近世代数试题
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近世代数测验题一、填空题(42分)1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ,且M M ~,则当 时, 也满足结合律;当 时, 也满足交换律。
2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ;3、设群G 中元素a 的阶是n ,n|m 则m a = ;4、设a 是任意一个循环群,若∞=||a ,则a 与 同构;若n a =||, 则a 与 同构;5、设G=a 为6阶循环群,则G 的生成元有 ;子群有 ;6、n 次对称群n S 的阶是 ;置换)24)(1378(=τ的阶是 ;7、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2314432114324321βα,,则=αβ ; 8、设)25)(136()235)(14(==τσ,,则=-1στσ ;9、设H 是有限群G 的一个子群,则|G|= ;10、任意一个群都同一个 同构。
二、证明题(24)1、 设G 为n 阶有限群,证明:G 中每个元素都满足方程e x n=。
2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件,并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。
3、 证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2,则G 必为交换群。
二、解答题(34)1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。
2、 写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H={(1),(23)}的所有左陪集和所有右陪集。
参考答案:一、填空题1、满足结合律; 满足交换律;2、11--a b ;3、e ;4、整数加群;n 次单位根群;5、5,a a ;{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ;6、n!;47、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23144321 8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、(双射)变换群;二、证明题1、已知||n G =,|a|=k,则k|n令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(即G 中每个元素都满足方程e x n =2、充要条件:H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,;证明:已知H 、K 为G 的子群,令Q 为H 与K 的交设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,H 是G 的子群,有H ab ∈K 是G 的子群,有K ab ∈Q ab ∈∴Ha Ka H a H a ∈∈∈∈∀-11,可知由定理且,则综上所述,H 也是G 的子群。
计算题1、在整数环Z 中,令I = {5k |k ∈Z } (1)确定商环Z /I 中的元素。
(2)Z /I 是不是一个整环?求Z /I 的特征。
2、确定3次对称群S 3的所有子群及所有正规子群。
3、求模6的剩余类环Z 6的所有理想。
4、在10次对称群S 10中,σ =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1968752431010987654321.(1)将σ表成一些不相交轮换之积。
(2)求| σ|。
5、设G = {2m 7n |m ,n ∈Q} 是关于普通数的乘法构成的群,f :2m 7n |→7n 是G到G 的一个同态映射,求f 的同态核Kerf 。
6、设(Z 16,+,·)是模16的剩余类环,求Z 16的所有理想,求Z 16的所有非零理想的交。
7、在7次对称群S 7中,将(12)(2347)-1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。
8、在高斯整数环Z[i]={a + bi |a , b ∈Z,i 2=-1}中,(1)求主理想(1+i ),(2)求)1(][i i Z +。
9、给出整数加群Z 的所有自同构。
10、设R=Z 4是模4的剩余类环,确定Z 4的所有理想。
11、设R=Z[i]={a + bi |a , b ∈Z ,i 2=-1}是高斯整数环,试求Z[i]的所有单位。
12、设G={ 2m 3n | m, n ∈Q}是关于通常数的乘法作成的群,令 f:2m 3n 2m (1)验证f 是G 到G 的同态映射, (2)确定Ker f 。
13、找出三次对称群3S 的所有子群;找出3S 关于子群H={(1),(12)}的右陪集分解。
14、在整数环Z 中,试求出所有包含30的极大理想。
15、求出模6的剩余类加群Z 6的所有自同构。
16、(10分)求模12的剩余类加群(Z 12,+)的所有自同构映射17、设Z[]i ={}1,,|2-=∈+iZ b a bi a 是高斯整数环,求Z []i 的商域。
近世代数试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 下列哪个选项不是群的性质?A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案:D2. 有限群的阶数为n,那么它的子群的个数至少为:A. nB. 1C. n-1D. n+1答案:B3. 以下哪个命题是正确的?A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案:A4. 群G的阶数为n,那么它的元素的阶数不可能是:A. 1B. nC. 2D. n+1答案:D5. 以下哪个不是环的性质?A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案:B二、填空题(每题4分,共20分)1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律,那么称S为________。
答案:半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案:格3. 一个环R中,如果对于任意的a,b∈R,都有a+b=b+a,则称R为________。
答案:交换环4. 一个环R中,如果对于任意的a,b∈R,都有ab=ba,则称R为________。
答案:交换环5. 一个群G中,如果存在一个元素a,使得对于任意的g∈G,都有ag=ga=e,则称a为G的________。
