拉贝判别法

正项级数比值对数判别法作者：张运波周华军李顺龙来源：《中国科技纵横》2010年第15期摘要: 在正项级数敛散性的判别法中,达朗贝尔判别法是最简单又最常用的判别法之一,针对其中失效的情形,教材中通常采用拉贝判别法判别,在这里,通过对比值取对数,巧用麦克劳林级数展开式给出了一种不同于拉贝判别法,即比值对数判别法,该方法在判定某些正项级数敛散性时优于拉贝判别法.关键词:正项级数;敛散性;达朗贝尔判别法作者简介:张运波(1986.9-),男,四川达州人,大学本科学历,内江师范学院在读学生,研究方向:物理学;周华军、李顺龙,内江师范学院一引言对于正项级数敛散性的判定,高等数学教材中通常给出了比较判别法,比较法的极限形式,达朗贝尔判别法,柯西判别法,拉贝判别法及高斯判别法.然而,针对达朗贝尔判别法失效的情形,通常采用拉贝判别法,为此,不少学者探究出新的方法 ,但对于通项中含有因子及探讨通项中含有的正项级数敛散性时,拉贝判别法不易施行.就这类情况,本文给出了一种新的判别法,即比值对数判别法,该方法避开了求极限等繁琐过程,应用更为方便.二引理和主要结果引理 -级数的敛散性引理设为正项级数,若存在正整数 ,当时,有则(1) 若收敛,则收敛;(2)若发散,则发散.定理1设为正项级数,满足则(1) 当时,级数收敛;(2) 当时,级数发散.证明:(1)当时,由 ,有因为 ,所以 ,使 ,不妨令 ,则所以 .即对充分大的 ,有由引理1知级数收敛,再由引理2就能得到级数收敛.(2)同理,由 ,有因为 ,则则 .即对充分大的 ,有由引理1知级数发散,再由引理2得级数发散.综上,定理1得证.三应用例1. 判定正项级数的敛散性.解:因为达朗贝尔判别法失效.方法一,用拉贝判别法解..由于因为 ,所以原级数收敛.方法二,采用定理1解.由于因为 ,所以级数收敛.例2.讨论级数收敛的充分条件.解:因为于此,采用拉贝判别法难以施行.采用本文定理1得:则当时,级数是收敛.所以,级数收敛的充分条件为 .从以上两例可见,定理1在判断有些正项级数敛散性时的应用中是方便可行的,且避免了拉贝判别法中求极限的繁琐过程,还弥补了拉贝判别法难以施行的正项级数敛散性的辨别.但是本文给出的方法仍存在不足,针对a=1时,定理1未给出合理的验证方法,如调和级数用此法将无法判别其敛散性.参考文献1.凌国英,关于达朗贝尔判别法.[J]湖州师范学院学报,2003.Vol.25 11-15.2.姬小龙,王锐利,正项级数的Gauss指标判别法.[J]数学的实践与认识 Vol. 38 No.11.207-209.3.高等数学.第二册/四川大学数学系高等数学教研室编[M].北京:高等教育出版社,1996.4.李成章,黄玉民.数学分析(上)[M].北京:科学出版社,1999.5.钱伟懿,正向级数敛散性的一种判别方法.[J]渤海大学学报,2008.Vol.29 No.2. 155-1576.B.Ⅱ.吉米多维奇数学分析习题集题解(4)/费定晖编-2版-济南:山东科学技术出版社,1999.9。

1.引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分，而正项级数又是级数中最简单，同时也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质，解决级数的问题多半要涉及到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位，所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容，也是十分重要的内容，所以正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要作用. 2.正项级数概念 2.1.正项级数定义设有数列{}n u ，即1u ，2u ，⋅⋅⋅，n u ，⋅⋅⋅，将此数列依次相加起来，即1n n u ∞=∑，称为数值级数，其中n u 称为级数的第n 项或通项.若级数的每一项n u 的符号都是正，则称级数1n n u ∞=∑是正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件部分和数列{n S }有上界,即存在某正数M,对0n ∀>,有n S <M ⇔正项级数1n n u ∞=∑收敛.2.3.正项级数敛散性判别法 2.3.1.比较原则设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n>N 都有n n u v ≤,那么 （1）若级数1nn v∞=∑收敛,则级数1nn u∞=∑也收敛； （2）若级数1nn u∞=∑发散,则级数1nn v∞=∑也发散；即1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散.比较原则的极限形式 ：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数.若limnn nu l v →∞=,则（1）当0l <<+∞时, 级数1nn u∞=∑与级数1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；（2）当l =0且级数1nn v∞=∑收敛时, 级数1n n u∞=∑也收敛； （3）当l =+∞且级数1nn v∞=∑发散时，级数1nn u∞=∑也发散.2.3.2.达朗贝尔判别法（或比式判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数,且存在某正数0N 及常数q （0<q<1）(1)若对一切n>0N , 成立不等式1n n u u +≤q,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)若对一切n>0N , 成立不等式1n n u u +≥1,则级数1n n u ∞=∑发散.达朗贝尔判别法的极限形式：若1n n u ∞=∑为正项级数,且1limn n nu u +→∞=q(1)当q<1时,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当q>1或q=+∞时,则级数1n n u ∞=∑发散.2.3.3.柯西判别法（或根式判别法）设1n n u ∞=∑是正项级数,且存在某正数0N 及正常数L(1)若对一切0n N >,≤L<1,则级数1n n u ∞=∑收敛；(2)若对一切0n N >,≥1,则级数1n n u ∞=∑发散.柯西判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑是正项级数,且n l ,则(1)当l <1时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当l >1时,级数1n n u ∞=∑发散.2.3.4.积分判别法设f(x)为[1,+∞)上非负递减函数,那么正项级数()f n ∑与反常积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散. 2.3.5拉贝判别法设1n n u ∞=∑是正项级数,且存在自然数0N 及常数r,（1） 若对一切n>0N ,成立不等式n 111n n u r u +⎛⎫-≥> ⎪⎝⎭,则级数1n n u ∞=∑收敛；（2） 若对一切n>0N ,成立不等式n 11n n u u +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤1,则级数1n n u ∞=∑发散.拉贝判别法的极限形式：设1n n u ∞=∑是正项级数，且极限1lim 1n n n u u +→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 存在，则（1）当r>1时,级数1n n u ∞=∑收敛；（2）当r<1时,级数1n n u ∞=∑发散.3.判别方法的比较1.当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时,可以选用正项级数的充要条件进行判断.如：P 级数只能用正项级数的充要条件进行判断最为简便. 2.当级数表达式型如1nu ,n u 为任意函数、级数一般项如含有sin θ或cos θ等三角函数的因子可以进行适当的放缩,并与几何级数、P 级数、调和级数进行比较,1lim n n nu u +→+∞、n 易算出或1limn n nu u +→+∞=1、n 等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数证明问题时,应选用比较原则.例：1.1111nn na a ∞=⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭∑(a>1) 级数收敛 2.ln 11(ln )nn n ∞=∑= ln ln ln 1n n e 2ln 211n e n ≤= 级数收敛 比较原则使用的范围比较广泛,适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数.3.当级数含有阶层、n 次幂,型如a!或n a 或分子、分母含多个因子连乘除时,选用达朗贝尔判别法.当通项含(1)n -与n u 的函数可以选用达朗贝尔判别法的极限形式进行判断,例：1. 113(21)!n n n ∞=⋅⋅⋅⋅-∑1limn n nu u +→∞=21lim 1n n n →∞++=2 级数发散x级数收敛.4.当级数含有n 次幂,型如n a 或()n n u 或通项1ln n p u n n=即分母含有含lnx 的函数,分子为1,或级数含有多个聚点时,可选用柯西判别法.例如：1. 121nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑lim21n n n n →∞=+=12,级数收敛一般来说,当选用柯西判别法无法判断时,我们也可以选用达朗贝尔判别法来判断,但有时候我们用柯西判别法而不使用达朗贝尔判别法,因为柯西判别法得到的收敛条件比达朗贝尔判别法更优.例如：2.1+b+bc+n n b c ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(0)b c <<比由例题可知,两种判别法都可以用来判断上题,但柯西判别法与达朗贝尔判别法相比得出的收敛范围更小,约束条件更为详细.因此,上题选用柯西判别法比达朗贝尔判别法更好.在使用判别法时,我们可以选用柯西判别法找到最佳收敛条件.同时也存在只能使用柯西判别法,使用达朗贝尔判别法无法判断的情况.例如：3. (1)2nn ---∑n n 12 级数收敛 不可使用达朗贝尔判别法1limn n nu u +→∞=12(1)lim 2n n -+-→∞ 无法判断敛散性 因此,当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时,我们可以选用达朗贝尔判别法或柯西判别法.5.当级数表达式型如1n u ,n u 为含有ln n 的表达式或1nu 可以找到原函数,或级数n u 为[1,)+∞上非负单调递减函数,n u 含有sin θ或cos θ等三角函数的因子可以找到原函数,可以选用积分判别法.例：1.6.当级数同时含有阶层与n 次幂,型如a!与n a 时,或使用比式、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候,选用拉贝判别法.例：不能用达朗贝尔判别法不能用柯西判别法因此,当柯西判别法与达朗贝尔判别法无法判断敛散性时,我们可以选用拉贝判别法. 4.应用举例例1 1!2!...!(2)!n n u n +++=分析：本题无法使用柯西判别法与达朗贝尔判别法,因此选择比较原则进行判断. 解!10!(1)(2)(1)(2)(21)(2)n n n n u n n n n n n n ⋅<≤=<+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-,()n →∞且级数11(21)(2)i n n ∞=-∑收敛所以级数收敛. 例2 112(1)(1)...(1)nn na a a a ∞=+++∑分析：本题无法使用柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较原则以及其他的判别法进行判断,因此选用充要条件进行判断.解u所以级数收敛. 例3 1ln n p u n n=分析：本题分母含有ln n的表达式,优先选择积分判别法. +∞例4113135224246p p p⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：本题中通项(21)!!(2)!!nnun-=含有阶层,但不能使用柯西判别法或达朗贝尔判别法进行判断,因此选用拉贝判别法.解12221pnnu nu n++⎛⎫= ⎪+⎝⎭122111112121lim1lim lim112pnn n nnnou pn n nnun n→∞→∞→∞++⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎛⎫++⎝⎭⎝⎭-===⎪⎝⎭当2p>1,即p>2时,级数收敛.例52(1)2nn+-∑分析：本题中分子含有(1)n-,无法用达朗贝尔判别法或其他方法判别,这种类型也是柯西判别法的典型类型,取上极限进行判断,因此,选用柯西判别法.解112n→∞==<,∴级数收敛.5.总结数学分析作为数学系的重要专业基础课程,对学习好其他科目具有重要作用.级数理论是数学分析的重要组成部分,在实际生活中的运用也较为广泛,如经济问题等.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性更是级数理论的核心问题,要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0,若为0则发散,若不为0则判断级数的部分和是否有界,有界则收敛,否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法,或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时,则根据其特点选择适用的方法,如达朗贝尔判别法、柯西判别法或拉贝判别法.当上述方法都无法使用时,根据条件选择积分判别法.当无法使用柯西判别法时,通常可以选用达朗贝尔判别法,当达朗贝尔判别法也无法使用时,使用比较原则,若比较雨泽还是无法判别时再使用充要条件进行断.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断,因此正项级数的判别法有无穷多种.正项级数收敛性判断的方法虽然较多,但使用起来仍有一定的技巧,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率,特别是一些典型问题,运用典型方法,才能事半功倍.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断.正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性,也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别,在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径.参考文献[1]陈欣.关于数项级数求和的几种特殊方法 [J] . 武汉工业学院学报,2002,4.[2]陈金梅.幂级数求和法例谈 [J] . 石家庄职业技术学院报,2005,9.[3]夏学启. 贝努利数的简明表达法 [J] . 芜湖职业技术学院学报,2006,2.[4]吴良森等编著.数学分析习题精解 [M] . 北京：科学出版社,2002,2.[5]费定晖,周学圣编著.吉米多维奇数学分析习题集题解 [M] . 济南：山东科学技术出版社,2005,1.[6]周应编著.数学分析习题及解答 [M] . 武汉：武汉大学出版社,2001,8.[7]王晓敏,李晓奇编著.数学分析学习方法与解题指导[M] . 长春：东北大学出版社,2005,12.[8] B.A zhuo, etc. (JiangFeng, Ritchie. Mathematical analysis [M]. Beijing: higher education press, 2006,12.[9]胡适耕,张显文编著.数学分析原理与方法 [M] .北京：科学出版社,2008,5.[10]陈纪修,于崇华,金路编著. 数学分析下册 [M] . 北京：高等教育出版社,2000,4.致谢我的本科论文是在仝雅娜老师的指导下圆满完成的,仝老师在兢兢业业工作的同时,还要抽出很多时间帮我答疑解惑,细心指导,让我学会了很多东西.在此,特向仝老师表示衷心的感谢和诚挚的敬意.此外,还要感谢我的许多同学,他们在我的论文写作中给予了大量的帮助,在此,我也深深的感谢他们.同时,我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的老师、同学和朋友,感谢你们！。

