2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案：第6课时—— 矩阵乘法的概念

【学习目标】 掌握矩阵乘法的简单性质，会用性质解题 【学习重点】 矩阵乘法的简单性质 【活动过程】活动一、情景引入我们学过实数的乘法运算，知道实数的乘法运算具有交换律、结合律和消去律，那么矩阵的乘法是否也有类似的性质呢？ 活动二、构建数学1）矩阵的乘法不满足交换律2）矩阵的乘法满足结合律 活动三、数学运用1、 计算：（1）⎢⎣⎡01 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤1012 ⎥⎦⎤01； （2）⎢⎣⎡31 ⎥⎦⎤42⎢⎣⎡3⎥⎥⎦⎤-212；（3）⎢⎣⎡10 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤0101 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤-1012 ⎥⎦⎤01； （4）⎢⎣⎡31 320⎥⎦⎤-。

2、 矩阵⎢⎣⎡=01M⎢⎣⎡=⎥⎦⎤01,11N ⎥⎥⎦⎤210，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=43α。

（1）验证)()(ααN M MN =； （2）验证这两个矩阵不满足NM MN =。

3、试从几何变换的角度证明矩阵乘法满足结合律，即对任意矩阵P N M ,,，有)()(NP M P MN =成立。

4、下面算式都表明：PN PM =且0≠P ，但是N M ≠，请计算验证这个结果，并从几何上给予解释。

（1）⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤00⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤20＝⎢⎣⎡01 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤0100 ⎥⎥⎦⎤210；（2）⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤00⎢⎣⎡-11 ⎥⎦⎤00＝⎢⎣⎡01 ⎢⎣⎡-⎥⎦⎤0100 ⎥⎦⎤-10。

【课后作业】1、设R ,∈b a ，若⎢⎣⎡=1a A ⎥⎦⎤b 0把直线072:=++y x l 变换为自身，则a ＝ ，b ＝ 。

2、设⎢⎣⎡=31A ⎥⎦⎤52，⎢⎣⎡-=35B ⎥⎦⎤-12，则AB ＝ ，BA ＝ 。

3、求使下列算式成立的实数d c b a ,,,。

⎢⎣⎡3a ⎢⎣⎡⎥⎦⎤d b 02 ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤420c ⎥⎦⎤31。

4、说明矩阵⎢⎣⎡=01M⎥⎦⎤11与⎢⎣⎡=10N ⎥⎦⎤-01所表示的几何变换，并从几何上说明不满足NM MN =，再加以计算验证。

矩阵乘法的概念教学目标1.理解矩阵乘法法则及由来过程；了解主对角线，副对角线的概念；2.理解矩阵乘法的几何意义；了解矩阵乘方的意义；3.能根据矩阵乘法法则进行一些简单的运算.4.在理解六种常见变换及其矩阵表示的基础上，学习伸压，反射，旋转等变化的复合变换与矩阵乘法法则的联系，进一步熟悉矩阵的乘法运算；5.了解初等变换及初等变换矩阵的概念.一．回顾复习，引入新课1.计算=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡012001 . 2.已知M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001，N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001，M ，N 能不能进行乘法运算？如果可以，怎样进行？二．建构数学，新授内容1.矩阵的乘法法则2.矩阵MN 的几何意义3.矩阵乘方的意义4.初等变换5.初等变换矩阵三．应用示例，例题分析例1.（1）已知A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23232323，B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=23232323，计算AB ； （2）已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2413， B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5001，计算AB ，BA ； （3）已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0100，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001，计算BA ， BC ； （4）从（2），（3）的结果，你能得到什么结论？例2.已知二阶单位矩阵E .1001⎥⎦⎤⎢⎣⎡= （1）计算E 2，E 3，猜测E n （+∈N n ）； （2）设一个二阶矩阵为A ，且A 2=E ，则A 一定是单位矩阵E 吗？若是，请给出证明；若不是，试举出反例.例3.已知梯形ABCD ，其中)2,1(),2,2(),0,3(),0,0(D C B A ,先将梯形作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转︒90.（1）求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；（2）求点D C B A ,,,在M T 作用下所得到的点的坐标；（3）在平面直角坐标系内画出两次变换后所对应的几何图形，并验证（2）中的结论.练习：已知平行四边形ABCD ，作变换1T ，变成矩形''D ABC ,再作变换:2T 将所得矩形的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，其中)2,2(),2,5(),0,3(),0,0(D C B A ,).2,0(),2,3(''D C（1）在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形；（2）求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；（3）求四点D C B A ,,,在M T 作用下所得到的点的坐标；（4）结合（1）中的图形，验证（3）的结论.例4.已知A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ααααcos sin sin cos ，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ββββcos sin sin cos ，试求AB ，并解释其几何意义.。

