2019年北师版文数高考一轮复习 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第八章平面解析几何[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．3．从命题思路上看：(1)直线方程与其他知识相结合．(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．[导学心语]1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的．4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行时，它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为0°≤α<180°.(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式 ≠0 平面内所有直线都适用1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°B[直线的斜率为k＝tanα＝3，又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]3．(2014·福建高考)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y ＋1＝0垂直，则直线l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0D[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.【导学号：66482370】1或－2[令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋2 a.依题意2＋a＝1＋2a，解得a＝1或a＝－2.]5．(2017·西安模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．3x－2y＝0或x－y＋1＝0[当直线过原点时，方程为y＝32x，即3x－2y＝0.当直线l不过原点时，设直线方程为xa－ya＝1.将P(2,3)代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.](1)直线x －y cos θ＋1＝0(θ∈R )的倾斜角α的取值范围是________．(2)(2017·郑州模拟)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ＝0，直线为x ＋1＝0，其倾斜角为π2.当θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线l 的斜率为tan α＝1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. (2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－(－3)＝－5，k PB ＝0－23－(－3)＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.] [规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．第(2)问求解要注意两点：(1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.[变式训练1] (1)(2017·惠州质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )【导学号：66482371】A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.](1)过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程为________．(2)若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．(1)4x ＋3y －13＝0 [设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.](2)法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a .由题意得M (3,2). 2分 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 5分若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a ＝1，因为直线l 过点M (3,2)，所以3a ＋2a ＝1，8分所以a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y 5＝1，即x ＋y －5＝0.综上，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 12分法二：易知M (3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3). 2分令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k . 5分所以3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23. 8分所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. 12分[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．[变式训练2] 求过点A (－1，－3)且倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍的直线方程．[解] 由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，2分则所求直线的倾斜角为2α. 5分∵tan α＝3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 8分又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 12分A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程；(2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．[解] (1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，3分当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 5分(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )，7分 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4. 10分当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时，上式等号成立．所以当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 12分[规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA |＋|OB |与|MA |2＋|MB |2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．[变式训练3] 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2，2分 ∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)．易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ，5分则S 四边形OBAC ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，10分∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小. 12分[思想与方法]1．求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．[易错与防范]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.4．由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时，易忽视判定B是否为0.当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－AB.11。

第章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真](教师用书独具).在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．直线的倾斜角()定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线重合所成的角，叫作直线的倾斜角，当直线和轴平行时，它的倾斜角为.()倾斜角的范围是[，π)．．直线的斜率()定义：当α≠°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即＝α，倾斜角是°的直线斜率不存在．()过两点的直线的斜率公式经过两点(，)，(，)(≠)的直线的斜率公式为＝.．直线方程的五种形式．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( )()坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )()直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )()过定点(，)的直线都可用方程－＝(－)表示．( )()经过任意两个不同的点(，)，(，)的直线都可以用方程(－)(－)＝(－)(－)表示．( )[答案]()√()×()×()×()√．直线－＋＝的倾斜角为( )．°．°．°．°[设直线的倾斜角为α，则α＝，∵α∈[，π)，∴α＝.]．过点(－，)，()的直线的斜率等于，则的值为( )．．．或．或[由题意知＝(≠－)，解得＝.]．(教材改编)直线：＋－－＝在轴和轴上的截距相等，则实数＝.或－[令＝，则在轴上的截距为＋；令＝，得直线在轴上的截距为＋.依题意＋＝＋，解得＝或＝－.]．过点(，－)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为．＋＝或＋＋＝[若直线过原点，则＝－，所以＝－，即＋＝.若直线不过原点，设＋＝，即＋＝，则＝＋(－)＝－，所以直线方程为＋＋＝.](对应学生用书第页)()直线α＋＋＝的倾斜角的范围是( )．[，π)∪．∪。

