高中数学导数复习(基础版)

5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数素养目标学科素养1.能根据导数的定义推导常用函数的导数． 2．掌握基本初等函数的导数公式．(重点) 3．利用基本初等函数的导数公式解决有关问题．(难点)1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算情境导学高铁是目前非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s 关于时间t 的函数为s ＝f (t )，求它的瞬时速度，即f (t )的导数．根据导数的定义，运算比较复杂，是否有更好的求导方法呢？1．几个常用函数的导数 函数 用定义法求导数y ＝f (x )＝cy ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0c －c Δx＝0 y ＝f (x )＝xy ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )－x Δx＝1 y ＝f (x )＝x 2y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2xy ＝f (x )＝x 3y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2y ＝f (x )＝1xy ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2 y ＝f (x )＝xy ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx －x Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋x ＝12x判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若f (x )＝2，则f ′(x )＝2.( ) × 提示：f ′(x )＝0.(2)若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x 2.( ) × 提示：f ′(x )＝2x .(3)若f (x )＝x －1，则f ′(x )＝－1x 2.(√)2．基本初等函数的导数公式(1)若f (x )＝c (c 是常数)，则f ′(x )＝0；(2)若f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)，则f ′(x )＝αx α－1； (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；(5)若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a x ln_a ； 特别地，f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ；(6)若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1x ln a ；特别地，f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) × 提示：∵sin π3＝32(常数)，∴⎝⎛⎭⎫sin π3′＝0. (2)(2x )′＝x 2x －1.( ) × 提示：(2x )′＝2x ln2. (3)(ln x )′＝1x.(√)1．函数f (x )＝0的导数是(A) A ．0 B ．1 C ．不存在D ．不确定2．若函数f (x )＝x ，则f ′(2)＝( ) A ．0B ．1C ．2D ．不存在B 解析：f ′(x )＝1，∴f ′(2)＝1.3．若函数f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )在x ＝12处的切线斜率为( )A ．0B ．1C ．12D ．不存在B 解析：∵f ′(x )＝2x ，∴k ＝f ′⎝⎛⎭⎫12＝2×12＝1. 4．若函数y ＝10x ，则y ′|x ＝1等于( ) A ．110B ．10C ．10ln 10D ．110ln 10C 解析：∵y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 5．给出下列命题： ①若y ＝ln 2，则y ′＝12；②若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③若y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2； ④若y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C 解析：对于①，y ′＝0，故①错；对于②，∵y ′＝－2x 3，∴y ′|x ＝3＝－227，故②正确；显然③④正确，故选C ．【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝7x ；(5)y ＝log 5x .解：(1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25.(4)y ′＝(7x )′＝7x ln 7. (5)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解，公式法最简捷．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．比如对带根号的函数，一般先将其转化为分数指数幂，再利用公式(x α)′＝αx α－1进行求导．3．要特别注意“1x与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．若g (x )＝log 3x, 则g ′(x )＝1x ln 3.【例2】已知质点的运动方程是s ＝sin t . (1)求质点在t ＝π3时的速度；(2)求质点运动的加速度．解：(1)∵v (t )＝s ′(t )＝cos t ， ∴v ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12， 即质点在t ＝π3时的速度为12.(2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．1．求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数．解：∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x 4，∴f ′(1)＝－1331＝－13.2．求函数f (x )＝cos x 在⎝⎛⎭⎫π4，22处的导数．解：∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＝－22.探究题1 求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．解：因为f (x )＝cos x ， 所以f ′(x )＝－sin x .则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12的切线斜率为 f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为233，所求直线方程为y －12＝233⎝⎛⎭⎫x －π3， 即y ＝233x －239π＋12.探究题2 分别求双曲线y ＝1x 与抛物线y ＝x 2的交点处的切线方程．解：易求得双曲线y ＝1x与抛物线y ＝x 2的交点为(1,1)．双曲线y ＝1x 在交点处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝－1，故切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y－2＝0.抛物线y ＝x 2在交点处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的切线的斜率，即对应函数在该点处的导数． (3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．已知函数y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝________. 1e解析：设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝1x ，∴k ＝1x 0，∴y ＝1x 0·x .又点(x 0，y 0)在曲线y ＝ln x 上，∴y 0＝ln x 0，∴ln x 0＝x 0x 0，∴x 0＝e ，∴k ＝1e.1．函数y ＝x 2在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C 解析：易得y ′＝2x ，故函数y ＝x 2在x ＝1处的导数是2×1＝2.故选C ． 2．已知f (x )＝ln x ，则f ′⎝⎛⎭⎫1e 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．eD ．1eC 解析：由f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x.所以f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝11e ＝e.故选C ． 3．函数f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝6，则x 0＝( ) A ． 2 B ．－ 2 C ．±1D ．±2D 解析：∵f ′(x )＝3x 2，∴3x 20＝6，∴x 0＝±2.故选D ． 4．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若f (x )＝0，则f ′(x )＝0 B ．若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝sin x C ．若f (x )＝1x ，则f ′(x )＝－1x 2D ．若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1xACD 解析：对A ，f (x )为常数，显然成立；对B ，f ′(x )＝－sin x ，故B 错误；对C ，D ，显然都成立．