精品精品资料精品精品资料选修4－2矩阵与变换 2.3.2 矩阵乘法的简单性质学习目标1、通过几何变换，使学生理解一般情况下，矩阵乘法不满足交换律。

2、会验证矩阵的乘法满足结合律。

3、从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去律。

学习过程：一、预习：阅读教材，体会下列知识：1、两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)C=A(BC),AB BA,由AB=AC不一定能推出B=C.2、理解矩阵的乘法运算与变换的复合之间的内在联系（1）两个二阶矩阵相乘的结果从几何的角度来看它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换.（2）一般地两个变换之间是不能随意交换位置的，只有在特殊情况下才可以交换位置（3）矩阵AB对应的复合变换顺序是先进行矩阵B对应的变换再进行矩阵A对应的变换.如果连续对一个向量实施n次矩阵A对应的变换可以记为nA的形式.（4）在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵.练习1、对任意的二阶非零矩阵A、B、C，下列命题中:（1）AB=BA ; （2）AB≠0; （3）若AB=AC，则B=C;（4）A（BC）=（AB）C; （5）A2≠0; （6）当E为单位矩阵时恒有：AE=EA=A.，其中真命题的序号为2、已知正方形ABCD，A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）变换T1对应矩阵为M＝01-1，变换T2对应矩阵为N＝10.5对应的变换，计算MN，NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度解释。

二、课堂训练：例1．已知梯形ABCD ，A （0，0），B （3，0），C （2，2），D （1，2），变换T 1对应的矩阵P ＝2001，变换T 2对应的矩阵Q ＝1002，计算PQ ，QP ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释。

例2、利用矩阵变换的几何意义，请构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：（1）构造两个矩阵M ，N ，它们不满足MN=NM ；（2）构造两个不同的矩阵A ，B ，使等式01010101AB成立；（3）构造两个不同的矩阵A ，B ，使等式00000101AB 成立．练习：1. 已知：A=1000，B ＝1001，C ＝1002，计算AB ，AC 。

高中数学教案矩阵的乘法与应用高中数学教案：矩阵的乘法与应用高中数学作为学科中的一门重要课程，为学生提供了扎实的数学基础与解决实际问题的能力。

本教案将重点介绍矩阵的乘法与应用，帮助学生理解和掌握相关概念与技巧。

一、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要内容，通过矩阵的乘法可以实现多个矩阵之间的运算和变换。

具体来说，设有两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB，计算方法如下：1.1 定义设A是一个 m×n 的矩阵，B是一个 n×p 的矩阵，那么乘积AB是一个 m×p 的矩阵，其中乘积矩阵中的元素c(i,j)可表示为：c(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,n)b(n,j)1.2 注意事项在进行矩阵乘法时，需要注意以下几点：1) 两个矩阵相乘的前提是，第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等；2) 矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；3) 相乘的两个矩阵的对应元素必须满足相同的运算法则，通常为加法和乘法；二、矩阵的应用矩阵在数学中具有广泛的应用，尤其在线性代数、图论、概率统计等领域。

以下将简要介绍矩阵的几个常见应用。

2.1 线性变换矩阵可以用来表示线性变换，例如旋转、缩放、平移等。

通过对矩阵的乘法运算，可以实现对多个变换的叠加，从而达到复杂变换的目的。

2.2 线性方程组的求解矩阵可以应用于线性方程组的求解。

将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵进行相乘，可以将方程组转化为矩阵的乘法运算，从而通过求解矩阵的逆矩阵或使用高斯消元法来解得方程组的解。

