近五年椭圆高考题汇编精编WORD版

椭圆历年高考题(总6页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除椭圆历年高考真题（选填题）1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C :+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A .B .C .D .2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C :+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A 且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A .B .C .D .3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C .D .-14.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B是椭圆C:23x+2ym=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0, 3]∪[4,+∞)5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A. 6B.3C.23D.136.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.137.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.348.(2016·全国卷3·理科·T11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2222x ya b=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.349.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆2222x y+=1a b(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.10.(2015·全国1卷理科·T14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .椭圆历年高考真题（选填题）参考答案1.(2018·全国卷I高考文科·T4)已知椭圆C:+=1的一个焦点为,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.因为椭圆的一个焦点为(2,0),则c=2,所以a2=b2+c2=8,a=2,所以离心率e=.2.(2018·全国卷II高考理科·T12)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程和椭圆的性质的应用以及数学运算能力.【解析】选D.由题意直线AP的方程为y=(x+a),△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,所以PF2=2c,∠PF2x=60°,故P(2c,c),代入y=(x+a)得,(2c+a)=c,解得e==.3.(2018·全国卷II高考文科·T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-B.2-C.D.-1【命题意图】本题考查椭圆的定义和性质的应用,考查了学生的运算和转化能力. 【解析】选D .在直角三角形PF 1F 2中,F 1F 2=2c ,∠PF 2F 1=60°, 所以PF 1=c ,PF 2=c ,又PF 1+PF 2=2a ,所以c +c =2a ,解得e ===-1.4.(2017·全国乙卷文科·T12)设A,B 是椭圆C:23x +2y m =1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是( ) A.(0,1]∪[9,+∞)3∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞)3∪[4,+∞)【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题.【解析】选A.当0<m<3时,焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则ab3即3m3,得0<m≤1;当m>3时,焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则a b 3即3m3,得m≥9,故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞),故选A. 5.(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C: 22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( ) A.63 B. 33 C.23 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离22a b=a,整理得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a =23,e=ca =63. 6.(2017·全国丙卷·文科·T11)同(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C:22x a +22yb=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( )A.6 B.3 C.2 D.13【命题意图】本题考查椭圆的性质及直线和圆的位置关系,考查学生的运算求解能力. 【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d=22ab+=a,整理为a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a=23,e=c a =63.7.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解析】选B.设椭圆的标准方程为22x a+22y b =1(a>b>0),右焦点F(c,0),则直线l 的方程为x c +yb =1,即bx+cy-bc=0,22bcb c -+=12b,又a 2=b 2+c 2,得b 2c 2=14b 2a 2,所以e=c a =12.8.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T12)与(2016·全国卷3·理科·T11)相同已知O 为坐标原点,F 是椭圆C:2222x y a b+ =1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A.13B.12C.23D.34【解题指南】点M 是直线AE 和直线BM 的交点,点M 的横坐标和左焦点相同,进而找到a,b,c 的联系. 【解析】选A.由题意可知直线AE 的斜率存在,设为k,直线AE 的方程为y=k ()x a +,令x=0可得点E 坐标为()0,ka ,所以OE 的中点H 坐标为ka 0,2⎛⎫⎪⎝⎭,又右顶点B(a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y=-k 2x+k 2a,联立()y k x a ,k k y x a,22⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩可得点M 横坐标为-a 3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c,所以e=13.9.(2016·江苏高考T10)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F是椭圆2222x y +=1a b (a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C 两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .【解题指南】利用k BF ·k CF =-1计算得出离心率的值. 【解析】将直线y=2b与椭圆的方程联立得B 3b a,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,C 3b a,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,F(c,0),则k BF =b 23a c --,k CF =b23a c -, 因为∠BFC=90°,所以k BF ·k CF =b 23a c 2--×b23a c 2-=-1, 整理得b 2=3a 2-4c 2,所以a 2-c 2=3a 2-4c 2,即3c 2=2a 2⇒e=ca =6. 答案:6 10.(2015·全国1卷理科·T14)（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。

高考数学椭圆测试题及答案高考数学椭圆专项考试及答案一、选择题2.已知焦点在X轴上的椭圆的偏心率为，其长轴长度等于圆的半径c 3360 x2 y2-2x-15=0，那么椭圆的标准方程为()(甲)=1(乙)=1(C) y2=1 (D)=1第二，填空7.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的xx为原点，焦点F1、F2在X轴上，偏心率为。

穿过F1的直线L在A点和B点与C相交，ABF2的周长为16，那么C 的方程如下。

8.已知点P是椭圆16x2 25y2=400上的点，在X轴上方，F1和F2分别是椭圆的左右焦点，直线PF2的斜率为-4，那么F1，F2的面积为。

9.如果通过椭圆=1(a0)的左右焦点F1和F2的两条相互垂直的直线L1 l1、l2的交点在该椭圆内，则该椭圆的偏心率的取值范围为。

第三，回答问题10.(2013 Xi安模拟)在平面直角坐标系中，已知曲线C上任意点P到两个固定点F1(-，0)和F2(，0)的距离之和为4。

(1)求曲线c的方程.(2)让通过(0，-2)的直线L和曲线C在A点和B点相交，以线段AB为直径做一个圆。

:圆能通过坐标原点吗？如果是，请写出此时直线L的方程，证明你的结论；如果没有，请说明原因。

1.(2013渭南模拟)已知椭圆C:=1(a0)的右顶点A为抛物线y2=8x。

焦点、上顶点B和偏心率为。

(1)求椭圆c的方程.(2)通过点(0)的直线L，斜率为k，在点P和q与椭圆C相交，若直线PQ中点的横坐标为-，求解直线L的方程.12.(能力挑战)已知点P是圆F1:(x )2 y2=16上的任意一点，点F2和点F1关于原点对称。

线段PF2和PF1的中线相交于点m .(1)求m点的轨迹c的方程.(2)设轨迹C和X轴的左右交点分别为A和B，点K为轨迹C上不同于A和B的任意点，KHx轴和H为垂足，延伸HK到点Q使|HK|=|KQ|，连接AQ并延伸与B相交且垂直于X轴的直线L到点D，n为d B的中点。