故选ACD ． 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x 3； (2)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ； (3)y ＝(3)x .解：(1)y ′＝(x 32)′＝32x .(2)∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(3)y ′＝[(3)x ]′＝(3)x ln 3＝12(3)x ln 3.1．由定义求出的常用函数的导数可作为公式直接使用． 2．熟记基本初等函数的导数公式．3．注意区别f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)及f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的导数：(a x )′＝a x ln a ，(log a x )′＝1x ln a.课时分层作业(十四) 基本初等函数的导数 (60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 几个常用函数的导数公式的应用1．(5分)已知f (x )＝x α(α∈Q *)，若f ′(1)＝14，则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14D 解析：∵f (x )＝x α， ∴f ′(x )＝αx α－1， ∴f ′(1)＝α＝14.2．(5分)给出下列结论： ①若f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4；②若f (x )＝3x ，则f ′(x )＝133x ；③若f (x )＝3，则f ′(1)＝0. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．03．(5分)(多选)在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．⎝⎛⎭⎫－2，－12 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－2 AB 解析：切线的斜率k ＝tan 34π＝－1，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1，又f ′(x )＝－1x 2，∴－1x 20＝－1，∴x 0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选AB ．4.(5分)已知抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点的坐标为________．(0，－a 2) 解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )．令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)． 知识点2 基本初等函数的导数5．(5分)若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．π2C 解析：∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－sin π2＝－1. 6．(5分)已知函数f (x )＝2－x ，则f ′(x )＝( ) A ．－⎝⎛⎭⎫12x ln 2 B ．⎝⎛⎭⎫12x ln 2 C ．⎝⎛⎭⎫12x log 2e D ．⎝⎛⎭⎫12x 1ln 2A 解析：∵f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ， ∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. 7．(5分)给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3； ③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x； ④⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x. 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B 解析：因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误．sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误.⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x 3，所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝＝12x x，所以④正确. 8.(5分)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝3x 的切线，则k 的值为________．eln 3 解析：设切点为(x 0，y 0)．因为y ′＝3x ln 3，①所以k ＝3x 0ln 3，所以y ＝3x 0ln 3·x .又因为(x 0，y 0)在曲线y ＝3x 上，所以3x 0ln 3·x 0＝3x 0，②所以x 0＝1ln 3＝log 3e. 所以k ＝eln 3.9.(5分)已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________.1 解析：因为f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x且x >0， f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)．故x ＝1. 10.(5分)直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________. ln 2－1 解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝ln x 0.∵y ′＝(ln x )′＝1x， ∴1x 0＝12， ∴x 0＝2，y 0＝ln 2.由ln 2＝12×2＋b ，得b ＝ln 2－1. 能力提升练能力考点 适度提升11．(5分)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xC 解析：f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝(－cos x )′＝sin x ，所以4为最小正周期，故f 2 020(x )＝f 4(x )＝cos x .A ．64B ．32C ．16D ．813.(5分)点P 是f (x )＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －1的最短距离是________． 328 解析：与直线y ＝x －1平行的f (x )＝x 2的切线的切点到直线y ＝x －1的距离最小．设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2x 0＝1，∴x 0＝12，y 0＝14.即P ⎝⎛⎭⎫12，14到直线y ＝x －1的距离最短． ∴d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－112＋12＝328.14.(5分)下列结论正确的有________．①若f (x )＝x 4，则f ′(2)＝32；②若f (x )＝1x，则f ′(2)＝－22； ③若f (x )＝1x 2·x，则f ′(1)＝－52； ④若f (x )＝x －5，则f ′(－1)＝－5.①③④ 解析：对于①，f ′(x )＝4x 3，f ′(2)＝4×23＝32，正确；15.(5分)曲线f (x )＝ln x 在点M (e ，1)处的切线的斜率是______，切线方程为________．1e x －e y ＝0 解析：∵f ′(x )＝(ln x )′＝1x， ∴f ′(e)＝1e.∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 16.(5分)已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________.1 解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x(x >0)， 所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x＝1， 解得x ＝1或x ＝－12. 因为x ＞0，所以x ＝1.17.(10分)求下列函数的导数．(1)y ＝1x4； (2)y ＝x x ；(3)y ＝2sin x 2cos x 2. 解：(1)∵y ＝1x 4＝x －4，∴y ′＝－4x －5＝－4x5.(3)∵y ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ， ∴y ′＝cos x .18.(10分)已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点．(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程；(2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．过P 点的切线的斜率k 1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝4，过P 点的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0，过Q 点的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1， 设切点坐标为M (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为y －14＝x －12， 即4x －4y －1＝0.。