2.3 图论中的邻接矩阵在图论中，矩阵可以用于表示图的相关信息。

邻接矩阵是描述无向图或有向图的常用方法之一。

通过邻接矩阵的乘法，可以实现对图的遍历、路径搜索等操作。

2.4 概率统计中的转移矩阵转移矩阵是概率统计中常见的矩阵表示形式。

通过转移矩阵的乘法运算，可以描述系统在不同状态之间的转移概率，例如马尔可夫链、隐马尔可夫模型等。

江苏省淮安中学高二数学《矩阵的应用》学案教学目标:教学重点:教学难点:一、复习回顾本章学习的矩阵相关知识。

二、典型例题例1、已知盒子A中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，1只白色的，盒子B中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的。

假定A，B两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球的概率有多大?例2、某运动服销售店经销A，B，C，D四种品牌的运动服，其尺寸分别有S(小号)、M(中号)、L(大号)、XL(特大号)四种，一天内该店的销售情况如下表所示(单位：件)假设不同品牌的运动服的利润是A为20元/件，B为15元/件，C为30元/件，D为25例3、如图所示的是A，B，C三个城市的交通情况，小月想从其中某一个城市出发直达另一个城市，她可以有几种选择？如果他想从某一个城市出发，先经过一个城市，再到达另一个城市，她又可以有几种选择？几个相关概念：网络图，结点，一级路矩阵，二级路矩阵。

型号 B14例4、已知一级路矩阵012⎡⎢⎢⎢⎣ 100 200⎤⎥⎥⎥⎦表示一个网络图，它们的结点分别是A ，B ，C ，试画出一个网络图。

例5、在军事密码学中，密码发送的流程如图所示，它的数学原理是：发送方将要传送的信息数字化后用一个矩阵X 表示(不足的元素可以补上0，字与字之间的空格也以0记)，在矩阵的左边乘上一个双方约定好的可逆方阵A ，得到B=AX ，则B 即为传送出去的密码。

接受方收到密码后，只需左乘A 的逆矩阵1A -，即可得到发送出去的明码X=1A -B 。

不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，让1,,26a z →→ ，先已知发送方传出的密码为7，13，39，67，双方约定的可逆矩阵为24⎡⎢⎣ 35⎤⎥⎦，试破解发送的密码。

例6、自然界生物种群的成长受到多种因素影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。

汾湖高级中学高二数学同步教学案 班级 姓名 成绩 阅读教材第1页到第3页内容回答下列问题： 1：在数学中，将形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2 33 2,856590 80,31m 这样的 称做矩阵。

叫矩阵的行。

叫矩阵的列。

通常称具有i 行j 列的矩阵为j i ⨯矩阵。

记号：A ，B ，C ，…或（a ij ） 2：零矩阵： 行矩阵： 列矩阵：3：平面向量),(y x a =和平面上的点),(y x P 可以看作行矩阵，记为 ，也可以看作为列矩阵，记为4：对两个矩阵B A ,，只有当B A ,的 且 也分别相等时，才有B A =.例题剖析例1、 用矩阵表示图中的△ABC , 其中A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0) .思考: 如果用矩阵M=00⎡⎢⎣ 12 3240⎤⎥⎦表示平面中的图形, 那么该图形有什么几何特征?例2、某种水果的产地为A 1 , A 2 , 销地为B 1 , B 2 , 请用矩阵表示产地A i 运到销地B j 的水果数量(a ij ), 其中i=1 , 2 , j=1 , 2 .变题：请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶矩阵（胜、负、和分别用0,1,1-表示）例3、设矩阵A 为33⨯矩阵，其元素⎩⎨⎧≠+==j i j i j i ij a ij，其中3,2,1,=j i ， 求A 中所有元素之和。

