蔡氏电路的建模、仿真及混沌稳定岛图的研究

用Multisim软件仿真蔡氏电路的混沌现象作者：柴连明高伟来源：《科技创业月刊》 2014年第7期柴连明１高伟２（１甘肃省平凉医学高等专科学校２甘肃省平凉市第一中学甘肃平凉７４４０００）摘要：蔡氏电路是可以表现出标准的混沌理论行为的典型非线性电路。

文章利用Ｍｕｌｔｉｓｉｍ软件强大的电路仿真功能，在计算机上仿真研究了蔡氏混沌电路的混沌特性。

结果发现，用Ｍｕｌｔｉｓｉｍ软件可以展示各种丰富分岔和混沌的现象，对混沌实验研究具有借鉴意义。

关键词：Ｍｕｌｔｉｓｉｍ软件；蔡氏电路；混沌现象中图分类号：TP391.9文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６６５－２２７２．２０１4．07．０74混沌理论是作为20世纪三大科学革命之一的非线性科学的重要组成部分。

蔡氏电路由于可以表现出标准的混沌行为，从而被学术界作为研究混沌电路的典范。

实际蔡氏电路的实验具体实现具有一定的技术难度，这是由于混沌运动对对电路元件参数的误差特别敏感。

并且电子器件的参数往往与其标称值有一定的差异，造成元件选择有一定的困难，电阻电容的参数随温度变化较大，这些对用电子元器件构成蔡氏电路的精度和稳定性造成影响。

这是混沌电子线路实验的特点，这种特点使非线性电路的设计极易失败，同时使非线性电子线路实验具有很大的局限性，所以混沌电路对于系统设计和参数适配的问题尚需要进一步研究。

针对上述问题，我们可以利用电路仿真软件Ｍｕｌｔｉｓｉｍ强大的仿真功能，在计算机上通过仿真研究蔡氏电路的混沌现象。

１电路仿真软件Ｍｕｌｔｉｓｉｍ简介Ｍｕｌｔｉｓｉｍ软件是美国国家仪器有限公司推出的以Ｗｉｎｄｏｗｓ为基础的仿真工具。

它包含了电路原理图的图形输入、电路硬件描述语言输入方式，具有丰富的仿真分析能力。

它具有以下主要特点：（１）Ｍｕｌｔｉｓｉｍ软件采用直观的图形界面创建电路：在计算机屏幕上模仿真实实验室的工作台，绘制电路图需要的元器件、电路仿真需要的测试仪器均可直接从屏幕上选取。

目录前言 (4)第一章混沌学基本理论 (4) (5)混沌的定义 (5)混沌的主要特征 (6)混沌的意义 (7)混沌的发展与前景展望 (7)蔡氏电路简介 (8)软件介绍 (8)第二章蔡氏电路理论分析 (10)蔡氏电路构成及蔡氏二极管 (10)蔡氏电路的数学模型 (14) (14)平衡点及稳定性 (15)第三章蔡氏电路的电路实验 (19)典型蔡氏电路仿真 (19)振荡吸收器 (23)等效电感 (31)第四章结束语 (34)第五章总结与心得 (36)参考文献 (39)致谢 (40)附录 (41)蔡氏电路混沌特性的实验研究摘要：混沌现象是一种确定性的非线性运动，在非线性控制领域，混沌控制的研究受到人们越来越多的关注。

典型蔡氏电路结构简单，但有复杂的混沌动力学特征，因而在混沌控制领域中成为研究的重要对象。

本次设计简单介绍了混沌学基本理论，从理论分析和仿真实验两个角度分别研究Chua's Circuit的混沌行为，用Multisim 软件对电路进行仿真实验，通过改变参数，得到了系统各周期的相轨图，并对实验中遇到的现象进行简单的讨论，将蔡氏电路与一个线性二阶电路耦合，得到了更加丰富的混沌行为。