5.2 导数的运算5.2.1 基本初等函数的导数课标要求素养要求1.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数.2.会使用导数公式表.在利用导数的定义求基本初等函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.新知探究已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2； (4)y ＝f (x )＝1x ；(5)y ＝f (x )＝x .问题1 函数y ＝f (x )＝c 的导数是什么？ 提示 ∵Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝c －cΔx ＝0，∴y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0.问题2 函数(2)(3)(4)(5)的导数分别是什么？提示 由导数的定义得(2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x .问题3 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？ 提示 ∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x2－1，(5)(x )′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x，∴(x α)′＝αx α－1.1.几个常用函数的导数2.[微判断]1.若y＝2，则y′＝12×2＝1.(×)提示若y＝2，则y′＝0.2.若f(x)＝1x3，则f′(x)＝－3x4.(√)3.若f(x)＝4x，则f′(x)＝4x log5e.(×)提示若f(x)＝4x，则f′(x)＝4x ln 4.[微训练]1.已知f(x)＝x2，则f′(3)等于()A.0B.2xC.6D.9 解析∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.答案 C2.求下列函数的导数：(1)f(x)＝4x5；(2)g(x)＝cosπ4；(3)h(x)＝3x.解(1)f(x)＝x 54，∴f′(x)＝54x14；(2)g(x)＝cos π4＝22，∴g′(x)＝0；(3)h′(x)＝3x ln 3. [微思考]1.如何求函数f(x)＝1x4的导数？提示把f(x)＝1x4化为f(x)＝x－4，则f′(x)＝－4x－5.2.如何求f(x)＝2sin x2cosx2的导数？提示把f(x)＝2sin x2cosx2化为f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x.题型一利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝sin π3；(2)y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x；(3)y＝1x；(4)y＝4x3；(5)y＝log3x.解(1)y′＝0；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)y ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练1】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13；(2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12；(2)y ′＝(4x )＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ；(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x 2′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75. 题型二 利用导数公式解决切线问题 角度1 求切线的方程【例2－1】 函数y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线方程是( )A.y ＝4xB.y ＝－4x ＋4C.y ＝4x ＋4D.y ＝2x －4解析 ∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－x －2，∴k ＝y ′|x ＝12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－4，∴切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝－4x ＋4. 答案 B角度2 求参数值【例2－2】 已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝________.解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，由题意得y ′|x ＝x 0＝1x 0＝k ，又y 0＝kx 0，而且y 0＝ln x 0，从而可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e . 答案 1e角度3 曲线上的点到直线的最小距离问题【例2－3】 设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0).因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 【训练2】 (1)求曲线y ＝x 在点B (1，1)处的切线方程； (2)求曲线y ＝ln x 的斜率等于4的切线方程. 解 (1)设所求切线的斜率为k . ∵y ′＝(x )′＝12x －12，k ＝y ′|x ＝1＝12，∴曲线y ＝x 在点B (1，1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0. (2)设切点坐标为(x 0，y 0).∵y ′＝1x ，曲线y ＝ln x 在点(x 0，y 0)处的切线的斜率等于4， ∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＝4，得x 0＝14，∴y 0＝－ln 4，∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－ln 4，∴所求切线方程为y ＋ln 4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即4x －y －1－ln 4＝0.题型三 导数公式的实际应用【例3】 某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p (单位：万元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋10%)t ，假定p 0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝0.095)解 由题意得p ′(t )＝1.1t ln 1.1所以p ′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095≈0.15(万元/年)所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年.规律方法 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数.【训练3】 从时刻t ＝0开始的t (s )内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q ＝cos t 表示.求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安) 解 由q ＝cos t 得q ′＝－sin t ， 所以q ′(5)＝－sin 5，q ′(7)＝－sin 7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安.一、素养落地1.通过学习导数公式及应用导数公式求基本初等函数的导数，提升数学运算素养.2.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.3.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x . 二、素养训练1.函数y ＝x e 的导数是( ) A.y ′＝x e B.y ′＝e x e －1 C.y ′＝e x eD.y ′＝ln x解析 由(x α)′＝αx α－1得，y ′＝e x e －1. 答案 B2.若f (x )＝sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A.－12B.－32 C.12D.32 解析 f ′(x )＝cos x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos π6＝32.答案 D3.已知f (x )＝x 2，g (x )＝x .若m 满足f ′(m )＋g ′(m )＝3，则m 的值为________. 解析 f ′(x )＋g ′(x )＝2x ＋1，f ′(m )＋g ′(m )＝2m ＋1＝3，故m ＝1. 