下载文档原格式
函数的基本性质（提高）【考纲要求】1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解．2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】【考点梳理】1．单调性（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。
（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法：用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增 增 增 增减减函数的基本性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性减 增 减 减减 增导数证明法：设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。
第5讲 导数及其应用【高考考情解读】1.本讲主要考查导数几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等.2.常与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目．1．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数值就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，其切线方程是))(()(000x x x f x f y -'=-．(其中斜率)(0'x f k =)2．导数与函数单调性的关系：(1)0)('>x f 是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但)('x f ≥0. (2))('x f ≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常数，函数不具有单调性． 3．函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．4．常见的导数公式及两个常用的运算法则(1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='.(5) x x 1)(ln ='；e a xx a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. （7）2'11x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛（8）()xx 21'= （9）'''()u v u v ±=±. （10）'''()uv u v uv =+. （11）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 5．定积分的三个公式与一个定理 (1)定积分的性质：①⎰badx x kf )(()bak f x dx =⎰(k 是常数)②[()()]baf xg x dx ±=⎰⎰badx x f )(±⎰badx x g )( ③⎰b adx x f )(⎰=c adx x f )(⎰+bcdx x f )( (其中a <c <b )．(2)微积分基本定理：一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且)('x F ＝f (x )，那么=⎰badx x f )()()(a F b F -。
高中数学高考综合复习专题十五向量的概念与运算一、知识网络二、高考考点1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。
2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是：（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；（2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用；（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。
3、线段的定比分点线或平移问题。
4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。
三、知识要点（一）向量的概念1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
（2）向量的模：向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作。
特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量.（3）平行向量（共线向量）：一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
零向量与零向量相等。
认知：向量的平移具有“保值性”。
2、向量的坐标表示（1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（x,y）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。
（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。
（二）向量的运算1、向量的加法2、向量的减法3、实数与向量的积（1）定义（2）实数与向量的积的运算律：（3）平面向量的基本定理：如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
"北京市第四中学2014届高三数学总复习导数函数的综合（提高）新人教A版 "1．当x>0时，f(x)=x+的单调递减区间是（）。
A、(2, +¥)B、(0,2)C、D、2．设函数f(x)=(x3-1)2+1，下列结论中正确的是（）。
A、x=1是函数f(x)的极小值点，x=0是极大值点B、x=1及x=0均是f(x)的极大值点C、函数f(x)至多有一个极大值和一个极小值D、x=1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值点3．函数y=x4-2x2+5, x∈[-2,2]的最大值和最小值分别为（）。
A、13，-4B、13，4C、-13，-4D、-13，44．若函数f(x)=x3+ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是（）。
A、a>0B、a<0C、a≥0D、a≤05. 设函数,集合M=,P=,若M P,则实数a的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)6．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是______。
7．证明函数在（2，4）上是减函数。
8. 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值。
(Ⅰ)求a、b的值；(Ⅱ)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围。
9．做一个容积为256升的方底无盖水箱，问高为多少时最省材料？10．已知f(x)=x3-3bx+36在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是______；11．设a>0，求函数的单调区间。
12．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
13．已知函数,其中a , b , c是以d为公差的等差数列且a＞0,d＞0.设上，处取得最大值，在，将点依次记为A， B， C(I)求的值；(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值。
【巩固练习】1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+D ．2sin α2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是（ ）3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-4．对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'(1)()0x f x -≥,则必有（ ）A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值,则常数c 的值为_________; 8．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。
9．设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<,若()()f x f x '+为奇函数,则ϕ=__________ 10．设321()252f x x x x =--+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,则实数m 的取值范围为 。
11．对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是12.设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值. 13.设1()(0)xx f x ae b a ae=++> (I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值;(II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =;求,a b 的值. 14．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围。
