含参数对数函数问题的求解策略

例谈对数函数中参数问题的求解策略如何求对数函数中参数的值或取值范围，是高考的热点问题，更是同学们学习过程中的难点．本文略举数例谈谈该类问题的求解方法，希望对大家的学习有所帮助．一．求参数的值例1．设a＞1，=在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＿．解：由a＞1，则=在区间[a，2a]上单调递增，所以函数的最大值为，最小值为= 1，因此有－1=，解得a = 4．评析：本题主要考查对数函数的单调性和简单的对数方程的解法，在解题时，一定要注意不同的底，对数函数有不同的单调性．函数最值是函数的主要内容，它在数学各个分支及实际问题中有着广泛的应用，特别是基本初等函数(二次函数、指数函数、对数函数)的最值问题，多年来一直是常考不衰的热点内容之一．例2．已知函数的定义域为，是否存在实数使得恰在上取正值，且？若存在，试求出的值，若不存在，说明理由．解：有条件入手，其定义域，∴的定义域为，∴，∴．得，假设存在满足条件的，则∴，∵，∴增函数，为减函数，∴为增函数．∴对恰在上取正值，可得，∴．解得：．点评：本题从函数的单调性入手，结合函数的定义域和值域，全面地考查了函数的性质，难点是对“恰好上取正值”的理解．二．求参数的范围例3．若在上是减函数，则的取值范围是＿＿＿＿．解：因为由对数函数，得底数且又∵在上是减函数，∴，即，∴或解得．点评：由常规的具体函数判断单调性或求已知函数的单调区间，变换为由函数的单调性反过来确定函数中的底数的范围，同时要求对对数函数的概念和性质有深刻的理解．例4．若函数定义域为，求的取值范围．解：若定义域为，则（Ⅰ）当时，（ⅰ）当时，，显然定义域为．（ⅱ）当时，，此时定义域不为．（Ⅱ）当时，则易知由（Ⅰ）（Ⅱ）可知当定义域为时，点评：本题主要考查了对数函数的定义域的概念，利用对数函数的定义域，确定参数的取值范围．但在求解过程中不可忽视的情形，要培养思维的严密性．。

对数函数教学方法对数函数作为高中数学中的重要概念，其教学方法的选择和设计对学生的学习效果和兴趣产生着重要的影响。

本文将探讨对数函数教学的方法和策略，旨在帮助教师更好地教授对数函数，并激发学生的学习兴趣和能动性。

一、引入对数函数对数函数引入的第一步是建立对数的概念和性质。

教师可以通过生活中的实际例子，如震级的计算、音量的度量等，引导学生体会对数的实用性和必要性。

在引入之前，可以通过提问或问题导入的方式，激发学生的思考和猜想，培养他们的问题意识。

二、对数函数的定义和性质在引入了对数的概念后，教师需要清晰地介绍对数函数的定义和性质。

可以使用数学符号和公式来准确地描述对数函数的性质，并进行简单的推导和证明。

在教学过程中，可以提供一些实例来演示对数函数的特点和变化规律。

通过绘制对数函数的图像、比较对数函数和指数函数的差异等方式，帮助学生更好地理解对数函数的性质和变化趋势。

三、对数函数的应用对数函数的应用是学生进一步学习和探索的重点。

教师可以引导学生将对数函数应用于实际问题的解决中，如通过对数函数计算 pH 值、解决相关性分析等。

通过实际问题的应用，可以激发学生的学习兴趣和动力，同时将所学的知识与实际生活紧密联系起来。

在应用环节中，可以借助信息技术工具来辅助教学。

比如利用计算机软件绘制对数函数的图像，使用数据分析软件进行相关性分析等，增强学生的实践操作能力和数学建模能力。

四、对数函数的解题方法对数函数的解题方法是对学生运用所学知识进行实际操作和应用的关键环节。

教师需要引导学生掌握对数函数的基本解题方法，包括对数方程的求解、指数方程和对数方程的转化等。

在解题方法教学中，可以提供一些例题，并结合解题思路和步骤进行讲解。

并鼓励学生通过自主学习和合作学习的方式，参与到解题过程中，提高学生的问题分析和解决能力。

五、巩固和拓展巩固和拓展环节是对学生所学知识的总结和深化，促进学生对数函数的扩展应用和拓宽视野。

教师可以通过讲解一些经典的数学问题和定理，如无理方程的求解、指数对数方程的应用等，引导学生进一步学习和探索。

ʏ陈 敏1张启兆2含指数㊁对数的大小比较问题是高考的热点㊂下面对含指数㊁对数的大小比较问题进行梳理,并总结几种常见的解题策略㊂一㊁中间值法例1 设a =340.5,b =430.5,c =l o g 34l o g 34 ,则( )㊂A .c <b <a B .a <b <c C .c <a <bD .a <c <b解:因为a =340.5,b =430.5,c =l o g 34l o g 34 ,所以0<34 0.5<34 0=1,即0<a <1,43 0.5>43 0=1,即b >1,c =l o g 34(l o g 34)<l o g 34(l o g 33)=l o g 341=0,即c <0㊂故c <a <b ㊂应选C ㊂评注:中间值法是比较大小的常用方法,本题也可用作商法㊂二㊁巧用基本不等式例2 已知9m=10,a =10m-11,b =8m-9,则( )㊂A .a >0>b B .a >b >0C .b >a >0D .b >0>a解:由9m=10,可得m =l o g 910=l g 10l g9>1㊂而l g 9㊃l g11<l g 9+l g 1122=l g9922<1=l g10 2,所以l g 10l g 9>l g 11l g10,即m >l g11,所以a =10m-11>10l g 11-11=0㊂又l g 8㊃l g 10<l g 8+l g1022=l g8022<l g9 2,所以l g 9l g 8>l g 10l g 9,即l g 9l g8=l o g 89>m ,所以b =8m-9<8l o g 89-9=0㊂故a >0>b ㊂应选A ㊂评注:本题根据指数与对数互化得到m =l o g 910>1,再利用基本不等式,换底公式得到m >l g 11,l o g 89>m ,最后由指数函数的单调性求解㊂三㊁构造函数法例3 已知a +2a =2,b +3b=2,比较b l g a 与a l gb 的大小关系㊂解:欲比较b l g a 与a l gb 的大小,只需比较a b 与b a的大小即可㊂令f (x )=x +2x ,g (x )=x +3x ,当x >0时,g (x )>f (x ),当x <0时,g (x )<f (x )㊂由a +2a =2,b +3b =2,可得f (a )=2,g (b )=2㊂考虑到f (a )=g (b )=2得0<b <a <1,所以a b >b b >b a ㊂因为a b >b a,所以l g (a b )>l g (b a ),即b l g a >a l gb ㊂评注:构造函数法主要是通过对原式进行等价转化,构造合适的函数,利用函数的单调性来解决㊂四㊁放缩法例4 若2a +l o g 2a =4b +2l o g 4b ,则( )㊂A .a >2b B .a <2b C .a >b 2D .a <b2解:(方法1)原式可化为2a+l o g 2a =4b +2l o g 4b =22b +l o g 2b <22b+l o g 22b ㊂构造函数f (x )=2x+l o g 2x ,则f (a )<f (2b )㊂因为函数f (x )在0,+ɕ 上是增函数,所以a <2b ㊂应选B ㊂(方法2)已知条件可化为4a2+l o g 4a 2=4b+l o g 4b 2,则4b+l o g 4b 2>4a2+l o g 4a22㊂因为函数y =4x +l o g 4x 2在0,+ɕ 上是增函数,所以b >a2,即a <2b ㊂应选B ㊂评注:本题是利用放缩法与构造函数法相结合求解的㊂解题时,利用等式两边形式上比较接近的特点,将其适当放缩,使其在形式上完全一致,进而构造相关函数,然后利用函数的单调性,由函数值的大小关系反推出自变量的大小关系㊂作者单位:1.江苏省无锡市第六高级中学2.江苏省无锡市青山高级中学(责任编辑 郭正华)12知识结构与拓展高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

