(新人教A版)2020版高考数学大一轮复习第九章统计第1节获取数据的基本途径及抽样方法讲义理

第 1 节获得数据的基本门路及抽样方法考试要求 1. 知道获得数据的基本门路； 2. 认识整体、样本、样本容量的观点，认识数据的随机性； 3. 认识简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：签法和随机数法； 4. 认识分层随机抽样的特色和合用范围，认识分层随机抽样的必需性，抽掌握各层样本量比率分派的方法.知识梳理1.获得数据的基本门路获得数据的基本门路包含：统计报表和年鉴、社会检查、试验设计、普查和抽样、互联网等.(1)统计报表是指各级企事业、行政单位按规定的表格形式、内容、时间要求报送程序，自上而下一致部署，供给统计资料的一种统计检查方式.(2)年鉴是以全面、系统、正确地记述上年度事物运动、发展状况为主要内容的资料性工具书. 汇辑一年内的重要时势、文件和统计资料，按年度连续第一版的工具书.2.整体、样本、样本容量要观察的对象的全体叫做整体，每一个观察对象叫做个体，从整体中被抽取的观察对象的集体叫做整体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.3.简单随机抽样(1) 定义：设一个整体含有N 个个体，从中逐一不放回地抽取n个个体作为样本(≤)，如n N果每次抽取时整体内的各个个体被抽到的时机都相等，就把这类抽样方法叫做简单随机抽样.(2) 最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.4.分层抽样(1)定义：在抽样时，将整体分红互不交错的层，而后依据必定的比率，从各层独立地抽取必定数目的个体，将各层取出的个体合在一同作为样本，这类抽样方法叫做分层抽样.(2) 应用范围：当整体是由差异显然的几个部分构成时，常常采纳分层抽样.[ 微点提示 ]1. 无论哪一种抽样方法，整体中的每一个个体入样的概率都是同样的.2. 分层抽样是按比率抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.3. 一致性是统计报表的基本特色. 详细表现为：(1) 统计报表的内容和报送的时间是由国家强迫规定的，以保证检查资料的一致性 .(2) 统计报表的指标含义，计算方法、口径是全国一致的.基础自测1. 判断以下结论正误 ( 在括号内打“√”或“×”)(1) 简单随机抽样每个个体被抽到的时机不同样，与先后有关 .()(2) 统计报表是我国获得公民经济和社会发展状况基本统计资料的一种重要手段.()(3) 统计报表既能够越级汇总，也能够层层上报、逐级汇总，以便知足各级管理部门对主管系统和地区统计资料的需要.()(4) 分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()答案(1) ×(2) √(3) √(4) ×2.( 必修 3P100 A1 改编 ) 在“世界念书日”前夜，为了认识某地 5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了200 名居民的阅读时间进行统计剖析. 在这个问题中，5 000 名居民的阅读时间的全体是 ()A. 整体B. 个体C.样本的容量D.从整体中抽取的一个样本分析 由题目条件知， 5 000 名居民的阅读时间的全体是整体；此中每 1 名居民的阅读时间是个体； 从 5 000 名居民某天的阅读时间中抽取的 200 名居民的阅读时间是从整体中抽取的一个样本，样本容量是 200.答案 A3.( 必修 3P100A2(2) 改编 ) 一个企业共有 N 名职工，下设一些部门，要采纳等比率分层抽样的方法从全体职工中抽取样本容量为n 的样本，已知某部门有名职工， 那么从该部门抽取m的职工人数是 ________.n 分析 每个个体被抽到的概率是 N，设这个部门抽取了x 个职工，x n nm则 ＝ ，∴ x ＝N .m Nnm答案N4.(2019 ·东营月考 ) 为认识高三年级 400 名学生的身高状况，从中抽取40 名学生进行丈量，这 40 名学生的身高是 ()A. 整体的一个样本B. 个体C.整体D.样本容量答案A5.(2019 ·天津河东区调研) 某企业有职工500 人，此中不到 35 岁的有125 人， 35～ 49 岁的有 280人， 50 岁以上的有95 人，为了检查职工的身体健康状况，从中抽取100 名职工，则应在这三个年纪段分别抽取人数为()A.33 ，34，33B.25 ， 56，19C.20 ，40，30D.30， 50，20分析由于 125∶80∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25， 56，19.答案B6.(2018 ·全国Ⅲ卷改编 ) 某企业有大批客户，且不同年纪段客户对其服务的评论有较大差异为认识客户的评论，该企业准备进行抽样检查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、抽样，则最适合的抽样方法是 ________..分层分析由于不同年纪段的客户对企业的服务评论有较大差异，所以需按年纪进行分层抽样，才能认识到不同年纪段的客户对企业服务的客观评论.答案分层抽样考点一整体、样本、样本容量【例 1】为认识普陀区高中二年级学生的身高，有关部门从高二年级中抽200 名学生丈量他们的身高，而后依据这一部分学生的身高去预计普陀区全部高二学生的均匀身高. 写出总体、个体、样本和样本容量.解整体是普陀区高二年级学生每人身高的全体，每名学生的身高是个体；从中抽取的200 名学生的每人身高的集体是整体的一个样本，样本容量是200.规律方法要观察的对象的全体叫做整体，每一个观察对象叫做个体，抽取的观察对象的集体叫做样本 . 全部的个体构成了整体，样本取决于整体，样本是整体的一部分，没有个体就没有整体，样本的特色反应了整体的相应特色.【训练1】为认识我省高考数学考试的状况，抽取 2 000名考生的数学试卷进行剖析， 2 000叫做 ()A. 个体B. 样本C.样本容量D.整体答案C考点二简单随机抽样及其应用【例 2】 (1) 以下抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为()①从无穷多个个体中抽取100 个个体作为样本.②盒子里共有80 个部件，从中选出 5 个部件进行质量查验. 在抽样操作时，从中随意取出一个部件进行质量查验后再把它放回盒子里.③从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量查验 .④某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛 .A.0B.1C.2D.3(2) 整体由编号为01，02，， 19， 20的 20 个个体构成，利用下边的随机数表选用 5 个个体，选用方法是从随机数表第 1 行的第5 列和第 6 列数字开始由左到右挨次选用两个数字，则选出来的第 5个个体的编号为 ()A.08B.07C.02D.01分析(1) ①不是简单随机抽样，由于被抽取样本的整体的个数是无穷的，而不是有限的；②不是简单随机抽样. 由于它是有放回抽样；③不是简单随机抽样. 由于这是“一次性”抽取，而不是“逐一”抽取；④不是简单随机抽样. 由于不是等可能抽样. 应选A.(2) 从第 1 行第 5 列和第 6 列构成的数65 开始由左到右挨次选出的数为08， 02， 14， 07，01，所以第 5 个个体编号为01.答案(1)A(2)D规律方法 1. 简单随机抽样需知足：(1) 被抽取的样本整体的个体数有限；(2) 逐一抽取； (3)是不放回抽取；(4) 是等可能抽取.2.简单随机抽样常有抽签法 ( 合用于整体中个体数较少的状况 ) 、随机数法 ( 合用于个体数许多的状况 ).【训练 2】 假定要观察某企业生产的 500 克袋装牛奶的三聚氰胺能否超标，现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行查验，利用随机数表抽取样本时，将 800 袋牛奶按 000，001， ， 799进行编号，若从随机数表第7 行第 8 列的数开始向右读，则获得的第 4 个样本个体的编号是________( 下边摘取了随机数表第 7 行至第 9 行).分析 由随机数表知，前 4 个样本的个体编号分别是 331， 572， 455， 068.答案 068考点三 分层抽样及其应用 多维研究角度 1求某层入样的个体数【例 3－ 1】 (2017 ·江苏卷 ) 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200， 400， 300， 100 件，为查验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽 取 60 件进行查验，则应从丙种型号的产品中抽取________件 .n 分析由于样本容量n ＝ 60，样本整体N ＝ 200＋ 400＋ 300＋ 100＝ 1 000，所以抽取比率为N ＝60 31 000 ＝ 50.3所以应从丙种型号的产品中抽取 300× 50＝ 18( 件 ).答案 18角度 2求整体或样本容量【例3－ 2】(1)某中学有高中生960 人，初中生 480 人，为了认识学生的身体状况，采纳分层抽样的方法， 从该校学生中抽取容量为n 的样本，此中高中生有24 人，那么n 等于 ( )A.12B.18C.24D.36(2)(2019·青岛调研 ) 甲、乙两套设施生产的同种类产品共4 800 件，采纳分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行质量检测. 若样本中有 50 件产品由甲设施生产，则乙设备生产的产品总数为________件 .分析(1) 依据分层抽样方法知n＝ 960＋ 48024 ，解得960n ＝36.801(2) 由题设，抽样比为 4 800 ＝ 60.设甲设施生产的产品为x 件，则 x＝ 50，∴ x ＝ 3 000.60故乙设施生产的产品总数为 4 800 －3 000 ＝1 800.答案 (1)D (2)1 800规律方法1. 分层抽样中分多少层， 怎样分层要视详细状况而定，总的原则是： 层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.2. 进行分层抽样的有关计算时，常用到的两个关系样本容量 n该层抽取的个体数 (1)整体的个数 N ＝ 该层的个体数；(2) 整体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.【训练 3】(1)某学校三个兴趣小组的学生人数散布以下表( 每名同学只参加一个小组)(单位：人).篮球组书画组乐器组高一45高二15学校要对这三个小组的活动成效进行抽样检查，30 a1020按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30 人，结果篮球组被抽出 12 人，则 a 的值为 ________.