高考冲刺：导数与函数的综合【高考展望】1.函数在一点处导数的几何意义、切线的斜率、方程等常作为基础考察；2.基本导数公式，两个函数和、差、积、商的求导法则要熟记并应用， 5.理科试卷中往往考察复合函数的求导法则；6.函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，此为重点内容，也是重点考察的内容；7.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，函数的极大值、极小值、最大值、最小值是考查重点；8. 正确计算定积分，利用定积分求面积;9．分类讨论的数学思想是本部分内容的重点考查内容，应熟练掌握这种数学思想。
【知识升华】考点一、求切线方程的一般方法，可分两步： （1）求出函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '；（2）利用直线的点斜式得切线方程。
要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程. 【高清课堂：导数的应用（理）394572知识要点】考点二、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当'()0f x >时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当'()0f x <时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有'()0f x =时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：①在区间(a,b)内，'()0f x >是f(x)在(a ，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而f(x)在R 上递增。
②学生易误认为只要有点使'()0f x =，则f(x)在(a ，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有'()0f x =，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
【巩固练习】1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+D ．2sin α2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 8．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。
9．设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________ 10．设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 。
11．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是12.设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值. 13.设1()(0)x x f x ae b a ae=++> (I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值;(II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =;求,a b 的值. 14．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。
15．已知23()log x ax bf x x++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.16.已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+;(1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若21()2f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值. 【参考答案与解析】1．A【解析】''()sin ,()sin f x x f αα== 2．A 【解析】对称轴'0,0,()22bb f x x b -><=+，直线过第一、三、四象限 3．B【解析】'2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立，24120a a ∆=-≤⇒≤≤4．C【解析】当1x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；当1x <时，'()0f x ≤，()f x 在(,1)-∞上是减函数，故()f x 当1x =时取得最小值，即有(0)(1),(2)(1),f f f f ≥≥得(0)(2)2(1)f f f +≥5．A【解析】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1,1)处导数为4，此点的切线为430x y --=6．A【解析】极小值点应有先减后增的特点，即'''()0()0()0f x f x f x <→=→> 7．6【解析】'22'2()34,(2)8120,2,6f x x cx c f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值 8．(,)-∞+∞【解析】'2cos 0y x =+>对于任何实数都成立 9．6π【解析】''()))f x ϕϕϕ=-++=+()())3f x f x πϕ'+=++要使()()f x f x '+为奇函数，需且仅需,32k k Z ππϕπ+=+∈，即：,6k k Z πϕπ=+∈。
又0ϕπ<<，所以k 只能取0，从而6πϕ=。
10．(7,)+∞【解析】]2,1[-∈x 时，max ()7f x = 11．122n +- 【解析】 ()()/11222,:222(2)n n n x yn y n x --==-++=-+-切线方程为，令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012ny n =+，所以21n n a n =+，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==--12. 【解析】(1)因()13ln 122f x a x x x =+++,故()21322a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即()10f '=,从而13022a -+=,解得1a =- (2)由(1)知()()13ln 1022f x x x x x =-+++>,()222113321222x x f x x x x--'=--+= ()2(31)(1)2x x f x x+-'∴=令()0f x '=,解得1211,3x x ==-(因213x =-不在定义域内,舍去), 当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数; 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =.13.【解析】(I)设(1)xt e t =≥;则2222111a t y atb y a at at at -'=++⇒=-=①当1a ≥时,0y '>⇒1y at b at=++在1t ≥上是增函数 得:当1(0)t x ==时,()f x 的最小值为1a b a++②当01a <<时,12y at b b at =++≥+当且仅当11(,ln )xat t e x a a ====-时,()f x 的最小值为2b +(II)11()()x xx x f x ae b f x ae ae ae'=++⇒=-由题意得:2222212(2)333131(2)222f ae b a ae e f ae b ae ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨'=⎪⎪⎪-==⎩⎪⎪⎩⎩14．【解析】（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2f ，函数的单调区间如下表： 所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-；（2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或。
15．【解析】设2()x ax bg x x++=∵()f x 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数 ∴()g x 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数.∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a经检验，1,1a b ==时，()f x 满足题设的两个条件. 16. 【解析】(1)1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得:(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=得:21()()()12x xf x e x xg x f x e x '=-+⇒==-+()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增()0(0)0()0(0)0f x f x f x f x ''>=⇔>''<=⇔<得:()f x 的解析式为21()2xf x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥ 得()(1)xh x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x F x x ''>⇔<<<⇔>当x =,max ()2e F x =当1,a b ==,(1)a b +的最大值为2e .。
