正项级数的根式判别法和比式判别法

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨目录摘要 (I)Abstract: ..................................................................................................................................................... I I 1 引言 . (3)2正项级数相关概念 (3)2.1 定义 (3)2.2 正项级数敛散性判别的充要条件 (3)2.3 三个重要比较级数 (4)2.3.1 几何级数 (4)2.3.2 调和级数 (5)2.3.3 P-级数 (5)3 正项级数敛散性判别法 (6)3.1 判别发散的简单方法 (6)3.2 比较判别法 (7)3.2.1 定理及其推论 (7)3.2.2 活用比较判别法 (9)3.2.3 归纳总结 (11)3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法 (12)3.3.1 柯西判别法 (12)3.3.2 达朗贝尔判别法 (13)3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况 (15)3.4 拉贝判别法 (17)3.5 积分判别法 (19)3.6 两种新方法 (20)3.7 判别正项级数敛散性方法的总结 (23)4 在判别级数敛散性中的作用 (23)4.1 证明负项级数的敛散性 (23)4.2 证明变号级数绝对收敛 (24)4.3 证明函数级数收敛 (25)5 结束语 (26)致谢 (27)参考文献: (27)对正项级数敛散性判别法应用性的探讨尹委红（重庆三峡学院数学学院数学与应用数学专业2006级重庆万州 404000）摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.本文主要探讨正项级数∑∞=1 nnu)0(>nu的各种敛散性判别法,主要有积分判别法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法.探讨了它们的证明过程及应用其解决相关的例题.并简单介绍了它们之间的关系,如强弱性的比较,不同形式的nu适合用哪种方法来证明其敛散性更为简单.最后介绍了正项级数敛散性判别法在判别级数敛散性中的作用.关键词: 正项级数;判别法;敛散性Positive Series Convergence Criterion of applicabilityYIN Wei-hong(Grade 2006, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract:Series is a series of positive content is an important series,convergence and Divergence of its basic nature of its. This paper discusses the positive series all Convergence Criterion, There are Integral Test, Comparison Tests, Cauchy Criterion, Criterion big Lambert, Rabe Criterion. Discussed their certification process and application of relevant examples of its solution. And briefly describes the relationships between them, such as comparison of theu which method to prove its convergence and strength of、suitable for different forms ofndivergence easier. Finally, Introduced the positive series Convergence Criterion of Convergence and Divergence in the identification of the role.Keywords: positive series; criterion; convergence1 引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容,也是一个十分重要的内容,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用.2正项级数相关概念2.1 定义设有数列{}n u ,即 .,,,,321 n u u u u 将此数列的项依次用加号连接起来,即+++++n u u u u 321 或 ∑∞=1n n u ，称为数值级数,其中n u 称为级数的第n 项或通项.级数就是无限多个数的和.若级数的每一项n u 的符号都是正,则称级数∑∞=1n nu是正项级数.取级数前n 项的和为n s ,即 n n u u u s +++= 21 或 ∑==nk nn us 1,称为级数的n 项部分和.若一级数的部分和数列{}n s 收敛,设s s n n =∞→lim 或 s unk kn =∑=∞→1lim,则称此级数收敛,s是级数的和,表为 +++++==∑∞=n n nu u u u us 3211.若部分和数列{}n s 发散,则称该级数发散,此时级数没有和.2.2 正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.基本判别定理解决了一个级数的收敛问题,不必研究s s n n =∞→lim ,而粗略地估计n s 的值当∞→n 时是否保持有界就可以了,这样就避开了n s 冠以n 的复杂的表达式.它是判断正项级数收敛（或发散）的最基本方法,几乎所有其它的判别法都是由它导出,但是在具体应用时不大方便.由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理——积分判别法、比较判别法、柯西判别(又叫根值判别法)、达朗贝尔判别法(又叫比值判别法).2.3 三个重要比较级数在正项级数敛散性的判别中往往需要用到一个比较因子,用比较因子的敛散性来判断一个级数收敛还是发散.常用的比较因子有三个重要的正项级数——几何级数、调和级数、p-级数.下面简单介绍这三个级数,及其它们敛散性的证明,便于后面能更好的应用.2.3.1 几何级数(等比级数)讨论几何级数+++++=-∞=-∑1211n n n ar ar ar a ar的敛散性,其中r a ,0≠是公比.解：1）当0≠r 时,已知几何级数的n 项部分和 +++++=-12n n ar ar ar a s（i ）当1<r 时,存在极限,且.11lim lim rar ar a s n n n n -=--=∞→∞→因此,当1<r 时,几何级数收敛,其和是r a -1,即r aar n n -=∑∞=-111.（ii ）当1>r 时,不存在极限,且.1lim lim ∞=--=∞→∞→rar a s nn n n因此,当1>r 时,几何级数发散. 2）当1=r 时,有两种情况:(ⅰ)当1=r 时,几何级数是)0(≠a , +++++a a a a .na a a a s n n =+++=个∞==∞→∞→na s n n n lim lim 即部分和数列{}n s 发散.（ⅱ）当1-=r 时,几何级数是 .)1(1+-++-+--a a a a a n{,,0,,是偶数是奇数n n a n s =即部分和数列{}n s 发散.于是,当1=r 时,几何级数发散.综上所述,几何级数∑∞=-11n n ar ,当1<r 时收敛,其和是ra-1,当1≥r 时发散. 2.3.2 调和级数证明调和级数+++++=∑∞=n n n 13121111是发散的. 证明 设调和级数∑∞=11n n 的n 项部分和是ns ,即.131211n s n ++++= 由于已知.1]ln )1211[(lim .)ln 1211(lim =+++=-+++∞→∞→n nc n n n n 或（欧拉常数）即当∞→n 时,调和级数的部分和n s n 131211++++= 与n ln 是等价无穷大,即调和级数∑∞=11n n 发散. 2.3.3 P-级数讨论p-级数+++++=∑∞=p p p n p n n 13121111的敛散性,其中p 是任意实数.（该级数又称为广义调和级数）解：1）当1=p 时,广义调和级数就是调和级数∑∞=11n n,已知调和级数发散,即p-级数发散.2）当1<p 时,+∈∀N n ,有n n p 11≥.已知调和级数∑∞=11n n发散,根据比较判别法可知,当1<p 时,p-级数发散.3）当1>p 时,2≥∀n ,有]1)1(1[11111-----<p p p n n p n .于是,N n ∈∀,有1111)11(111)1)1(131212111(111)1)1(1(11)3121(11)2111(1111312111111111111111-=-+<--+=--++-+--+=---++--+--+≤++++=-------------p p p n p n n p nn p p p n s p p p p p p p p p p p p p p p p n 即p-级数的部分和数列{}n s 有上界,从而p-级数收敛.