班级：数学091 姓名：韩海飞数项级数收敛性的判别摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，得到一般的解题思路.关键词：判别方法归纳总结数项级数敛散性解题思路引言：在讲解数项级数敛散性判别方法时，每讲一种判别方法，学生按照指定的判别方法进行解题，一般都能很容易求得结果，而当把多种判别方法讲完，再让学生作综合判别时，学生要么束手无策，要么选择判别方法时带有盲目性，拿作判别方法进行实验性解题，只要求得结果，不问方法的简单与繁琐，而不是先从简单方法入手，往往用一种简单的方法就可以轻松解题，却用较繁琐方法费了九牛二虎之力，结果还不一定正确，造成这种情况的主要原因主要是学生对所学的判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱.所以在讲解完常数项级数敛散性判别方法之后，非常有必要归纳总结一下.一、定义定义1：设有数列 表达式（1） 称为数项级数，可记为 ，其中 称为数项级数（1）的第n 项或一般项。

定义2： 称为级数（1）的第n 个部分和，数列称为它的部分和数列。

定义3：设 是级数（1）的部分和数列，若 则说级数（1）的和是S ，这时也说级数（1）是收敛（于S ）的。

记为： 。

若 是发散数列，则称级数（1）发散。

余项： 定义4：绝对收敛：若∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛条件收敛：若∑∞=1n n u 发散，则称级数∑∞=1n n u 条件收敛二、性质定理定理12.2若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则对任意常数,c d ，级数111()nn n n n n n cudv c u d v ∞∞∞===+=+∑∑∑也收敛.定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收+++u u u n 21,,,:}{21u u u u n n ∑∞=1n n u u n u u u S n n ++=21}{S n }{S n S S n n =∞→lim S u n n =∑∞=1}{S n S S r n n -=敛性,也不改变它的和. 三、分类1、等比级数（几何级数）:2、--p 级数：)0(11>∑∞=p nn p3、正项级数: 若0≥n u ，则称∑n u 为正项级数4、一般级数：任意 ，则称∑n u 为一般级数 三、等比级数收敛性的判别法等比级数（几何级数） ，1<q 时，级数收敛 1≥q 时，级数发散四、--p 级数收敛性判别法：--p 级数)0(11>∑∞=p nn p(1)当10≤<p 时，级数发散 (2)当1>p 时，级数收敛 例：∑21n为p-级数，p=2>1，显然此级数是收敛的. 五、正项级数收敛性的判别法（1）比较原则：设∑n u 与∑n v 是两个正项级数，若（1） 当+∞<<10时，两级数同时收敛或同时发散； （2） 当0=l 且级数∑n v 收敛时，级数∑n u 也收敛； （3） 当+∞=l 且级数∑n v 发散时，级数∑n u 也发散；+++-q a aq a n 1qq a S n n --=1)1()1(≠q ⎪⎩⎪⎨⎧-=∞→发散q a S n n 1lim +++-q a aq a n 1 +++u u u n 21例： 判别级数∑n 1sin 的敛散性解：由于 111sinlim =∞→nn n ，根据比较原则，及调和级数∑n 1发散，所以级数∑n1sin 也发散.（2）比式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且lim q u u nn =+1则 (1)当1<q 时，级数∑n u 也收敛；(2)当1>q 时，或+∞=q 时，级数∑n u 发散；注：当1=q 时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数∑21n与∑n 1，它们的比式极限都是1lim1=+∞→n n n u u 但∑21n是收敛的，而∑n 1是发散的. （3）根式判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且1lim =∞→n nn u 则 (1)当1<l 时，级数收敛 (2)当1>l 时，级数发散注：当1=l 时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数∑21n 与∑n 1，二者都有1lim =∞n nn u ，但∑21n是收敛的，而∑n 1是发散的.但∑21n 是收敛的，而∑n 1是发散的. 例：判别级数()∑-+nn212的敛散性 解：由于232123lim lim 122122==-∞→-∞→m m m m m m u u 612321lim lim 212212==+∞→+∞→mm m m m m u u 故用比式判别法无法判定此级数的敛散性，现在用根式判别法来考察这个级数，由于 2123lim lim 2222==∞→∞→m m m m m m u 2121limlim12121212==++∞→++∞→m m m m m m u 所以21lim =∞→n n n u 由根式判别法知原级数收敛.（4）积分判别法：设f 是[)+∞,1上非负递减函数那么正项级数∑)(n f 与非正常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散； 例：讨论级数∑∞=2)(ln 1n pn n 的敛散性 解：研究非正常积分⎰∞+2)(ln px x dx，由于 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+==2ln 22)(ln )(ln )(ln p p p udu x x d x x dx当1>p 时收敛1≤p 时发散，由积分判别法级数∑∞=2)(ln 1n pn n 在1>p 时收敛1≤p 时发散（5）拉贝判别法（极限形式）若∑n u 为正项级数，且r u u n nn n =-+∞→)1(lim 1存在，则(1)当1>r 时，级数∑n u 收敛；(2)当1<r 时，级数∑n u 发散； (3)当1=r 时拉贝判别法无法判断.例：讨论级数(),)2(421231∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅⋅sn n 当3,2,1=s 时的敛散性解：无论3,2,1=s 哪一个值，级数(),)2(421231∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-⋅⋅⋅⋅sn n 的比式极限都有1lim1=+∞→nn n u u 所以用比式判别法都无法判别此级数的敛散性，现在应用拉贝判别法来讨论，当1=s 时，由于)(2122)22121()1(1∞→→+=++-=-+n n n n n n u u n n n 所以级数是发散的. 当2=s 时，由于)(1)22()34(])2212(1[)1(221∞→→++=++-=-+n n n n n n n u u n n n 这时，拉贝判别法也无法对此级数作出判断， 当3=s 时，由于)(23)22()71812(])2212(1[)1(3231∞→→+++=++-=-+n n n n n n n n u u n n n所以级数收敛. 六、一般级数收敛性的判别法（1）级数∑∞=1n n u 若0lim ≠∞→n n u ，则此级数发散.例：判断级数∑++nnn 2222的敛散性解：由于 1)2(lim 122=+⋅++∞→nx nn ，所以原级数发散（2）（基本判别法）如果正项级数的部分和数列具有上界,则此级数收敛.例：判定正项级数()()()112111n n n a a a a ∞=+++∑的敛散性.分析：本题无法直接使用定义、柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较判别法以及其他的判别法进行判断,因此可选用基本定理进行判断. 解 记()()()12111nn n a u a a a =+++,则()()()()()()()()()121211211111111111nn n n n a u a a a a a a a a a -==-+++++++++级数的前n 项和()()()112111111n n k k n S u a a a ===-<+++∑所以原级数的部分和数列有上界,于是原级数收敛.（3）柯西收敛准则级数∑∞=1n n u 收敛的充要条件：,,0N n ∈∃>∀ε当)(N m n m ∈>时，N p ∈∀有：ε<+⋅⋅⋅+++++m p m m u u u 21例：证明级数∑21n的收敛 证明：由于||21p m m m u u u ++++⋯++=222)(1)2(1)1(1p m m m +⋯++++ <))(1(1)2)(1(1)1(1p m p m m m m m +-++⋯+++++=）（）（）（pm p m m m m m+--++⋯++-+++-1112111111 =p m m +-11<m1 因此，对任给正数ε ，取]1[ε=N ，使得当m>N 及任意自然数p ，由上式就有||21p m m m u u u ++++⋯++<m1<ε 由柯西收敛准则推得级数∑21n是收敛的. （4）绝对收敛定义法：若级数∑n u 各项绝对值所组成的级数∑n u 收敛，则原级数∑n u 收敛； 例：⋯++⋯++=∑!!2!2n n nnαααα的各项绝对值所组成的级数是⋯++⋯++=∑!||!2||||!||2n n nn αααα应用比式判别法，对于任意实数α都有1||lim ||||lim1+=∞→+∞→n u u n nn n α=0 因此，所考察的级数对任何实数α都绝对收敛.（5）莱布尼兹判别法：若交错级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 满足下述两个条件：(1)数列{}n u 单调递减； (2)0lim =∞→n n u则级数()),2,1,0(11⋅⋅⋅=>-+∑n u u n n n 收敛.例：考察级数∑∞=+-111)1(n n n的敛散性.解：因为∑∑∞=+=-111|1)1(|n n nn 发散，不满足绝对收敛定义，而此级数满足莱布尼茨条件，故收敛.（6）阿贝耳判别法：设级数∑n n b a 若{}n a 为单调有界数列，且级数∑n b 收敛，则级数∑n n b a 收敛.例：讨论级数∑+-nnn xx n 1)1( (x>0)的敛散性. 解：对于数列{n n x x +1 } 来说，当x>0时，0<nn x x +1<n nxx =1 又⎪⎩⎪⎨⎧>>≤<≤++=++=++++++1,110,1111)1(11111111x x xx x n n nn n n xx n n x x x x即数列 {nn xx +1 } 是单调有界的，又 ∑-n n)1( 收敛， 由阿贝尔判别法知道级数收敛.（7）狄利克雷判别法：设级数∑n n b a 若{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a 又级数的部分和数列有界，则级数∑n n b a 收敛.例： 证明：若数列{n a } 具有性质：⋯≥≥⋯≥≥n a a a 21 ,0=∞→n n a lin 则级数∑nx a n cos 对任何x )2,0(π∈都收敛.证明：因为)cos 21(2sin 21∑=+nk kx x=])21sin()21[sin()2sin 23(sin2sin x n x n x x x --+++-+ =x n )21sin(+当x )2,0(π∈时,02sin ≠x 故有：2sin2)21sin(cos 211x n kx n k +=+∑= 所以级数∑nx cos 的部分和数列当x )2,0(π∈时有界，由狄利克雷判别法得级数∑nx a n cos 收敛.以上方法是常见的方法，接下来我们来看由比较原则衍生出的几种不常见的方法。

【微积分】08-数项级数1. 级数1.1 级数的定义 现在从增量的⾓度重新讨论数列的极限，⽽这也是极限在许多实际问题中的呈现形式。

对于数列S_n，设a_n=S_n-S_{n-1}，则有S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n。