第八章平面解析几何[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源 [五年考情][重点关注]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．3．从命题思路上看：(1)直线方程与其他知识相结合．(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．[导学心语]1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的．4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问题、X 围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行时，它的倾斜角为0°.②倾斜角的X 围为0°≤α<180°. (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式 名称 方程适用X 围点斜式y －y 0＝k (x －x 0)不含直线x ＝x 0斜截式y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2) 截距式 x a ＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°B [直线的斜率为k ＝tan α＝3， 又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]3．(2014·某某高考)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0D [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.]4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________.【导学号：66482370】1或－2 [令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.]5．(2017·某某模拟)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程为________．3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0 [当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －y a＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.]直线的倾斜角和斜率(1)直线x －y cos θ＋1＝0(θ∈R )的倾斜角α的取值X 围是________．(2)(2017·某某模拟)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值X 围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13[(1)当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ＝0，直线为x ＋1＝0，其倾斜角为π2.当θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线l 的斜率为tan α＝1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l 的倾斜角的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上，α的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.(2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－－3＝－5，k PB ＝0－23－－3＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.][规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的X 围是[0，π)，斜率的取值X 围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值X 围．2．第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的X 围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.[变式训练1] (1)(2017·某某质检)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值X 围是(－3,3)，则其斜率k 的取值X 围是( )【导学号：66482371】A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值X 围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k.令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.]求直线的方程(1)过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程为________．(2)若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．(1)4x ＋3y －13＝0 [设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.](2)法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2). 2分 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)，所以直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 5分若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a＝1， 因为直线l 过点M (3,2)，所以3a ＋2a＝1，8分所以a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 12分法二：易知M (3,2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3). 2分令y ＝0，得x ＝3－2k；令x ＝0，得y ＝2－3k . 5分所以3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23. 8分所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. 12分[规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．[变式训练2] 求过点A (－1，－3)且倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍的直线方程．[解] 由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，2分 则所求直线的倾斜角为2α. 5分 ∵tan α＝3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 8分 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 12分直线方程的综合应用已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． [解] (1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，3分 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 5分 (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，7分所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4.10分当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，上式等号成立．所以当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 12分[规律方法] 1.求解本题的关键是找出|OA |＋|OB |与|MA |2＋|MB |2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．[变式训练3] 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ax －2y ＝2a －4，2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，得x ＝y ＝2，2分∴直线l 1与l 2交于点A (2,2)(如图)．易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ，5分 则S四边形OBAC＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，10分∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小. 12分[思想与方法]1．求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程．2．5种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用．[易错与防X]1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的X 围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时，易忽视判定B 是否为0.当B ＝0时，k 不存A B .在；当B≠0时，k＝－。

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解．2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012年浙江T3等．3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主．(2)主要是涉及直线方程和斜率.[归纳·知识整合]1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°.③倾斜角的取值范围为[0，π)．(2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan_α.②计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1.[探究] 1.直线的倾角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．由k ＝tan θ⎝⎛⎭⎫θ≠π2知，当 θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，θ越大，斜率越大且为正；当θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系[探究] 2.两条直线l 1，l 2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？ 提示：不正确，当一条直线与x 轴平行，另一条与y 轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．3．直线方程的几种形式 名称 条件方程 适用范围 点斜式 斜率k 与点(x 0，y 0) y －y 0＝ k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式斜率k 与截距by ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式两点(x 1，y 1)， (x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2) 截距式截距a 与bx a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用[探究] 3.