二次函数的存在性问题(面积)及答案

二次函数存在性问题一、存在三角形：1、如图，已知抛物线y=－x 2+2x+3交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。

（1）求点A 、B 、C 的坐标。

（2）若点M 为抛物线的顶点，连接BC 、CM 、BM ，求△BCM 的面积。

（3）连接AC ，在x 轴上是否存在点P 使△ACP 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，直线AC ：1y x =--与抛物线24y ax bx =+-都经过点(1,0)A -、(3,4)B -．（1）求抛物线的解析式；（2） 动点P 在线段AC 上，过点P 作x 轴的垂线与抛物线相交于点E ，求线段PE 长度的最大值； （3） 当线段PE 的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q ，使△PCQ 是以PC 为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在．请说明理由．3、已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA<OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图11）。

（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式。

（4分） （2）如图12，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m >0，n >0），连接DP 交BC 于点E 。

①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标。

（3分） ②又连接CD 、CP （如图13），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没 有，请说明理由。

（3分）图11A B O C 图9 yx P E 图12 图13二、 存在四边形：1、如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． （1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上， 问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在， 求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．3、如图，在平面直角坐标系中CDA Rt AOB Rt ∆≅∆,且)2,0(),0,1(B A -抛物线22-+=ax ax y 经过点C 。

专题13 二次函数中角度、面积及平行四边形存在性问题题型一、角度及平行四边形存在性问题1. （2019·湖北咸宁中考）如图，在平面直角坐标系中，直线221+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线c bx x y ++-=221经过A ,B 两点且与x 轴的负半轴交于点C . （1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD =2∠BAC 时，求点D 的坐标；（3）已知E ,F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ,O ,E ,F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）在122y x =-+中，y =0时，x =4；x =0时，y =2， 即A (4,0)，B (0,2),将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，得：8402b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：b =32，c =2， 即抛物线解析式为：213222y x x =-++. （2）如图，过点B 作BE ∥x 轴交抛物线于点E ，过D 作DF ⊥BE 于F ，∴∠BAC =∠ABE ，∵∠ABD =2∠BAC ， ∴∠ABD =2∠ABE ， 即∠DBE =∠BAC ，设点D 的坐标为（x ，213222x x -++），则BF =x ，DF =21322x x -+， ∵tan ∠DBE =DF BF , tan ∠BAC =OBOA,∴DF BF =OB OA，即2132224x x x -+=， 解得：x =0（舍）或x =2， 即点D 的坐标为：（2,3）. （3）B （0,2）,O （0,0）设E 点坐标为（m ，122m -+），F 点坐标为（n ，213222n n -++）， ①若四边形BOEF 是平行四边形，则2113222222m n m n n =⎧⎪⎨-+=-++⎪⎩，解得：22m n =⎧⎨=⎩， 即E 点坐标为（2，1）；②若四边形BOFE 是平行四边形时，则2131222222m n n n m =⎧⎪⎨-++=-+⎪⎩，解得：2222m m n n ⎧⎧=+=-⎪⎪⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩ 即E点坐标为（2+12-1+； ③若四边形BEOF 是平行四边形时，则2=0131222222m n n n m +⎧⎪⎨-++-+=⎪⎩，解得：2222m m n n ⎧⎧=-+=--⎪⎪⎨⎨=-=+⎪⎪⎩⎩， 即E 点坐标为：（2--3）或（2-+3；综上所述，E 点坐标为：（2，1），（2+1，（2-，1，（2--3），（2-+3.题型二、面积、平行四边形存在性问题2. （2019·山西中考）抛物线y =ax 2+bx +6经过点A (－2,0)，B (4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1<m <4）. 连接AC ，BC ，DB ，DC . （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△BCD 的面积是△AOC 面积的34时，求m 的值. （3）在（2）条件下，若M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形. 若存在，请直接写出M 点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】见解析.【解析】解：（1）将A 、B 两点坐标代入y =ax 2+bx +6得： 426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为：233642y x x =-++.（2）过D 作DE ⊥x 轴于E ，交直线BC 与G ，过C 作CF ⊥DE 交ED 的延长线于F ， 如图所示，由题意知A (－2,0)，即OA =2，C (0，6)，即OC =6，∴△AOC 的面积为：1122OA OC ⋅=×2×6=6，∵△BCD 的面积是△AOC 面积的34， ∴△BCD 的面积为：92， 设直线BC 的解析式为：y =kx +n ，由题意知， 4k +n =0，n =6，解得：k =32-，n =6，即直线BC 的解析式为：y =32-x +6，∴点G 的坐标为（m ，32-m +6），∴DG =233366422m m m ⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭=2334m m -+， ∴S △BCD =12DG OB ⋅=2362m m -+， 即2362m m -+=92，解得：m =1（舍）或m =3，即m 的值为3. （3）存在.由（2）知，B (4,0)，D (3，154), 设M (x ，0)，N (n ，y )，其中y =233642n n -++①当四边形BDMN 是平行四边形时，有：43154x ny +=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，即21533=6442n n --++，解得：n=1或n=1，x即M0），0）； ②当四边形BDNM 是平行四边形时， 有：43154n xy +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即21533=6442n n -++，解得：n =－1或n =3，x =0或4（舍），即M 点坐标为（0，0）；③当四边形BNDM 是平行四边形时， 有：43154n xy +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即21533=6442n n -++，解得：n =－1或n =3，x =8或4（舍），即M 点坐标为（8，0）；综上所述，点M 的坐标为：0），0），（0，0），（8，0）.3. （2019·黑龙江哈尔滨中考）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =34x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线BC 与x 轴交于点C ，且点C 与点A 关于y 轴对称；(1)求直线BC 的解析式；(2)点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 上一点，BQ =AP ，连接PQ ，设点P 的横坐标为t ，△PBQ 的面积为S (S ≠0)，求S 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围).【解析】解：（1）在y =34x +4中，x =0时，y =4；y =0时，x =－3， 即B (0，4)，A (－3,0)， ∵点A 与点C 关于y 轴对称， ∴点C 的坐标为（3,0）， 设直线BC 解析式为：y =kx +b ，430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：443b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即直线BC 的解析式为：y =43-x +4.（2）如图，过点P 作PM ∥y 轴交x 轴于M ，过点Q 作QN ⊥AB 于N ，过C 作CH ⊥AB 于H ，由勾股定理得：AB=BC=5，CH=245，∵P点横坐标为t，∴点P的坐标为（t，43t+4），即AM=3+t，∵PM∥OB，∴AP AMAB AO=，即353AP t+=，∴AP=()533t+=553t+，∴PB=53t -,∵BQ=AP=553t +,∴BQ NQBC CH=，即5532455tNQ+=，∴NQ=24855t+，∴S=15248 2355t t ⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭=2433 32t⎛⎫-++⎪⎝⎭；4. （2019·四川达州中考）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0). （1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，01093b cb c=-++⎧⎨=--+⎩，解得b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝－（x+1）2+4，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）由（1）知：抛物线对称轴为x＝﹣1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，H（﹣1，0），在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，∴tan∠COH＝CHOH＝4，∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，∴当∠ACO＝∠CDO时，tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，如下图所示，当点D在对称轴左侧时，∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴AC AOAD AC=，∵AC ＝AO ＝1， ∴AD ＝20，OD ＝19， ∴D （﹣19，0）；当点D 在对称轴右侧时，点D 关于直线x ＝1的对称点D '的坐标为（17，0）， ∴点D 的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设P （a ，﹣a 2﹣2a +3），设直线PA 的解析式为：y =kx +b ， 将P （a ，﹣a 2﹣2a +3），A （1，0）代入y ＝kx +b ，2230ak b a a k b ⎧+=--+⎨+=⎩， 解得，k ＝﹣a ﹣3，b ＝a +3， ∴y ＝（﹣a ﹣3）x +a +3， 当x ＝0时，y ＝a +3， ∴N （0，a +3）， 如下图所示，∵m =S △BPM ＝S △BPA ﹣S 四边形BMNO ﹣S △AON ，n =S △EMN ＝S △EBO ﹣S 四边形BMNO ， ∴m －n ＝S △BPA ﹣S △EBO ﹣S △AON＝12×4×（﹣a 2﹣2a +3）﹣12×3×3﹣12×1×（a +3） ＝﹣2（a +98）2+8132，∴当a ＝﹣98时，m －n 有最大值8132.题型三、二次函数有关对称性及自定义函数最值研究5.（2019·湖南长沙中考）已知抛物线22(2)(2020)y x b x c =-+-+-(b ，c 为常数)． （1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围. 【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，抛物线的解析式为：()2211y x =--+，=2241x x -+-，∴b －2=4，c －2020=－1， ∴b =6，c =2019.（2）设抛物线上关于原点对称不重合的两点坐标为：（x ，y ）、（－x ，－y ）， 代入解析式有：222(2)(2020)2(2)(2020)y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎨-=---+-⎩， ∴()24220200x c -+-=， 即c =2x 2+2020， ∴c ≥2020.6. （2019·山东临沂中考）一次函数y =kx +4与二次函数y =ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点 （1）求k ，a ，c 的值；（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y =ax 2+c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W =OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）由题意得，k +4=-2， 解得k =-2，二次函数顶点为（0,4）， ∴c =4，把（1,2）代入二次函数表达式得：a +c =2， 解得a =-2（2）由（1）得二次函数解析式为y =-2x 2+4，令y =m ，得2x 2+m -4=0即x=±，设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ）（x 2，m ），则12x x + ∴W =OA 2+BC 2=2224-m m 4=m -2m+8=m-172+⨯+（） ∴当m =1时，W 取得最小值7.。