综上所述,当1≤p 时,p-级数发散;当1>p 时,p-收敛.在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性,所以必须要熟练掌握这三个级数.3 正项级数敛散性判别法3.1 判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数∑∞=1n nu收敛,,,,0N p N n N N ∈∀>∀∈∃>∀⇔+ε有ε<++++++p n n n u u u 21.取特殊的1=p ,可得推论:若级数∑∞=1n nu收敛,则0lim =∞→nn u .定理2 该推论的逆否命题:若0lim ≠∞→nn u ,则级数∑∞=1n nu发散.例1 快速判断级数∑∞=+12215n n n 的敛散性.解: 由于05115lim22≠=+∞→n n n ,从而根据定理2可知,该级数发散. 如果0lim ≠∞→n n u ,则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散;如果0lim =∞→nn u ,则不能判断级数是否收敛,因为存在级数满足0lim =∞→nn u 的发散级数，如∑∞=11n n ；也存在级数满足0lim =∞→n n u 的收敛级数，如∑∞=121n n.显然该逆否命题只使用于满足0lim ≠∞→nn u 的发散级数.3.2 比较判别法 3.2.1 定理及其推论定理3 (比较判别法) 有两个正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv,且N n N N ≥∀∈∃+,,有n n cv u ≤,c 是正常数.1）若级数∑∞=1n nv收敛,则级数∑∞=1n nu也收敛;2）若级数∑∞=1n nu发散,则级数∑∞=1n nv也发散.证明 因为有定理若去掉、增添或改变级数∑∞=1n nu的有限项,则不改变级数∑∞=1n nu的敛散性,因此,不妨设+∈∀N n ,有 c cv u n n ,≤是正常数.设级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv的n 项部分和分部是n A 与n B ,由上述不等式,有.)(212121n n n n n cB v v v c cv cv cv u u u A =+++=+++≤+++=1）若级数∑∞=1n nv收敛,根据定理1,数列{}n B 有上界,从而数列{}n A 也有上界,再根据定理1,级数∑∞=1n nu收敛.2）若级数∑∞=1n nu发散,根据定理1,数列{}n A 无上界,从而数列{}n B 也无上界,再根据定理1,级数∑∞=1n nv发散.推论 有两个正项级数∑∞=1n n u 与)0(1≠∑∞=n n n v v ,且 k v u nnn =∞→lim).0(+∞≤≤k1）若级数∑∞=1n nv收敛,且+∞<≤k 0,则级数∑∞=1n nu也收敛;2）若级数∑∞=1n nv发散,且+∞≤<k 0,则级数∑∞=1n nu也发散.证明 1）若级数∑∞=1n nv收敛,且+∞<≤k 0,由已知条件,N n N N ≥∀∈∃>∃+,,00ε,有0||ε<-k v u n n 或 0ε+<k v u n n,即N n ≥∀,有n n v k u )(0ε+<,根据定理2,级数∑∞=1n n u 也收敛.2）若级数∑∞=1n nv发散,且+∞<<k 0，由已知条件,N n N N k ≥∀∈∃<<∃+,,0:00εε,有 0||ε<-k v u n n 或 n n v u k <-0ε )0(0>-εk ,即N n ≥∀,有n n u k v 01ε-≤,根据定理2,级数∑∞=1n nu也发散.若级数∑∞=1n nv发散,且+∞=k ,由已知条件,,,,0N n N N M ≥∀∈∃>∃+有M v u n n>,即N n N N ≥∀∈∃+,,有n n u M v 1<,根据定理2,级数∑∞=1n n u 也发散. 从比较判别法的内容,我们可以得出以下几点启示:（1）比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断;（2）比较判别法重在“比较”,是利用两个正项级数的通项结构来比较的;要求必须掌握等比级数,调和级数,p-级数的敛散性,因为比较判别法的比较对象常常就是上述三种级数.（3）要证明某一个级数∑∞=1n nu收敛,需要找一个通项比n u 大的收敛的整形级数∑∞=1n nv,即n n cv u ≤,也就是需要将所求的级数通咯级数项放大;（4）要证明某一个级数∑∞=1n nu发散,需要找一个通项比n u 小的发散的正项级数∑∞=1n nv,即n n u cv ≤,也就是需要将所求的级数通项缩小.比较判别法提供了一个判别级数敛散的简单方法:只须拿一个已知敛散性的级数和要判别的级数作比较便能得出结论.常用的作为比较的级数有等比级数、调和级数、p-级数,因此,正项级数比较判别法的关键是:如何选取比较对象,放大或缩小所求级数的通项.3.2.2 活用比较判别法(1) 当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时,比较对象常常选取p-级数或调和级数. 例1 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201n n n =,原级数也接近于级数∑∞=121n n,这是12>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是∑∞=121n n ,至多差一个系数. 解: 因为21)1(1n n n <+（分母缩小,分数放大）,又由于∑∞=121n n收敛.则由此比较判别法,原级数∑∞=+1)1(1n n n 也收敛. 例2 判别级数∑∞=+1421n nn 的敛散性. 分析: 考虑通项421n n +,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是4,这时通项接近341n n n =,原级数也接近于级数∑∞=131n n,这是13>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.解: 因为3444122221n n n n n n n n ==+≤+（分子放大,分数放大）,又由于∑∞=131n n 收敛,则由比较判别法,原级数∑∞=+1421n nn 也收敛. 例3 判别级数∑∞=--+12521n n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是2,这时通项接近，n n n 2122=,原级数也接近于级数∑∞=11n n,至多差一个系数. 解: 因为52152221222--+≤--<=n n n n n n n n n （分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于∑∞=11n n 是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的. (2) 当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,利用不等式选取适当的比较对象.主要用到下面两个式子:当0>x 时,.1)11ln(11,sin xx x x x ≤+≤+< 例4 判别级数nn n 3sin21π∑∞=的敛散性.分析: 考虑当0>x 时,x x <sin ,则πππππnnn nn nn)32(323sin2,33sin=⋅<<,而πnn )32(1∑∞=是公比132||<=q 的收敛级数,故原级数收敛. 例5 判别级数∑∞=+1221ln n n n 的敛散性. 分析: 由于有不等式22221)11ln(1ln n n n n ≤+=+,而∑∞=121n n是收敛的级数,故原级数也收敛.(3) 当所求级数的通项放大、缩小不方便时,可采用比较判别法的推论.利用比较判别法的推论时要注意:（1）把要求的级数当作∑∞=1n nu,另找一个正项级数（往往找调和级数、p-级数或等比级数),作∑∞=1n nv;（2）重点考察极限结果1,因为1在0与∞之间.例6 判别级数∑∞=+-12114n nn 的敛散性. 分析: 考虑通项1142+-n n ,分子n 的最高幂为1,分母n 的最高幂为2,通项接近nn n 12=,因此就把级数∑∞=11n n作∑∞=1n n v .解: 由于414lim ]1114[lim 222=+-=+-∞→∞→n nn n n n n n ,又因为∑∞=11n n 是发散的,则原级数也发散.例7 另解上面的例5.分析: 我们前面已经讨论过该题,若忘记前面的不等式,而此题的通项又不易进行放大、缩小,可用推论.把)11ln(2n +作为n u ,再找一个n v .观察到n u 中,有对数函数)11ln(2n+出现,考虑用第二重要极限e nnn =+∞→)11(lim ,取.12n v n =解: 因为1)11ln(lim ]1)11ln([lim 2222=+=+∞→∞→n n n n nn,又∑∞=121n n收敛,故原级数也收敛.3.2.3 归纳总结判断正项级数∑∞=1n nu“ 敛散性的一般步骤：(ⅰ) 检查通项。

