7.1达朗贝尔公式

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7.1达朗贝尔公式

Wuhan University
u ( x, y ) = ?
答： x
五、小结
1、
§7.1
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2uxx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
u xx 1 1 ′′( x + at ) + ϕ ′′( x − at )] + = [ϕ [ψ ′( x + at ) − ψ ′( x − at )] 2 2a
Wuhan Uni7.1
达朗贝尔公式
1、适定性：（2）任意性已由初始条件唯一确定。（3）稳定性：设
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 1 x + at + (6) ∫x − at ψ (α ) d α 2a
的解为
方程（1）的通解为
u ( x , y ) = f 1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
Wuhan University
2能否用行波法求解??????302sin010321xxuxxuuuuyyyxyxx???????????0cos110012222yyyuxxxuyxyxyxu71达朗贝尔公式3yxyx?????????????yxyx3本节作业习题71
Methods of Mathematical Physics 武汉大学物理科学与技术学院
∂x ∂y ∂x ∂y
⎧uxx + 2uxy − 3u yy = 0 (1) ⎪ (1) ⎨u( x,0) = sin x (2) ⎪u ( x,0) = x (3) ⎩ y

2达朗贝尔公式、波的传播

三、传播波
自由振动情形下的波动方程的解，可以表示成形如 F x at和Gx at 的两个函数的和，由此可以看出波动传播的性质。
当波动方程的解具有如下形式时，振动
的波形以常速度a向右传播。齐次波动方程的形如 F x at 的解描述的运动规律，称为右传播波。同样，形如
Gx at 的解，称为左传播波。这种把定解问题(Ⅰ)表示为右传播波和左传播
瞬时作用的叠加。因此，定解问题的解应表示为 u x, t lim
t j 0
~ W x, t; t j , t j .
l j 1
~ 因为6是线性方程，故 W与t j 成正比，若记 Wx, t; 为如下定解问题的解
2 2W 2 W t , 0 2 a 2 t x W t : W 0 , f x, . t
就可以达到要求。
x 0 x x x x 0,
将上面定义的函数 x 和 x 代入2式，即得问题的解 1 x at 1 2 x at x at 2a x at d u x, t 1 x at 1 x at at x d at x 2a 2
则问题(Ⅰ)和(Ⅱ)的解之和即为所求问题的解。对于自由振动情况的初值问题(Ⅰ)，可以通过自变量变换的方法求解。引入新自变量
x at,
x at.
2 2 2u 2 u 2 u a 4a 0 2 2 t x
将相应的导数求出代入方程得
对上式直接求解，得方程的通解为 u , F G . 再代回原来的自变量得 ux, t F x at Gx at. 再根据初值问题(Ⅰ)的初始条件得到 u t 0 F x G x x ,

数学物理方法-7.4达朗贝尔公式-PPT课件

x x 0
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 1 1 0 2 0 2 2 a 2 x 0
x
1 1 1 f ( x at ) ( x at ) ( ) d [ f ( x ) f ( x )] 2 1 0 2 0 2 a 2 x 0
x at
x at
x at
（二）端点的反射一个端点固定
2 2 2 ( 2 a 2) u ( x ,t ) 0 t x
( 0x )
设初始条件为边界条件
u t0 (x)
和
ux t0 (x)
u x0 0
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。自变量限制为 x 0 。

衔接条件
f ( t ) g ( t ) h ( t ), 1I 1 II IY [ f ' ( t ) g ' ( t )] II Y h ' ( t ) a a
f ( t ) g ( t ) h ( t ), III I II a Y [ f ( t ) g ( t )] a Y h ' ( t )
( x)
x1 x
x1 x2 x x2 2 x x1, or, x x2
x1 x2 2
(x) 0
u(x, t)
1 (x) 2
u0
x1
x2
x x x
u0
x
x1
x1 x 2 2
x2
1 u ( x , t ) [ ( x at ) ( x at )] 2