2012年二次函数存在性问题一、二次函数中有关面积的存在性问题例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；(2）若四边形EAMD 的面积为求直线PD 的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.答案：解：（1）因为抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：()()13y a x x =+-，∵抛物线与y 轴交于点()03C -，，∴()()30103a -=+-， ∴ 1.a =所以，抛物线的函数关系式为：223y x x =--，又()214y x =--，因此，抛物线的顶点坐标为()14-，．(2）连结EM ，∵EA ED 、是M ⊙，的两条切线，∴EA ED EA AM ED MN =⊥⊥，，，∴EAM EDM △≌△又四边形EAMD的面积为∴EAM S =△∴12AM AE =· 又2AM =，∴AE =因此，点E的坐标为(11E -或(21.E --，当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形EAM中，tan EA EMA AM ∠=== ∴60EMA ∠=°，∴60DMB ∠=° 过切点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，∴1MF DF ==， 因此，切点D的坐标为(2．设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，将((12E D -、的坐标代入得2k b k b=+=-+⎪⎩解之，得33k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线PD的函数关系式为33y x =-+当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.同理可求：切点D的坐标为(2，，直线PD的函数关系式为y x = 因此，直线PD 的函数关系式为33y x =-+或33y x =-(3）若四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积 又22EAM DAN AMD EAMD S S S S ==△△△四边形， ∴AMD EAM S S =△△∴E D 、两点到x 轴的距离相等，∵PD 与M ⊙相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，此时切线PD 的函数关系式为2y =或 2.y =-当2y =时，由223y x x =--得，1x =当2y =-时，由223y x x =--得，1x =故满足条件的点P 的位置有4个，分别是()()()1231112P P P ++-、、、()412.P --说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.强化训练★1、（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求(2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点 设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩，故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，易知BN=MN=1， 易求AM BM ==图2122ABM S =⨯= ；设2(,4)P x x -，依题意有：214422AD x -=⨯ ，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：x =±0x =，故 符合条件的P 点有三个：1234),(4),(0,4)P P P --★2、．矩形OBCD 在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O (0，0)、B (0，3)、D (－2，0)，直线AB 交x 轴于点A (1，0)．(1)求直线AB 的解析式；(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E 的坐标；(3)过点E 作x 轴的平行线EF 交AB 于点F ．将直线AB 沿轴向右平移2个单位，与x 轴交于点G ，与EF 交于点H ．请问过A 、B 、C 三点的抛物线上是否存在点P ，使得S △P AG ＝3 4S △PEH．若存在，求点P二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题例2 (2010甘肃）(12分) 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ． （1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分. （2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴ 182=BC . …………………………6分 在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ 22=CD . …………………………7分 在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ 202=BD . …………………………8分 ∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分 （3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ，求得符合条件的点为)31,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O （0，0），)31,0(1P ，P 2（9，0）.三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题例3（10重庆潼南）如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：解：（1）∵二次函数bx x y +=221∴⎩⎨⎧-==++1022c c b解得： b =－21c =－1 ∴二次函数的解析式为21=y (2）设点D 的坐标为（m ，0∴ OD =m ∴AD =2-m 由△AD E ∽△AOC 得，AO AD =∴122DEm =- ∴DE =22m -∴△CDE 的面积=21×22m-×m=242m m +-=41)1(412+--m当m =1时，△CDE 的面积最大 ∴点D 的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∴ ⎩⎨⎧-==+-10b b k 解得：k =-1 b =-1∴直线BC 的解析式为: y =－x －1在Rt △AOC 中，∠AOC=900OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k , －k －1)过点P 作PH ⊥y 轴于H题图26∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-） ②以A 为顶点，即AC=AP=5设P(k , －k －1)，过点P 作PG ⊥x 轴于GAG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2(2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍)∴P 3(1, －2)③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ，∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形， PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA=2k∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜在Rt △PLA 中(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =25∴P 4(25,－27) 综上所述： 存在四个点：P 1（210，－1210-） P 2（-210，1210-） P 3(1, －2) P 4(25,－27) 三、二次函数中构建四边形的存在性问题（一）二次函数中构建梯形的存在性问题例4 (10山东临沂）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。

278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。

抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。

思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。

该方法不是唯一的。

可以使用截补法，但是有点麻烦。

如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。

掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。

答： （1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。

将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。

中考压轴题解析二次函数的存在性问题【典例分析】【考点 1】二次函数与相似三角形问题例1】已知抛物线y ax2 bx 3与 x轴分别交于A( 3,0)，B(1,0)两点，与 y轴交于点 C．2)点 F 是线段 AD 上一个动点．1AD .2ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标；若不相似，请说明理由．变式1-1】如图，抛物线y ax2 2x c经过A( 1,0)，B两点，且与y轴交于点C(0,3) ，抛物线与直线y x 1交于A，E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)坐标轴上是否存在一点Q，使得AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．(3)P点在x轴上且位于点B 的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与ABE相似，求点P的坐AF①如图 1，设k ，当 k 为何值时，CFAD1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；标．1【变式1-2】如图，已知抛物线y m（x 2）（x m）（m > 0）与 x 轴相交于点 A，B，与 y轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧 .（ 1）若抛物线过点（ 2， 2），求抛物线的解析式；（2）在（ 1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使 AH+CH 的值最小，若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 .考点 2】二次函数与直角三角形问题BC交于点D，连接AC 、AD ，求VACD的面积；3 点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E使VDEF 为直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．例2】如图，抛物线y ax2bx c a 0的顶点坐标为2, 1 ，图象与y 轴交于点C 0,3 ，与x轴2 设抛物线对称轴与直线【变式2-1】如图，经过x 轴上A（ 1，0）， B（3，0）两点的抛物线y m（x 1）2 4m （m 0）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙ G 经过点C ，求解下列问题：1）用含m的代数式表示出C，D 的坐标；2）求抛物线的解析式；3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ 为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理由。

二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。

【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ． 当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。