(2) 一个社会检查机构就某地居民的月收入检查了10 000 人，并依据所得数据画出了如图所示的频次散布直方图，现要从这10 000 人顶用分层抽样的方法抽取100 人作进一步检查，则月收入在 [2 500 ，3 000)(元 ) 内应抽取 ________人 .12 30分析 (1) 由分层抽样得 45＋ 15＝ 120＋ a ，解得 a ＝30.(2) 由频次散布直方图可得在 [2 500 ， 3 000) 收入段共有 10 000 ×0.000 5 ×500＝ 2 500 人，100按分层抽样应抽出2 500× 10 000 ＝25 人.答案 (1)30 (2)25[ 思想升华 ]1. 统计报表有三个明显长处：根源靠谱、回收率高、方式灵巧.2.年鉴集辞典、手册、年表、图录、书目、索引、文摘、表谱、统计资料、指南、便览于一身，拥有资料威望、反响实时、连续第一版、功能齐备的特色.3. 两种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，表现了这两种抽样方法的客观性和公正性. 若样本容量为n，整体容量为N，每个个体被抽到的概n率是N.4. 分层抽样合用于整体由差异显然的几部分构成的状况；分层后，在每一层抽样时可采纳简单随机抽样 .[ 易错防备 ]1.正确分清观察对象是抽取样本的重点，样本容量没有单位.2.简单随机抽样中易忽略样本是从整体中逐一抽取，是不放回抽样.3.分层抽样中，易忽略每层抽取的个体的比率是同样的.基础稳固题组( 建议用时： 35 分钟 )一、选择题1. 为了观察某班学生的身高状况，从中抽取20 名学生进行身高测算，以下说法正确的选项是()A.这个班级的学生是整体B.抽测的 20 名学生是样本C.抽测的 20 名学生的身高的全体就是整体D.样本容量是20答案D2. 以下抽样试验中，适合用抽签法的为()A. 从某厂生产的 5 000 件产品中抽取600 件进行质量查验B. 从某厂生产的两箱( 每箱 18 件 ) 产品中抽取 6 件进行质量查验C.从甲、乙两厂生产的两箱( 每箱 18 件 ) 产品中抽取 6 件进行质量查验D.从某厂生产的 5 000 件产品中抽取10 件进行质量查验分析由于 A， D 中整体的个体数较大，不适合用抽签法； C 中甲、乙两厂生产的产质量量可能差异较大，所以未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法； B 中整体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.答案B3.( 一题多解 )(2019 ·青岛测试) 某中学有高中生 3 500 人，初中生 1 500 人，为认识学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70 人，则n为 ()A.100B.150C.200D.250分析法一由题意可得70＝3 500，解得＝ 100.n－70 1 500n701法二由题意，抽样比为 3 500＝50，整体容量为 3 500＋1 500 ＝5 000 ，1故 n＝5 000×50＝100.答案A4. 整体由编号为 01， 02， 03，， 49， 50的 50 个个体构成，利用随机数表( 以下选用了随机数表中的第 1 行和第 2 行 ) 选用 5 个个体，选用方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10列数字开始由左向右读取，则选出来的第 4 个个体的编号为 ()66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 6876 83 20 37 9057 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 9052 83 20 37 90A.05B.09C.11D.20分析从随机数表第 1 行的第 9 列和第10列数字开始由左向右读取，切合条件的数有14，05， 11， 05， 09 由于 05 出现了两次，所以选出来的第 4 个个体的编号为 09.答案B5. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为() A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1 365石分析由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为28×1 534 ≈169( 石 ). 254答案B6. 在检测一批同样规格共500 kg 航空耐热垫片的质量时，随机抽取了280 片，检测到有5片非优良品，则这批垫片中非优良品约为()A.2.8 kgB.8.9 kgC.10 kgD.28 kg5分析由题意，这批垫片中非优良品约为280×500≈8.9 kg.答案B7. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采纳分层抽样的方法检查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320 人，则该样本中的老年教师人数为()类型人数老年教师900中年教师 1 800青年教师 1 600共计 4 300A.90B.100C.180D.300x320分析设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特色得900＝1 600，故 x＝180.答案C8. 某地域高中分三类， A 类学校共有学生 2 000人， B类学校共有学生 3 000 人，C类学校共有学生 4 000 人，若采纳分层抽样的方法抽取900 人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为 ()1911A. 10B. 20C.2 000 D. 2分析利用分层抽样，每个学生被抽到的概率是同样的，故所求的概率为90012 000 ＋3000 ＋ 4 000＝10.答案A二、填空题9. 从 300名学生 ( 此中男生 180 人，女生120 人 ) 中按性别用分层抽样的方法抽取50 人参加竞赛，则应当抽取男生人数为________.分析由于男生与女生的比率为180∶120＝3∶2，所以应当抽取男生人数为 50×3＝ 30. 3＋2答案3010.某班的数学老师要对该班一模考试的数学成绩进行剖析，利用随机数法抽取样本时，先将该班70 名同学按00， 01，02，， 69 进行编号，而后从随机数表第9 行第9 列的数开始向右读，则选出的10 个样本中第8 个样本的编号是________.( 注：以下是随机数表的第8行和第 9行)第8行：630163785916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 3879第9行：332112342978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 7954分析由随机数表知选出的10 个样本挨次是29，64， 56， 07， 52， 42， 44， 38， 15， 51，第 8 个样本编号是38.答案3811.(2019 ·南京结合体学校调研) 为查验某校高一年级学生的身高状况，现采纳先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为210 的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.3 ，且男女生的比是 4∶3，则该校高一年级女生的人数是________.3分析抽取的高一年级女生的人数为210×7＝ 90，则该校高一年级女生的人数为90÷0.3＝300.答案30012.某高中在校学生有 2 000 人，为了响应“阳光体育运动”的呼吁，学校展开了跑步和爬山竞赛活动 . 每人都参加并且只参加此中一项竞赛，各年级参加竞赛的人数状况如表：高一年级高二年级高三年级跑步a b c爬山x y z2此中 a∶ b∶ c＝2∶3∶5，全校参加爬山的人数占总人数的. 为认识学生对本次活动的满意5程度，从中抽取一个200 人的样本进行检查，则从高二年级参加跑步的学生中应抽取________.3分析依据题意可知样本中参加跑步的人数为200×5＝ 120，所以从高二年级参加跑步的学3生中应抽取的人数为120×2＋3＋5＝ 36.答案36能力提高题组( 建议用时： 15 分钟 )13. 交通管理部门为认识灵巧车驾驶员( 简称驾驶员 ) 对某新法例的了解状况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样检查. 假定四个社区驾驶员的总人数为N，此中甲社区有驾驶员96 人 .若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12， 21，25， 43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A.101B.808C.1 212D.2 01212112＋ 21＋ 25＋ 43＝ 101，所以四分析甲社区每个个体被抽到的概率为96＝8，样本容量为个社区中驾驶员的总人数＝101＝ 808.N18答案B14. 用简单随机抽样的方法从含有10个个体的整体中抽取一个容量为 3 的样本，此中某一个体 a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()A.11B.31，，5 101010C.1，3D.3 ，35101010分析在抽样过程中，个体 a 每一次被抽中的概率是相等的，由于整体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110，应选 A.答案A15.某工厂的三个车间在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采纳分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a， b，c，且 a， b， c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为________.分析由于 a， b， c 成等差数列，所以2b＝a＋c.所以a＋ b＋c1＝ b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的. 依据分层抽样的性质，可3311知第二车间生产的产品数占总数的3，即为3×3 600＝ 1 200.答案 1 20016. 已知某居民小区户主人数和户主对户型构造的满意率分别如图 1 和如图 2 所示，为认识该小区户主对户型构造的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行检查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为________.分析样本容量为(150 ＋ 250＋100) ×20%＝ 100，所以抽取的户主对四居室满意的人数为100×100×40%＝ 8.150＋ 250＋100答案100， 8。