数学物理方法课件第七章-----行波法

变量代换
x at
x at
2 u( , ) 0
a a u ( x, t ) 0 x t x t
u f1 ( ) f 2 ( )
行波法解题要领
• 行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为： • （1）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从而得到方程的通解； • （2）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微分方程为常数），从而得到其特解。 • 注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程的通解均不易获得，使用定解条件确定其任意函数或常数也绝非易事，故行波法也有其较大的局限性。但是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点(实际上我们主要只使用它研究波动问题)。因此行波法是求解数学物理方程的基本的和主要的方法之一。
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
解： 1 ）做特征变换，求定解问题Ⅰ中方程①的通 () 一、达朗贝尔公式 dx 2 ①的特征方程为： ( ) a2 0 算符分解 dt ①式 dx dx a a u 0 x0 x 即( a )(t a) t dt dt 从而得到两簇特征线 (积分后得到 )如下： x a( ) t 坐标变换： x at c1 , x at c2 做特征变换 x at x at ④
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式利用复合函数求导法则，有 u u u u u x x x

降维法推导达朗贝尔公式

降维法推导达朗贝尔公式降维法是一种常用的数据处理方法，在数据分析和机器学习领域具有重要的应用价值。

降维的目的是从高维空间中找到一个低维子空间，能够保留原有数据的主要信息，同时减少数据维度，简化计算复杂度。

在降维法中，达朗贝尔公式是一个重要的定理，它可以帮助我们理解降维过程中数据的变化。

达朗贝尔公式的推导主要基于线性代数的知识，下面我们就一起来推导一下达朗贝尔公式。

假设我们有一个原始数据矩阵X，其中每一行代表一个样本，每一列代表一个特征。

我们的目标是将这个矩阵降维为一个新的矩阵Y，使得Y能够尽可能地保留X中的主要信息。

首先，我们需要找到一个转换矩阵A，将原始数据矩阵X映射到一个新的低维空间。

这个转换矩阵A的列向量是我们感兴趣的特征向量，它们构成了一个正交基。

我们假设A的每一个列向量都是单位向量，即它们的长度为1。

接下来，我们将原始数据矩阵X用转换矩阵A进行线性变换，得到新的矩阵Y：Y=XA矩阵Y的每一列是原始数据矩阵X的每一行在转换矩阵A的基上的投影，它们构成了新的低维子空间。

现在我们来推导达朗贝尔公式。

假设X的协方差矩阵为C，Y的协方差矩阵为D。

我们知道协方差矩阵描述了数据之间的相关性。

首先，我们需要计算C和D之间的关系。

我们知道投影前后的数据具有相同的协方差矩阵，即C和D具有相同的特征值，不同的特征向量。

假设矩阵A的列向量是特征向量，记作a1,a2,...,am，对应的特征值是λ1,λ2,...,λm。

则有：CA=AΛDA=AΛ其中Λ是一个对角阵，对角线上的元素是特征值。

我们可以将上述等式两边同时左乘A的逆矩阵A^(-1)：C=AΛA^(-1)D=AΛA^(-1)其中A^(-1)是A的逆矩阵。

根据矩阵乘法的性质，我们可以得到：D=AΛA^(-1)=AA^(-1)Λ=Λ我们可以看到，新的协方差矩阵D就是特征值构成的对角矩阵Λ。

这就是达朗贝尔公式的推导过程。

通过达朗贝尔公式，我们可以进一步理解降维的过程。

达朗贝尔公式的推导

达朗贝尔公式的推导
达朗贝尔公式是用于计算球体表面积的公式，其推导可以分为以下几步：
1. 将球体划分为许多小面片，每个小面片都可以近似看作一个平面三角形。

2. 对于一个小面片，其面积可以使用三角形面积公式计算，即 S = 1/2ab*sin(C)，其中 a、b 分别为两边的长度，C为其夹角。

3. 将每个小面片的面积加起来即可得到整个球体表面积。

由于球体具有对称性，每个小面片的面积都相等，可以用一个代表性的面积 S0 代替。

4. 通过对球体的几何性质，可以推导出小面片边长 a、b 和夹角 C 之间的关系式：cos(C) = cos(a/r)*cos(b/r) +
sin(a/r)*sin(b/r)*cos(θ)，其中 r 为球体半径，θ为两边的夹角。