二次函数中的存在性问题一、知识点睛解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．二、精讲精练1.如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．2.抛物线()2134y x=--+与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P 在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．3.如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．（1）若抛物线cbxxy++-=231经过A、B两点，求该抛物线的解析式：______________；（2）若点M是直线AB作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．yOyxyyxO O xyyxOO xyxCOyBAxxA ByO C OyBA4. 已知抛物线2=23y x x --经过A 、B 、C 三点，点P （1，k ）在直线BC ：y=x -3上，若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 抛物线2212-+=x x y 与y 轴交于点C ，与直线y =x 交于A (-2，-2)、B (2，2)两点．如图，线段MN 在直线AB上移动，且M N =M 的横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q ．以P 、M 、Q 、N 为顶点的四边形否为平行四边形？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由．A CyxO B精讲精练参考答案1.解：由题意，设OA =m ，则OB =2m ；当∠BAP =90°时， △BAP ∽△AOB 或△BAP ∽△BOA ； ① 若△BAP ∽△AOB ，如图1，可知△PMA ∽△AOB ，相似比为2：1；则P 1（5m ，2m ）， 代入x x y 32+-=，可知2513=m ，)2526,513(1P② 若△BAP ∽△BOA ，如图2，可知△PMA ∽△AOB ，相似比为1：2；则P 2（2m ，2m ），代入x x y 32+-=，可知811=m ，)1611,411(2P当∠ABP =90°时，△ABP ∽△AOB 或△ABP ∽△BOA ； ③ 若△ABP ∽△AOB ，如图3，可知△PMB ∽△BOA ，相似比为2：1；则P 3（4m ，4m ）， 代入x x y 32+-=，可知21=m ，)2,2(3P④ 若△ABP ∽△BOA ，如图4，可知△PMB ∽△BOA ，相似比为1：2；则P 4（m ，m 25）， 代入x x y 32+-=，可知21=m ，415(,)24P2.解：（1）由抛物线解析式()21134y x =--+可得B 点坐标（1，3要求直线BQ 的函数解析式，只需求得点Q 坐标即可，即求CQ 长度过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点D 作DF ⊥QP 于点F . 则可证△DCG ≌△DEF .则DG =DF ， ∴矩形DGQF 为正方形.则∠DQG =45°，则△BCQ 为等腰直角三角形.∴CQ =BC =3，此时，Q 可得BQ 解析式为y =－x +4.（2）要求P 点坐标，只需求得点Q 坐标，然后根据横坐标相同来求点P 坐标即可. 而题目当中没有说明∠DCE =30°还是∠DCE =60°，所以分两种情况来讨论. ① 当∠DCE =30°时，a ）过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，过点D 作DK ⊥QP 于点K .则可证△DCH ∽△DEK .则D H D C D KD E==在矩形DHQK 中，DK =HQ，则D H H Q=在Rt △DHQ 中，∠DQC =60°.则在Rt △BCQ中，B C C Q=∴CQ，此时，Q 点坐标为（,0） 则P 点横坐标为代入()21134y x =--+可得纵坐标.∴P （94）.b ）又P 、Q 为动点，∴可能PQ 在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.由对称性可得此时点P 坐标为（194）② 当∠DCE =60°时，a) 过点D 作DM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥QP 于点N .则可证△DCM ∽△DEN .则1D M D C D ND E==在矩形DMQN 中，DN =MQ，则1D M M Q=.在Rt △DMQ 中，∠DQM =30°. 则在Rt △BCQ中，B C C Q=∴CQBC=Q 点坐标为（1+0） 则P 点横坐标为1+代入()21134y x =--+可得纵坐标.∴P （1+154－）.b ）又P 、Q 为动点，∴可能PQ 在对称轴左侧，与上一种情形关于对称轴对称.由对称性可得此时点P 坐标为（1－154－）综上所述，P 点坐标为（94），（194），（1+154－）或（1－154－）.4.解：满足条件坐标为：1(30)-M 2(30)+M 3(10)-+M 4(10)--M思路分析：A 、M 、N 、P 四点中点A 、点P 为顶点，则AP 可为平行四边形边、对角线； (1)如图，当AP 为平行四边形边时，平移AP ；∵点A 、P 纵坐标差为2 ∴点M 、N 纵坐标差为2； ∵点M 的纵坐标为0 ∴点N 的纵坐标为2或-2 ①当点N 的纵坐标为2时解：2232--=x x 得1=±x又∵点A 、P 横坐标差为2 ∴点M 的坐标为：1(30)-M 、2(30)+M②当点N 的纵坐标为-2时解：2232--=-x x 得1=±x又∵点A 、P 横坐标差为2 ∴点M 的坐标为： 3(10)-+M 、4(10)--M(2)当AP 为平行四边形边对角线时；设M 5（m ,0）MN 一定过AP 的中点（0，-1） 则N 5（-m ，-2），N 5在抛物线上 ∴2232+-=-m m1=-±m∴1=-+m∴5(10)-+M综上所述:符合条件点P 的坐标为：1(30)-M 2(30)+M 3(10)-+M 4(10)--M5．解：分析题意，可得：MP ∥NQ ，若以P 、M 、N 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，只需MP =NQ 即可由题知：(,)M m m ，(,0)P m ，(1,1)N m m ++，21(1,(1)+(1)2)2Q m m m +++-故只需表达MP 、NQ 即可.表达分下列四种情况：①如图1，P M m =-，21(1)22Q N m =+-，令PM =QN ，解得：1=2+m -，2=2m --②如图2，P M m =-，21(1)+22Q N m =-+，令PM =QN ，解得：1=m （舍去），1=m -；③如图3，P M m =，21(1)+22Q N m =-+，令PM =QN ，解得：1=2+m -2=2m --；④如图4，P M m =，21(1)22Q N m =+-，令PM =QN ，解得：1=m ，1=m -（舍去）；综上，m 的值为1=2m --、2=m -3=2+m -、4=m当我被上帝造出来时，上帝问我想在人间当一个怎样的人，我不假思索的说，我要做一个伟大的世人皆知的人。

2018年8月4日初中数学试卷一、综合题（共9题；共135分）1.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．2.（2017•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2017•赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2 √2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．4.（2017•广元）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．5.（2017•巴中）如图，已知两直线l1， l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，√3）时，恰好有l1⊥l2，经过点A，B，C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x 轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．7.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P的坐标；（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．8.（2017•临沂）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），∴y=a（x+2）2﹣4，又∵函数图象经过点A（﹣6，0），∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a= 14，∴此函数的解析式为y= 14（x+2）2﹣4，即y= 14x2+x﹣3；（2）解：∵点C是函数y= 14x2+x﹣3的图象与y轴的交点，∴点C的坐标是（0，﹣3），又当y=0时，有y= 14x2+x﹣3=0，解得x1=﹣6，x2=2，∴点B的坐标是（2，0），则S△ABC= 12 |AB|•|OC|= 12×8×3=12；（3）解：假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．设E（x，0），则P（x，14x2+x﹣3），设直线AC的解析式为y=kx+b，∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），∴ {−6k+k=0−3=k，解得{k=−12k=−3，∴直线AC的解析式为y=﹣12x﹣3，∴点F的坐标为F（x，﹣12x﹣3），则|PF|=﹣12 x﹣3﹣（14x2+x﹣3）=﹣14x2﹣32x，∴S△APC=S△APF+S△CPF= 12 |PF|•|AE|+ 12|PF|•|OE|= 12 |PF|•|OA|= 12（﹣14x2﹣32x）×6=﹣34x2﹣92x=﹣34（x+3）2+ 274，∴当x=﹣3时，S△APC有最大值274，此时点P的坐标是P（﹣3，﹣154）．【考点】二次函数的应用【解析】【分析】（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题；（3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．2.【答案】（1）解：∵点B（4，m）在直线y=x+1上，∴m=4+1=5，∴B（4，5），把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得{k−k+k=016k+4k+k=525k+5k+k=0，解得{k=−1k=4k=5，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5（2）解：①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，∵PE=2ED，∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（2，9）；当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（6，﹣7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），∴BE= √(k−4)2+(k+1−5)2 = √2 |x﹣4|，CE= √(k−5)2+(k+1)2 = √2k2−8k+26，BC= √(4−5)2+(5−0)2 = √26，当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则√2 |x﹣4|= √2k2−8k+26，解得x= 34，此时P点坐标为（34，11916）；当BE=BC时，则√2 |x﹣4|= √26，解得x=4+ √13或x=4﹣√13，此时P点坐标为（4+ √13，﹣4 √13﹣8）或（4﹣√13，4 √13﹣8）；当CE=BC时，则√2k2−8k+26 = √26，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P 点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（34，11916）或（4+ √13，﹣4 √13﹣8）或（4﹣√13，4 √13﹣8）或（0，5）【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．3.【答案】（1）解：∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3（2）解：设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣32）2+ 94，∴当m= 32时，PM有最大值94（3）解：如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为2 √2时，即QH=HG=2 √2，∴QG= √2×2 √2 =4，∴|﹣x2+3x|=4，当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D 点坐标，利用待定系数法可求得直线BD 解析式；（2）设出P 点坐标，从而可表示出PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q 作QG∥y 轴，交BD 于点G ，过Q 和QH⊥BD 于H ，可设出Q 点坐标，表示出QG 的长度，由条件可证得△DHG 为等腰直角三角形，则可得到关于Q 点坐标的方程，可求得Q 点坐标． 4.【答案】（1）解：将A ，B ，C 点的坐标代入解析式，得 {9k −3k +k =04k −2k +k =3k =3 ，解得 {k =−1k =−2k =3，抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：配方，得y=﹣（x+1）2+4，顶点D 的坐标为（﹣1，4） 作B 点关于直线x=1的对称点B′，如图1，则B′（4，3），由（1）得D （﹣1，4）， 可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣ 15 x+ 195 ， 当M （1，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小， 则m=﹣ 15 ×1+ 195 = 185 ．（3）解：作PE⊥x 轴交AC 于E 点，如图2，AC 的解析式为y=x+3，设P （m ，﹣m 2﹣2m+3），E （m ，m+3）， PE=﹣m 2﹣2m+3﹣（m+3）=﹣m 2﹣3mS △APC = 12 PE •|x A |= 12 （﹣m 2﹣3m ）×3=﹣ 32 （m+ 32 ）2+ 278 ，当m=﹣32时，△APC的面积的最大值是278（4）解：由（1）、（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2）点E在直线AC上，设E（x，x+3），①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2，解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去），则点E的坐标为：（﹣2，1）．②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN，∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得x= −3+√172或x= −3−√172，即点E的坐标为：（−3+√172，3+√172）或（−3−√172，3−√172）综上可得满足条件的点E为E（﹣2，1）或：（−3+√172，3+√172）或（−3−√172，3−√172）【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，三角形的面积，轴对称-最短路线问题【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案.（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B′，连接B′D，B′D与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值.（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.（4）设出点E的坐标，分情况讨论；①当点E再线段AC上时，点F在点E上方；②当点E再线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标.5.【答案】（1）解：设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c．∵点A（1，0），点B（﹣3，0），点C（0，√3）在抛物线上，∴ {k+k+k=09k−3k+k=0k=√3，解得{k=−√33k=−2√33k=√3，∴抛物线的函数解析式为y=﹣√33 x2﹣2√33x+ √3（2）解：DG=DE．理由如下：设直线l 1的解析式为y=k 1x+b 1 ， 将A （1，0），C （0， √3 ）代入，解得y=﹣ √3 x+ √3 ； 设直线l 2的解析式为y=k 2x+b 2 ， 将B （﹣3，0），C （0， √3 ）代入，解得y= √33x+ √3 ； ∵抛物线与x 轴的交点为A （1，0），B （﹣3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1， 又∵点G 、D 、E 均在对称轴上， ∴G（﹣1，2 √3 ），D （﹣1，4√33 ），E （﹣1， 2√33）， ∴DG=2 √3 ﹣ 4√33= 2√33，DE= 4√33﹣ 2√33= 2√33，∴DG=DE；（3）解：若直线l 2绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，当△MCG 为等腰三角形时，分三种情况： ①以G 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点M 1、C ，点M 1与C 关于抛物线的对称轴对称，则M 1的坐标为（﹣2， √3 ）； ②以C 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点M 2、M 3 ， 点M 2与点A 重合，点A 、C 、G 在一条直线上，不能构成三角形，M 3与M 1重合；③作线段GC 的垂直平分线，交抛物线于点M 4、M 5 ， 点M 4与点D 重合，点D 的坐标为（﹣1， 4√33），M 5与M 1重合；综上所述，满足条件的点M 只有两个，其坐标分别为（﹣2， √3 ），（﹣1， 4√33）．【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）设抛物线的函数解析式为y=ax 2+bx+c ．分别将A （1，0），B （﹣3，0），C （0， √3 ）三点坐标代入得到一个三元一次方程组，解之即可得到抛物线解析式.（2）DG=DE ．分别求出过A （1，0），C （0， 3 ）两点的直线l 1的解析式为y=﹣ √3 x+ √3 ；过B （﹣3，0），C （0， 3 ）两点的直线l 2的解析式为y= √33x+ √3 ；由二次函数的性质和已知条件求出DG 和DE 的长度即可. （3）若直线l 2绕点C 旋转时，与抛物线的另一个交点为M ，当△MCG 为等腰三角形时，分三种情况：①以G 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点M 1（﹣2， √3 ）；②以C 为圆心，GC 为半径画弧交抛物线于点M 2、M 3 ， ；③作线段GC 的垂直平分线，交抛物线于点M 4、M 5.6.【答案】（1）解：依题意得： {−k2k =−1k +k +k =0k =3，解之得： {k =−1k =−2k =3∴抛物线解析式为y=-x 2-2x+3∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A （1，0）， ∴把B （-3，0）、C （0，3）分别代入直线y=mx+n ， 得 {−3k +k =0k =3， 解之得： {k =1k =3，∴直线y=mx+n 的解析式为y=x+3（2）解：设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（-1，2），即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（-1，2）（3）解：如图：设P （-1，t ），又∵B（-3，0），C （0，3），∴BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2 ，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t 2-6t+10解之得：t=-2；②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2-6t+10=4+t 2解之得：t=4，③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2-6t+10=18解之得：t 1= 3+√172 ，t 2= 3−√172； 综上所述P 的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1， 3+√172 ） 或（-1， 3−√172）． 【考点】二次函数的应用，二次函数的实际应用-动态几何问题【解析】【分析】先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2 ， PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．7.【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），把C （0，3）代入得a •1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x ﹣3），即y=﹣x 2+2x+3（2）解：设直线BC 的解析式为y=kx+m ，把B （3，0），C （0，3）代入得 {3k +k =0k =3 ，解得 {k =−1k =3，所以直线BC的解析式为y=﹣x+3，作PM∥y轴交BC于M，如图1，设P（x，﹣x2+2x+3），（0＜x＜3），则M（x，﹣x+3），∴PM=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，∴S△PCB= 12•3•PM=﹣32x2+ 92=﹣32（x﹣32）2+ 278，当x= 32时，△BCP的面积最大，此时P点坐标为（32，154）（3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线x=1，当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），则Q（4，a﹣3），把Q（4，a﹣3）代入y=﹣x2+2x+3得a﹣3=﹣16+8+3，解得a=﹣2，∴Q（4，﹣5）；当四边形BCQD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（﹣2，3+a），把Q（﹣2，3+a）代入y=﹣x2+2x+3得3+a=﹣4﹣4+3，解得a=﹣8，∴Q（﹣2，﹣5）；当四边形BQCD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（2，3﹣a），把Q（2，3﹣a）代入y=﹣x2+2x+3得3﹣a=﹣4+4+3，解得a=0，∴Q（2，3），综上所述，满足条件的Q点坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）．【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）设交点式y=a （x+1）（x ﹣3），然后把C 点坐标代入求出a 的值即可得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y=﹣x+3，作PM∥y 轴交BC 于M ，如图1，设P （x ，﹣x 2+2x+3），（0＜x ＜3），则M （x ，﹣x+3），利用三角形面积公式得到∴S △PCB = 12 •3•PM=﹣ 32 x 2+ 92 ，然后根据二次函数的性质求解；（3）如图2，分类讨论：当四边形BCDQ 为平行四边形，设D （1，a ），利用点平移的坐标规律得到Q （4，a ﹣3），然后把Q （4，a ﹣3）代入y=﹣x 2+2x+3中求出a 即可得到Q 点坐标；当四边形BCQD 为平行四边形或四边形BQCD 为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q 点坐标．8.【答案】（1）解：由y=ax 2+bx ﹣3得C （0．﹣3），∴OC=3，∵OC=3OB，∴OB=1，∴B（﹣1，0），把A （2，﹣3），B （﹣1，0）代入y=ax 2+bx ﹣3得 {4k +2k −3=−3k −k −3=0 ， ∴ {k =1k =−2， ∴抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3（2）解：设连接AC ，作BF⊥AC 交AC 的延长线于F ，∵A（2，﹣3），C （0，﹣3），∴AF∥x 轴，∴F（﹣1，﹣3），∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D （0，m ），则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D 1（0，1），D 2（0，﹣1）（3）解：设M （a ，a 2﹣2a ﹣3），N （1，n ），①以AB 为边，则AB∥MN，AB=MN ，如图2，过M 作ME⊥对称轴y 于E ，AF⊥x 轴于F ，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a﹣1|=3，∴a=3或a=﹣2，∴M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M（0，﹣3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数的应用【解析】【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．。