比式判别法和根式判别法的关系引言比式判别法和根式判别法是数学中用于解方程的两种常见方法。

它们经常被用于判定一元二次方程是否有解，以及求解方程的根。

在本文中，我们将深入探讨比式判别法和根式判别法的关系，包括它们的定义、应用场景、计算方法以及优缺点。

一、比式判别法的定义和计算方法比式判别法是一种用于判断一元二次方程是否有解的方法。

它通过计算方程的判别式来得出结论。

一元二次方程的标准形式为ax2+bx+c=0，其中a、b和c为实数，且a≠0。

方程的判别式定义如下：D=b2−4ac根据方程的判别式D的值，可以得出以下结论：1.当D>0时，方程有两个不相等的实根；2.当D=0时，方程有两个相等的实根；3.当D<0时，方程没有实根，但可能有复根。

计算比式判别式的步骤如下：1.根据方程的标准形式，得出a、b和c的值；2.计算判别式D=b2−4ac；3.根据D的值判断方程的解的情况。

二、根式判别法的定义和计算方法根式判别法是一种用于求解一元二次方程根的方法。

它利用比式判别法得出的判别式的值来计算方程的根。

根式判别法的计算公式如下：1.当D>0时，方程的根的计算公式为：x1=−b+√D2a ，x2=−b−√D2a其中√D表示判别式D的平方根。

2.当D=0时，方程有两个相等的实根。

根的计算公式为：x1=x2=−b2a3.当D<0时，方程没有实根，但可能有复根。

此时，可以利用虚数单位i来表示根的形式，根的计算公式为：x1=−b2a +√−D2ai，x2=−b2a−√−D2ai三、比式判别法和根式判别法的关系比式判别法和根式判别法是密切相关的两种方法。

比式判别法用于判断方程是否有解，而根式判别法则用于计算方程的根。

根据方程的判别式D的值，可以确定方程的根的个数和类型。

1.当D>0时，根式判别法得到的结果是两个不相等的实根。

这与比式判别法判断方程有解的结论一致。

2.当D=0时，根式判别法得到的结果是两个相等的实根，也与比式判别法判断方程有解的结论一致。

数学分析第十二章数项级数积分判别法第八讲数学分析第十二章数项级数定理12.9（积分判别法）积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法.设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞⎰同时收敛或同时发散.证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑数学分析第十二章数项级数-≤≤-=⎰1()()d (1),2,3,.nn f n f x x f n n 依次相加可得11221()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰若反常积分收敛,有111()(1)()d (1)()d .m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑⎰⎰根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛.则由(12)式左边, 对任何正整数m ,数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有-≤≤=∑⎰11()d ().(13)mm f x x S f n S 10()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+⎰因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑⎰是同时发散的.11221()()d (1)().(12)m mm m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑⎰则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞⎰根据定理反常积分收敛用同样方数学分析第十二章数项级数例12 讨论1.p p n级数的敛散性∑1(),0[1,)p f x p x当时在=>+∞解函数上是非负减函时发散.是发散的.数，1d 1p x p x+∞>⎰反常积分在时收敛，.1时发散≤p 故1()p f n n=∑∑由积分判别法得01p <≤当≤0p 的情形, 则可由收敛的必要条件知它也至于1p >当时收敛，数学分析第十二章数项级数例13 讨论下列级数的敛散性.∞∞==∑∑2311(i);(ii).(ln )(ln )(lnln )p p n n n n n n n 解2d ,(ln )p x x x 研究反常积分由于+∞⎰(i)1,1.p p 数在时收敛时发散>≤3d (ii),,(ln )(lnln )p x x x x 对于考察反常积分同样可+∞⎰1p ≤推得级数(ii) 在p > 1时收敛, 在时发散. ()()()22d ln d ln ln p p x x x x x +∞+∞=⎰⎰ln 2d pu u +∞=⎰时发散，时收敛，当11≤>p p 根据积分判别法得级复习思考题数学分析第十二章数项级数1.设n u ∑为收敛的正项级数，则一定存在收敛的正n v ∑lim 0n n nu v →∞=项级数,使得. 也就是说没有收敛得最慢的级数.1,1n n u u +<有n u ∑n N >2.如果正项级数满足对一切(1),?n n n u u <∑或能否得出收敛4.总结判别法使用规律.3.如果对每个正整数p ，正项级数都有?n u ∑能否得出收敛12lim()0n n n p n u u u +++→∞+++= ，是否存在发散得最慢的级数？。

