有的点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使得△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任意一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB为等边三角形．因为|MA|＝(3－0)2＋(0－y)2＋(1－0)2＝10＋y2，|AB|＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，所以10＋y2＝20，解得y＝±10.故在y轴上存在点M使得△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。

4.3 空间直角坐标系[课时作业] [A 组 基础巩固]1．给出下列说法：(1)在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )；(2)在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可以写成(0，b ，c )；(3)在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )；(4)在空间直角坐标系中，在xOz 轴上的点的坐标可记作(a,0，c )．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：由空间直角坐标系的概念可知，(1)错，(2)(3)(4)正确． 答案：C2．点M (－2,1,2)在x 轴上的射影的坐标为( ) A ．(－2,0,2) B ．(－2,0,0) C ．(0, 1,2)D ．(－2,1,0)解析：点M (－2,1,2)在x 轴上的射影的坐标为(－2,0,0)． 答案：B3．在空间直角坐标系中，点P (1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A ．(－1,2,3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2,3)D ．(－1,2，－3)解析：点关于x 轴对称，横坐标不变，其他符号相反． 答案：B4．若点P (x,2,1)到M (1,1,2)，N (2,1,1)的距离相等，则x ＝( ) A.12B ．1 C.32D ．2解析：由空间两点间距离公式可得－＋－＋－＝－＋－＋－，解得x ＝1.答案：B5．以正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1解析：画出图形(图略)即知CC 1的中点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.答案：C6．已知A (1,2,1)，B (2,2,2)．若点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________． 解析：设点P (0,0，z )，由已知得12＋22＋－＝22＋22＋－，解得z ＝3，故点P 的坐标为(0,0,3)． 答案：(0,0,3)7．以原点为球心，以5为半径的球面上的动点P 的坐标为P (x ，y ，z )，则x ，y ，z 满足关系式________．解析：由空间两点间距离公式可得x 2＋y 2＋z 2＝25. 答案：x 2＋y 2＋z 2＝258．如图是一个正方体截下的一角P ­ABC ，其中|PA |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c .建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是____________．解析：由题知，A (a,0,0)，B (0， b,0)，C (0,0，c )，由重心坐标公式得G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c 3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3，c 3 9.如图所示，正方体ABCD ­A1B 1C 1D 1的棱长为a . (1)求B 1关于平面xOy 对称的点的坐标； (2)求B 1关于z 轴对称的点的坐标； (3)求B 1关于原点对称的点的坐标． 解析：∵正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ， ∴易求得点B 1的坐标为(a ，a ，a )．(1)B 1关于平面xOy 对称的点的坐标为(a ，a ，－a )； (2)B 1关于z 轴对称的点的坐标为(－a ，－a ，a )； (3)B 1关于原点对称的点的坐标为(－a ，－a ，－a )．10．已知点A (0,1,0)、B (－1,0，－1)、C (2,1,1)，若点P (x,0，z )满足PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，试求点P 的坐标．解析：∵PA ⊥AB ，∴△PAB 为直角三角形， ∴|PB |2＝|PA |2＋|AB |2，即(x ＋1)2＋(z ＋1)2＝x 2＋1＋z 2＋1＋1＋1， 即x ＋z ＝1.①又∵PA ⊥AC ，∴△PAC 为直角三角形， ∴|PC |2＝|PA |2＋|AC |2，即(x －2)2＋1＋(z －1)2＝x 2＋1＋z 2＋4＋0＋1， 即2x ＋z ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，z ＝2，∴点P 的坐标为P (－1,0,2)．[B 组 能力提升]1．在yOz 平面上求与点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)等距离的点P 的坐标为( ) A ．(1,0，－2) B ．(0,1，－2) C ．(－2,1,0)D ．