例4、已知A=4x⎡⎢⎣32⎤⎥-⎦ , B=1z ⎡⎢⎣ 2y ⎤⎥-⎦, 若A=B , 试求x , y , z .变题：设A=2y ⎡⎢⎣ 3x ⎤⎥⎦, B=2m n x y +⎡⎢-⎣ x y m n +⎤⎥-⎦, 若A=B , 试求x , y , m , n 的值.巩固练习书P 10 1 , 2 , 4 课堂小结汾湖高级中学高二数学基础练习班级 姓名 成绩 1.用矩阵表示图中的△ABC, 其中A(2 , 3) , B(-4, 6), C(5 , -3).2.在学校组织的数学智力竞赛中, 甲、乙、丙三位同学获得的成绩分别为: 甲95分, 乙99分, 丙89分, 如果分别用1 , 2 , 3表示甲、乙、丙三位同学, 试用矩阵表示各位同学的得分情况.3.设A=1y ⎡⎢⎣ 3x ⎤⎥⎦, B=2m n x y -⎡⎢-⎣ x y m n +⎤⎥+⎦, 若A=B , 试求x , y , m , n .4. 用矩阵表示下列方程组中的未知量的系数.(1)4736x y x y +=⎧⎨-+=-⎩ (2)3212376x y z x y z ++=-⎧⎨-+=⎩5、求矩阵11⎡⎢⎣ 32 33 14⎤⎥⎦表示平面图形的面积。

高二数学第二学期二阶矩阵与平面列向量的乘法教案
教学目标：
1.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法法则。

2．理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。

教学重点：
二阶矩阵与平面列向量的乘法法则。

教学过程：
一、问题情境
问题1：某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，
如果规定歌唱比赛最后成绩由初赛和复赛综合裁定,其中初赛占40℅,复赛占60℅,则甲的最后成绩是多少?能否用矩阵来表示?
二、建构数学
1.二阶矩阵与平面列向量的乘法法则:
2.变换：
3. 二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可改写为:
三、数学应用
1．例题
例1:计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x
例2
(1)已知变换⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡2341''y x M y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ,试将它写成坐标变换的形式; (2) 已知变换⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x y x 3'',试将它写成矩阵乘法的形式;
2．课堂练习
P10 3,4,5
四、回顾小结
1. 二阶矩阵与平面列向量的乘法法则
2. 理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射
五、课外作业
同步导学。

人教版高中选修4-2二二阶矩阵与平面向量的乘法课程设计一、教学目标通过该课程的学习，学生应该能够：1.了解矩阵与向量的基本概念，掌握矩阵和向量之间的基本运算法则；2.明白矩阵乘法的定义和运算法则，能够运用矩阵乘法解决实际问题；3.熟悉平面向量与矩阵的乘法，能够举一反三地运用到类似的计算中。

二、教学重点1.矩阵乘法；2.平面向量与矩阵的乘法。

三、教学难点1.矩阵与向量的基本运算法则；2.矩阵乘法的计算方法；3.平面向量与矩阵的乘法，特别是理解矩阵乘法运算的几何意义。

四、教学内容及时间安排本课程主要包括以下内容：1. 矩阵与向量的基本概念通过实际生活中的例子，引出矩阵和向量的基本概念，探究矩阵和向量之间的内在联系。

时间安排：1课时。

2. 矩阵和向量的基本运算法则介绍矩阵和向量之间的基本运算法则，包括加减乘除、数乘、转置等。

注重通过实际计算加深学生对这些运算法则的理解，为后续的矩阵乘法打好基础。

时间安排：2课时。

3. 矩阵乘法介绍矩阵乘法的定义和运算法则，包括矩阵乘法的代数意义和几何意义。

通过实例进行讲解，帮助学生理解矩阵乘法的本质，做到心中有数。

时间安排：2课时。

4. 平面向量与矩阵的乘法介绍平面向量与矩阵的乘法，通过实例进行讲解，让学生理解平面向量与矩阵的乘法的几何意义，加深学生对矩阵乘法运算几何意义的理解。

时间安排：2课时。

五、教学方法1.通过大量例题和实例进行讲解，注重理论与实践相结合，帮助学生加深对知识点的理解；2.给予学生一定的自主探究空间，引导学生根据所学知识独立思考和解决问题；3.使用多媒体手段辅助教学，如视频、PPT、动画等，使教学内容更加生动直观。

六、教学评估1.课堂练习：在课堂上布置一定数量的习题，力求贴近学生的实际情况，检验学生对所学知识的理解情况；2.课后作业：布置一定数量的练习题，督促学生复习和巩固所学知识；3.小组讨论：在特定的时间，对于某一个难度较高的题目，学生可结合自己的思考成果，结合小组内的思路互相讨论，探讨解决方法，既增加了思维的碰撞，同时又有效激发学生的创造能力和团队合作精神，提升学生的参与积极性。