正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。

判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。

一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。

2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。

二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。

三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。

四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。

五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。

这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。

同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。

数学分析第十二章数项级数正项级数的概念，比较判别法第四讲数学分析第十二章数项级数正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同,则称为同号级数. 对于同号级数,只须研究各项都是由正数组成的级数(称正项级数).由级数与其部分和数列的关系，得：数学分析第十二章数项级数定理12.5>=0(1,2,),i u i 由于证所以{S n }是递增数列. 单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理).仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不容易的，敛性判别法则.n u ∑正项级数收敛的充要条件是:{}n S 有界, <.n S M 即存在某正数M ,对一切正整数n 有而这就证明了定理的结论.部分和数列因此要建立基于级数一般项本身特性的收数学分析第十二章数项级数定理12.6（比较原则）n n u v ∑∑设和是两个正项级数，如果存在某正数N ,对一切n > N 都有,(1)n n u v ≤则(i),;n n v u 若级数收敛则级数也收敛∑∑(ii),.n n u v 若级数发散则级数也发散∑∑证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.'''∑∑nn n n S S u v 现在分别以和记级数与的部分和.散性,数学分析第十二章数项级数由(1)式可得,对一切正整数n ,都有.(2)nn S S '''≤,lim ,n nn v S →∞''∑若收敛即存在则由(2)式对一切n 有lim nn n S S →∞'''≤，n u ∑{}n S '即正项级数的部分和数列有由定理12.5级数n u ∑收敛, (ii)为(i)的逆否命题,自然成立.≤(1)n nu v 界,这就证明了(i).数学分析第十二章数项级数例1 -+∑21.1n n 考察的收敛性解≥2,n 由于当时有因为正项级数21(1)n n n ∞=-∑收敛(§1例2),原则, 级数211n n -+∑也收敛.22111n n n n≤-+-()1.1n n =-故由比较数学分析第十二章数项级数22,,0,0.nnn n u v u v >>∑∑收敛且例2 若级数2210(),2n n n n u v u v <≤+证因为根据比较原则, 得到正项级数n nu v∑收敛.在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.n n u v 则级数收敛.∑∑∑22,nnu v而级数均收敛，。

§ 2 正项级数(一) 教学目的：掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比较判别法，比式判别法，根式判别 法和积分判别法．(二) 教学内容：比较判别法；比式判别法；根式判别法；积分判别法．基本要求：(1)掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法和积分判别法． (2) 较高要求：介绍拉贝判别法． (三) 教学建议：(1) 要求学生必须理解和掌握比较判别法，比式判别法，根式判别法，要布置足量的习题．(2) 对较好学生可要求掌握拉贝判别法，可挑选适量的习题．（3）由于这方面内容与反常积分的部分内容有类似之处，可向学生作比较与总结． 重点：比较判别法, 比值判别法, 根式判别法————————————————————————一 正项级数收敛性的一般判别原则显然正项级数的部分和数列是单调递增的，由单调有界定理，正项级数收敛的充分必要条件是：定理5 正项级数∑∞=1n nu收敛⇔它的部分和数列}{n S 有上界。

例∑∞=1!1n n121222113211!1-=⋅⋅≤⋅⋅=n n n 从而 321212111!1!31!211112≤+++++≤+++++=-n n n S 部分和有界，该正项级数收敛。

比较判别法由定理5，容易推出下面判别法：定理6（比较原则）有两个正项级数∑∞=1n nu，∑∞=1n nv若存在自然数 N ，当N n >时，有0,>≤c cv u n n ， 则1） 若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛；2） 若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nv也发散。

例 讨论 -p 级数∑∞=11n pn的敛散性。

1）1=p 时为调和级数发散； 2) 1<p 时nn p 11> 由比较判别法，-p 级数发散； 3）1>p 时]1)1(1[11111-----<p p p nn p n 111)11(111)]1)1(1()3121()211[(111131211111111-+<--+=--++-+--+<++++=------p n p n n p n S p p p p p p p p p n部分和有界，级数收敛。

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较摘要：本文将对正项级数的敛散性问题进行研究，引入常用的比较判别法和比值判别法，而后再给出相应的级数作为比较尺度后，得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法，并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。

在采用更加精细的级数作为比较尺度后，引出了拉贝尔判别法，并对上述的几种方法进行了总结和分析。

关键词：正项级数敛散性达朗贝尔判别法柯西根式判别法拉贝尔判别法引言随着正负无穷的引入，人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。

此时，关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。

如何判断一列序列求和是有限的还是发散的，成为数学分析中的一个重要问题，受到了很多的关注和研究，产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。

本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳，并对它们的适用性和局限性进行分析。

一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法，在引入序列的上下极限以后，给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法，从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。

而后改变比较级数的尺度，对达朗贝尔判别法进行推广，引入拉贝尔判别法，使得比较变得更加的精细和准确[1]。

1.比较判别法和比值判别法当我们遇到一个未知的序列以后，我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较，进而来判断它的敛散性，从而诞生了比较判别法和比值判别法。

为了下文的行文的简单性，我们用符号来表示[2]。

定理1（比较判别法）假设级数和均为正项级数，那么我们有：（1）如果收敛且存在和，使得，，那么也收敛;（2）如果发散且存在和，使得，，那么也发散。

为了方便使用，我们这里引入极限形式的比值判别法.推论1设级数和均为正项级数令则有：（1）如果收斂，且，那么也收敛;（2）如果发散，且，那么也发散。

同样的，对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.定理2（比值判别法）假设级数和都是严格的正项级数，那么我们有：（1）如果收敛，且存在，使得，，那么也收敛;（2）如果发散，且存在，使得，，那么也发散。

数学分析第十二章数项级数比较判别法的极限形式第五讲数学分析第十二章数项级数推论（比较原则的极限形式）,nnu v∑∑设是两个正项级数,若lim ,(3)nn nu l v →∞=则(i)0,;n n l u v <<+∞∑∑当时级数,同敛散(ii)0,;n n l v u =∑∑当且级数收敛时级数也收敛(iii),.n n l v u =+∞∑∑当且级数发散时级数也发散数学分析第十二章数项级数(i)0,;n n l u v <<+∞∑∑当时级数,同敛散证(i) 由(3),l ε<对任给正数存在某正整数N, 当n > N 时,恒有-<nnu l v ε或()().(4)n n n l v u l v εε-<<+lim ,(3)nn nu l v →∞=由比较原则及(4)式得,与n v ∑同时收敛或同时发散. 这就证得了(i).<<+∞0l 当n u ∑级数时,数学分析第十二章数项级数§2 正项级数正项级数收敛性的一比式判别法和根式判别法积分判别法*拉贝判别法(ii)当l = 0时,由(4)式右半部分及比较原则可得, n v ∑n u ∑级数收敛, 则级数也收敛.(iii),l =+∞若则对于正数1,当n > N 时,都有于是由比较原则知道, 若级数n v ∑发散, 则级数nu∑也发散.若存在相应的正整数N ,1nnu v >.n n v u >或般判别原则→∞=lim ,(3)nn nu l v ()().(4)n n n l v u l v εε-<<+数学分析第十二章数项级数例3 级数-∑12n n是收敛的, 以及等比级数∑12n 收敛, 式,因为12lim12n n nn →∞-2lim 2n n n n →∞=-1lim 12n nn →∞=-1=根据比较原则的极限形12nn-∑级数也收敛.数学分析第十二章数项级数例4 正项级数=++++∑111sin sin1sin sin 2n n是发散的, 1sin lim 1,1n n n →∞=根据比较原则的极限∑1n 形式以及调和级数发散, 散.因为∑1sin n也发得到级数数学分析第十二章数项级数*例5 判断正项级数12sin1n nn∑的敛散性.1sinlim 1,1n n n→∞=解因为12sin 1n n n∑21n ∑故可将与进行比较. 12(1sin )ln lime,n nnn -→∞=212sinlimn n nn n→∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→=n n n n1sin 12lim 由于12211sinlimn nn n n→∞∞型数学分析第十二章数项级数注意到1lim 1sin ln n n n n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭所以12(1sin )ln lime1.n nnn -→∞=根据比较原则, 原级数收敛.221ln lim n n n o n n →∞⎛⎫⎛⎫=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0=211lim 1ln n n o n n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin1n nn级数的收敛性,∑-→∞12(1sin )ln limen nnn 极限。

