复合函数问题

复合函数一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A⊇B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：设函数f x()的定义域为D，即x D∈，所以f的作用范围为D，又f对g x()作用，作用范围不变，所以D∈，E(，解得x Eg∈x)为[]f g x()的定义域。

例1、⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；⑶已知定义域是，求定义域．点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：解：⑴函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．函数的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]．∴，∴，即，∴函数的定义域[0，]．⑵函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定义域是[-3，1]．点评：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数的值域。

⑶函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域∴∴∴∴的定义域是[1，）．例2．已知函数定义域是（a,b），求的定义域．解：由题，，，当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为．说明：①已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。

实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。

通过解不等式求得的范围，即为的定义域。

②已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。

实际上是已知直接变量的取值范围，即。

先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。

函数的基本性质与复合函数问题解析函数是数学中的重要概念，在数学和应用领域中广泛应用。

了解函数的基本性质以及如何解析复合函数问题对深入理解数学的应用至关重要。

本文将从函数的定义、性质以及复合函数问题解析三个方面进行讨论。

首先，我们需要理解函数的基本定义。

函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。

通常，我们用f(x)表示函数，其中x是输入变量，而f(x)是输出变量。

函数的定义域是所有可能的输入值的集合，而值域是所有可能的输出值的集合。

其次，函数具有一些基本性质。

首先是单值性，即函数的每个输入只能对应一个输出。

其次是定义域和值域的关系，定义域内的每一个元素都有对应的输出值。

再次是奇偶性，根据函数的图像是否对称于y轴可以确定函数是奇函数还是偶函数。

最后是周期性，即函数图像在某一区间内重复出现。

对于复合函数问题，我们需要理解如何解析和求解。

复合函数是由多个函数组合而成的新函数。

当两个函数相互关联时，我们可以通过复合函数的方式来表示这种关系。

例如，如果有函数f(x)和g(x)，那么它们的复合函数可以表示为f(g(x))或g(f(x))。

在求解复合函数时，我们将内部函数的输出作为外部函数的输入。

解析复合函数问题有几种常用的方法。

第一种方法是通过代数计算。

在这种方法中，我们将内部函数的输出代入外部函数中，进行代数运算，最终得到复合函数的解析式。

第二种方法是通过图像进行分析。

我们可以绘制内部函数和外部函数的图像，然后将内部函数的图像代入外部函数的图像，观察得到的复合函数的图像。

在解析复合函数问题时，还需要注意一些常见的问题。

首先是复合函数的定义域问题。

当两个函数复合时，我们需要确保内部函数的输出在外部函数的定义域内。

如果不在定义域内，那么复合函数在这些点上是没有定义的。

其次是复合函数的性质问题。

我们可以利用函数的性质，如单调性、奇偶性和周期性等，来分析复合函数的特点。

最后是复合函数的求导问题。

复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：题型一、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数)(x f 的定义域为（0，1），则函数)1(+x f 的定义域为__________。

解：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且题型二、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_____。

复合函数复习题复合函数复习题复合函数是数学中的一个重要概念，它在数学分析、微积分等领域中有着广泛的应用。

本文将通过一些复合函数的复习题来帮助读者巩固和加深对复合函数的理解。

题目一：设函数f(x)=2x+3，g(x)=x^2-1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。

解答：首先计算f(g(x))，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))=2(g(x))+3=2(x^2-1)+3=2x^2-2+3=2x^2+1。

接下来计算g(f(x))，将f(x)代入g(x)中得到g(f(x))=(f(x))^2-1=(2x+3)^2-1=4x^2+12x+9-1=4x^2+12x+8。

题目二：设函数f(x)=sin(x)，g(x)=cos(x)，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。

解答：首先计算f(g(x))，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))=sin(g(x))=sin(cos(x))。