2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

考点11 椭圆1.（2019·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．15【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a 、b 、c 的关系，再转化为a 、c 间的关系，从而求出e . 【规范解答】选B .椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+，∴ 224()b a c =+，即： 22242b a ac c =++，又 222a b c =+，∴ 224()a c -=222a ac c ++，即 223250a ac c --=，()(35)0a c a c +-=，∴0a c +=（舍去）或 350a c -=，∴ 35c e a ==，故选B . 2.（2019·福建高考文科·Ｔ１1）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值. 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P 为动点，依题意写出OP FP ⋅的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.【规范解答】选C ，设()00P x ,y ，则22220000x y 3x 1y 3434+==-即，又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴⋅=⋅++2001x x 34=++()201x 224=++，又[]0x 2,2∈-，()[]OP FP 2,6∴⋅∈，所以 ()max6OP FP⋅=.3.（2019·海南高考理科·T20）设12,F F 分别是椭圆E:22221x y a b+=（a>b>0）的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率；（Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.【思路点拨】利用等差数列的定义，得出2AF ,AB ,2BF 满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.【规范解答】（Ⅰ)由椭圆的定义知，224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+ 得 43AB a =，l 的方程为y x c =+，其中c =设()()1122,,,A x y B x y ，则,A B 两点坐标满足方程组22221y x c x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得，2222222()2()0a b x a cx a c b +++-= 则 212222a c x x a b -+=+，2221222()a cb x x a b-=+. 因为直线AB 斜率为1，所以21AB x =-=得 222443a ab a b =+，故222a b =,所以E的离心率2c e a ===. （Ⅱ）设,A B 两点的中点为()00,N x y ，由（Ⅰ)知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+=. 由PA PB =，可知1PN k =-.即0011y x +=-，得3c =，从而3a b ==. 椭圆E 的方程为221189x y +=. 【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.4.（2019·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，，y t =与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P,圆心为P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设Q （x,y ）是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值.【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。

高考椭圆试题及答案一、选择题1. 已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，若椭圆的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则下列说法正确的是（）A. \(a > b\)B. \(a < b\)C. \(a = b\)D. \(a = 2b\)答案：A2. 椭圆\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)的长轴长度为（）A. 3B. 5C. 6D. 9答案：C二、填空题3. 若椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的焦点坐标为\((\sqrt{5}, 0)\)和\((-\sqrt{5}, 0)\)，则a的值为（）。

答案：34. 椭圆\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)的短轴长度为（）。

答案：6三、解答题5. 已知椭圆\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)，求椭圆上一点P(x, y)到焦点F(1, 0)的距离的最小值。

答案：最小值为\(\sqrt{3} - 1\)。

6. 椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的长轴和短轴分别为2a和2b，且a > b > 0，若椭圆上存在一点P(x, y)，使得\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，且\(\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2}\)，求椭圆的离心率。

答案：离心率为\(\frac{1}{2}\)。

四、计算题7. 已知椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)，求椭圆的离心率和焦距。

答案：离心率\(e = \frac{3}{5}\)，焦距\(2c = 6\)。

椭圆高考题汇编1．（2019全国I 理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2.（2019全国II 理21（1））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；3.（2019北京理4）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，则（A ）22.2a b =（B ）22.34a b=（C ）2a b=（D ）34a b=4.（2019全国III 理15）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)+=>>：x y C a b a b的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 且斜率为6的直线上，12△PF F 为等腰三角形，12120∠=︒F F P ，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．142．(2018上海)设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A ．B C ．23D ．594．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3 B ．3 C ．3 D ．135．(2016年全国III)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．346．(2016年浙江)已知椭圆1C ：2221x y m +=(1m >)与双曲线2C ：2221x y n-=(0n >)的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <7．(2014福建)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是 A ．25 B ．246+ C ．27+ D ．268．（2013新课标1）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝19．(2012新课标)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆ 是底角为o 30的等腰三角形，则E 的离心率为A 、21B 、32 C 、43 D 、54 二、填空题10．(2018浙江)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．11．(2018北京)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．12．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．13．（2015新课标1）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．14．（2014江西）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（2014辽宁）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．16．（2014江西）设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．17．（2014安徽）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为_____．18．（2013福建）椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c +与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于19．（2012江西）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．20．（2011浙江）设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =；则点A 的坐标是 ． 三、解答题21．（2018全国卷Ⅰ）设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．22．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．23．(2018天津)设椭圆22221x x a b+=(0a b >>)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值．24．（2017新课标Ⅰ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,)2P =-，43(1,)2P =中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．25．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．26．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．27．（2017天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △AP 的方程． 28．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．x29．(2016年北京)已知椭圆C ：22221(0)x y a ba b+=>>(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．30．(2015新课标2）已知椭圆C ：2229x y m +=(0m >)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．31．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b ab+=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．32．（2015安徽）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为10． （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．33．（2015山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>焦点分别是1F 、2F ．以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．( i )求||||OQ OP 的值； （ii ）求△ABQ 面积的最大值．34． (2014新课标1) 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． （Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．35．(2014浙江)如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -．36．（2014新课标2）设1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．37．（2014安徽）设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =（Ⅰ）若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； （Ⅱ）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率． 38．（2014山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>，直线y x=被椭圆C ． （Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点．(ⅰ)设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； (ⅱ)求OMN ∆面积的最大值．39．（2014湖南）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （Ｉ）求12,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．40．（2014四川）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标． 41．（2013安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点23)P ，．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取点(0,22)A ,连接AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．42．（2013湖北）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．43． (2013天津)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，， 过点F 且与x 轴垂直的直(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 设A ， B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点． 若··8AC DB AD CB +=， 求k 的值．44．（2013山东）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值． 45．（2012北京）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A，离心率为．直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M ,N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当△AMN得面积为3时，求k 的值． 46．（2013安徽）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶第20题图点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a , b 的值．47．（2012广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由． 48．（2011陕西）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 49．（2011山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -．（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2OG OD =∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由．50．（2010新课标）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（01b <<）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．51．（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB |=154，求椭圆C 的方程．。

