高三数学导数的综合复习

高三数学一轮复习导数知识点在高三数学的学习中，导数是一个非常重要的概念。

导数是微积分的基础，它在计算函数变化率、解析几何、最值问题等方面起着至关重要的作用。

本文将围绕高三数学一轮复习导数知识点展开讨论，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、导数的定义导数描述了一个函数在某一点上的变化率。

对于函数y=f(x)，在给定点x=a处，函数的导数可以定义为：f'(a)=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim代表极限的概念。

简单来说，导数是通过求函数在某点邻近的两点间的斜率的极限值来描述函数在该点上的变化情况。

二、求导法则在高三数学中，导数的求法十分重要。

掌握了合适的求导法则，可以帮助我们更加便捷地求解复杂的导数函数。

下面是一些常见的求导法则：1. 常数法则：若c为常数，则有(d/dx)(c)=0。

2. 幂法则：若y=x^n，则有(d/dx)(x^n)=nx^(n-1)，其中n为任意实数。

3. 乘法法则：若y=u(x)v(x)，则有(d/dx)(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

4. 除法法则：若y=u(x)/v(x)，则有(d/dx)(u(x)/v(x))=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。

5. 链式法则：若y=f(g(x))，则有(d/dx)(f(g(x)))=f'(g(x))g'(x)。

6. 指数函数和对数函数的导数：若y=a^x，则有(d/dx)(a^x)=a^xln(a)，其中a为常数。

通过掌握这些求导法则，我们可以在计算导数时灵活运用，提高效率。

三、导数的应用导数不仅仅是一个数学概念，同时也具有重要的应用价值。

在实际问题中，导数可以帮助我们求解最值问题、判断函数的增减性、描述函数的曲线形状等。

下面是一些常见的导数应用：1. 最值问题：导数可用于求解函数的最大值和最小值。

高三复习知识梳理之四：导数及其应用（含定积分）【考点综述】本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次，以求导考察单调性为突破口；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层次，用于设计压轴题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。

预测：重点放在第二层次，已向第三层次进军（还常设计压轴题）！即：考查对导数本质的理解和计算，并力求结合应用问题，已经表现出逐步加深与综合考查的趋势，如已涉及理论探讨和较为严格的逻辑证明。

【重点知识】1. 平均变化率及瞬时变化率：(1) 函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率：yx ∆∆()()11f x x f x x +∆-=∆()()2121.f x f x x x -=- （2）函数f(x)在x 0处的瞬时变化率：x yx ∆∆→∆0lim =()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim =()().lim 000x x x f x f x x --→ 2. 导（函）数的定义：（1）．)(x f 在点x 0处可导⇔()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim 存在 ⇔()()000lim x f x x f x x+∆→+∆-∆、()()x x f x x f x ∆-∆+-→∆000lim 都存在且相等。

（2）．)(x f 在一点x=x 0处的导数为=')(0x f x yx ∆∆→∆0lim =()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim =()().lim 000x x x f x f xx --→ （3）．若对任意()b a x ,∈都有x y x f x ∆∆='→∆lim )(=()()xx f x x f x ∆-∆+→∆0lim 成立，则函数)(x f 在区间()b a ,上可导；在端点a 、b 处判断是否可导的方法是：若0lim x y x+∆→∆∆存在，则)(x f 在（a,b]上可导；若在x y x ∆∆-→∆0lim 存在，则)(x f 在[a,b ）上可导；若x y x ∆∆+→∆0lim ，xy x ∆∆-→∆0lim 都存在，则)(x f 在[a,b]上可导。