5. 将第4步得到的关系式代入第2步的公式中，即可得到达朗贝尔公式：S = 4πr^2，其中π为圆周率。

总结起来，达朗贝尔公式的推导主要依赖于球体的几何性质和三角形面积公式，并通过分割小面片、近似处理等方法进行求解。

- 1 -。

达朗贝尔公式

达朗贝尔公式
达朗贝尔公式是一种可以用于计算和比较利息的公式。

它是由18世纪英国经济学家威廉·达朗贝尔（William J. Darby）创造的，用来计算一种名为实际利率的概念。

达朗贝尔公式由两个因素组成，即贴现率（discount rate）和时间价值（time value）。

贴现率表示贷款本息的实际利率，而时间价值表示借款本息的未来价值。

达朗贝尔公式的公式如下：
实际利率＝贴现率－时间价值
达朗贝尔公式用于计算和比较利息，而且它也可以用于计算债务的未来价值，以及未来价值和实际价值之间的差异，以及可以用来估计未来收入的折现率。

达朗贝尔公式对经济学家们来说是一个非常重要的工具，它可以帮助他们更好地了解和分析利率及其对经济的影响。

它也可以帮助投资者更好地理解投资的潜在风险和回报。

达朗贝尔公式是一个非常有用的工具，它可以帮助投资者和经济学家正确地估计和比较利息，以便作出明智的投资决策。

它也可以用来估计未来的收入，有助于投资者作出明智的投资决策。

第4节(达朗贝尔公式-定解问题)

只在区间（x1,x2）不为零，在x=(x1+x2)/2达到最大值u0
如图所示：
(x)
2u0
x x1 x2 x1
x1
x
x1
2
x2
u0
(x)
2u0
x2 x x2 x1
0
x1
2
x2
x
x2
x1
x2
x1 x2
x
2
达朗贝尔公式给出
x x1 , x x2
u( x, t) 1 ( x at) 1 ( x at)
从物理角度来说，问题的完整提法是在给定的定解条件下求解数学物理方程。但除了达朗贝尔公式等极少的例子，从数学的角度来讲，不可能先求偏微分方程的通解后在考虑定解必条件，须同时考虑方程本身和定解条件来求解！（和常微分方程不同!）
不管是从物理的角度，还是数学的角度，定解问题都是
一个整体！而不能割裂开。
把初始条件代入通解得到：
f1(x) f2 (x) (x) af1(x) af2(x) (x)
即
f1(x)
f2(x)
解方程 f得1( x)f1f(2x()x)
(x)
1
1
a
(
x x0
x)
(
1
)d
x
(
f1( x0
)d
)
1[
2
2a x0
2
f2( x0 )
f1( x0 )
f2 ( x0 )]
描述了波的传播情况，x=0保持不动，端点的影响反映为
反射波，而且此时反射波的相位根入射波相反，此所谓
半波损失。
12
u
t8
x
t7

第三章达朗贝尔公式

(2) u f (x at) g(x at) 的物理意义行波
例2 在上述问题中，初值条件为
x 1, 1 x 0
(x) 1 x, 0 x 1
0，
其它
-2
(x) 0
试说明其解的物理意义。
2 (x)
1
0
2
由达朗贝尔公式有
u(x,t) (x at) (x at)
2
可见右行波与左行波分别为
1 3
f1(3x)
f2 (x)
C
两式联立，求解得
f1 (3x)
3 ex2 4
3C 4
f1 ( x)
3 4
ex2
/9
3 4
C
f2 (x)
3 ex2 4
3C 4
故原问题的解为
u 3 ey3x2 3 C 3 eyx2 3 C
4
44
4
3 ey3x2 3 eyx2
4
4
2 达朗贝尔公式的物理意义
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=6
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.05 0.04
t=9
0.03 0.02 0.01
f (x at) 1(x at) g(x at) 1 (x at)
2
2
于是右行波与左行波的波形均为
f (x) g(x) 1(x)
2
随着时间的推移，其波形如图所示：
t 0
-4
-2
t1