答案:单位元三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案:子群是群G的非空子集H,满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中,并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N,满足对于任意的g∈G和n∈N,都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案:群的同态是两个群G和H之间的函数f,满足对于任意的g1,g2∈G,都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态,并且是双射,即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案:在环R中,如果存在非零元素a和b,使得ab=0,则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子,则称R为无零因子环。
§1 第一章 根底知识1 判断题:1.1 设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
〔 〕1.2 A ×B = B ×A 〔 〕1.3 只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f。
〔 〕 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,那么ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
〔 〕1.6 设A 、B 、D 都是非空集合,那么B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
〔 〕1.7 在整数集Z 上,定义“ 〞:a b=ab(a,b ∈Z),那么“ 〞是Z 的一个二元运算。
〔 〕1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题:2.1 假设A={0,1} , 那么A ⨯A=__________________________________。
2.2 设A = {1,2},B = {a ,b},那么A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},那么A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 那么A ⨯A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,那么有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,那么()[]=-a f f 1 。
2.7 设A ={a 1, a 2,…a 8},那么A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合,| A |=| B |=3,那么共可定义 个从A 到B 的映射,其中有 个单射,有 个满射,有 个双射。
2.9 设A 是n 元集,B 是m 元集,那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c},那么A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e},那么A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系~叫做等价关系,如果~适合以下三个条件:_____________________________________________。
《近世代数》作业一.概念解释1.代数运算 2.群的第一定义 3.域的定义 4.满射 5.群的第二定义 6.理想7.单射 8.置换 9.除环 10.一一映射 11.群的指数 12.环的单位元二.判断题1.Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射,则),2,1(n i A i =不能相同。
2.在环R 到环R 的同态满射下,则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。
3.设N 为正整数集,并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈,那么N 对所给运算 能作成一个群。
4.假如一个集合A 的代数运算 适合交换率,那么在n a a a a 321里)(A a i ∈,元的次序可以交换。
5.在环R 到R 的同态满射下,R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。
6.环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是:1)若,,S b a ∈则S b a ∈-; 2),,S b a ∈,则S ab ∈。
7.若Φ是A 与A 间的一一映射,则1-Φ是A 与A 间的一一映射。
8.若ε是整环I 的一个元,且ε有逆元,则称ε是整环I 的一个单位。
9.设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射,如果σ,τ都是单射,则τσ是A 到C 的映射。
10.若对于代数运算 ,,A 与A 同态,那么若A 的代数运算 适合结合律,则A 的代数运算也适合结合律。
11.整环中一个不等于零的元a ,有真因子的冲要条件是bc a =。
12.设F 是任意一个域,*F 是F 的全体非零元素作成的裙,那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。
13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。
( )14. 设1H ,2H 均为群G 的子群,则21H H ⋃也为G 的子群。
( )15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。
( )三.证明题1. 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合,证明:对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
§1 第一章 基础知识1 判断题:1.1 设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
( )1.2 A ×B = B ×A ( )1.3 只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f。
( ) 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
( )1.6 设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