过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线是否一定可用两点式方程表示？ 提示：当x 1＝x 2，或y 1＝y 2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)若直线x ＝2的倾斜角为α，则α( ) A ．等于0B ．等于π4C ．等于π2D ．不存在解析：选C 因为直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为π2.2．(教材习题改编)过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或4解析：选A 由题意知，4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选B 直线斜率为3－10－2＝－1，其方程为y ＝－x ＋3，即x ＋y －3＝0.4．直线l 的倾斜角为30°，若直线l 1∥l ，则直线l 1的斜率k 1＝________；若直线l 2⊥l ，则直线l 2的斜率k 2＝__________.解析：∵l 1∥l 2，∴k l 1＝tan 30°＝33. ∵l 2⊥l ，∴k l 2＝－1k l ＝－ 3.答案：33－ 3 5．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x 等于________． 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，即－x －54＝2， 解得x ＝－3. 答案：－3直线的倾斜角和斜率[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π (2)已知两点A (m ，n )，B (n ，m )(m ≠n )，则直线AB 的倾斜角为________；(3)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．[自主解答] (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ ≤π4或3π4≤ θ<π.(2)设直线AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，则 k ＝tan θ＝m －nn －m ＝－1.又θ∈[0，π)， 所以θ＝3π4.(3)如右图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．[答案] (1)B (2)3π4(3)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)若将P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 的斜率的取值范围． 解：∵P (－1，0)，A (2，1)，B (0，3)， ∴k P A ＝1－02－(－1)＝13，k PB ＝3－00－(－1)＝ 3.借助图形可知，直线l 的斜率的取值范围为133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.———————————————————斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率； (2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ， 则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x,1)，Q (7，y )，则x ＋7＝2,1＋y ＝－2， 解得x ＝－5，y ＝－3，从而k l ＝1－(－3)－5－7＝－13.直线的平行与垂直的判断及应用[例2] 若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________. [自主解答] 因为两直线平行， 所以有a (a －1)＝2，即a 2－a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－1. [答案] 2或－1 ———————————————————用一般式确定两直线位置关系的方法直线方程 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直 的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行 的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交 的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)l 1与l 2重合 的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)3．已知l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m ＝________. 解析：k 1＝tan 45°＝1，k 2＝m ＋13＋2， ∵l 1⊥l 2，∴k 2＝m ＋13＋2＝－1，解得m ＝－6.答案：－64．已知过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为________． 解析：由题意知，k AB ＝4－mm ＋2＝－2， 解得m ＝－8. 答案：－8直 线 方 程[例3] (1)在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)(2)直线l 经过点P (3,2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．△OAB 的面积为12，则直线l 的方程是________________________________________________．[自主解答] (1)因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．(2)法一：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)．则有3a ＋2b ＝1，且12ab ＝12.解得a ＝6，b ＝4.所以所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 令x ＝0，得y ＝2－3k >0；令y ＝0，得x ＝3－2k>0.所以S △OAB ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12，解得k ＝－23， 故所求直线方程为y －2＝－23(x －3)，即2x ＋3y －12＝0.[答案] (1)D (2)2x ＋3y －12＝0 ———————————————————求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．5．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标(x ，y )，则 x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y 2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率． (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°kk >0不存在k <03个注意点(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论.易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点[典例] (2013·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_______________________________．[解析] 当截距不为0时，设所求直线方程为 x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵点P (－2,3)在直线l 上，∴－2＋3－a ＝0， ∴a ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0. 当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有 3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0. [答案] x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0 [易误辨析]1．因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x ＋2y ＝0而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解．2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有： (1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(2)选用两点式方程时忽视与x 轴垂直的情况及与y 轴垂直的情况． [变式训练]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________． 解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0， 即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2013·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 由已知k AB ＝2，即4m －1＝2，解得m ＝3.3．若直线经过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：选B 作图易得在第一、二、四象限各能围成一个．4．(2013·银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．3或－1解析：选C 由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a ，即a ＝－1.5．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 解析：选D 原方程可化为(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，解得x ＝－12，y ＝－3，故所有直线都过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3. 6．设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两条直线的斜率分别为k 1＝－sin Aa ，k 2＝b sin B ，由正弦定理得k 1·k 2＝－sin A a ·b sin B＝－1，所以两条直线垂直． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)． 综上k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.答案：[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，18．