由于普通蔡氏电路在产生混沌现象时,其元件参数可调范围很小,且对初始条件极为敏感，不易于搭建实验电路。

所以引入了电感等效电路，在本文的最后将蔡氏电路中的电感用等效电路替代，从而实现了无感蔡氏电路。

关键词：混沌；蔡氏电路；Multisim；振荡吸收器；等效电感Experimental Study of Chua's Circuit ChaoticAbstract：Chaos is a deterministic non-linear movement, in the field of nonlinear control, chaotic control get more and more attention by people. Typical Chua's circuit is simple, but complex and chaotic dynamics characteristics, so become an important research object in the field of chaos control . The design simple introduced the basic theory of chaos, study the chaotic behavior of Chua's Circuit from two angles of the theoretical analysis and experimental with Multisim circuit simulation software, by changing the parameters, get each cycle tracks phase diagram of the system, simple discuss the experimental phenomena encountered, couple the second-order Chua's circuit with a linear circuit ("oscillation absorber"), get even more chaotic behavior of the rich. As the general chaos in Chua's circuit in the production, its range of component parameters adjustable is very small, and extremely sensitive to initialconditions, hard to set up experimental circuit. Therefore introduce the inductor equivalent circuit, in this final, change the inductor of Chua's circuit with the equivalent circuit, thus achieving non- inductor of Chua's circuit.Key words：chaos; Chua's circuit; Multisim; vibration absorber; equivalent inductance前言“1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。

蔡氏混沌非线性电路的研究摘要本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。

通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。

最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。

关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真AbstractThis paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed.Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；simulation一．引言：混沌是一种自然界普遍存在的非线性现象，随着计算机的快速发展，混沌现象及其应用已成为自然科学和社会科学领域的一个重点研究对象。

非线性电路课程报告电气工程学院蔡氏混沌电路的MATLAB仿真摘要：混沌是非线性系统中的常见现象。

本文应用MA TLAB软件对蔡氏电路进行了仿真分析，并对仿真结果作了讨论，指出了这种研究方法的应用前景。

关键词：蔡氏电路混沌动力学吸引子系统仿真1.引言作为一种普遍存在的非线性现象, 混沌的发现对科学的发展具有深远的影响。

混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为,即：一个可由确定性方程描述的非线性系统,其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性, 我们就认为该系统存在混沌现象.混沌具有三个特点:随机性;遍历性;规律性。

混沌有一个很重要的性质:系统行为对初始条件非常敏感。

混沌理论是架起确定论和概率论两大理论体系之间的桥梁，与相对论、量子力学一起被称为20世纪物理学的三大革命。

近年来，混沌现象及其应用成为一个研究热点，学者们对混沌在通讯工程、电子工程、生物工程、经济学等领域中的应用进行着广泛的研究。

许多学者通过非线性电路对混沌行为进行了广泛地研究, 其中最典型的是蔡氏电路,它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路。