第十二章 数项级数2 正项级数一、正项级数收敛的一般判别原则概念：若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数. 各项都是正数组成的同号级数称为正项级数.定理12.5：正项级数∑n u 收敛的充要条件是：部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对一切正整数n ，有S n <M.证：∵u i >0(i=1,2,…)，∴{S n }递增. 根据数列的单调有界定理，得证.定理12.6：(比较原则)设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N ，都有：u n ≤v n 则： (1)若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； (2)若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散. 证：由改变级数的有限项不影响其收敛性， 不妨设对一切正整数，u n ≤v n 都成立.以S ’n 和S ”n 分别记级数∑n u 和∑n v 的部分和，则对一切正整数n ， 有S ’n ≤S ”n .(1)若∑n v 收敛，则∞n lim +→S ”n 存在，记为S ，则S ’n ≤S ，即{S ’n }有界，∴∑n u 也收敛.(2)若级数∑n v 收敛，由(1)知级数∑n u 收敛，矛盾！得证.例1：考察∑+1n -n 12的收敛性.解：当n ≥2时，1n -n 12+<1)-n (n 1.∵正项级数∑-1)n(n 1收敛，∴∑+1n -n 12也收敛.推论：设∑n u =u 1+u 2+…+u n +…与∑n v =v 1+v 2+…+v n +… 是两个正项级数，若nn∞n v u lim+→=l. 则 (1)当0<l<+∞时，同时收敛或同时发散； (2)当l=0且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛； (3)当l=+∞且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散.证：(1)当0<l<+∞时，对任意正数ε(ε<l)，存在某正数N ，当n>N 时， 恒有l -nnv u <ε，即(l-ε)v n <u n <(l+ε)v n . 显然， 若∑n v 收敛，则∑n ε)v +(l 收敛，∴∑n u 也收敛； 若∑n v 发散，则∑-n ε)v (l 发散，∴∑n u 也发散.(2)当l=0时，由u n <(l+ε)v n =εv n ，可知∑n v 收敛时，∑n u 也收敛. (3)当l=+∞时，任给正数M ，存在相应的正数N ，当n>N 时，都有nnv u >M ，即u n >Mv n ，由比较原则知：若∑n v 发散时，∑n u 也发散.例2：证明：级数∑n -21n 收敛.证：∵nn ∞n 21n -21lim+→=n ∞n 2n 11lim -+→=1， 又等比级数∑n21收敛，∴级数∑n -21n 也收敛.例3：证明：级数∑n 1sin =sin1+sin 21+…+sin n1+…发散. 证：∵n1n 1sinlim∞n +→=1，又调和级数∑n 1发散，∴级数∑n 1sin 也发散.二、比式判别法和根式判别法定理12.7：(达朗贝尔判别法，或称比式判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正整数N 0及常数q(0<q<1). (1)若对一切n> N 0，不等式n1n u u +≤q 成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n> N 0，不等式n1n u u +≥1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)不妨设不等式n1n u u +≤q 对一切n ≥1都成立，于是有 12u u ≤q, 23u u ≤q,…, n 1n u u +≤q, .... 把前n-1个不等式的左右各相乘得 12u u .23u u .. (1)-n n u u ≤q n-1，即u n ≤u 1q n-1. ∵等比级数∑1-n q (0<q<1)收敛，∴级数∑n u 也收敛. (2)由对一切n> N 0，不等式n1n u u +≥1成立，∴有u n+1≥u n ≥0N u ，可知∞n lim +→u n ≠0，∴级数∑n u 发散.推论1：(比式判别法极限形式)若∑n u 为正项级数，且n1n ∞n u u lim++→=q ，则 (1)当q<1时，级数∑n u 收敛； (2)当q>1或q=+∞时，级数∑n u 发散. 证：∵n 1n ∞n u u lim++→=q ，∴对取定的正数ε=21|1-q|，存在正数N ， 当n>N 时，都有q-ε<n1n u u +<q+ε. (1)当q<1时，n 1n u u +<q+ε=21(1-q)<1，∴级数∑n u 收敛. (2)当q>1时，n 1n u u +>q-ε=21(1+q)>1，∴级数∑n u 发散； 当q=+∞时，存在N ，当n>N 时，有n1n u u +>1，∴级数∑n u 发散.例4：证明：级数12+5152⨯⨯+951852⨯⨯⨯⨯+…+)]1n (41[951)]1n (32[852-+⋯⨯⨯-+⋯⨯⨯+…收敛.证：∵n 1n ∞n u u lim++→=n 41n 32lim ∞n +++→=43<1，∴该级数收敛.例5：讨论级数∑1-n nx (x>0)的敛散性. 解：当x=1时，级数∑n 发散. 又n 1n ∞n u u lim++→=nx)1n (lim ∞n ++→=x. ∴当0<x<1时，该级数收敛；当x ≥1时，该级数发散；推论2：设∑n u 为正项级数，则 (1)若n1n ∞n u u lim++→=q<1，则级数∑n u 收敛； (2)若n1n ∞n u u lim ++→=q>1，则级数∑n u 发散.例6：讨论级数1+b+bc+b 2c+b 2c 2+…+b m c m-1+b m c m +…的敛散性，0<b<c.解：∵n 1n u u +=⎩⎨⎧为偶数为奇数n c n b . ∴n1n ∞n u u lim ++→=c, n 1n ∞n u u lim ++→=b. ∴当c<1时，该级数收敛；当b>1时，该级数发散； 当c<1<b 时，无法判定.定理12.8：(柯西判别法，或称根式判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正数N 0及正常数l ，则(1)若对一切n>N 0，不等式n n u ≤l<1成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n>N 0，不等式n n u ≥1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)∵n n u ≤l<1，∴u n ≤l n ，又等比级数∑n l 当0<l<1时收敛， 由比较原则知∑n u 也收敛.(2)∵n n u ≥1，∴u n ≥1n =1， ∴∞n lim +→u n ≠0，∴级数∑n u 发散.推论1：(根式判别法极限形式)设∑n u 为正项级数，且n n ∞n u lim +→=l ，则 (1)当l<1时，级数∑n u 收敛；(2)当l>1时，级数∑n u 发散.