为讨论S_n的敛散性，定义式（1）的加式为级数，a_n称为级数的通项，S_n称为级数的部分和。

如果S_n收敛于有限值S，则称级数收敛于S（其实就是定义了级数的值），否则称级数发散（也就没有值）。

\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots\tag{1} 以级数形式表⽰极限其实很常见，⽐如我们熟悉的等⽐数列之和，它的部分和在q\ne 1时满⾜式（2）。

故级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}在q<1时收敛，⽽在a\ne 0,\,q\geqslant 1时发散。

这个级数也被称为⼏何级数，它的结论对后⾯讨论级数的收敛问题很有作⽤。

S_n=a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}=a\dfrac{1-q^n}{1-q}\tag{2} 直觉上的级数是⼀个⼩数集合的总和，但其实级数的值与通项的顺序也是有关的，后⾯我们将会给出反例。

对任何级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n，将其每⼀项的顺序打乱得到它的更序级数\sum\limits_{n=1}^{\infty}a'_n，但要注意，这⾥的打乱还要求a_n必须对应到有限项a'_m，⽽不能出现在⽆穷之后。

有个基本问题是，级数的更序级数之间的敛散性关系如何？如果都收敛，它们的值相等吗？1.2 级数的性质 ⼀些特殊形式的级数，可以通过变形判定其敛散性，甚⾄得到级数的值。

但很多时候，我们只需要、也只能判定级数的敛散性，为此需要寻找有效的判定条件。

⼀种⽅法就是利⽤极限的判定条件，⽐如说利⽤判定极限的柯西准则，可知级数收敛的充要条件是：对任意的\varepsilon>0，只要n⾜够⼤，总有式（3）成⽴。

leibniz判别法欧几里得·莱布尼兹（Leibniz）判别法（Leibniz Test）是一种用于识别特定集合中的特定元素的准则。

它发源于17世纪在德国数学家、哲学家、科学家及机械工程师欧几里德·莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）。

根据欧几里德·莱布尼兹的一句名言“每件事可能在此自然之原因上做而且更有效”， Leibniz Test总结为“如果某元素属性存在且仅存在于特定集合中，则这个元素就必须来自于此特定集合”。

Leibniz Test在当今仍然被广泛应用于多方面。

理解莱布尼兹的思想有助于理解Leibniz Test的运用价值。

欧几里得·莱布尼兹恒定的观点是学科间和领域间存在一定的等价标准，在某种意义上说，可以将几乎所有学科重新组合，使它们逃离根本上的特殊性，以形成它们之间的间接关系。

Leibniz Test仅仅是一个概念，但它被用来论证一些复杂的引言。

它的基本意思是判断一个特定的项是否属于特定的集合。

Leibniz Test可以帮助我们迅速发现特定属性例如概念，抽象函数及实体等，而不必死记硬背。

Leibniz Test通过研究特定集合中特定特性的程度，来识别属于此特定集合的元素。

可以说， Leibniz Test给了我们一种精确概括复杂灰烬中某个特定元素的能力。

因此，Leibniz Test也被用来根据相关性来识别和区分一个领域中存在的成分，从而使得研究组织解决复杂的概念一件容易的事情。

它的应用范围从物理系统、生物学领域，甚至还可以在社会学领域得到有效的运用。

总的来说，Leibniz Test 是一种定义、认识特定集合中的特殊元素的概念，是欧几里得·莱布尼兹精辟总结出来的一句名言“每件事可能在此自然之原因上做而且更有效”。

它被广泛应用于多个领域，不仅有助于理解现有的概念，而且可以帮助我们快速发现新的概念，从而组织解决复杂问题。

正项级数敛散性判别的一种新方法吴国磊【摘要】正项级数的比较判别法,常见的有达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝对数判别法和高斯判别法等,但各有优缺点,本文主要研究了拉贝(Raabe)判别法,并在此基础上给出了它的推广.【期刊名称】《枣庄学院学报》【年(卷),期】2013(030)005【总页数】8页(P66-73)【关键词】正项级数;拉贝判别法;敛散性【作者】吴国磊【作者单位】如皋高等师范学校数理与信息技术系,江苏如皋226500【正文语种】中文【中图分类】O173.10 引言众所周知，级数是微积分学中的重要的内容，对于数项级数敛散性的判别，通常我们总是先判定它是否是绝对收敛，而判定绝对收敛的本质就是判别正项级数的收敛性.正项级数的判别法，常见的有D＇Alembert判别法、Cauchy判别法、Raabe 对数判别法和Gauss判别法等，但都有一定的局限性，很多学者在此基础上进行了改进，如文献［1］—［5］，事实上，我们可以根据Raabe判别法，给出了一个与其类似的新判别法.1 已有相关研究1.1 Raabe判别法Raabe 判别法［6］设是正项级数，则(1)r＞1时，级数收敛;(2)r＜1时，级数发散.该判别法和如下形式是等价的:对正项级数比值可以写成下面形式:(1)r＞1时，级数收敛;(2)r＜1时，级数发散.1.2 Gauss判别法Gauss判别法［7］对正项级数，比值可以表示成下面形式:其中λ，μ是常数，而θn是有界量: θ n≤L;那么，(1)如果λ＞1或λ=1，μ＞1级数收敛;(2)如果λ＜1或λ=1，μ＜1级数发散. 1.3 一个引理引理［1］设给定正项级数如果从某项起，不等式成立，则从收敛可推出收敛;从发散可推出发散.2 Raabe判别法的推广2.1 Raabe判别法的第一步改进王晖东、刘笑颖［8］已经对Raabe判别法进行过改进，如下:定理1［8］设为正项级数，满足，则有:(1)若r＞1，g(n)≤0，则收敛;(2)若r＜1，g(n)≥0，则发散.证明:当n→∞ 时，有且若令则由于级数当p＞1时，级数收敛;当p≤1时，级数发散.(1)若r＞1，取1＜p＜r，则由g(n)≤0和上式知，对于充分大的N，有vn收敛，根据引理，收敛.(2)若r＜1，取r＜p＜1，则由g(n)≥0和上式知，对于充分大的N，有vn发散，根据引理，发散.2.2 Raabe判别法的两步改进进一步的改进，可得两步改进方法:定理2［8］设为正项级数，满足且则有(1)若r＞1，g(n)≤0，则收敛;(2)若r＜1，g(n)≥0，则发散.王晖东、刘笑颖对Raabe判别法进行改进仅限于此，若将上述两个定理进行再次推广，可以得到如下的新方法.2.3 Raabe判别法的多步改进设为正项级数，满足，且且则有(1)若r＞1，g(n)≤0，则收敛;(2)若r＜1，g(n)≥0，则发散.证明:当n→∞ 时，有再使用数学归纳法，当m=1时，则当m=k+1时，有由于级数，当p＞1时收敛;当p≤1时发散.(1)若r＞1，取1＜p＜r，则由g(n)≤0和上式知，对于充分大的N，有vn收敛，根据引理，收敛.(2)若r＜1，取r＜p＜1，则由g(n)≥0和上式知，对于充分大的N，有vn发散，根据引理，发散.2.4 Raabe判别法的多步改进的实效举例例判断的敛散性.此时，为了方便描述，令现在将式子如下展开此时，如果取r＞1，则g(n)＞0;如果取r＜1，则g(n)＜0，此时该判别法失效.我们用更进一步的改进定理来判断其收敛性.这时有此时，如果取0＜r＜1，则g(n)≥0，则该级数发散.参考文献［1］杨钟玄.正项级数敛散性的一个新判别法［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2005，28(6):667－670.［2］洪勇.一个新的正项级数敛散性判别定理及应用［J］.四川师范大学学报(自然科学版)，2004，27(3):245－247.［3］高原，刘大彬.关于正项级数敛散性判定的一种方法［J］.齐齐哈尔大学学报，2011，27(4):86－88.［4］张永明.正项级数收敛性的一种新的判别法［J］.数学的实践与认识，2004，34(1):173－176.［5］王炳安，李淑敏.关于正项级数的一组收敛性判别法［J］.大连大学学报，2004，25(4):1－5.［6］陈纪修，於崇华，金路.《数学分析》第二版［M］.高等教育出版社，2004.22－23.［7］童小龙.Gauss判别法的改进［J］.中国矿业大学(北京)(博士专家论坛)，2008:352－353.［8］王晖东，刘笑颖.拉贝判别法的推广［J］.大学数学，2011，27(4):165 －170.［责任编辑:闫昕］。