(完整版)对数函数的线段最小值问题对数函数的线段最小值问题问题描述对数函数在数学领域中起着重要的作用。

而对于对数函数的线段最小值问题，我们希望找出对数函数在给定区间上的最小值所对应的$x$值。

本文将探讨如何解决这个问题。

解决方法要解决对数函数的线段最小值问题，我们可以采用以下简单的策略：1. 确定区间：首先确定对数函数的定义域和所需求解的区间。

这将帮助我们限定问题的范围。

确定区间：首先确定对数函数的定义域和所需求解的区间。

这将帮助我们限定问题的范围。

2. 求导：对对数函数求导可以帮助我们找到函数的最小值。

对数函数的导数可以使用链式法则和对数函数的性质来计算。

求导：对对数函数求导可以帮助我们找到函数的最小值。

对数函数的导数可以使用链式法则和对数函数的性质来计算。

3. 解方程：通过将对数函数的导数等于零的方程求解，我们可以找到函数的极值点。

进一步，我们可以判断这些极值点是否落在给定区间内。

解方程：通过将对数函数的导数等于零的方程求解，我们可以找到函数的极值点。

进一步，我们可以判断这些极值点是否落在给定区间内。

4. 判断最小值：将区间的两个端点和极值点代入对数函数，并比较它们的函数值，从而确定在给定区间上的最小值所对应的$x$值。

判断最小值：将区间的两个端点和极值点代入对数函数，并比较它们的函数值，从而确定在给定区间上的最小值所对应的$x$值。

示例我们通过一个具体的示例来说明解决对数函数的线段最小值问题的步骤。

假设我们要求解对数函数 $f(x) = \log(x)$ 在区间 $[1, 5]$ 上的最小值所对应的$x$值。

首先，我们求出对数函数的导数：$$f'(x) = \frac{1}{x}$$然后，我们解方程：$$\frac{1}{x} = 0$$该方程没有实数解，因此对数函数在该区间内没有极值点。

由于对数函数是递增函数，所以对于给定区间 $[1, 5]$ 来说，最小值对应的$x$值就是区间的左端点 $x=1$。

恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。

常见的对数函数解题方法常见的对数函数解题策略一、分类讨论例1若实数满足，求的取值范围。

分析：需对进行分类讨论。

当时，∵，∴，∴；当时，∵，∴，即。

故。

评注：解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答。

理解会用以下几个结论很有必要：①当时，若，则，若，则；②当时，若，则，若，则。

二、数形结合例2若满足，则满足区间（）．（0，1）．（1，2）．（1，3）．（3，4）分析：本题左边是一个对数函数，右边是一个一次函数，可通过作图象求解。

解析：在同一直角坐标系中画出，的图象，如图所示，可观察两图象交点的横坐标满足，答案选。

评注：解决该类问题的关键是正确作出函数，的图象，从而观察交点的横坐标的取值范围。

三、特殊值法例3已知在上为的减函数，则的取值范围为（）．．．．分析：由函数的单调性求底数的取值范围，逆向考查，难度较大，可采用特殊值法进行判断。

解析：取特殊值，，，则有，，与是的减函数矛盾，排除和；取特殊值，，则，所以，排除。

答案选。

评注：本题由常规的具体函数判断其单调性，变换为已知函数的单调性反过来确定函数中底数的范围，提高了思维层次。

四、合理换元例4若，求函数的值域。

分析：通过对函数式进行变形，此题是一个二次函数求值域问题，可换元进行求解。

解析：设，∵，∴，即。

又，∴，∵，∴当时，最小值为4；当或时，值相等且最大，最大为。

故函数的值域为。

评注：换元法是一种常见的数学思想，也是一种常用的解题技巧，希望同学们在今后的学习中合理转化，灵活运用。

第6讲 对数与对数函数 考纲展示 命题探究1 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1)①a log a N ＝N ；②log a a N＝N ；③log b N ＝log a N log ab ；④log am b n＝n m log a b ；⑤log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .(2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log anM ＝1n log a M .3 对数函数的图象及性质a >10<a <1图 象续表a >10<a <1性 质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意点 对数的运算性质及公式成立的条件对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)等错误.1．思维辨析(1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 2y )＝0，则x ＋y ＝5.( ) (2)2log 510＋log 5(3)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝2.( ) (4)当x >1时，log a x >0.( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(6)若log a m <log a n ，则m <n .( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4 的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]答案 C解析 要使函数有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．3．(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝________. (2)已知a 23 ＝49(a >0)，则log 23 a ＝________.答案 (1)1 (2)3解析 (1)∵2a＝5b＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝1.(2)因为a 23 ＝49(a >0)，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49 32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，故log 23 a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.[考法综述] 考查对数运算，换底公式及对数函数的图象和性质，对数函数与幂指数函数相结合．综合考查利用单调性比较大小、解不等式等是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现．典例 (1)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －34＋log 354＋log 345＝________. (3)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[解析] (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278.(3)当log 2a 与log 2(2b )有一个为负数时，log 2a ·log 2(2b )<0显然不是最大值．当log 2a 与log 2(2b )都大于零时，log 2a ·log 2(2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2a ＋log 2(2b )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2(2ab )22＝4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝4，b ＝2时“＝”成立．[答案] (1)B (2)278 (3)4【解题法】 对数运算及对数函数问题解题策略(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f ()ab ＝p ，∴p ＝r <q .故选B.2.函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 答案 D解析 由x 2－4>0得x >2或x <－2，因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，当x ∈(－∞，－2)时，t 随x 的增大而减小，y ＝log 12 t 随t 的增大而减小，所以y ＝log 12 (x 2－4)随x 的增大而增大，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.3．设a ＝log 37，b ＝2，c ，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案 B解析 由3<7<9得log 33<log 37<log 39，∴1<a <2，由2>21＝2得b 0＝1得c <1，因此c <a <b ，故选B.4．已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)D ．(10，＋∞)答案 C解析 当x >0时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，∵关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，∴0<1＋lg a1－lg a <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a<1，1＋lg a1－lg a >0，解得－1<lg a <0，∴a <1.故选C.5．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.6．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案433解析 ∵a ＝log 43＝log 23，∴2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋13＝433.函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是________．[错解][错因分析] 易出现两种错误：一是不考虑定义域，二是应用复合函数的单调性法则时出错．[正解] 由x 2－2x >0，得函数y ＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．令u ＝x 2－2x ，则u 在(－∞，0)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以函数y ＝log 12(x 2－2x )在(－∞，0)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．故函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是(2，＋∞)．故填(2，＋∞)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·衡水中学模拟]已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x － 12等于( )A.13B.36C.33D.24答案 D解析 由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8，所以x － 12 ＝8－ 12 ＝18＝122＝24.故选D.2．[2016·武邑中学仿真]lg 51000－8 23 ＝( ) A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4答案 B解析 lg 51000－8 23 ＝lg 5103－8 23 ＝lg 1035 －(23) 23 ＝35－4＝－175.3．[2016·冀州中学猜题]已知x ＝log 23，y ＝log 4π，z ，则( ) A ．x <y <z B ．z <y <x C ．y <z <x D ．y <x <z答案 A解析 y ＝log 4π＝log 2πlog 24＝log 2π>log 23，即y >x ，z >1，所以x <y <z .故选A.4．[2016·枣强中学期中]已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f (x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f (x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27.5. [2016·衡水二中仿真]已知函数g (x )是偶函数，f (x )＝g (x －2)，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，若1<a <3，则( )A ．f (4a )<f (3)<f (log 3a )B ．f (3)<f (log 3a )<f (4a )C ．f (log 3a )<f (3)<f (4a )D ．f (log 3a )<f (4a )<f (3) 答案 B解析 ∵(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时，f ′(x )>0；x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g (x )是偶函数，∴g (x －2)关于x ＝2对称，即f (x )关于x ＝2对称，∵1<a <3，∴f (3)<f (log 3a )<f (4a )．故选B.6．[2016·枣强中学期末]已知函数f (x )＝|log 12 x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12 x ，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12 m ＝－log 12n .∴mn ＝1.∴0<m <1，n >1.∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.7．[2016·衡水二中模拟]已知函数f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4]答案 D解析 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log t 在定义域上为减函数，要使f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎨⎧－－a 2≤2，g (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，a >－4，即－4<a ≤4，选D. 8．[2016·武邑中学预测]函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )答案 D解析 y ＝lg 1|x |是偶函数，关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，而y ＝lg1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的．故选D.9．[2016·冀州中学仿真]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案 D解析 从对数的底数入手进行讨论，结合各个选项的图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断，D 选项0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1,0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a <12，0<－b 2a <12或－12<－b2a <0，故选D.10. [2016·武邑中学猜题]若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件：①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②M ，N 关于原点对称．则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析 由题意，当x >0时，将f (x )＝log 3x 的图象关于原点对称后可知，g (x )＝－log 3(－x )(x <0)的图象与x ≤0时f (x )＝－x 2－4x 的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的个数为2，故选C.11．[2016·衡水二中期末]已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝alg (x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________． 答案 (2,3)解析 因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2有最小值2，所以lg (x 2－2x ＋3)≥lg 2，所以要使函数f (x )有最大值，则函数f (x )必须单调递减，所以0<a <1.由log a (x 2－5x ＋7)>0得0<x 2－5x ＋7<1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x 2－5x ＋7，x 2－5x ＋7<1，解得2<x <3，即原不等式的解集为(2,3)． 12．[2016·冀州中学预测]已知函数f (x )＝log 12 (x 2－2ax ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意可知，x 2－2ax ＋3＝0的两根为x 1＝1， x 2＝3，∴x 1＋x 2＝2a ，∴a ＝2.(2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1， 所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2， 由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2， 所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，有y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[1,2)．能力组13.[2016·枣强中学模拟]设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－ 12 ，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 答案 C解析 ∵12<log 32＝ln 2ln 3<ln 2，而c ＝5－ 12 ＝15<12，∴c <a <b . 14. [2016·衡水二中期中]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.15．[2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83，若0<a <1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a >0，所以a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，83. 16．[2016·武邑中学月考]已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围． 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图知，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1， 即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a .当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0<a <1时得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．。