2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

第十章 圆锥曲线与方程第一节 椭 圆高考试题考点一 椭圆的定义及应用1.(2009年北京卷,理12)椭圆22192x y +=的焦点为F 1、F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .解析:由椭圆方程22192x y +=可知a 2=9,b 2=2,∴c 2由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=6, 由|PF 1|=4,得|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,由余弦定理的推论有 cos ∠F 1PF 2=2221212122PF PF F F PF PF +-=224228242+-⨯⨯=-12. ∴∠F 1PF 2=120°. 答案:2 120°2.(2012年四川卷,理15)椭圆22143x y +=的左焦点为F,直线x=m 与椭圆相交于点A 、B,当△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积是 .解析:由椭圆定义可知,当直线x=m 过椭圆右焦点(1,0)时,△FAB 的周长最大. 由椭圆方程22143x y +=知a=2,c=1. 当x=1时,由21143y +=, 得y=±32. ∴S △FAB =12×(2×32)×(1+1)=3. 答案:33.(2009年上海卷,理9)已知F 1、F 2是椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥,若△PF 1F 2的面积为9,则b= .解析:由题意可知,1212PF PF =9,①2221212PF PF F F +==(2c)2,②由椭圆定义可知,|PF 1|+|PF 2|=2a,③ 联立①②③解得a 2-c 2=9,即b 2=9,∴b=3.答案:3考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013年新课标全国卷Ⅰ,理10)已知椭圆E:22221x y a b += (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ) (A)2214536x y += (B)2213627x y += (C)2212718x y += (D)221189x y += 解析:已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点D(1,-1), 则k AB =12, x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得:()()12122x x x x a-++()()12122y y y y b -+=0,即1212y y x x --=-()()212212b x x a y y ++,即12=22b a , ∴a 2=2b 2.又因c=3,所以b 2=9,a 2=18,椭圆方程为221189x y +=.故选D. 答案:D2.(2011年新课标全国卷,理14)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1、F 2在x 轴上,离心,过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为 .解析:设椭圆标准方程为22221x y a b += (a>b>0), 由题意知|BA|+|BF 2|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|+|AF 1|+|AF 2|=4a=16, ∴a=4, 由e=ca得 ∴b 2=a 2-c 2=8,∴椭圆标准方程为221168x y +=.答案:221 168x y+=3.(2011年江西卷,理14)若椭圆22221x ya b+=的焦点在x轴上,过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是.解析:设点D1 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,由平面几何知识易知,AB⊥OD,∴k AB=-2.设AB方程为y=-2x+m.又过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆x2+y2=1的切线中有一条是x=1,不妨设B(1,0).把x=1,y=0代入AB方程,可得m=2.由题意可知,b=2,c=1,∴a2=5.∴椭圆方程为221 54x y+=.答案:221 54x y+=考点三椭圆离心率的求法1.(2012年新课标全国卷,理4)设F1,F2是椭圆E:22221x ya b+= (a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=32a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )(A)12(B)23(C)34(D)45解析:如图所示,设直线x=32a与x轴的交点为Q,由题意可知,∠F2F1P=∠F1PF2=30°,|PF2|=|F1F2|=2c,∴∠PF2Q=60°,∠F2PQ=30°.∴|F2Q|=12|PF2|.即32a-c=12·2c,∴e=ca=34.答案:C2.(2012年江西卷,文8)椭圆22221x y a b += (a>b>0)的左、右顶点分别是A 、B,左、右焦点分别是F 1、F 2,若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )(A)14(C)12解析:由题意知,|AF 1|=a-c,|F 1F 2|=2c,|F 1B|=a+c. 由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B|成等比数列可得: (2c)2=(a-c)(a+c).整理得a 2=5c 2,∴e=c a答案:B3.(2013年福建卷,理14)椭圆Γ: 22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 .解析:直线(x+c)过点F 1(-c,0)且倾斜角为60°, 所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°, 所以∠F 1MF 2=90°, 所以F 1M ⊥F 2M, 在Rt △F 1MF 2中,|MF 1|=c,|MF 2c,所以e=ca =22c a =122cMF MF +-1.答案-14.(2013年辽宁卷,理15)已知椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的左焦点为F,椭圆C 与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,则椭圆C 的离心率e= .解析:如图所示,由|AB|=10,|AF|=6,cos ∠ABF=45,得BF=8,则AF ⊥BF,半焦距c=FO=12AB=5.设椭圆右焦点为F 2,由对称性知AF 2=BF=8,a=7,所以e=c a =57. 答案:575.(2010年大纲全国卷Ⅰ,理16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D,且BF =2FD ,则C 的离心率为 .解析:设椭圆C 的焦点在x 轴上,F(c,0),B(0,b). 椭圆方程为22221x y a b +=, 其中a 2=b 2+c 2,设D(x,y),则FD =(x-c,y). 又BF =(c,-b),由BF =2FD 可得()2,2,c x c b y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩∴3,2.2x c b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点D 在椭圆上,∴22223221b c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=, 整理得22c a =13,∴e=ca. 答案考点四 直线与椭圆的位置关系1. (2013年江西卷,理20)如图,椭圆C: 22221x y a b += (a>b>0)经过点P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭,离心率e=12,直线l 的方程为x=4.(1)求椭圆C 的方程;(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P),设直线AB 与直线l 相交于点M,记PA,PB,PM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3.问:是否存在常数λ,使得k 1+k 2=λk 3?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得,221914a b+=.① 依题设知a=2c,则b 2=3c 2.