2024届全国高考数学一轮复习好题专项（导数的综合应用）练习一、基础练习1．（2021ꞏ沙坪坝区ꞏ重庆一中高三其他模拟）已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 310x e a x b +-++≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，则当3b a+取最大值时，实数a 的值为（ ） A ．3eB ．31e +C ．4eD ．41e +2．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）已知函数()e ax f x =a 的取值范围是（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭3．（2021ꞏ四川遂宁市ꞏ高三三模（理））已知函数()()2xh x x e =-，()212a a g x x x =-，又当()0h x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,e ⎤-∞⎦B ．(],e -∞C ．(20,e ⎤⎦D ．(]0,e4．（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知f （x ）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝xxe ，若关于x 的方程2f 2（x ）+（2a ﹣1）f （x ）﹣a ＝0有且只有2个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1e ，﹣22e ] B ．[﹣1e ，﹣22e ） C ．（﹣22e，0）D ．（﹣22e ，0）∪{﹣1e}5．（2021ꞏ宁夏银川市ꞏ高三其他模拟（理））平行于x 轴的直线与函数ln ,0,(),0,x x f x e x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图像交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值为（ ） A ．1e e-B ．1e e+C ．eD ．2e6．（2021ꞏ正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知2m <-，若关于x 的不等式22e 2x mx n x +<+恒成立，则实数n 的取值范围为（ ） A ．[)3e,+∞B ．)2e ,⎡+∞⎣C ．[)e,+∞D ．[)2e,+∞7．【多选题】（2021ꞏ河北衡水中学高三其他模拟）已知函数()3e exxx a f x x -=-+-，则下列结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则0M m +=B ．曲线()y f x =与直线y ax =-相切C ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为(],2-∞D ．()f x 在R 上最多有3个零点8．（2021ꞏ黑龙江大庆市ꞏ高三一模（理））用总长11m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m ，则该容器容积的最大值为________m 3（不计损耗）． 9．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm .则当圆柱的底面半径r =___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.10．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若函数ln ()1xxf x ae x=--只有一个零点，则实数a 的取值范围是 ________． 二、提升练习1．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若不等式ln x ax b ≤+恒成立，则2a b +的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．ln 2D ．52.（2021ꞏ北京高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，则()f x 有两个零点； ②0k ∃<，使得()f x 有一个零点； ③0k ∃<，使得()f x 有三个零点； ④0k ∃>，使得()f x 有三个零点． 以上正确结论得序号是_______．3．（2021ꞏ四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，其中e 为自然对数的底数，曲线()y f x =在()()22f ,处切线的倾斜角的正切值为2322e e +．（1）求a 的值； （2）证明：()0f x >．4．（2021ꞏ全国高三其他模拟（理））已知函数()()ln e xf x x m x -=+-.（1）若()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，求m 的值； （2）在（1）的条件下，证明：当0x >时，()0f x >； （3）当1m >时，求()f x 的零点个数.5．（2021ꞏ黑龙江哈尔滨市ꞏ哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数2211()(1)ln (0)22f x x a x a x a a =-+++>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数a 的取值范围.6．（2021ꞏ河北高三其他模拟）已知函数2ln 1()(ln )()2k x f x x k x+=+∈R . （1）当0k =时，求证：()1f x ≤； （2）当0k ≠时，讨论()f x 零点的个数.7．（2021ꞏ重庆市育才中学高三二模）已知函数()x f x e =，()1g x ax =+. （1）已知()()f x g x ≥恒成立，求a 的值；（2）若(0,1)x ∈，求证：21ln 11()x x f x x-+-<. 8.（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知函数()()ln x a f x a x+=+，()0,x ∈+∞.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 存在极大值M ，证明：12M e≤<.9．（2021ꞏ重庆高三二模）已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈在1x =处取得极值． （1）若对(0,),()1x f x bx ∀∈+∞≤-恒成立，求实数b 的取值范围；（2）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<． 10．（2021ꞏ江苏南通市ꞏ高三一模）已知函数()()21ln 22f x ax ax x =+-，0a >. （1）求函数()f x 的增区间；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，且12x x <，求证：122x x +>. 三、真题练习1．（2021ꞏ全国高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.2.（2021ꞏ全国高考真题（理））设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．3．（2021ꞏ全国高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 4.（2020·山东海南省高考真题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．5．（2020·浙江省高考真题）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：0x ≤≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．6.（2019·全国高考真题（理））已知函数.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线的切线.()11ln x f x x x -=-+e x y =参考答案一、基础练习1．（2021ꞏ沙坪坝区ꞏ重庆一中高三其他模拟）已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 310x e a x b +-++≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，则当3b a+取最大值时，实数a 的值为（ ） A ．3e B ．31e +C ．4eD ．41e +【答案】C 【答案解析】不等式(3)10lnx e a x b +-++…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，化为不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，必然有0a >．令1=x e，化为：31b a e +…．令4a e =，1b =．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出结论． 【答案详解】解：不等式(3)10lnx e a x b +-++…对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 则不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 则0a >． 令1=x e，则131a b e -+--…，化为：31b a e +…． 令4a e =，1b =．不等式31lnx ex ax b +--…对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即不等式20lnx ex -+…对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 令()2f x lnx ex =-+，则1()1()e x e f x e x x --'=-=，可得：1=x e 时，函数()f x 取得极大值即最大值，1(1120f e=--+=， 满足题意．可以验证其他值不成立． 故选：C ．2．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）已知函数()e ax f x =a 的取值范围是（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【答案解析】函数零点即方程ax e =的解，2ax e x =（0x >），取对数得2ln ax x =，此方程有两个解，引入函数()ln 2g x x ax =-，利用导数求得函数的单调性，函数的变化趋势，然后由零点存在定理可得结论．【答案详解】显然(0)1f =，()e ax f x =有两个零点，即方程ax e =，2ax e x =在(0,)+∞上有两个解，两边取对数得到2ln ax x =，令()ln 2g x x ax =-，1()2g x a x '=-，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，又当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞， 因为()g x 有两个零点，则11ln 1022g a a ⎛⎫=->⎪⎝⎭， 解得12e a <.所以正数a 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C ．3．（2021ꞏ四川遂宁市ꞏ高三三模（理））已知函数()()2xh x x e =-，()212a a g x x x =-，又当()0h x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(2,e ⎤-∞⎦B ．(],e -∞C ．(20,e ⎤⎦D ．(]0,e【答案】A 【答案解析】首先根据()0h x ≥求出2x ≥，进而参变分离解决恒成立的问题即可. 【答案详解】因为()()2xh x x e =-，所以()0h x ≥，即2x ≥，所以当2x ≥时，()()h x g x ≥恒成立，即()2122xa a x e x x -≥-， 即()()1222xx e x ax -≥-， 当2x =时，()()1222xx e x ax -≥-恒成立，符合题意；当()2,x ∈+∞时，有12xe ax ≥，即2xe xa ≥，令()2x e m x x =，则()()2210x e x m x x-'=>，所以()m x 在()2,x ∈+∞上单调递增，而()22m e =，所以2e a ≥，故选：A.4．（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知f （x ）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝xxe ，若关于x 的方程2f 2（x ）+（2a ﹣1）f （x ）﹣a ＝0有且只有2个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1e ，﹣22e ]B ．[﹣1e ，﹣22e ） C ．（﹣22e，0）D ．（﹣22e ，0）∪{﹣1e}【答案】D 【答案解析】利用导数研究函数在定义域上的单调性，得出1()f x e≤；结合题意得出()f x 在[]02，有且仅有1个解，计算(0)(2)f f 、的值即可. 【答案详解】当[]02x ∈，时()xxf x e =， 则1()x xf x e-'=令()=0f x '，解得1x =，所以当[]01x ∈，时()0f x '>，()f x 单调递增； 当[]12x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减， 所以max 1()(1)f x f e==，故1()f x e≤在定义域上恒成立，由22()(21)()0f x a f x a +--=有且只有2个实数根， 得方程[]12()()02f x a f x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦有2个解，又1()f x e≤，所以111()022f x e -≤-<，则()f x 在[]02，有且仅有1个解， 因为22(0)0(2)f f e ==，，则220a e <-<或1a e-=， 所以220a e-<<或1a e =-，即实数的取值范围是2210e e ⎛⎫⎧⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， 故选：D5．（2021ꞏ宁夏银川市ꞏ高三其他模拟（理））平行于x 轴的直线与函数ln ,0,(),0,x x f x e x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩的图像交于,A B 两点，则线段AB 长度的最小值为（ ） A ．1e e-B ．1e e+C ．eD ．2e【答案】D 【答案解析】画出函数图像，数形结合构造函数，利用导数判断函数单调性并求函数最值即可. 【答案详解】根据题意，画出()f x 的图象如下所示：令()f x t =，(0)t >，故可得lnx t =，解得t x e =；e t x -=，解得e x t=-.故可得(),,,te A e t B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0)t >， 故()teAB g t e t==+，(0)t >， 故可得()2te g t e t ='-，()30te g t e t'=+>'恒成立， 故()g t '是单调递增函数，且()10g '=，关于()0g t '<在()0,1成立，()0g t '>在()1,+∞成立， 故()g t 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 故()()12min g t g e e e ==+=. 即||AB 的最小值为2e . 故选：D6．（2021ꞏ正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知2m <-，若关于x 的不等式22e 2x mx n x +<+恒成立，则实数n 的取值范围为（ ） A ．[)3e,+∞ B ．)2e ,⎡+∞⎣C ．[)e,+∞D ．[)2e,+∞【答案】D 【答案解析】参变分离可得222e x mx x n +-<，研究函数()222exmx xf x +-=，根据导函数()()22e x m x x m f x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=以及2m <-，可得函数()f x 的极大值为22222e 0e m m f m -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，当2x >，()2220ex mx x f x -+=<，所以()2max 2e m f x -⎡⎤=⎣⎦，根据()f x 的最大值的范围即可得解. 【答案详解】由22e 2xmx n x +<+，得222exmx x n +-<， 令()222exmx xf x +-=，则()()22e xm x x m f x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=，当2m <-时，210m-<<， 函数()f x 在2,m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在2,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故函数()f x 的极大值为22222e 0e mm f m -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，极小值为()24220e m f -=<， 且2x >时，()2220ex mx x f x -+=<，所以()2max 2e m f x -⎡⎤=⎣⎦，由2m <-， 得22e 2e m -<，由()f x n <恒成立，得2e n ≥， 故选：D ．7．【多选题】（2021ꞏ河北衡水中学高三其他模拟）已知函数()3e exxx a f x x -=-+-，则下列结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则0M m +=B ．