指数函数与对数函数综合题的求解策略作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2023年第12期［摘要］指数函数与对数函数互为反函数，在考试命题中常常被命制在同一道题目中，以考查考生的综合应用能力。

文章结合几个典型例题对指数函数与对数函数综合题的求解策略进行分析探讨，以帮助学生突破解题难点，拓宽学生的思维路径，发展学生的核心素养。

［关键词］指数函数；对数函数；综合题［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2023）35-0014-03指数函数与对数函数互为反函数，它们之间有着紧密的联系，在考试命题中常常被命制在同一道题目中，以考查考生的综合应用能力。

面对这类题型，我们该如何破解呢？本文对指数函数与对数函数综合题的求解策略加以探究，以供大家参考。

一、数形结合策略因为指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线[y=x]对称，当其函数与它们的图象相交时，比较有关数或者式子的大小可以一目了然。

采用数形结合思想解答指数函数与对数函数综合题的关键是找到容易作图的函数。

［例1］已知正实数[a]、[b]、[c]满足[a+log2a=b+2b=2c+log2c=4]，则以下结论正确的是（）。

A. [b+log2a>4]B. [a+log2c>4]C. [2b+c>4]D. [2c+log2b>4]分析：由已知条件分析出[a]是函数[y=log2x]与[y=4-x]交点的横坐标，[b]是函数[y=2x]与[y=4-x]的交点的横坐标，[c]是函数[y=log2x]与[y=4-2x]交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出图象，由图象得出[1<b<c<a<4]，再画出[y=x]的图象，分析出[2c>a>c]，利用不等式的性质即可判断出答案。

解：∵[a+log2a=b+2b=2c+log2c=4]，∴[log2a=4-a]，[2b=4-b] ，[log2c=4-2c]，∴[a]是函數[y=log2x]与[y=4-x]的交点的横坐标，[b]是函数[y=2x]与[y=4-x]的交点的横坐标，[c]是函数[y=log2x]与[y=4-2x]的交点的横坐标，如图1所示，则[1<b<c<a<4]，且[2c>a>c]。

【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。

而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。

【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减； 故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0． 则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立； 则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-， 则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。

备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略（1）参变分离 【知识与方法储备】1、参变分离：顾名思义，就是在不等式（方程）中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号（等号）的两侧，即不等号（等号）的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、判断是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式（方程）中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式（方程）中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等；（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题. 4、常见三种具体的参变分离思路：（1）直接法参变分离，其基本步骤：第一步、首先对待含参的不等式（方程）问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式（等式）的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式（等式）；第二步、求出含变量一边的式子的最值；第三步、由此推出参数的取值范围即可得出.简称直接分参求最值（2）分段法参变分离，其基本步骤：第一步、首先对待含参的不等式（方程）问题利用参数的系数正负符号，可以根据不等式（等式）的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的两个不等式（方程）组；第二步、求出含变量一边的式子的最值；第三步、由此推出参数的取值范围即可得出.简称分段分参求交集3.同构法参变分离，其基本步骤：第一步、可以根据不等式（方程）的性质分离表达式，合理变形得到一个两端是同一函数结构的不等式(形如g(m(x))>g(n(x))等）（方程）；第二步、求出第一步构造函数g(x)的单调性，进而构造m(x)与n(x)的不等式（方程）；第三步、把m(x)与n(x ）的不等式（方程）再用参变分离参变分离处理.简称同构函数再分参 5、常见的参变分离不等式关系表：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式） （1）若的值域为①，则只需要()()x f a g ,D x <∈∀，则只需要()21log a x x -<111axx e x-+>-x D ()f x a ()g a ()f x [],m M ()(),x D g a f x ∀∈≤()()min g a f x m ≤=()()ming a f x m <=②，则只需要 ，则只需要 ③，则只需要 ，则只需要 ④，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为① ，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要x/k-+w含参的不等式（方程）求参数范围（或者值），优先考虑参变分离，简化结构，优先思路.【常见题型与解法探究】题型一、参变分离与函数可求最值结合【罗师导航】当参数结构单一，参数的系数因数的符号确定时，直接分离参数，另一侧的函数最值可求.【典例1-1】（不等式）已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，求k 的取值范围．【解析】第一步，参变分离；2ln xk x>在函数定义域内恒成立， 第二步， 设2ln ()x g x x =则442ln (12ln )()0x x x x x g x x e x x '--===∴= ()(),x D g a f x ∀∈≥()()max =g a f x M ≥()(),x D g a f x ∀∈>()()max =g a f x M >()(),x D g a f x ∃∈≤()()max g a f x M ≤=()(),x D g a f x ∃∈<()()max g a f x M <=()(),x D g a f x ∃∈≥()()min g a f x m ≥=()(),x D g a f x ∃∈>()()min g a f x m >=()f x (),m M ()(),x D g a f x ∀∈≤()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈≥()g a M ≥()(),x D g a f x ∀∈>()g a M ≥()(),x D g a f x ∃∈≤()g a M <()(),x D g a f x ∃∈<()g a M <()(),x D g a f x ∃∈≥()g a m >()(),x D g a f x ∃∈>()g a m >所以易得max 1()2g x e=第三步，得出结论：12k e>故选D ． 【典例1-2】（方程）已知函数2()(1)()f x xlnx a x a R =+-∈．若()0f x =在(0,)+∞内有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【解答】()0f x =在(0,)+∞内有两个不相等的实数根，即为1lnxa x-=在0x >有两个不等实根，可令()lnxg x x=，则21()lnx g x x -'=，由x e >可得()0g x '<，()g x 递减；当0x e <<时，()0g x '>，()g x 递增，可得()g x 的最大值为g （e ）1e =，由()g x 的图象可得101a e<-<，即有111a e-<<．【能力达标训练】【1-1】已知函数21()2f x x alnx =-在(0,)+∞无零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,)eB ．[0，)eC ．[0，]eD ．(0，)(e e ⋃，)+∞【分析】函数21()2f x x alnx =-在(0,)+∞无零点，可转化为22x a lnx =无正实数根，研究函数2()2x g x lnx=的值域，a 只要在值域之外取值即可． 【解答】函数21()2f x x alnx =-在(0,)+∞无零点，显然1x =不是函数()f x 的零点．故问题可转化为22x a lnx =无正实数根，令2()2x g x lnx=，(0,1)x x >≠，221()422()4x lnx xlnx x g x ln x ln x --'==，令()0g x '=得x e =(0x ，1)(1⋃e 时，()0g x '<，故()g x 在)e 上递减；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增．又0x →时，()0g x →；1(1)x x →<时，()g x →-∞；1(1)x x →>时，()g x →+∞．()g e e =；x →+∞，()g x →+∞．作出函数()g x 与y a=的图象：可知，当y a =介于x 轴（包括x 轴）与点(,)e e 之间时，原函数在(0,)+∞上无零点． 故0a e <即为所求．故选：B ． 亦可几何分参【1-2】已知函数()(1)x f x e a x =++，若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【解答】()x f x e a '=+．（1）当0a ，()0f x '>，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a <时，令()0f x '=得()x ln a =-，当(x ∈-∞，())ln a -时，()0f x '< 当(()x ln a ∈-，)+∞时，()0f x '>，故()f x 在(-∞，())ln a -上单调递减， 在(()ln a -，)+∞上单调递增，综上，当0a 时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(-∞，())ln a -上单调递减，在(()ln a -，)+∞上单调递增．（2）由（1）可知，当0a 时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，没有两个零点0． 当0a <时，()x ln a =-为()f x 的唯一极小值点，故()()(())(()1)()ln a min f x f ln a e a ln a aln a -=-=+-+=-若函数()f x 有两个零点，则()0min f x <，即()0aln a -<，得1a <-，当1a <-时，()0ln a ->，因为1(1)0f e-=>，(())0f ln a -<，所以()f x 在(-∞，())ln a -有一个零点，当x →+∞，()f x →+∞，故存在0(()x ln a ∈-，)+∞，使0()0f x >， 所以()f x 在(()ln a -，)+∞有一个零点，所以a 的取值范围值是(,1)-∞-． 亦可几何分参 【1-3】已知不等式012ln >+-ax x 对任意[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．方法一：（数形结合法） 012ln ＞+-ax x ⇒ax x 21ln >+,令1ln )(+=x x g ,ax x h 2)(=.)2()2()1()1(h g h g ＞且＞∴,得412ln +＜a 。