答案 14.曲线y ＝1x 在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13处的切线方程是________.解析 ∵y ′＝－1x 2，∴在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13处的斜率k ＝－19，∴在点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13的斜率为－19的切线方程为：y －13＝－19(x －3)，即x ＋9y －6＝0. 答案 x ＋9y －6＝05.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴在点(2，e 2)处的切线斜率为k ＝e 2， ∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2. 答案 12e 2基础达标一、选择题1.函数y ＝3x 在x ＝2处的导数为( ) A.9 B.6 C.9ln 3D.6ln 3解析 y ′＝(3x )′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3. 答案 C2.下列结论中，不正确的是( ) A.若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4 B.若y ＝3x ，则y ′＝3x3 C.若y ＝1x 2，则y ′＝－2x －3 D.若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3 解析 由(x n )′＝nx n －1知，选项A ，y ＝1x 3＝x －3，则y ′＝－3x －4＝－3x 4； 选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3； 选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案 A4.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定 解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线.所以有2条切线.答案 B5.若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A.4x －y －3＝0 B.x ＋4y －5＝0 C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0解析 由题意，知切线l 的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0).∵y ′＝4x 3，∴k ＝4x 30＝4，解得x 0＝1，∴切点为(1，1)，∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 答案 A 二、填空题6.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝______. 解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1.∴a ＝1. 答案 17.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 108.已知函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________.解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k ).又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1，0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案 21 三、解答题9.求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x . 解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x4)＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2 x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.10.已知两条曲线y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解 不存在，理由如下：因为y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，所以y 1′＝cos x ，y 2′＝－sin x .设两条曲线的一个公共点为点P (x 0，y 0)，则两条曲线在点P (x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.若两条切线互相垂直，则cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，所以sin 2x 0＝2，显然不成立，所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直.能力提升11.如图所示，水波的半径以1 m/s 的速度向外扩张，当半径为5 m 时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是________m 2/s.解析 因为水波的半径以v ＝1 m/s 的速度向外扩张，水波面的圆面积S ＝πr 2＝π(v t )2＝πt 2.所以利用瞬时变化率，可求水波面的圆面积在时刻t 0时的瞬时膨胀率S ′|t ＝t 0＝2πt 0.当半径为5 m 时，t ＝5 s ，所以S ′|t ＝5＝2π×5＝10π，即半径为5 m 时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是10π m 2/s.答案 10π12.已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，B (2，1)，函数f (x )＝log 2x . (1)过坐标原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程.(2)在曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2上是否存在点P ，使得过点P 的切线与直线AB 平行？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)设切点为(m ，log 2m )(m >0).因为f (x )＝log 2x ，所以f ′(x )＝1x ln 2.由题意可得1m ln 2＝log 2m m ，解得m ＝e ，所以切线方程为y －log 2e ＝1eln 2(x －e)，即y ＝1eln 2x .(2)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，B (2，1)的直线的斜率为k AB ＝43. 假设存在点P ，使得过点P 的切线与直线AB 平行，设P (n ，log 2n )，12≤n ≤2，则有1n ln 2＝43，得n ＝34ln 2.又12＝ln e<ln 2<ln e ＝1，所以34<34ln 2<32，所以在曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤2上存在点P ，使得过点P 的切线与直线AB 平行，且点P 的横坐标为34ln 2.创新猜想13.(多选题)以下运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2 B.(cos x )′＝－sin x C.(2x )′＝2x ln 2 D.(lg x )′＝－1x ln 10解析 对于A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，所以A 不正确；对于B ，因为(cos x )′＝－sin x ，故B 正确；对于C ，因为(2x )′＝2x ln 2，所以C 正确；对于D ，因为(lg x )′＝1x ln 10，所以D 不正确.答案 BC14.(多空题)已知P 为曲线y ＝ln x 上的一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上的一动点，则当P 的坐标为________时，PQ 最小，此时最小值为________.解析 如图，当直线l 与曲线y ＝ln x 相切且与直线y ＝x ＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为PQ的最小值.易知(ln x)′＝1x，令1x＝1，得x＝1，故此时点P的坐标为(1，0)，所以PQ的最小值为|1－0＋1|2＝ 2.答案(1，0)2高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高中数学导数知识点总结高中数学导数知识点总结总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，他能够提升我们的书面表达能力，因此十分有必须要写一份总结哦。