接下来计算g(f(x))，将f(x)代入g(x)中得到g(f(x))=cos(f(x))=cos(sin(x))。

题目三：设函数f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。

解答：首先计算f(g(x))，将g(x)代入f(x)中得到f(g(x))=e^(g(x))=e^(ln(x))=x。

接下来计算g(f(x))，将f(x)代入g(x)中得到g(f(x))=ln(f(x))=ln(e^x)=x。

通过以上的题目，我们可以看出，复合函数的计算方法就是将内层函数的结果代入外层函数中。

在计算过程中，需要注意函数的定义域和值域，以避免出现无定义或者不符合实际的结果。

除了上述的题目，还可以通过一些实际问题来深入理解复合函数的概念。

例如，假设有一个汽车在以恒定的速度行驶，速度为v，时间为t，我们可以定义一个函数f(t)=vt来表示汽车行驶的距离。

现在假设汽车的速度是随时间变化的，速度函数是g(t)=2t+3，我们可以求出复合函数f(g(t))来表示汽车行驶的距离与时间的关系。

一、函数概念1. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求f(g(x))。

2. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求f(g(2))。

3. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求f(h(3))。

4. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求f(1)。

5. 设f(x) = 5x 2，g(x) = f(x^2)，求g(4)。

二、复合函数的求值6. 若f(x) = x^3，g(x) = f(x + 1)，求g(2)。

7. 设h(x) = 4x^2 1，f(x) = h(x 1)，求f(3)。

8. 若g(x) = 2x + 5，f(x) = g(x^2)，求f(1)。

9. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求f(2)。

10. 若g(x) = 3x 2，f(x) = g(x^3)，求f(2)。

三、复合函数的求导11. 设f(x) = x^2 + 1，g(x) = 2x 3，求(f ∘ g)'(x)。

12. 若f(x) = 3x + 4，g(x) = x^2 5，求(g ∘ f)'(2)。

13. 设h(x) = x 2，f(x) = h(x) + 1，求(f ∘ h)'(3)。

14. 若g(x) = 2x 1，f(x) = g(x^2)，求(f ∘ g)'(1)。

15. 设h(x) = x^2 + 3x + 2，f(x) = h(x + 1)，求(f ∘h)'(x)。

四、复合函数的极值16. 设f(x) = x^3 3x^2 + 4x 1，求f(g(x))的极值点。

17. 若f(x) = 2x^2 4x + 3，g(x) = x 1，求f(g(x))的极值。

18. 设h(x) = x^2 + 2x + 1，f(x) = h(x 1)，求f(h(x))的极值点。

复合函数应用题在复合函数应用题中，我们需要考虑如何有效地运用函数的复合性质来解决问题。

复合函数是指一个函数的输入值是另一个函数的输出值，通过组合这两个函数可以得到一个新的函数。

在实际问题中，我们经常会遇到需要使用复合函数的情况，下面将通过几个例子来说明如何应用复合函数解决实际问题。

例题一：某人每个月工资为1000元，每个月的花销为其工资的30%，每年的收入为工资-花销。

求该人一年能存下多少钱？解：我们可以将该问题建立成一个复合函数的问题。

设x为月工资，则花销函数为f(x)=0.3x，收入为g(x)=x-f(x)。

将这两个函数进行复合得到h(x)=g(f(x))=(1-0.3)x=0.7x。

因此，该人一年能存下的钱为0.7*1000*12=8400元。

例题二：某商品原价为200元，商家打7折促销，顾客拿到一张优惠券再减20元，求顾客最终需要支付的金额。

解：同样，我们可以构建一个复合函数来解决这个问题。

设原价为x元，则折扣价为f(x)=0.7x，优惠券减价为g(x)=x-20。

最终顾客需要支付的金额为h(x)=g(f(x))=0.7x-20。

代入x=200，得到顾客最终需要支付的金额为0.7*200-20=140元。

通过以上例题，我们可以看出复合函数在实际问题中的应用是十分灵活多样的。

只要我们能够准确地建立函数之间的关系，并灵活运用复合函数的性质，就能够轻松解决各种复杂的应用题。

复合函数不仅可以帮助我们简化问题，还可以提高问题的解决效率，是数学中一个非常重要且有用的概念。

希望通过这些实例，大家能够更好地掌握复合函数的应用技巧，提升解题能力。

复合函数的相关问题下面就将复合函数的相关问题归类总结，供参考。

一、定义对于函数y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A ，如果x ∈A 时u=g(x)的值域C 与函数y=f(u)的定义域B 的交集非空，即C ∩B ≠φ，那么就说y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A 可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u ∈B 与u=g(x) x ∈A 的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数。

比如，20)y u u x ≥=-与(x ∈R)的复合函数是0)y x ==。

∵u=－x 2≤0与u ≥0的交集为{0}，∴二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u ≥0，也不是x ∈R ，而是x=0。

也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）。

由定义知道2(0)1()y u u u x x R =≥=--∈与就不能复合成f(g(x))。

二、复合函数的定义域由复合函数的定义知道，复合后的函数定义域受两方面的制约：法则f 制约g(x)的值域，从而制约x 的取值范围，法则g 制约x 的取值范围。

因此在求复合函数的定义域时二者都需考虑。

见的题型是知道内函数的解析式和外函数的定义域，求复合函数的定义域。

例 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x 与f(2x －1)中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。

）解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1，∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。