②②代入①解得c 2=1,a 2=4,b 2=3.故椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设B(x 0,y 0)(x 0≠1), 则直线FB 的方程为y=01y x -(x-1),令x=4,求得M 0034,1y x ⎛⎫⎪-⎝⎭,从而直线PM 的斜率为k 3=()0002121y x x -+-,联立()00221,11,43y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭,则直线PA 的斜率为k 1=()00022521y x x -+-,直线PB 的斜率为k 2=()002321y x --,所以k 1+k 2=()00022521y x x -+-+()002321y x --=000211y x x -+-=2k 3.故存在常数λ=2符合题意.2.(2013年新课标全国卷Ⅱ,理20)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M: 22221x y a b+= (a>b>0)右焦点的直线交M 于A,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程;(2)C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值. 解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,2121y y x x --=-1,由此可得()()221221b x x a y y ++=-2121y y x x --=1. 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,00y x = 12, 所以a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为,0),故a 2-b 2=3.因此a 2=6,b 2=3.所以M 的方程为22163x y +=. (2)由220,1,63x y x y⎧+⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨⎪⎩ 因此由题意可设直线CD 的方程为y=x+n n ⎛< ⎝, 设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2+4nx+2n 2-6=0.于是x 3,4因为直线CD的斜率为1, 所以4-x 3. 由已知,四边形ACBD 的面积 S=12|CD|·当n=0时,S 取得最大值,.所以四边形ACBD . 3.(2013年北京卷,理19)已知A 、B 、C 是椭圆W:24x +y 2=1上的三个点,O 是坐标原点. (1)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解:(1)椭圆W: 24x +y 2=1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分, 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得14+m 2=1,即m= 所以菱形OABC 的面积是 12|OB|·|AC|=12×2×. (2)四边形OABC 不可能为菱形.理由如下: 假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为y=kx+m(k ≠0,m ≠0).由2244,,x y y kx m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y 并整理得 (1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0.设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则122x x +=-2414km k +,122y y +=k ·122x x ++m=214m k +. 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为M 为AC 和OB 的交点, 所以直线OB 的斜率为-14k.因为k ·14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠-1,所以AC 与OB 不垂直.所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形. 4.(2012年北京卷,理19)已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R).(1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围;(2)设m=4,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线y=kx+4与曲线C 交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM 交于点G,求证:A,G,N 三点共线. (1)解:曲线C 的方程化成标准方程,2218852x y m m +=--. ∵曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆, ∴85m ->82m ->0, 解得72<m<5. 即当曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆时,m 的取值范围是（72,5）. (2)证明:当m=4时,曲线C 的标准方程为22184x y +=, ∴A(0,2),B(0,-2). 由224,184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,得(2k 2+1)x 2+16kx+24=0.(*)∵直线与曲线交于不同的两点, ∴Δ=(16k)2-4×24·()221k +>0,即k 2>32. 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2), 则x 1,x 2是方程(*)的两根. ∴x 1+x 2=-21621k k +,x 1·x 2=22421k +. 直线BM 的方程为:y=112y x +x-2, ∴G （1132x y +,1）. 法一 k AG -k AN =1121302x y --+-2220y x --=-1123y x +-222y x -=-11423kx x ++-2242kx x +-=-43k-21211x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-43k-2·2216212421kk k -++=-43k+43k=0 即k AG =k AN .∴A 、G 、N 三点共线. 法二 AG =(1132x y +,-1),AN =(x 2,y 2-2), ∵1132x y +·(y 2-2)-(-1)·x 2=()121326x kx kx +++x 2 =()12121466kx x x x kx +++=22124164621216kk k k kx ⋅-⋅+++ =0.∴AG ∥AN , 即A 、G 、N 三点共线.5.(2012年陕西卷,理19)已知椭圆C 1: 24x +y 2=1,椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率.(1)求椭圆C 2的方程;(2)设O 为坐标原点,点A 、B 分别在椭圆C 1和C 2上,OB =2OA ,求直线AB 的方程. 解:(1)由题意可知椭圆C 1的长轴长为4,离心率e 1, 设C 2方程为22221x y b a+= (a>b>0),由题意得椭圆C 2短轴长2b=4,离心率e 2∴b=2,a 2=16.∴椭圆C 2的方程为221416x y +=. (2)∵OB =2OA , ∴A 、O 、B 三点共线. 设AB 方程为y=kx. 由22,14y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得(1+4k 2)x 2=4.设A(x 1,y 1), 则21x =2414k +. 设B(x 2,y 2),同理可求得22x =2164k +. 由OB =2OA 得: 22x =421x ,即2164k +=4·2414k +, 解得k=±1.∴直线AB 的方程为y=x 或y=-x.6.(2013年湖北卷,理21)如图,已知椭圆C 1与C 2的中心在坐标原点O,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x 轴重合的直线l 与C 1,C 2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记λ=mn,△BDM 和△ABN 的面积分别为S 1和S 2.(1)当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2?并说明理由.