曲线()y f x =与直线y ax =-相切C ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为(],2-∞D ．()f x 在R 上最多有3个零点 【答案】ACD 【答案解析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况. 【答案详解】因为对于任意x ∈R ，都有()()()()3e e x x x x a xf x f -=-+---=--， 所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确.又()2e e 3xxx a f x =++-'，令()f x a '=-，得2e e 30x x x -++=(*)，因为e 0x >，e 0x ->，所以方程(*)无实数解，即曲线()y f x =的所有切线的斜率都不可能为a -，故B 错误.若()f x 为增函数，则()f x ¢大于等于0，即2e e 3x x a x -≤++，2e e 32x x x -++≥， 当且仅当0x =时等号成立，所以2a ≤，故C 正确.令()0f x =，得0x =或2e e x x x a x --+=(0x ≠).设()2e e x x g x x x--=+，则()()()21e 1e 2x x x x x x g x -'=-+++，令()()()1e 1e x xx x t x -=-++，则()()e exxx x t -='-.当0x >时，()0t x '>，当0x =时，()0t x '=，当0x <时，()0t x '>，所以函数()t x 为增函数，且()00t =，所以当0x >时，()0t x >，从而()0g x ¢>，()g x 单调递增.又因为对于任意0x ≠，都有()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 综上，()g x 在(),0-?上单调递减，在()0,+?上单调递增，则直线y a =与()y g x =最多有2个交点，所以()f x 在R 上最多有3个零点，故D 正确. 故选ACD .8．（2021ꞏ黑龙江大庆市ꞏ高三一模（理））用总长11m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一条边比另一条边长1m ，则该容器容积的最大值为________m 3（不计损耗）． 【答案】916. 【答案解析】设长方体的底面边长为,a b ，高为h ，由题可得3217244V b b b =--+，求出函数导数，判断单调性，即可求出最值. 【答案详解】设长方体的底面边长为,a b ，高为h ，则由题可得1a b =+，()411a b h ++=，则可得784b h -=，则708b <<， 则该容器容积()32781712444b V abh b b b b b -==+⋅⋅=--+，217176624212V b b b b ⎛⎫⎛⎫'=--+=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>，V 单调递增；当17,28b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '<，V 单调递减， ∴当12b =时，max 916V =，即该容器容积的最大值为916. 故答案为：916.9．（2021ꞏ湖南高三其他模拟）中国最早的化妆水是1896年在香港开设的广生行生产的花露水，其具有保湿、滋润、健康皮肤的功效.已知该化妆水容器由一个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中），容器轴截面如图所示，上部分是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为12cm .则当圆柱的底面半径r =___________时，该容器的容积最大，最大值为___________.【答案】8 c m 2π+ ()32128 c m 2ππ+ 【答案解析】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ，根据已知条件可得出262h r π+=-，根据柱体的体积公式可得()23262V r r πππ+=-，利用导数可求得V 的最大值及其对应的r 的值，即为所求.【答案详解】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h . 则由题意可得2212r h r π++=，所以()1222622r h r ππ-++==-.由0h >，得122r π<+. 故容器的容积()22232212660222V r h r r r r r πππππππ++⎛⎫⎛⎫==-=-<< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，容易忽略上半球是容器的盖子，化妆水储存在圆柱中.()232122V r r πππ+'=-，令0V '=，解得0r =（舍）或82r π=+. 显然当80,2r π⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，0V '>，函数()23262V r r πππ+=-单调递增； 当812,22r ππ⎛⎫∈⎪++⎝⎭时，0V '<，函数()23262V r r πππ+=-单调递减. 所以当8cm 2r π=+时，V 取得最大值， 此时2862cm 22h ππ+=-⨯=+，()23281282cm 22V ππππ⎛⎫=⨯= ⎪+⎝⎭+. 故答案为：8 c m 2π+；()32128 c m 2ππ+. 10．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若函数ln ()1xxf x ae x=--只有一个零点，则实数a 的取值范围是 ________． 【答案】0a ≤或1a e= 【答案解析】将函数的零点转化为方程ln (0)x x x a x xe +=>的根，令ln ()xx xg x xe +=，利用导数研究函数的图象特征，即可得到答案； 【答案详解】ln ln 10(0)x x x x xae a x x xe +--=⇔=>， 令ln ()xx x g x xe+=，则'2()(1ln )()x x x x g x x e +--=， ''()01ln 0,()01ln 0,g x x x g x x x >⇔--><⇔--<令()1ln u x x x =--，则'1()10u x x=--<在0x >恒成立， ∴()1ln u x x x =--在(0,)+∞单调递减，且(1)0u =， ∴''()001,()01g x x g x x >⇒<<<⇒>，∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且1(1)g e=，当x →+∞时，()0g x →， 如图所示，可得当0a ≤或1a e =时，直线y a =与ln xx x y xe +=有且仅有一个交点， 故答案为：0a ≤或1a e=1．（2021ꞏ全国高三其他模拟）若不等式ln x ax b ≤+恒成立，则2a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．ln 2D ．5【答案】C 【答案解析】构造函数()ln f x ax x b =-+，根据函数的单调性及最值可得ln 1b a ≥--，故22ln 1a b a a +≥--，再构造()2ln 1g x x x =--，求得函数()g x 的最小值即可. 【答案详解】由ln x ax b ≤+恒成立，得ln 0ax x b -+≥， 设()ln f x ax x b =-+，()1f x a x'=-， 当0a ≤时，()0f x ¢<，()f x 在()0,+?上单调递减，不成立；当0a >时，令()0f x ¢=，解得1x a=，故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()10f x f a ⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，即11ln 0a b a a ⎛⎫⋅-+≥ ⎪⎝⎭，ln 1b a ≥--，练提升22ln 1a b a a +≥--，设()2ln 1g x x x =--，()12g x x'=-， 令()0g x ¢=，12x =， 故()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()1112ln 1ln 2222g x g ⎛⎫⎛⎫≥=⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2ln 2a b +≥， 故选：C.2.（2021ꞏ北京高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，则()f x 有两个零点； ②0k ∃<，使得()f x 有一个零点； ③0k ∃<，使得()f x 有三个零点； ④0k ∃>，使得()f x 有三个零点． 以上正确结论得序号是_______． 【答案】①②④ 【答案解析】由()0f x =可得出lg 2x kx =+，考查直线2y kx =+与曲线()lg g x x =的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【答案详解】对于①，当0k =时，由()lg 20f x x =-=，可得1100x =或100x =，①正确； 对于②，考查直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<相切于点(),lg P t t -，对函数lg y x =-求导得1ln10y x '=-，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得100100lg e t k e e ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以，存在100lg 0k e e=-<，使得()f x 只有一个零点，②正确； 对于③，当直线2y kx =+过点()1,0时，20k +=，解得2k =-，所以，当100lg 2e k e-<<-时，直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点， 若函数()f x 有三个零点，则直线2y kx =+与曲线()lg 01y x x =-<<有两个交点，直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>有一个交点，所以，100lg 220e k ek ⎧-<<-⎪⎨⎪+>⎩，此不等式无解， 因此，不存在0k <，使得函数()f x 有三个零点，③错误；对于④，考查直线2y kx =+与曲线()lg 1y x x =>相切于点(),lg P t t ，对函数lg y x =求导得1ln10y x '=，由题意可得2lg 1ln10kt t k t +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得100lg 100t ee k e =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，当lg 0100ek e<<时，函数()f x 有三个零点，④正确.故答案为：①②④.3．（2021ꞏ四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设函数()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，其中e 为自然对数的底数，曲线()y f x =在()()22f ,处切线的倾斜角的正切值为2322e e +． （1）求a 的值； （2）证明：()0f x >．【答案】（1）2a =；（2）证明见答案解析． 【答案解析】（1）求出函数的导函数，再代入计算可得；（2）依题意即证()()2222ln 0xf x x x e ex e x =-+->，即()12ln 2x x x e e x--+>，构造函数()()222x g x x e e-=-+，()ln xh x x =，利用导数说明其单调性与最值，即可得到()()>g x h x ，从而得证； 【答案详解】解：（1）因为()()222ln xf x x x e aex e x =-+-，所以()()222xef x x e ae x'=-+-，()22332222e ef ae e =+=+'，解得2a =．（2）由（1）可得()()2222ln xf x x x e ex e x =-+-即证()()()2212ln 22ln 02x x x f x x x e ex e x x e e x-=-+->⇔-+>． 令()()222x g x x e e-=-+，()()21x g x x e -=-'，于是()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()()11g x g e≥=（1x =取等号）． 又令()ln x h x x =，则()21ln xh x x -'=，于是()h x 在()0,e 上是增函数，在(),e +∞上是减函数，所以()()1h x h e e≤=（x e =时取等号）．所以()()>g x h x ，即()0f x >．4．（2021ꞏ全国高三其他模拟（理））已知函数()()ln e xf x x m x -=+-.（1）若()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，求m 的值； （2）在（1）的条件下，证明：当0x >时，()0f x >； （3）当1m >时，求()f x 的零点个数.【答案】（1）1m =；（2）证明见答案解析；（3）有一个零点. 【答案解析】（1）利用导数的几何意义求解即可（2）利用导数，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，由()00f =，即可证明()0f x >在()0,∞+上恒成立 （3）由（2）可知当1m >且0x >时，()()ln 1e0xf x x x ->+->，即()f x 在()0,∞+上没有零点，再根据，0x m +>，得到x m >-， 对(),0x m ∈-进行讨论，即可求解 【答案详解】解：（1）因为()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x y -=平行，所以()112f '=， 因为()()11e x f x x x m -+-'=+， 所以()11112f m ='=+，解得1m =. （2）由（1）得当1m =时，()()()21e 11e 11ex xx x f x x x x -+-=+-=++'， 当0x >时，因为()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增， 因为()00f =，所以()0f x >在()0,∞+上恒成立. （3）由（2）可知当1m >且0x >时，()()ln 1e 0xf x x x ->+->，即()f x 在()0,∞+上没有零点，当(),0x m ∈-时，()()()()2e 111e e x xxx m x m f x x x m x m -++--=+-=++'，令()()2e 1xg x x m x m =++--，(),0x m ∈-，则()e 21xg x x m =++-'单调递增，且()e21e 10mm g m m m m ---=-+-=--<'，()00g m '=>，所以()g x '在(),0m -上存在唯一零点，记为0x ，且()0,x m x ∈-时，()0g x '<，()0,0x x ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在()0,m x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增， 因为1m >， 所以()e0mg m --=>，()010g m =-<，因为()()00g x g <，所以()00g x <，所以()g x 在()0,m x -上存在唯一零点1x ，且在()0,0x 上恒小于零， 故()1,x m x ∈-时，()0g x >；()1,0x x ∈时，()0g x <，所以()f x 在()1,m x -上单调递增，在()1,0x 上单调递减，且()0ln 0f m =>， 所以()f x 在(),0m -上至多有一个零点， 取()e 2e ,0mm x m m -=-+∈-， 则有()()22ln e 0mf x x m m <++=，所以由零点存在定理可知()f x 在(),0m -上只有一个零点， 又f (0)不为0，所以()f x 在(),m -+∞上只有一个零点.5．（2021ꞏ黑龙江哈尔滨市ꞏ哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数2211()(1)ln (0)22f x x a x a x a a =-+++>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见答案解析；（2）01a <<+或a e >.【答案解析】 （1）求得()'fx ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）根据（1）的结论，结合函数的极值以及零点个数，求得a 的取值范围. 【答案详解】 （1）()()()'1x x a f x x--=，当01a <<时，由()'00f x x a >⇒<<或1x >，所以()f x 在()0,a ，()1,+∞单调递增，由()'01fx a x <⇒<<，所以()f x 在(),1a 单调递减；当1a >时，由()'001fx x >⇒<<或x a >，所以()f x 在()0,1，(),a +∞单调递增，由()'01f x x a <⇒<<，所以()f x 在()1,a 单调递减；当1a =时，()()2'10x f x x-=≥⇒()f x 在()0,∞+单调递增.（2）1(1)(1(12f a a ⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦，()(ln 1)f a a a =-， 由（1）知当01a <<时，()f x 在x a =处，有极大值，且()0f a <，此时函数有一个零点； 当1a =时，()f x 在()0,∞+单调递增，且()10f <，此时函数有一个零点；当1a >时，()0,1，(),a +∞单调递增，()1,a 单调递减，()f x 在x a =处，有极小值，()f x 在1x =处，有极大值，则当()10f <，或()0f a >时函数有一个零点，有11a <<或a e >.