(0，－2,1)解析：设P (0，y ，z )，由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PA|＝|PC|，|PB|＝|PC|，所以⎩⎨⎧－＋－＋－＝－＋－＋－，－＋＋＋＋＝－＋－＋－，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －z －6＝0，7y ＋3z －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝－2，所以点P 的坐标为(0,1，－2)． 答案：B2．一束光线自点P (1,1,1)关于xOy 平面反射到达点Q (3,3,6)被吸收，那么光线所走的路程是( )A.37B.47C.33D.57解析：P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点为P ′(1,1，－1)，∴|P ′Q |＝－＋－＋＋＝57.答案：D3.如图，三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD＝2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为( ) A.2B. 3 C ．2 D. 5解析：过点C 作CM ∥AB ，以C 为坐标原点，CD 所在的直线为x 轴，CB所在的直线为y 轴，CM 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则D (2,0,0)，E (1,0,0)，A (0,1,1)，∴AE ＝ 12＋12＋12＝ 3. 答案：B4．在空间直角坐标系中，xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上的点M 为________时，M 到点N (6,5,1)的距离最小，最小值为________． 解析：设点M (x,1－x,0)，则 |MN |＝－＋－x －＋－＝－＋51.故当x ＝1时，|MN |min ＝51，对应的点M 1(1,0,0)． 答案：(1,0,0) 515.如图所示，已知正四面体A ­BCD 的棱长为1，E ，F 分别为棱AB 、CD 的中点．(1)建立适当的空间直角坐标系，写出顶点A ，B ，C ，D 的坐标． (2)求EF 的长．解析：(1)设底面正三角形BCD 的中心为点O ，连接AO ，DO ，延长DO 交BC于点M ，则AO ⊥平面BCD ，M 是BC 的中点，且DM ⊥BC ，过点O 作ON ∥BC ，交CD 于点N ，则ON ⊥DM ，故以O 为坐标原点，OM ，ON ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵正四面体A ­BCD 的棱长为1，O 为底面△BCD 的中心． ∴OD ＝23·DM ＝231－14＝33，OM ＝13DM ＝36. OA ＝AD2－DO2＝1－39＝63. ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫36，－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫36，12，0， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，0. (2)由(1)及中点坐标公式得E ⎝⎛⎭⎪⎫312，－14，66，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－312，14，0， ∴|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－362＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－662＝22. 6.如图所示，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O ­xyz ，点P 在对角线AB 上运动，点Q 在棱CD 上运动．(1)当P 是AB 的中点，且2|CQ |＝|QD |时，求|PQ |的值；(2)当Q 是棱CD 的中点时，试求|PQ |的最小值及此时点P 的坐标． 解析：(1)∵正方体的棱长为1，P 是AB 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12. ∵2|CQ |＝|QD |， ∴|CQ |＝13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13.由两点间的距离公式得 |PQ |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－132＝1936＝196. (2)如图所示，过点P 作PE ⊥OA 于点E ，则PE 垂直于坐标平面xOy .设点P 的横坐标为x ，则由正方体的性质可得点P 的纵坐标也为x ，由正方体的棱长为1，得|AE |＝2(1－x )．∵|AE||AO|＝|PE||BO|， ∴|PE |＝2－2＝1－x ，∴P (x ，x,1－x )． 又∵Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∴|PQ |＝ －＋－＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x 2＝3x2－3x ＋54＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12. ∴当x ＝12时，|PQ |min ＝22，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，即P 为AB 的中点时，|PQ |的值最小，最小值为22.。