函数专题（复合函数的零点问题）一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为 ． 【答案】4【分析】由题知2log 2x =，即求.【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，也即()22log log 10x −=的解.()22log log 1x =，即2log 2x = 解得4x =，即函数()g x 的零点为4． 故答案为：4 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 .【答案】a ≤【分析】对()f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f (a )≥－2，再对a 的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当()0f a <时，f (f (a ))≤2即为2()()2f a f a +≤，()()[1][2]0f a f a −+≤， 解得()21f a −≤≤，所以()20f a −≤<；当()0f a ≥时，f (f (a ))≤2即为2()2f a −≤，因为2()2f a ≥−恒成立，所以()0f a ≥满足题意.所以f (a )≥－2，则202a a a <⎧⎨+≥−⎩或22a a ≥⎧⎨−≥−⎩，解得a ≤故答案为：a ≤【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题. 2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为 ．【答案】14322−−−，，， 【分析】由题可知求()()1f g x =的解，再利用分段函数求方程的解即可. 【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解． 由方程②可得320t t −=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x −−−=解得4x =−或2x =−；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x −−−=，解得3x =−．综上，函数()h x 的零点为14322−−−，，，，共四个零点． 故答案为：14322−−−，，，. 3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形； 另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+， D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，【答案】A【分析】由题可得2e x x a x +−=，再利用函数的单调性即求.【详解】显然()f x =于是()()00f f y y =等价于()00f y y =，即00y =≥， 又00sin 1y x =≤，故001y ≤≤，从而0200e y a y y =+−，令()2e x g x x x =+−， 则()()'e 12''e 20x xg x x g x =+−=−=，，令()''0g x =，则ln2x =，可知当[]0ln2x ∈，时，()'g x 单调递减，当[]ln21x ∈，时，()'g x 单调递增， 从而()()''ln232ln20g x g ≥=−>， 故()g x 在[]01，上单调递增， 从而()()][011e a g g ⎡⎤∈=⎣⎦，，. 故选：A ．4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +【答案】B【详解】试题分析：设0x 为方程的 ()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦的一个根，∴00[()]f g x x =，∴{}00()[()]g x g f g x =，再令0()t g x =，故有 [()]t g f t =，从而可知方程[()]g f x x =至少有一个实数根 t ，A ，C ，D 选项中的函数均符合条件，而B 选项：215x x x ++=无解，故选B ． 【点睛】本题考查的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦进行等价变形，可以得到 [()]g f x x =至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B ． 5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}【答案】D【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mf x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=−对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =−对称．而选项D 中41616422++≠.故选D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于1()f x x =或2()f x x =，按照12x x <、12x x >分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 为函数()f x 的极值点， 所以2()320f x x ax b '=++=有两解12,x x ，所以方程()()()232f x af x +0b +=等价于1()f x x =或2()f x x =，当12x x <时，则1x 为函数()f x 的极大值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极小值点，画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；当12x x >时，则1x 为函数()f x 的极小值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极大值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；综上，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根. 故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.6.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =的解集为 ．【答案】{}416，． 【分析】由题可求()122log f x x =−，再利用数形结合即求.【详解】∵定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 令()12log f x x c +=，则()3f c =，在上式中令x c =，则()1122log log 3f c c c c c +==−，，解得2c =，故()122log f x x =−，由()2f x =122log 2x −=2log x =在同一坐标系中作出函数2log y x =和y可知这两个图像有2个交点，即()42，和()164，，则方程()2f x ={}416，． 故答案为：{}416，. 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xx f t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围．【答案】104t −<<．【分析】令21xm −=，由题得()232410m t m t −+++=，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．【详解】令21xm −=，则()430f m t m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，即14230m t m m ⎛⎫+−+−= ⎪⎝⎭，去分母得：()232410m t m t −+++=，此方程最多有两个根，由函数21xm =−图像可知，方程()232410m t m t −+++=的两根必须有一根m 1≥，另一根01m <<，才能保证原方程有三根，设()()23241g m m t m t =−+++，因此由根的分布知识得：()()041011(32)410g t g t t ⎧=+>⎪⎨=−+++<⎪⎩或()()11(32)410041032012g t t g t t ⎧⎪=−+++=⎪=+>⎨⎪+⎪<<⎩，，，解得：104t −<<．7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【分析】结合函数的图象可知1102a ++=，进而可得()1f x =或()12f x =，即求. 【详解】作函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，的图象如图所示，则由函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点知1102a ++=，解得32a =−．解()()231022f x f x −+=得()1f x =或()12f x =．若()1f x =，则2x =或3x =或1x =； 若()12f x =，则0x =或4x =． 故222221234530x x x x x ++++=.故选：C ． 同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为 ．【答案】(]01，． 【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =， 则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t >时，有唯一的x 与之对应；当1t ≤时，有两个不同的x 与之对应． 由方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x 知，需要方程②有两个不同的t ，且一个1t >，一个1t ≤，结合图象可知，当(]01a ∈，时，满足一个(]10t ∈−，，一个(]12t ∈，，符合要求， 综上，实数a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01，12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(]23，． 【分析】利用数形结合即求.【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()g f x a =的解， 令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =和直线y t =的图象如图所示． 由图可知，当1t >−时，有两个不同的x 与之对应；当1t =−时，有一个x 与之对应，当1t <−时，没有x 与之对应．由方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有六个不同的x 解知，需要方程②有三个不同的t ，且都大于1−，作出函数()y g t =和直线y a =的图象如图所示，由图可知当(]23a ∈，时满足要求， 综上，实数a 的取值范围为(]23，． 故答案为：(]23，13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3 B ．1或3 C ．4或6 D ．3或4或6【答案】A【详解】()()()()'12,xf x x x e f x =−+∴在(),2−∞−和()1,+∞上单增，()2,1−上单减，又当x →−∞时，()0,f x x →→+∞时，()f x →+∞故()f x 的图象大致为：令()f x t =，则方程250t mt e −−=必有两个根，12,t t 且125t t e=−，不仿设120t t << ，当1t e=−时，恰有225t e −=，此时()1f x t =，有1个根，()2f x t =，有2个根，当1t e <−时必有2205t e −<<，此时()1f x t =无根，()2f x t =有3个根，当10e t −<<时必有225t e −>，此时()1f x t =有2个根，()2f x t =，有1个根，综上，对任意m R ∈，方程均有3个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .14．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象15．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ． 【答案】【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设()2,2210f x t t bt =++=，要使得有8个零点，就是()f x t =有4个解，由图象知()f x t =，(0,1)t ∈内有4个解． 二次方程22210t bt ++=在内有两个不等的实数根，故有故填16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围． 【答案】（3，+∞）．【分析】令函数()y f x =的零点为m ，即f （m ）＝0，则由对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ．可得f [f （x ）]＝x ，进而x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．【详解】令函数y ＝f （x ）的零点为m ，即f （m ）＝0， ∵对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ． 则f [f （n ）]＝n 恒成立， 即f [f （x ）]＝x ，若关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根， 即|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，当0＜a ＜1时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当1＜a ＜3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有一个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有一个不同的根，不满足条件； 当a ＝3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当a ＞3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有三个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，满足条件； 综上所述，实数a 的取值范围是（3，+∞）.17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>【答案】D【详解】试题分析：当2x ≠时，()1()0,2f x x =∈+∞−且关于y 轴对称， 因为方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解， 所以当时，，必为方程的一个解，代入方程得，即选项B 正确；因为()()131f f ==，所以，所以选项A 、C 正确，而选项D 错． 故正确答案选D ．。