波动方程的达朗贝尔公式

波动方程的D’Alembert公式
1.一维波动方程Cauchy问题的 D’Alembert公式
⎧ utt = a u xx , − ∞ < x < ∞, t > 0, ⎪ ⎨ ⎪u |t =0 = ϕ ( x ) , ut |t =0 = ψ ( x ) , −∞ < x < ∞ ⎩
2
(1) (2)
即
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
(3)
容易验证, 只要 F G 具有二阶连续偏导, 表达式(3)就是方程(1)的通解. 再由初始条件
F ( x) + G ( x) = ϕ ( x) −aF ′ ( x ) + aG′ ( x ) = ψ ( x )
启发人们把数学上解的概念加以扩充:用一个充分光滑的初始函数序列来逼近不够光滑的初始函数,前者所对应的解的序列的极限就是定义为后者所确定的解,称为问题的广义解.这就是首先由索波列夫所引入的广义定义的解概念.引入广义解概念的好处,就在于对定解条件的要求放宽了,从而使方程所能描述的物理现象更为广泛.
z
( x, y, z ) 在球面上的平均值为 2π π 1 v ( x, y , z , t ) = ω (α , β , γ )ds 2 2 ∫0 ∫0
4π a t
θ (α , β , γ ) M ( x, y , z ) at
1 2π π = ∫0 ∫0 ω (α , β , γ )d Ω 4π a = x + at sin θ cos ϕ β = y + at sin θ sin ϕ γ = z +n θ dθ dϕ d Ω = sin θ dθ dϕ

达朗贝尔公式

uxx u u u u u 2u u
代入方程并化简得
utt a2 (u 2u u )
u 0
对偏积分得：u f1( )
再对偏积分得：u f1( )d g()
f ( ) g() 其中 f 和 g 为两个任意函数。于是得偏微分方程 u 0 的
0.05 0.04
t=50
0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
（2）初位移为零，初速度不为零：
则解为
(x) 0

(x)

1 0
0 x1 others
u(x,t) 1
解：将初始条件代入达朗贝尔公式，有
u( x, t )

[e 1
( xat )2
2
e ] ( xat )2
1 2a
xat 2ases2 ds
xat

1 2
[e
(
x

at
)2
e( xat)2 ]
1 2
xat es2 ds2
x at

1 2
[e
(
x

at
xat
( )d
1
xat
( )d
1
xat
( )d
2a xat
2a
2a
该式表示将函数
1 2a
0 x 0
x ( )d x / 2a 0 x 1

1 / 2a x 1
表示的波形向左、右以a的速度移动。 1

达朗贝尔公式

t =0
= ψ ( x)
=0
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。自变量限制为 x ≥ 0 。
1 1 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫ ψ (ξ )dξ 2 2a x −at
x + at
t > x/a
u (0, t ) = 0
时，上式中后两项无意义。必须将 u(x,t) 延拓到这个范围。，作奇延拓： ϕ ( x) → Φ ( x)
x − at
x
x + at
当 a=1 ，相当于沿 x 和 t 求导，变成沿对角线求导。当 a 不为一，则求导的线进行相应的角度变化。变换： x = (ξ + η )
1 2
和
t=
1 (ξ − η ) 2a
t
显然， ξ = x + at
∂ ∂t ∂ ∂x ∂ = + ∂ξ ∂ξ ∂t ∂ξ ∂x ∂ ∂t ∂ ∂x ∂ = + ∂η ∂η ∂t ∂η ∂x
= f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
X = x − at T = t
新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐标中有坐标 x = at ，即在旧坐标中以速度 d 运动，而函数 f2(x-at) 保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴正方向运动。 f1 (x+at) 保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴反方向运动。
7.4 达朗贝尔公式
定解问题
行波法
（一）波动方程的达朗贝尔公式达朗贝尔公式 A.坐标变换
2 ∂2 2 ∂ ( 2 −a )u ( x , t ) = 0 ∂t ∂x 2