关于正项级数敛散性的判别法作者: 学号： 单位： 指导老师摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化.关键词：正项级数；敛散性；判别法1引言设数项级数121...++...nn n aa a a ∞+==+∑的n 项部分和为：121......nn n i i S a a a a ==++++=∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数S ，使lim n x S S →∞=.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞是否存在，从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数1nn a∞=∑收敛⇔0,,,N N n N p N ε++∀>∃∈∀>∀∈对，有+1+2++...+<n n n p a a a ε.当p=1时，可得推论：若级数∑∞=1n nu收敛，则u lim n n =∞→.其逆否命题为：若lim n ≠∞→，则级数∑∞=1n nu发散.2 正项级数敛散性判别法设数项级数1nn a∞=∑为正项级数()0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S单调递增，由数列的单调有界定理，有定理2.1：正项级数n 1u n ∞=∑收敛⇔它部分和数列{}n S 有上界.证明：由于,...),2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得 定理2.2（比较判别法）：设两个正项级数n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑，且,n ,N N N ≥∀∈∃+有n n cv u ≤，c 是正常数，则1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，则级数n 1u n ∞=∑也收敛;2）若级数n 1u n ∞=∑发散，则级数n 1n v ∞=∑也发散.证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1u n ∞=∑的有限项，，则不改变级数n1u n ∞=∑的敛散性.因此，不妨设,+∈∀N n 有n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1n v ∞=∑与n1u n ∞=∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有，n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n .1)若级数n 1n v ∞=∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届，再根据定理1，级数n 1u n ∞=∑收敛;2)若级数n 1u n ∞=∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届，在根据定理1，级数n1un ∞=∑发散.其极限形式：定理2.2.1(比较判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑和n 1n v ∞=∑（n v 0≠）是两个正项级数且有lim =n x nuv λ→∞，+∞≤≤λ0，1）若级数n 1n v ∞=∑收敛，且+∞<≤λ0，则级数n 1u n ∞=∑也收敛；2）若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞≤<λ0，则级数n 1u n ∞=∑也发散.证明:1）若级数n1n v∞=∑收敛，且+∞<≤λ0，，由已知条件，,,,00N n N N ≥∀∈∃>∃+ε,有0u ελ<-nnv ，即n n v N )(u ,n 0ελ+<≥∀有，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞≤<λ0，由已知条件，,u ,,,00n nv N n N N <-≥∀∈∃+∞<<∃+ελλε有：根据柯西收敛准则推论的逆否命题知，则级数n 1u n ∞=∑也发散.若级数n 1n v ∞=∑发散，且+∞=λ，有已知条件，,u ,,0M v N n N N M nn>≥∀∈∃>∃+有，即,u ,,0M v N n N N M nn>≥∀∈∃>∃+有，根据’柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑也发散.例1 判别级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.分析: 考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201n n n =,原级数也接近于级数∑∞=121n n ,这是12>=p 的收敛的p-级数,那么原级数也一定收敛.事先知道级数是收敛的,就把通项放大,放大为一个收敛的级数通项,这个级数一般就是∑∞=121n n ,至多差一个系数. 解: 因为21)1(1n n n <+（分母缩小,分数放大）,又由于∑∞=121n n收敛.则由此比较判别法,原级数∑∞=+1)1(1n n n 也收敛.例2 判别级数∑∞=--+12521n n n n 的敛散性. 分析: 考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,分母n 的最高幂是2,这时通项接近，n n n 2122=,原级数也接近于级数∑∞=11n n,至多差一个系数.解: 因为52152221222--+≤--<=n n n n n n n n n （分子缩小,分母放大,分数缩小）,又由于∑∞=11n n是发散的,则由比较判别法,原级数也是发散的.由比较判别法可推得：定理2.3（比值判别法——达朗贝尔判别法）：设n 1u n ∞=∑(0>n u )为正项级数，且存在正常数q,则有1) 若,1u ,,1<≤≥∀∈∃++q u N n N N nn 有则级数n1un ∞=∑收敛；2) 若N n N N ≥∀∈∃+,，有1n n u v ≥，则级数n1u n ∞=∑发散. 证明：1）不妨设q N n n u u ,1n ≤∈∀+有, n=1， q u u 12≤;n=2,;u 2123q u q u ≤≤ n=3,;u 3134q u q u ≤≤......n=k,kk k q u u 11u ≤≤+......已知几何级数)10(11<<∑∞=q qu kk 收敛，根据柯西收敛准则推论的逆否命题，则级数n 1u n ∞=∑收敛.2)已知,1,n ,1≥≥∀∈∃++nn u u N N N 有即正项级数{n u }从N 项以后单调增加，不去近乎0()∞→0，则级数n1un ∞=∑发散.定理2.3.1（比值判别法的极限形式）：设n 1u n ∞=∑(0>n u )为正项级数，且l u u n n n =+∞→1lim，有，1) 若1<l ，则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若1>l ，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1),1:q <<∃q l 由数列极限定义，l q l N N N l nn -<->∀∈∃>=∃++u u ,n ,,0-q 10有ε即1u u 1<<+q nn ，根据达朗贝尔判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2）已知1>l ，根据数列极限的保号性，1u u ,,n1n >≥∀∈∃++有N n N N ，达朗贝尔判别法，级数n1un ∞=∑发散.例3 判别级数∑∞=1!n n n n 的敛散性. 解: 由于11])11(1[lim )1(lim ]!)1()!1([lim lim11<=+=+=++=∞→∞→+∞→+∞→en n n nn n n u u n n n n nn n n n n ,所以根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=1!n nnn 收敛. 例4 判别级数∑∞=155n nn的敛散性.解: 由于15)1(5lim ]5)1(5[lim lim55511>=+=+=∞→+∞→+∞→n n nn u u n n n n n n n ,根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=155n nn发散.当正项级数的一般项n u 具有积、商、幂的形式,且n u 中含有!n 、!!n 、n a 以及形如)()2)((nb a b a b a +++ 的因子时,用达朗贝尔判别法比较简便.定理2.4（根式判别法——柯西判别法）：设n 1u n ∞=∑)0(u n >为正项级数，存在常数q ，则有1) 若,n ,N N N ≥∀∈∃+有1n <≤q u n ，则级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若存在自然数列的子列{}i n ，使得1u ≥nn ，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1）已知,n ,N N N ≥∀∈∃+有qu n ≤n，有已知几何级数∑∞=<≤0n )10(q qn收敛，于是级数∑∞=0n nu收敛;2)已知存在无限个n,有1n≥n u ，即n u 趋近于0（∞→n ），于是级数n1un ∞=∑发散.定理2.4.1(根式判别法的极限形式)：设n 1u n ∞=∑为正项级数，若lu n n n =∞→lim1) 若1<l 时，级数n 1u n ∞=∑收敛；2) 若1>l 时，则级数n 1u n ∞=∑发散.证明：1)：q ∃1<<q l ,由数列极限定义，11,n ,,01q n 0<<--≥∀∈∃>-=∃+q u q l u N N N n n n 即有ε，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑收敛；2)已知1>l ，根据数列极限的保号性，1,n ,n >≥∀≥∃+n u N N N 有，根据柯西判别法，级数n 1u n ∞=∑发散.注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对=1r 的形式都为论及.实际上，当+1lim=1n x n u u →∞或+1lim =1n x nuu →∞时，无法使用这两个法判别来判断敛散性，如级数=11n n ∞∑和2=11n n∞∑，都有1+1lim =lim =11+1x x n n n n→∞→∞，()2221+1lim =lim =11+1x x n n n n →∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，lim x →∞，lim x →∞但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中，关于收敛条件+1q<1n nu u ≤和<1q ≤也不能放宽到+1<1n n u u，.例如对调和级数=11n n∞∑，有+1=<1+1n n u nu n ，，但级数却是发散的.例1 判别级数nnnn)12(1∑∞=+的敛散性.分析: 该级数的通项nnn)12(+是一个n次方的形式,于是联想到柯西判别法,对通项开n次方根,看其结果与1的大小关系.解: 由于12112lim)12(limlim<=+=+=∞→∞→∞→nnnnunnnnnnn,根据柯西判别法的推论,可得级数nnnn)12(1∑∞=+收敛.例2 判别级数∑∞=1ln32nnn的敛散性.解: 由于123232lim32limlimlnln>====∞→∞→∞→nnnnnnnnnnu,所以根据柯西判别法的推论知,级数∑∞=1ln32nnn发散.我们知道，广义调和级数（P-级数）11npnn=∑当1q>时收敛，而当1q≤时发散，因此，取P-级数作为比较的标准，可得到比比式判别法更为精细而又应用方便的判别法.即定理2.5（拉阿贝判别法）：设1nnnu=∑是正项级数且有)0(u>n，则存在常数q，1)若11n,n,1>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∀∈∃++quuNNNnn有，则级数1nnnu=∑收敛；2）若11n,,1≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥∀∈∃++nnuuNnNN有，则级数1nnnu=∑发散.证明：1）由q u u n n ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11n 可得n qu n n -<+1u 1，选p 使1<p<q.由 ()()()11lim11lim 111lim 100<=-=--=---→→∞→qpqx p qx x nq np x px pn ，因此，存在正数N ，是对任意n>N,pn n⎪⎭⎫ ⎝⎛-->111q ,这样p p p n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---<+1111111u u n 1n ，于是，当n>N 时就有()Np PN PppN N N n n u n N u N N n n n n u u u u u .1.1...121.......u u u 11n 1n 1n -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=++++,当p>1时，级数∑∞=1n n1p收敛，故级数 则级数1nn n u =∑收敛；2）由,1111111nn n u u u u n n n n n -=-≥≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++可得于是222231-n n n 1n 1n .1u .21...12.1.u u .....u u .u u u u n n n n n u =--->=++，因为∑∞=1n 1n 发散，故级数1nnn u=∑发散.定理2.5.1（拉阿贝判别法的极限形式）： 设正项级数∑∞=1n n u )0(>n u ,且极限存在,若.)1(lim 1l u u n nn n =-+∞→ 1)当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛;2) 当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 当3,2,1=s 时的敛散性.分析: 无论3,2,1=s 哪一值,对级数sn n n ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(42)12(31 的比式极限,都有1lim1=+∞→nn n u u .所以用比式判别法无法判别该级数的敛散性.现在用拉贝判别法来讨论.解: 当1=s 时,由于)(12122)22121()1(1∞→<→+=++-=-+n n n n n n u u n n n , 所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的.当2=s 时,由于)(1)22()34()2212(1)1(221∞→<++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n u u n n n , 所以原级数是发散的.当3=s 时,∵)(23)22()71812()2212(1)1(3231∞→→+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-+n n n n n n n n u u n n n , 所以原级数收敛.考虑到级数与无穷积分的关系，可得 定理2.6（积分判别法）：设函数()f x 在区间(]1,∞上非负且递减，()n u f n =，n=1,2，……，则级数1nnn u=∑收敛的充分必要条件是极限()1lim xx f x dt →∞⎰存在.证明：()0f x ≥，知()F x =1()xf t dt ⎰单调递增.1lim ()lim ()xx x F x f t dt →∞→∞∴=⎰存在⇔()F x 在(]1,∞有界.（充分性）设1lim ()x x f t dt →∞⎰存在，则存在0M >,使得(]11,,()xx f t dt M ∀∈∞≤⎰级数1n n u ∞=∑的部分和12...n n S u u u =+++()()()12...f f f n =+++()()()()231211...n n f f t dt f t dt f t dt -≤+++⎰⎰⎰()()()111nf f t dt f M=+≤+⎰即部分和数列有上界.所以级数1n n u ∞=∑收敛.（必要性）设正项级数1n n u ∞=∑收敛，则它的部分和有上界，即存在0,,M n N ≥∀∈有,n S M ≤从而对(]1,,x ∀∈∞令[]1n x =+ 则()()2311121()()...()xnn n f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt -≤=++⎰⎰⎰⎰⎰()()()112...1n f f f n S M -≤+++-=≤.故极限1()x f t dt ⎰存在.由此我们得到两个重要结论： (1)p 级数11pn n∞=∑收敛1p ⇔>； (2)级数11ln pn n n∞=∑收敛1p ⇔>. 证明：1)在p 级数一般项中，把n 换位x ，得到函数1()(1)pf x x x =≥.我们知道，这个函数的广义积分收敛1p ⇔>，因此根据正项级数的广义积分判定法，结论成立.2）证法同（1）. 例1 判别级数∑∞=131n n 的敛散性. 分析:因为将n 换成连续变量x ,即是31x ，显然函数31x在),1[+∞是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法.解:将原级数∑∞=131n n 换成积分形式dx x ⎰+∞131,由于21210)21()21(lim 21121213=+=---=-=+∞→+∞∞+⎰px dx x p ,即dx x ⎰+∞131收敛,根据积分判别法可知,级数∑∞=131n n 也收敛. 例2 证明调和级数∑∞=11n n发散.把n 换成连续变量x 得函数x1,显然这是一个在),1[+∞单调减少的正值函数,符合积分判别法的条件.解:将原级数∑∞=11n n换成积分形式dx x ⎰+∞11,由于+∞=-+∞==∞++∞⎰0ln 111x dx x ,即dx x ⎰+∞11发散,根据积分判别法可知,调和级数∑∞=11n n发散. 3 正项级数敛散性其他两种判别法定理2.7（阶的估计法）：设1n n u ∞=∑为正项级数1()()n pu O n n=→∞，即n u 与1p n 当()n →∞是同阶无穷小，则1) 当1p >时，级数1n n u ∞=∑收敛；2) 当1p ≤是，级数1n n u ∞=∑发散.把比较判别法和比式判别法结合，又可得 定理2.8（比值比较判别法）：设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是正项级数且存在自然数N ，使当n N ≥时有11n n n nu v u v ++≤，则1) 若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛；2) 若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑也发散.证明：当n N ≥时，由已知得12121111.......n N N n N N n n N N N n N N n Nu u u u v v v vu u u u v v v v +++++-+-=≤=由此可得,N N n n n n N Nu vu v u v v u ≤≤.再由比较判别法即知定理结论成立. 主要参考文献：[1]刘玉琏、傅沛仁等，数学分析讲义（第三版）.高等教育出版社，2003 [2]罗仕乐，数学分析绪论.韶关学院数学系选修课程，2003.8 [3]李成章、黄玉民，数学分析（上册）.科学出版社，1999.5 [4]邓东皋、尹晓玲，数学分析简明教程.高等教育出版社，2000.6 [5]张筑生，数学分析新讲.北京大学出版社，2002.6 [6]丁晓庆，工科数学分析（下册）.科学出版社，2002.9[7]R.柯朗、F.约翰，微积分与数学分析引论.科学出版社，2002.5（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