那么你真的懂得怎么写总结吗？以下是小编帮大家整理的高中数学导数知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。

（一）导数第一定义设函数y = f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x（x0 + △x也在该邻域内）时，相应地函数取得增量△y = f （x0 + △x）— f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y = f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y = f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第一定义（二）导数第二定义设函数y = f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有变化△x（x — x0也在该邻域内）时，相应地函数变化△y = f（x）—f（x0）；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y = f （x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数y = f（x）在点x0处的导数记为f'（x0），即导数第二定义（三）导函数与导数如果函数y = f（x）在开区间I内每一点都可导，就称函数f（x）在区间I内可导。

这时函数y = f（x）对于区间I内的每一个确定的x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y = f（x）的导函数，记作y'，f'（x），dy/dx，df（x）/dx。

导函数简称导数。

（四）单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤（1）求f（x）（2）确定f（x）在（a，b）内符号（3）若f（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤（1）求f（x）（2）f（x）>0的解集与定义域的'交集的对应区间为增区间；f （x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间学习了导数基础知识点，接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。

高三数学基础知识大筛查之一：函数与导数概念与定理1、映射与函数的定义：映射的定义：设A 、B 是两个集合，按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个．．．．元素，在集合B 中都有唯一．．的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B.函数的定义：如果A 、B 都是非空．．数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作y=f (x)，其中x ∈A ，y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f (x)的定义域，象集合C （C ⊆B ）叫做函数y=f (x)的值域.定义在非空数集上的映射称为“函数”。

函数与映射的区别与联系：函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2、单调性的定义：①如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。

②设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在是增函数； ()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在是减函数。

3、周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

4、)(x f 是奇函数⇔f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数⇔f(－x)= f(x)5.导数的定义：()f x 在点0x 处的导数记作0000()()()limx x x f x x f x xy f x =∆→+∆-∆''==.函数y=f (x)在x=x 0处的导数的相关意义：几何意义——过曲线y=f (x)上一点P （x 0，y 0）的切线的斜率. 6.定积分的定义：)(lim )(1i ni ban f nab dx x f ξ∑⎰=∞→-=，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。