( )1.7 在整数集Z 上,定义“ ”:a b=ab(a,b ∈Z),则“ ”是Z 的一个二元运算。
( )1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题:2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1,2},B = {a ,b},则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A ={a 1, a 2,…a 8},则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合,| A |=| B |=3,则共可定义 个从A 到B 的映射,其中有 个单射,有 个满射,有 个双射。
2.9 设A 是n 元集,B 是m 元集,那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c},则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e},则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系~叫做等价关系,如果~适合下列三个条件:_____________________________________________。
近世代数测试试卷(满分100)姓名 学号 分数一、判断题(对的打√,错的打×,共30分,每小题2分)1.设G 是群,则群G 的任意两个子群的并仍是群G 的子群。
( )2. 一个群G 同它的每个一个商群G N同态; ( ) 3.一个子群的右陪集的个数和左陪集的个数一定相等; ( )4.一个有限群G 的任一个元a 的阶都是整除G 的阶; ( )5.整数加群Z 是个无限循环群; ( )6.S(M)双射变换群关于变换的乘法作成一个群; ( )7.仅有集合A 的元间的一个等价关系不一定能确定A 的一个分类; ( )8.所有一一变换不一定作成一个变换群; ( )9.设G 为整数群,则G 对运算b a b a ⋅=作成一个群; ( )10.A R =,A 的代数运算是普通乘法,则映射2x x →为A 的自同构映射; ( )11.一个集合的所有一一变换可以作成一个变换群; ( )12.整数加群Z 是个无限循环群; ( )13.群G 的不变子群N 的不变子群M 必是G 的不变子群; ( ) 14 n 次单位根乘群n U 是一个n 阶循环群; ( )15.A={所有有理数},A 对于普通加法来说可以自同构; ( )二、填空题(共30分,每小题2分)1. 无限循环群一定和 同构;2. n 次对称群n S 的任意子群,都叫做一个n 次 置换群 ;3.设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为 ;4. G 是一个群,假定G 和G 对于它们的乘法来说 ,则G 是一个群;5.任何一个群都同一个 同构;6.素数阶有限群G 的子群个数等于 ;7.一个群G 的一个不空有限子集H 作为G 的一个子群的充分而且必要条件是 ;8.一个群G 的一个子群N 的陪集所作成的群叫做 ;9. 设G 是p 阶群,(p 是素数),则G 的生成元有 个;10.一个群G 的一个子群H 的 的个数叫做H 在G 里的指数;11. 含有n 元素的任意集合共有 个双射变换;12.如果群G 可由一个元素a 生成,则称G 为由a 生成的一个 ;13.以集合A 的所有子集为元素的集合为A 的幂集,记为()P A ,若集合A 含有n 个元素,则()P A = ;14.M 为实数集,运算23a b a b =+ (满足或不满足)结合律;15.设群G 中元素a 的阶是n ,则k a n =⇔ ;三、解答题(共40分,每小题8分)1. 设{}{}{}=1,2,A B D ==奇,偶,验证()1,2=12→:奇是一个A B ⨯到D 的代数运算。
《近世代数》练习题及参考答案1.设A={a ,b ,c ,d}试写出集合A 的所有不同的等价关系。
2.证明::实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R),关于矩阵的加法构成一个交换群。
3.证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.4.设G=。
⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,a R a a a a a 证明:G 关于矩阵的乘法构成群。
5.证明:所有形如n m 32的有理数(m ,n ∈Z )的集合关于数的乘法构成群。
参考答案1. 设A= 试写出集合A 的所有不同的等价关系。
解2.证明::实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R),关于矩阵的加法构成一个交换群。
证:(1)显然,Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。
(2)∵矩阵的加法满足结合律,那么有结合律成立。
(3)∵矩阵的加法满足交换律,那么有交换律成立。
(4)零元是零矩阵。
∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A 。
(5)∀A ∈Mn(R),负元是-A 。
A+(-A)=(-A)+A=0。
∴(Mn(R),+)构成一个Abel 群。
3.证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.证:(1)由于E ∈On (R),∵On (R)非空。
(2 ) 任意A,B ∈On (R),有(AB )T=B T A T =B -1A -1=(AB) -1,∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。
(3) ∵矩阵的乘法满足结合律,那么有结合律成立。
(4)对任意A ∈On (R),有AE=EA=A .∴E 为On (R)的单位元。
(5)对任意A ∈On (R),存在A T ∈On (R),满足AA T =E=AA -1, A T A=E=A -1A .∴A T 为A 在On (R)中的逆元。
∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。
{}d c b a ,,,4.设G=。
§1 第一章 基础知识1 判断题:1.1 设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
( )1.2 A ×B = B ×A ( )1.3 只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f。
( ) 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
( )1.6 设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