解:依题意可设椭圆C 1和C 2的方程分别为C 1: 22221x y a m +=,C 2: 22221x y a n +=,其中a>m>n>0,λ=mn>1.(1)如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为x=0, 则S 1=12|BD|·|OM|=12a|BD|, S 2=12|AB|·|ON|=12a|AB|, 所以12S S =BDAB. 在C 1和C 2的方程中分别令x=0, 可得y A =m,y B =n,y D =-m, 于是BD AB=B D A By y y y --=m n m n +-=11λλ+-. 若12S S =λ,则11λλ+-=λ,化简得λ2-2λ-1=0.由λ>1,可解得λ故当直线l 与y 轴重合时,若S 1=λS 2,则λ(2)如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0), 点M(-a,0),N(a,0)到直线l 的距离分别为d 1,d 2,则 d 1,d 2所以d 1=d 2. 又S 1=12|BD|d 1,S 2=12|AB|d 2, 所以12S S =BD AB=λ,即|BD|=λ|AB|. 由对称性可知|AB|=|CD|, 所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|, |AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|, 于是AD BC=11λλ+-.① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立, 可求得x A,x B.根据对称性可知x C =-x B ,x D =-x A ,于是AD BC=22A B x x.②=()11λλλ+-.③ 令t=()11λλλ+-,则由m>n,λ>1,可得0<t<1, 于是由③可解得k 2=()()2222211n t a t λ--.因为k 2>0,于是③式关于k 有解,当且仅当()()2222211n t a t λ-->0,等价于(t 2-1)(t 2-21λ)<0. 由λ>1,0<t<1,可解得1λ<t<1,即1λ<()11λλλ+-<1,由λ>1,解得λ所以当1<λ≤,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2; 当λ,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S 1=λS 2.7.(2013年天津卷,理18) 22x a +22y b=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 且与x 轴垂直的直线被. (1)求椭圆的方程;(2)设A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C, D 两点. 若AC ·DB +AD ·CB =8,求k 的值.解:(1)设F(-c,0),由c a=3,知过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x=-c,代入椭圆方程有()22c a-+22y b=1,解得y=,,解得,又a 2-c 2=b 2,从而所以椭圆的方程为23x +22y =1.(2)设点C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),由F(-1,0)得直线CD 的方程为y=k(x+1),由方程组()221,132y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(2+3k 2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0.由根与系数的关系可得x 1+x 2=-22623k k +,x 1x 2=223623k k -+.因为所以AC ·DB +AD ·CB =(x 1,y 1)·2,-y 2)+(x 22)·-x 1,-y 1)=6-2x 1x 2-2y 1y 2=6-2x 1x 2-2k 2(x 1+1)(x 2+1)=6-(2+2k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)-2k 2=6+2221223k k ++.由已知得6+2221223k k++=8,解得k=. 8.(2012年天津卷,理19)设椭圆22221x y a b+= (a>b>0)的左、右顶点分别为A 、B,点P 在椭圆上且异于A 、B两点,O 为坐标原点.(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为-12,求椭圆的离心率; (2)若|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 满足. (1)解:由题意可知A(-a,0),B(a,0), 设P(x,y), 则22221x y a b+=. ∴k AP ·k BP =y y x a x a⋅+-=222y x a -=222221x b a x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭- =-22b a =-12. ∴22b a =12. ∴e=c a. (2)证明:法一 易知直线OP 的方程为y=kx, 由2222,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y,整理得x 2=22222a b b a k +①设P(x,kx).则由|AP|=|OA|得(x+a)2+k 2x 2=a 2,整理得(k 2+1)x 2+2ax=0.又x ≠0, ∴x=-221ak +② 联立①②,整理得(1+k 2)2=4k 2·a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭2+4.∵a>b>0, ∴(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,∴. 法二 设P(x 0,kx 0), ∵点P 在椭圆上,∴22200221x k x a b+=.∵a>b>0,kx 0≠0. ∴2220022x k x a b +<1, 即(1+k 2)20x <a 2.由|AP|=|OA|,得(x 0+a)2+k 220x =a 2,整理得(1+k 2)20x +2ax 0=0.又x 0≠0, ∴x 0=-221ak +. ∴(1+k 2)·(-221a k +)2<a 2, 即1+k 2>4,k 2>3,∴.9.(2013年安徽卷,理18)设椭圆E:222211x y a a +=-的焦点在x 轴上. (1)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(2)设F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点,P 为椭圆E 上第一象限内的点,直线F 2P 交y 轴于点Q,并且F 1P ⊥F 1Q,证明:当a 变化时,点P 在某定直线上. (1)解:因为焦距为1,所以2a 2-1=14,解得a 2=58. 故椭圆E 的方程为2288153x y +=. (2)证明:设P(x 0,y 0),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中由题设知x 0≠c,则直线F 1P 的斜率100F P y k x c=+, 直线F 2P 的斜率200F P y k x c=-. 故直线F 2P 的方程为y=00y x c-(x-c). 当x=0时,y=00cy c x -,即点Q 坐标为(0,0cy c x -). 因此,直线F 1Q 的斜率为1F Q k =y c x -. 由于F 1P ⊥F 1Q,所以1F P k ·1F Q k =00y x c +·00yc x -=-1. 化简得20y =20x -(2a 2-1).(*)将(*)式代入椭圆E 的方程,由于点P(x 0,y 0)在第一象限,解得x 0=a 2,y 0=1-a 2,即点P 在定直线x+y=1上. 10.(2012年安徽卷,理20)如图,点F 1(-c,0),F 2(c,0)分别是椭圆C:22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点,过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P,过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x=2a c于点Q.(1)如果点Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆C 的方程; (2)证明:直线PQ 与椭圆C 只有一个交点. (1)解:法一 由题意得P(-c,2b a), ∴2PF k =20b a c c---=-22b ac .∵F 2Q ⊥PF 2, ∴2F Q k =22ac b , ∴直线F 2Q 的方程为y=22acb (x-c), ∴Q(2a c,2a),∴24,24,a c a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a=2,c=1. ∴b 2=3.