正项级数的敛散性判别方法探究摘 要：正项级数是一类重要的级数，对于研究一般项级数及函数项级数的敛散性有十分重要的意义．本文主要讨论了判别正项级数敛散性的一些常用方法，并进行了推广，使其适用范围更加广泛，计算更加方便．然后，讨论各个判别法之间的联系，判断其强弱性．最后，结合典型例题验证本文中判别法的有效性．关键词：正项级数；敛散性；判别法 1 引言级数的收敛性是用部分和数列的极限来定义的．一般来说，部分和n S 不易求得，需要依靠级数敛散性的判别法来进行判定．就正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较判别法．它需要用已知敛散性的级数作为比较对象．若用等比级数作为比较对象，就得到了柯西判别法和达朗贝尔判别法．但当极限为1时，这两个判别法失效．若要得出结果，需要找出比等比级数收敛的更慢的级数作为比较级数，分别以p 级数11p n n ∞=∑和级数()21ln pn n n ∞=∑作为比较对象，得到了拉贝判别法和高斯判别法，它们的判别范围要广泛得多．此外，可以利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对象来判别正项级数的敛散性，称为积分判别法．与之对应的还有导数判别法． 2 正项级数的相关概念[1]定义1 设12,,,,n x x x L L 是可列无穷个实数，我们称它们的“和”12n x x x ++++L L为数项级数(简称级数)，记为1n n x ∞=∑，其中n x 称为级数的通项或一般项．定义2 如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0n x ≥，1,2,3,,n =L 则称此级数为正项级数．定义3 取级数1n n x ∞=∑的前n 项之和，记为121nn n k k S x x x x ==+++=∑L ，1,2,3,,n =L则称n S 为级数1n n x ∞=∑的部分和，{}n S 为级数1n n x ∞=∑的部分和数列．定义4 如果部分和数列{}n S 收敛于有限数S ，则称级数1n n x ∞=∑收敛，且称它的和为S ，记为1n n S x ∞==∑；如果部分和数列{}n S 发散，则称级数1n n x ∞=∑发散．3 正项级数收敛性的常用判别法 比较判别法[1]定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界．定理2 (比较判别法) 设1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑是两个正项级数，若存在常数0A >，成立n n x Ay ≤，1,2,3,,n =L 则(1) 当1n n y ∞=∑收敛时，1n n x ∞=∑也收敛；(2) 当1n n x ∞=∑发散时，1n n y ∞=∑也发散．推论 (比较判别法的极限形式) 设1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑是两个正项级数，如果n x 与ny是同阶无穷小量，即limnn nx l y →∞=，则 (1) 当0l <<+∞时，1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑同时收敛或同时发散；(2) 当0l =且级数1n n y ∞=∑收敛时，级数1n n x ∞=∑也收敛；(3) 当+l =∞且级数1n n y ∞=∑发散时，级数1n n x ∞=∑也发散．柯西判别法与达朗贝尔判别法根据比较原则，可利用已知收敛或发散的级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性．柯西判别法与达朗贝尔判别法是以等比级数作为比较对象而得到的． 柯西判别法及其推广[2]定理3 设1n n x ∞=∑r =，则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．推论1 (广义柯西判别法1) 设1n n x ∞=∑为正项级数，如果lim an n r →∞=(0a >)，则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim an n r →∞=，即对任意正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有an r r εε-<<+ (1)对于任意常数b ，总存在2N ，当2n N >时，有0an b +> (2)取{}12max ,N N N =，当n N >时，式(1)和式(2)同时成立．(1) 当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有an bn x q+<，正项级数()11nan bba n n qqq ∞∞+===∑∑收敛，由比较判别法，级数1n n x ∞=∑收敛．(2) 当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有an bn x q+>，正项级数()11nan bba n n qqq ∞∞+===∑∑发散，由比较判别法，级数1n n x ∞=∑发散．(3) 当1r =时，取1n px n =，那么对任意0a >和常数b ，有()1lim lim1an p an b n n n+→∞→∞==．而级数11n n ∞=∑发散，级数211n n ∞=∑收敛．故不能确定级数1n n x ∞=∑收敛或发散．推论2 (广义柯西判别法2) 设1n n x ∞=∑为正项级数，如果lim n r →∞=(其中1m >且m N +∈)，则当1r <时，级数收敛；当1r >时，级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．证因为lim n r →∞=，即对任意正数ε，存在正整数N ，当n N >时，有r r εε-<<+当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有mn n x q <．因为()1mn nqq m <>，又正项级数1n n q ∞=∑收敛，由比较判别法知，级数1nn x∞=∑收敛．当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上述讨论，存在N ，当n N >时，有1mn n x q>>，那么lim 0n n x →∞≠，所以级数1n n x ∞=∑发散．当1r =时，取1n p x n =，那么，lim lim 1p pn n n →∞→∞⎛=== ⎝．而级数11n n ∞=∑发散，级数211n n ∞=∑收敛．故不能确定级数1n n x ∞=∑收敛或发散．例1 讨论下列级数的敛散性(1)211131n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑； (2)2131n n n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑．解 (1)若采用柯西判别法，需要计算211lim 31n nn n n -→∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭，较为繁琐． 而由广义柯西判别法1知，21lim lim 0131n n n →∞→∞==<-，该级数收敛．(2)因为1lim lim lim1313n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数收敛．达朗贝尔判别法及其推广定理4 设1n n x ∞=∑()0n x ≠是正项级数，且1limn n nx r x +→∞=，则(1) 当1r <时，级数1n n x ∞=∑收敛；(2) 当1r >或r =+∞时，级数1n n x ∞=∑发散；(3) 当1r =时，无法判断级数1n n x ∞=∑的敛散性．推论 (广义的达朗贝尔判别法)设1n n x ∞=∑()0n x ≠是正项级数，limn kn nx r x +→∞=，则(1) 当1r <时，级数1n n x ∞=∑收敛；(2) 当1r >或r =+∞时，级数1n n x ∞=∑发散．证 (1) 当1r <时，对102rε-=>，存在N ，当n N >时，有12n k n x rr x ε+--<= 即11122n k n x r r r x +-+<+=< 设112rq +=<，则n k n x q x +≤，即n k n x qx +≤，从而1(1)1(1)11m mk m k k m k x x qx q x +-++-+=≤≤ 2(1)2(1)22m mk m k k m k x x qx q x +-++-+=≤≤M(1)(1)m mk k m k k k m k k k x x qx q x +-++-+=≤≤其中m 是任意正整数，可见，对1,2,,i k =L ，都有lim 0mk i m x +→∞=．考虑级数的部分和序列(1)1111111()()()1(1)()()11()1m k k k k k mk mk k m mk k k S x x x x x x q q q x x x x qx x q++++++=+++++++++-≤+++++=++-≤++-L L L L L L L L即{}(1)m k S +有上界，从而(1)lim m k m S +→∞存在，设(1)lim m k m S S +→∞=．注意到11212(1)12(1),,,mk mk mk mk mk mk mk mk k mk mk mk mk k S S x S S x x S S x x x ++++++-+++-=+=++=++++L L故12(1)lim lim lim lim mk mk mk k mk k m m m m S S S S S +++-+→∞→∞→∞→∞=====L ，即lim n n S S →∞=，所以1n n x ∞=∑收敛．(2) 如果1r >，则从某项开始，00n k n x x +≥，此时lim 0n n x →∞≠，故原级数发散．例2 讨论下列级数的敛散性．(1)(1)13nn n ∞---=∑； (2)2sin cos 221n n n n eππ⎧⎫∞+-⎨⎬⎩⎭=∑．解 (1) 取3k =，由于3(3)(1)3(1)31lim lim 193n n n n n n n nx x +-+--+---→∞→∞==<， 所以原级数收敛．(2) 取 4k =，由于(4)(4)2sincos (4)22442sin cos 221limlim1n n n n n n n n n nx ex eeππππ++⎧⎫+-+⎨⎬⎩⎭+⎧⎫→∞→∞+-⎨⎬⎩⎭==<， 所以原级数收敛．引理[3]设1n n x ∞=∑与1n n y ∞=∑是两个正项级数，若存在自然数N ，当n N >时，不等式22n n n n x y x y ≤与212111n n n n x y x y ++++≤成立，则 (1) 若级数1n n y ∞=∑收敛，则级数1n n x ∞=∑收敛；(2) 若级数1n n x ∞=∑发散，则级数1n n y ∞=∑发散．证 由已知条件，存在自然数N ，当n N >时，不等式22n i n in i n ix x y y ++++≤()0,1i = 成立．不妨取自然数2p N N =>，并令max i N i p i x M y ≤<⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．当N n p ≤<时，max ni N i p n i x x M y y ≤<⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； 当n p ≥时，则唯一存在一个自然数1n ，使1122n n i p N =+≥=()10,1i =，故11n i N +>．若11n i p +<，则1111111122n i n i n n n i n i x x x M y y y ++++=≤≤；若11n i p +≥，则唯一存在一个自然数2n ，使1222n n i =+()20,1i =，其中22n i N +>，于是有11222211222222n i n i n i n i n i n i x x x y y y ++++++=≤，且2211n i n i +<+．由于n p ≥，经过有限步，假设第r 步，必有r r n i p +<，于是22r r r rr r r rn i n i n n n i n i x x x M y y y ++++≤≤≤． 由定理2即可证明．定理5 设1n n x ∞=∑()0n x ≠是正项级数，如果2211limlim n n n n n n x xx x ρ+→∞→∞+==，那么当12ρ<时，级数1n n x ∞=∑收敛；当12ρ>时，级数1n n x ∞=∑发散[4]．证 (1) 当12ρ<时，可以选取0ε>，使得12r ρε+=<，根据极限定义，应有正整数1N ，使当1n N ≥时，有212n n x r x ρε<+=<与21112n n x r x ρε++<+=<．又因为102r <<，可选实数1s >，使1122s r <<．令1n s y n =，则级数1n n y ∞=∑收敛，且21111lim lim 212sn s n n n y n y n +→∞→∞++⎛⎫== ⎪+⎝⎭ 由极限的性质，存在2N ，使得当2n N ≥时，有211n n y r y ++>成立． 取{}12max ,N N N =，则当n N ≥时，212111n n n n y x r y x ++++>>，2212n n s n ny x r y x =>>根据引理，级数1n n x ∞=∑收敛．(2) 当12ρ>时，选取0ε>，使得12ρε->，根据极限定义，应有正整数N ，使当n N ≥时，有212n n x x ρε>->与21112n n x x ρε++>->． 令11n y n =-，则级数1n n y ∞=∑发散，且2211221n n n n x y n x y n ->>=-，212112n n n n x y x y ++>= 根据引理，级数1n n x ∞=∑发散．例3 讨论下列级数的敛散性．(1)2n ∞=；(2)1n ∞=．解 (1) 因为2222n n n x x n ==()222121212111n n n x n x n n ++++⎛⎫== ⎪+⎝⎭+则22111limlim 02n n n n n n x x x x +→∞→∞+==<由定理5可知，级数21n ∞=收敛．(2) 因为()2ln 2ln 2ln ln n n n n x x nn ==()()()211ln21ln21ln1ln1nnn nxx n n++++==++则22111lim lim02n nn nn nx xx x+→∞→∞+==<由定理5可知，级数1n∞=柯西判别法与达朗贝尔判别法的关系性质若1lim nnnxrx+→∞=()0nx>，则nr=．证令11y x=，1nnnxyx-=()2,3,n=L，则0ny>()1,2,n=L，且1lim lim nnn nnxy rx→∞→∞-==，可以推出n n nr===．定理6 设1n nna b∞=∑为正项级数，0na≥，0nb≥，若na=，1lim nnnbbb→∞-=，则当1ab<时，级数1n nna b∞=∑收敛；当1ab>时，级数1n nna b∞=∑发散．证由上述性质可知，1lim nnnbbb→∞-=，可得nb=．于是.n n nab==由柯西判别法，便可得证．例4 判定下列级数的敛散性．(1)()21!121nnnn nnn∞=+⎛⎫⎪⎝⎭+∑；(2)221101!25n nnnn n a nn n n∞=⎛⎫++⋅⎪-+⎝⎭∑()0a>．解 (1) 设21n n n a n +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()!21n n n b n =+，则1lim nn n n e n →∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1211lim lim 21212nn n n n b n n b n n e →∞→∞--⎛⎫== ⎪-+⎝⎭．由于11122e e ⋅=<，根据定理6知，原级数收敛． (2) 设2210125nn n n a n n ⎛⎫++= ⎪-+⎝⎭，!n n n a n b n =，则22101lim 125n n n n n n →∞++==-+ ()()11111!1lim lim lim 1!n n n n n n n n n n n b a n n aa b n a n n e---→∞→∞→∞---⎛⎫=⋅=⋅=⎪-⎝⎭． 根据定理6，当a e <时，原级数收敛；a e >时，原级数发散． 积分判别法和导数判别法定理7 (积分判别法) 对于正项级数1n n x ∞=∑，设{}n x 单调递减，作单调递减的连续减函数()f x ()()0f x ≥，使()n x f n =，则级数1n n x ∞=∑与广义积分()1f x dx +∞⎰同时收敛，同时发散．定理8 (导数判别法) 设()f x 在0x =的某邻域内有定义且()0f x ≥，1n x f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x ''在0x =处存在，则级数1n n x ∞=∑收敛的充分必要条件是：()()000f f '==．证 不妨设对一切n ，都有1n x f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()f x ''在0x =处存在，易知()f x 在0x =处连续，且在0x =的某邻域内可导．充分性：由()()000f f '==，令01λ<<，则有()()()()()()1110000001lim lim lim lim 0111x x x x f x f x f x f f x x x x x λλλλλλλ++++--+→→→→'''''-====+++ ()1lim01nn x n λ+→∞⇒=，又级数111n nλ∞+=∑收敛，由比较判别法可知级数1n n x ∞=∑收敛．必要性：设级数1n n x ∞=∑收敛，则()10lim lim 0n n n f f x n →∞→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭．如果()00f a '=≠，则()()()()000limlim 00x x f x f x f f a x x →→-'===-，于是有 1lim lim 011n n n f x na n n→∞→∞⎛⎫⎪⎝⎭==≠． 由级数11n n ∞=∑发散，知级数1n n x ∞=∑发散，与已知条件矛盾，故假设不成立，即()00f '=．例5 讨论级数11ln (ln ln )pn n n n ∞=∑的敛散性，其中0p >为常数． 解 取1(),0ln (lnln )pf x p x x x =>．它在[3,)+∞上非负，单调减少且连续． 当1p =时，()31lim lim[ln ln ln ln ln ln3]ln ln ln xx x dt x t t t →∞→∞=-=+∞⎰；当1p ≠时，()()()()113301,11lim ln ln (ln ln3)11.ln ln ln 1xp ppx p dt x pp t t t p +∞--→∞⎧+∞<<⎪==⎨->⎪-⎩⎰，,故级数11ln (ln ln )pn n n n ∞=∑，当1p >收敛，当01p <≤时发散． 例6 判别级数11sin p n n n π∞=∑()1p ≥的敛散性． 解 令()sin p f x x x π=，则()00f =． 又()1sin cos p p f x px x x x πππ-'=+，()00f '=，故()102,1sin cos 00lim 0,1p p x p px x x x f p x ππππ-→=⎧+-''==⎨>⎩ 即()f x 在0x =处二阶可导，由导数判别法知级数11sin p n n n π∞=∑收敛． 拉贝判别法与高斯判别法[5]柯西判别法和达朗贝尔判别法是基于把所要判别的级数与某一等比级数相比较的想法得到的．也就是说，如果给定级数通项收敛于零的速度比某收敛的等比级数的通项收敛于零的速度快，则能判定该级数收敛．如果级数的通项收敛于零的速度较慢，则无法判断．拉贝以p 级数11pn n∞=∑作为比较对象，得到了拉贝判别法．高斯以级数()21ln pn n n ∞=∑作为比较对象，得到了高斯判别法[2]．定理9 (拉贝判别法) 设1n n x ∞=∑为正项级数，且极限1lim 1n n n x n r x +→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭存在，则当1r >时，级数1n n x ∞=∑收敛；当1r <时，级数1n n x ∞=∑发散．定理10 (高斯判别法) 如果正项级数1n n x ∞=∑满足条件1111ln ln n n x x n n n n n βο+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()n →+∞ 则当1β>时级数收敛；1β<时级数发散．证 (1) 当1β>，取α适合1βα>>，我们证明，当n N ≥时，有不等式()ln n M x n n α≤为此目的，我们注意111ln 1n n n ο⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1ln 1ln 11111ln ln ln ln n n n n n n n n ο⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=+=++ ⎪⎝⎭，()ln 111ln ln ln n n n n n n ααο+⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ln 11111ln ln ln n n n n n n n n n ααο+⎛⎫+⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据已知条件，就有()1ln 111ln ln ln n n n x n x n n n n n n αβαο++⎛⎫+-⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()n →+∞ (*) 因为0βα->，故当n N ≥时，上式取正值，即()()()()1ln 1ln 1n n n n x n n x αα+>++．这说明当n 充分大时，数列(){}ln n n n x α是单调减的，因而有界：()ln n n n x M α<，即()ln n M x n n α<从而级数1n n x ∞=∑收敛．(2) 当1β<时，在式(*)中取1α=就有()1ln 1111ln ln ln n n n x n x n n n n n n βο+++-⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭故当n 充分大时有()()()1ln 1ln 1n n n n x n n x +<++，即数列(){}ln n n n x 是单调增的．于是当n N ≥时有()()ln ln n N n n x N N x K ≥=即ln n Kx n n≥，所以级数1n n x ∞=∑发散．推论 设1n n x ∞=∑为正项级数，且极限1lim ln 11n n n x n n r x →∞+⎡⎤⎛⎫--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦存在，则当1r >时，级数1n n x ∞=∑收敛；当1r <时，级数1n n x ∞=∑发散．例7 设20a +>，试讨论级数11212223231na a a a a n a+++++++++++L L L 的敛散性．解 当0a =时，原级数可化为11n +∑，此时级数发散． 当0a ≠时， (1) 采用拉贝判别法11lim 1lim 12n n n n x a n n a x n a +→∞→∞⎛⎫+-==+ ⎪++⎝⎭ 则0a >时，原级数收敛；0a <时，原级数发散．(2) 采用高斯判别法()()1,01lim ln 11lim ln lim ln ,01n n n n n a x an n n n a n a x n →∞→∞→∞+⎡⎤+∞>⎧⎛⎫-⎪--===⎨⎢⎥ ⎪-∞<+⎪⎝⎭⎩⎣⎦则0a >时，原级数收敛；0a <时，原级数发散．注 虽然高斯判别法要比拉贝判别法更加精密，但是其运算过程也相对复杂．从理论上讲，按照这个思路进行下去，还可以找到新的、判别范围更广泛的判别法，但这些判别法也更加复杂． 4 结束语判断正项级数敛散性的方法是多种多样的，文中仅列出了一些常用的判别方法．在使用的过程中，需要根据不同题目的特点，选取适宜的判别方法进行判断．同时，本文选取了一些典型例题，用以检验相关理论的有效性．正项级数敛散性判别法也可用于判定负项级数及一般项级数的绝对收敛性，也可以推广到函数项级数的敛散性判别中．参考文献[1] 陈纪修等．数学分析(下册)[M]．北京，高等教育出版社．2004：15-25．[2] 刘三阳，李广民．数学分析十讲[M]．北京，科学出版社．2011：131-145．[3] 李铁烽．正项级数判敛的一种新的比值判别法[J]．数学通报，1990(1)：46-47．[4] 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This paper studies the discrimination of positive series convergence and divergence of some commonly used methods, has methods promoted，making them applicable to a wider range and calculates more convenient. And then we discuss the link between them, to determine their strength. Finally, combining some typical examples to verify the effectiveness of discriminance in this article.Keywords：series of positive terms; convergence and divergence; discriminance。