已知直线x －ky ＋1＝0与直线y ＝kx －1平行，则k 的值为________． 解析：若两直线平行，则k ＝1k ，解得k ＝±1.答案：±19．(2013·皖南八校联考)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为________．解析：∵两直线互相垂直，∴a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0， ∴a 2b ＝a 2＋1， ∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ＝|a |＋1|a |≥2(当且仅当a ＝±1时取等号)． 答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 的斜率为1；(2)直线l 在x 轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0，于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m.由题意得－1m＝1，解得m ＝－1. (2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32. 11．已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2. ②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(]0，3， 即k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞， 所以α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.12．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程． 解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32. 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.1．直线l 过点(－1,2)且与直线3y ＝2x ＋1垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A 法一：设所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋C ＝0，则3×(－1)＋2×2＋C ＝0，得C ＝－1，即l 的方程为3x ＋2y －1＝0.法二：由题意知，l 的斜率是k ＝－32，则直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.2．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >15或k <1D ．k >12或k <－1 解析：选D 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，令y ＝0，得直线l 在x轴上的截距为1－2k， 则－3<1－2k <3，解得k >12或k <－1.3．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________．解析：∵线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)， ∴y ＝4－43x ，代入xy 得xy ＝－43x 2＋4x ＝－43·⎝⎛⎭⎫x －322＋3，∴由二次函数性质知，当x ＝32时，xy 的最大值等于3.答案：34．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1，b ＝2aa －3.从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3.故有S △ABO ＝(a －3)2＋6(a －3)＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6≥2 (a －3)·9a －3＋6＝12，当且仅当a －3＝9a －3，即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4.故所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：设直线方程为xa ＋yb ＝1(a >0，b >0)， 代入P (3,2)，得3a ＋2b ＝1≥2 6ab ，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立，此时k ＝－b a ＝－23，故所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法三：依题意知，直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， 则S △AOB ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k ) ＝12(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立． 故所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.法四：如右图所示，过P 分别作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别为M ，N . 设θ＝∠P AM ＝∠BPN ，则S △AOB ＝S △PBN ＋S 四边形NPMO ＋S △PMA＝12×3×3×tan θ＋6＋12×2×2×1tan θ＝6＋92tan θ＋2tan θ≥6＋2 92tan θ·2tan θ＝12， 当且仅当92tan θ＝2tan θ， 即tan θ＝23时，S △AOB ＝12，此时直线l 的斜率为－23，其方程为2x ＋3y －12＝0.。

第章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(对应学生用书第110页)[基础知识填充]1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0°，180°)．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_θ，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1. 3．直线方程的五种形式[1．直线恒过定点问题 在直线方程中，若x 或y 的系数含有字母参数，则直线恒过定点 如直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，可将方程化为m (2x ＋y －7)＋x ＋y －4＝0，令⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3y ＝1，即直线恒过定点(3,1)．2．直线“陡”、“缓”与斜率k 的关系在平面直角坐标系中，直线越“陡”，|k |越大．3．直线在x ，y 轴上的截距问题当直线在x ，y 轴上的截距相等或互为相反数时，应分两种情况讨论：一是直线过原点；二是直线不过原点(待定系数法)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )(3)过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°B [直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]3．(2018·泉州模拟)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是( )【导学号：00090264】A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0D [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.]4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________.1或－2 [令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.]5．(2017·西安模拟)过点P (2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程为________． 3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0 [当直线过原点时，方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0. 当直线l 不过原点时，设直线方程为x a －ya ＝1. 将P (2,3)代入方程，得a ＝－1， 所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.](对应学生用书第111页)(1)直线________．(2)(2018·郑州模拟)若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [(1)当θ＝k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ＝0，直线为x ＋1＝0，其倾斜角为π2.当θ≠k π＋π2(k ∈Z )时，直线l 的斜率为tan α＝1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上，α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.(2)因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－(－3)＝－5，k PB ＝0－23－(－3)＝－13.如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.][规律方法] 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R .(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确应用；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－13.[变式训练1] (1)(2018·长沙模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( ) A ．－1＜k ＜15B ．k ＞1或k ＜12C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1(2)直线l 经过A (3,1)，B (2，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．【导学号：00090265】(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 [(1)设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12.(2)直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1，所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，因此π4≤α＜π2.](1)直线过点(________．(2)△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，则BC 边上的中线AD 所在直线的方程为________．