二阶矩阵与平面列向量的乘法一、教学目标1、掌握二阶矩阵与列向量的乘法规则, 并了解其现实背景.2、理解变换的含义了解矩阵与变换的联系。

二课前预习:1、在某次歌唱比赛中, 甲的初赛和复赛的成绩用A=[80 90]表示, 乙的初赛和复赛成绩用B=[60 85]表示, C=0.40.6⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示初赛和复赛成绩在比赛总分中所占的比重, 那么如何用矩阵的形式表示甲、乙的最后成绩呢?2、.行矩阵和列矩阵的乘法规则3、二阶矩阵与列向量的乘法规则几何意义4、变换三、数学运用例1、计算: (1)2-⎡⎢⎣21⎤⎥⎦32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(2)1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦1020⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)2⎡⎢⎣1⎤⎥⎦xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2、求在矩阵3-⎡⎢⎣25⎤⎥⎦对应的变换作用下得到点(3 , 2)的平面上的点P的坐标.例3、(1)已知变换13x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡→=⎢⎥⎢⎥⎢'⎣⎦⎣⎦⎣ 42⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试将它写成坐标变换的形式; (2)已知变换x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦3x y y -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 试将它写成矩阵乘法的形式.四课堂练习：1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14= 2、设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡724k ，若AB =BA ，则k = .3、在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成 .4、已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-，则实数a 的值是五、课堂小结1.行矩阵和列矩阵的乘法规则2.二阶矩阵与列向量的乘法规则几何意义六、课外作业11页7、10、11。

课题：矩阵乘法的简单性质【学习任务】1．理解矩阵乘法不满足交换律．2．会验证矩阵的乘法满足结合律．3．从几何的角度理解矩阵的乘法不满足消去律．【课前预习】1.已知矩阵M，N，计算MN及NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度给予解释。

（1）1 00 -1,0 3 1 0M N⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）1 03 0,10 12M N⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

2.已知1 00 0,0 00 1M N⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求MN，NM，并从几何变换的角度给予解释。

3.计算：（1）1 00 10 2 2 0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）0 1 1 -20 11 00 1 1 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

【合作探究】例1：已知梯形ABCD，A（0，0），B（3，0），C（2，2），D（1，2），变换T1对应的矩阵 1 00 2P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，变换T 2对应的矩阵 2 00 1Q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算PQ ，QP ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释。

例2：（1）求证：0 b 0 1 0 1 0 0 1 00 10 c c b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）若0ad ≠，求证： 1 0 1 0 0 1 0 1 0 10 10 1-0 1b a b a a c bc c d d d ad ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦【自我检测】1.已知正方形ABCD ，A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，先将正方形绕原点顺时针旋转900再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变．试求：(1)连续两次变换所对应的变换矩阵M ；(2)点A ，B ，C ，D 所对应的向量在变换矩阵M 作用下所得到的结果；(3)在直角坐标系内画出两次变换后得到的图形，并验证(2)中的结果；(4)若先将正方形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变，再将所得图形绕原点顺时针旋转900，所得图形会是什么样?试画出示意图．2．设,a b R ∈，若矩阵 01 b a A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦把直线:270l x y +-=变换为另一直线 :9910l x y '+-=，试求,a b 的值。

江苏省铜山县高中数学2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.2 矩阵乘法的简单性质教案苏教版选修4-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省铜山县高中数学2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.2 矩阵乘法的简单性质教案苏教版选修4-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.3.2矩阵乘法的简单性质乘法的运算律:（1）交换律例1已知正方形ABCD,A （0,0），B （1， 0），C （1，1），D （0，1）变换T 1对应矩阵为M ＝01⎡⎢⎣-10⎤⎥⎦,变换T 2对应矩阵为N ＝10⎡⎢⎣ 00.5⎤⎥⎦对应的变换，计算MN,NM ，比较它们是否相同,并从几何变换的角度解释. -1-0.50.511.5-1.5-1-0.500.51 1.5系列1系列2系列3 -1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5系列1系列2系列3(2）结合律(AB ）C ＝A （BC ）（3）消去律例2已知：A=1⎡⎢⎣⎤⎥⎦,B＝1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦，C＝1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦，计算AB,AC。