9．1.2 分层随机抽样9．1.3 获取数据的途径课程标准1.理解分层随机抽样的概念；掌握各层样本量比例分配的方法．2．了解获取数据的一些基本途径．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一分层随机抽样一般地，按______________变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行________，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为________，这样的抽样方法称为分层随机抽样．(1)每一个子总体称为________，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为________．(2)如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为x̅，y̅，两层的总体平均数分别为X̅，Y̅，总体平均数为W̅，样本平均数为w̅.则w̅＝__________x̅＋__________y̅.W̅＝__________X̅＋__________Y̅.(3)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数w̅估计总体平均数W̅.要点二获取数据的途径获取数据的基本途径有__________________、________________、____________、______________等．批注应用分层随机抽样的前提条件：(1)总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．(2)每层中所抽取的个体差异可按各层个体在总体中所占的比例抽取．(3)分层随机抽样要求对总体的情况有一定的了解，明确分层的界限和数目．夯实双基1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)简单随机抽样和分层随机抽样都是等可能抽样．( )(2)分层随机抽样是按一定的比例从各层抽取个体组成样本的抽样．( )(3)在分层随机抽样时，每层可以不等可能抽样．( )(4)通过网络查询的数据是真实的数据．( )2．“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是( )A.通过调查获取数据B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据3．某企业生产A，B，C三种型号电子产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层随机抽样的方法抽出容量为n的样本，其中B型产品30件，则样本容量n＝( ) A．100 B．120C．150 D．904．某地有15 000亩农田，其中山地、平原、洼地分别为9 800亩、1 200亩、4 000亩，在实施乡村振兴战略中，要对这个地方的农作物产量进行调查，应当采用的抽样方法是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1对分层随机抽样概念的理解例1 (多选)某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出200人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法正确的是( )A.采用分层随机抽样比简单随机抽样更合理B．若按专业类型进行分层随机抽样，则理学专业和工学专业应抽取60人和40人C．若按专业类型进行分层随机抽样，则张三被抽到的可能性比李四大D．该问题中的样本容量为200题后师说分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．巩固训练1 下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量题型 2分层随机抽样的应用例2 (1)[2022·山东青岛高一期末]一支野外科学考察队有男队员56人，女队员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，那么下面说法正确的为( )A．男队员应抽取12人B．男队员应抽取16人C．女队员应抽取6人D．女队员应抽取14人(2)一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？题后师说分层随机抽样的一般步骤巩固训练2 (1)[2022·河北保定高一期末]某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区2 000名男性居民和1 600名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为180的样本，则应从女性居民中抽取的人数为( )A．60 B．80C．90 D．100(2)[2022·湖南永州高一期末]在中国共产主义青年团建团100周年之际，某高中学校计划选派60名团员参加“文明劝导”志愿活动，高一、高二、高三年级的团员人数分别为100，200，300，若按分层抽样的方法选派，则高一年级需要选派的人数为________．题型 3获取数据的途径例3 为了缓解城市的交通拥堵情况，某市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查．某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果会怎样？题后师说在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法和策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得到统计推断．巩固训练3 为了研究近年我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的最好途径是( )A ．通过调查获取数据B ．通过试验获取数据C ．通过观察获取数据D ．通过查询获得数据9．1.2 分层随机抽样9．1.3 获取数据的途径新知初探·课前预习[教材要点]要点一一个或多个 简单随机抽样 总样本 (1)层 比例分配 (2)m m ＋nnm ＋nMM ＋NNM ＋N要点二通过调查获取数据 通过试验获取数据 通过观察获取数据 通过查询获得数据[夯实双基]1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．解析：“中国天眼”主要是通过观察获取数据．故选C. 答案：C3．解析：由分层抽样可知，53+5+7＝30n ，解得n ＝90.故选D.答案：D4．解析：由于田地分为：山地、平原、洼地，不同的田地农作物产量会有较大的不同，所以应该采用分层抽样．答案：分层抽样题型探究·课堂解透例1 解析：对于选项A ，采用分层随机抽样更合理，故A 正确； 对于选项B ，理学专业应抽取的人数为200×30100＝60，工学专业应抽取的人数为200×20100＝40，故B 正确；对于选项C ，张三与李四被抽到的可能性一样大，故C 错误； 对于选项D ，该问题中的样本容量为200，故D 正确．故选ABD. 答案：ABD巩固训练1 解析：A 中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C 和D 中总体个体无明显差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B 中总体个体差异明显，适合用分层随机抽样．故选B.答案：B例2 解析：(1)抽样比为2856+42＝27，故男队员应抽取56×27＝16(人)，女队员应抽取42×27＝12(人)，故选B.(2)用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：①分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．②确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500＝15， 则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15＝56(人)； 在50岁及50岁以上的职工中抽取95×15＝19(人)． ③在各层分别按随机数法抽取样本． ④汇总每层抽样，组成样本． 答案：(1)B (2)见解析巩固训练2 解析：(1)应从女性居民中抽取的人数为180× 1 6002 000+1 600＝80，故选B. (2)依题意可知高一年级需要选派的人数为100100+200+300×60＝10(人)．答案：(1)B (2)10例3 解析：一个城市交通状况的好坏将直接影响着生活在这个城市中的每个人，关系到每个人的利益．为了调查这个问题，在抽样时应当关注到各种人群，既要抽到拥有私家车的市民，也要抽到没有私家车的市民．调查时，如果只对拥有私家车的市民进行调查，结果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿．因此，在调查时，要对生活在该城市的所有市民进行随机抽样调查，不要只关注到拥有私家车的市民．巩固训练3 解析：因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据．故选D.答案：D。