求函数值域的九种策略【策略1】观察法【例1】求函数1y =的值域。

【解析】0x ≥，【例2】求函数1y =的值域。

【解析】0x ≠, ∴【例3】已知函数2(1)1y x =--，{}1,0,1,2x ∈-，求函数的值域。

【解析】因为{}1,0,1,2x ∈-，而(1)(3)3f f -==，(0)(2)0f f ==，(1)1f =-,所以{}1,0,3y ∈- ★注意：求函数的值域时，【例4】 求函数2x y +=的值域【例5】 求函数21x xy x x -=-+的值域。

【例6】函数2566x x y x x -+=+-的值域为【策略3】利用函数的有界性求值域【例7】函数21x y -=的值域为，211x +≥法二：22x y x -=+2)1x y =+101y y +=≥-，解得1-的值域为【例8】求函数12xx y -=的值域。

，211x+>，20x>，11y ∴-<<，故函数【策略4】判别式法(,)0F x y =【例9】求函数222x x y -+=的值域。

【解析】21x x ++2(2)(1)20y x y x y -+++-=。

①当20y -=即2y =时，300,0x x R +=∴=∈； ②当20y -≠即2y ≠时，x R ∈时，方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根，22(1)4(2)0,15y y y ∴∆=+-⨯-≥∴≤≤且2,y ≠∴原函数的值域为[]1,5。

【例10】已知函数222()x ax bf x ++=的值域为[1,3]，求,a b 的值。

【例11】求函数2y =的值域。

【策略5】换元法：【例12】函数()2f x x =- ）[).0,A +∞ 17.,8B ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 5.,4C ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 15.,8D ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,[0,t ∈+∞【例13】函数113x y -=的值域为的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令，所以可得【例14】函数[]1()428,2,2x x f x x +=--∈-的值域为__________【思路分析】12()428(2)228x x x x f x +=--=-⋅-，将2x视为一个整体令2xt =，则可将其转化为二次函数求得值域.，[2,2x ∈-【例15】函数1ln x e y +=的值域为__________的范围，再取对数即可。

第六节对数与对数函数一、教材概念·结论·性质重现1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M (n∈R)．(2)对数的性质①log a1＝0；②log a a＝1；③a log a N＝N；④log a a N＝N(a>0，且a≠1)．(3)对数的换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1 log b a.(2)loga mb n＝nm log a b.(3)log a b·log b c·log c d＝log a d.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，c>0，且c≠1，m，n∈R.(1)一般地，函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质 0<a <1a >1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0减函数增函数对数函数图象的特征(1)由图可知，0<d <c <1<b <a .(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、第四象限．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ． (×) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．(×)(3)函数y＝log2x及y＝log133x 都是对数函数．(×) (4)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(5)函数y＝ln 1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)2．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝()A．0 B．2C．4 D．6D解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.3．函数y＝log a(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________．(2,2)解析：当x＝2时，函数y＝log a(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．4．函数y＝lg|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．5．若函数y＝f (x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x)＝()A．log2x B．12x C．log0.5x D．2x－2A解析：由题意知f (x)＝log a x(a>0，且a≠1)．因为f (2)＝1，所以log a2＝1.所以a＝2.所以f (x)＝log2x.考点1 对数运算问题——基础性1．填空：(1)12lg 25＋lg 2－lg 0.1－log 29×log 32的值是________． (2)已知2x ＝12，log 213＝y ，则x ＋y 的值为________．(3)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.(1)－12 (2)2 (3)10 解析：(1)原式＝lg 5＋lg 2＋12－2＝1＋12－2＝－12.(2)因为2x ＝12，所以x ＝log 212， 所以x ＋y ＝log 212＋log 213＝log 24＝2.(3)因为2a ＝5b ＝m >0，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.所以m 2＝10.所以m ＝10.2．(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg [H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A ．12B ．13C ．16D ．110C 解析：由题设有[H ＋][OH －]＝[H ＋]210－14＝1014[H ＋]2.又10－7.45≤[H ＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H ＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg1014[H ＋]2≤－0.7.又lg 12≈－0.3，lg13＝－0.48，lg 16＝－0.78，lg 110＝－1，只有lg 16在范围之中．故选C ．解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.考点2 对数函数的图象及应用——综合性(1) 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )C 解析：先作出当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f (x )在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示．(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)B 解析：易知0＜a ＜1，函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图．由题意可知只需满足log a 12＞412，解得a ＞22，所以22＜a ＜1.故选B ．1．将本例(2)中“4x ＜log a x ”变为“4x ＝log a x 有解”，则实数a 的取值范围为________．⎝⎛⎦⎥⎤0，22 解析：若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 与函数y ＝log a x的图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点．由图象可知⎩⎨⎧0＜a ＜1，log a 12≤2，解得0＜a ≤22，即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，22. 2．若本例(2)变为：已知不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1 解析：由x 2－log a x <0得x 2<log a x .设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示．要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )B 解析：易知y ＝ln x 与y ＝ln(－x )的图象关于y 轴对称，将y ＝ln(－x )的图象向右平移2个单位长度所得图象y ＝ln[－(x －2)]＝ln(2－x )即与y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称．2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0.关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(1，＋∞) 解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合图象可知a >1.考点3 对数函数的性质及应用——应用性考向1 比较函数值的大小设a ＝0.50.4，b ＝log 0.40.3，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <aC 解析：因为0<a ＝0.50.4<0.50＝1，b ＝log 0.40.3>log 0.40.4＝1，c ＝log 80.4<log 81＝0，所以c <a <b .比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型 解题方法底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较考向2 对数方程或不等式问题(1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)C 解析：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a )， 解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C ．(2)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．x＝5解析：原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±5.又x>1，所以x＝ 5.简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．考向3对数函数性质的综合问题若函数f (x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a 的取值范围是()A．(－∞，4) B．(－4,4]C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)D解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立，且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则a2－(－2)a－3a>0，解得－2≥－2且(－2)4≤a<4.所以实数a的取值范围是[－4,4)．故选D．解决对数函数性质的综合问题的注意点(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <aB 解析：因为a ＝log 20.2<log 21＝0，b ＝20.2>20＝1,0<c ＝0.20.3<0.20＝1，所以a <c <b .故选B ．2．已知不等式log x (2x 2＋1)<log x 3x <0成立，则实数x 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 解析：原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②.解不等式组①，得13<x <12；不等式组②无解．所以实数x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.3．若函数 f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a ＝________.2 解析：令u (x )＝x 2－x ＋2，则u (x )在[0,2]上的最大值u (x )max ＝4，最小值u (x )min ＝74. 当a >1时，y ＝log a u 是增函数，f (x )max ＝log a 4＝2，得a ＝2；当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，f (x )max ＝log a 74＝2，得a ＝72(舍去)．故a ＝2.。

含有参数的对数不等式的讨论和求解
赵金祥
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1991(000)006
【摘要】含有参数的对数不等式的求解和讨论,是不等式求解中的难点。