证：∵n n ∞n u lim +→=l ，∴当取ε<|1-l|时，存在某正数N ，对一切n>N ， 有l-ε<n n u <l+ε. 根据定理12.8得证.例7：研究级数∑+nn2)(-12的敛散性.解：∵n n ∞n u lim +→=nnn ∞n 2)(-12lim ++→=21<1，∴该级数收敛.推论2：设∑n u 为正项级数，且n n ∞n u lim +→=l ，则当 (1)当l<1时，级数∑n u 收敛；(2)当l>1时，级数∑n u 发散.例8：讨论级数b+c+b 2+c 2+…+b m +c m +…的敛散性，0<b<c<1.解：∵n n u =⎪⎩⎪⎨⎧-为偶数为奇数n cn b 2m m12m m . ∴n n∞n u lim +→=2m m ∞n c lim +→=c <1， ∴该级数收敛.注：根式判别法较比式判别法更有效，所以优先使用根式判别法.例9：讨论级数∑∞=+1n n2nx1x 的敛散性，其中x>0. 解：∵nn 2∞n x 1lim ++→=max{1,x 2}，∴n n ∞n u lim +→=nn 2n∞n x 1x lim ++→=}x max {1,x 2=⎩⎨⎧==≠<1x 11x 1. ∴当x ≠1时，该级数收敛；当x=1时，该级数发散.例10：判别下列级数的敛散性：(1)∑∞=1n 2!n)2()(n!；(2)∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n n2n 12n .解：(1)∵n1n ∞n u u lim ++→=1)2)(2n n 2(1)(n lim 2∞n ++++→=41<1，∴该级数收敛. (2)∵n n ∞n u lim+→=n12n lim n2∞n ++→=21<1，∴该级数收敛.三、积分判别法定理12.9：设f 为[1,+∞)上非负减函数，那么正项级数∑f(n)与反常积分⎰+∞1f(x )dx 同时收敛或同时发散.证：∵f 在[1,+∞)上非负减，∴对任何正数A ，f 在[1,A]上可积，从而 有f(n)≤⎰n1-n f(x )dx ≤f(n-1), n=2,3,…. 依次相加可得：∑=m2n f(n)≤⎰m1f(x )dx ≤∑=m 2n 1)-f(n =∑=1-m 1n f(n).若反常积分收敛，则有S m =∑=m1n f(n)≤f(1)+⎰m 1f(x )dx ≤f(1)+⎰+∞1f(x )dx ，根据定理12.5知，级数∑f(n)收敛.若级数∑f(n)收敛，则有⎰m1f(x )dx ≤S m-1≤∑f(n)=S. 又f 在[1,+∞)上非负减，∴对任何正数A ，都有 0≤⎰A1f(x )dx ≤S n <S, n ≤A ≤n+1. ∴⎰+∞1f(x )dx 收敛.用反证法或同理可证：正项级数∑f(n)与反常积分⎰+∞1f(x )dx 同时发散.例11：讨论p 级数∑p n1的敛散性. 解：当p<0时，p∞n n 1lim+→≠0，∴级数∑p n 1的发散. 当p>0时，f(x)=p x1为[1,+∞)上非负减函数，又当0<p ≤1时，⎰+∞1px 1dx 发散，∴级数∑p n 1也发散； 当p>1时，⎰+∞1p x 1dx 收敛，∴级数∑p n1也收敛.例12：讨论下列级数的敛散性：(1)∑∞=2n p lnn)(n 1；(2)∑∞=3n plnlnn)(lnn)(n 1. 解：(1)∵⎰+∞2p lnn)(n 1dx=⎰+∞2p lnn)(1dlnn=⎰+∞ln2p u1du. ∴当p ≤1时，原级数发散；当p>1时，原级数收敛. (2)∵⎰+∞3plnlnn)(lnn)(n 1dx=⎰+∞3p lnlnn)(lnn 1dlnn=⎰+∞ln3p u(lnu)1du. 由(1)可知： ∴当p ≤1时，原级数发散；当p>1时，原级数收敛.四、拉贝判别法定理12.10：(拉贝判别法)设∑n u 为正项级数，且存在某正整数N 0及数常r, 则：(1)若对一切n>N 0, 不等式n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n 1n u u 1≥r>1成立，则级数∑n u 收敛； (2)若对一切n>N 0, 不等式n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≤1成立，则级数∑n u 发散. 证：(1)由n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≥r>1可得n 1n u u +<1-nr，取p 使1<p<r ，则 由nr n 1-1-1lim p∞n ⎪⎭⎫⎝⎛+→=()rx x -1-1lim p0x →=rp <1知：存在正数N ，使对任意n>N ，有n r >p n 1-1-1⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴n n u 1u +<1-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛p n 1-1-1=p n 1-1-1⎪⎭⎫ ⎝⎛=pn 1-n ⎪⎭⎫⎝⎛. 于是当n>N 时，就有u n+1=N N 1N 1-n n n 1n u u u u u u u ⋅⋅⋯⋅⋅++≤pn 1-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛p1-n 2-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛…Npu N 1-N ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=u N (N-1)p ·p n 1. ∵p>1，∴∑p n1收敛，∴原级数收敛. (2)由n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1≤1可得n1n u u +≥1-n 1=n 1-n ，于是 u n+1=2231-n n n 1n u u u u u u u ⋅⋅⋯⋅⋅+>2u 211-n 2-n n 1-n ⋅⋅⋯⋅⋅=u 2·n1. ∵调和级数∑n1发散，∴原级数发散.推论：(拉贝判别法的极限形式)设∑n u 为正项级数，且极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =r 存在，则 (1)当r>1时，级数∑n u 收敛；(2)当r<1时，级数∑n u 发散.例13：讨论级数：∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋅⋯⋅s(2n)421)-(2n 31当s=1,2,3时的敛散性. 解：n1n ∞n u u lim++→=s∞n (2n)421)-(2n 312)(2n 421)(2n 31lim ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋅⋯⋅+⋯⋅+⋯⋅+→=s ∞n 22n 12n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→=1，无法判别. 