第9讲 对数与对数函数1.对数概念如果a x=N (a>0,且a ≠1),那么x 叫作以a 为底N 的 ,记作x=log a N ,其中a叫作对数的底数,N 叫作真数,log a N 叫作对数式性质底数的限制:a>0,且a ≠1对数式与指数式的互化:a x=N ⇔负数和零没有log a 1=log a a=1对数恒等式:a lll a l = 运算法则 log a (M ·N )=a>0,且a ≠1, M>0,N>0log a MN =log a M n= (n∈R) 换底公式换底公式:log a b=log l l log l l(a>0,且a ≠1,c>0,且c ≠1,b>0)推论:lo g l l b n= ,log a b=1log l l2.对数函数的概念、图像与性质概念函数y=log a x (a>0,a ≠1)叫作 函数底数a>1 0<a<1图像定义域(续表) 值域性质过定点,即x=1时,y=0 在区间(0,+∞)上是函数在区间(0,+∞)上是函数3.反函数指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数互为反函数,它们的图像关于直线对称.常用结论1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.2.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.题组一常识题1.[教材改编]化简log a b log b c log c a的结果是.2.[教材改编]函数f(x)=log2(2-x)的定义域是.3.[教材改编]若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(2)= .4.[教材改编]函数y=lo√2x2-4x+5)的单调递增区间是.题组二常错题◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位;忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质;忽略对底数的讨论致误.5.有下列结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=1,则x=10;④若log 22=x ,则x=1;⑤若log m n ·log 3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是 .6.已知lg x+lg y=2lg(x-2y ),则ll = .7.设a=14,b=log 985,c=log 8√3,则a ,b ,c 的大小关系是 .8.若函数y=log a x (a>0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a= .探究点一 对数式的化简与求值例1 (1)[2018·宿州质检] 已知m>0,n>0,lo g √2(3m )+log 2n=lo g √2(2m 2+n ),则log 2m-log 4n 的值为( )A .-1B .1C .-1或0D .1或0(2)设2x=5y=m ,且1l +1l=2,则m= .[总结反思] (1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.(2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.变式题 (1)[2018·昆明一中模拟] 设x ,y 为正数,且3x=4y,当3x=py 时,p 的值为 ( ) A .log 34 B .log 43 C .6log 32 D .log 32(2)计算:lg 32+log 416+6lg 12-lg 5= . 探究点二 对数函数的图像及应用例2 (1)函数f (x )=log a |x|+1(0<a<1)的图像大致是( )A BC D图2-9-1(2)[2018·濮阳二模] 设x 1,x 2,x 3均为实数,且(12)l 1=log 2(x 1+1),(12)l 2=log 3x 2,(12)l 3=log 2x 3,则 ( ) A .x 1<x 3<x 2B .x 3<x 2<x 1C .x 3<x 1<x 2D .x 2<x 1<x 3[总结反思] (1)在研究对数函数图像时一定要注意其定义域,注意根据基本的对数函数图像作出经过平移、对称变换得到的函数的图像.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解. 变式题 (1)函数f (x )=ln(|x|-1)的大致图像是( )A BC D图2-9-2(2)若函数f (x )=log 2(x+1),且a>b>c>0,则l (l )l ,l (l )l ,l (l )l的大小关系是 ( )A .l (l )l>l (l )l >l (l )lB .l (l )l>l (l )l >l (l )l C .l (l )l>l (l )l >l (l )lD .l (l )l>l (l )l >l (l )l探究点三 解决与对数函数性质有关的问题微点1 比较大小例3 (1)[2018·武汉4月调研] 若实数a ,b 满足a>b>1,m=log a (log a b ),n=(log a b )2,l=log a b 2,则m ,n ,l 的大小关系为 ( )A .m>l>nB .l>n>mC .n>l>mD .l>m>n(2)[2018·长沙雅礼中学期末] 已知a=ln 12,b=lo g 1312,则( )A .a+b<ab<0B .ab<a+b<0C .a+b<0<abD .ab<0<a+b[总结反思] 比较对数式的大小,一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较,二是采用中间值0或1等进行比较,三是将对数式转化为指数式,再将指数式转化为对数式,通过巡回转化进行比较.微点2 解简单对数不等式例4 (1)[2018·成都七中二诊] 若实数a 满足log a 23>1>lo g 34a ,则a 的取值范围是 ( )A .(23,1)B .(23,34) C .(34,1) D .(0,23)(2)已知实数a>0,且满足不等式33a+2>34a+1,则不等式log a (3x+2)<log a (8-5x )的解集为 .[总结反思] 对于形如log a f (x )>b 的不等式,一般转化为log a f (x )>log a a b,再根据底数的范围转化为f (x )>a b或0<f (x )<a b.而对于形如log a f (x )>log b g (x )的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.微点3 对数函数性质的综合问题例5 (1)[2018·丹东二模] 若函数f (x )={log l l ,l >3,log 1ll +2,0<l ≤3存在最小值,则a 的取值范围为 ( )A .(1,+∞)B .[3,+∞)C .(1,3]D .(1,√3](2)已知f (x )=lo g 12(x 2-ax+3a )在区间[2,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是 .[总结反思] 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. 应用演练1.【微点3】若函数f (x )=a+log 2x 在区间[1,a ]上的最大值为6,则a= ( )A .2B .4C .6D .82.【微点1】[2018·银川一中四模] 设a=0.50.4,b=log 0.40.3,c=log 80.4,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a<b<cB .c<b<aC .c<a<bD .b<c<a3.【微点2】已知函数f (x )在区间[-2,2]上单调递增,若f (log 2m )<f [log 4(m+2)]成立,则实数m 的取值范围是 ( )A .[14,2) B .[14,1)C.(1,4]D.[2,4]4.【微点3】函数f(x)=log2(-x2+2x)的单调递减区间是.)= .5.【微点3】已知函数f(x)=ln(√1+l2-x)+2,则f(lg 3)+f(lg13第9讲对数与对数函数考试说明 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.对数函数(1)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点;(2)知道对数函数是一类重要的函数模型;(3)了解指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)互为反函数.【课前双基巩固】知识聚焦log a b1.对数x=log a N 对数0N log a M+log a N log a M-log a N n log a M ll2.对数(0,+∞)R(1,0)增减3.y=log a x(a>0,且a≠1)y=x对点演练1.1 [解析] 利用对数的换底公式可得结果为1.2.(-∞,2) [解析] 由2-x>0,解得x<2,即函数f (x )的定义域为(-∞,2).3.1 [解析] 函数f (x )=log 2x ,所以f (2)=1.4.(-∞,2) [解析] 因为0<√2<1,所以y=lo √2单调递减,而函数y=x 2-4x+5>0恒成立,且单调递减区间为(-∞,2),所以函数y=lo √2x 2-4x+5)的单调递增区间是(-∞,2).5.①②③④⑤ [解析] ①lg 10=1,则lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0;③底的对数等于1,则x=10;④底的对数等于1;⑤log m n=lg l lg l,log 3m=lg l lg3,则lg l lg3=2,即log 3n=2,故n=9.6.4 [解析] 因为lg x+lg y=2lg(x-2y ),所以xy=(x-2y )2,即x 2-5xy+4y 2=0,解得x=y 或x=4y.由已知得x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y 不符合题意,当x=4y 时,得ll =4.7.c>a>b [解析] a=14=log 9√94=log 9√3<log 8√3=c ,a=log 9√3>log 985=b ,所以c>a>b.8.2或12 [解析] 分两种情况讨论:(1)当a>1时,有log a 4-log a 2=1,解得a=2;(2)当0<a<1时,有log a 2-log a 4=1,解得a=12.所以a=2或12. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)先化为同底的对数,根据对数的运算法则得出m ,n 之间的关系,再代入求值.(2)先反解x ,y ,再代入1l +1l =2,即可得m 的值.