【学习目标】了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求解方程组；会用矩阵的逆矩阵求解方程组【学习重点】二阶行列式【活动过程】活动一、情景引入。

关于x,y的二元一次方程组ax by mcx dy n+=⎧⎨+=⎩, 如何用矩阵的知识来解呢？活动二、构建数学。

1、二阶行列式:2:二阶矩阵与二阶行列式有什么不同？活动三、数学运用。

1、利用行列式解方程组2310 4560x yx y+-=⎧⎨+-=⎩2、利用行列式的方法求矩阵5173A⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵。

3、利用逆矩阵的知识求解2310 4560x yx y+-=⎧⎨+-=⎩4、试从几何变换的角度说明1322x yy⎧+=⎪⎨⎪=⎩解的存在性和唯一性【课后作业】1、从几何角度的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由：（1）10101020 ;(2);(3);(4)01010001 A B C D⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、求解矩阵AB 的逆矩阵1040(1);;10102A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1102(2);;0112A B ⎛-⎛⎫⎪== ⎪-⎪⎝⎭⎪⎭3、试用行列式和逆矩阵的方法，分别求解二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+04132y x y x4、设112,34A -⎛⎫= ⎪⎝⎭试求出A5、设21;32A X ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,1,2B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦试解方程AX=B6设可逆矩阵122;,737a b A a b a --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦的逆矩阵A 试求出。

§2.3.1矩阵乘法的概念教学目标：知识与技能：1.掌握二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义.2.能灵活运用矩阵乘法进行平面图形的变换 .3.了解初等变换及初等变换矩阵的含义.过程与方法：从实例中理解矩阵乘法的代数运算和几何意义，掌握运算规则，从几何角度验证乘法规则情感、态度与价值观：教学重点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义教学难点：二阶矩阵乘法法则及矩阵乘法的几何意义教学过程：一、问题情境:对向量xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦先做变换矩阵为N=1⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦的反射变换T1, 得到向量xy'⎡⎤⎢⎥'⎣⎦, 再对所得向量做变换矩阵为M=1⎡⎢⎣2⎤⎥⎦的伸压变换T2得到向量xy''⎡⎤⎢⎥''⎣⎦, 这两次变换能否用一个矩阵来表示?二、建构数学：1.矩阵乘法的乘法规则2.矩阵乘法的几何意义3.初等变换, 初等变换矩阵三、教学运用例1、(1)已知A=11221122⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, B=11221122⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦; 计算AB .(2)已知A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=12⎡⎢-⎣43⎤⎥⎦, 计算AB, BA .(3)已知A=1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 计算AB、AC .例2、已知A=1013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A2, A3 , A4 , 你能得到A n的结果吗? (n∈N*)例3、已知梯形ABCD, 其中A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(1 , 2) , D((1 , 2), 先将梯形作关于x轴的反射变换, 再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;(2)求点A , B , C , D在T M作用下所得到的结果;(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形, 并验证(2)中的结论.例4、已知A=cossinαα⎡⎢⎣sincosαα-⎤⎥⎦, B=cossinββ⎡⎢⎣sincosββ-⎤⎥⎦, 求AB, 并对其几何意义给予解释.四、课堂小结：五、课堂练习：练习: P46 1 , 2六、回顾反思：七、课外作业：1.计算:(1)411323-⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎣⎦⎣52-⎤⎥⎦(2)210431-⎡⎤⎡⎢⎥⎢--⎣⎦⎣21⎤⎥⎦(3)0.8150.210-⎡⎤⎡⎢⎥⎢-⎣⎦⎣5⎤⎥-⎦(4)1133211223⎡⎤-⎢⎥-⎡⎢⎥⎢⎣⎢⎥-⎢⎥⎣⎦41⎤⎥-⎦2.已知A=cossinθθ⎡⎢⎣sincosθθ-⎤⎥⎦, 求A2 , A3 , 你能得到A n的结果吗? (n∈N*) .3.计算0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦a bc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 并用文字描述二阶矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换方式.4.已知△ABC, 其中A(1 , 2), B(2 , 0), C(4 , -2), 先将三角形绕原点按顺时针旋转90°,再将所得图形的横坐标伸长为原来的3倍, 纵坐标不变.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ;(2)求点A , B , C在变换矩阵M作用下所得到的结果;(3)如果先将图形的横坐标伸长为原来的3倍, 再将所得图形绕原点顺时针旋转90°, 则连续两次变换所对应的变换矩阵M′是什么呢?5.设m , n∈k , 若矩阵A=2mn⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线l: x－5y+1=0变换成另一直线 l′: 2x+y+3=0, 试求出m , n的值.。