综上：01a <<+或a e >.6．（2021ꞏ河北高三其他模拟）已知函数2ln 1()(ln )()2k x f x x k x+=+∈R . （1）当0k =时，求证：()1f x ≤； （2）当0k ≠时，讨论()f x 零点的个数.【答案】（1）证明过程见解答；（2）当0k <时，()f x 有两个零点，当0k >时，()f x 有一个零点． 【答案解析】（1）将0k =代入，对()f x 求导，得到其单调性，判断其最值，即可得证；（2）令t lnx =，则()0f x =即为2102t k t t e ++=，显然0t ≠，进一步转化为212t k t t e +-=，令21()(0)t t h t t t e+=≠，利用导数作出()h t 的大致图象，进而图象判断方程解的情况，进而得到函数()f x 零点情况． 【答案详解】（1）证明：当0k =时，1()(0)lnx f x x x +=>，则2()lnxf x x'=-， ∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单减，()f x f ∴…（1）1=，即得证；（2）令t lnx =，则()0f x =即为2102t k t t e++=，当0t =，即1x =时，该方程不成立，故1x =不是()f x 的零点； 接下来讨论0t ≠时的情况，当0t ≠时，方程可化为212tk t t e +-=， 令21()(0)t t h t t t e +=≠，则222()tt th t t e++'=-，当0t <时，22220t t ++-=-<…，当且仅当t =当0t >时，22220t t +++=+>…，当且仅当t =时取等号，∴当0t <时，()0h t '>，()h t 单增，当0t >时，()0h t '<，()h t 单减，且当0t →时，()h t →+∞，(1)0h -=，当1t <-时，()0h t <，当0t >时，()0h t >， 函数()h t 的大致图象如下：由图象可知，当02k -<，即0k >时，212t k t t e +-=只有一个解，则()f x 有一个零点，当02k ->，即0k <时，212tk t t e +-=有两个解，则()f x 有两个零点． 综上，当0k <时，()f x 有两个零点，当0k >时，()f x 有一个零点． 7．（2021ꞏ重庆市育才中学高三二模）已知函数()x f x e =，()1g x ax =+. （1）已知()()f x g x ≥恒成立，求a 的值；（2）若(0,1)x ∈，求证：21ln 11()x x f x x-+-<. 【答案】（1）1a =；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）作差，设()()()1x h x f x g x e ax =-=--，利用导数求出()h x 的最小值为(ln )ln 10h a a a a =--≥，只需1ln 10a a +-≤；设1()ln 1a a aϕ=+-，利用导数求出min ()(1)0a ϕϕ==，解出1a =； （2）利用1x e x >+把原不等式转化为证明1ln 111x x x x -+-<+，即证：21ln 10x x x-++>， 设21()ln 1F x x x x=-++，利用导数求出最小值，即可证明.【答案详解】（1）设()()()1x h x f x g x e ax =-=--，()x h x e a '=-，当0a ≤时，()0x h x e a '=->，()h x 单增，当,()x h x →-∞→-∞，不满足恒成立 当0a >，()h x 在(,ln )x a ∈-∞单减，()h x 在(ln ,)x a ∈+∞单增， 所以()h x 的最小值为(ln )ln 10h a a a a =--≥，即11ln 0a a --≥，即1ln 10a a+-≤ 设1()ln 1a a a ϕ=+-，21()a a aϕ-'=，所以()ϕx 在(0,1)x ∈单减，()ϕx 在(1,)+∞单增， 即min()(1)0a ϕϕ==，故1ln 10a a+-≤的解只有1a =，综上1a =（2）先证当(0,1)x ∈时，1x e x >+恒成立.令()1x h x e x =--，求导()10x h x e '=->，所以()h x 在(0,1)x ∈上单调递增，()(0)0h x h >=，所以1x e x >+所以要证1ln 11x x x e x -+-<，即证1ln 111x x x x-+-<+， 即证211ln 1x x x x x x +-++-<+，即证：21ln 10x x x -++>， 设21()ln 1F x x x x=-++，求导22111()2(1)20F x x x x x x x '=--=--<，所以()F x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)10F x F >=>，即原不等式成立.所以当(0,1)x ∈时，如1ln 11()x x f x x-+-<成立. 8.（2021ꞏ全国高三其他模拟）已知函数()()ln x a f x a x+=+，()0,x ∈+∞.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 存在极大值M ，证明：12M e≤<. 【答案】（1）当()0,x e ∈时，()f x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()f x 单调递减；（2）证明见答案解析． 【答案解析】（1）将0a =代入函数，并求导即可分析单调性；（2）求导函数，讨论当0a =，01a <<与1a ≥时分析单调性，并判断是否有极大值，再求解极大值，即可证明．【答案详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+ 当0a =时，()ln x f x x =，()21ln xf x x -'=， 令()0f x '=，得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；（2）()()()()()22ln ln xx a x x a x ax a f x x x x a -+-+++'==+， 令()()()()ln ,0,g x x x a x a x =-++∈+∞， 则()()ln g x x a '=-+，由()f x 的定义域是()0,∞+，易得0a ≥，当0a =时，由（1）知，()f x 在x e =处取得极大值，所以()1==M f e e. 当1a ≥时，()0g x '<在()0,x ∈+∞上恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()ln 0g x a a <-<，所以()0f x '<，故()f x 没有极值. 当01a <<时，令()0g x '=，得1x a =-，所以当()0,1x a ∈-时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1,x a ∈-+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减. 所以当()0,1x a ∈-时，()ln 0g x a a >->，又()110g a a -=->，()0-=-<g e a a ，且1-<-e a a ，所以存在唯一()01,∈--x a e a ，使得()()()0000ln g x x x a x a =-+⋅+，当()00,x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调递减.所以当0x x =时，()f x 取得极大值，所以()()000ln x a M f x a x +==+，所以()()()()000000011ln M x a x x a x a x a x a x a=++-=++-+⋅+++. 令0x a t +=，则()1,t e ∈，设()1ln h t t t t t=+-，()1,t e ∈， 则()21ln 0h t t t'=--<， 所以()h t 在()1,e 上单调递减， 所以()12<<h t e ，所以12<<M e. 综上，若函数()f x 存在极大值M ，则12M e≤<． 9．（2021ꞏ重庆高三二模）已知函数()ln ()f x ax x a R =+∈在1x =处取得极值． （1）若对(0,),()1x f x bx ∀∈+∞≤-恒成立，求实数b 的取值范围；（2）设()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为m ，证明：(4)(3)0m m ++<． 【答案】（1）211b e -≤；（2）证明见答案解析． 【答案解析】（1）由条件求出a ，然后由()1f x bx ≤-可得1ln 1+x b x x≤-，然后用导数求出右边对应函数的最小值即可；（2）11()(1)e 1(1)(xx g x x x e x x'=--+=--，令()1e x h x x =-，然后可得存在01(,1)2x ∈使得()00h x =，即01ex x =，即00ln x x =-，然后可得0max 000000000012()()(2)ln (2)12x m g x g x x e x x x x x x x x ===--+=---=--，然后判断出函数2()12G x x x=--的单调性即可. 【答案详解】 （1）∵1()f x a x'=+，(1)10f a '=+=，∴1a =-，由已知()1f x bx ≤-，即ln 1x x bx -≤-，即1ln 1+x b x x≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令1ln ()1x t x x x =+-，则22211ln ln 2()x x t x x x x --'=--=，易得()t x 在2(0,)e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增， ∴2min 21()()1t x t e e==-，即211b e -≤． （2）()()(2)e (2)e ln x x g x f x x x x x =+-=--+，则11()(1)e 1(1)(xx g x x x e x x'=--+=--． 当114x <<时，10x -<，令()1e xh x x=-， 则21()e 0xh x x'=+>，所以()h x 在1[,1]4上单调递增．∵121(()e 202h h x ==-<，(1)10h e =->，∴存在01(,1)2x ∈使得()00h x =，即01ex x =，即00ln x x =-． ∴当01(,)4x x ∈时，()0h x <，此时()0g x '>； 当0(,1)x x ∈时，()0h x >，此时()0g x '<； 即()g x 在01(,)4x 上单调递增，在0(),1x 上单调递减，则0max 000000000012()()(2)ln (2)12xm g x g x x e x x x x x x x x ===--+=---=--． 令2()12G x x x =--，1(,1)2x ∈，则22222(1)()20x G x x x '-=-=>，∴()G x 在1(,1)2x ∈上单调递增，则1()(42G x G >=-，()(1)3G x G <=-， ∴43m -<<-．∴()()430m m ++<．10．（2021ꞏ江苏南通市ꞏ高三一模）已知函数()()21ln 22f x ax ax x =+-，0a >. （1）求函数()f x 的增区间；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，且12x x <，求证：122x x +>.【答案】（1）答案见答案解析；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）求函数的导数，分类讨论，解不等式即可求解；（2）根据极值点可转化为1x ，2x 是方程2210-+=ax x 的两个不相等的正实数根，可得12x >且1x ≠，要证122x x +>，只要证212x x >-，利用构造函数的单调性证明即可. 【答案详解】（1）由题意得()21212ax ax x f x x x-+=+='-(0x >). 令()0f x '>，则2210ax x -+>.①当()2240a ∆=--≤，即1a ≥时，2210ax x -+>在()0,∞+上恒成立，即()f x 的增区间为()0,∞+；②当()2240a ∆=-->，即01a <<时，10x a -<<或1x a+>，即()f x 的增区间为10,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭.综上，当1a ≥时，()f x 的增区间为()0,∞+；当01a <<时，()f x 的增区间为10,a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）因为()221x x ax xf -+'=(0x >)，()f x 有两个极值点1x ，2x ， 所以1x ，2x 是方程2210-+=ax x 的两个不相等的正实数根，可求出 从而()2240a ∆=-->，0a >，解得01a <<. 由2210-+=ax x 得221x a x -=. 因为01a <<，所以12x >且1x ≠.令()221x g x x -=，12x >且1x ≠，则()()321x g x x-'=，所以当112x <<时，()0g x '>，从而()g x 单调递增；当1x >时，()0g x '<，从而()g x 单调递减， 于是1222122121x x a x x --==(12112x x <<<). 要证122x x +>，只要证212x x >-，只要证明()()212g x g x <-. 因为()()12g x g x =，所以只要证()()112g x g x <-. 令()()()()()1111122112212122x x F x g x g x x x ---=--=-- 则()()()()1113311212212x x F x xx --⎡⎤-⎣⎦'=+-()()()11331121212x x x x --=+- ()()1331111212x x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()()()22211111331141222x x x x x x x ⎡⎤--+-+⎣⎦=-.因为1112x <<， 所以()10F x '>，即()1F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()110F x F <=，即()()112g x g x <-， 所以212x x >-，即122x x +>.1．（2021ꞏ全国高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图像与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >. 练真题（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【答案详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>， 当10x a <<时，()0f x '<；当1x a>时，()0f x '>； 所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点， 所以()y f x =的图象在x 轴的上方， 由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭， 故33ln 0a +>即1a e>. 2.（2021ꞏ全国高考真题（理））设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．【答案】1；证明见答案详解 【答案解析】（1）由题意求出'y ，由极值点处导数为0即可求解出参数a ； （2）由（1）得()()ln 1()ln 1x x g x x x +-=-，1x <且0x ≠，分类讨论()0,1x ∈和(),0x ∈-∞，可等价转化为要证()1g x <，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-在()0,1x ∈和(),0x ∈-∞上恒成立，结合导数和换元法即可求解（1）由()()()n 1'l a f x a x f x x ⇒==--，()()'ln xy a x x ay xf x ⇒=-=+-， 又0x =是函数()y xf x =的极值点，所以()'0ln 0y a ==，解得1a =； （2）由（1）得()()ln 1f x x =-，()()ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x +-+==-，1x <且0x ≠，当 ()0,1x ∈时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x >-< ， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；同理，当(),0x ∈-∞时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x <-> ， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；令()()()1ln 1h x x x x =+--，再令1t x =-，则()()0,11,t ∈+∞ ，1x t =-， 令()1ln g t t t t =-+，()'1ln 1ln g t t t =-++=，当()0,1t ∈时，()'0g x <，()g x 单减，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=； 当()1,t ∈+∞时，()'0g x >，()g x 单增，假设()1g 能取到，则()10g =，故()()10g t g >=； 综上所述，()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-在()(),00,1x ∈-∞ 恒成立3．（2021ꞏ全国高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见答案解析. 【答案解析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间； （2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可。