二次函数中的存在性问题1. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=﹣x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，∴N1（2，0），N2（6，0）；②当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，∴MP=DQ=，NP=AQ=3，将y M=﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x2+3x，解得：x M=2﹣或x M=2+，∴x N=x M﹣3=﹣﹣1或﹣1，∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．2．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：．故函数解析式为：y=x2+2x．（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，若D在对称轴直线x=﹣1左侧，则D横坐标为﹣3，代入抛物线解析式得D1（﹣3，3），若D在对称轴直线x=﹣1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）．综上可得点D的坐标为：（﹣3，3）或（1，3）．（3）存在．如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∵BO2+CO2=BC2，∴△BOC是直角三角形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，则=，即x+2=3（x2+2x），得：x1=13，x2=﹣2（舍去）．当x=13时，y=59，即P（13，59），②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．故符合条件的点P有两个，分别是P（13，59）或（3，15）．3. 如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．8、解答：解：（1）∵y=2x+2，∴当x=0时，y=2，∴B（0，2）．当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），∴解得：，∴y=﹣x2+x+2；设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2；（2）存在．如图1，设M（a，﹣a2+a+2）．∵MN垂直于x轴，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．∵y=﹣2x+2，∴y=0时，x=1，∴C（1，0），∴OC=1．∵B（0，2），∴OB=2．当△BOC∽△MON时，∴，∴，解得：a1=1，a2=﹣2M（1，2）或（﹣2，﹣4）；如图2，当△BOC∽△ONM时，，∴，∴a=或，∴M（，）或（，）．∵M在第一象限，（，）；∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，∴BO=PH=2．∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．∴2=﹣b2+3b∴b1=1，b2=2．当b=1时，P（1，2），当b=2时，P（2，0）∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．4．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形（2）和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．10、解答：解：（1）如图1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3.0）∴解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，∴解得：∴直线AB的解析式为y=x+．设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．∴y P=t+，y Q=﹣t2+t+4．∴PQ=y Q﹣y P=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）=﹣[（t﹣1）2﹣16]=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为．（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴x H=x G=x M=．∴y G=×+=．∴GH=．∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解得：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG===．同理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．∴点M的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．6．（2009•崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．21教育网（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y 轴的距离，即B的坐标；21（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）练习：1. 如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，且A 点坐标为（-3,0），经过B 点的直线交抛物线于点D （-2，-3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD 解析式；（2）过x 轴上点E （a ，0）（E 点在B 点的右侧）作直线EF ∥BD ,交抛物线于点F ,是否存在实数a 使四边形BDFE 是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a ；如果不存在，请说明理由.2．已知抛物线经过A （2，0）． 设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ． 36232++=bx x y （1）求b 的值，求出点P 、点B 的坐标；（2）如图，在直线 y=x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，3求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．4. 如图，已知抛物线y ＝x2＋bx ＋3与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点A ，P 是抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m （m ＞3），过点P 作y 轴的平行线PM ，交直线AB 于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）若以AB 为直径的⊙N 与直线PM 相切，求此时点M 的坐标；（3）在点P 的运动过程中，△APM 能否为等腰三角形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．3. 已知：如图一次函数y ＝x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；21二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝x ＋1的图象交于B 、C 两点，2121与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？ 若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．4. 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标.。

专题27 二次函数-存在性问题存在性问题是判断事物是否存在的问题，其知识点较广，综合性强，解题方法较灵活，对学生解决问题能力要求高，中考题中往往出现在压轴题中，其解题的一般思路是：假设存在--推理论证--得出结论---合理就存在在，反之不存在。