(1)C (2)√10 [解析] (1)因为lo g √2(3m )+log 2n=log 2(9m 2)+log 2n=log 2(9m 2n ), lo g √2(2m 2+n )=log 2(2m 2+n )2, 所以9m 2n=(2m 2+n )2,即4m 4-5m 2n+n 2=0,解得4m 2=n 或m 2=n , 所以log 2m-log 4n=log 2m-log 2√l =log 2√l 2l=-1或0.(2)由2x=5y=m ,得x=log 2m ,y=log 5m , 再由1l +1l =2,得1log 2l +1log 5l=2,即log m 2+log m 5=2, 所以log m 10=2,所以m=√10.变式题 (1)C (2)1 [解析] (1)令3x=4y=t ,则x=log 3t ,y=log 4t ,由3x=py ,得p=3log 3l log 4l =3log l 4log l3=3log 34=6log 32,故选C .(2)lg 32+log 416+6lg 12-lg 5=lg 25+log 442-6lg 2-lg 5=2-lg 2-lg 5=2-lg 10=1.例2 [思路点拨] (1)由f (x )的性质及其图像过点(1,1),(-1,1)得到答案;(2)在同一坐标系内作出函数y=(12)l与y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 的图像,根据图像得到交点,分析交点的横坐标进行大小比较.(2)在同一坐标系内画出函数y=(12)l与y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 的图像,根据图像得到交点,比较交点的横坐标的大小即可.(1)A (2)A [解析] (1)由于函数f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是偶函数,所以其图像关于y 轴对称.当x>0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是减函数;当x<0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是增函数.再由f (x )的图像过点(1,1),(-1,1),可知应选A .(2)x 1,x 2,x 3分别是函数y=(12)l与y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 图像的交点的横坐标,作出函数y=(12)l,y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 的大致图像如图所示,由图可得x 1<x 3<x 2,故选A . 变式题 (1)B (2)B [解析] (1)函数f (x )=ln(|x|-1)的定义域为{x|x>1或x<-1},且f (x )是偶函数,故排除C,D;当x>1时,函数f (x )=ln(x-1)是增函数,故排除A .故选B . (2)由题意可得,l (l )l ,l (l )l ,l (l )l可分别看作函数f (x )=log 2(x+1)图像上的点(a ,f (a )),(b ,f (b )),(c ,f (c ))与原点连线的斜率,结合图像(图略)可知,当a>b>c>0时,l (l )l>l (l )l >l (l )l .故选B .例3 [思路点拨] (1)推导出0=log a 1<log a b<log a a=1,由此利用对数函数的单调性比较m ,n ,l 的大小;(2)先分析出ab<0,a+b<0,再利用作差法比较ab 和a+b 的大小关系得解. (1)B (2)B [解析] (1)∵实数a ,b 满足a>b>1,m=log a (log a b ),n=(log a b )2,l=log a b 2,∴0=log a 1<log a b<log a a=1, ∴m=log a (log a b )<log a 1=0,0<n=(log a b )2<1,l=log a b 2=2log a b>n=(log a b )2,∴l>n>m.故选B .(2)由题得a=ln 12<ln 1=0,b=lo g 1312>lo g 131=0,所以ab<0.又a+b=ln 12+lo g 1312=-ln 2+ln2ln3=ln 2(1ln3-1)=ln 2·1-ln3ln3<0,则ab-(a+b )=ab-a-b=ln 12·lo g 1312-ln 12-lo g 1312=-ln 2·ln2ln3+ln 2-ln2ln3=ln 2(-ln2ln3+1-1ln3)=ln 2·ln3-ln2-1ln3=ln 2·ln32eln3<0,所以ab<a+b<0.例4 [思路点拨] (1)分别求解不等式log a 23>1与lo g 34a<1,其交集即为不等式的解集;(2)先根据指数不等式确定a 的范围,然后根据同底的对数不等式求解,并注意真数的取值. (1)C (2)(34,85) [解析] (1)根据对数函数的性质,由log a 23>1,可得23<a<1;由lo g 34a<1,得a>34.综上可得34<a<1,∴a 的取值范围是(34,1),故选C .(2)由题意得3a+2>4a+1,∴0<a<1,∴{3l +2>8-5l ,3l +2>0,8-5l >0,解得x ∈(34,85).例5 [思路点拨] (1)由分段函数在两段上的单调性,结合f (x )存在最小值,列不等式求解即可;(2)令t=x 2-ax+3a ,则由题意可得函数t=x 2-ax+3a 在区间[2,+∞)上为增函数,且当x=2时,t>0,从而得解.(1)C (2)-4<a ≤4 [解析] (1)由题意可知a>1,否则函数无最小值, 所以当x>3时,f (x )>log a 3,当0<x ≤3时,f (x )=lo g 1lx+2单调递减,且满足f (x )≥f (3)=lo g 1l3+2,所以log a 3≥lo g 1l3+2,即log a 3≥1,得1<a ≤3.故选C .(2)令t=x 2-ax+3a ,则由函数g (t )=lo g 12t 在区间[2,+∞)上为减函数,可得函数t=x 2-ax+3a 在区间[2,+∞)上为增函数,且当x=2时,t>0, 故有{l2≤2,4-2l +3l >0,解得-4<a ≤4.应用演练1.B [解析] 由题得函数f (x )=a+log 2x 在区间[1,a ]上是增函数,所以当x=a 时,函数取得最大值6,即a+log 2a=6,解得a=4.故选B .2.C [解析] ∵0<a=0.50.4<0.50=1,b=log 0.40.3>log 0.40.4=1,c=log 80.4<log 81=0,∴c<a<b.3.A [解析] 不等式即为f (log 4m 2)<f [log 4(m+2)], ∵函数f (x )在区间[-2,2]上单调递增,∴{log 4l 2<log 4(l +2),-2≤log 2l ≤2,-2≤log 4(l +2)≤2,即{ l2<l +2,14≤l ≤4,116≤l +2≤16,解得14≤m<2, ∴实数m 的取值范围是[14,2).故选A .4.(1,2) [解析] 由-x 2+2x>0,可得x 2-2x<0,解得0<x<2, ∴函数f (x )=log 2(-x 2+2x )的定义域为(0,2).又y=log 2x 在(0,+∞)上单调递增,y=-x 2+2x (0<x<2)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,∴函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,∴函数f (x )的单调递减区间是(1,2).5.4 [解析] 设g (x )=ln(√1+l 2-x ),显然有g (-x )=-g (x ),即g (x )为奇函数,则g (-x )+g (x )=0,所以f (lg 3)+f (lg 13)=f (lg 3)+f (-lg 3)=g (lg 3)+2+g (-lg 3)+2=4.【备选理由】 例1主要考查对数的运算、对数函数图像的变换;例2考查比较对数式的大小;例3主要考查复合函数的单调性以及对数函数与指数函数的性质;例4为对数函数性质的综合问题.例1 [配合例2使用] 为了得到函数y=lg x 的图像,只需将函数y=lg(10x )图像上( )A .所有点的纵坐标伸长到原来的10倍,横坐标不变B .所有点的横坐标缩短到原来的110,纵坐标不变C .所有点沿y 轴向上平移一个单位长度D .所有点沿y 轴向下平移一个单位长度[解析] D y=lg(10x )=1+lg x ,将y=1+lg x 图像上所有点沿y 轴向下平移一个单位长度,就得到函数y=lg x 的图像,故选D .例2 [配合例3使用] [2018·柳州三模] 已知a=18118,b=log 2017√2018,c=log 2018√2017,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c>b>aB .b>a>cC .a>c>bD .a>b>c[解析] D a=18118>180=1,b=log 2017√2018=12log 20172018,∵log 20172018∈(1,2),∴b ∈(12,1).c=log 2018√2017=12log 20182017,∵log 20182017∈(0,1),∴c ∈(0,12),∴a>b>c.例3 [配合例5使用] 已知函数f (x )=lg (5l +45l +l )的值域是R,则m 的取值范围是( ) A .(-4,+∞) B .[-4,+∞)C .(-∞,4)D .(-∞,-4][解析] D 令t=5x +45l +m ,因为f (x )的值域为R,所以t 可取(0,+∞)内的每一个正数,所以4+m ≤0,故m ≤-4,故选D .例4 [配合例5使用] 已知函数f (x )=log a (x+1),g (x )=log a (1-x )(其中a>0,且a ≠1).(1)求函数f (x )+g (x )的定义域;(2)判断函数f (x )-g (x )的奇偶性,并予以证明;(3)求使f (x )+g (x )<0成立的x 的取值集合. 解:(1)由题意得{l +1>0,1-l >0,∴-1<x<1,∴所求定义域为{x|-1<x<1}.(2)函数f (x )-g (x )为奇函数.证明如下:令h (x )=f (x )-g (x ),则h (x )=log a (x+1)-log a (1-x )=log al +11-l , 则h (-x )=log a -l +11+l =-log a l +11-l =-h (x ), ∴函数h (x )=f (x )-g (x )为奇函数.(3)∵f (x )+g (x )=log a (x+1)+log a (1-x )=log a (1-x 2)<0=log a 1,∴当a>1时,0<1-x2<1,即0<x<1或-1<x<0;当0<a<1时,1-x2>1,不等式无解.综上,当a>1时,使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合为{x|0<x<1或-1<x<0}.。