达郎贝尔判别法
摘要：
一、达朗贝尔判别法的背景和定义
二、达朗贝尔判别法的应用领域
三、达朗贝尔判别法的优缺点分析
四、结论
正文：
达朗贝尔判别法，作为一种广泛应用于信号处理、模式识别等领域的判别方法，是由法国数学家、物理学家让·达朗贝尔在18 世纪提出的。

它是一种基于观察值的判别方法，主要用于判断信号或模式所属的类别。

一、达朗贝尔判别法的背景和定义
达朗贝尔判别法源于概率论和统计学的发展，是统计判决理论的重要组成部分。

它通过计算观察值与各类别之间的距离，从而判断信号或模式所属的类别。

具体来说，若某个信号或模式与某一类别的距离最小，则认为该信号或模式属于这个类别。

二、达朗贝尔判别法的应用领域
达朗贝尔判别法在众多领域有着广泛的应用，例如信号处理、模式识别、语音识别、医学诊断、遥感等。

在这些领域中，达朗贝尔判别法可以用于判断信号或模式的类别，从而实现自动分类、识别等功能。

三、达朗贝尔判别法的优缺点分析
达朗贝尔判别法的优点在于其计算简单、易于理解，适用于各种类型的数
据。

然而，它也存在一定的局限性。

首先，达朗贝尔判别法仅适用于样本点分布比较集中的情况，对于样本点分布较稀疏的情况，其分类效果较差。

其次，当类别数量较多时，计算量会显著增加，导致计算效率降低。

四、结论
总的来说，达朗贝尔判别法作为一种经典的判别方法，在许多领域有着广泛的应用。

然而，随着科技的发展和数据量的增加，达朗贝尔判别法在某些方面的局限性也逐渐显现。

极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。

极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。

极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。

极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x趋于正无穷，x趋于负无穷。

函数的极限等等。

本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通。

1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。

数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。

1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。

若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有ε<-a a n则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a na =∞→或)(,∞→∞→n a n读作当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a 例证明2322n l i m -∞→n n解 由于)3n 93n 9323222≥≤-=--（nn n 因此，对于任给的ε>0,只要ε<n9，便有ε<--33322n n即当n ε9>时，（2）试成立。