( )1.7 在整数集Z 上,定义“ ”:a b=ab(a,b ∈Z),则“ ”是Z 的一个二元运算。
( )1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题:2.1 若A={0,1} , 则A ⨯A= __________________________________。
2.2 设A = {1,2},B = {a ,b},则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A ⨯A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A ={a 1, a 2,…a 8},则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合,| A |=| B |=3,则共可定义 个从A 到B 的映射,其中有 个单射,有 个满射,有 个双射。
2.9 设A 是n 元集,B 是m 元集,那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c},则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e},则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系~叫做等价关系,如果~适合下列三个条件:_____________________________________________。
《近世代数》试卷1(时间120分钟)二、判断题(对打“√”,错打“×”,每小题2分,共20分)1. ()循环群的子群是循环子群。
2. ()满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. ()存在一个4阶的非交换群。
4. ()素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. ()无零因子环的特征不可能是2001。
6. ()无零因子环的同态象无零因子。
7. ()模97的剩余类环Z97是域。
8. ()在一个环中,若左消去律成立,则消去律成立。
9. ()域是唯一分解整环。
10. ()整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题(共20分,第1、4、6小题各4分,其余每空2分)1. 设A、B是集合,| A |=3,| B |=2,则共可定义个从A到B的映射,其中有个单射,有个满射,有个双射。
2. 设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G=< a>是10阶循环群,则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R={[0], [1], ……, [11]}中,[5]+[10]=,[5]·[10]=,方程x2=[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环,因为它的元素α=在Z[√-3 ]中有两种本。
(共30分)1.设S3是3次对称群,a=(123)∈S3.(1)写出H=< a>的所有元素.(2)计算H的所有左陪集和所有右陪集.(3)判断H是否是S3的不变子群,并说明理由.2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中,求由2004,125生成的理想A=(2004,125)。
四、证明题(共30分)1.设G是一个阶为偶数的有限群,证明(1)G中阶大于2的元素的个数一定为偶数;(2)G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
近世代数练习题题库§1 第一章基础知识1 判断题:1.1 设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。
()1.2 A ×B = B ×A ()1.3 只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f。
() 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
()1.6 设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。
()1.7 在整数集Z 上,定义“”:ab=ab(a,b ∈Z),则“”是Z 的一个二元运算。
()1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题:2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。
2.2 设A = {1,2},B = {a ,b},则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=?A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a ff 1 。
2.7 设A ={a 1, a 2,…a 8},则A 上不同的二元运算共有个。
2.8 设A 、B 是集合,| A |=| B |=3,则共可定义个从A 到B 的映射,其中有个单射,有个满射,有个双射。
2.9 设A 是n 元集,B 是m 元集,那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c},则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e},则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系~叫做等价关系,如果~适合下列三个条件:_____________________________________________。
《近世代数》试卷1(时间120分钟)二、判断题(对打“√”,错打“×”,每小题2分,共20分)1. ()循环群的子群是循环子群。
2. ()满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. ()存在一个4阶的非交换群。
4. ()素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. ()无零因子环的特征不可能是2001。
6. ()无零因子环的同态象无零因子。
7. ()模97的剩余类环Z97是域。
8. ()在一个环中,若左消去律成立,则消去律成立。
9. ()域是唯一分解整环。
10. ()整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题(共20分,第1、4、6小题各4分,其余每空2分)1. 设A、B是集合,| A |=3,| B |=2,则共可定义个从A到B的映射,其中有个单射,有个满射,有个双射。