∴此时椭圆C 的方程是22143x y +=. 法二 设直线x=2a c与x 轴交于点M, 由题意得P(-c,2b a).∵PF 1⊥x 轴,QM ⊥x 轴,PF 2⊥F 2Q, ∴△PF 1F 2∽△F 2MQ, ∴1122PF F F F M QM=,即222b caa MQc c=-. 解得|MQ|=2a, ∴Q(2a c,2a).∴24,24,a c a ⎧+⎪⎨⎪=⎩解得a=2,c=1, ∴b 2=3.∴此时椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)证明:由(1)知P(-c,2b a ),Q(2a c,2a), ∴直线PQ 的方程为22222a x y a c b a a c a c=-=---, 整理得y=cax+a. 由2222,1,c y x a a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y,整理得(b 2+c 2)x 2+2a 2cx+a 4-a 2b 2=0.即a 2x 2+2a 2cx+a 2c 2=0,∴x 2+2cx+c 2=0.解得x=-c,y=2b a.∴直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.11.(2013年山东卷,理22)椭圆C:22221x y a b+= (a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值. 解:(1)由于c 2=a 2-b 2,将x=-c 代入椭圆方程22221x y a b +=,得y=±2b a, 由题意知22b a=1,即a=2b 2.又e=ca所以a=2,b=1. 所以椭圆C 的方程为24x +y 2=1.(2)法一 设P(x 0,y 0)(y 0≠0). 又F 1,0),F 2,0),所以直线PF 1,PF 2的方程分别为1PF l :y 0x-(x 0y 0=0, 2PF l :y 0x-(x 0y 0=0.由于点P 在椭圆上,所以22004x y +=1..因为,-2<x 0<2,=,所以m=34x 0. 因此-32<m<32. 法二 设P (x 0,y 0)(y 0≠0). 当0≤x 0<2时,①当x 0,直线PF2的斜率不存在,易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭.若P ,则直线PF 1的方程为因为,所以若P 12⎫-⎪⎭,同理可得②当x 0,设直线PF 1,PF2的方程分别为y=k 1y=k 2).=,所以(()2212221111m k m k +=+. 因为22004x y +=1,且k 12所以(()(()2220022204444m x x m xx +-==+-=)()20244+-,. 因为,0≤x 0<2且x 0,整理得m=034x ,故0≤m<32且m综合①②可知0≤m<32. 当-2<x 0<0时,同理可得-32<m<0. 综上所述,m 的取值范围是(-32,32). (3)设P(x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y-y 0=k(x-x 0). 联立()22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x+4(20y -2kx 0y 0+k 220x -1)=0.由题意得Δ=0,即(4-20x )k 2+2x 0y 0k+1-20y =0.又22004x y +=1,所以1620y k 2+8x 0y 0k+20x =0,故k=-004x y . 由(2)知1211k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭0=002x y ,所以1211kk kk +=12111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=(-004y x )·002x y =-8, 因此1211kk kk +为定值,这个定值为-8. 12.(2012年福建卷,理19)如图,椭圆E:22221x y a b += (a>b>0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e=12.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l:y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由. 解:(1)由椭圆定义知, |AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a, △F 2AB 的周长=|AB|+|AF 2|+|BF 2| =|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2| =4a. ∴4a=8,a=2, 又e=c a =12, ∴c=1,∴b 2=3.∴椭圆E 的方程是22143x y +=. (2)由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8mkx+4m 2-12=0.∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P(x 0,y 0), ∴Δ=(8km)2-4(3+4k 2)(4m 2-12)=0,m ≠0,整理得m 2=4k 2+3.①此时x 0=()284234mk km k -=-+, y 0=k ·4k m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+m=3m ,∴P 43,k m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 由4,x y kx m =⎧⎨=+⎩得Q(4,4k+m). 假设在坐标平面内存在定点M,使得以PQ 为直径的圆恒过点M, 由椭圆的对称性可知,点M 一定在x 轴上, 设M(x 1,0),则MP =143,kx mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, MQ =(4-x 1,4k+m). ∵MP ⊥MQ,即MP ·MQ =0对满足①式的所有m,k 均成立,即14k x m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(4-x 1)+3m ·(4k+m)=0对满足①式的所有m 、k 成立. 整理得(4x 1-4)km+ 21x -4x 1+3=0.② 由于②对满足①的m,k 恒成立,∴1211440,430,x x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得x 1=1. 故存在定点M(1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M.13.(2012年广东卷,理20)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的离心率且椭圆C 上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程;(2)在椭圆C 上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由.解:(1)由e=c a得a 2=3b 2, 椭圆方程为222213x y b b +=. 设椭圆上一点P(x,y)到点Q(0,2)的距离为d,则∴当y=-()422-⨯-=-1时,d 取到最大值,d max 解得:b 2=1.∴椭圆方程为23x +y 2=1. (2)假设椭圆C 上存在点M(m,n)满足题意, 则23m +n 2=1, 即m 2=3-3n 2.设圆O:x 2+y 2=1的圆心到直线l:mx+ny=1的距离为d 1,则d 1<1且d 1.∴ ∴S △OAB =12·|AB|d 1=12·∵d 1<1, ∴m 2+n 2>1, ∴0<221m n +<1, ∴1-221m n +>0.∴S △OAB=12. 当且仅当221m n +=1-221m n +, 即m 2+n 2=2>1时,S △AOB 取到最大值.由22222,33,m n m n ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 解得223,21.2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴存在点M 满足题意,M点的坐标为⎝⎭⎝⎭⎛ ⎝⎭⎛ ⎝⎭. 此时△AOB 面积最大为12. 14.(2012年浙江卷,理21)如图所示,椭圆C:22221x y a b += (a>b>0)的离心率为12,其左焦点到点P(2,1)的不过原点O 的直线l 与C 相交于A,B 两点,且线段AB 被直线OP 平分.(1)求椭圆C 的方程;(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程. 