在电路与系统领域，由于蔡氏电路的提出，对混沌理论及其应用的研究也变得十分活跃。

蔡氏混沌电路是一个物理结构及数学模型都相对简单的混沌系统，然而它也是一个典型的混沌电路，对蔡氏电路的研究有助于理解混沌的演化过程及其了解混沌相关特性。

由于混沌动力学系统的复杂性，绝大多数混沌动力学系统难以用已知的函数表示其通解，所以通过数值计算对混沌行为的时空演化进行描述是研究混沌的一种重要方法。

MATLAB软件是以矩阵计算为基础的数值计算、模型仿真的优秀数学工具。

借助MATLAB软件强大的数值计算及仿真能力，使得对许多复杂的混沌系统的研究变得相对容易和直观。

本文对其进行深入的数学分析；在MA TIAB环境下，建立了该电路的仿真模型，通过改变电路中的线性电阻值和系统状态变量初始值，对其非线性动力学行为进行仿真分析。

蔡氏电路混沌特性开题报告一、研究背景混沌现象是非线性系统动力学中的一种重要现象，它表现为无规则、不可预测的运动行为。

而混沌电路是指具有混沌特性的电路，其输出信号在特定条件下表现出混沌行为。

蔡氏电路是一种典型的混沌电路，由蔡浩明教授于1991年提出。

蔡氏电路包含了两个非线性电感元件和一个非线性电阻元件，因其结构简单、参数可调等特点，成为了混沌研究领域中的经典电路之一。

本研究旨在通过对蔡氏电路进行建模与分析，探究其混沌特性的产生机制，以及如何通过调节电路参数控制混沌现象的出现频率等参数。

深入研究蔡氏电路的特性对于混沌理论的理解和应用具有重要意义。

二、研究目标本研究的主要目标包括：1.建立蔡氏电路的数学模型，并使用数值仿真方法验证模型的正确性和可靠性。

2.分析蔡氏电路的混沌特性，探究其混沌现象的产生机制。

3.研究不同电路参数对蔡氏电路混沌特性的影响，寻找合适的参数范围，以及调节参数实现对混沌现象的控制。

4.探讨蔡氏电路在通信、加密和混沌发生器设计等领域中的应用前景。

三、研究内容1.蔡氏电路模型的建立首先，我们将根据蔡氏电路的原理和结构，建立其数学模型。

蔡氏电路由一个非线性电感元件、一个带负反馈的非线性电阻元件以及一个线性电容元件组成。

我们将分别推导出电感元件、电阻元件和电容元件的动态方程，并通过耦合关系得到整个蔡氏电路的运动方程。

2.数值仿真与模型验证在模型建立后，我们将利用数值仿真工具，如MATLAB或Python等，对蔡氏电路进行数值模拟。

通过对比仿真结果与理论模型的数据，验证所建立的蔡氏电路模型的正确性和可靠性。

3.混沌特性分析通过对蔡氏电路的数值仿真结果进行分析，我们将研究蔡氏电路的混沌特性。

主要包括混沌现象的产生条件、混沌现象的稳定性以及混沌特性的定量描述等。

我们将运用有关混沌分析的方法和指标，如李雅普诺夫指数、庞加莱映射等，对蔡氏电路的混沌特性进行详细分析。

4.参数调节与混沌控制在混沌特性的分析基础上，我们将研究蔡氏电路中各个参数对混沌现象的影响。

一、选题背景混沌(chaos)研究是20 世纪物理学的重大事件。

混沌现象普遍存在于自然界和人类社会中，是在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，是非线性动力学系统特有的一种运动形式。

混沌具有三个特点：随机性；遍历性；规律性。

随着高精度电子器件的广泛应用，电路中出现了大量的非线性现象。

已有的线性电路理论无法解释非线性电路的行为，又不能指导非线性电路的分析与综合，于是有关非线性电路的理论研究迅速展开，非线性电路中的混沌现象研究也开始兴起。

1984 年，Chua 提出著名的“蔡氏电路”，这个电路为非线性电路中分岔、混沌现象的研究提供了经典的范例。

1、蔡氏电路模型蔡氏电路是一种物理结构和数学模型简单的混沌系统，该混沌系统也常被用来进行混沌理论及应用方面的研究。

该电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻。

这样可以把电路分为线性和非线性两部分。

其中线性部分包括:电阻R、电感L(含内阻r)和两个电容C1 与C2；非线性部分由分段线性电阻N R来完成。

电路原理图如下：图一蔡氏电路原理图图二分段线性电阻N R的伏安特性曲线2、蔡氏电路理论基础由Kirchhoff结点电流定律（KCL）得到蔡氏电路的动力学状态方程为：蔡氏电路中的非线性电阻又称为蔡氏二极管，可采用多种方式实现。

一种较简单的实现电路见图三。

图三用集成运放组成蔡氏二极管电路二、电路实现和仿真验证（1）用直流扫描分析蔡氏二极管的伏安特性。

已知R1=3.3kΩ，R2=22kΩ，R3=22kΩ，R4=2.2kΩ，R5=220Ω，R6=220Ω。

通过双运算放大器（型号：TL082）和6个电阻来实现非线性电阻。

在仿真时，除集成运算放大器外均使用的是虚拟元件。

电路原理图如下：通过直流扫描（DC Sweep），得到蔡氏二极管的伏安特性曲线如下：从而得到分段线性电阻N R的伏安特性曲线中U0=0.966V（2）R=1.6kΩ，L =18mH，C1=10nF，C2=100nF，初值为零，蔡氏二极管按（1）中参数实现。

引言混沌研究最先起源于Lorenz研究天气预报时用到的三个动力学方程．后来的研究表明，无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。

而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一。

其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路，这个电路是由加州大学伯克利分校的蔡少棠首先发起研究的。

在这个电路中观察到了混沌吸引子。

蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有应该从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。

蔡氏电路虽然简单，但其中蕴含着丰富和复杂的非线性现象。

不须改变电路系统结构，只调整控制参数R，就能获得电路系统不同状态的响应输出信号[1]。

该文对产生混沌现象的蔡氏电路进行了研究,建立了数学模型,分析了产生混沌的原因,并根据建立的数学模型,利用MATLAB进行了仿真研究,仿真结果表明在一定的条件下该电路能够出现混沌双涡卷吸引子和稳定周期轨道。