导数的计算第一课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P81～83,思考并完成以下问题1．函数y ＝c,y ＝x,y ＝x －1,y ＝x 2,y ＝x 的导数分别是什么？能否得出y ＝x n的导数公式？2．正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？[新知初探]1．几种常用函数的导数函数导数 f(x)＝c(c 为常数)f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x 2f′(x)＝2x f(x)＝1xf′(x)＝－1x 2f(x)＝xf′(x)＝12x[点睛] 对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础,都是通过导数的定义求得的,都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢,在求导数时,可直接应用,不必再用定义去求导． 2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x α(α∈Q *) f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝a x(a>0且a≠1)f′(x)＝a xln_a f(x)＝e xf′(x)＝e x f(x)＝log a x(a>0且a≠1)f′(x)＝1xln af(x)＝ln xf′(x)＝1x[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若y ＝2,则y′＝12×2＝1( )(2)若f′(x)＝sin x,则f(x)＝cos x( ) (3)f(x)＝1x 3,则f′(x)＝－3x 4( )答案：(1)× (2)× (3)√ 2．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝0,则y′＝0B ．若y ＝5x,则y′＝5C ．若y ＝x －1,则y′＝－x －2D ．若y ＝x 12,则y′＝12x 12答案：D3．若y ＝cos 2π3,则y′＝( )A ．－32B ．－12C ．0 D.12答案：C4．曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线方程为________． 答案：y ＝x ＋1利用导数公式求函数导数[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝3x；(5)y ＝log 5x.[解] (1)y′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5.(3)y′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25.(4)y′＝(3x)′＝3x ln 3. (5)y′＝(log 5x)′＝1xln 5.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式．[活学活用] 求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x.解：(1)y′＝(lg x)′＝⎝⎛⎭⎪⎫ln x ln 10′＝1xln 10.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2.(3)y′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 12＝32x.(4)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 13x ′＝1xln 13＝－1xln 3.导数公式的综合应用[典例] (1)曲线y ＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A.12－3π9B.12＋3π9C.12＋3π6D.12－3π6(2)设曲线y ＝x 在点(2,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直,则a ＝( ) A.22B.24C ．－2 2D ．2 2[解析] (1)因为y′＝－sin x,切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12, 所以切线的斜率k ＝y′|x＝π3＝－sin π3＝－32, 所以切线方程为y －12＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3,令x ＝0,得y ＝12＋3π6,故选C.(2)因为y ＝x ＝x 12,所以y′＝12x －12＝12x ,所以切线的斜率k ＝y′|x ＝2＝122,由已知,得－a ＝－22,即a ＝22,故选D. [答案] (1)C (2)D1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤1．曲线y ＝x 23在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为( )A.53B.89C.2512D.412解析：选C 可求得y′＝23x －13,即y′|x ＝1＝23,切线方程为2x －3y ＋1＝0,与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0, 与x ＝2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53, 围成三角形面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫2＋12×53＝2512.2．当常数k 为何值时,直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点． 解：设切点为A(x 0,x 20＋k)．∵y′＝2x,∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1，x 20＋k ＝x 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12，k ＝14，故当k ＝14时,直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切,且切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 12.层级一 学业水平达标1．若指数函数f(x)＝a x(a ＞0,a≠1)满足f′(1)＝ln 27,则f′(－1)＝( ) A ．2B ．ln 3 C.ln 33D ．－ln 3解析：选C f′(x)＝a x ln a,由f′(1)＝aln a ＝ln 27,解得a ＝3,则f′(x)＝3xln 3,故f′(－1)＝ln 33. 2．已知f(x)＝x 2·x,则f′(2)＝( ) A ．4 2B ．0 C. 2D ．5 2解析：选D 原函数化简得f(x)＝x 52,所以f′(x)＝52·x 32,所以f′(2)＝52×232＝5 2.故选D.3．已知f(x)＝x α,若f′(－1)＝－2,则α的值等于( ) A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2,则f(x)＝x 2,∴f′(x)＝2x, ∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．若曲线y ＝x 在点P(a,a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a 的值是( ) A ．4B ．2C ．16D ．8解析：选A ∵y′＝12x ,∴切线方程为y －a ＝12a(x －a)．令x ＝0,得y ＝a2,令y ＝0,得x ＝－a, 由题意知12·a2·a＝2,∴a ＝4.5. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：选C ∵y′＝x 2,∴y′|x ＝1＝1,∴切线的倾斜角α满足tan α＝1,∵0≤α<π,∴α＝π4.6．已知f(x)＝1x ,g(x)＝mx,且g′(2)＝1f′2,则m ＝________.解析：∵f′(x)＝－1x 2,∴f′(2)＝－14.又∵g′(x)＝m,∴g′(2)＝m.由g′(2)＝1f′2,得m ＝－4.答案：－47．曲线y ＝ln x 在点M(e,1)处的切线的斜率是________,切线方程为____________． 解析：∵y′＝(ln x)′＝1x ,∴y′|x ＝e ＝1e .∴切线方程为y －1＝1e (x －e),即x －ey ＝0.答案：1ex －ey ＝08．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2,过第一象限的点(a,a 2)作抛物线C 的切线l,则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a,a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点, ∵y′＝2x,∴直线l 的方程为y －a 2＝2a(x －a)． 令x ＝0,得y ＝－a 2,∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0,－a 2)． 答案：(0,－a 2) 9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2.解：(1)y′＝(x 8)′＝8x8－1＝8x 7.(2)y′＝(4x)′＝4x ln 4. (3)y′＝(log 3x)′＝1xln 3.(4)y′＝(cos x)′＝－sin x. (5)y′＝(e 2)′＝0.10．已知P(－1,1),Q(2,4)是曲线y ＝x 2上的两点, (1)求过点P,Q 的曲线y ＝x 2的切线方程； (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y′＝2x,P(－1,1),Q(2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y′|x ＝－1＝－2, 过Q 点的切线的斜率k 2＝y′|x ＝2＝4,过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1),即2x ＋y ＋1＝0. 过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2),即4x －y －4＝0. (2)因为y′＝2x,直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1,切线的斜率k ＝y′|x＝x 0＝2x 0＝1, 所以x 0＝12,所以切点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14, 与PQ 平行的切线方程为： y －14＝x －12,即4x －4y －1＝0.层级二 应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t,则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523 B.110523C.25523D.110523解析：选B ∵s′＝15t －45.∴当t ＝4时,s′＝15·1544＝110523 .2．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x(x ＞0)的一条切线,则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y′＝1x ,∴令1x ＝12,得x ＝2,∴切点为(2,ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b,得b ＝ln 2－1.3．在曲线f(x)＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1,－1)解析：选D 因为f(x)＝1x ,所以f′(x)＝－1x 2,因为切线的倾斜角为34π,所以切线斜率为－1,即f′(x)＝－1x 2＝－1,所以x ＝±1,则当x ＝1时,f(1)＝1；当x ＝－1时,f(1)＝－1,则点坐标为(1,1)或(－1,－1)． 4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,则x 1·x 2·…·x n 的值为( )A. 1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1解析：选B 对y ＝xn ＋1(n ∈N *)求导得y′＝(n ＋1)x n. 令x ＝1,得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1,∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0,得x n ＝n n ＋1, ∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×nn ＋1＝1n ＋1, 故选B. 5．已知f(x)＝a 2(a 为常数),g(x)＝ln x,若2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝1,则x ＝________. 解析：因为f′(x)＝0,g′(x)＝1x ,所以2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝2x －1x ＝1.解得x ＝1或x ＝－12,因为x ＞0,所以x ＝1.答案：16．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2, 又∵y′＝(ln x)′＝1x ,∴1x ＝2,解得x ＝12.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.即2x －y －1－ln 2＝0. 答案：2x －y －1－ln 2＝07．已知曲线方程为y ＝f(x)＝x 2,求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程． 解：设切点P 的坐标为(x 0,x 20)． ∵y ＝x 2,∴y′＝2x,∴k ＝f′(x 0)＝2x 0, ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B(3,5)代入上式,得5－x 20＝2x 0(3－x 0), 即x 20－6x 0＋5＝0,∴(x 0－1)(x 0－5)＝0,∴x 0＝1或x 0＝5, ∴切点坐标为(1,1)或(5,25),故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5), 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P(x 0,y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点． ∵y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a2x 20(x －x 0)．令x ＝0,得y ＝2a2x 0；令y ＝0,得x ＝2x 0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.。