第六章 级数理论§1 数项级数I 基本概念一 数项级数及其敛散性定义1 给定一个数列{，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式}n u ""++++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为，其中称为数项（1）的通项． ∑∞=1n nun u 数项级数（1）的前项之和，记为，称之为（1）的前项部分和，简称为部分和．n ∑==nk kn uS 1n 定义2 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于（即S S S n n =∞→lim ），则称级数（1）收敛，并称为（1）的和，记为．若S ∑∞==1n nuS {}n S 是发散数列，则称级数（1）发散．二 收敛级数的基本性质1 收敛级数的柯西收敛准则级数（1）收敛的充要条件是：0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，，有+∈∀Z p ε<++++++p n n n u u u "21．2 级数收敛的必要条件：若级数∑收敛，则∞=1n na0lim =∞→n n a ．3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性．4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律．5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散．6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性．7 线性运算性质若级数与都收敛，是常数，则收敛，且∑∞=1n nu∑∞=1n nvd c ,(∑∞=+1n n ndv cu)()∑∑∑∞=∞=∞=±=±111n n n n n n nv d u c dv cu．三 正项级数收敛性判别法1 正项级数收敛的充要条件是部分和数列∑∞=1n nu{}n S 有界．2 比较判别法 设与是两个正项级数，若存在正整数，当时，都有，则∑∞=1n nu∑∞=1n nvN N n >n n v u ≤（1）若收敛，则∑收敛；∑∞=1n nv∞=1n nu（2）若发散，则∑发散．∑∞=1n nu∞=1n nv3 比较原则的极限形式 设和是两个正项级数，且∑∞=1n n u ∑∞=1n n v l v u nnn =∞→lim，则（1）当+∞<<l 0时，和∑具有相同的敛散性；∑∞=1n nu∞=1n nv（2）当时，若∑收敛，则收敛；0=l ∞=1n nv∑∞=1n nu（3）当时，若发散，则发散．+∞=l ∑∞=1n nv∑∞=1n nu4 设∑和是两个正项级数，且∞=1n n a ∑∞=1n n b 0>∃N ，N n >∀，有nn n n b b a a 11++≤，则 （1）若收敛，则∑收敛；∑∞=1n nb∞=1n na（2）若发散，则发散．∑∞=1n na∑∞=1n nb5 比式判别法（达朗贝尔判别法） 设是正项级数，若及常数，有∑∞=1n nu00>∃N 0>q（1）当时，0N n >11<≤+q a a n n ，则级数收敛；∑∞=1n n u （2）当时，0N n >11≥+n n a a ，则发散．∑∞=1n n u 6 比式判别法极限形式 设为正项级数，且∑∞=1n n u q u u nn n =+∞→1lim，则（1）当时，收敛；1<q ∑∞=1n nu（2）当若时，∑发散；1>q +∞=q ∞=1n nu（3）当时失效．1=q 当比式极限不存在时，我们有 设为正项级数．∑∞=1n nu（1）若1lim1<=+∞→q u u n n n ，则级数收敛；（2）若1lim1>=+∞→q u u nn n ，则级数发散．7 根式判别法（柯西判别法） 设为正项级数，且存在某正整数及正常数l ，∑∞=1n nu0N （1）若对一切，成立不等式0N n >1<≤l u nn ，则级数收敛；∑∞=1n n u （2）若对一切，成立不等式0N n >1≥n n u ，则级数∑发散．∞=1n nu8 根式判别法极限形式 设为正项级数，且∑∞=1n nul u n n n =∞→lim ，则（1）当时级数收敛； 1<l （2）当时级数发散． 1>l 9 柯西积分判别法设为[上非负递减函数，那么正项级数与反常积分同时收f )∞+,1()∑∞=1n n f ()∫∞+1dx x f敛或同时发散．10 拉贝判别法 设为正项级数，且存在某正整数及常数∑∞=1n nu0N r ，（1）若对一切，成立不等式0N n >111>≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+r u u n n n ，则级数∑收敛；∞=1n n u （2）若对一切，成立不等式0N n >111≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+n n u u n ，则级数发散．∑∞=1n n u 注 拉贝判别法中（1）111>≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+r u u n n n 可转化为nru u n n −≤+11，1>r 收敛； （2）r u u n n n ≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+11可转化为nru u n n −≥+11，1≤r 发散． 11 拉贝判别法极限形式若r u u n n n n =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+∞→11lim ，则有 （1）当1>r 时，收敛；∑∞=1n nu（2）当1<r 时，发散．∑∞=1n nu四 一般项级数1 莱布尼兹判别法 若交错级数，，满足下列两个条件：()∑∞=−−111n n n u 0>n u （1）数列{单减； }n u （2），0lim =∞→n n u 则收敛．∑∞=1n nu注 若交错级数满足莱布尼兹判别法，则其余项满足()∑∞=−−111n n n u ()x R n ()1+≤n n u x R ．2 绝对收敛级数及其性质 定义 对于级数，若∑∞=1n nu∑∞=1n nu收敛，则称绝对收敛；若收敛，而∑∞=1n nu∑∞=1n nu∑∞=1n nu发散，则称是条件收敛的．∑∞=1n nu显然，若绝对收敛，则一定收敛，反之不真．∑∞=1n nu∑∞=1n nu绝对收敛级数的性质： （1）重排性：若∑绝对收敛，其和为，则任意重排后所得级数亦绝对收敛，且有相同的和数．∞=1n nuS 此说明：绝对收敛级数满足交换律．对于条件收敛级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于任何事先指定的数（Riemann ）．（2）级数的乘积 若和都绝对收敛，其和分别为∑∞=1n nu∑∞=1n nvA 和B ，则其乘积按任意方式排列所得的级数也绝对收敛，且其和为∑∞=1n n u ∑∞=⋅1n nvAB （柯西定理）．乘积的排列方式通常有两种：正方形和对角线法．3 一般级数收敛判别法一般级数除应用前面正项级数方法判定其绝对收敛以外，莱布尼兹判别法和下面的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法则是判定其可能条件收敛的主要方法．（1）狄利克雷判别法 若数列{单减收敛于零，的部分和数列有界，则级数收敛．}n a ∑∞=1n nbnn n ba ∑∞=1注 莱布尼兹判别法是狄利克雷判别法的特例，Abel 判别法亦可由狄利克雷判别法推证．（2）阿贝尔判别法：若数列{单调有界，∑收敛，则级数收敛．}n a ∞=1n nbnn n ba ∑∞=1五、常用于比较判别法的已知级数（1）几何级数∑，∞=1n nq1<q 收敛，1≥q 发散；（2）级数−p ∑∞=11n p n ，时收敛，1>p 1≤p 发散； （3）()∑∞=2ln 1n pn n ，时收敛，1>p 1≤p 发散．II 例题选解一 级数敛散性判别例1 讨论下列级数的敛散性． （1）∑∞=+111n nx，； 0>x （2）∑∞=1sinn nx，． R x ∈解（1）10<<x ，，0→n x 0111≠→+nx，发散； 1=x 时，02111≠→+nx，发散； 1>x 时，nn x x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛<+111，∑∞=11n n x 收敛，故∑∞=+111n nx 收敛． （2）当时收敛，当时，发散． 0=x 0≠x 例2 已知∑收敛．∞=12n na（1）判定()∑∞=+−1211n n n n a 的敛散性；（2）证明：∑∞=2ln n n nn a 收敛．（武汉大学）解（1）()222221112111n a n a n a n nn+≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛++≤+⋅−，与∑∞=12n n a ∑∞=121n n 均收敛，从而原级数收敛（绝对收敛）．（2）仿（1），由五（3）知其收敛． 例3 判断下列级数的敛散性． （1）∑∞=+−1)]11ln(1[n n n ；（东北师大）（2）∑++++−)]!1!21!111([n e "；（东北师大） （3）∑∞=142sin3n n n ； （4）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1cos 1n pn π，（） 0>p （5）∑∞=1!n n n nn a （）；e a a ≠>,0（6）()∑∞=−−+11312n n n ；（7）∑∞=−>−+111)0()2(n nna aa；（8）∑∫∞=+104411n n dxx ；（9）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−21111n n n n ； （10）()()∑∞=+2ln ln 1n n nn n ；（11）∑∞=3ln n pnn（）； 0>p （12）()()∑∞=++11ln 11n pn n （）；（0>p 1=p 为大连理工） （13）()∑∞=+++1!2!!2!1n n n "； （14）()∑∞=⎦⎤⎢⎣⎡−+111ln n p n n （）； 0>p （15）()()∑∞=⋅−11!!2!!12n n n n ；（16）()∑∞=1ln ln 1n nn ； （17）∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−2ln 1n nn n p （）； 0>p（18）()()()∑∞=+++12111n nnx x x x "0≥x （）； （19）()∑∞=+−⋅−+211ln1n pn n nn （）； 0>p （20）()∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−110310021n nnn n ；（21）()()∑∞=−+−211n n n n ； （22）∑∞=1cos n pn nx（π<<x 0）； （23）"+−−−+−−+−+2222222222； （24）()[]∑∞=−11n n n；（25）()()∑∞=2ln ln ln 1n qp n n n ；（大连理工1998） （26）∑∞=+−11n nn n；（中科院2002）（27）∑−nnnarctan )1(（北京大学1999）．解（1）由于)(1ln ln 1)1ln(1)]11ln(1[111∞→→++−=+−=+−=∑∑∑===n c n n n k n k k k S nk n k nk n ，其中c 为欧拉常数，所以级数收敛．（2）由于""++++=++++−<)!2(1)!1(1)!1!21!111(e 0n n n ))3)(2)(1(1)2)(1(111(!1"+++++++++=n n n n n n n 22)!1(2))3)(2(1)2)(1(111(!1nn n n n n n n <+=++++++++<"， 由比较原则知其收敛．（3）24342sin 3→⎟⎠⎞⎜⎝⎛nnn⇒ 收敛；（4）21021~cos 12≤<⇒⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−p n n pp ππ发散，21>p 收敛； （5）()()e a n n a n n a n n a nn n n n →⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅=⋅++⋅++1!1!111e a <<⇒0收敛，发散； e a >（6）()131312<→−+n n n⇒收敛；或()()∑∑∑∞=−∞=∞=−−+=−+111113131232n n n n n n n n ，收敛；或()1131312−−≤−+n nn ，收敛；（此乃正项级数）（7）220222121211)ln 2((lim )21()(lim )21()2(lim a x a a na a n a a x x x nnn nnn =−=−=−+−+→−∞→−∞→⇒收敛； 注：利用的Maclaurin 展开式估计分子的阶． x a （8）204421110nxdxdxx a n n n =≤+=<∫∫⇒ 收敛； （9）()nn n nn n n n n n −=−−=−−−111111=n n −231⇒收敛； 或⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−n o n n n n n n 11111111111⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++=23231111n o n n n ⇒⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−−−=2323111111n o n n n n a n （∞→n ）收敛；∑∞=⇒1n n a （10）()()()()nenn n n nn n nn nnnln ln 1ln 11ln ln ln ln +⋅=+=+，而()01ln ln →+⋅nn n ，从而上式极限为零，⇒收敛；（11）当10≤<p 时，nn n p 1ln ≥（）发散； 3>n ⇒ 当时，1>p ()()21211ln 1ln −−+⋅=p p p nnn n n ，当充分大时， n ()1ln 21<−p n n ⇒ ()2111ln −+≤p p nn n ⇒收敛．或当时，1>p 0ln 1ln 1ln 121<−=⋅−⋅=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−p p p pp x x p x xpx x x x x （），即单减．由柯西积分判别法知原级数收敛．3>x （12）()()()pn n n u 1ln 11++=单减，故可用柯西积分判别法，令()()()1ln 11++=x x x f p ，，易知当1≥x 1=p 时，发散，时亦发散，而时收敛．()∫∞+1dx x f 10<<p 1>p （13）()()()2121!2!!2!!2!1+≤⋅≤+++n n n n n n "（）收敛； 3≥n ⇒（14）由泰勒公式（皮亚诺余项形式）得：()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+p p n p n p n n o n n n 221121111ln ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅−−=p p p nn o n n 2211211，当绝对收敛，1>p 121≤<p 条件收敛，210≤<p 发散． 注 能否利用()()p np n n n 1~11ln −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⇒()∑∞=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+111ln n p n n 收敛？（此法仅用于正项级数）．（15）()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+⋅++=⋅−+⋅++=+1112211122121!!2!!1211!!22!!121n n n n n n nn n n n n a a n n()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=+++−=11123112112312n o n n n 由拉贝判别法知其收敛．