复合函数问题一、复合函数定义：设y=f<u>的定义域为A,u=g<x>的值域为B,假如A ⊇B,如此y 关于x 函数的y=f ［g<x>］叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：<1>、f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D,即x D ∈,所以f 的作用X 围为D,又f 对g x ()作用,作用X 围不变,所以D x g ∈)(,解得x E ∈,E 为[]f g x ()的定义域.例1.设函数f u ()的定义域为〔0,1〕,如此函数f x (ln )的定义域为_____________. 解析：函数f u ()的定义域为〔0,1〕即u ∈()01，,所以f 的作用X 围为〔0,1〕 又f 对lnx 作用,作用X 围不变,所以01<<ln x 解得x e ∈()1，,故函数f x (ln )的定义域为〔1,e 〕例2. 假如函数f x x ()=+11,如此函数[]f f x ()的定义域为______________. 解析：先求f 的作用X 围,由f x x ()=+11,知x ≠-1即f 的作用X 围为{}x R x ∈≠-|1,又f 对f<x>作用所以f x R f x ()()∈≠-且1,即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111,解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 〔2〕、[]f g x ()的定义域,求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D,即x D ∈,由此得g x E ()∈,所以f 的作用X 围为E,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以x E E ∈，为f x ()的定义域.例3. f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，,如此函数f x ()的定义域为_________. 解析：f x ()32-的定义域为[]-12，,即[]x ∈-12，,由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用X 围为[]-15，,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以[]x ∈-15，即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. f x x x ()lg 22248-=-,如此函数f x ()的定义域为-------解析：先求f 的作用X 围,由f x x x ()lg 22248-=-,知x x 2280-> 解得x 244->,f 的作用X 围为()4，+∞,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以x ∈+∞()4，,即f x ()的定义域为()4，+∞〔3〕、[]f g x ()的定义域,求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D,即x D ∈,由此得g x E ()∈,f 的作用X 围为E,又f 对h x ()作用,作用X 围不变,所以h x E ()∈,解得x F ∈,F 为[]f h x ()的定义域.例5. 假如函数f x()2的定义域为[]-11，,如此f x (log )2的定义域为____________.解析：f x()2的定义域为[]-11，,即[]x ∈-11，,由此得2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，f 的作用X 围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥,又f 对log 2x 作用,所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，,解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，评注：函数定义域是自变量x 的取值X 围〔用集合或区间表示〕f 对谁作用,如此谁的X 围是f 的作用X 围,f 的作用对象可以变,但f 的作用X 围不会变.利用这种理念求此类定义域问题会有"得来全不费功夫〞的感觉,值得大家探讨.三、复合函数单调性问题〔1〕引理证明函数))((x g f y =.假如)(x g u =在区间b a ,(〕上是减函数,其值域为<c,d>,又函数)(u f y =在区间<c,d>上是减函数,那么,原复合函数))((x g f y =在区间b a ,(〕上是增函数.证明：在区间b a ,(〕内任取两个数21,x x ,使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(〕上是减函数,所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间<c,d>上是减函数,所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <, 故函数))((x g f y =在区间b a ,(〕上是增函数. 〔2〕．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定.为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为："同向得增,异向得减〞或"同增异减〞. 〔3〕、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =. ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ假如两个函数在对应的区间上的单调性一样〔即都是增函数,或都是减函数〕,如此复合后的函数))((x g f y =为增函数；假如两个函数在对应的区间上的单调性相异〔即一个是增函数,而另一个是减函数〕,如此复合后的函数))((x g f y =为减函数.〔4〕例题演练例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间,并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 如此---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为如此当1>a 时,假如1>x ,∵1232--=x x u 为增函数,∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 假如31-<x ,∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数.当10<<a 时,假如1>x ,如此)123(log )(2--=x x x f a 为减函数,假如31-<x ,如此)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.例3、.y=a log <2-xa >在［0,1］上是x 的减函数,求a 的取值X 围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时,函数t=2-xa >0是减函数由y=a log <2-xa >在［0,1］上x 的减函数,知y=a log t 是增函数, ∴a ＞1由x ∈［0,1］时,2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2当0<a<1时,函数t=2-xa >0是增函数由y=a log <2-xa >在［0,1］上x 的减函数,知y=a log t 是减函数, ∴0<a<1由x ∈［0,1］时,2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述,0<a<1或1＜a ＜2例4、函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f 〔a 为负整数〕的图象经过点R m m ∈-),0,2(,设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数,且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论. ［解析］由0)2(=-m f ,得02)3(2=-+--a m a am , 其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a , 解得.37213721+≤≤-a ∵a 为负整数,∴.1-=a∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ,即.1)(2+-=x x f 242221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==, ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F 假设存在实数)0(<p p ,使得)(x F 满足条件,设21x x <,∴].12)()[()()(2221222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ,当)3,(,21--∞∈x x 时,)(x F 为减函数,∴0)()(21>-x F x F ,∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴182221>+x x , ∴11612)(2221-->-++-p p x x p ,∴.0116≥--p ①当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F∵02221>-x x ,∴11612)(2221--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②由①、②可知161-=p ,故存在.161-=p 一．指数函数与对数函数．同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数；〔二〕主要方法：1．解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论； 3．比拟几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． 〔三〕例题分析：例1．〔1〕假如21a b a >>>,如此log bba,log b a ,log a b 从小到大依次为； 〔2〕假如235x y z ==,且x ,y ,z 都是正数,如此2x ,3y ,5z 从小到大依次为； 〔3〕设0x >,且1x x a b <<〔0a >,0b >〕,如此a 与b 的大小关系是〔〕 〔A 〕1b a <<〔B 〕1a b <<〔C 〕1b a <<〔D 〕1a b <<解：〔1〕由21a b a >>>得b a a <,故log b ba<log b a 1<<log a b ．〔2〕令235x y z t ===,如此1t >,lg lg 2t x =,lg lg 3t y =,lg lg 5tz =,∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅,∴23x y >； 同理可得：250x z -<,∴25x z <,∴325y x z <<．〔3〕取1x =,知选〔B 〕．例2．函数2()1x x f x a x -=++(1)a >,求证：〔1〕函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；〔2〕方程()0f x =没有负数根． 证明：〔1〕设121x x -<<,如此1212121222()()11xx x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++,∵121x x -<<,∴110x +>,210x +>,120x x -<,∴12123()0(1)(1)x x x x -<++； ∵121x x -<<,且1a >,∴12x xa a <,∴120x x a a -<,∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； 〔2〕假设0x 是方程()0f x =的负数根,且01x ≠-,如此000201xx a x -+=+,即00000023(1)31111x x x ax x x --+===-+++, ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121x ->+,而由1a >知01x a <, ∴①式不成立；当01x <-时,010x +<,∴0301x <+,∴03111x -<-+,而00x a >, ∴①式不成立．综上所述,方程()0f x =没有负数根．例3．函数()log (1)xa f x a =-〔0a >且1a ≠〕．求证：〔1〕函数()f x 的图象在y 轴的一侧；〔2〕函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．证明：〔1〕由10x a ->得：1x a >,∴当1a >时,0x >,即函数()f x 的定义域为(0,)+∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧； 当01a <<时,0x <,即函数()f x 的定义域为(,0)-∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧． ∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；〔2〕设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点,且12x x <,如此直线AB 的斜率1212y y k x x -=-,1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-,当1a >时,由〔1〕知120x x <<,∴121x x a a <<,∴12011x xa a <-<-,∴121011x xa a -<<-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >； 当01a <<时,由〔1〕知120x x <<,∴121x x a a >>,∴12110x xa a ->->, ∴12111x xa a ->-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．