1导数大题专题训练一、 导数恒成立（存在）问题类型一 分离参数1.已知函数()ln (0)f x x x x =>.(分离参数,恒成立2问)(1) 求()f x 的单调区间和极值.(2) 若对任意23(0,),()2x mx x f x -+-∈+∞≥恒成立，求实数m 的最大值.2.已知函数ln()(),().xxf x ax e a Rg xx=-∈=（分离参数，存在2问）（1）求函数()f x的单调区间.（2）o (0,),()()xx f x g x e∃∈+∞≤-使不等式成立，恒成立，求实数a的取值范围.233. 已知函数()ln f x x =（1）求函数()(1)g x f x x =+-的最大值.（2）若对任意0x >时，不等式2()1f x ax x ≤≤+恒成立，求实数a 的取值范围.4. 已知函数2()ln +(0)f x x x a ax=+≠ （1）当1()a f x =时，求的极值.（2）若对任意1()2,x e e f x x -∈<+（,）,时求实数a 的取值范围.4类型二 最值定位法解双参不等式恒成立问题1.设函数()2cos ,()ln (0)k f x x x g x x k x =--=-->（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意11[0,]2x ∈，总存在21[,1]2x ∈，使得12()()f x g x ≤，求实数k 的取值范围.52. 已知函数1()ln ,()(0)2a f x x mx g x x a x =-=->（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若21221,,[2,2]2m x x e e=∀∈，都有12()()g x f x ≥成立，求实数a 的取值范围.63. 已知函数32333(),()(1)31,.x+12x f x g x x a x ax a -==-++--其中为常数 （1）当=1a 时，求曲线()y g x =在0x =处的切线方程；（2）若0a <，对与任意1[1,2]x ∈，总存在2[12]x ∈，，使得12()=()f x g x ，求实数a 的取值范围.7类型三 做差法构造函数（讨论参数成立时的范围）1. 已知函数22()ln f x a x x ax =-+（1）当1a =-时，求()f x 的极值;（2）若()0+f x <∞在（0，）上恒成立，求实数a 的取值范围.82. 已知函数21()1,(),.2x f x x a e g x x ax a =+-=+（）其中为常数 （1）当2a =时，求函数()f x 在点(0)f （0，）处的切线方程; （2）若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.93. 函数2()2ln ,().f x x ax x a R =-+∈（1）若曲线()y f x =在点(1)f （1，）处的切线与直线210x y -+=垂直，求a 的值;（2）若不等式22ln 3x x x ax ≥-+-在区间0]e （，上恒成立，求实数a 的取值范围.10 二．导数与函数零点问题类型一、讨论函数零点的个数1. 已知函数()cos .x f x e x =-（1）求函数()f x 的图象(0)f （0，）在点处的切线方程;（2）求证：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点.11 2. 已知函数()cos 2x f x e x x =--（1）求函数()f x 的图象(0)f （0，）在点处的切线方程;（2）求()f x 在(,)2π-+∞上的零点个数.123. 已知函数()cos 1f x ax x =-在[0,]6π31π- （1）求a 的值;（2）求证：()f x 在(0)2π，上有且仅有2个零点.13类型二、由函数的零点个数确定参数取值范围4. 已知函数2()+ln 1()f x ax x a R =+∈（1）若函数()f x 在(1)+∞，上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间1(,)e e 上有且只有两个零点，求实数a 的取值范围.145. 已知函数()(2)x f x e a x =-+（1）若1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.6. 已知函数2=-+-∈f x a x x a x a R()ln(21)()f x的单调区间；（1）若1a=时，讨论()f x的极值；（2）求函数()f x有两个不同的零点，求a的取值范围. （3）若函数()1516三、导数与不等式证明类型一 构造函数证明不等式（()()()h x f x g x =-）1. 已知函数()2ln 1f x x x =+（1）求()f x 的最小值；（2）证明：21()2ln f x x x x x ≤-++.172. 已知函数21()ln ()2f x x a x a R =-∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1,(1,),a x =∈+∞证明：32()3f x x <3. 已知函数()=x-的图象在点（0,1）处的切线斜率为1-.f x e axf x的极值；（1）求a的值及()（2）证明：2当时，.0x><x x e1819类型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较（隔离分析最值法）4. 已知函数()ln ,().x x f x x x x g x e=+= （1）若不等式2()()f x g x ax ≤对[1,+x ∈∞）恒成立，求a 的最小值；（2）证明：()+1().f x x g x ->5. 已知函数2()lnf x ex x x=-.求证：当1 0()xx f x xee ><+时，20216. 已知函数()ln ()f x e x ax a R =-∈（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a e =时，证明：()20.x xf x e ex -+≤22类型三 适当放缩证明不等式（1,ln 1x e x x x ≥+≤-）1. 已知函数2()ln(1),.1f x a x a x =-+-其中为实数 （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当2x >时，()(1)2.x f x e a x a <+--232. 已知函数()ln 1f x ax x =--（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的最小值.（2）求证：ln 10xe x x x ++-≥.24四．极值点偏移类型一 利用1212,x x x x +问题转化，构造函数1. 已知函数21()ln 2f x x x a x =-+（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12ln 23()()24f x f x +>--25类型二 比值换元1. 已知函数()=()x x f x x R e∈，如果12x x ≠且12()=()f x f x ，证明：122x x +>262. 设函数()=(),x x x f x g x ae x a e=-，其中的实数.， （1）求()f x 的单调区间；（2）若()g x 有两个零点1212,x x x （<x ），证明：1201x x << .273. 已知函数2()22ln ,f x ax x x a R =-∈（1）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围.（2）若函数()f x 有两个不同的极值点12,x x ，证明：122ln ln 1x x +>-.284. 已知函数()ln (,)mx n f x x m n R x-=-∈ （1）求函数()f x 在(1)f （1，）处的切线与直线0x y -=平行，求实数m 的值;（2）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,x x x （0<<x ），证明：122x x +>.29类型三 对称构造()()(2)F x f x f a x =--1.已知函数()=()x x f x x R e∈，如果12x x ≠且12()=()f x f x ，证明：122x x +>五．隐零点问题30。