第四章 4.3 4.3.1 4.3.2 空间直角坐标系A级基础巩固一、选择题1．下列命题中错误的是(A)A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)D．在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)[解析]空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．2．在空间直角坐标系中，点M(3,0,2)位于(C)A．y轴上B．x轴上C．xOz平面内D．yOz平面内[解析]由x＝3，y＝0，z＝2可知点M位于xOz平面内．3．(2016～2017·襄阳高一检测)若已知点M(3,4,1)，点N(0,0,1)，则线段MN的长为(A)A．5B．0C．3D．1[解析]|MN|＝3－02＋4－02＋1－12＝5.4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为(C)A．(3,0,0)B．(0,3,0) C．(0,0,3)D．(0,0，－3)[解析]设P(0,0，z)，则有12＋－22＋z－12＝22＋22＋z－22，解得z＝3.5．点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是(B)A．(1,2,3)B．(－1，－2,3)C．(－1,2，－3)D．(1，－2，－3)[解析]点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是(－1，－2,3)，故选B．6．已知点A(－3,1,5)与点B(4,3,1)，则AB的中点坐标是(B)7 1 1 4A．( ，1，－2)B．( ，2,3) C．(－12,3,5)D．( ，，2)2 23 3二、填空题7．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO13 的交点，则M点的坐标是__ (1，，1) __.213[解析]由长方体性质可知，M为OB1中点，而B1(2,3,2)，故M(1，，1)．21 58．在△ABC中，已知A(－1,2,3)、B(2，－2,3)、C( ，，3)，则AB边上的中线CD的长2 25是__ __.21[解析]AB中点D坐标为( ，0,3)，21 1 5 5|CD|＝－2＋－02＋3－32＝.2 2 2 2三、解答题9．已知点A(x,5－x,2x－1)、B(1，x＋2,2－x)，求|AB|的最小值.[解析]∵|AB|＝x－12＋3－2x2＋3x－328 5 35＝14x2－32x＋19＝14x－2＋≥，7 7 78 35当x＝时，|AB|取最小值.7 710．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出点D、N、M的坐标；(2)求线段MD、MN的长度．[解析](1)因为D是原点，则D(0,0,0)．由AB＝BC＝2，D1D＝3，得A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、B1(2,2,3)、C1(0,2,3)．∵N是AB的中点，∴N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)．(2)由两点间距离公式，得|MD|＝1－02＋2－02＋3－02＝14，2|MN|＝1－22＋2－12＋3－02＝11.B级素养提升一、选择题1．(2016·大同高一检测)空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为30的点有(A)A．2个B．1个C．0个D．无数个[解析]设x轴上满足条件的点为B(x,0,0)，则由|PB|＝30，得x－42＋0－12＋0－22＝30.解之得x＝－1或9.故选A．2．正方体不在同一面上的两顶点A(－1,2，－1)、B(3，－2,3)，则正方体的体积是(C)A．16B．192C．64D．48[解析]|AB|＝3＋12＋－2－22＋3＋12＝4 3，4 3 ∴正方体的棱长为＝4.3∴正方体的体积为43＝64.3．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，－2,11)、B(4,2,3)、C(6，－1,4)，则△ABC是( A)A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形[解析]由两点间距离公式得|AB|＝89，|AC|＝75，|BC|＝14，满足|AB|2＝|AC|2＋|BC|2.84．△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－，2,3)，则它在yOz平面上射影图3形的面积是(D)A．4B．3C．2D．1[解析]△ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0,1,1)、B′(0,2,1)、C′(0,2,3)，△ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形A′B′C′，容易求出它的面积为1.二、填空题3 55．已知P( ，，z)到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)、B(－2,4,3)，则z＝__02 2或－4__.1 9[解析]利用中点坐标公式可得AB中点C( ，，－2)，因为|PC|＝3，所以2 233 1 5 9－2＋－2＋[z－－2]2＝3，解得z＝0或z＝－4.2 2 2 26．在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为2 39(0,1,2)，则该正方体的棱长为__ __.3[解析]|AM|＝3－02＋－1－12＋2－22＝13，∴对角线|AC1|＝2 13，2 39设棱长x，则3x2＝(2 13)2，∴x＝.3C级能力拔高1.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过点B1作B1E⊥BD1于点E，求A、E 两点之间的距离.[解析]根据题意，可得A(a,0,0)、B(a，a,0)、D1(0,0，a)、B1(a，a，a)．