同步练习〔二〕同步练习：1、函数)x (f 的定义域为]1,0[,求函数)x (f 2的定义域.答案：]1,1[-2、函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-,求)x (f 的定义域. 答案：]9,3[-3、函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-,求|)1x 2(|f -的定义域.答案：)23,1()0,21(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg,如此⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为〔 〕A.()()4,00,4 -B.()()4,11,4 --C.()()2,11,2 --D.()()4,22,4 --解：选C.由202x x +>-得,()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩,解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--5、函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ,求)0)(()()(>+=a ax f ax f x g 的定义域.［解析］由,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232,2321,2321,2321a x a ax a a x ax 〔1〕当1=a 时,定义域为}2321|{<<-x x ； 〔2〕当a a 2323>,即10<<a 时,有221a a ->-, 定义域为}232|{a x a x <<-；〔3〕当a a 2323<,即1>a 时,有221aa -<-,定义域为}2321|{ax a x <<-.故当1≥a 时,定义域为}2321|{a x a x <<-；当10<<a 时,定义域为}.232|{a x a x <<-［点评］对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进展讨论,要注意思考讨论字母的方法. 练习二〔5〕同步练习：1．函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕的单调递减区间是〔 〕A ．〔－∞,1〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,23〕D ．〔23,＋∞〕 解析：先求函数定义域为〔－o ,1〕∪〔2,＋∞〕,令t 〔x 〕＝x 2＋3x ＋2,函数t 〔x 〕在〔－∞,1〕上单调递减,在〔2,＋∞〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原如此,函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕在〔2,＋∞〕上单调递减．答案：B2找出如下函数的单调区间.〔1〕)1(232>=++-a a y x x ； 〔2〕.2322++-=x x y答案：<1>在]23,(-∞上是增函数,在),23[+∞上是减函数. 〔2〕单调增区间是]1,1[-,减区间是]3,1[.3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y xa 且的单调性.答案：,1>a 时),0(+∞为增函数,01>>a 时,)0,(-∞为增函数. 4．求函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的定义域、值域和单调区间．解：由μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4＞0,解得x ＞4或x ＜1,所以x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,当x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋,所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕是由y＝31log μ〔x 〕与μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4复合而成,函数y ＝31log μ〔x 〕在其定义域上是单调递减的,函数μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4在〔－∞,25〕上为减函数,在［25,＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域与复合函数单调性,y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的增区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间,即〔－∞,1〕；y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的减区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4为增函数的区间,即〔4,＋∞〕． 变式练习 一、选择题1．函数f 〔x 〕＝)1(log 21－x 的定义域是〔 〕A ．〔1,＋∞〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,2〕D ．]21(， 解析：要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,所以⎪⎩⎪⎨⎧≥0)1(log 0121－＞－x x 解得1＜x ≤2．答案：D2．函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕的单调递减区间是〔 〕A ．〔－∞,1〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,23〕D ．〔23,＋∞〕 解析：先求函数定义域为〔－o ,1〕∪〔2,＋∞〕,令t 〔x 〕＝x 2＋3x ＋2,函数t 〔x 〕在〔－∞,1〕上单调递减,在〔2,＋∞〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原如此,函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕在〔2,＋∞〕上单调递减． 答案：B3．假如2lg 〔x －2y 〕＝lg x ＋lg y ,如此xy的值为〔 〕 A ．4B ．1或41 C ．1或4D ．41错解：由2lg 〔x －2y 〕＝lg x ＋lg y ,得〔x －2y 〕2＝xy ,解得x ＝4y 或x ＝y ,如此有x y ＝41或y x ＝1．答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x －2y ＞0,所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D4．假如定义在区间〔－1,0〕内的函数f 〔x 〕＝a 2log 〔x ＋1〕满足f 〔x 〕＞0,如此a 的取值X 围为〔 〕 A ．〔0,21〕B ．〔0,1〕 C ．〔21,＋∞〕D ．〔0,＋∞〕 解析：因为x ∈〔－1,0〕,所以x ＋1∈〔0,1〕．当f 〔x 〕＞0时,根据图象只有0＜2a ＜l,解得0＜a ＜21〔根据本节思维过程中第四条提到的性质〕． 答案：A 5．函数y ＝lg 〔x－12－1〕的图象关于〔 〕 A ．y 轴对称B ．x 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝lg 〔x －12－1〕＝x x －＋11lg ,所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝xx －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题y ＝a log 〔2－ax 〕在［0,1］上是x 的减函数,如此a 的取值X 围是__________．解析：a ＞0且a ≠1⇒μ〔x 〕＝2－ax 是减函数,要使y ＝a log 〔2－ax 〕是减函数,如此a ＞1,又2－ax ＞0⇒a ＜x2〔0＜x ＜1〕⇒a ＜2,所以a ∈〔1,2〕． 答案：a ∈〔1,2〕7．函数f 〔x 〕的图象与g 〔x 〕＝〔31〕x的图象关于直线y ＝x 对称,如此f 〔2x －x 2〕的单调递减区间为______．解析：因为f 〔x 〕与g 〔x 〕互为反函数,所以f 〔x 〕＝31log x如此f 〔2x －x 2〕＝31log 〔2x －x 2〕,令μ〔x 〕＝2x －x 2＞0,解得0＜x ＜2．μ〔x 〕＝2x －x 2在〔0,1〕上单调递增,如此f ［μ〔x 〕］在〔0,1〕上单调递减； μ〔x 〕＝2x －x 2在〔1,2〕上单调递减,如此f ［μ〔x 〕］在［1,2〕上单调递增． 所以f 〔2x －x 2〕的单调递减区间为〔0,1〕． 答案：〔0,1〕8．定义域为R 的偶函数f 〔x 〕在［0,＋∞］上是增函数,且f 〔21〕＝0, 如此不等式f 〔l og 4x 〕＞0的解集是______．解析：因为f 〔x 〕是偶函数,所以f 〔－21〕＝f 〔21〕＝0．又f 〔x 〕在［0,＋∞］上是增函数,所以f 〔x 〕在〔－∞,0〕上是减函数．所以f 〔l og 4x 〕＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x ＜－21．解得x ＞2或0＜x ＜21．答案：x ＞2或0＜x ＜21三、解答题9．求函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的定义域、值域和单调区间．. 解：由μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4＞0,解得x ＞4或x ＜1,所以x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,当x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋,所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕是由y ＝31log μ〔x 〕与μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4复合而成,函数y ＝31log μ〔x 〕在其定义域上是单调递减的,函数μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4在〔－∞,25〕上为减函数,在［25,＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域与复合函数单调性,y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的增区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间,即〔－∞,1〕；y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的减区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4为增函数的区间,即〔4,＋∞〕． 10．设函数f 〔x 〕＝532＋x ＋xx 2323lg ＋－, 〔1〕求函数f 〔x 〕的定义域；〔2〕判断函数f 〔x 〕的单调性,并给出证明；〔3〕函数f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕,问函数y ＝f －1〔x 〕的图象与x 轴有交点?假如有,求出交点坐标；假如无交点,说明理由．解：〔1〕由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0,解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜23． 〔2〕令μ〔x 〕＝532＋x ,随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数； x x 2323＋－＝－1＋x236＋随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数． 又y ＝lg x 在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y ＝x x 2323lg ＋－是减函数,所以f 〔x 〕＝532＋x ＋x x 2323lg ＋－是减函数． 〔3〕因为直接求f 〔x 〕的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕与工轴的交点为〔x 0,0〕．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f 〔x 〕与y 轴的交点是〔0,x 0〕,将〔0,x 0〕代入f 〔x 〕,解得x 0＝52．所以函数y ＝f －1〔x 〕的图象与x 轴有交点,交点为〔52,0〕.。