存在性的问题有点、线段、图形的存在等等。

解题方法多以设参数--表示点坐标--表示线段长--表示面积---建立方程等方法解决问题。

1．如图，二次函数的图象交x 轴于点()()1,0,4,0A B -，交y 轴于点()0,4,C P -是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式;（2）连接,PB PC ，是否存在点P ，使PBC ∆面积最大，若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =--；（2）存在点P ，使PBC ∆面积最大，点P 的坐标为()2, 6-． 【分析】（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过P 作PE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC 面积的最大值及P 点的坐标．【详解】（1）∵二次函数的图象交y 轴于点()0,4C -，∴设二次函数表达式为24y ax bx =+-， 把A 、B 二点坐标代入可得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解这个方程组，得13a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为：234y x x =--；（2））∵点P 在抛物线上，∴设点P 的坐标为()2,34t t t --过P 作PE x ⊥轴于E ，交直线BC 于F设直线BC 的函数表达式y mx n =+，将B （4，0），C （0，-4）代入得404m n n +=⎧⎨=-⎩， 解这个方程组，得14m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为4y x =-，∴点F 的坐标为(),4t t -，()()224344PF t t t t t ∴=----=-+， ()2114422PBC S PF OB t t ∆∴==-+⨯ ()2228t =--+，∵20a =->，∴当2t =时，PBC S ∆最大，此时223423246y t t =--=-⨯-=-，所以存在点P ，使PBC ∆面积最大，点P 的坐标为()2, 6-．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P 点坐标表示出△PBC 的面积是解题的关键．2．如图,二次函数 22y ax bx =++经过点()1,0A -和点()4,0B ,与y 轴交于点C ． ()1求抛物线的解析式;()2D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D ,使若存在2 3ABC ABD S S ∆∆=,请直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由．【答案】(1) 213222y x x =-++；(2) 存在，D （1，3）或（2，3）或（5，-3） 【分析】 （1）利用待定系数法将点A 和点B 的坐标代入，求出a 和b 的值即可；（2）求出△ABC 的面积，根据23ABC ABD S S ∆∆=求出△ABD 的面积，得出△ABD 中AB 边上的高，从而分点D 在x 轴上方和x 轴下方分别求出点D 的坐标.【详解】解：（1）把点()1,0A -和点()4,0B 代入22y ax bx =++中,得0201642a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++； （2）存在，()()()231,3,2,3,5,3D D D -，理由是：∵A （-1，0），B （4，0），C （0，2）， ∴()141252ABC S ∆=⨯+⨯=， ∵23ABCABD S S ∆∆=， ∴315522ABD S ∆=⨯=， 在△ABD 中，∵AB=5，∴AB 边上的高，即点D 到x 轴的距离为3， ∵抛物线表达式为213222y x x =-++， 若点D 的纵坐标为3，令y=3，解得x=1或2，∴点D 的坐标为（1，3）或（2，3）；若点D 的纵坐标为-3，令y=-3，解得x=5或-2（舍），∴点D 的坐标为（5，-3）.综上：存在()()()231,3,2,3,5,3D D D -，使得23ABC ABD S S ∆∆=. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数上点的坐标，解题的关键是注意分类讨论思想的运用.3．如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数283y ax x c =++的图像与y 轴交于点B (0， 4)，与x 轴交于点A (－1，0)和点D ．(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点和点D 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△BOP 的面积等于52？如果存在，请求出点P 的坐标？如果不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++；（2）D 的坐标为（3，0），顶点坐标为（1，163）；（3）满足条件的点P 有两个，坐标分别为P 1(54，214)、P 2(517,412--)． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据二次函数的解析式得点D 的坐标，将解析式化为顶点式可得顶点的坐标；（3）设P 的坐标为P （x ，y ），到y 轴的距离为|x|，则S △BOP =12•BO •|x|，解出x=±54，进而得出P 点坐标．【详解】解：(1)把点A (－1，0)和点B (0， 4)代入二次函数283y ax x c =++中得： ()()280=1134a c c⎧-+⨯-+⎪⎨⎪=⎩ 解得：434a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以二次函数的解析式为：248433y x x =-++ ； （2）根据（1）得点D 的坐标为（3，0），248433y x x =-++=()()224416241333x x x --+=--+， ∴顶点坐标为（1，163）； (3)存在这样的点P ，设P 的坐标为P (x ，y )，到y 轴的距离为∣x ∣∵ S △BOP ＝12•BO •∣x ∣ ∴52＝12×4•∣x ∣ 解得：∣x ∣＝54所以x ＝±54把x ＝54代入248433y x x =-++中得： 2458543434y ⎛⎫=-⨯+⨯+ ⎪⎝⎭ 即：y ＝214， 把x ＝－54代入248433y x x =-++中得： 2458543434y ⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：y ＝－1712∴满足条件的点P 有两个，坐标分别为P 1(54，214)、P 2(517,412--)． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线的顶点坐标以及三角形面积等知识，掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．4．如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知BAC ∆的面积是6．（1）求a 的值；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使ABP ABC S S ∆∆=．存在请求出P 坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）3a =-；（2）存在，P 点的坐标为(2,3)-或(13)-+-或(13)---．【分析】（1）根据求出A,B,C 的坐标，再由BAC ∆的面积是6得到关于a 的方程即可求解；（2）根据ABP ABC S S ∆∆=得到P 点的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求解．【详解】（1）∵2(1)y x a x a =-++-，令0x =，则y a =-，∴(0,)C a -，令0y =，即2(1)0x a x a -++-=解得1x a =，21x =由图象知：0a <∴(,0)A a ，(1,0)B∵6ABC S ∆= ∴1(1)()62a a --= 解得：3a =-，（4a =舍去）；（2）∵3a =-，∴(0,3)C ，∵ABP ABC S S ∆∆=.∴P 点的纵坐标为±3，把3y =代入223y x x =--+得2233x x --+=，解得0x =或2x =-，把3y =-代入223y x x =--+得2233x x --+=-，解得1x =-+1x =--∴P 点的坐标为(2,3)-或(13)-+-或(13)--．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB OC <）是方程210160x x -+=的两个根，且A 点坐标为(60)-，．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE . 设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．【答案】（1）228833y x x =--+；（2）2142S m m =-+(0<m<8);（3）当4m =时S 有最大值8，此时点E 的坐标为(20)-，，△BCE 为等腰三角形. 【分析】（1）通过解方程x 2−10x ＋16＝0得到二次函数图象上的点B 、C 的坐标，再结合A 的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；（2）用m 表述出AE 、BE 的长，得到△BEF ∽△BAC ，再利用相似三角形的性质得到比例式8108EF m -=，求出EF 的表达式，利用sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45得到45FG EF =，求出FG 的表达式，再根据S ＝S △BCE −S △BFE 求S 与m 之间的函数关系，m 的值不超过AB 的长．（3）将S ＝12-m 2＋4配方为S ＝12-（m −4）2＋8，求出S 的最大值，进而判断出此时△BCE 的形状．【详解】（1）方程210160x x -+=的两个根为2和8.由于OB OC <，所以2OB =，8OC =，故8c =，点B 坐标为(20)，. 因为点A 坐标为(60)-，，所以22(6)(6)802280a b a b ⎧⨯-+⨯-+=⎨⨯+⨯+=⎩． 解得23a =-，83b =-. 故此二次函数的表达式为228833y x x =--+. （2）∵AB ＝8，OC ＝8，依题意，AE ＝m ，则BE ＝8−m ，∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10．∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ． ∴EF BE AC AB=． 即8108EF m -=． ∴EF ＝4054m -． 过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45． ∴45FG EF =． ∴FG ＝45•4054m -＝8−m ． ∴S ＝S △BCE −S △BFE ＝12（8−m ）×8−12（8−m ）（8−m ） ＝12（8−m ）（8−8＋m ） ＝12（8−m ）m ＝2142m m -+，自变量m 的取值范围是0＜m ＜8．（3）存在．理由如下：∵S ＝2142m m -+=−12（m −4）2＋8，且−12＜0， ∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8．∵m ＝4，∴点E 的坐标为（−2，0）．∴△BCE 为等腰三角形．【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及函数和方程的关系、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、配方法求函数最大值等知识，是一道好题．6．关于x 的一元二次方程()222110k x k x --+=有两个实数根. ()1求k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数？若存在，求k ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）14k ≤且0k ≠；（2）不存在 【分析】(1)由题意，方程需满足：根的判别式大于0且二次项系数不为0，求不等式的解即可；(2)根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可．【详解】解：()1有题意得()22202140k k k ⎧≠⎪⎨=--≥⎪⎩，解得，14k ≤且0k ≠ ()2设方程的两根为x1,x 2,依题意， 122210k x x k -+==， ∴12k =， 又∵14k ≤且0k ≠ 所以不存在【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数22y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C .(1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：33y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.【答案】(1)2y x =-点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（2(3)8【解析】试题分析：(1) ∵点A 、B 的坐标分别为（-1,0）、（3,0），∴0,230.b c b c -+=++=解得{2b c ==-∴二次函数解析式为222y x =--（2）可求点C 的坐标为（1，-∴点D 的坐标为（1，.可求直线AD的解析式为y =+由题意可求直线BK的解析式为y =-.∵直线l的解析式为y x =+∴可求出点K 的坐标为(5,易求4AB BK KD DA ====.∴四边形ABKD 是菱形.∵菱形的中心到四边的距离相等，∴点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（2） .(3) ∵点D 、B 关于直线AK 对称,∴DN MN +的最小值是MB .过K 作KF ⊥x 轴于F 点. 过点K 作直线AD 的对称点P ,连接KP ,交直线AD 于点Q , ∴KP ⊥AD .∵AK 是∠DAB 的角平分线,∴KF KQ PQ ===∴MB MK +的最小值是BP .即BP 的长是DN NM MK ++的最小值.∵BK ∥AD ,∴90BKP ∠=︒.在Rt △BKP 中,由勾股定理得BP =8.∴DN NM MK ++的最小值为8.考点：二次函数点评：本题难度较大，主要考查学生对二次函数性质的掌握，本题难度较高在图像分析较复杂，需要学生有扎实基础来理清思路．一般为压轴题型，基础较好的同学要多加训练，培养解题感觉．8．如图是二次函数()2y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -． （1）直接写出m 、k 的值；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =△△？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1m =-，4k =-；（2）()1,0A -，()3,0B ；（3）存在点P ，坐标为()4,5或()2,5-【分析】（1）由顶点坐标确定m 、k 的值；（2）令y=0求得图象与x 轴的交点坐标；（3）设存在这样的P 点，由于底边相同，求出△PAB 中AB 边上的高P y ，然后得出P 点纵坐标代入二次函数表达式求得P 点坐标．【详解】解：（1）由顶点坐标为M （1，-4）可知二次函数解析式为()214y x =--．∴1m =-，4k =-；（2）在()214y x =--中，令0y =得()2140x --=，解得13x =，21x =-，∴()1,0A -，()3,0B ．（3）∵PAB △与MAB △同底，且54PAB MAB S S =△△， ∴554544P M y y ==⨯=，即5P y =±． 又∵点P 在()214y x =--的图象上，∴4P y ≥-，∴5P y =，∴()2145x --=，解得14x =，22x =-，∴存在点P ，坐标为()4,5或()2,5-，使54PAB MAB SS =． 【点睛】本题考查了由二次函数顶点式的求法及抛物线与x 轴交点坐标的求法，以及给出面积关系求点的坐标，综合体现了数形结合的思想．9．如图，二次函数212y x bx c =++的图象交x 轴于,A D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是()2,0，B 点坐标是()8,6．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得CBD ∆的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标，若C 点不存在，请说明理由．【答案】（1）21462y x x =-+ （2）(4,−2)，(6,0)（3）存在，C(4,2)【分析】（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D 的坐标；（3）连接CA ，由于BD 是定值，使得△CBD 的周长最小，只需CD+CB 最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD ，只需CA+CB 最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A 、C 、B三点共线时，CA+CB 最小，只需用待定系数法求出直线AB 的解析式，就可得到点C 的坐标．【详解】（1）把A(2，0)，B(8，6)代入212y x bx c =++，得 1402164862bx c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩ 解得46b c =-⎧⎨=⎩∴二次函数的解析式为21462y x x =-+ 故答案为：21462y x x =-+ （2）由221146(4)222y x x x =-+=--得二次函数图象的顶点坐标为(4，−2) 令y=0，得214602x x -+= 解得：x 1=2，x 2=6，∴D 点的坐标为(6，0)．故答案为：(4，−2)，(6，0)（3）二次函数的对称轴上存在一点C ，使得△CBD 的周长最小．连接CA ，如图，∵点C 在二次函数的对称轴x=4上，∴x C =4，CA=CD ，∴△CBD 的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD ，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A 、C 、B 三点共线时，CA+CB 最小，此时，由于BD 是定值，因此△CBD 的周长最小．设直线AB 的解析式为y=mx+n ，把A(2，0)、B(8，6)代入y=mx+n ，得2+086m n m n =⎧⎨+=⎩解得12m n =⎧⎨=-⎩ ∴直线AB 的解析式为y=x −2当x=4时，y=4−2=2，∴当二次函数的对称轴上点C 的坐标为(4，2)时，△CBD 的周长最小．故答案为：存在，C(4，2)【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，会将二次函数一般式化为顶点式，表示出顶点坐标，本题是抛物线动点问题的综合题型，在求线段和最短的时候，“两点之间，线段最短”是经常会被用到的知识点．10．如图是二次函数c bx x y ++=2的图象，其顶点坐标为M （1，－4）．（1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1） A （-1,0） B （3,0） （2）P 1（4,5） P 2（-2,5）.【解析】试题分析：（1）将顶点M （1，-4）代入二次函数c bx x y ++=2，求出二次函数解析式，令y=0，解方程即可；（2）假设存在点P （x ，y ）满足条件，用点P 坐标分别表示出两个三角形的面积，解方程确定点P 的坐标.试题解析：：（1）因为M （1，-4） 是二次函数c bx x y ++=2的顶点坐标， 所以222(1)423y x bx c x x x =++=--=--，令解得 ∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3，0）.（2）在二次函数的图象上存在点P ，使设P （x ，y ）则 又∴即y=±5 ∵二次函数的最小值为-4∴当时，或故P 点坐标为（-2，5）或（4，5）.考点：1.二次函数的图像；2.一次函数的图像；3.二次函数的最值；4.轴对称 .11．如图，二次函数y ＝﹣14x 2+bx +c 的图象经过点A （4，0），B （﹣4，﹣4），且与y 轴交于点C ．（1）求此二次函数的解析式；（2）证明：AO 平分∠BAC ；（3）在二次函数对称轴上是否存在一点P 使得AP ＝BP ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣14x 2+12x +2；（2）见解析；（3）存在．点P 的坐标为（1，﹣4）； 【解析】【分析】 （1）将点A （4，0）与点B （−4，-4）代入函数解析式即可；（2）求出直线AB 的解析式，求出AB 与y 轴交点D （0，−2），可得OC ＝OD ，再由AO ⊥CD ，可证AO 平分∠BAC ；（3）二次函数的对称轴为直线x ＝1，设点P 的坐标为（1，m ），AP 2＝（4−1）2＋m 2，BP 2＝（1＋4）2＋（m4）2，当AP ＝BP 时，求出m ＝−4即可；【详解】（1）∵点A （4，0）与点B （﹣4，-4）在二次函数的图象上， ∴044444b c b c =-++⎧⎨-=--+⎩， 解得122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为y ＝211242x x -++； （2）设直线AB 的解析式为y ＝ax +n则有4040a n a n +=⎧⎨-+=⎩， 解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线AB的解析式为y＝12x﹣2，设直线AB与y轴的交点为点D，x＝0，则y＝﹣2，故点D为（0，﹣2），由（1）可知点C为（0，2），∴OC＝OD又∵AO⊥CD，∴AO平分∠BAC；（3）存在．