(3)若A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．(1)x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0 (2)2x －3y ＋6＝0 [(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13. 故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)． 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边上的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)法一：设直线l 在x 轴、y 轴上的截距均为A ． 由题意得M (3,2)．若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，所以直线l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，设直线l的方程为xa＋ya＝1，因为直线l过点M(3,2)，所以3a＋2a＝1，所以a＝5，此时直线l的方程为x5＋y5＝1，即x＋y－5＝0.综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)．令y＝0，得x＝3－2k；令x＝0，得y＝2－3k.所以3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23.所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.][规律方法] 1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式直线方程的适用条件，选择适当的形式至关重要．[变式训练2](1)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为________．【导学号：00090266】(2)求过点A(－1，－3)且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程．4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0[(1)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (2)设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.](1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． [解] (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎨⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.[规律方法] 在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． [变式训练3] 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？[解] 直线l 1的方程可化为a (x －2)－2y ＋4＝0.直线l 2的方程可化为2x －4＋a 2(y －2)＝0，因此直线l 1，l 2恒过定点A (2,2)．(如图) 易知|OB |＝a 2＋2，|OC |＝2－a ， 则S四边形OBAC＝S △AOB ＋S △AOC ＝12×2(a 2＋2)＋12×2(2－a )＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，a ∈(0,2)，∴当a ＝12时，四边形OBAC 的面积最小．。

第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为0°≤α<180°. 2.直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 考点2 直线方程的几种形式[必会结论]直线的斜率k 与倾斜角θ之间的关系牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． [考点自测]1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率越大．( ) (2)斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，不适用于垂直于x 轴和平行于x 轴的直线．( ) (3)当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．( )(4)过点P (x 1，y 1)的直线方程一定可设为y －y 1＝k (x －x 1)．( ) (5)直线方程的截距式x a ＋y b＝1中，a ，b 均应大于0.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2.[课本改编]过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B.12 C ．2 D.13答案 A解析 由4－mm ＋2＝1，得m ＝1.故选A.3.[课本改编]倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A.x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C.x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析 直线的斜率为k ＝tan135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 4.[课本改编]过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( ) A.x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C.x ＋y ＋3＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 B解析 所求直线的斜率k ＝3－10－2＝－1，又过点(0,3)，所以直线方程为y －3＝－x ，即x ＋y －3＝0.5.已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A.1 B ．－1 C.－2或－1 D ．－2或1答案 D解析 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2；当y ＝0时，x ＝a ＋2a ，∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.6.[2018·长春模拟]直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 答案 (2，－2)解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2).板块二 典例探究·考向突破考向直线的倾斜角与斜率例1 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1, k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞).若将题中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)，∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13， 3.若将题中条件改为“经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点”，求直线l 的倾斜角α的范围．解 如图所示，k PA ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝1－(－1)2－0＝1，由图可观察出：直线l 倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.触类旁通直线的斜率与倾斜角的区别与联系【变式训练1】 (1)[2018·重庆巴蜀中学诊断]直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π答案 B解析 依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. (2)若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A.－1 B ．－3 C ．0 D ．2 答案 B解析 由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1，得－4－2y ＝2，所以y ＝－3.考向求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．解 (1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13，故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9. 故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.(3)直线3x －4y －5＝0与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，所求直线过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，且斜率k ＝－34，所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0.触类旁通求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程.【变式训练2】 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知点D 的坐标为(0,2)．可求出直线的点斜式方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.考向直线方程的应用例3 [2018·无锡检测]已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y＋4＝0.触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.【变式训练3】 已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．解 (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k2＝4.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y－2＝0.核心规律1.明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．满分策略1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点．板块三 启智培优·破译高考易错警示系列 10——都是漏掉“过原点”情况惹的祸[2018·济南检测]求经过点P (2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程． 错因分析 利用截距式方程求解时，忘记过原点的情况，而漏掉直线方程3x －2y ＝0. 