高考数学经典常考题型第12专题复合函数零点问题第12专题训练：复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设 $y=f(t),t=g(x)$，且函数 $g(x)$ 的值域为 $f(t)$ 的定义域的子集，那么 $y$ 通过 $t$ 的联系而得到自变量 $x$ 的函数，称 $y$ 是 $x$ 的复合函数，记为$y=f(g(x))$。

2、复合函数函数值计算的步骤：求 $y=g(f(x))$ 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。

例如：已知$f(x)=2x,g(x)=x^2-x$，计算 $g(f(2))$。

解：$f(2)=2\times 2=4$，$\therefore g(f(2))=g(4)=12$3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 $x$ 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 $x$ 的值。

例如：已知 $f(x)=2x,g(x)=x^2-2x$，若 $g(f(x))=0$，求 $x$。

解：令 $t=f(x)$，则 $g(t)=0$，$\therefore t=0$ 或 $t=2$。

当 $t=0$ 时，$f(x)=0$，XXX；当 $t=2$ 时，$f(x)=2$，$\therefore x=1$。

综上所述，$x=1$。

由上例可得，要想求出 $g(f(x))=0$ 的根，则需要先将$f(x)$ 视为整体，先求出 $f(x)$ 的值，再求对应 $x$ 的解。

这种思路也用来解决复合函数零点问题。

先回顾零点的定义：4、函数的零点：设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若存在 $x\in D$，使得 $f(x)=0$，则称 $x$ 是 $f(x)$ 的一个零点。