∵y＝﹣14x2+12x+2＝﹣14（x﹣1）2+14+2，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，设点P的坐标为（1，m），AP2＝（4﹣1）2+m2，BP2＝（1+4）2+（m4）2，当AP＝BP时，AP2＝BP2，则有9+m2＝25+m2+16+8m，解得m＝﹣4，∴点P的坐标为（1，﹣4）；【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用勾股定理求边长是解题的关键．12．（本题满分10分）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）A （－1,0） B （3,0）；（2）存在，P （－2,5）或 P （4,5）【解析】试题分析：1）由已知得，抛物线解析式令y=0，解得 ∴A （－1,0） B （3,0）（2）84421=⨯⨯=∆MAB S ∴∵AB=4 ∴令y=5，解得∴P （－2,5）或 P （4,5）考点：1．抛物线的顶点式；2．抛物线的值13．如图，二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．（3）在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 为等腰三角形，若存在，求出P 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）y ＝－12x 2＋4x －6；（2）S △ABC ＝6；（3）点P 坐标为（-2，0）或()2-或()2+或()80-， 【解析】试题分析：（1）把A 、B 两点的坐标代入y=-12x 2+bx+c 中得到关于b 、c 的方程组，然后解方程求出b 、c 即可得到抛物线解析式；（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．（3）分类讨论，进行求解即可.试题解析：（1）∵的图象经过A （2，0）、B （0，-6）两点， ∴2206b c c -++⎧⎨-⎩＝＝， 解得b=4，c=-6，∴这个二次函数的解析式为y ＝−12x 2+4x −6 （2）令-12x 2+4x-6=0 ∴x 2-8x+12=0解得：x 1=2 x 2=6∴C （4，0）∴AC=2∴S △ABC =12×2×6=6 （3）点P 坐标为（-2,0）或()(()2-80+或或， 14．如图，二次函数2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于c 顶点，已知(1,0)A ，(0,3)C -.（1）求此二次函数的解析式及B 点坐标.（2）在抛物线上存在一点P 使ABP ∆的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出P 的坐标.（3）根据图象直接写出33x -<<时，y 的取值范围.【答案】（1）二次函数解析式为223y x x =+-，B 点坐标为(3,0)-;（2）()4,5-，(2,5);（3）412y -<.【分析】（1）将已知的两点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式;.（2）设()2,23P x x x +-,然后利用三角形的面积计算即可;（3）根据图象可得出y 的取值范围..【详解】解：（1）将(1,0)A ，(0,3)C -代入2y x bx c =++中， 得：103b c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得23b c =⎧⎨=-⎩. 所以二次函数解析式为223y x x =+-.令0y =，即2230x x +-=，解得：11x =，23x =-.∴B 点坐标为(3,0)-.（2）设()2,23P x x x +-，∵ABP ∆的面积为10， ∴21423102x x ⨯⨯+-=， 解方程2235x x +-=得14x =-，22x =，此时P 点坐标为()4,5-，(2,5).方程2235x x +-=-没有实数解.综上所述，P 点坐标为()4,5-，(2,5).（3）如图所示，当33x -<<时，当1x =-时，y 有最小值，将1x =-代入223y x x =+-中，得4y =-. 当3x =时，y 有最大值.将3x =代入223y x x =+-中，得12y =. ∴y 的取值范围是412y -<.【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．15．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴相交于C D 、两点（点C 在点D 的左边），与y 轴交于点B ，点A 在二次函数的图像上，且AB ∥x 轴．问线段BC 上是否存在点P ，使△POC 为等腰三角形；如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】存在，点33(,)22P --或(0,3)P -或(3,22P -+-．【分析】由抛物线解析式可得出C 、B 坐标，利用待定系数法可得直线BC 的解析式为y=-x-3，分三个情况讨论：当PC PO =时，点P 在OC 的垂直平分线上，根据O 、C 坐标可得OC 中点坐标，把OC 中点的横坐标代入BC 解析式即可得P 点坐标；当PO CO =时，设P （x ，-x-3），利用两点间距离公式即可得P 点坐标；当PC CO =时，利用利用两点间距离公式即可得P 点坐标．【详解】当0y =时，2230x x +-=，解得：123,1x x =-=，∵点C 在点D 的左边，∴(3,0)C -当x=0时，y=-3，∴B （0，-3），设直线BC 的函数解析式为y kx n =+∴0330k n n=-+⎧⎨-=+⎩， 解得13k n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y=-x-3，①当PC PO =时，点P 在OC 的垂直平分线上，∵点C （-3，0），O （0，0），∴OC 中点坐标为（32-，0）， 把x=32-代入y=-x-3得：y=32-3=32-， ∴点33(,)22P -- ②当PO CO =时，设P （x ，-x-3），，解得：x 1=0，x 2=-3（舍去），∴-x-3=-3，∴点(0,3)P -，③当PC CO =时，设点(,3)P x x --，3=，解得13x =-+，232x =--（不合题意，舍去）∴(3P -+∴存在，点33(,)22P --或(0,3)P -或(3,)22P -+-． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式及等腰三角形的判定，注意分类讨论思想的运用是解题关键．16．已知二次函数：2(21)2(0)y ax a x a =+++<．（1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使75PCA ︒∠=？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）1a =-，22y x x =--+，函数图象如图所示见解析；（3）存在这样的点P ，点P 的坐标为35,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1)．【解析】【分析】（1）1）将解析式右边因式分解得抛物线与x 轴的交点为（−2，0）、（−1a，0），结合a ＜0即可得证；（2）根据题意求出1a =-，再求出函数与x 轴的交点，即可作图；（3）根据题意作出图像，根据题意分两种情况讨论：①当点P 在直线AC 上方时，记直线PC 与x 轴的交点为E ，根据75PCA ︒∠=求出30OEC ︒∠=，因此OC tan OEC OE ===∠E ，则可求出求得直线CE解析式为2y x =+，再联立两直线即可求出P 点坐标；②当点P 在直线AC 下方时， 同理求出P 的坐标.【详解】（1）∵2(21)2(2)(1)y ax a x x ax =+++=++，且0a <，∴抛物线与x 轴的交点为(2,0)-、1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数，∴1a =-，则抛物线与x 轴的交点A 的坐标为(2,0)-、B 的坐标为(1,0)，∴抛物线解析式为(2)(1)y x x =+-+22x x =--+21924x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 当0x =时，2y =，即(0,2)C ，函数图象如图1所示：（3）存在这样的点P ，∵2OA OC ==，∴45ACO ︒∠=，如图2，当点P 在直线AC 上方时，记直线PC 与x 轴的交点为E ，∵75PCA ︒∠=，∴120PCO ︒∠=，60OCE ︒∠=，则30OEC ︒∠=，∴OC tan OEC OE ===∠则E ，求得直线CE解析式为2y x =+，联立2232y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--+⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或53x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P ⎝⎭； 如图3，当点P 在直线AC 下方时，记直线PC 与x 轴的交点为F ，∵75ACP ︒∠=，45ACO ︒∠=，∴30OCF ︒∠=，则tan 2OF OC OCF =∠==，∴F ⎫⎪⎪⎝⎭，求得直线PC解析式为2y =+，联立222y y x x ⎧=+⎪⎨=--+⎪⎩， 解得：02x y =⎧⎨=⎩或11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴1)P ，综上，点P 的坐标为⎝⎭或1)． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质及三角函数的应用.17．如图，二次函数2y x bx c =-++的图象经过坐标原点，与x 轴的另一个交点为A (－2，0)．（1）求二次函数的解析式（2）在抛物线上是否存在一点P ，使△AOP 的面积为3，若存在请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝－x 2－2x ；（2）（3，-3），（1，-3）．【分析】（1）把点（0，0）和点A （-2，0）分别代入函数关系式来求b 、c 的值；（2）设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x ），利用三角形的面积公式得到-x 2-2x =±3．通过解方程来求x 的值，则易求点P 的坐标．【详解】解：（1）∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过坐标原点（0，0）∴c =0．又∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象过点A （-2，0）∴-（-2）2-2b +0=0，∴b =-2．∴所求b 、c 值分别为-2，0；（2）存在一点P ，满足S △AOP =3．设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x ）∵S △AOP =3 ∴12×2×|-x 2-2x |=3 ∴-x 2-2x =±3． 当-x 2-2x =3时，此方程无解；当-x 2-2x =-3时，解得 x 1=-3，x 2=1．∴点P 的坐标为（-3，-3）或（1，-3）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点．解（1）题时，实际上利用待定系数法来求抛物线的解析式．18．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点A （3，0），B （2，﹣3），并且以x=1为对称轴．（1）求此函数的解析式；（2）作出二次函数的大致图象；（3）在对称轴x=1上是否存在一点P ，使△PAB 中PA=PB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解析式为y=x 2﹣2x ﹣3；（2）画图见解析；（3）存在，点P 的坐标为（1，﹣1）．【解析】试题分析：（1）根据对称轴的公式x =2b a -和函数的解析式，将2b a-=1和A （3，0），B （2，﹣3）代入函数解析式，组成方程组解答即可；（2）求出图象与坐标轴的交点坐标，描点即可；（3）根据两点之间距离公式解答即可．试题解析：解：（1）根据题意得：12930423b a a b c a b c ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪++=-⎪⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴解析式为y =x 2﹣2x ﹣3；（2）二次函数图象如图：（3）存在．作AB 的垂直平分线交对称轴x =1于点P ，连接PA 、PB ，则PA =PB ，设P 点坐标为（1，m ）．∵PA =PB ，∴22+m 2=（﹣3﹣m ）2+1，解得：m =﹣1，∴点P 的坐标为（1，﹣1）． 点睛：（1）所用方法被称为待定系数法；（2）考查了二次函数草图的画法；（3）会用距离公式d19．如图，已知二次函数21:43L y x x =-+与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）写出A B 、两点的坐标；（2）二次函数()22:430L y kx kx k k =-+≠，顶点为P ． ①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形？如存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；③若直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．【答案】（1）()()1,0,3,0A B ；（2）①对称轴都为直线2x =或顶点的横坐标为2；都经过()()1,0,3,0A B 两点；②存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形，k =③线段EF 的长度不会发生变化，值为6．【分析】（1）令2430x x -+=，求出解集即可；（2）①根据二次函数2L 与1L 有关图象的两条相同的性质求解即可；②根据()22432y kx kx k k x k =-+=--，可得到结果；③根据已知条件列式2438kx kx k k -+=，求出定值即可证明．【详解】解：（1）令2430x x -+=，∴()()130x x --=，∴11x =，23x =，∵点A 在点B 的左边，∴()()1,0,3,0A B ；（2）①二次函数2L 与1L 有关图象的两条相同的性质：（I ）对称轴都为直线2x =或顶点的横坐标为2；（II ）都经过()()1,0,3,0A B 两点；②存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形．∵()22432y kx kx k k x k =-+=--，∴顶点()2,P k -，∵()()1,0,3,0A B ，∴2AB =，要使ABP ∆为等边三角形，必满足k -=∴k =③线段EF 的长度不会发生变化．∵直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，∴2438kx kx k k -+=，∵0k ≠，∴2438x x -+=，∴11x =-，25x =，∴216EF x x =-=，∴线段EF 的长度不会发生变化．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数、等边三角形的性质求解是关键．20．如图，已知二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点．（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan ∠ABQ ＝3，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得△QBP ∽△COA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m=﹣3；（2）Q （﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由见解析【分析】（1）函数的对称轴为：x=1，点C 为AD 的中点，则点A （-1，0），即可求解；（2）tan ∠ABQ=3，点B （3，0），则AQ 所在的直线为：y=±3x （x-3），即可求解；（3）分点Q （2，-3）、点Q （-4，21）两种情况，分别求解即可．【详解】（1）设对称轴交x 轴于点E ，直线AC 交抛物线对称轴于点D ，函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），则AQ所在的直线为：y＝±3（x﹣3）…②，联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由：△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°①当点Q（2，﹣3）时，则BP的表达式为：y＝﹣13（x﹣3）…③，联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣43，故点P（﹣41339，），此时BP：PQ≠OA：AC，故点P不存在；②当点Q（﹣4，21）时，同理可得：点P（﹣21139，），此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；综上，点P不存在．【点睛】此题考查二次函数综合运用，一次函数的性质、三角形相似、中点公式的运用等，解题关键在于要注意分类求解，避免遗漏．21．如图，二次函数y ＝12x 2+bx+c 的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是（2，0），B 点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得△CBD 的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标；若C 点不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x 2﹣4x+6；（2）D 点的坐标为（6，0）；（3）存在．当点C 的坐标为（4，2）时，△CBD 的周长最小【分析】（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D 的坐标；（3）连接CA ，由于BD 是定值，使得△CBD 的周长最小，只需CD+CB 最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD ，只需CA+CB 最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A 、C 、B 三点共线时，CA+CB 最小，只需用待定系数法求出直线AB 的解析式，就可得到点C 的坐标．【详解】（1）把A （2，0），B （8，6）代入212y x bx c =++，得 14202164862b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩ 解得：46b c =-⎧⎨=⎩∴二次函数的解析式为21462y x x =+﹣；（2）由2211464222y x x x =+=﹣（﹣）﹣，得二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣2）．令y=0，得214602x x +=﹣，解得：x 1=2，x 2=6，∴D 点的坐标为（6，0）；（3）二次函数的对称轴上存在一点C ，使得CBD 的周长最小．连接CA ，如图，∵点C 在二次函数的对称轴x=4上，∴x C =4，CA=CD ，∴CBD 的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD ，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A 、C 、B 三点共线时，CA+CB 最小，此时，由于BD 是定值，因此CBD 的周长最小．设直线AB 的解析式为y=mx+n ，把A （2，0）、B （8，6）代入y=mx+n ，得208m n m n +=⎧⎨+=⎩解得：12m n =⎧⎨=-⎩ ∴直线AB 的解析式为y=x ﹣2．当x=4时，y=4﹣2=2，∴当二次函数的对称轴上点C 的坐标为（4，2）时，CBD 的周长最小．【点睛】本题考查了（1）二次函数综合题；（2）待定系数法求一次函数解析式；（3）二次函数的性质；（4）待定系数法求二次函数解析式；（5）线段的性质：（6）两点之间线段最短．22．已知：如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （1，0）和C （0，﹣3）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果这个二次函数的图象与x 轴的另一个交点为B ，求线段AB 的长．（3）在这条抛物线上是否存在一点P ，使△ABP 的面积为8？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为223y x x =+- ；（2）=4AB ；（3）存在，点P 的坐标为1(1P -+或2(1P --或3(1,4)P --. 【分析】（1）利用待定系数法把A （1，0），C （0，-3）代入二次函数y=x 2+bx+c 中，即可算出b 、c 的值，进而得到函数解析式是y=x 2+2x-3；（2）首先求出A 、B 两点坐标，再算出AB 的长；（3）设P （m ，n ），根据△ABP 的面积为8可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P 点坐标．【详解】 解：（1）依题意把()0A 1，，()03C -，代入2y x bx c =++得： 103b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩ ， ∴ 该二次函数的解析式为223y x x =+- ；（2）令0y =，则2230x x +-=，解之得：11x =，23x =- ，∴ 点B 坐标为（－3，0），。