现对两种主要的含有参数的对数不等式进行举例研究,以归纳得出正确求解此两类不等式的基本思路和方法。

【总页数】3页(P15-17)
【作者】赵金祥
【作者单位】浙江余姚中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.谈含有参数的一元二次不等式的讨论依据 [J], 王志鹏
2.二次函数在闭区间上的最值问题两类轴对称问题的辨析小议辅助角公式的求解策略抽象函数问题分类例析均值不等式的应用与分析对称问题中参数范围的一种求解策略关于解不等式问题的若干策略简化解析几何计算的若干策略“定”，“动”相宜——二次函数在闭区间上的最值问题 [J], 蔡永强
3.含参数不等式求解时引起讨论的原因 [J], 李纪民
4.构造函数证明含有指数和对数的不等式 [J], 龚世杰;
5.含有指数和对数的函数不等式问题的求解策略 [J], 李文东
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2019年6月解法探穷一.)1高中数学含参问题求解策略例析，江苏省常熟市浒浦高级中学周军在高中数学内容体系中，含参问题不是单一的知识版块,而是与许多知识点密切联系，如解析几何、函数、方程、不等式、线性规划等.在解决含参问题时，需要根据具体的问题情景与涉及的知识点，运用常见的含参问题的求解策略进行解答，这样才能从知识点的本质层面解答好含参问题.本文以苏教版高中数学为例,结合不同的知识案例来阐述常见的解题思路与方法，为广大师生提供经验借鉴.-、平面向量中的含参问题平面向量是高中数学重要的知识内容，是代数关系与空间关系的结合，也是后续解析几何、立体几何等内容的重要基础.作为重要的考点，在平面向量的问题中经常会出现参数，提升了对学生思维量的考核,求解难度较大，在江苏省高考中经常作为填空题的压轴题出现.下面笔者结合教学经验与具体案例列举出两种最为常见的解题思路与方法.1.建立直角坐标系一般来说，构建直角坐标系是解决平面向量问题的通用解法，只要能够在平面内建立起坐标系，那么各个点的坐标就可以表示出来,与之相对应的向量关系就可以得到确定.【案例1】在四边形"#中，已知边与平行，"#的长度为CD的2倍，&与'分别为边与#$的中点.现存在向量关系A"=!X"+"A"，则！+"的值为_____.解析：因为这是一道填空题，因此可以将问题特殊化，假设四边形"#CD是一个直角梯形，建立直角坐标系，如图1所示.令CD的长为+,"D的长为,，则"#的长为2+.易知&点的坐标为i卜3D&C0（A）B2图1■+,b点的坐标为[-%，~2&,#点的坐标为(2+,0).因为所以将各点坐标代入，可得(2+,0)=!,bI3+b\!—+也=2a,224R所以有方程组（解得!=-',"=）.入b+丛=0,552因此可得!+"=4.故填专.2.构造向量基底有时候构建平面直角坐标系的运算量过大，难以快速求解出正确答案,那么可以尝试构造向量基底.这一方法也是解决平面向量含参问题的常用方法.在构建向量基底时，需要结合平面向量的基本定理，根据确定的向量基底来表示题目所涉及的向量，由向量基底来表示已知条件中的各种向量关系，进而起到“消元”的作用，实现向量的统一.【案例2】已知四边形"#CD为菱形，边长为2,+BAD 的大小为120。