导数专题复习一、求下列函数的导数1．（08浙江）()()f x x x a =-2．（07天津）2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． 3．（08陕西）21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ） 4．（06山东） ()(1)ln(1)f x ax a x =-++，其中1a ≥- 5．（08安徽）1()(01)ln f x x x x x=>≠且6．（09全国）()()21f x x aIn x =++ 7．（07海南）2()ln(23)f x x x =++． 8．（07海南理） 2()ln()f x x a x =++ ．*9．（09辽宁）f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a > 10．（07四川） 已知函数()()22ln 0f x x a xx x=++>，11．（08山东）1()1ln(1),(1)ng x x x x =-----其中n ∈N*,a 为常数. 12．（09陕西）1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > 13．08辽宁设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++． 14．（11全国）h (x )＝2ln x ＋k －1x 2－1x (x >0)，15．（07安徽）a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.16．（05全国）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，17.（11北京）kx e k x x f 2)()(-=18．（08重庆）2333()()422x g x x x e -=+- ,19．（09重庆）2()(0)xe g x k x k =>+20．（06全国）()11axx f x e x-+=- 21.（13年一模）2()=(1)x a f x x ，2()()e xf x x ax a -=++，2()xax x a f x e++=，()ln 1a f x x x =+-，x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=，1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R二、导数的几何意义1．（2010全国卷2文数）（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- 2．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是【 A 】.A ．B ．C ．D ．3．如图，已知函数()y f x =的图象，画出()f x '的图象 ~ab ab axyy y ）b4．如图，已知函数()y f x '=的图象，画出()y f x =的图象5．（2010辽宁文数）（12）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ6．（11山东理科）函数2sin 2xy x =-的图象大致是|A ．B ．C ．D ．7.(2011石景山一模文8)．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图象如图所示，若两个正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是（ ）A ．)31,51(B ．1(,)(5,)3-∞+∞ C ．)5,31(D ．)3,(-∞8. （2013届北京丰台区一模理科）已知函数1()f x x a=+，2()3g x x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值；；9. （2013届房山区一模理科数学）已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =-++ ,.（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；10. （2013届门头沟区一模理科）已知函数2()xax x af x e ++=．（Ⅰ）函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线210x y +-=平行，求a 的值； 11. （北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数x a ax x x f ln )1(21)(2-+-=xyOO yx(Ⅰ)若2=a ，求函数)(x f 在（1，)1(f ）处的切线方程；12. （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设函数()()()12,03123-+=>-=b bx x g a ax x x f . (I)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,求b a ,的值; 13. （【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程；}三、利用导数研究函数的性质（一）单调性与导数的符号1．已知函数2()2ln 1f x x a x =--(0)a ≠，求函数()f x 的单调区间 2.求函数()ln f x a x x =+的单调区间3.求函数2()ln f x a x x =+，a ∈R ，的单调区间 4.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >，讨论函数()f x 的单调性。