2. 设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G=< a>是10阶循环群,则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R={[0], [1], ……, [11]}中,[5]+[10]=,[5]·[10]=,方程x2=[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环,因为它的元素α=在Z[√-3 ]中有两种本。
(共30分)1.设S3是3次对称群,a=(123)∈S3.(1)写出H=< a>的所有元素.(2)计算H的所有左陪集和所有右陪集.(3)判断H是否是S3的不变子群,并说明理由.2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中,求由2004,125生成的理想A=(2004,125)。
四、证明题(共30分)1.设G是一个阶为偶数的有限群,证明(1)G中阶大于2的元素的个数一定为偶数;(2)G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
近世代数(含答案)近世代数一、单项选择题1、6阶有限群的任何一个子群一定不是( C )。
A .2阶 B .3阶 C .4阶 D .6阶2、设G 是群,G 有( C )个元素,则不能肯定G 是交换群。
A .4个B .5个C .6个D .7个3、下面的代数系统(,*)G 中,( D )不是群。
A .G 为整数集合,*为加法B .G 为偶数集合,*为加法C .G 为有理数集合,*为加法D .G 为有理数集合,*为乘法4、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( C )是子群。
A .{}aB .{},a eC .{}3,e aD .{}3,,e a a5、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( B )A .*a b a b =?B .{}*max ,a b a b =C .*2a b a b =+D .a b a b +=?二、填空题1、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于( 25 )。
2、一个有单位元的无零因子的(交换环)称为整环。
3、群的单位元是(唯一)的,每个元素的逆元素是(唯一)的。
4、一个子群H 的右、左陪集的个数(相等)。
5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的(特征)。
6、设群G 中元素a 的阶为m ,如果na e =,那么m 与n 存在整除关系为( |m n )。
7、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则1[()]ff a ?=( a )。
8、循环群的子群是(循环群)。
9、若{}2,5A =,{}1,0,2B =?,则A B ×=( {}(2,1),(2,0),(2,2),(5,1),(5,0),(5,2)?? )。
10、如果G 是一个含有15个元素的群,那么,对于a G ?∈,则元素a 的阶只可能是( 1,3,5,15 )。
三、问答题 1、什么是集合A 上的等价关系?举例说明。
【答案】设R 是某个集合上的一个二元关系。
一、选择题(每题2分,共16分)1、若(),G a orda n ==,()则下列说法正确得就是 2、假定φ就是A 与()A A A =ΦI 间得一一映射,A a ∈,则)]([1a φφ-与)]([1a -φφ分别为3、若G 就是群,,()18,a G ord a ∈=则8()ord a =4、指出下列那些运算就是二元运算5、设12,,,n A A A L 与D 都就是非空集合,而f 就是12n A A A ⨯⨯⨯L 到D 得一个映射,那么6、设o 就是正整数集合N +上得二元运算,其中max(,)a b a b =o ,那么o 在Z 中7、在群G 中,G b a ∈,,则方程b ax =与b ya =分别有唯一解为8、设H 就是群G 得子群,且G 有左陪集分类{,,,}H aH bH cH 、如果[:]6G H =,那么G =9、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 得积集合A ×B 中含有( )个元素。
10、设A =B =R(实数集),如果A 到B 得映射ϕ:x →x +2,∀x ∈R ,则ϕ就是从A 到B 得11、设Z 15就是以15为模得剩余类加群,那么,Z 15得子群共有( )个。
12、G 就是12阶得有限群,H 就是G 得子群,则H 得阶可能就是13、下面得集合与运算构成群得就是14、关于整环得叙述,下列正确得就是15、关于理想得叙述,下列不正确得就是16、整数环Z 中,可逆元得个数就是17、 设M 2(R)=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a a,b,c,d ∈R ,R 为实数域⎭⎬⎫按矩阵得加法与乘法构成R 上得二阶方阵环,那么这个方阵环就是18、 设Z 就是整数集,σ(a)=⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时当为偶数时当a ,21a a ,2a ,Z a ∈,则σ就是R 得 19、设A={所有实数x},A 得代数运算就是普通乘法,则以下映射作成A 到A 得一个子集 得同态满射得就是( )、20、设ο就是正整数集Z 上得二元运算,其中{}max ,a b a b =o (即取a 与b 中得最大者),那么ο在Z 中( )21、设3S ={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则3S 中与元(1 2 3)不能交换得元得个数就是( )22、设(),G o 为群,其中G 就是实数集,而乘法:a b a b k =++o o ,这里k 为G 中固定得常数。
《近世代数》练习题及答案1. B u A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现?解只有在A=B时才能出现。
证明如下:当A=B时,即有BA, A(Z B,若有' a e A而a £ B ,显然矛盾;若BuA,但B不是A的真子集,可知凡属于A的兀素不可能不属于B,故A=B2.A=(1, 2, 3, .... , 100},找一个AXA 到 A 的映射。
解S(a"2)= 1易证。
102都是AXA到A的映射。
3.在你为习题1所找的映射下,是不是A的每一个元都是AXA的一个元的象?解在0]下,有' A的元不是AX A的任何元的象;容易验证在啊下,A的每个元都是AXA的一个元的象。
4.A={所有实数}。
O (a, b) Ta+b=aOb这个代数运算适合不适合结合律?解这个代数运算不适合结合律。
(aOb) Oc=a+2b+2c, aO (bOc) =a+2b+4c(aOb) Oc#aO (bOc)除c=05.假定巾是A与A间的一个---- 映射,a是A的一个元。