5、复合函数零点问题的特点：考虑关于 $x$ 的方程$g(f(x))=0$ 的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析。

第一层是解关于 $f(x)$ 的方程，观察有几个 $f(x)$ 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 $f(x)$ 的值求出每一个$f(x)$ 被几个 $x$ 对应，将 $x$ 的个数汇总后即为$g(f(x))=0$ 的根的个数。

高一数学复合函数例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ，所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]x ∈-15，即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. 已知f x x x ()lg 22248-=-，则函数f x ()的定义域为______________。

复合函数的相关问题河南省上蔡一高王安寓复合函数我们已经多次接触，并且研究过复合函数的解析式和单调区间，但什么是复合函数，我们还不明白。

下面就将复合函数的相关问题归类总结，供同学们参考。

一、定义对于函数y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A，如果x∈A时u=g(x)的值域C 与函数y=f(u)的定义域B的交集非空，即C∩B≠φ，那么就说y=f(u) u∈B 与u=g(x) x∈A可以复合，称函数y=f(g(x))叫做y=f(u) u∈B与u=g(x) x∈A的复合函数，其中y=f(u)叫做外函数，u=g(x)叫做内函数。

比如，20)与(x∈R)的复合函数是=≥=-y u u x==。

0)y x≧u=－x2≤0与u≥0的交集为{0}，≨二者可以复合，但定义域发生了变化，复合后的函数的定义域既不是u≥0，也不是x∈R，而是x=0。

也就是说复合函数的定义域既受外函数的制约也受内函数的制约（主要受外函数的制约）。

由定义知道2与就不能复合成f(g(x))。

（为什=≥=--∈y u u x x R0)1()么？）二、复合函数的定义域由复合函数的定义知道，复合后的函数定义域受两方面的制约：法则f制约g(x)的值域，从而制约x的取值范围，法则g制约x的取值范围。

因此在求复合函数的定义域时二者都需考虑。

常见的题型是知道内函数的解析式和外函数的定义域，求复合函数的定义域。

例1 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，≨－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。

）解：≧f(x)的定义域为[－1，1]，≨－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，≨f(2x－1)的定义域为[0，1]。

复合函数题型及解法一、什么是复合函数在数学中，复合函数是由多个函数组合而成的新函数。

如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为(f o g)(x) = f(g(x))。

其中，o代表函数的复合运算符。

二、复合函数的求导法则2.1 复合函数的链式法则对于复合函数(f o g)(x)，它的导数可以通过链式法则求得。

链式法则的表达式为：(f o g)‘(x) = f’(g(x)) * g’(x)其中，f’表示函数f的导数，g’表示函数g的导数。

2.2 复合函数的一般法则对于复合函数(f o g)(x)，如果f(x)和g(x)都可导，则它的导数可以通过一般法则求得。

一般法则的表达式为：(f o g)‘(x) = f’(g(x)) * g’(x)三、复合函数的题型及解法3.1 题型一：求复合函数的导数3.1.1 题目描述已知函数f(x)和g(x)，求复合函数(f o g)(x)的导数。

3.1.2 解题思路根据复合函数的导数求解法则，可以通过以下步骤求解：1.求函数f(x)和g(x)的导数f’(x)和g’(x)；2.将f’(x)和g’(x)代入链式法则的表达式中，求得复合函数的导数。

3.1.3 解题示例已知函数f(x) = x^2和g(x) = sin(x)，求复合函数(f o g)(x)的导数。

解： 1. 求导数f’(x)和g’(x)： - f’(x) = 2x - g’(x) = cos(x) 2. 将f’(x)和g’(x)代入链式法则的表达式中，求得复合函数的导数： - (f og)‘(x) = f’(g(x)) * g’(x) = 2x * cos(x)3.2 题型二：求复合函数的值3.2.1 题目描述已知函数f(x)和g(x)，求复合函数(f o g)(x)在某个点x=a的值。

3.2.2 解题思路可以通过以下步骤求解：1.计算g(a)的值；2.将g(a)的值代入f(x)的表达式中，计算复合函数的值。

复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A, u=g(x)的值域为B,若A=B,则y关于X函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，U叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f (χ)的定义域，求f[g(χ) 1的定义域思路：设函数f (X)的定义域为D，即X ∙ D ,所以f的作用范围为D，又f对g(χ)作用，作用范围不变，所以g(x)∙ D ,解得X ∙E，E为f Ig(X)]的定义域。

例1.设函数f (u)的定义域为(O，1)，贝U函数f (Inx)的定义域为___________________ 。

解析：函数f (U)的定义域为(0，1)即u • (0，1),所以f的作用范围为(0，1)又f对InX作用，作用范围不变，所以0 ：：： In X ：：： 1解得X • (1, e),故函数f (In x)的定义域为(1, e)1例2.若函数f (X)= ----------- ,则函数f [f (x)]的定义域为 ___________________ 。

X +11解析：先求f的作用范围，由f (X) ,知X = -1X +1即f的作用范围为■ RlX= ,又f对f(χ)作用所以f (X) ∙R且f (x) - -1 ,即f If(X) 1中X应r d x≠-1X 式一1 L满足彳即｛1 ,解得x≠一1且x≠一2I f(X)H—1 —≠-1ιX +1故函数f If (X) 的定义域为CX R|x = -1且Xn -2(2)、已知f Ig(X)】的定义域，求f (x)的定义域思路：设f Ig(X) 1的定义域为D,即X ∙D ,由此得g(x) ∙E ,所以f的作用范围为E,又f对X作用，作用范围不变，所以X ∙E, E为f (X)的定义域。