高三数学知识点归纳导数篇总结导数作为高中数学中的重要内容之一，是微积分的基础知识之一。

在高三数学学习中，导数的概念、性质和应用是不可或缺的部分。

本文将从导数的概念、导数的计算方法、导数的性质以及导数的应用等几个方面对高三数学的导数知识点进行归纳和总结。

1. 导数的概念导数是函数微分学中的一个重要概念，表示函数在某一点处的变化率。

对于函数y=f(x)，导数可以表示为f'(x)，也可以表示为dy/dx或y'，它表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。

导数的概念让我们能够研究函数的变化趋势和性质。

2. 导数的计算方法计算导数的方法主要包括几何法和代数法。

几何法是通过直观的思维和图形来计算导数，比如切线法、割线法等。

代数法主要包括利用导数的定义、基本导数公式和导数的运算法则等。

导数的定义：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡(f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中lim表示极限。

基本导数公式：(1) 常数导数：(c)' = 0，其中c为常数；(2) 幂函数导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为正整数；(3) 指数函数导数：(a^x)' = a^xlna，其中a为正实数且a≠1；(4) 对数函数导数：(logₐx)' = 1/(xlna)，其中a为正实数且a≠1。

导数的运算法则：(1)和差法则：(u±v)' = u'±v'；(2)常数倍法则：(cu)' = cu'，其中c为常数；(3)乘积法则：(uv)' = u'v+uv'；(4)商法则：(u/v)' = (u'v-uv')/v²，其中v≠0。

3. 导数的性质导数具有一些重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和运用导数。

(1) 可导性定理：如果函数在某一点处可导，那么它在该点处也是连续的；(2) 导数存在定理：如果函数在某一点处连续且可导，那么它在该点处的左导数和右导数存在且相等；(3) 导函数和原函数的关系：如果函数f(x)在区间I上可导，那么它在该区间上的任意一点x处的导数等于f'(x)，即导函数和原函数互为倒数。