可编辑修改精选全文完整版第九章统计统计学有多种不同的定义，综合来说，统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学．作为专门研究有效收集和分析数据的科学，可以说凡是一个实际问题涉及数据处理，都应该利用统计学方法去分析和解决．统计方法不仅有用，对于理解周围的世界经常也是不可或缺的，它提供了对许多现象获得新见解的方法．现在统计学已深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面．尤其当我们进入大数据时代和“互联网＋”时代，作为研究数据分析的重要数学技术，统计学方法在相关领域的应用已成为数学应用的主要方法．统计素养已成为一名效率公民的基本素养．从新中国成立以来，在中学数学课程中，统计经历从无到有、从描述统计到推断统计、从选修变为必修的过程，其要求和地位都在不断提高．《课程标准2021年版》把“概率与统计”与“函数”“代数与几何”并列作为高中数学课程内容主线之一，并贯穿必修、选择性必修和选修整个数学课程．除了在初中统计基础上进一步学习数据收集和整理的方法、数据直观图表的表示方法、数据统计特征的刻画方法外，要求能用样本的统计特征推断总体的统计特征，包括单变量总体集中趋势参数、离散程度参数、取值规律和百分位数的估计，双变量总体的相关关系、一元线性回归模型和独立性的推断．相比初中统计以描述统计为主，高中统计以推断统计为主，更加强调数据的随机性．在统计的学习过程中，应让学生感悟在实际生活中进行科学决策的必要性和可行性；体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推断与演绎证明的差异；通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验．通过统计的学习，还应帮助学生建立正确的随机观念，养成通过数据来分析问题的习惯，学会抓住事物的主要因素等，发展数据分析、数学建模、逻辑推理、数学运算和数学抽象等数学学科核心素养，实现统计的教育价值．一、本章内容安排统计是通过数据分析来解决问题的，数据分析的过程体现了统计解决问题的基本思路．因此，让学生了解这个过程，对整体把握统计学科的特点，理解具体的数据分析方法和应用数据分析方法解决实际问题都是非常重要的．数据分析的过程存在多种不同的划分，《课程标准2021年版》对数据分析过程的划分如下：虽然在不同的数据分析过程划分中，划分的环节数、每个环节提法等不完全一致，但都遵循从收集数据到分析数据再到得出结论的基本过程．本章内容主要根据数据分析的基本过程进行安排，把学习内容分为三节．“9．1随机抽样”主要学习收集和整理数据的方法；“9．2样本估计总体”主要学习分析数据的方法，包括数据直观图表的表示方法和数据统计特征的刻画方法等，以及根据样本数据的统计特征估计总体的统计特征；“9．3统计案例公司员工的肥胖情况调查分析”是对前两节所学知识的综合应用．本章的知识结构如下：二、突出数据分析的基本过程，在过程中学习数据分析方法为了达到有效分析数据的目的，统计中会用到各种数据分析的方法，每个数据分析环节都有各自专属的数据分析方法，例如数据收集有随机抽样方法，数据分析有各种数字特征等，这些方法构成了统计研究和学习的主要内容．虽然很多具体的数据分析方法是针对数据分析过程中的某一个环节的，但其方法的合理性要放在整个数据分析过程中去理解．例如，一种抽样方法好坏要通过其抽取的数据对总体估计的效果进行评价，一个数字特征的选取合适与否取决于是否达到最终的统计目的等．因此，要理解数据分析方法的合理性，不能只针对某个环节孤立地进行学习，而应该放在数据分析的过程中进行学习．本章不管是抽样方法的学习，还是样本估计总体的学习，都尽可能通过具体案例的完整解决，让学生经历数据分析的基本过程，在基本过程中来学习数据分析的方法，理解数据分析的思路，并运用所学知识和方法解决实际问题．例如，简单随机抽样方法属于数据收集的内容，教科书并不是直接介绍简单随机抽样方法的定义和不同实现方法，而是设置了以下的问题：问题1家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，事先想了解整个年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度．已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎么抽取样本？这是一个以估计总体均值为目的的抽样调查问题，但问题的解决需要经历数据分析的整个过程．在这个问题的解决过程中，不仅学习简单随机抽样方法的实现，还要通过总体均值和样本均值的比较，评价简单随机抽样方法的效果，体会简单随机抽样方法的特点．三、结合典型案例学习数据分析方法统计学是一门应用性很强的学科，它的概念和方法产生的动力基本都来自解决实际问题的需要．与建立在概念和定义基础上，通过演绎方式进行研究的数学其他分支不同，统计学是建立在数据基础上，通过归纳方式研究随机现象，通过数据分析解决问题．因此，统计的学习有别其他数学分支，需结合具体案例，由具体问题驱动学习，在问题的解决中体会数据的随机性，学习统计的概念和方法，积累数据分析的经验．而且结合具体案例还可以克服由于概念和方法的抽象性带来的理解困难．因此，结合具体案例介绍概念和方法是统计教科书编写的一个主要原则．由于统计的概念和方法都有各自的特点和适用范围，因而根据不同内容的特点，选择典型的案例就成为一个关键的问题．在中学阶段，案例的典型性不仅要体现统计概念、方法引入的必要性和解决问题的适切性，案例的背景还要符合学生的认知特点，有助于理解相关的概念和方法．教科书要尽量采用学生熟悉的案例背景，通过设计恰当的统计问题，在问题的解决中学习有关统计知识．例如，教科书在学习具体的抽样方法前，通过全国人口调查这个案例引入统计调查中涉及的一些基本概念．一方面，全国人口调查是学生比较熟悉的真实统计调查案例，让学生感受统计学科的重要性和应用性．另一方面全国人口调查不仅有普查，还有抽样调查，除了可以引入全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量等基本概念外，通过了解全国人口调查实施普查和抽样调查的背景及原因，可以进一步明确两种抽样方式的特点，以及抽样调查的必要性，帮助学生建立和完善有关统计调查的概观知识．