过点E作EF⊥BD于F，如图所示，则在Rt△BB1D1中，|BB1|＝a，|BD1|＝3a，|B1D1|＝2a，a· 2a6a 所以|B1E|＝＝，3a33所以Rt△BEB1中，|BE|＝a32 a2a2a 由Rt△BEF∽Rt△BD1D，得|BF|＝a，|EF|＝，所以点F的坐标为( ，，0)，3 3 3 32a2a a则点E的坐标为( ，，)．3 3 3由两点间的距离公式，得2a2a a 6|AE|＝a－2＋0－2＋0－2＝a，3 3 3 36所以A、E两点之间的距离是a.32．如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E、F分别为BC、CD的中点．已知|AB| ＝2，|VO|＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标.4[解析]∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)、A(－1，－1，0)、D(－1,1,0)．∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．5。

第四章4.3 空间直角坐标系4.3.1、2 空间直角坐标系、空间两点间的距离公式基础巩固一、选择题1．下列命题中错误的是( )A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)D．在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)[答案] A[解析] 空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．2．在空间直角坐标系中，点M(3,0,2)位于( )A．y轴上B．x轴上C．xOz平面内D．yOz平面内[答案] C[解析] 由x＝3，y＝0，z＝2可知点M位于xOz平面内．3．在空间直角坐标系中，点P(2,3，－5)到原点的距离是( )A．6 B．10C．38 D．34[答案] C[解析] 由两点间距离公式得2－0 2＋ 3－0 2＋ －5－0 2＝38.4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为( )A．(3,0,0) B．(0,3,0)C．(0,0,3) D．(0,0，－3)[答案] C[解析] 设P(0,0，z)，则有12＋ －2 2＋ z－1 2＝22＋22＋ z－2 2，解得z ＝3.5．点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是( )A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)C ．(－1,2，－3)D ．(1，－2，－3)[答案] B6．已知点A (－3,1,5)与点B (4,3,1)，则AB 的中点坐标是( ) A ．(72，1，－2)B ．(12，2,3)C ．(－12,3,5)D ．(13，43，2)[答案] B 二、填空题7．如图所示，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是________.[答案] (1，32，1)[解析] 由长方体性质可知，M 为OB 1中点，而B 1(2,3,2)，故M (1，32，1)．8．在△ABC 中，已知A (－1,2,3)，B (2，－2,3)，C (12，52，3)，则AB 边上的中线CD的长是________.[答案] 52[解析] AB 中点D 坐标为(12，0,3)，|CD |＝12－12 2＋ 52－0 2＋ 3－3 2＝52. 三、解答题9．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，若点P (x,0，z )满足PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，试求点P 的坐标．[解析] 因为PA ⊥AB ，所以△PAB 是直角三角形，所以|PB |2＝|PA |2＋|AB |2，即(x ＋1)2＋(z ＋1)2＝x 2＋1＋z 2＋1＋1＋1，整理得x ＋z ＝1①同理，由PA ⊥AC 得|PC |2＝|PA |2＋|AC |2，即(x －2)2＋1＋(z －1)2＝x 2＋1＋z 2＋4＋1，整理得2x ＋z ＝0 ②由①②解得x ＝－1，z ＝2，所以点P 的坐标为P (－1,0,2)．10．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．[分析] (1)D是原点，先写出A，B，B1，C1的坐标，再由中点坐标公式得M，N的坐标；(2)代入空间中两点间距离公式即可．[解析] (1)因为D是原点，则D(0,0,0)．由AB＝BC＝2，D1D＝3，得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．∵N是AB的中点，∴N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)．(2)由两点间距离公式，得|MD|＝ 1－0 2＋ 2－0 2＋ 3－0 2＝14，|MN|＝ 1－2 2＋ 2－1 2＋ 3－0 2＝11.能力提升一、选择题1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面的上投影点的坐标分别为( ) A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0)C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0)[答案] B[解析] 点A(－1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)．点A(－1,2,1)在xOy平面上的投影点的横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．