解:(1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得1,2c a ⎪=⎩ 解得1,2.c a =⎧⎨=⎩∴b 2=3.∴椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意可设直线l 方程为y=kx+m(m ≠0).由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2-12=0.(*)由题意可知,x 1,x 2是方程(*)的两个根, ∴Δ=(8km)2-4(4k 2+3)(4m 2-12)>0.x 1+x 2=-2843kmk +,x 1·x 2=2241243m k -+.∴线段AB 的中点M 坐标为(-2443km k +,2343mk +). ∵点M 在直线OP:y=12x 上, ∴2343m k +=12·(-2443km k +),得m=0(舍去)或k=-32. 此时方程(*)为3x 2-3mx+m 2-3=0. 则Δ=3(12-m 2)>0,12212,3.3x x m m x x +=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩∴1-x 2|设点P 到直线AB 的距离为d, 则.∴S △ABP =12|AB|d =12其中m 2<12且m ≠0,即m ∈∪).令u(m)=(m-4)2(12-m 2),m ∈),则u ′(m)=2(m-4)(12-m 2)-2m(m-4)2=-4(m-4)(m 2-2m-6)当时,u ′(m)>0, 当,u ′(m)<0. ∴当,u(m)取到最大值, 故当且仅当,S △ABP 取到最大值. 此时,直线l的方程为y=-32即15.(2011年四川卷,理21)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点,并与x 轴交于点P.直线AC 与直线BD 交于点Q.(1)当,求直线l 的方程; (2)当点P 异于A 、B 两点时,求证: OP OQ ⋅为定值. (1)解:由于椭圆焦点在y 轴上, 故可设椭圆方程为22221x y a b += (a>b>0). 由题意知,b=1,c=1, ∴∴椭圆方程为x 2+22y =1.由题意可知,直线l 的斜率存在,设为k, 则l 方程为y=kx+1. 由221,12y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y, 整理得(k 2+2)x 2+2kx-1=0.设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2), 则x 1+x 2=-222k k +,x 1·x 2=-212k +. ∴1-x 2| ==)2212k k ++. 解得k=∴当, 直线l 的方程为或(2)证明:根据题意,设直线l 的方程为y=kx+1(k ≠0,k ≠±1),则P(-1k,0), 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2). 由(1)知x 1+x 2=-222k k +,x 1·x 2=212k -+. 直线AC 的方程为:y=111y x +(x+1).① 直线BD 的方程为y=221y x -(x-1)② 联立①②消去y,得111y x +(x+1)= 221yx -(x-1), 即11x x +-=()()212111y x x x y ⋅+-.∵-1<x 1,x 2<1, ∴11x x +-与21y y 异号. ∴(11x x +-)2=()()2221221211y x y x +-=()()()()22212212221221x x x x-+--=()()()()222122121111x x x x-+--=()()()()12121111x x x x ++-- =()()1212121211x x x x x x x x +++-++ =22222112221122k k k k k k --+++-++=11k k -⎛⎫ ⎪+⎝⎭2. 又y 1·y 2=(kx 1+1)(kx 2+1) =k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=-222k k +-2222k k ++1 =22222k k -+=()22212k k -+=-()()22112k k k +-+=-()22212k k ++·11k k -+,∴y 1·y 2与11k k -+异号, ∴11x x +-与11k k -+同号. ∴11x x +-=11k k -+, 解得x=-k,∴Q(-k,y). ∴OP OQ ⋅=(-1k,0)·(-k,y) =(-1k)·(-k) =1.即OP OQ ⋅为定值.16.(2011年辽宁卷,理20)如图所示,已知椭圆C 1的中心在原点O,长轴左、右端点M 、N 在x 轴上,椭圆C 2的短轴为MN,且C 1,C 2的离心率都为e.直线l ⊥MN,l 与C 1交于两点,与C 2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(1)设e=12,求|BC|与|AD|的比值; (2)当e 变化时,是否存在直线l,使得BO ∥AN,并说明理由. 解:(1)因为C 1,C 2的离心率相同, 故依题意可设C 1: 22221x y a b+=,C 2:222421b y x a a+= (a>b>0). 设直线l:x=t(|t|<a),分别与C 1,C 2的方程联立,求得当e=12时分别用y A ,y B 表示A,B 的纵坐标,可知|BC|∶|AD|=22B A y y =22b a =34.(2)当t=0时的l 不符合题意,当t ≠0时,BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等, 即b t b t a-,解得t=-222ab a b -=-221e e-·a.因为|t|<a, 又0<e<1,所以221e e -<1,<e<1.所以当0<e 时,不存在直线l,使得BO ∥AN;<e<1时,存在直线l,使得BO ∥AN. 17.(2010年安徽卷,理19)如图所示,已知椭圆E 经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e=12.(1)求椭圆E 的方程;(2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程;(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由. 解:(1)设椭圆E 的方程为22221x y a b+=,由e=12, 即c a =12,得a=2c, ∴b 2=a 2-c 2=3c 2.∴椭圆的方程可化为2222143x y c c+=.将A(2,3)代入上式, 得22131c c +=, 解得c=2(负值舍去), ∴椭圆E 的方程为2211612x y +=. (2)由(1)知F 1(-2,0),F 2(2,0), 所以直线AF 1的方程为y=34(x+2), 即3x-4y+6=0, 直线AF 2的方程为x=2.由点A 在椭圆E 上的位置知,直线l 的斜率为正数. 设P(x,y)为l 上任一点, 则3465x y -+=|x-2|.若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0(因其斜率为负,故舍去). 于是,由3x-4y+6=-5x+10得2x-y-1=0, ∴直线l 的方程为2x-y-1=0.(3)假设存在这样的两个不同的点B(x 1,y 1)和C(x 2,y 2), ∵BC ⊥l, ∴k BC =2121y y x x --=-12. 设BC 的中点为M(x 0,y 0), 则x 0=122x x +,y 0=122y y +, 由于M 在l 上,故2x 0-y 0-1=0.① 又B,C 在椭圆上,所以有221111612x y +=与222211612x y +=. 两式相减,得2222212101612x x y y --+=, 即()()122116x x x x +-+()()122112y y y y +-=0.将该式整理为18·122x x ++2121y y x x --·16·122y y +=0,并将直线BC 的斜率k BC 和线段BC 的中点表示代入该表达式中, 得18x 0-112y 0=0, 即3x 0-2y 0=0.② ①×2-②得x 0=2,y 0=3,即BC 的中点为点A,而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的相异两点.模拟试题考点一 应用椭圆的定义解决椭圆上的点到焦点的距离问题1.(2013北京西城高三上学期期末)已知椭圆24x +22y =1的两个焦点是F 1、F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的面积是 .解析:由椭圆方程24x +22y =1可知∴|PF 1|+|PF 2|=4. 又|PF 1|-|PF 2|=2, ∴|PF 1|=3,|PF 2|=1.又|F 1F 2,∴|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,∴PF 2⊥F 1F 2, ∴12PF F S=12|PF 2||F 1F 2|=12×1×.