2．3.1 矩阵乘法的概念1．二阶矩阵乘法法那么：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 12b 21b 22＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×b 11＋a 12b 21a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22b 21a 21×b 12＋a 22×b 22. 2．矩阵乘法MN 的几何意义是对向量连续实施两次变换的复合变换．3．矩阵MN 对应的复合变换的顺序是先进行矩阵N 对应的变换，再进行矩阵M 对应的变换．[对应学生用书P23]二阶矩阵的乘法[例1] (1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 1313 13，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 13 －13－13 13，计算AB ； (2)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，计算AB ，BA ；并观察AB 与BA 相等吗？[思路点拨] 直接运用二阶矩阵的乘法法那么计算即可． [精解详析] (1)AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13×13＋13×－13 13×－13＋13×1313×13＋13×－1313×－13＋13×13 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0000.(2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－6 －8，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －43 －8. 观察可知，AB ≠BA .两个二阶矩阵乘法的结果还是一个二阶矩阵，进行矩阵乘法运算时，必须按矩阵乘法法那么依次进行．1．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－23，计算AB ，BA .解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－46；BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤18－26.2.(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1244，计算AB ，AC ；(2)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2，B 2. 解：(1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200.(2)A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12， B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.矩阵乘法的几何意义[例2] 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01.(1)假设对平面上的图形F 先实施T M 变换，再把所得的图形实施T N 变换，得到图形F ′，那么F 与F ′有什么关系？(2)计算NM ，假设对平面上的图形F 实施T NM 变换，得到图形F 0，那么F 与F 0什么关系？ (3)根据(1)(2)，说明由矩阵NM 确定的变换的几何意义．[思路点拨] 先由对称变换确定F 与F ′的关系，再通过计算NM 确定F 与F 0的关系，由上述关系即可说明由NM 确定的变换的几何意义．[精解详析] (1)变换T M 把平面上的图形F 变换成与F 关于x 轴对称的图形F 1，变换T N把平面上的图形F 1变换成与F 1关于y 轴对称的图形F ′，所以F 与F ′关于原点对称．(2)NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，变换T NM 是把平面上的图形F 变换成与F 关于原点对称的图形F 0.(3)由(1)(2)知，把平面上的图形F 先实施T M 变换，再把所得的图形实施T N 变换，与把平面上的图形F 实施T NM 的结果相同．这也就验证了矩阵乘法NM 的几何意义：“对图形连续实施两次变换(先T M 后T N )的复合变换〞的结论．矩阵MN 的几何意义是对向量连续实施的两次变换(先N 再M )的复合变换，进行复合变换时，一定要注意先后顺序，顺序不同，所得变换结果就可能不同．3．M 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013，试求M 2M 1并对其几何意义给予解释．解：M 2M 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 16. 矩阵M 1和M 2分别表示把平面上的点向x 轴垂直压缩为原来的12和13，利用M 1和M 2对平面上的点连续作两次变换即先压缩为原来的12，再压缩为13实际上连续完成这两个变换，变换的结果可以用一个变换来表示，即矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 16对应的变换． 4．矩形ABCD ，其中点A (0,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (0,1)，先将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y 轴的反射变换．(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；(2)求点A ，B ，C ，D 在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论．解：(1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，而关于y 轴的变换矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01，那么连续两次变换所对应的变换矩阵M 由矩阵乘法可得．M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 所以点A ，B ，C ，D 分别变换成点A ″(0,0)，B ″(0,2)，C ″(1,2)，D ″(1,0)． (3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T 1，再将所得图形作关于y 轴的轴反射变换T 2，所得结果与(2)一致，如下图．求曲线在复合变换后的解析式[例3] 试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 001.[思路点拨] 此题先求矩阵M 、N 的积，再利用矩阵变换求曲线y ＝sin x 在MN 变换下的解析式．[精解详析] MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 002，即在矩阵MN 变换下⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x2y ， 那么12y ′＝sin 2x ′，即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x .此类题目是对曲线进行两次或两次以上的变换，可先求出两次或两次以上的变换的复合变换，即先求矩阵M 、N 、…的积，再对曲线进行变换．5．圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002的线性变换，再将所得的图形绕原点逆时针旋转90°，求所得的曲线方程．解：绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，那么M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设A (x ，y )为圆C 上任意一点，在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(x ′，y ′)那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y x .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2y ，y ′＝x .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ′，y ＝－12x ′.又点A 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(y ′)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ′22＝1，即x ′24＋y ′2＝1.故所求曲线方程为x 24＋y 2＝1.6．曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 10对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1，某某数b 的值．