题型一 导数的概念1、已知函数f (x )＝2ln 3x ＋8x ，求0Δlim →x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值.题型二 求导函数2、（1）y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (2)y ＝(x 2－2x ＋3)e 2x；(3)y ＝3x1－x.变式训练2： 如下图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝ ；0Δlim→x f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝题型三 利用导数求切线的斜率3、已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ， 直线l ：y ＝kx ，且l 与C 切于点P (x 0，y 0) (x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标.4、若函数y ＝x 3－3x ＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程. 题型四 求函数f (x )的单调区间5、已知函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )，求函数f (x )的单调区间.变式训练5：已知函数f (x )＝x 2＋ln x －ax 在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围.题型五 求函数的极值6、已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.题型六 求函数的最值7、求函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2在区间[0,2]上的最大值和最小值.变式训练7：f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝ .题型七 利用导数证明不等式 8、已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的值域；(2)求证：x ＞1时，f (x )＜23x 3.题型八 导数与函数零点问题9、 设函数f (x )＝13x 3－mx 2＋(m 2－4)x ，x ∈R .(1)当m ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)已知函数f (x )有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β.若对任意的x ∈[α，β]，都有f (x )≥f (1)恒成立，求实数m 的取值范围.变式训练9：已知f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x . (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围. 定积分 1、(1)⎰21(x －1)5d x ； (2) ⎰2π0(x ＋sin x )d x .2、求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 所围成的平面图形的面积. 巩固训练1． 三次函数f (x )＝mx 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m <0B ．m <1C ．m ≤0D ．m ≤12． 由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A.329B ．2－ln3C ．4＋ln3D ．4－ln33． 定义方程'()()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数3()1g x x =-()2h x x =，()ln(1)x x ϕ=+的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为【 】 A ．αβγ>> B ．βαγ>> C ．γαβ>> D ．βγα>> 4． 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎰(x 2－x )d x B ．S ＝⎰(x －x 2)d x C ．S ＝⎰(y 2－y )d yD ．S ＝⎰(y －y )d y5． 已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且函数y ＝ln(x ＋2)－x 当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于( )A ．－1 B ．0 C ．1 D ．26． 设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．－ln22 B ．－ln2 C ．ln2 D.ln227． 下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导数f ′(x )的图象，则f (－1)的值为( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或538． 设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )9． 若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，32) C ．[1,2)D ．[32，2)10． 已知曲线方程f (x )＝sin 2x ＋2ax (a ∈R )，若对任意实数m ，直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．a ∈R 且a ≠0，a ≠－111． 若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(－∞，－20] C ．(－∞，0] D ．[－12,7]12． 定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋2a ＋2的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，12B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫12，3 D ．(－∞，－3)13．若函数21()ln(2)2f x x b x =++在[1,)+∞上是增函数，则b 的取值范围为【 】A ．(,3]-∞-B ．[3,)-+∞C ．(,3]-∞D ．[3,)+∞ 14. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（）15．曲线y ＝xe x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________． 16．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.17．已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数21,x x 都有1212()()f x f x x x --2>恒成立，则a 的取值范围是18．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数y ＝f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求 (1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为________．(2)若函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g ⎝⎛⎭⎫12011＋g ⎝⎛⎭⎫22011＋g ⎝⎛⎭⎫32011＋g ⎝⎛⎭⎫42011＋…＋g ⎝⎛⎭⎫20102011＝________.19．函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋3bx ＋b ，其图象在x ＝2处的切线方程为3x ＋y －11＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围；20．已知函数f (x )＝x 4－4x 3＋ax 2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减.(1)求a 的值；(2)记g (x )＝bx 2－1，若方程f (x )＝g (x )的解集恰有3个元素，求b 的取值范围.21．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直，(1)求实数a 、b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．22．已知函数()ln ()1a f x x a R x =+∈+ （1）当92a =时如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围 （2）当2a =时，试比较()f x 与1的大小（3）求证*1111ln(1)()35721n n N n +>+++⋅⋅⋅+∈+ 23．已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x 上恒成立.(I)求证：函数),0()()(+∞=在xx f x g 上是增函数； (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时；24. 已知函数x axxx f ln 1)(+-=（其中a 0>，7.2≈e ）. （Ⅰ）若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1=a 时，求函数)(x f 在]2,21[上的最大值和最小值；（Ⅲ）当1=a 时，求证：对于任意大于1的正整数n ，都有nn 13121ln +++> 在区间[m ，n ]上存在零点，求实数a 的取值范围．。

导数单元检测题一、选择题：(每小题5分，共50分)1． 在曲线y=x 2上切线的倾斜角为4π的点为 （ ） A ．（0，0） B ．（2，4） C ．（161,41） D ．（41,21）2．函数f (x)=（x+2a ）(x-a)2的导数为 （ ）A ．2（x 2-a 2）B ．3（x 2+a 2）C ．3（x 2-a 2）D ．2（x 2+a 2）3．（理）函数y=222)1(2+x x 的导数是 （ ） A ．y /=3232)1(8)1(4+-+x x x x B ．y /=3222)1(4)1(4+-+x x x xC ．y /=3232)1(8)1(2+-+x x x xD ．y /=322)1(4)1(4+-+x x x x （文）方程x 3-6x 2+9x-10=0的实根的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．04．点P 在曲线y=x 3-x+2上移动，设点P 处切线的倾斜角为α则α的取值范围是 （ ）A ．[0，2π] B ．[0，2π]∪[43π，π） C ．[43π，π） D ．（2π，43π]5．正方体的棱长l 从4cm 增加到4.01cm 时，它的体积增加了（精确到0.01cm 3） ( )A ． 0.5 0cm 3B ．0.49cm 3C ． 0.48 cm 3D ．0.51 cm 36．函数f (x)=ax 3+x+1有极值的充要条件是 （ ） A ．a ＞0 B ．a ＜0 C ．a ≥0 D ．a ≤07．（理）函数y=x+24x x -最大值为 （ ） A ．2+22 B ．2 C ．2+2 D ．4（文）函数y=x 3-12x+16,x ∈[-2，3]的最大值是 （ ） A ．32 B ．35 C ．40 D ．60 8．（理）若曲线y=x1有一切线与直线2x-y+1=0垂直，则切点是 （ ） A ．（2，22） B ．（-22，-22） C ．（2，-22） D ．（-2，22） （文）曲线y=271032+x 过点P （5，11）的切线方程为 （ ） A ．3x-y-4=0 B ．3x+y-4=0 C ．3x+y+4=0 D ．3x-y+4=09．（理）已知f (3)=2，f /（3）= -2，则3)(32lim3--→x x f x x 的值是 （ ）A ．-4B ．0C ．8D ．10（文）由线y=x 2在P 处的切线的斜率为3，则P 点的坐标为 （ ） A ．（-23，49） B ．（23，-49） C ．（23，49） D ．（-23，-49） 10．设函数f (x)=ax 3+bx 2+cx+d 在x=0处有极大值1，在x=2处有极小值0，则常数a ，b ，c ，d 分别为 （ ） A ．-41，-43，0，1 B ．-41，-43，0，-1 C ．41，-43，0，-1 D ．41，-43，0，1 二、填空题：(每小题5分，共25分)11．若直线y=kx 与直线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= ． 12．设f (x)=x 2(2-x),则f (x)的单调递增区间是 ．13．如果函数f (x)=ax 3-x 2+x-5在（-∞，+∞）上递增，则a 的取值范围是 ． 14．水以20m 3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30m ，上底直径12，当水深10m 时，水面上升的速度为 ． 15．已知f (x)=x 3-21x 2-2x+5,求函数f (x)的递增区间 ．三、 解答题： 16．（12分）已知f (x)的导数f /（x ）=3x 2-2(a+1)x+a-2，且f (0)=2a ，当a ＞2时，求不等式f (x)＜0的解集．17．（12分）(理)当x ＞0时，证明不等式：xx1＜ln(1+x)＜x ． （文）函数f (x)= x 3-ax 2+1,是否存在实数a,使f (x)在区间[0，33]上为减函数，且在区间 （33，1]上是增函数？并说明理由． 18．（12分）已知a 为实数，f (x)=(x 2－4)(x －a). ⑴求导数f /（x ）;⑵若f /（-1）=0，求f (x)在[-2，2]上的最值；⑶若f (x)在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围． 19．（12分）用总长14.8m 的一钢条做成一个长方体容器的框架。