达朗贝尔公式教学课件

预备定理和概念
熟悉相关的预备定理和概念，如泰勒级数、欧拉公式等，为证明过程做好准备。
证明过程详解
泰勒级数展开
利用泰勒级数展开，将复杂的函数表示为无穷级数的情势，为后
续证明提供基础。
欧拉公式应用
利用欧拉公式将复数情势的泰勒级数转换为实数情势，便于理解和应用。
证明主要步骤
详细阐述证明的主要步骤，包括公式的推导、等价变换、无穷级数的求和等。
达朗贝尔公式教学课件
目录
• 达朗贝尔公式简介 • 达朗贝尔公式的推导过程 • 达朗贝尔公式的证明 • 达朗贝尔公式的应用实例 • 达朗贝尔公式的贝尔公式的定义
总结词
达朗贝尔公式是物理学中的一个重要公式，用于描述振荡系统的运动规律。
详细描述
达朗贝尔公式是由法国数学家和物理学家达朗贝尔提出的，它通过将振荡系统的运动表示为多个正弦波的叠加，来描述系统的位移、速度和加速度随时间的变化。
达朗贝尔公式的历史背景
总结词
达朗贝尔公式的提出是在18世纪，是物理学发展史上的一个重要里程碑。
详细描述
在达朗贝尔之前，科学家们对振荡系统的研究主要集中在单摆和弹簧振荡器等简单模型上。然而，达朗贝尔公式的提出为更复杂的振荡系统提供了统一的描述方法，推动了物理学的发展。
达朗贝尔公式的应用领域
05
达朗贝尔公式的扩大与深化
与其他公式的关联
达朗贝尔公式与牛顿第二定律的关系
达朗贝尔公式是牛顿第二定律的特殊情势，适用于分析受力的质点运动。
与能量守恒定律的关联
达朗贝尔公式中的力与势能变化之间的关系与能量守恒定律相一致。
公式的进一步推导
要点一
推导达朗贝尔公式的微分情势
通过微积分学的方法，将达朗贝尔公式推导为适用于连续系统的微分情势。

理论力学PPT课件第7章达郎贝尔原理

答：
2 aC 3 g
FT
1 3
mg
2021年11月2日
20
思考：
①匀质杆质量m,长L，接触面光滑。
求: 杆AB在图示水平位置静止释放时的角加速度。
解：杆作平面运动,此瞬时的角速度为零。
分别取A，B为基点，则有
2021年11月2日
21
acxacyaBaC B
acyacxaAaC A
aA
acx3L, acyL/2
交点上
2021年11月2日
16
§7.4 达朗贝尔原理的应用
例1 质量为m、长为L的匀质杆
AB在图示位置无初速释放。求：释放瞬时杆AB的加速度、柔索A、B内的拉力。
答：
agsin
FAFB
1mgcos
2
扩展性讨论
2021年11月2日
17
④已知滑轮A：m1、R1，R1=2R2，JO; 滑轮B：m2、R2，JC ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。
56
FN
mg 29
2021年11月2日
27
例4 求匀质圆盘转动的角加速度和柔索的拉力。
2021年11月2日
答：
2mBg
mA 2mB
R
FT
mAmBg mA 2mB
扩展性讨论
28
例5 已知：两均质杆m, L。求绳子剪断瞬时两杆的角加速度 1和2 ，
O
O
A
B
A
B
答： 1 0
2
3g 2L
2021年11月2日
2021年11月2日
37
思考:
如图(a)、(b)、(c)、(d)所示定轴转动情形，哪些情况满足静平衡，哪些情况满足动平衡？