+1 混沌学概述1.1混沌与非线性科学混沌学于上世纪六十年代初在美国兴起。

它是非线性系统中存在的一种普遍现象，也是非线性系统所特有的一种复杂状态。

所以我在论文中研究的蔡氏电路必然是一个非线性系统，确切地说是一个非线性动力系统。

从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。

“线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。

第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则不能。

第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。

1.2混沌的含义混沌到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，所以只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。

模电期末论文《蔡氏电路混沌特性的研究》2009013157模电期末论文——关于蔡氏电路混沌现象的研究2009013157 生医9 王颖奇*所有仿真结果均于2010年12月24日完成在上学期的大学物理教材中，混沌现象就曾经被老师提起。

书中介绍，混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。

进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。

牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。

因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。

“ 混沌”是近代非常引人注目的热点研究，它掀起了继相对论和量子力学以来基础科学的第三次革命。

科学中的混沌概念不同于古典哲学和日常语言中的理解，简单地说，混沌是一种确定系统中出现的无规则的运动。

混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。

那么这种现象在电路有什么应用呢？传统上，人们把信号分为两大类：确定性信号这种信号所有时刻的波形都是确定的；随机过程它的波形由概率分布确定。

然而，这样的分类忽略了另一类极为重要的信号——混沌信号。

混沌信号的波形是非常不规则的，表面上看来就象噪声，但实际上它却是由确定性的规则所产生的，这种规则有时是很简单的。

正是这种简单的规则产生出复杂的波形激发了人们对它极大的兴趣。

在图（1-2）中，我们向大家展示了由Logistic映射所生成的混沌信号与白噪声信号，从表面上我们是无法判断出噪声与混沌的。

让人兴奋的是：实践证明，在大量的物理系统和自然系统中都存在着混沌信号！虽然，混沌现象的出现使我们无法对系统的长期行为进行预测，但是我们完全可以利用混沌的规律对系统进行短期的行为预测，这样比传统的统计学方法更加有效。

在工程学中，混沌现象主要有以下两方面的应用。

一种控制蔡电路的分岔和混沌的方法
蔡电路是一种具有混沌性质的重要电路，它既可以用于分岔控制，也可以用于混沌控制。

关于控制蔡电路的分岔和混沌，下面给出了一些实用的方法。

首先，用分岔技术控制蔡电路。

该技术称为“分岔迭代技术”。

它是一种用动态规划技术和迭代计算等方法以范围，概率和对照的综合形式为分岔控制系统开发模型的技术。

该技术的优点是可以灵活的使用当前的控制模式，不断的迭代地检测控制的效果，如果检测到运行状态出现异常，也可以快速响应，采取措施进行控制。

另外，用混沌技术控制蔡电路。

通过改变蔡电路的参数和初始状态，可以实现对电路的混沌控制。

可以使用神经网络技术，利用其非线性、可正则化网络模型，来预测电路状态和输出，从而可以有效地控制蔡电路的状态。

此外，为了更好地控制蔡电路，还需要把分岔技术和混沌技术结合起来，并采用多种控制策略，如极限控制、参数控制，不断地迭代和检测其控制效果，从而有效地避免系统出现异常和混沌状态。

总而言之，控制蔡电路的分岔和混沌，可以采用多种控制策略和技术，如分岔迭代技术、神经网络技术和混沌技术等，可以有效地控制蔡电路的状态，对于系统出现异常和混沌状态，有效的避免相关的不利影响。