导数经典例题精讲导数知识点导数是一种特殊的极限 几个常用极限：（1）1lim0n n→∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=.两个重要的极限 ：（1）0sin lim 1x x x →=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…). 函数极限的四则运算法则：若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x xg x b →=，则 (1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim 0x xf x ab g x b→=≠. 数列极限的四则运算法则：若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅(3)()lim 0n n n a ab b b→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数))(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商） 000000()()()lim limx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. .瞬时速度：00()()()lim limt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 瞬时加速度：00()()()lim limt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. )(x f 在),(b a 的导数：()dy df f x y dx dx ''===00()()lim lim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 几种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.x x sin )(cos -='(4) xx 1)(ln ='；e a x xa log 1)(log ='. (5) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.【例题解析】考点1 导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1． ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.[解答过程] ()22()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=故填3.例2.设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由0,,1;, 1.1x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时()()()//2211,0.11111.x x a x a x a a y y x x x x a ------⎛⎫=∴===> ⎪--⎝⎭--∴> 综上可得M P 时, 1.a ∴>考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题例3.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-2104x x <-≤．于是2044a b <-，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <． 由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 例4.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=. 故选A.例5．过坐标原点且与x 2+y 2-4x +2y +25=0相切的直线的方程为 ( )A.y =-3x 或y =31x B. y =-3x 或y =-31x C.y =-3x 或y =-31x D. y =3x 或y =31x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.y kx kx y =∴-= 又()()()22521,2,1.2x y -++=∴-圆心为213830., 3.3k k k k =+-=∴==- 1,3.3y x y x ∴==-或故选A.解法2:由解法1知切点坐标为1331(,),,,2222⎛⎫- ⎪⎝⎭由 ()()//22////113231(,)(,)22225(2)1,22(2)210,2.113,.313,.3x xx x x x x y x y y x y y k y k y y x y x -⎛⎫⎡⎤-++= ⎪⎣⎦⎝⎭∴-++=-∴=-+∴==-==∴=-=故选A.例6.已知两抛物线a x y C x x y C +-=+=2221:,2:, a 取何值时1C ，2C 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对a x y C x x y C +-=+=2221:,2:求导数.解答过程：函数x x y 22+=的导数为22'+=x y ，曲线1C 在点P(12112,x x x +)处的切线方程为))(2(2)2(11121x x x x x y -+=+-，即 211)1(2x x x y -+= ①曲线1C 在点Q ),(222a x x +-的切线方程是)(2)(222x x x a x y --=+--即a x x x y ++-=2222 ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是l 的方程，故得1,1222121+=--=+x x x x ，消去2x 得方程，0122121=+++a x x若△=0)1(244=+⨯-a ，即21-=a 时，解得211-=x ，此时点P 、Q 重合.∴当时21-=a ，1C 和2C 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为14y x =- .考点3 导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1.. 求函数的解析式;2. 求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式. 典型例题例7．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间(,0)a 内的图象上有一个极小值点. 故选A.例8 .设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．思路启迪：利用函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值构造方程组求a 、b 的值．解答过程：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，．例9.函数y x x =+-+243的值域是_____________.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。