对数与对数函数[课程标准]1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y ＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a＞0，且a≠1)．1．对数的定义如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作01x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的运算法则如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)log a(MN)＝02log a M＋log a N；＝03log a M－log a N；(2)log a MN(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．3．对数函数的定义函数04y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．4．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域05(0，＋∞)值域R定点过点06(1，0)单调性07增函数08减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞05.反函数指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝09log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线10y＝x对称．1．对数的性质(a＞0，且a≠1)(1)log a1＝0；(2)log a a＝1；(3)a log aN＝N.2．换底公式及其推论(1)log a b＝log c blog c a(a，c均大于0且不等于1，b＞0)；(2)log a b·log b a＝1，即log a b＝1log b a(a，b均大于0且不等于1)；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d；(4)log am b n＝nmlog a b.3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．1．(人教A必修第一册习题4.3T5改编)设a log34＝2，则4－a＝()A.116B.19C.18D.16答案B解析由a log 34＝2可得log 34a ＝2，所以4a ＝9，所以4－a ＝19.故选B.2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是()A ．c <b <a B ．b <a <c C ．a <c <b D ．a <b <c答案C解析a ＝log 52<log 55＝12＝log 822<log 83＝b ，即a <c <b .故选C.3．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点________．答案(－1，－2)解析由log a 1＝0(a >0，且a ≠1)知，f (－1)＝log a (－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f (x )的图象必过定点(－1，－2)．4．(人教B 必修第二册4.2.2练习B T 3改编)求值：lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝________．答案1解析原式＝lg 5×lg (22×5)＋(lg 2)2＝lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝[lg (5×2)]2＝1.5．(人教A 必修第一册习题4.4T 1(2)改编)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．答案1解析由log 23(2x －1)≥0得log 23(2x －1)≥log 231，所以0<2x －1≤1，解得12<x ≤1.故函数y ＝log 23（2x－1）的定义域为1.例1(1)下列运算正确的是()A ．2log 1510＋log 150.25＝2B ．log 427×log 258×log 95＝89C ．lg 2＋lg 50＝10D ．log (2＋3)(2－3)－(log 22)2＝－54答案D解析对于A ，2log 1510＋log 150.25＝log 15(102×0.25)＝log 1552＝－2，A 错误；对于B ，log 427×log 258×log 95＝lg 33lg 22×lg 23lg 52×lg 5lg 32＝3×32×2×2＝98，B 错误；对于C ，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C 错误；对于D ，log (2＋3)(2－3)－(log 22)2＝－1＝－54，D 正确．(2)(2024·银川模拟)设函数f (x )＋log 2（2－x ）（x ≤1），x －1（x >1），则f (1)＋f (log 26)＝()A ．4B ．5C ．6D ．7答案A解析因为log 26>1，所以f (1)＋f (log 26)＝1＋log 2(2－1)＋2log 26－1＝1＋0＋2log 23＝1＋3＝4.故选A.(3)(多选)(2023·海南华侨中学模拟)已知a ＝lg 2，b ＝lg 3，则()A ．102a ＋b ＝7B ．2a ＋b ＝lg 12C.1a ＋2b＝log 1810D ．log 365＝1－a 2a ＋2b答案BCD解析因为a ＝lg 2，b ＝lg 3，所以10a ＝2，10b ＝3，所以102a ＋b ＝(10a )2×10b＝4×3＝12，A 错误；2a ＋b ＝lg 4＋lg 3＝lg 12，B 正确；1a ＋2b ＝1lg 2＋2lg 3＝1lg 18＝log 1810，C 正确；log 365＝lg 5lg (4×9)＝lg 52lg 2＋2lg 3＝1－a 2a ＋2b，D 正确．故选BCD.对数运算的策略1.(2023·衡水中学模拟)在某款计算器上计算log a b 时，需依次按下“log”“(”“a ”“，”“b ”“)”6个键．某同学使用该计算器计算log a b (a >1，b >1)时，误将“log”“(”“b ”“，”“a ”“)”这6个键依次按下，所得到的值是正确结果的49，则()A ．2a ＝3bB ．a 3b 2＝1C ．a 2＝b 3D ．a 3＝b 2答案D解析由题意可知log b a ＝49log a b ，∴(log b a )2＝49，又a >1，b >1，∴log b a >0，log b a ＝23，∴a ＝b 23，即a 3＝b 2.故选D.2．(2024·广东重点中学联考)已知4a ＝3b ＝6，则2a ＋bab＝________．答案2解析由题意可得a ＝log 46，b ＝log 36，则1a ＝log 64，1b ＝log 63，故2a ＋b ab＝1a ＋2b＝log 64＋2log 63＝log 64＋log 69＝log 636＝2.例2(1)(2024·潍坊模拟)若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是()答案A解析由于f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝k －1－1＝0，k ＝2，因为f (x )＝a x －1a x 为减函数，所以0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)，x >－2，g (x )为(－2，＋∞)上的减函数，g (－1)＝0，排除B ，C ，D ，故选A.(2)若方程4x ＝log a x ，12内有解，则实数a 的取值范围为________．答案，22解析构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x .当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数的大致图象，如图所示．可知，，12上有交点即可，则即2≥log a 12，则0<a ≤22，所以实数a ，22.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解．1.函数f(x)＝log a|x|＋1(0<a<1)的图象大致为()答案A解析由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝log a|x|，先画出x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.2．设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lg x3，则() A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x3<x1D．x2<x1<x3答案D解析画出函数y，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，由图象知x2<x1<x3.多角度探究突破角度比较对数值的大小，b＝log25，c＝log35，则()例3(1)(2024·安徽A10联盟模拟)设a＝2log312A．c<a<b B．b<c<aC．a<b<c D．a<c<b答案D解析因为log31<0，所以0<a<1，又b＝log25>log24＝2，1＝log33<c＝2log35<log39＝2，所以a<c<b.故选D.(2)(多选)若实数a，b，c满足log a2<log b2<log c2，则下列关系中可能成立的是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案BCD解析由log a2<log b2<log c2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知B，C，D可能成立．(3)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p＝20×lg p，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是p0实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1，p 2，p 3，则()A ．p 1≥p 2B ．p 2>10p 3C ．p 3＝100p 0D ．p 1≤100p 2答案ACD解析解法一：由题意可知，L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，L p 3＝40，对于A ，L p 1－L p 2＝20×lgp 1p 0－20×lg p 2p 0＝20×lg p1p 2，因为L p 1≥L p 2，则L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2≥0，即lg p 1p 2≥0，所以p1p 2≥1且p 1，p 2>0，可得p 1≥p 2，故A 正确；对于B ，L p 2－L p 3＝20×lgp 2p 0－20×lg p 3p 0＝20×lg p2p 3，因为L p 2－L p 3＝L p 2－40≥10，则20×lg p 2p 3≥10，即lg p 2p 3≥12，所以p 2p 3≥10且p 2，p 3>0，可得p 2≥10p 3，当且仅当L p 2＝50时，等号成立，故B 错误；对于C ，因为L p 3＝20×lgp 3p 0＝40，即lg p3p 0＝2，可得p3p 0＝100，即p 3＝100p 0，故C 正确；对于D ，由选项A 可知，L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2，且L p 1－L p 2≤90－50＝40，则20×lg p 1p 2≤40，即lg p 1p 2≤2，可得p1p 2≤100且p 1，p 2>0，所以p 1≤100p 2，故D 正确．故选ACD.解法二：因为L p ＝20×lgpp 0随着p 的增大而增大，且L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，所以L p 1≥L p 2，所以p 1≥p 2，故A 正确；由L p ＝20×lg pp 0，得p ＝p 010Lp20，因为L p 3＝40，所以p 3＝p 0104020＝100p 0，故C 正确；假设p 2＞10p 3，则p 010L p 220＞10p 010L p 320，所以10L p 220－L p 320＞10，所以L p 2－L p 3＞20，该式不可能成立，故B 错误；因为100p 2p 1＝100p 010L p 220p 010L p 120＝10L p 220－L p 120+2≥1，所以p 1≤100p 2，故D 正确．故选ACD.比较对数值大小的方法1.(多选)(2024·惠州模拟)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则下列关系式中，正确的是()A ．a >bB ．a >cC ．c >aD ．a ＋b ＝2答案AC解析a ＝log 2e>log 22＝1，即a >1，b ＝ln 2<ln e ＝1，即b <1，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c >a >b ，a ＋b ＝log 2e ＋ln 2＝1ln 2＋ln 2，由基本不等式知D 错误．故选AC.2．(多选)对于0<a <1，下列四个不等式中成立的是()A ．log a (1＋a )<logB ．log a(1＋a )>logC ．a 1＋a<a1＋1aD ．a1＋a>a1＋1a答案BD解析∵0<a <1，∴a <1a ，从而1＋a <1＋1a，∴log a (1＋a )>loga 1＋a >a1＋1a.故选BD.3．(2023·聊城二模)已知a＝2ln4，b＝ln3ln2，c＝32，则()A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 答案D解析∵e2＜2.82＜8，∴a－c＝2ln4－32＝2－3ln22ln2＝ln e2－ln82ln2<0，∴a＜c；∵b－c＝ln3ln2－32＝2ln3－3ln22ln2＝ln9－ln82ln2＞0，∴b＞c，∴b＞c＞a.故选D.角度解简单的对数不等式例4(1)设函数f(x)2x，x>0，12（－x），x<0.若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)答案C解析>0，2a>log12a<0，12(－a)>log2（－a），解得a>1或－1<a<0.故选C.(2)(2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a＋16(a∈R)，则关于x的不等式f(log2x)>f(1)的解集为()A．(2，＋∞)B．(0，2)C．(2，6)D．(2，8)答案D解析由题意，得f(x)＝－(x－2)2＋a＋20，则函数f(x)的图象是以直线x＝2为对称轴且开口向下的抛物线，所以f(1)＝f(3)．由f(log2x)>f(1)，可得1<log2x<3，解得2<x <8，所以不等式f (log 2x )>f (1)的解集为(2，8)．对数不等式的类型及其解法1.(2024·昆明五华区质检)函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为()C ．(1，＋∞)(1，＋∞)答案A解析0.5（4x －3）>0，x －3>0，解得34<x <1，所以原函数的定义域为故选A.2．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是________．答案解析由题意得a >0，且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，所以a >12.综上，a 角度对数函数性质的综合应用例5(1)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案解析当a>1时，f(x)＝log a(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝log a(8－2a)>1，解得1<a<83；当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝log a(8－a)>1，解得a>4，故a不存在．综上可知，实数a(2)(2024·海口第一次联考)已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1，16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)，则函数g(x)的最大值为________．答案39解析函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)≤x≤16，≤x2≤16，解得1≤x≤4，即函数g(x)的定义域为[1，4]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋log2x)2＋6＋2log2x2＝(log2x)2＋10log2x ＋15＝(log2x＋5)2－10，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]．当log2x＝2时，g(x)max ＝39.解对数函数综合问题的三个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．(2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．1.(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[5，＋∞)答案D解析由x2－4x－5>0，解得x>5或x<－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)单调递增，在(－∞，－1)单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)单调递增，所以a≥5.故选D.2．(多选)已知函数f(x)＝ln 2x＋12x－1，则下列说法正确的是()A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )D ．f (x )的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)答案ACD 解析f (x )＝ln2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1＞0，解得x ＞12或x ＜－12，∴f (x )的定义域为∞又f (－x )＝ln －2x ＋1－2x －1＝ln 2x －12x ＋1＝ln 1＝－ln 2x ＋12x －1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故A 正确，B 错误；又f (x )＝ln2x ＋12x －1＝ln令t ＝1＋22x －1，t ＞0且t ≠1，∴y ＝ln t ，又t ＝1＋22x －1在上单调递减，且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )C 正确；f (x )的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D 正确．3．(2023·十堰模拟)已知函数f (x )＝|ln x －a |＋a (a >0)在[1，e 2]上的最小值为1，则a 的值为________．答案1解析由题意得ln x ∈[0，2]，当a ≥2时，f (x )＝2a －ln x 在[1，e 2]上单调递减，∴f (x )的最小值为f (e 2)＝2a －2＝1，a ＝32<2，不符合题意；当0<a <2时，f (x )a －ln x ，x ∈[1，e a ），x ，x ∈[e a ，e 2]，f (x )在[1，e a ]上单调递减，在[e a ，e 2]上单调递增，∴f (x )的最小值为f (e a )＝a ＝1，符合题意，故a ＝1.课时作业一、单项选择题1．已知x ，y 为正实数，则()A ．lg (x 2y )＝(lg x )2＋lg yB ．lg (x y )＝lg x ＋12lg yC ．e ln x ＋ln y ＝x ＋yD ．e ln x －ln y ＝xy答案B解析x ，y 为正实数，lg (x 2y )＝lg x 2＋lg y ＝2lg x ＋lg y ，故A 错误；lg (x y )＝lg x ＋lg y ＝lg x ＋12lg y ，故B 正确；e ln x ＋ln y ＝e ln x ·e ln y ＝xy ，故C ，D 错误．故选B.2．(2022·浙江高考)已知2a ＝5，log 83＝b ，则4a －3b ＝()A ．25B ．5C.259D.53答案C解析因为2a＝5，b ＝log 83＝13log 23，即23b ＝3，所以4a －3b＝4a 43b ＝（2a ）2（23b ）2＝5232＝259.故选C.3．(2024·南京模拟)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier ，1550～1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即就是任何一个正实数N 可以表示成N ＝a ×10n (1≤a <10，n ∈Z )，则lg N ＝n ＋lg a (0≤lg a <1)，这样我们可以知道N 的位数．已知正整数M 31是35位数，则M 的值为()N 23451112131415lg N 0.300.480.600.701.04 1.081.111.151.18C ．13D ．14答案C解析因为N ＝a ×10n (1≤a <10，n ∈Z )，则lg N ＝n ＋lg a (0≤lg a <1)，所以1034≤M 31<1035，两边取常用对数得34≤31lg M <35，于是3431≤lg M <3531，即1.09<lg M <1.13，所以M ＝13.故选C.4．若log a 23<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是()(1，＋∞)(1，＋∞)答案D解析因为log a 23<1，所以log a 23<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0<a <1，则应满足0＜a ＜23.所以实数a (1，＋∞)．故选D.5.已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1答案A解析由题图易得a >1，∴0<a －1<1.取特殊点x ＝0⇒－1<y ＝log a b <0⇒－1＝log a 1a<log a b <log a 1＝0，∴0<a －1<b <1.故选A.6．(2023·宜宾模拟)若函数f (x )ln （－x ），a ≤x <0，x 2＋2x ，0≤x ≤3的值域为[－3，＋∞)，则a 的取值范围是()A ．[－e 3，0) B.－e 3C.－e 3，－1e e 3答案C解析当0≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋2x ∈[－3，1]，当a ≤x ＜0时，f (x )＝－ln (－x )≥－ln (－a )，因为f (x )ln （－x ），a ≤x <0，x 2＋2x ，0≤x ≤3的值域为[－3，＋∞)，所以－3≤－ln (－a )≤1，故－1≤ln (－a )≤3，解得－e 3≤a ≤－1e.故选C.7．(2023·铜陵三模)已知a ＝log 75，b ＝log 97，c ＝log 119，则()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <b <a答案A解析因为log 75－log 97＝lg 5lg 7－lg 7lg 9＝lg 5·lg 9－（lg 7）2lg 7·lg 9，又因为lg 5·lg 9＝(lg 7)2，所以log 75－log 97<0，即a <b ；因为log 97－log 119＝lg 7lg 9－lg 9lg 11＝lg 7·lg 11－（lg 9）2lg 11·lg 9，又因为lg 7·lg 11＝＝(lg 9)2，所以log 97－log 119<0，即b <c ，所以a <b <c .故选A.8．(2024·衡水饶阳中学质检)已知x >0，y >0，a ≥1，若a ＋log 2x ＝log 8y 3＋2－x ，则()A ．ln |1＋x －3y |<0B ．ln |1＋x －3y |≤0C ．ln (1＋3y －x )>0D ．ln (1＋3y －x )>1答案C解析由题意可知，a y ＋log 2x ＝log 2y ，∴log 2x ＝log 2y －a y <log 2(3y )－a y ≤log 2(3y )y ，令f (x )＝log 2x ，则f (x )<f (3y )，易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )<f (3y )，得x <3y ，∴3y －x >0，∴1＋3y －x >1，∴ln (1＋3y －x )>ln 1＝0.故选C.二、多项选择题9．(2024·苏州模拟)已知2x ＝3，y ＝2log 32，则()A ．x <32B ．xy ＝2C ．x >yD.1x ＋1y>2解析由2x＝3，可得x＝log23>log28＝12log28＝32，所以A不正确；因为y＝2log32，所以xy＝log23·2log32＝log23·2log23＝2，所以B正确；因为y＝2log32＝log34<log327＝32，所以x>y，所以C正确；1x＋1y＝1log23＋12log32＝log32＋12log32≥2log32·12log32＝2，因为log32≠12log32，所以等号不成立，所以1x＋1y>2，所以D正确．故选BCD.10．关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的是()A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4D．函数f(x)有且仅有两个零点答案ABD解析函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示，由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；根据图象，由x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．故选ABD.11．(2023·南京一模)已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是()A．函数f(x)是偶函数B．函数f(x)是奇函数C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数D．函数f(x)的值域为[1，＋∞)解析根据题意，函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，定义域为R，有f(－x)＝log＋x＝log2(1＋4x)－x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，A正确，B错误；对于C，f(－1)＝log252>1＝f(0)，f(x)在(－∞，0]上不是增函数，C错误；对于D，f(x)＝log2(1＋4x)－x＝logt＝12x＋2x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22＝1，即函数f(x)的值域为[1，＋∞)，D正确．故选AD.三、填空题12．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln |a＋11－x|＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．答案－12ln2解析因为函数f(x)＝ln |a＋11－x|＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋11－x≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以a＋1a＝－1，解得a＝－12，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln2.即f(x)＝ln |－12＋11－x|＋ln2＝ln|1＋x1－x|，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．13．已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋3)．若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________；若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________．答案(－3，3)(－∞，－3]∪[3，＋∞)解析由函数f(x)的定义域为R，则x2－2ax＋3>0恒成立，所以Δ＝4a2－12<0，解得－3<a<3.设A为y＝x2－2ax＋3的值域，则A＝[3－a2，＋∞)，若f(x)的值域为R，则(0，＋∞)⊆A，所以3－a2≤0，解得a≤－3或a≥ 3.14．如图，已知过原点O 的直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C ，D 两点，若BC ∥x 轴，则四边形ABDC 的面积为________．答案433log 23解析设点A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，由题设知，x 1＞1，x 2＞1.则点A ，B 的纵坐标分别为log 8x 1，log 8x 2.因为A ，B 在过点O 的直线上，所以log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2，点C ，D 的坐标分别为(x 1，log 2x 1)，(x 2，log 2x 2)．由BC 平行于x 轴，知log 2x 1＝log 8x 2，即log 2x 1＝13log 2x 2，∴x 2＝x 31.代入x 2log 8x 1＝x 1log 8x 2得x 31log 8x 1＝3x 1log 8x 1.由x 1＞1知log 8x 1≠0，∴x 31＝3x 1.考虑x 1＞1，解得x 1＝3.于是点A 的坐标为(3，log 83)，即，16log 233，12log 2，12log 233，32log 2∴梯形ABDC 的面积为S ＝12(AC ＋BD )·BC ＝12×23＋log 223＝433log 23.四、解答题15．(2024·镇江模拟)已知函数f (x )＝9x－28×3x ＋1＋243，g (x )＝log 2x 28·log 2x2.(1)设集合A ＝{x ∈R |f (x )≤0}，求集合A ；(2)当x ∈A 时，求g (x )的最大值和最小值．解(1)由f (x )＝9x －28×3x ＋1＋243≤0，得(3x )2－84×3x ＋243≤0，即(3x －3)(3x －81)≤0，则3≤3x ≤81，解得1≤x ≤4，∴A ＝{x |1≤x ≤4}．(2)g (x )＝log 2x 28·log 2x2＝(2log2x－2x－＝(log2x)2－72log2x＋32x－1 16.∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，∴当log2x＝0时，g(x)max＝3；当log2x＝74时，g(x)min＝－116.故g(x)的最大值为3，最小值为－116.16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f(x)在[m，n]上的值域为m2，n2，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝log a(a x＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．解∵函数f(x)＝log a(a x＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，当a>1时，z＝a x＋t2在R上单调递增，y＝log a z在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数，∴方程log a(a x＋t2)＝12x有两个不同的根，∴a x ＋t2＝，即a x－＋t2＝0，令u＝，u>0，即u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2>0，且t2>0，解得t －12，21。