蔡氏混沌电路分析研究蔡氏混沌电路分析研究摘要：众所周知，蔡氏电路是一种简单的非电子性电路设计，它可以表现出标准的混沌理论行为。

混沌是一种发生在确定系统中的不确定行为，表现为不同于平衡状态、周期状态和拟周期状态的这三种状态外的另一种状态，产生的混沌现象极为丰富。

随着社会的开展，混沌动力学以其内容丰富的特点，成为了一个被广泛研究应用的知识学科。

混沌现象是产生于确定性的状态方程中的一种相似随机的运动，在我们现实生活中较为广泛的存在。

在工程和电工电子学科上最近几年的开展前景也越来越开阔和活泼。

随着时代开展，在现实生活中，混沌应用取得了很大的成果，得到了广泛的成果研究。

尤其是混沌独电路这一局部，其中包括混沌压缩、混沌保密通信、混沌加密和混沌同步。

但是还有一些实际问题需要探讨和研究，作者通过文章来介绍蔡氏混沌电路的电路设计根底与存在的问题及其面临的挑战与机遇。

关键词：混沌电路；广泛；开展；问题文章着重介绍了蔡氏混沌电路的根本设计思路与混沌系统分析方法和混沌电路的根底设计，依据国内外对电路的研究，分析当前各种混沌系统，总结得出混沌电路的开展历史。

文章在理论根底的分析和参考文献研的前提下，对混沌电路的动力学行为的复杂性提出了一种具有多方向多漩涡吸引子的可扩展的蔡氏电路；对混沌振荡的频率那么提出了如MOS管的Colpitts振荡电路设计和同步的一种方法。

20年的时间，人们对蔡氏混沌电路的深入研究与探究，我们发现在蔡氏电路里呈现出来一种丰富的混沌力学行为。

且蔡氏混沌电路已经在保密通讯领域具备了一定的应用能力。

混沌学，是继量子论、相对论的20世纪第三次物理革命产物。

法国数学家在19世纪末期首次发现了动力学系统中的异归宿轨迹和同归宿轨迹，混沌现象作为存在在非线性动力学系统中的一种现象，虽没有复杂的运动形式，但具有普遍性的规律。

1 蔡氏混沌电路工作原理的介绍与研究意义蔡氏混沌电路由线性电感、线性电阻、非线性电阻各一个和线性电容两个组成的三阶段自治动态电路，非线性电阻的伏特安特性，是一个分段型函数，电路中电感L和电容LC振荡电路，有原型的电阻R和电容做成了一个源RC滤波电路。

蔡氏电路的Matlab混沌仿真研究班级：姓名：学号：摘要本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。

通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。

最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。

关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真AbstractThis paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed.Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；Simulation1、引言混沌理论的基本思想起源于20世纪初，完善于20世纪60年代后，发展壮大于20世纪80年代，被认为是继相对论、量子力学之后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性的科学领域第三次大革命。

蔡氏电路及混沌现象研究一、引言在非线性电路中蔡氏电路是迄今为止产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。

混沌(chaos)现象的研究是非线性系统理论研究中的前沿课题之一,混沌现象普遍存在物理、化学、生物学，以及社会科学等等各个学科领域中,是在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象,是非线性动力学系统特有的一种运[1]。

动形式。

蔡氏电路是一个能产生混沌现象的最简单三阶自治电路1983年，美籍华裔科学家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏电路(chua's circuit)。

它是历史上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路，也是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。

通过改变蔡氏电路的拓扑结构或电路参数，可以产生倍周期分叉、单涡卷、周期3、双涡卷吸引子、多涡卷吸引子等十分丰富的混沌现象。

因此，蔡氏电路开启了混沌电子学的大门，人们已围绕它开展了混沌机理的探索、混沌在保密通信中的应用研究，并取得了一系列丰硕的成果。

图1(a)是蔡氏电路的电路拓扑图，它是一个三阶电路，有两个电容、一个电感、一个线性电阻，并含有一个非线性电阻元件N，它R的伏一安特性曲线如图1 (b)所示，是一个分段线性函数，中间一段呈现负电阻的特征，它可以用开关电源等电子电路来实现。

．考虑图1(a)的电路，非线性电阻的伏安特性曲线由图1(b)给出。

蔡氏电路的动力学特性由下列各式描述：其中v，v和i分别是C，C两端的电压以及流过￡的电流，21c1Lc2g(vc1)是图(6)所示的分段线性化函数，G=1／R。

该电路描述可以写成无量纲的形式(即下面的正规化状态方程)：其中，α和α是非线性函数，满足如下方程：)·K(是参数，21．其中m和m是参数。

给定适当的参数，该系统表现出混沌行为。

10方程(2)是非线性的微分方程组，一般需要用四阶龙格一库塔算法这样的数值方法求解。

其算法思想如下：基于Tavlor级数展开的方法，利用f在某些点处函数值的线性组合构造差分方程，从而避免高阶导数的计算。