达朗贝尔公式教学课件

达朗贝尔公式的近似方法
研究如何利用近似方法简化达朗贝尔公式的求解过程，例如有限差分法、有限元法等，并探讨这些方法的适用范围和局限性。
达朗贝尔公式的未来发展
达朗贝尔公式的最新研究进展
介绍当前关于达朗贝尔公式的最新研究动态和成果，包括一些尚未解决的问题和需要进一步研究的方向。
达朗贝尔公式的未来展望
工程学
在工程学中，达朗贝尔公式被用于分析各种机械振动问题，如桥梁振动、汽车悬挂系统等。
航天学
在航天学中，达朗贝尔公式被用于研究卫星轨道、航天器姿态控制等问题。
02
达朗贝尔公式的推导过程
推导前的准备
回顾相关基础知识
在推导达朗贝尔公式之前，需要回顾和掌握相关的数学基础知识，如微积分、线性代数和常微分
推导公式
根据变换后的数学模型，逐步推导出达朗贝尔公式。
验证公式
通过实例验证公式的正确性和适用范围，确保其在实际问题
中能够得到有效应用。
推导结果总结
总结公式形式
对推导得到的达朗贝尔公式进行形式上的总结，明确其表达方式和符
号含义。
分析公式特点
分析公式的特点和使用条件，了解其适用范围
和局限性。
达朗贝尔公式的推广
研究如何将达朗贝尔公式推广到更广泛的领域，例如高阶偏微分方程、非线性问题等，并探讨其在这些领域中的重要性和作用。
达朗贝尔公式的深化
达朗贝尔公式的数学基础
深入探讨达朗贝尔公式的数学原理和基础，包括偏微分方程的基本理论、解的稳定性与收敛性等，以帮助学习者更好地理解公式的本质和来源。
达朗贝尔公式教学课件
目录
• 达朗贝尔公式简介 • 达朗贝尔公式的推导过程 • 达朗贝尔公式的证明 • 达朗贝尔公式的应用实例 • 达朗贝尔公式的扩展与深化

《数理方程》波动方程的达朗贝尔公式

反过来,我们考虑这样的问题:如果在初始时刻t=0,扰动仅在一有限区间 x1, x2 上存在,那末,经过时间t后,它所影响到的范围是什么? 在 x, t 平面上,过
x1,0 和 x2 ,0 两点,分别作直线,
(i) (ii)
x x1 at
x x2 at
(半径为at的球面元素) (半径为1的球面元素)

x 0 y
2 t u M , t u x, y , z , t , , ds 2 2 0 0 t 4 a t 2 1 , , ds 2 2 0 0 4 a t 1 ( , , ) ( , , ) ds M ds M (8) S S at 4 a t at at at
utt a uxx .
2
(iii)
如果要求u1还满足初始速度,则只须把被积函
数 x 换为 x .
问题的解了.
如果还要求u2满足初始位移,则
只须将 x 换为 x .两者都换了之后,u1+u2就成了定解
现在仿照公式(7)’构造三维波动方程初值问题的达氏解. 为此,先作一些对应的讨论:(列在下一页)
依赖区间
决定区域和影响区域
下面我们提出这样一个问题:上述初值问题的解在一点 x0 , t0 的值与初值函数在x轴上哪些点的值有关呢?
为此,在 x, t 平面上,过点 x0 , t0 作两条直线
x at x0 at0 x1 (i) x at x0 at0 x2 (ii)
对式(5)从任意一点 x0 到
(4) (5)
x 积分,得
(6)

达朗贝尔公式

第七章数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式定解问题
1
3.数学物理方程的分类
1.基本概念 a. 二阶偏微分方程: 若 u u ( x ,, x
1
a u
j 1 i 1 ij
n
n
xi x j
bi u xi cu f 0
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的则称此定解问题是适定的。因为定解问题来自实际。
16
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦的两端提出边界条件。定解问题初值问题
(2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的方程是齐次的
2.叠加原理当泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的解的线性叠加.
3
7.4 达朗贝尔公式定解问题
1.无限长的自由振动
满足达朗贝尔公式
2.端点的反射
半无限长弦的自由振动延拓,利用达朗贝尔公式
半无限长杆的自由振动
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的数学物理方程)
4.定解问题的适定性
1 [ ( x at ) ( x at )] 2 1 x at ( )d (t x / a ); 2a x at u 1 [ ( x at) (at x)] 2 1 x at ( )d (t x / a ); 2a at x