例3.已知f (3 —2x)的定义域为X E[―1, 2 ],则函数f (x)的定义域为 _________________ 。

复合函数练习题复合函数是数学中的一个重要概念，它由两个或多个函数组成，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。

复合函数在解决实际问题中起到了重要的作用。

本文将通过一些练习题来帮助读者进一步理解和应用复合函数。

1. 练习题一设函数f(x) = 2x + 3， g(x) = x^2 - 1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。

解答：首先求f(g(x))：f(g(x)) = f(x^2 - 1) = 2(x^2 - 1) + 3 = 2x^2 - 2 + 3 = 2x^2 + 1然后求g(f(x))：g(f(x)) = g(2x + 3) = (2x + 3)^2 - 1 = 4x^2 + 12x + 9 - 1 = 4x^2 + 12x + 82. 练习题二设函数f(x) = e^x，g(x) = x^2，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。

解答：首先求f(g(x))：f(g(x)) = f(x^2) = e^(x^2)然后求g(f(x))：g(f(x)) = g(e^x) = (e^x)^2 = e^(2x)3. 练习题三设函数f(x) = sin(x)，g(x) = cos(x)，求复合函数f(g(x))和g(f(x))。

解答：首先求f(g(x))：f(g(x)) = f(cos(x)) = sin(cos(x))然后求g(f(x))：g(f(x)) = g(sin(x)) = cos(sin(x))通过以上练习题，我们可以看到复合函数的运算方式是先确定复合函数的形式，然后将内部函数的输出作为外部函数的输入。

这种运算方式在解决实际问题中非常常见。

当我们了解了复合函数的运算规律之后，就可以应用到更复杂的问题中。

通过将多个简单函数进行组合，可以得到更复杂的函数表达式，从而更好地描述问题的本质。

总结：复合函数是由两个或多个函数组成的函数，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。

复合函数的求解方式是先确定复合函数的形式，然后将内部函数的输出作为外部函数的输入。

离散数学复合函数f°g例题a到a摘要：1.离散数学中的复合函数概念2.复合函数的性质3.例题：复合函数f°g在集合a到a上的应用正文：离散数学中的复合函数是指将两个函数f和g组合在一起，形成一个新的函数。

复合函数的定义为：若f是从X到Y的函数，g是从Y到Z的函数，则复合函数f°g是从X到Z的函数。

具体地，对于X中的元素x，我们有f(x)在Y中的像，然后这个像在g的作用下得到Z中的元素f(x)°g(x)。

复合函数具有以下性质：1.结合律：对于任意的函数f、g和h，有(f°g)°h = f°(g°h)。

2.交换律：对于任意的函数f和g，有f°g = g°f。

3.单位元：对于任意的函数f，有id°f = f，其中id是恒等函数。

4.逆函数：若f是从X到Y的函数，g是从Y到X的函数，且f°g = id （恒等函数），则g°f是f的逆函数。

现在我们来看一个复合函数f°g在集合a到a上的例题。

题目：设f和g分别是集合a上的函数，且f(x)°g(x) = x。

解题步骤如下：1.首先，我们需要找到f(x)和g(x)的表达式。

由于f(x)°g(x) = x，我们可以设f(x) = a，g(x) = b，其中a和b是未知的函数。

2.接下来，我们需要求解a和b的关系。

将f(x)和g(x)的表达式代入f(x)°g(x) = x，得到a°b = x。

根据复合函数的性质，我们知道a°b = ab。

因此，我们有ab = x。

3.根据ab = x，我们可以得到b = x/a。

由此，我们知道g(x) = x/a。

4.将g(x) = x/a代入f(x)°g(x) = x，得到f(x)°(x/a) = x。

解这个方程，我们可以得到f(x) = a。

复合函数的设计与注意事项在编程和算法设计中，使用复合函数需要注意以下几个问题：1.函数的定义域和值域：在编写复合函数之前，需要确保各个函数的定义域和值域是正确的，并且满足复合函数的定义域要求。

否则，可能会导致函数计算错误或运行时错误。

2.函数的类型一致性：在复合函数中，各个函数的类型必须一致，例如都是实数函数或都是向量函数等。

否则，可能会导致类型不匹配的错误。

3.复合函数的顺序：在编写复合函数时，需要正确地确定函数的复合顺序。

即，必须先计算内层函数，再将结果传递给外层函数进行计算。

错误的复合顺序会导致计算结果不正确。

4.参数传递方式：在函数中，参数的传递方式（通过值传递、通过引用传递或通过指针传递）会影响函数的性能和行为。

需要根据实际情况选择合适的参数传递方式，以优化函数的性能和保证正确性。

5.避免过深的嵌套：在编写复合函数时，需要避免过深的嵌套层级。

过深的嵌套会导致代码难以理解和维护，同时也可能影响函数的性能。

6.注意优先级和结合律：对于一些具有优先级和结合律的运算符，如加减乘除和逻辑运算符等，需要注意它们的优先级和结合律，以保证计算的正确性。

7.注意返回值类型：在编写复合函数时，需要注意返回值的类型。

如果返回值的类型与预期不符，可能会导致类型不匹配的错误。

8.避免使用全局变量：全局变量可能会影响复合函数的正确性和性能，应该尽量避免使用全局变量。

9.可读性和可维护性：在编写复合函数时，需要注意代码的可读性和可维护性。

使用有意义的变量名和注释可以帮助其他开发人员更好地理解代码的意图和功能。

总之，在使用复合函数时，需要注意以上问题，以确保代码的正确性和性能。

同时，还需要根据实际情况进行调整和优化，以满足具体的需求。