高中数学一轮复习之函数之导数求和之倒序相加与错位相减法引言在高中数学的研究中，函数是一个非常重要的概念，而导数则是函数中的一种重要工具。

本文将介绍函数的导数求和的两种方法，即倒序相加法和错位相减法。

函数的导数求和之倒序相加法倒序相加法是一种常用的方法，用于计算函数的导数的和。

具体步骤如下：1. 首先，找到函数的导数表达式，并按照x的幂次从高到低的顺序列出。

2. 然后，将每个导数的表达式从高到低的顺序相加，并化简。

3. 最后，得到函数的导数的和。

例如，对于函数f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求其导数的和的过程如下：1. 求导数：f'(x) = 9x^2 + 4x - 5。

2. 将导数的表达式按照x的幂次从高到低的顺序相加：9x^2 + 4x - 5。

3. 化简得到函数的导数的和：9x^2 + 4x - 5。

函数的导数求和之错位相减法错位相减法是另一种常用的方法，用于计算函数的导数的和。

具体步骤如下：1. 首先，找到函数的导数表达式，并按照x的幂次从高到低的顺序列出。

2. 然后，将相邻导数的表达式相减。

3. 最后，得到函数的导数的和。

例如，对于函数f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求其导数的和的过程如下：1. 求导数：f'(x) = 9x^2 + 4x - 5。

2. 将相邻导数的表达式相减：(9x^2 - 4x) + (4x - 5)。

3. 化简得到函数的导数的和：9x^2 - 5。

结论函数的导数求和是高中数学中的重要内容。

本文介绍了倒序相加法和错位相减法这两种常用的方法。

通过这些方法，我们可以得到函数的导数的和，进一步理解函数的性质和变化规律。

在数学一轮复中，掌握这些方法对于应对考试和解决实际问题都具有重要意义。

高中数学导数公式、定义证明、运算法则，实用干货，收藏好！导数，也叫导函数值。

那么，高中数学导数公式及运算法则有哪些呢？高中数学导数公式有哪些1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2根据导数定义证明数学导数运算法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。

基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

导数的计算方法函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。

在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。

只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。