7-1 一维波动方程的达朗贝尔公式 chen

1 1 x+t u( x , t ) = (( x − t ) + ( x + t )) + ∫ sin ξ dξ 2 2 x−t 1 x+t = x + ( − cos ξ x − t ) = x + sin x sin t 2
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例题
求下列柯西问题的解.
⎧ξ = x + at 变换 ⎨ 常称为特征变换,行波法称为特征线法. ⎩η = x − at
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1.解题步骤:
⎧ utt = a 2 uxx ⎪ ⎨ u |t = 0 = ϕ ( x ) ⎪u | = ψ ( x) ⎩ t t =0
utt = a 2 uxx 求出通解: 先用
u = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
再求特解,形如:
1 u= [ 2 1 ] + 2a ∫
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2.特点: (1)求解出发点是基于波动现象的特点为背景的变量变换; (2)引入了坐标变换简化方程; (3)优点: 求解方式易于理解,求解波动方程十分方便; (4)缺点: 通解不易求,使之有局限性,一般只用它求解波动问题.
⎧ uxx + 2uxy − 3u yy = 0 ⎪ ⎨ 2 ⎪u | y=0 = 3 x , uy | y=0 = 0 ⎩
y > 0, −∞ < x < +∞
−∞ < x < +∞
先确定所给方程的特征线.为此写出它的特征方程: 它的两族积分线为:

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一、定解问题：
§7.1
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2uxx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
二、求解：
1、思路：仿照求解常微分方程的先求通解，再用初始条件求特解的方法。
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第七章行波法 travelling wave method
中心：用行波法求解无界空间波动问题。
1、掌握行波法解题要领及全过程；目的： 2、熟练地运用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题； 3、掌握三维问题化为一维问题的平均值法。 4、掌握三维波动方程的解－泊松公式及推迟势的应用。
u ( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
(5)
1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 1 x + at + (6) ∫x − at ψ (α ) d α 2a －D’Alembert公式
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u ( x, y ) = ?
答： x
五、小结
1、
§7.1
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2uxx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
u xx 1 1 ′′( x + at ) + ϕ ′′( x − at )] + = [ϕ [ψ ′( x + at ) − ψ ′( x − at )] 2 2a
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三、分析解答：
§7.1
达朗贝尔公式
1、适定性：（2）任意性已由初始条件唯一确定。（3）稳定性：设
(1) ′
u (ξ ,η ) = f1 (ξ ) + f 2 (η ) ( 4 )
通解： u ( x , t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) (5)
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二、求解
3、用初始条件定特解：
§7.1
达朗贝尔公式
⎧utt = a 2u xx , − ∞ < x < ∞ (1) ⎪ ⎨u |t =0 = ϕ ( x) , − ∞ < x < ∞ (2) ⎪u | = ψ ( x), − ∞ < x < ∞ (3) ⎩ t t =0
Methods of Mathematical Physics 武汉大学物理科学与技术学院
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问题的引入：
*数理方法研究问题的步骤
⎧ 写出定解问题 √ ⎪ 求解 ? ⎨ ⎪ 分析解答 ? ⎩
1、抖动的绳子－一维进行波； 2、投石入水－二维进行波； 3、灯塔上发出的灯光－三维进行波；进行波－一往无前向前传播的波。行波法－研究行进行波的方法。
三、分析解答：
1、适定性：（1）达朗贝尔公式存在。
§7.1
达朗贝尔公式
a u t = [ϕ ′( x + at ) − ϕ ′( x − at )] 2 x + at ∂ ψ 1 + [∫ d α + a ⋅ψ ( x + at ) + a ψ ( x − at )] x − at ∂ t 2a a2 a u tt = [ϕ ′′( x + at ) + ϕ ′′( x − at )] + [ψ ′( x + at ) − ψ ′( x − at )] 2 2 1 1 u x = [ϕ ′( x + at ) + ϕ ′( x − at )] + [ψ ( x + at ) − ψ ( x − at )] 2 2a
. .
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四、例题
⎧u tt − a 2 u xx = 0 ⎪ ⎨u ( x,0) = sin x ⎪u ( x,0) = x 2 ⎩ t
t sin x cos at + (3x 2 + a 2t 2 ) 答： 3
§7.1
达朗贝尔公式
⎧u xx − u yy = 0 ⎪ ⎨u ( x,0) = x ⎪u ( x,0) = 0 ⎩ y
⎧ϕ1 ( x) ⎧ψ 1 ( x) u |t =0 = ⎨ ϕ1 − ϕ2 ≤ δ , ψ 1 −ψ 2 ≤ δ ; ut |t =0 = ⎨ ; ⎩ϕ2 ( x) ⎩ψ 2 ( x) 1 u 1 − u 2 ≤ ϕ 1 ( x + at ) − ϕ 2 ( x + at ) + ϕ 1 ( x − at ) − ϕ 2 ( x − at ) 2 1 x + at + ∫x − at [ψ 1 (α ) − ψ 2 (α ) d α 2a 1 1 1 ≤ δ + δ + δ [ x + at + x − at ] = δ [1 + t ] 2 2 2a
ϕ ( x + at ) : 以速度 a 沿 x 轴反向传播的波－反波 1 x （2）设ϕ = 0，Ψ ( x) = ∫ ψ (α )dα : a x0 1 则Mu ( x, t ) = [Ψ ( x + at ) − Ψ ( x − at )] : 2 结论：达朗贝尔解表示正行波和反波的叠加。
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二、求解
选择 ⎧ξ = ( x + at ) ⎨ ⎩η = ( x − at )
§7.1
达朗贝尔公式
2、引入坐标变换求（1）的通解：即：⎧ x = (1 / 2 )(ξ + η ) ⎨ ⎩t = (1 / 2 a )(ξ − η )
∂2 则方程（1）化为： u (ξ , η ) = 0 ∂ξ∂η
结论：达朗贝尔公式存在、唯一、稳定。即，适定.
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三、分析解答：
§7.1
达朗贝尔公式
2、物理意义： 1 （）设ψ = 0，即 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] : 1 2 ϕ ( x − at ) : 以速度 a 沿 x 轴正向传播的波－正波
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第七章行波法 travelling wave method法 travelling wave method §7.1 达朗贝尔公式 D’Alembert formula
物理模型：无界弦的自由振动
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1 u ( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) 2 1 x + at + (6) ∫x − at ψ (α ) d α 2a
的解为
方程（1）的通解为
u ( x , y ) = f 1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
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⎧ξ = 3x − y ⎨ ⎩η = x + y
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本节作业
习题 7.1：1（3）； 4； 7（2）;
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Good-by!
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五、小结
2、行波法：
§7.1
达朗贝尔公式
（1）它基于波动特点为背景；（2）其要领是引入坐标变换简化方程；先求通解再求特解；（3）优点：求解方式易于理解，求波动方程十分方便；（4）缺点：通解不易求，使之有局限性。
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§7.1
达朗贝尔公式
思考： 1、行波法是否仅限于用来 ∂ ∂ ∂ ∂ 求波动问题？ ( − )( + 3 ) 2、能否用行波法求解
∂x ∂y ∂x ∂y
⎧uxx + 2uxy − 3u yy = 0 (1) ⎪ (1) ⎨u( x,0) = sin x (2) ⎪u ( x,0) = x (3) ⎩ y
⎧ ∂ 2u = x 2 y , x > 1, y > 0 ⎪ ⎪ ∂x∂y ⎪ ( 2 ) ⎨ u ( x ,0 ) = x 2 , x >1 ⎪ u (1, y ) = cos y , y>0 ⎪ ⎪ ⎩

7.1达朗贝尔公式

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