当s=1时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+→22n 12n 1n lim ∞n =22n n lim ∞n ++→=21<1，∴发散； 当s=2时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n 1n u u 1n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛++-222n 12n 1n =4n 84n 3n4n 22+++<1，∴发散；当s=3时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+→3∞n 22n 12n 1n lim=8n 42n 248n n 7n 1812n lim 2323∞n ++++++→=23>1，∴收敛.习题1、应用比较原则判别下列级数的敛散性： (1)∑+22a n 1；(2)∑n n3πsin 2；(3)∑+2n11；(4)∑n )n (ln 1； (5)∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1cos 1；(6)∑n nn 1；(7)∑-)1a (n (a>1)；(8)∑∞=2n n ln )n (ln 1；(9)∑-+)2a 1a (nn(a>0)；(10)∑n12nsinn1.解：(1)∵0≤22a n 1+≤2n 1，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛. (2)∵0<n n 3πsin 2<n32π⎪⎭⎫ ⎝⎛，又等比级数∑⎪⎭⎫⎝⎛n32收敛，∴原级数收敛.(3)∵2n 11+>1n 1+，又级数∑+1n 1发散，∴原级数发散. (4)∵0<n )n (ln 1<n 21 (n>e 2)，又级数∑∞=2n n21收敛，∴原级数收敛. (5)∵0≤n 1cos 1-=2sin 22n 1<22n 1，又级数∑22n1收敛，∴原级数收敛. (6)∵n nn 1>2n 1，又级数∑2n1发散，∴原级数发散. (7)∵1a n ->n a ，又当a>1时，n∞n a lim +→=1≠0，∴级数∑n a 发散， ∴原级数发散. (8)∵0≤n ln )n (ln 1=ln(lnn)n 1<2n 1 (n>2e e )，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛.(9)∵2nn∞n n 12a1a lim-++→=2t t 0t t2a 1a lim-+→=(lna)2>0， 又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛. (10)∵2n12nsin∞n n 1n 1lim +→=2tsint 20t t tlim ⋅→=1>0，又级数∑2n 1收敛，∴原级数收敛.2、用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性.(1)∑⋯⋅n!1)-(2n 31；(2)∑+n 101)!(n ；(3)∑⎪⎭⎫⎝⎛+n1n 2n ；(4)∑n n n!；(5)∑n 22n ；(6)∑⋅n n n n!3；(7)∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a b (其中n ∞n a lim +→=a, a n ,b,a>0, 且a ≠b). 解：(1)∵n1n ∞n u u lim++→=n!1)-(2n 31!)1(n 1)(2n 31lim ∞n ⋯⋅++⋯⋅+→=1n 12n lim ∞n +++→=2>1，∴原级数发散. (2)∵n1n ∞n u u lim++→=n1n ∞n 101)!(n 102)!(n lim ++++→=102n lim ∞n ++→=+∞，∴原级数发散. (3)∵n n∞n u lim +→=n n∞n 1n 2n lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→=1n 2n lim∞n ++→=21<1，∴原级数收敛. (4)∵n1n ∞n u u lim++→=n1n ∞n n n!)1(n 1)!(n lim ++→++=n∞n 1n n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e1<1，∴原级数收敛. (5)∵n n∞n u lim +→=nn 2∞n 2n lim +→=2n lim n2∞n +→=21<1，∴原级数收敛.(6)∵n1n ∞n u u lim++→=n n 1n 1n ∞n nn!31)(n 1)!n (3lim ⋅++⋅+++→=n∞n 1n n 3lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=e 3>1，∴原级数发散.(7)∵n n∞n u lim +→=n ∞n a b lim +→=ab，∴当a=b 时，无法判定； 当b>a>0时，原级数发散；当a>b>0时，原级数收敛.3、设∑n u 与∑n v 为正项级数，且存在正数N 0，对一切n>N 0, 有n1n u u +≤n 1n v v +. 证明： 若级数∑n v 收敛，则级数∑n u 收敛；若∑n u 发散，则∑n v 发散. 证：由题意知：当n>N 0时，1n 1n v u ++≤nn v u，从而对n>N 0有， 0<1n 1n v u ++≤n n v u ≤1-n 1-n v u ≤…≤1N 1N 00v u ++，∴u n ≤1N 1N 00v u ++v n ，又1N 1N 00v u ++是常数， 根据比较原则，得证.4、设正项级数∑n a 收敛，证明∑2n a 也收敛；试问反之是否成立？ 证：由∑n a 收敛知n ∞n a lim +→=0，∴存在N ，使n ≥N 时，有0≤a n <1,从而n ≥N 时，有0≤a n 2<a n ，由比较原则知 ∑2n a 也收敛.但反之不成立，如∑2n1收敛，而∑n 1发散.5、设a n ≥0, n=1,2,…. 且{na n }有界，证明∑2n a 收敛. 证：∵a n ≥0, {na n }有界，可设0≤na n ≤M ，则0≤a n ≤nM，从而a n 2≤22nM ，又级数∑22n M 收敛，由比较原则知 ∑2na也收敛.6、设级数∑2n a 收敛，证明∑na n(a n >0)也收敛. 证：∵0<n a n <21(a n 2+2n 1)，又级数∑2n a 和∑2n1都收敛，∴级数∑+)n1(a 22n 收敛，由比较原则知级数∑n a n 也收敛.7、设正项级数∑n u 收敛，证明级数∑+1n n u u 也收敛.证：∵0<1n n u u +<21(u n +u n+1)，又由级数∑n u 收敛知∑+1n u 也收敛， ∴级数∑)u +(u 1+n n 收敛，由比较原则知∑+1n n u u 也收敛.8、利用级数收敛的必要条件，证明下列等式：(1)2n∞n )(n!n lim +→=0；(2)n!∞n a )!(2n lim +→=0 (a>1). 证：(1)记u n =2n)(n!n ，则n1n ∞n u u lim ++→=2n 21n ∞n )(n!n ]1)![(n 1)(n lim ++++→=n∞n n 1n 1n 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++→=0<1， ∴级数∑2n)(n!n 收敛，∴2n ∞n )(n!n lim +→=0.(2)记u n =n!a )!(2n ,则当a>1时，n1n ∞n u u lim ++→=n!1)!(n ∞n a)!