这对后续进入具体随机抽样方法的学习是非常必要的．又如，教科书以同一个案例背景贯穿简单随机抽样和分层随机抽样的学习．在简单随机抽样问题1的基础上，教科书在随机分层抽样中设置了以下问题：问题2在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生386名．能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少这种“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？教科书之所以采用“调查一个学校高一年级的平均身高”作为抽样调查的案例，主要考虑在通常情况下，对于一所学校的高一年级的学生数，既有进行抽样调查的必要性，又有进行全面调查的可行性，即获得总体均值是可行的，这使教科书后续比较样本均值与总体均值，进而评价随机抽样的效果显得比较自然．而两种抽样方法的学习使用同一案例背景，只是改变男生、女生人数这个条件，不仅有利于比较两种抽样方法的效果，而且有利于理解两种抽样方法的联系与区别．四、加强数据分析方法的形成过程，体现方法的合理性在数据分析方法中会用到很多数学的工具，如果不了解数学符号和公式背后的统计思想和数学原理，容易把统计学习变成纯粹的画图列表、公式计算等程序性操作，学生体会不到数据分析方法的合理性．方法引入的必要性，可以通过合适的案例背景来体现，而体现方法的合理性，则需要加强从直观想法到数学表达的转化过程，这个过程也是积累数据分析经验的过程．体现了方法的必要性和合理性，不仅使得知识的产生显得自然，也有利于学生更好地把握方法的本质．本章数据分析方法中，数学工具的使用主要是在用数字特征刻画数据的统计特征中．对于数字特征，主要是要理解其统计含义．有些数字特征的定义形式比较简单，其统计含义相对比较容易理解．例如，平均数刻画了一组数据平均水平，众数是一组数据最典型的代表，极差刻画了一组数据的波动范围等．但有些数字特征的数学表达相对复杂，其统计含义有时并不能一目了然，例如中位数、方差、标准差，尤其是分层抽样的方差公式．对于数字特征，往往是先有刻画数据某一方面的特征需要，再根据需要定义数字特征的．如果了解数字特征定义的目的是刻画数据哪一方面的特征，不仅有助于学生理解数字特征的统计含义，而且有利于理解数字特征定义的形式．例如，如果学生了解了中位数是把一组数据按大小分成个数相等两部分的那个数，就很容易理解中位数为什么要根据数据的个数，分奇偶两种情况进行定义．又如，方差和标准差都可以用来刻画一组数据离散程度，它们的公式初看起来都比较复杂，但了解了它们定义的过程，就容易理解它们在刻画数据离散程度上的特点，以及之所以定义成现在这种形式．为了让学生更好地理解方差和标准差的统计含义，积累数据分析的经验，教科书详细呈现了方差概念的形成过程．教科书首先通过比较两名射击运动员成绩稳定性，让学生体会定义数字特征刻画数据离散程度的必要性．通过分析，把刻画一组数据的离散程度问题逐步转化为刻画与平均数的“平均距离”大小的数学问题．在数学中，距离可以有多种定义，教科书先呈现学生最容易想到的“绝对值距离”，由于绝对值的数学性质不够好，为了避免含有绝对值，又引入“平方和距离”，以此作为刻画数据的离散程度的数字特征，即方差．这个从统计直观到数学表达逐步优化的数据分析过程，在数字特征的定义中具有一般意义，积累的经验有助于理解选择性必修中样本相关系数的定义．五、加强信息技术与统计的融合1．培养学生使用信息技术的意识和初步能力统计是通过数据分析解决问题的．在数据分析中经常会涉及数据的整理、可视化表示、计算等数据处理，尤其当样本量比较大时，工作量就会变得非常大．运用计算器、计算机等信息技术工具，不仅可以实现快速、准确地列表、画图、计算等数据处理，而且能使大量人工难以完成的数据处理变成可能．会使用信息技术处理数据是现代统计学习的重要组成部分．在高中统计的学习中，应该培养学生使用信息技术的意识和初步能力．为了给学生在统计学习中运用信息技术提供支持，在高中统计的起始章，教科书安排选学栏目“信息技术应用统计软件的应用”，集中介绍电子表格和R两款软件的基本统计功能，其中电子表格软件是使用比较普遍且具有一定统计功能的办公软件，而R软件则是统计专业人员中使用普遍且免费的专业统计软件．在后续统计的章节中，教科书结合有关内容，在适合使用的信息技术的地方，以边注的形式对给予提示．2．利用信息技术提高教学的效率和质量信息技术既是现代统计的组成部分，也是统计学习的有效辅助手段．通过合理使用信息技术，可以把学生从机械、烦琐的数据处理中解放出来，把更多精力集中于统计概念和方法的理解，从而提高教学的效率和质量．例如，绘制频率分布直方图涉及数据的分组、频率的计算、图形的绘制等大量工作，用统计软件可以快速绘制出不同组距和组数的直方图，节约重复计算、机械性操作的时间，把更多的精力花在直方图信息的提取上．又如，平均数、方差等特征数的计算，在学生已经知道如何计算的情况下，统计软件的使用就可以大大节约时间，进而把更多的精力花在理解特征数的统计含义上．3．通过随机模拟直观解释数据分析方法的合理性统计是研究数据收集和分析数据的科学，其研究重点是如何有效地收集和分析数据，所有数据分析方法都是为了达到这个目的．这里的“有效”既包括人力、物力、时间的节省，也包括估计精确度和可靠度的提高．在没有足够概率理论知识刻画估计的精确度和可靠度时，如何让学生了解样本和总体的关系，体会数据分析方法的科学性就成为统计内容呈现的重点．在中学统计中，信息技术一个很大的作用是可以实现随机模拟，它使大量重复试验成为可能．通过随机模拟，可以让学生体会样本数据的随机性和规律性，了解样本和总体之间的关系，这可以在很大程度上直观解释一些数据分析方法的合理性，弥补由于理论知识不足造成的理解困难．例如，在随机抽样的学习中，需要讨论样本量对于抽样估计效果的影响，以及评价简单随机抽样和分层随机抽样的估计效果，在理论上进行说明并不容易．因此，教科书通过随机模拟的方式，让学生直观观察的多次抽样的结果图1和图2，在此基础上归纳概括随机抽样方法的特点．。