答案2.(2013北京海淀高三上学期期末)已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2+2y 2=2的左、右焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,则21PF PF +的最小值是 .解析:设P(x,y),则x 2+2y 2=2,由椭圆方程22x +y 2=1可知,b=1,c=1,∴F 1(-1,0),F 2(1,0). ∴1PF =(-1-x,-y),2PF =(1-x,-y),∴1PF +2PF =(-2x,-2y).∴|1PF +2PF |==2=2∵y 2≤1,∴|1PF +2PF |的最小值是2. 答案:2考点二 椭圆的方程及其简单性质应用1.(2013广东“十校”高三联考)定义:关于x 的不等式|x-A|<B 的解集叫A 的B 邻域.已知a+b-2的a+b 邻域为区间(-2,8),其中a 、b 分别为椭圆22x a +22y b=1的长半轴长和短半轴长,若此椭圆的一焦点与抛物线y 2x 的焦点重合,则椭圆的方程为()(A)28x +23y =1(B)29x +24y =1(C)29x +28y =1(D) 216x +29y =1解析:由题意可知|x-(a+b-2)|<a+b 的解集是(-2,8), ∴2a+2b-2=8,即a+b=5.①又抛物线y 2x 的焦点为∴椭圆的焦点在x 轴上,且,即a 2-b 2=5.②联立①②可得a=3,b=2,∴椭圆标准方程为29x +24y =1.答案:B2.(2011辽宁模拟)椭圆236x +29y 1上有两个动点P 、Q,E(3,0),EP ⊥EQ,则EP ·QP 的最小值为( )(A)6(C)9解析:设P(x 0,y 0),则2036x +209y =1,EP =(x 0-3,y 0),又QP =EP -EQ ,∴EP ·QP =EP ·(EP -EQ )=2EP -EP ·EQ =2EP =(x 0-3)2+20y=(x 0-3)2+9-2014x =2034x -6x 0+18, 又x 0∈[-6,6],∴当x 0=4时,EP ·QP 取到最小值6. 答案:A考点三 求椭圆的离心率1.(2012成都二模)已知A 、B 分别为椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a 与x 轴交于点D,与直线AC 交于点P,若∠DBP=π3,则此椭圆的离心率为( )(A)12(B)2(C)29(D)3解析:如图所示,由已知得A(-a,0), B(a,0),C(0,b), D(2a,0). 设P(2a,y 0), ∵A 、C 、P 共线, ∴k AC =k AP , 即b a =03y a, ∴y 0=3b, ∴P(2a,3b). 又∵∠DBP=π3,且tan ∠DBP=DP BD ,32b a a-,∴b a =3,∴e=c a 3答案:D2.(2012厦门质检)已知F 是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 与圆(x-3c）2+y 2=29b 相切于点Q,且PQ =2QF ,则椭圆C 的离心率等于( )(A)3(B)23(C)2(D)12解析:记椭圆的左焦点为F ′,圆(x-3c)2+y 2=29b 的圆心为E,连接PF ′、QE. ∵|EF|=|OF|-|OE|=c-3c =23c,PQ =2QF , ∴EF F F'=13=QF PF, ∴PF ′∥QE, ∴QF PF '=13,且PF ′⊥PF. 又∵|QE|=3b(圆的半径长), ∴|PF ′|=b.据椭圆的定义知:|PF ′|+|PF|=2a, ∴|PF|=2a-b. ∵PF ′⊥PF,∴|PF ′|2+|PF|2=|F ′F|2,∴b 2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a 2-c 2)+b 2=2ab,∴3b 2=2ab,∴b=23a=3a,c a =3,∴椭圆的离心率为3. 答案:A考点四 直线与椭圆的位置关系的解法1.(2013四川树德中学3月阶段性考试)椭圆E: 22x a +22y b=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2,过F 1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3. (1)求椭圆E 的方程;(2)若过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点,判断是否存在直线l 使得∠AF 2B 为钝角,若存在,求出l 的斜率k 的取值范围.解:(1)依题意23,22 2.b a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a 2=4,b 2=3,∴椭圆的方程为24x +23y =1.(2)①当过F 1的直线AB 的斜率不存在时,不妨取A （-1,32）,B （-1,-32） 则2F A ·2F B =74,显然∠AF 2B 不为钝角.②直线l 的斜率为k,l 方程为y=k(x+1),由()221,143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 消去y,整理得(3+4k 2)x 2+8k 2x+4k 2-12=0.∵直线l 与椭圆交于两点,∴Δ=(8k 2)2-4(3+4k 2)(4k 2-12)=4×36(k 2+1)>0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-22834k k +,x 1·x 2=2241234k k -+.2F A =(x 1-1,y 1), 2F B =(x 2-1,y 2).∵∠AF 2B 为钝角, ∴2F A ·2F B <0. 即(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0,整理得(k 2+1)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1<0.即(k 2+1)·2241234k k -+-(k 2-1)·22834k k ++k 2+1<0,整理得7k 2<9,解得-7<k<7. ∴存在满足条件的直线l,其斜率k 的取值范围为. 2.(2013江苏南通高三一模)已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E （）.过点P(1,1)分别作斜率为k 1,k 2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N 分别为线段AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若P 为线段AB 的中点,求k 1;(3)若k 1+k 2=1,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:(1)依题设c=1,且右焦点F ′(1,0).所以2a=|EF|+|EF ′3,b 2=a 2-c 2=2,故所求的椭圆的标准方程为23x +22y =1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则213x +212y =1,①223x +222y =1.②②-①,得()()21213x x x x -++()()21212y y y y -+=0.所以k 1=2121y y x x --=-()()212123x x y y ++=-46ppx y =-23. (3)依题设,k 1≠k 2. 设M(x M ,y M ),又直线AB 的方程为y-1=k 1(x-1), 即y=k 1x+(1-k 1), 亦即y=k 1x+k 2,代入椭圆方程并化简得(2+321k )x 2+6k 1k 2x+322k -6=0.于是,x M =1221323k k k -+,y M =221223k k +,同理,x N =1222323k k k -+,y N =122223k k +.当k 1k 2≠0时,直线MN 的斜率k=M NM Ny y x x --=()()2222112121469k k k k k k k k +++-+=21211069k k k k --.直线MN 的方程为y-221223k k +=21211069k k k k --(x-1221323k k k -+),即y=21211069k k k k --x+(21211069k k k k --·1221323k k k ++221223k k +),亦即y=21211069k k k k --x-23. 此时直线过定点（0,-23）. 当k 1k 2=0时,直线MN 即为y 轴, 此时亦过点（0,-23）. 综上,直线MN 恒过定点,且坐标为（0,-23）. 综合检测1.(2012东北三校)设椭圆24x +y 2=1的左焦点为F,P 为椭圆上一点,,则|PF|等于( )(A)12(B)32(C)52(D)72解析:设,y),由34+y 2=1, 解得y 2=14.由椭圆方程24x +y 2=1知a=2,b=1.。