【原题】已知，如图1，经过点A （－3，0）的抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点B （-2，-2）及原点O ．点D 是抛物线第二象限图像上的一点，AH ⊥x 轴与H 点，且tan ∠DAH =4． 【问题】（1）求点D 坐标及抛物线的解析式；（2）在线段OB 下方的抛物线上有一点M ，当△MOB 的面积最大时，求点M 的坐标，并求出最大面积．A 图1xyH BDOA xyBDO（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点N （不与M 重合），使得S △OBN =S △OBM ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，请说明理由． 变式练习：抛物线上是否存在点N ，使得S △OBN =14S △OBD ．（4）连接BD ，取BD 中点F ，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使得QF +QD 的值最小，求出点Q 坐标，并求出QF +QD 的最小值．变式练习：①连接BD ，取BD 中点F ，点R 、S 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形DFRS 的周长最小时，求出R 、S 的坐标，并求出四边形DFRS 周长的最小值．②连接BD ，在x 轴上是否存在一点Q ，使得∣QD -QB ∣的值最大，若存在，求出点Q 坐标，并求出最大值；若不存在，请说明理由．③连接AD ，点M 、N 分别是线段OD 、AD 上的动点，连接AM ，MN ，当AM +MN 的值最小时，求出点N 的坐标．④将线段OB 向左移动m 个单位长度，得到线段O ′B ′连接O ′D 、B ′D ，是否存在这样的m ，使得O ′D +B ′D 的值最小？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．⑤已知P （0，a ）、Q （0，a +3）是y 轴上的两个动点，当四边形BDQP 的周长最小时，求a 的值．A xyBDOA xyBDO（5）在（4）的条件下，点G 是线段OD 上的动点，当△DFG 是等腰三角形时，求点G的坐标．（6）在（4）的条件下，点G 是线段OD 上的动点，把△BFG 沿着线段FG 翻折，是否存在这样的点G ,使△BFG 与△DFG 的重叠部分的面积等于△BDG 的14，若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由．（7）若点K 在抛物线上，点L 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、K 、L 为顶点的四边形是平行四边形，求点K 的坐标；A xyBDOA xyBDOA xyBDO变式练习：若点K 在抛物线上，点L 在x 轴上，且A 、B 、K 、L 为顶点的四边形是平行四边形，求点K 的坐标．（若求L 的坐标呢？）（8）若点U 是抛物线对称轴上一点，当△ADU 是Rt △时，求点U 的坐标．A xyBDOA xyBDO（9）连接BD ，点N 是直线BD 上的一点，在y 轴的正半轴，是否存在一点M ，使得∠MNO =45°，且存在唯一的N 点，若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．变式训练：连接BD ，把△OBD 沿着OD 翻折，使得点B 落在第一象限的点B ˊ处，点P从点D 出发向点B 作匀速运动，点Q 从点B ˊ出发向点D 作匀速运动，两点同时出发，速度均为每秒一个单位长度，连接OP ，OQ ，当时间t 为多少秒时，PO 平分∠BPQ 的同时，QO 平分∠PQ B ˊ？A xyBDOA xyBDOB ˊ（10）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PT ⊥x 轴，垂足为T ，是否存在点P ，使得以P 、T 、A 为顶点的三角形△BOD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．变式练习：P 是抛物线上的一点，过点P 作PT ⊥x 轴，垂足为T ，过点B 作BI ⊥x 轴，垂足为I ，是否存在点P ，使得以P 、T 、A 为顶点的三角形△ABI 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（11）若点C 在抛物线上，且∠CDO ＝∠BDO ，试探究：在（2）的条件下，是否存在点G ，使得△GOD ∽△COB ？若存在，请求出所有满足条件的点G 坐标；若不存在，请说明理由．I A xyBDOCA xyBDO。