解：从曲线C 1得到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0b 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0，在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，那么有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0 x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x ′，x 0＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1方程，得y ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b x ′2＝1，即曲线C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2x 2＋y 2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2＝14，故b ＝±1.[对应学生用书P25]1．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1213，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1012，分别计算AB 和BA .解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1213⎣⎢⎡⎦⎥⎤1012＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3446，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1213＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1238.2．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －16 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1428，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2346，求证：(1)AB ＝0；(2)AB ＝AC .证明：(1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －16 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤142 8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000＝0.(2)因为AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －16 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2346＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000＝0，所以AB ＝AC . 3．求使⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d 203成立的实数a ，b ，c ，d .解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 ac b 3c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d 203，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，ac ＝2，b ＝0，3c ＝3.∴a ＝2，b ＝0，c ＝1，d ＝2.4．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数．假设Aα＝Bα，求x ＋y 的值．解：由，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y . 因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.5．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12和N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 22－22 22. (1)计算MN ，NM ；(2)说明M ，N 所表示的几何变换，解释MN 、NM 的几何意义． 解：(1)MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－2222 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－246＋24， NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－2222⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－246＋24. (2)矩阵M 所表示的变换是：把坐标平面上的点绕原点逆时针旋转π3；矩阵N 所表示的变换是：把坐标平面上的点绕原点顺时针旋转π4(或逆时针旋转7π4)．矩阵MN 表示的变换是：把坐标平面上的点先绕原点顺时针旋转π4，再把该点绕原点逆时针旋转π3，即把点绕原点逆时针旋转π12；矩阵NM 表示的变换是：把坐标平面上的点先绕原点逆时针旋转π3，再把该点绕原点顺时针旋转π4，即把点绕原点逆时针旋转π12.故矩阵MN 和矩阵NM 所表示的变换是同一变换．6．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1，假设矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变为直线l ′，求直线l ′的方程．解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1202. 在直线l 上任取一点P (x ′，y ′)，经矩阵AB 变换为点Q (x ，y )，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 120 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′＋12y ′2y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋12y ′，y ＝2y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －14y ，y ′＝y2.代入x ′＋y ′－2＝0，得x －14y ＋y2－2＝0，所以直线l ′的方程为4x ＋y －8＝0.7．(某某高考)直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l ′：x＋by ＝1.(1)某某数a ，b 的值；(2)假设点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意一点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y .又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．8．单位正方形OABC ，其中O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，先将正方形作压缩变换，对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.(1)求连续两次变换所对应的矩阵M ；(2)矩阵M 对应的变换把正方形OABC 变成了什么图形？(3)在平面直角坐标系内画出两次变换对应的几何图形，并验证(2)中的结论．解：(1)设压缩变换对应的矩阵为Q ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，绕原点逆时针旋转90°的变换对应的矩阵为P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，那么M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0. (2)因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤012， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0，所以点O ，A ，B ，C 分别被变换到点O ″(0,0)，A ″⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，B ″⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，C ″(－1,0)，即矩阵M 对应的变换把正方形OABC 变成了矩形O ″A ″B ″C ″.(3)从几何变换的角度可以发现，上述变换可由如下图的几何变换得到，由此可以验证与第(2)问的结果是一致的．word 11 / 11。