第九章 统计一、抽样方法类型 共同点各自特点 相互关系 使用范围 简单随机抽样抽样过程都是不放回抽样，每个个体被抽到的机会均等，总体容量N ，样本容量n ，每个个体被抽到的概率nP N=从总体中随机逐个抽取总体容量较小 分层抽样将总体分成n 层，每层按比例抽取每层按简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成(1)抽取的个体数较少；(2)是逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样． ★抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况． (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． 2. 分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． (3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．二、样本分析(1)样本平均值：n i i x x n ==∑11(),ki i k i x x n n n n n n ==+++=∑1211或其中。

(2)样本众数：样本数据中出现次数最多的那个数据。

(3)样本中位数：将数据按大小排列，位于最中间的数据或中间两个数据的平均数。

(4)样本方差：()n i i s x x n ==-=∑22111n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2(5)第p 百分位数：第1步：以递增顺序排列原始数据（即从小到大排列）。

第2步：计算指数i=np% 第3步：l ）若 i 不是整数，将 i 向上取整。

大于i 的毗邻整数即为第p 百分位数的位置。

2) 若i 是整数，则第p 百分位数是第i 项与第(i+l)项数据的平均值。

新教材人教A版高中数学必修第二册第九章统计知识点汇总及解题规律方法提炼第九章统计学9.1 随机抽样1.全面调查与抽样调查全面调查是对每一个调查对象进行调查的方法，也被称为普查。

在一个调查中，调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体。

抽样调查是根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法。

从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本量。

调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据。

2.简单随机抽样简单随机抽样包括放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样。

放回简单随机抽样是从一个总体含有N（N为正整数）个个体中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样。

不放回简单随机抽样是如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法。

3.总体平均数与样本平均数总体平均数是指总体中所有个体变量值的平均数，记为Y。

如果总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则Y=（Y1+Y2+…+YN）/N。

如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=（∑fiYi）/N。

样本平均数是指从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称y=（y1+y2+…+yn）/n为样本均值，又称样本平均数。

在简单随机抽样中，各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性。

在统计学中，我们常使用样本平均数y来估计总体平均数Y。