厂[0(a)] = ?,如尸(«)] = ?解厂渺(a)] = a0[户(a)]未必有意义;当巾是A的一个一一变换时(/)-' [©(a)] =。
0[厂(a)] = a.6.假定A和,对于代数运算。
和:来说同态,云和云对于代数运算:和;来说同态, 证明A和云对于代数运算。
和;来说同态。
、〒S '• a — a表示A到屈勺同态满射iiE /Il —— ». _—,©2 :。
t。
表示A SU A的同态满射容易验证。
是A到葡满射a。
b T ONMa。
b)l =(/)2(a。
b) = a。
b所以6是A到工的关于代数运算:和;来说同态满射。
7.A={所有有理数},找一个A的对于普通加法来说的自同构(映射x<^x除外)证© : x —> 2x对于普通加法来说是A的一个同构,很容易验证。
一、 选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分) (从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是( )。
(A) {1,-1,i ,-i } (B) {1,-1} (C) {1,-1,i }2、设H 是群G的子群,a ,b ∈G,则aH = bH 的充要条件是( )。
(A) a -1b -1∈H (B) a -1b ∈H (C) ab -1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中,Z 6 的极大理想是( )。
(A) (2),(3) (B) (2) (C)(3)4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。
(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。
(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题(本题共5空,每空3分,共15分)(请将正确答案填入空格内)1、R 为整环,a ,b ∈R ,b |a ,则(b ) (a )。
2、F 是域,则[](())F x f x 是域当且仅当 。
3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中,规定等价关系~:A ~B ⇔秩(A )=秩(B ),则这个等价关系决定的等价类有________个。
4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。
5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。
三、判断题(本题共5小题,每小题2分,共10分) (请在你认为正确的题后括号内打“√”,错误的打“×”)1、设G 是群,∅≠H ,若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ,则H≤G .. ( )2、群G 中的元,a b ,()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。
( )3、商环6Z Z 是一个域。
( )4、设f 是群G 到群-G 的同态映射,若1()f H G -, 则H G 。
( )5、任意群都同构于一个变换群。
( )四、计算题(本题共2小题,每小题10分,共20分) (要求写出主要计算步骤及结果)1、找出6Z 的全部理想,并指出哪些是极大理想。
近世代数一、单项选择题1、若A={1,2,3,5},B={2,3,6,7},则B A ⋂=( )A 、{1,2,3,4}B 、{2,3,6,7}C 、{2,3}D 、{1,2,3,5,6,7}答案:C2、循环群与交换群关系正确的是( )A 、循环群是交换群B 、交换群是循环群C 、循环群不一定是交换群D 、以上都不对答案:A3、下列命题正确的是( )A 、n 次对换群n S 的阶为!nB 、整环一定是域C 、交换环一定是域D 、以上都不对答案:A4、关于陪集的命题中正确的是( )设H 是G 的子群,那么A 、对于,,bH aH ∀有φ=⋂bH aH 或bH aH = B 、H a H aH ∈⇔= C 、H b a bH aH ∈⇔=-1 D 、 以上都对答案:D5、设A=R (实数域), B=R+(正实数域) f :a→10a a ∈A 则 f是从A 到B 的( )A 、单射B 、满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射答案:D6、有限群中的每一个元素的阶都( )A 、有限B 、无限C 、为零D 、为1答案:A7、整环(域)的特征为( )A 、素数B 、无限C 、有限D 、或素数或无限答案:D8、若S 是半群,则( )A 、任意,,,S c b a ∈都有a(bc)=(ab)cB 、任意,,S b a ∈都有ab=baC 、必有单位元D 、任何元素必存在逆元答案:A9、在整环Z 中,6的真因子是( )A 、1,6±±B 、2,3±±C 、1,2±±D 、3,6±±答案:B10、偶数环的单位元个数为( )A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个答案:A11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射,那么( )A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换;C 、n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同;D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
《 近世代数基础 》
学年 第 学期
考试有关事项说明
考试日期:
考试用时:120分钟 考试地点: 考试形式:
一、填空题(每小题2分,共20分)
1、设集合A 是非空的, 规定: A b a b b a ∈∀=,, . 则“ ”是代数运算, 它 适合 结合律。
2、设G 是由集合S 的若干个变换组成的集合,且G 含有恒等变换,如果G 对于变换乘法是一个群,则G 由 由S 的所有一一变换
组成。
3、若A={a ,b ,c}的代数运算 适合结合律和交换律,试写出右边运算表中 未列出的结果 a b c b c a c a b
4、三次对称群S 3中,τ=(132)的逆元是(231) ,它的
阶是 3 。
5、剩余类加群Z 18中,[6]生成的子群([6])= {[0] [6] [12]} 。
6、设群
G ϕ
~G ,且G=(a )是循环群,则G 也是循环群,它的生成元是
o a b c a a b c b c a c
fai(a) 。
7、设R 是无零因子环,则R 的特征或是 无穷大 或是 素数 。
8. Cayley 定理: 任何一个群都同一个变换群同构 。
9.设N 为群G 的不变子群, G
g gN g ∈∀→,:ϕ 是 G 到G/N 的自然
映射 则 =
ϕKer {x:x 属于G ,fai (x )=G/N 的单位元
_} .