对数函数的应用问题对数函数是数学中常用的函数之一，广泛应用于各个领域。

本文将介绍几个对数函数的实际应用问题，并探讨其解决方法和意义。

问题一：利用对数函数求解指数增长问题假设某城市的人口数量每年以3%的速率进行指数增长，如果已知该城市在某年的人口数量为100万，那么如何求解该城市在几年后的人口数量将达到200万？解决方法：根据指数增长的基本模型，人口数量可以表示为P = P0 * e^(kt)，其中P0表示初始人口数量，t表示时间，k为增长率的常数。

在这个问题中，我们可以利用对数函数来求解t的值。

首先，我们将问题转化为方程：200 = 100 * e^(3k)。

然后，应用对数函数的性质，将方程转化为对数形式，即ln(200) = ln(100) + 3k。

利用对数函数的性质，我们可以得到：k = (ln(200) - ln(100))/3 ≈ 0.229。

最后，代入求得的k值，利用对数函数计算t的值：ln(200) = ln(100) + 3k * t。

求解得到t ≈ 5.22年。

因此，该城市在约5.22年后的人口数量将达到200万。

意义：通过对数函数的应用，我们能够准确地预测某城市人口数量的增长情况，为城市规划和资源分配提供科学依据。

问题二：利用对数函数解决利率问题如果某银行的年利率为5%，存款本金为2000元，那么存款多少年后可翻番？解决方法：根据复利计算的基本原理，存款金额可以表示为A = P * (1 + r)^t，其中P表示初始存款本金，r表示年利率，t表示时间。

在这个问题中，我们可以利用对数函数来求解t的值。

首先，我们将问题转化为方程：4000 = 2000 * (1 + 0.05)^t。

然后，应用对数函数的性质，将方程转化为对数形式，即ln(4000) = ln(2000)+ t * ln(1.05)。

利用对数函数的性质，我们可以得到：t = (ln(4000) -ln(2000))/ln(1.05) ≈ 14.21年。

《数学》第四章“指数函数与对数函数”教学建议在初中阶段学生已经掌握了正整数指数幂的定义及其运算性质，随着新知识学习的新要求，正整数指数幂已经不能满足学习的需要了。