2．正方体不在同一平面上的两顶点A(－1,2，－1)、B(3，－2,3)，则正方体的体积是( )A．16 B．192C．64 D．48[答案] C[解析] |AB |＝ 3＋1 2＋ －2－2 2＋ 3＋1 2＝43， ∴正方体的棱长为433＝4.∴正方体的体积为43＝64.3．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形[答案] A[解析] 由两点间距离公式得|AB |＝89，|AC |＝75，|BC |＝14，满足|AB |2＝|AC |2＋|BC |2.4．△ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－83，2,3)，则它在yOz 平面上射影图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] D[解析] △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A ′(0,1,1)，B ′(0,2,1)，C ′(0,2,3)，△ABC 在yOz 平面上的射影是一个直角三角形A ′B ′C ′，容易求出它的面积为1.二、填空题5．已知P (32，52，z )到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z＝________.[答案] 0或－4[解析] 利用中点坐标公式可得AB 中点C (12，92，－2)，因为|PC |＝3，所以32－12 2＋ 52－922＋[z － －2 ]2＝3，解得z ＝0或z ＝－4. 6．在空间直角坐标系中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________.[答案]2393[解析] |AM |＝ 3－0 2＋ －1－1 2＋ 2－2 2＝13，∴对角线|AC 1|＝213，设棱长x ，则3x 2＝(213)2，∴x ＝2393.三、解答题7.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过点B 1作B 1E ⊥BD 1于点E ，求A 、E 两点之间的距离．[解析] 根据题意，可得A (a,0,0)、B (a ，a,0)、D 1(0,0，a )、B 1(a ，a ，a )． 过点E 作EF ⊥BD 于F ，如图所示， 则在Rt △BB 1D 1中， |BB 1|＝a ，|BD 1|＝3a ， |B 1D 1|＝2a ， 所以|B 1E |＝a ·2a 3a＝6a3，所以Rt △BEB 1中，|BE |＝33a 由Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，得|BF |＝23a ，|EF |＝a 3，所以点F 的坐标为(2a 3，2a3，0)， 则点E 的坐标为(2a 3，2a 3，a3)．由两点间的距离公式，得 |AE |＝a －2a 3 2＋ 0－2a 3 2＋ 0－a 3 2＝63a ，所以A 、E 两点之间的距离是63a . 8．如下图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在面对角线A 1B 上，点Q 在面对角线B 1C 上．(1)当点P 是面对角线A 1B 的中点，点Q 的面对角线B 1C 上运动时，求|PQ |的最小值；(2)当点Q 是面对角线B 1C 的中点，点P 在面对角线A 1B 上运动时，求|PQ |的最小值； (3)当点P 在面对角线A 1B 上运动，点Q 在面对角线B 1C 上运动时，求|PQ |的最小值． [分析] 建立直角坐标系后，表示出相关点的坐标.(1)确定点P 坐标，根据条件设出点Q 坐标，表示出|PQ |，用二次函数求最值． (2)确定点Q 坐标，根据条件设出点P 坐标，表示出|PQ |，用二次函数求最值． (3)设出P ，Q 两点坐标，表示出|PQ |，利用配方后非零数的和平方最小的条件确定P ，Q 的坐标．[解析] 由已知，以顶点D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如右图所示的空间直线坐标系Dxyz .∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴可得点A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)． (1)∵点P 是面对角线A 1B 的中点， ∴由射影的概念可得P (1，12，12)．又点Q 在面对角线B 1C 上运动， ∴可设点Q (b,1，b )，b ∈[0,1]． 由两点间的距离公式得 |PQ |＝ 1－b 2＋ 12－1 2＋ 12－b 2＝2b 2－3b ＋32＝2 b －34 2＋38.∴当b ＝34时，|PQ |取得最小值64，此时点Q (34，1，34)．(2)∵点Q 是面对角线B 1C 的中点， ∴由射影的概念可得Q (12，1，12)．又点P 在面对角线A 1B 上运动， ∴可设点P (1，a,1－a )，a ∈[0,1]． 由两点间的距离公式得|PQ |＝ 1－12 2＋ a －1 2＋ 1－a －122＝ 12 2＋ a －1 2＋ 12－a 2＝2a 2－3a ＋32＝2 a －34 2＋38.∴当a ＝34时，|PQ |取得最小值64，此时点P (1，34，14)．(3)∵点P 在面对角线A 1B 上运动，点Q 在面对角线B 1C 上运动， ∴可设点P (1，a,1－a )，Q (b,1，b )，a ，b ∈[0,1]． 由两点间的距离公式得|PQ |＝ 1－b 2＋ a －1 2＋ 1－a －b 2＝2a 2＋2b 2－4a －4b ＋2ab ＋3 ＝2 a ＋b 2－1 2＋32 b －23 2＋13.∴当b ＝23时，代入a ＋b 2－1＝0得a ＝23，即当a ＝b ＝23时，|PQ |取得最小值33，此时点P (1，23，13)，Q (23，1，23)．。