中考数学二次函数存在性问题及参考答案中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线 $y=x^2$ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 $y=(x-h)^2+k$。

所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。

1）写出h、k的值；2）判断△ACD的形状，并说明理由；3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

2.如图，已知抛物线经过A（$-2,0$），B（$-3,3$）及原点O，顶点为C。

1）求抛物线的解析式；2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线 $y=ax^2+bx$ （$a>0$）与双曲线$y=\frac{k}{x}$ 相交于点A，B。

已知点B的坐标为（$-2,-2$），点A在第一象限内，且 $\tan\angle AOX=4$。

过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。

1）求双曲线和抛物线的解析式；2）计算△ABC的面积；3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积。

若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

4.如图，抛物线 $y=ax^2+c$ （$a>0$）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（$-2,0$），B（$-1,-3$）。

1）求抛物线的解析式；2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使$\triangle PAD=4\triangle ABM$ 成立，求点P的坐标。

二次函数解析几何专题——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

一、方法总结解存在性问题的一般步骤：（1）假设点存在；（2）将点的坐标设为参数；（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。

二、常用公式（1）两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB|=221221)()(y y x x -+-（2）中点坐标公式：1212,22x x y y x y ++==（3）斜率公式：①；②（为直线与x 轴正方向的夹角）2121y y k x x -=-tan k θ=θ（4）①对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2②如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.题型一 面积问题例1．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．变式练习：1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．O B A CyxA xy BO能力提升：1.（2013菏泽）如图1，△运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．yD BMA CO xE 图1的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点与△POC的坐标；若不存在，请说明理由；c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交m（m＞1）与x轴交于D。