解 解法一：(1)当截距为0时，直线l 过点(0,0)，(2,3)，则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.(2)当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y a＝1. ∵直线l 过点P (2,3)，∴2a ＋3a＝1，∴a ＝5，∴直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 解法二：由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0. 令x ＝0，得y ＝－2k ＋3. 令y ＝0，得x ＝－3k＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.答题启示 在选用直线方程时，常易忽视的情况有：(1)选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直线；(2)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；(3)选用两点式方程时忽视与x 轴垂直的情况及与y 轴垂直的情况.跟踪训练过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是( ) A.2x ＋y －12＝0B.2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C.x －2y －1＝0D.x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0 答案 D解析 当直线经过坐标原点时，直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为x 2b ＋y b ＝1，则52b ＋2b ＝1，解得b ＝92，故所求的直线方程是x 9＋2y9＝1，即x ＋2y －9＝0.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 D解析由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设倾斜角为α，则tanα＝－33，所以α＝5π6.2.[2018·沈阳模拟]直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )A.ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0C.ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0答案 A解析由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－abx－cb.易知－ab<0且－cb>0，故ab>0，bc<0.3.[2018·邯郸模拟]过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是( )A.x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2答案 A解析∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3π4.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.4.已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C⎝⎛⎭⎪⎫5，k2在同一条直线上，则k的值为( )A.12 B．9 C．－12 D．9或12答案 A解析由k AB＝k AC，得3－(－3)4－2＝k2－(－3)5－2，解得k＝12.故选A.5.[2018·荆州模拟]两直线xm－yn＝a与xn－ym＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是( )答案 B解析 直线方程x m －yn ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.6.[2018·安徽模拟]直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( ) A.33 B. 3 C ．－ 3 D ．－33答案 A解析 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin30°cos150°＝33.7.直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π解析 设直线的倾斜角为θ，依题意知，θ≠π2，k ＝－33cos α，∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π8.已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在x ＋2y ＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.9.过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 答案 y ＝－53x 或x －y ＋8＝0解析 (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.10.[2018·衡阳模拟]一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．答案3x －y －33＝0解析 解法一：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k ＝tan60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 解法二：设直线y ＝13x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角θ＝2α.tan θ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝231－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝ 3. 所求直线为3x －y －33＝0.[B 级 知能提升]1.[2018·海南模拟]直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案 C解析 直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1，∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1.由倾斜角和斜率的关系(如图所示)，该直线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.2.已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( ) A.y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3 B.y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C.y ＝x ＋1或y ＝－x －1D.y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2 答案 B解析 由|AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，得cos α＝12，所以sin α＝±32，所以直线AB 的斜率k AB ＝sin α－0cos α＋1＝3212＋1＝33或k AB ＝sin α－0cos α＋1＝－3212＋1＝－33，所以直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，即直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33.选B.3.[2018·宁夏调研]若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．答案 16解析 根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.4.在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．解 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B (－2，－1)．∴BC ：2x ＋5y ＋9＝0.5.过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)求|PA |·|PB |的最小值及此直线l 的方程．解 (1)解法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )．∵与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k >0，1－2k >0⇒k <0.于是S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k －4k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ·(－4k )＝4. 当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方程为y－1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.解法二：设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1b＝1.又∵2a ＋1b≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)解法一：∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)，∴截距之和为2k －1k＋1－2k ＝3－2k －1k≥3＋2(－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝3＋2 2.当且仅当－2k ＝－1k ，即k ＝－22时，等号成立．故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即2x ＋2y －2－22＝0.解法二：∵2a ＋1b＝1，∴截距之和a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋a b≥3＋22b a ·ab＝3＋2 2.此时2b a ＝ab，求得b ＝2＋1，a ＝2＋ 2.此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1，即2x ＋2y －2－22＝0. (3)解法一：∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)， ∴|PA |·|PB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝4k2＋4k 2＋8≥2·4k2·4k 2＋8＝4.当且仅当4k2＝4k 2，即k ＝－1时上式等号成立，故|PA |·|PB |最小值为4，此时，直线l的方程为x ＋y －3＝0.解法二：设∠OAB ＝θ，则|PA |＝1sin θ，|PB |＝2sin (90°－θ)＝2cos θ，∴|PA |·|PB |＝2sin θcos θ＝4sin2θ，当sin2θ＝1，θ＝π4时，|PA |·|PB |取得最小值4，此时直线l 的斜率为－1，又过定点(2,1)，∴其方程为x ＋y －3＝0.。