(2n a )!2(2n lim ++→+=!n n ∞n a )21)(2n (2n lim ⋅+→++=0, ∴级数∑n!a )!(2n 收敛，∴n!∞n a )!(2n lim +→=0 (a>1).9、用积分判别法讨论下列级数的敛散性：(1)∑+1n 12；(2)∑+1n n 2；(3)∑∞=3n )nlnnln(lnn 1；(4)∑∞=3n qp (lnlnn)n(lnn)1. 解：(1)∵f(x)=1x 12+在[1,+ ∞)上非负减，且 ⎰+∞1f(x )dx=⎰++∞121x 1dx=2π，积分收敛；∴原级数收敛. (2)∵f(x)=1x x2+在[1,+ ∞)上非负减，且由1x x x lim 2∞x +⋅+→=1知 ⎰++∞121x xdx 发散；∴原级数发散. (3)∵f(x)=ln(lnx )lnx x 1⋅⋅在(3,+ ∞)上非负减，且⎰+∞3f(x )dx=⎰+⋅⋅∞3ln(lnx )lnx x 1dx=⎰+∞ln(ln3)u1du ，积分发散；∴原级数发散.(4)∵f(x)=qp (lnlnx )x (lnx )1在(3,+ ∞)上非负减，且 ⎰+∞3f(x )dx=⎰+∞3q p (lnlnx )x (lnx )1dx=⎰+∞ln(ln3)q 1)u -(p ue 1du ， 当p=1时，⎰+∞3f(x )dx=⎰+∞ln(ln3)q u1du ；若q>1，收敛；若q ≤1，发散. 当p ≠1时，取t>1，有q 1)u -(p t∞u u e 1u lim ⋅+→=1)u -(p q -t ∞u e u lim +→=⎩⎨⎧<∞+>1p 1p 0，，， ∴当p>1或(p=1且q>1)时，由积分收敛知原级数收敛； 当p<1或(p=1且q ≤1)时，由积分发散知原级数发散.10、判别下列级数的敛散性：(1)∑1-2n n -n ；(2)∑+na 11 (a>1)；(3)∑n 2nlnn ；(4)∑n n n n!2； (5)∑n n n n!3；(6)∑lnn 31；(7)∑+⋯++)x (1)x x)(1(1x n2n(x>0). 解：(1)∵1-2n n -n >1-2n 1(n ≥3)，又级数∑1-2n 1发散，∴原级数发散. (2)∵n a 11+<n a 1，又当a>1时，等级级数∑na1收敛，∴原级数收敛. (3)n1n ∞n u u lim++→=n1n ∞n 2nlnn 21)1)ln(n (n lim ++→++=nlnn 21)1)ln(n (n lim ∞n +++→=21<1，∴原级数收敛. (4)∵n1n ∞n u u lim++→=n n 1n 1n ∞n n n!21)(n 1)!2(n lim +++→++=n∞n 1n n 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+→=e2<1，∴原级数收敛. (5)∵n1n ∞n u u lim++→=nn 1n 1n ∞n n n!31)(n 1)!3(n lim +++→++=n∞n 1n n 3lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+→=e3>1，∴原级数发散. (6)3lnn =n ln3，又ln3>1，∴∑ln3n 1收敛，∴原级数收敛. (7)n1n ∞n u u lim++→=1n ∞n x 1xlim++→+=⎪⎩⎪⎨⎧<=<><1x x 1x 1211x 10，，∴原级数收敛.11、设{a n }为递减正项数列，证明：级数∑∞=1n n a 与∑∞=0m 2m ma 2同敛散性.证：记两个级数的部分和分别为S n , T n ，由{a n }为递减正项数列知： S n <n2S ≤a 1+(a 2+a 3)+…+(n2a +…+121n a -+)≤a 1+2a 2+…+2n n2a =T n ，∴当级数∑∞=0m 2mma 2收敛时，级数∑∞=1n n a 也收敛.又n2S =a 1+a 2+(a 3+a 4)+…+(121n a +-+…+n2a )≥21a 1+a 2+2a 4+…+2n-1n2a =21T n ， ∴当级数∑∞=1n n a 收敛时，级数∑∞=0m 2m ma 2也收敛. 得证！12、用拉贝判别法判别下列级数的敛散性： (1)12n 1(2n)421)-(2n 31+⋅⋯⋅⋯⋅∑；(2)∑+⋯++n)(x 2)1)(x (x n!(x>0). 解：(1)∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =6n 104n 5n 6n lim 22∞n ++++→=23>1，∴原级数收敛. (2)当x=1时，原级数为∑+1n 1发散，又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→n 1n ∞n u u 1n lim =1x n xn lim ∞n +++→=x ， ∴当x>1时，原级数收敛；当0<x ≤1时，原级数发散.13、用根式判别法证明级数∑n(-1)--n 2收敛，并说明比式判别法对此级数无效.证：∵n n∞n u lim +→=n (-1)-n -∞n n2lim +→=n(-1)-1-∞n n2lim +→=21<1，∴原级数收敛.又n 1n ∞n u u lim ++→=n 1n (-1)-n -(-1)-1--n ∞n 22lim ++→=n1n )1((-1)--1∞n 2lim -++→+=⎪⎩⎪⎨⎧><为偶数为奇数n 12n 181，，，可见， 比式判别法对此级数无效.14、求下列极限(其中p>1)： (1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋯+++++→p p p ∞n (2n)12)(n 11)(n 1lim ；(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+++++→2n 2n 1n ∞n p 1p 1p 1lim . 解：(1)∵当p>1时，级数∑p n1收敛，由柯西准则知，任给ε>0，存在N ，当n>N 时，有pp p (2n)12)(n 11)(n 1+⋯++++<ε, ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋯+++++→p p p ∞n (2n)12)(n 11)(n 1lim =0. (2)∵当p>1时，等级级数∑n p1收敛，由柯西准则知， 任给ε>0，存在N ，当n>N 时，有2n 2n 1n p1p 1p 1+⋯++++<ε, ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋯+++++→2n 2n 1n ∞n p 1p 1p1lim =0.15、设a n >0，证明数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑n a 同敛散性. 解：数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑+)a ln(1n 有相同的敛散性. 又当级数∑n a 或∑+)a ln(1n 收敛时，都有n ∞n a lim +→=0，∴nn ∞n a )a 1ln(lim++→=1. 由比较判别法知∑+)a ln(1n 与∑n a 有相同的敛散性. ∴数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑n a 同敛散性.。