本章将正整数指数幂的概念与运算推广到了实数范围，在对幂概念进一步理解的基础上，引入幂函数、指数函数、对数函数，学习其相关性质与应用。

通过探究、发现、感悟等形式，让学生体会指数函数与对数函数广泛的实际应用。

掌握本章内容，对学生今后的学习、实践将会产生重要的影响。

一、大纲分析数学课程任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。

通过教学发展学生的数据处理、工具运用等技能，培养学生观察、分析与解决问题等数学能力。

大纲建议指数函数与对数函数部分为12课时，本教材新授部分11课时，复习小结1课时。

大纲规定学习应达到的能级要求包括4项了解（幂函数、积商幂的对数、对数函数的图像和性质、指数函数与对数函数应用），3项理解（有理数指数幂、指数函数的图像和性质、对数的概念）以及2项掌握（实数指数幂及其运算法则、利用计算器求对数值）。

二、知识体系三、教学建议本章内容的学习基于已掌握的函数相关概念、性质以及幂的概念、运算等知识。

教学过程中应创设让学生主动探究、合作学习的教学氛围，注重运用类比、归纳等教学方法，将构建“知识体系”作为学习的策略和目标，切实激发学习的兴趣，提升学习的能力，达成教学目标。

下面，笔者按节就设计思路、教学目标、内容要点、教学建议（分课时）四个方面进行教材解读，给出教学建议。

（一）§4.1实数指数幂（2课时）设计思路：通过探究xn=a中a、n、x之间的关系，引导学生理解识记n次方根以及根式的概念及性质，引出分数指数幂的概念，将幂指数由正整数推广到有理数范围。

通过用计算器求幂的值及阅读“读一读”的内容，让学生体验到无理指数幂也有意义，进而将有理指数幂推广到无理指数幂的范围。

ʏ王佩其高考对对数函数的考查往往以综合题的形式出现㊂其中一类含参数的对数函数探究性问题综合性很强,不仅考查对数函数的性质,同时也考查内层函数的性质,求解时不可顾此失彼㊂下面举例说明,供大家参考㊂一㊁对数函数与一次函数的综合形如f (x )=l o g a (k x +b )的函数,称为一次函数与对数函数的复合函数㊂例1 已知函数f (x )=l o g a (3-a x )㊂(1)当x ɪ[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围㊂(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由㊂(1)易知底数a >0且a ʂ1㊂设t (x )=3-a x ,则t (x )=3-a x 为减函数㊂当x ɪ[0,2]时,函数t (x )的最小值为3-2a ㊂当x ɪ[0,2]时,f (x )恒有意义,即当x ɪ[0,2]时,3-a x >0恒成立,所以3-2a >0,可得a <32㊂又因为a >0且a ʂ1,所以所求实数a ɪ(0,1)ɣ1,32㊂(2)t (x )=3-a x ,由a >0,可得函数t (x )为减函数㊂因为f (x )在区间[1,2]上为减函数,所以y =l o g at (x )为增函数,所以a >1㊂当x ɪ[1,2]时,t (x )的最小值为3-2a ,f (x )的最大值为f (1)=l o g a (3-a ),所以3-2a >0,l o g a (3-a )=1,解得a <32,a =32,即a ɪ⌀㊂故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1㊂ 解答函数问题要遵循 定义域优先 的原则㊂在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先利用对数函数的单调性来求解㊂在利用单调性时,一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响,及真数必须大于0的限制条件㊂二㊁对数函数与二次函数的综合形如f (x )=l o g m (a x 2+b x +c )(a ʂ0)的函数,称为二次函数与对数函数的复合函数㊂例2 已知函数f (x )=l o g 12(x 2-2a x +3)㊂(1)若f (-1)=-3,求函数f (x )的单调区间㊂(2)是否存在实数a ,使得f (x )在(-ɕ,2)上为增函数?若存在,求出a 的范围;若不存在,请说明理由㊂(1)由f (-1)=-3,可得l o g 12(4+2a )=-3,所以4+2a =8,所以a =2,所以f (x )=l o g 12(x 2-4x +3)㊂由x 2-4x +3>0,可得x >3或x <1,所以函数的定义域为(-ɕ,1)ɣ(3,+ɕ)㊂令g (x )=x 2-4x +3,则函数g (x )在(-ɕ,1)上单调递减,在(3,+ɕ)上单调递增㊂又y =l o g 12x 在(0,+ɕ)上单调递减,所以f (x )的单调递增区间是(-ɕ,1),单调递减区间是(3,+ɕ)㊂(2)令g (x )=x 2-2a x +3,其对称轴为x =a ㊂要使f (x )在(-ɕ,2)上为增函数,应满足g (x )在(-ɕ,2)上单调递减,且恒大于0㊂于是可得a ȡ2,g(2)ȡ0,即a ȡ2,7-4a ȡ0,解得a ȡ2,a ɤ74,所以a ɪ⌀㊂53创新题追根溯源高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.所以不存在实数a ,使得f (x )在(-ɕ,2)上为增函数㊂利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时,必须弄清三个问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的㊂三㊁对数函数与指数函数的综合对数函数与指数函数的综合题,往往把对数函数作为外层函数,指数函数作为内层函数㊂例3 已知函数f (x )=l o g 99x+1+k x 是偶函数㊂(1)求k 的值㊂(2)设h (x )=l o g 9a ㊃3x-43a,若函数f (x )与h (x )的图像有且只有一个公共点,求实数a 的取值范围㊂(1)因为f (x )为偶函数,所以对∀x ɪR ,都有f (-x )=f (x )恒成立,即l og 9(9-x +1)-k x =l o g 9(9x+1)+k x 对x ɪR 恒成立㊂所以2k x =l o g 99-x +1 -l o g 99x +1 =l o g 99x+19x-l o g 99x+1 =-x 对x ɪR 恒成立,所以(2k +1)x =0㊂因为对x ɪR 恒成立,所以2k +1=0,即k =-12㊂(2)由(1)知函数f (x )=l o g 99x+1 -12x =l o g 99x +1 -l o g 93x =l o g 93x+13x㊂由题意知方程3x +13x =a ㊃3x-43a 有且只有一个实数根㊂令3x=t ,则t >0,所以上述方程等价于关于t 的方程(a -1)t 2-43a t -1=0有且只有一个正实根㊂若a =1,则t =-34,不合题意;若a ʂ1,则方程(a -1)t 2-43a t -1=0的两根异号或方程有两个相等正实根㊂此方程有两个相等正实根等价于Δ=0,-1a -1>0,解得a =-3;此方程的两根异号等价于Δ>0,-1a -1<0,解得a >1㊂综上所述,实数a 的取值范围是{-3}ɣ(1,+ɕ)㊂解含参数的对数函数与指数函数的综合题的关键是利用对数函数的性质 化去 对数符号,再通过换元, 消去 指数函数,从而把原问题转化为一次函数或二次函数(方程)问题㊂对于这类参数的求值问题,要注意分类讨论㊂编者的话:从以上三个例题可以看出,求解含参数的对数函数的探究性问题的关键是 分解 与 转化 ,所谓 分解 ,即分解成两个函数加以综合考查,所谓 转化 ,即转化为方程问题或不等式问题来求解㊂已知函数f (x )=l g|x -1|,下列命题中所有正确的序号是㊂①函数f (x )的定义域和值域均为R ;②函数f (x )在(-ɕ,1)上单调递减,在(1,+ɕ)上单调递增;③函数f (x )的图像关于y 轴对称;④函数f (x +1)为偶函数;⑤若f (a )>0,则a <0或a >2㊂提示:由x -1ʂ0,可得x ʂ1,故定义域为{x |x ʂ1}ʂR ,①不正确㊂由y =|x -1|在(-ɕ,1)上单调递减,在(1,+ɕ)上单调递增,可得f (x )=l g |x -1|在(-ɕ,1)上单调递减,在(1,+ɕ)上单调递增,②正确㊂由于f (x )的定义域不关于原点对称,所以f (x )不具有奇偶性,③不正确㊂由于f (x +1)=l g |x |,其图像关于y 轴对称,所以是偶函数,④正确㊂由f (a )>0,可得l g |a -1|>0,所以|a -1|>1,所以a <0或a >2,⑤正确㊂答案为②④⑤㊂作者单位:江苏省太仓市明德高级中学(责任编辑 郭正华)63 创新题追根溯源 高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。