10.假设 F 是一个四个元素的域, 则 F 的特征是: 2 .
二、单选题(每小题2分,共20分)
1、设R 是实数集,R 的代数运算是普通乘法,以下映射中是R 到R
的同态满射的是( B )。
A 、x →3x ; B 、x →x 3 ; C 、x →x+2 D 、x →-x
2、下列各集合对给定的代数运算做成一个交换群的是( A D )。
A 、 实数集R ,对普通乘法;
B 、 非负实数集,对普通加法;
C 、G ={ ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛d c
b a
| a ,b ,c ,d ∈R ,
≠d
c
b a },对矩阵乘法;
D 、U 4 ={ 1,-1,i ,-i| i 2 = -1 },对普通乘法。
3、下列命题中,不正确的是( A )。
A 、 集A 的变换群是交换群;
B 、群G 与它的每一个商群同态;
C、每一个群都与一个变换群同构;
D. 阶为素数p的群必是循环群;
4、下列命题中,不正确的是()。
A、若环R有单位元1,则R =(1);
B、每一个环至少有一个主理想;
C、A ={ 4 r| rєz }是Z的一个理想;
D. Z4={ [0],[1],[2],[3] }是整数环Z的一个理想。
5.设ϕ是有理数域,在Q上定义乘法 : ,
ϕ则
+
a-
∈
b
=
∀
,ab
a
b
,
a
b
( A )是(Q, )的单位元。
A、0
B、1
C、-1
D、2
6.设R是一个环,则下列断言不正确的是( D )。
A、R没有零因子,则R中消去律成立;
B、R中消去律成立,则R中没有零因子;
C、R中右消去律成立,则R中左消去律也成立;
D. R中必有零因子。
7.设R ={ a+b2|a,b∈Z },R中运算是普通数的加法与乘法,则( D )。
A、R是一个数域;
B、R是一个除环;
C、R是一个模2剩余类环;
D、R是一个整环。
8.设环R与环R同态,0是R的零元,则下列断言不正确的是( B )。
A、R中零元的象是R中的零元o;
B、R中零元0的象不仅是R中的零元o;
C、当R有不同于零元o的单位元1时,R的零元0的象不是R的单位元1;
D. 当R仅有一个元素时,R的任意元素α的象都是R的零元。
9.在中,下()成立。
A. (3, 5) = (5),
B. (3, 5) = (3)
C. (3, 5) = (1)
D. (3, 5) = (15)
10. 设N 为群G 的不变子群,则下列断言中不正确的是( A )。
A. G
a H aHa ∈∀⊆-,1
, B. H h G a H aha ∈∀∈∀∈-,,1.
C. ,,1
G a H aHa
∈∀=- D. .,,H h G a ha ah ∈∀∈∀=
三、设A ={ 偶数集 },规定A 的元间的一个关系~:a ~b ⇔6|a-b 。
1. 证明~是等价关系;2、利用等价关系~,给出A 的一个分类。
(10分)
四.设 G = S 3, H = {(1), (12)}, 求H 在 G 中的所有左陪集。
(10分)
五、求S3, 中不能与(12)交换的元。
(10分)
六、设G 是有限群,,G
≤试用Langrange定理证明:
H≤
K
K
K
G= (10分)
[H
H
G
:
:
].
][
[
]
:
七.设R 是偶数环, 求(4)。
(10分)
八、在Guass 整数环}
Z∈
+
i
3i
∈是一个素
Z
a
=中,证明][
bi
|
,
{
]
b
[Z
a
元.(10分)。