（16）+∞→n ln ，则当较大时，，n 2ln e n >()()2ln 2ln 11ln 1n en n n =<⇒收敛； （17）根式判别法失效．先估计它的阶，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n p n nn e n n p u ln 1ln ln 1，n npn n p ln ~ln 1ln −⎟⎠⎞⎜⎝⎛−（）， ∞→n 从而可以估计，于是可讨论pn nu −~n p p nu n nu =的极限，为此()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∞→∞→∞→n n p n n p n n p n u n n np n n pn ln 1ln ln lim ln 1ln lim ln lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=−∞→n n p n p n n n 1ln 1ln 1ln 11lim1()[]x px x px xx ln ln 1ln 1lim0−+=→ ()0ln 1ln ln lim 220=++−=→xpx x x x x p x 故，，所以当时收敛，当1lim =∞→n pn u n p n n u −~1>p 1≤p 时发散．（18）当时级数显然收敛； 0=x 当时，，故收敛；10<<x n n x u <当时，1=x nn u ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21，收敛；当时，1>x ()()()112111111−−<+<+++=n n n nn x x x x x x u "，收敛．（19）()()())(12121~1112∞→⋅=++=−+n nn nn nn p p ppp， )(2~12~121ln 11ln∞→−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−n n n n n n ， 所以，211121~p p n n a +−⋅−)(∞→n ，由此易得：时收敛，0>p 0≤p 时发散． 注 等价无穷小替换法仅适用于同号级数．（20）()132103100210310021<→++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−n n n n n nn，绝对收敛． （21）()()()()()111111111−+−−=−−−−=−+−=n n n n n n u nnnnn n ， ()()()0121112112221<−−−=−−−⋅=′⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−x x x x x x xx x （） 1>x 由莱布尼兹判别法，()∑∞=−−211n nn n 收敛，而∑∞=−111n n 发散，故原级数发散． （22）当，发散，，绝对收敛，当0≤p 1>p 10≤<p 时，由狄利克雷判别法知其收敛．事实上，212sin 21sin cos 3cos 2cos cos −⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=++++x xn nx x x x "，()π,0∈x ，有界．（23）法一：212sin24sin24cos22πππ====a ，322sin 24cos 1222ππ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=a ，4332sin 22cos 224cos 122222πππ=−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=−−=a ，……12sin2+=n n a π，……于是原级数可表为∑∞=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++21322sin 22sin 2sin 2sin 2n n n ππππ""，收敛．法二：记21=A ，222+=A ，2223++=A ，……则，于是2→n A 121222lim 222lim 222lim lim 22111<=−+−=−+−=−+−=→→−−∞→+∞→x x x x A A a a x x n n n nn n ，收敛．（24）将级数中相邻且符号相同的项合并为一项，得一新级数()()∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−++++−12221111111n nn n n " 注意到通项中共有项，其中前项之和和后12+n n 1+n 项之和分别夹在11+n 与n1之间， n n n n n n n n n n n n n 11111122222=<−+++<−+<+=" ()nn n n n n n n n n n n n n 11211211122222=++<++++<+<+=+" 因此()nn n n n 211111112222<−+++++<+" 由此得其单减，从而为收敛级数，而原级数的部分和总是夹在新级数某相邻的二部分和之间，所以原级数也收敛．（25）当时，则当时收敛，1=p 1>q 1≤q 时发散，此时级数的敛散性等同于无穷积分()∫∞+2ln ln ln qx x x dx的敛散性．由无穷积分立得 ()∫∞+2ln ln ln q x x x dx ()∫+∞→=A q A x x x dx2ln ln ln lim ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞+>−=+∞==−+∞→+∞→1,1,ln ln 11lim 1,ln ln ln lim 212q q x q q x A qAA A 收敛， 当时发散，时收敛，事实上，1<p 1>p 当时，1<p ()()()()n n n n n n n n n q pqp ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln ln 11>⋅=−（n 充分大） 当时，1>p ()()()()()()()2121211ln 1ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln 1+−−+<⋅=p q p p q p n n n n n n n n n ． （26）由 及发散知级数发散．∑−1n（27）由于{单调有界，}n arctan ∑−nn)1(收敛，由阿贝尔判别法知其收敛．思考题1 判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=+−−++122)11(1n n n n n n ；（复旦大学1997） （2）∑∞=123ln n nn；（复旦大学1998） （3）∑∞=122sinn nn π；（复旦大学1999）（4）∑∞=−122sin)53(n n n n π；（复旦大学1999）（5）)0()1()2ln(1>++∑∞=a n a n n n；武汉理工大学2004） （6）∑∞=−11sin 1(n n n α．（南京理工2004） 提示：（1）分子有理化，发散； （2）收敛；（3）仿上例（3），收敛；（4）当为偶数时，通项为0，去掉这些为0的项以后所得级数为交错级数，收敛，n从而原级数收敛（考察它们部分和数列之间的关系）．（5）由级数收敛的必要条件知当1≤a 时发散；当由比式判别法知其收敛； 1>a （6）利用的Taylor 公式讨论． x sin 例4 讨论级数∑∞=11n pn的敛散性．分析：，柯西准则，发散；1=p 1>p ，柯西积分判别法，收敛； 1<p ，比较判别法，发散．例5 证明 （1）若级数收敛，则∑∞=12n n a ∑∞=1n nn a 收敛；（淮北煤师院2004） （2）若，则发散，而∑收敛；（南开大学2001）0lim ≠=a na n n∑∞=1n na∞=12n na（3）若是收敛的正项级数，则当∑∞=1n n a 21>p 时，级数∑∞=1n p n na 收敛（中科院2002）． 分析：（1）⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤22121n a n a n n ； （2）01≠→=a na na n n ，发散，而∑收敛； ∑∞=1n n a ∞=12n na （3）同（1）．或：由Cauchy 不等式211221111⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛≤∑∑∑===nk p nk k nk pk k a k a ； 知其部分和有界，从而收敛．例6（兰州大学2000）设是单调递减数列，试证明： 0>n u （1）若0lim ≠=∞→c u n n ，则∑∞=+−11)1(n nn u u 收敛； （2）若0lim =∞→n n u ，则∑∞=+−11)1(n nn u u 发散． 证（1）由单调有界定理知，再由极限的柯西收敛准则知：0>≥c u n 0,0>∃>∀N ε，当，有+∈∀>Z p N n ,εc u u p n n <−+，又单调递减，所以，当时，有n u +∈∀>Z p N n ,ε<−≤−++−+−+−+++++np n n p n p n n n n n u u u u u u u u u )1()1()1(1121"，由级数的柯西收敛准则知其收敛．（2）由于1)1()1()1(1121−=−≥−++−+−+++−+++++pn n p n p n n p n p n n n n n u uu u u u u u u u u "，令得上式右端的极限为，由柯西准则知∞→p ∞+∑∞=+−11)1(n nn u u 发散． 例7（华东师大1997）设级数∑∞=1n nn a收敛．试就∑n a 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明：级数n n an n+∑∞=1也收敛．证 当为正项级数时，∑na1lim=+∞→nn a n a n n n ，由比较判别法知n n an n+∑∞=1收敛．当∑∞=1n n n a 为一般项级数时，nn a n n a n n n n 1111+=+∑∑∞=∞=，由阿贝尔判别法知它是收敛的．思考题2（华东师大1998）已知为发散的一般项级数，试证明∑∞=1n n a ∑∞=+1)11(n n n a 也是发散级数．提示：用反证法．假设∑∞=+1)11(n n n a 收敛，则∑∑∞=∞=++=11)1)(11(n n n n n n n a a ，由阿贝尔判别法知收敛，矛盾．∑∞=1n na例8（北京工业大学2000）设和正项数列{}n a 单调减少，且级数发散．令n n na ∑∞=−1)1(nn a a a u ++⋅+=11111121"，.,2,1"=n试问级数∑是否收敛，并说明理由．∞=1n nu证 级数收敛．这是因为：由级数发散和正项数列单调减少知，且由单调有界定理知，于是∑∞=1n nun n na ∑∞=−1)1({}n a 0lim >=∞→a a n n a a n ≥nn n n aa a a a u )11()1(111111121+=+≤++⋅+="， 由比较原则知收敛．∑∞=1n nu例9（北方交通大学1999）已知.,2,1,,01"=≤>+n a a a n n n 讨论级数"""++++na a a a a a 21211111 的敛散性．解 由单调性假设知存在极限0lim ≥=∞→a a n n ，则a a a a n n n =∞→"21lim ，由柯西根式判别法知，当时收敛，当时发散，当1>a 1<a 1=a 时，例10（中国矿大北研部）设，0>n a n n a a a S +++="21，级数．试证：∞=∑∞=1n na（1）∑∞=1n nnS a 发散；（武汉大学） （2）∑∞=12n nnS a 收敛．（东北师大） 证 （1），，于是0>n a ↑n S pn n p n pn n k kpn n k k k S S S a S a ++++=++=−=≥∑∑111． 而，故，从而当充分大时，∞=∑∞=1n n a +∞=++∞→p n p S lim p 21<+pn n S S ， 211≥∑++=pn n k kk S a ．由柯西收敛准则知其发散．（2）11211211122121111a S S S S a S S a a S a n nk k k n k k k k nk kk ≤−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=+≤∑∑∑=−=−=，部分和有界，故收敛．例11（华中科技大学） 若0lim 1=+∞→n n a ，()0lim 21=+++∞→n n n a a ，…，()0lim 21=++++++∞→p n n n n a a a "，…，试问是否一定收敛？为什么？∑∞=1n n a 解 不一定．如级数∑∞=11n n，有 )(01121110∞→→+<++++++<n n p p n n n "； 但∑∞=11n n 发散．例12（上海交大） 若 1lim 1sin 2=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅∞→n nn n a n ，则级数是否收敛？试证之．∑∞=1n n a 解 由于11sin2→−nn n na （∞→n ），而()432sin 21sin2110−⋅−−≤=<−−nnn n n nn （n 充分大），由比较判别法知∑∞=−11sin2n nn n收敛，再由比较判别法知收敛．∑∞=1n na例13 设且单减，试证与同时敛散．0>n a ∑∞=1n na∑∞=122n nn a 证 因为对正项级数任意加括号不改变敛散性，因此由∑∞=1n na()()()""++++++++++=1587654321a a a a a a a a a∑∞==++++≤02232221222232n n n a a a a a "和∑∞=1n na()()()"""++++++++++=169854321a a a a a a a a∑∞=+=+++++≥02116842122121842n nn a a a a a a a "知两级数具有相同的敛散性．例14 若正项级数收敛，且（∑∞=1n nan n nb a n a e a e++=",2,1=n ）．证明 （1）∑收敛；（华东师大）∞=1n nb（2）∑∞=1n nna b 收敛．（北京理工大学2003）证 解出得：n b ()0ln lim >−=∞→n a n n a eb n，而收敛，故当n 充分大时，∑∞=1n n a nnn a b b <，从而（2）收敛立得（1）收敛．由收敛的必要条件得)(0∞→→n a n ．又因为()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++++=−n nn n n a a a a a a e n"!3!21ln ln 32()n n n a o a a =++"32!3121~， 即 0lim=∞→nn n a b ，由级数收敛得∑∞=1n n a ∑∞=1n nn a b收敛． 例15 研究级数∑∞=121n nx 的敛散性，这里是方程n x x x tan =的正根，并且按递增的顺序编号．解 解方程得：()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+∈ππππn n x n 2,12，()22111−<n x n ，，收敛． 1>n 例16 设，，11=u 22=u 21−−+=n n n u u u （）．问收敛吗？3≥n ∑∞=−11n nu解 由于03323233211211111<−=−=−=−+−−+−+++n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u （）； 3>n 所以 321111≤=+−−+n n n n u u u u （由的前若干项预测）；由比式判别法知其收敛． n u 例17 设，证明级数 0>n a ()()()∑∞=+++121111n nna a a a " 收敛． 解 由于()()()()()()()()n n n a a a a a a a a a a a a a S +++++++++++++=<111111111021321321211""()()()()()()()"""++++++++−=+++++=321321212121111111111a a a a a a a a a a a a()()()()()()n n a a a a a a a ++++++++−=1111111121321"" ()()()1111121<+++−=n na a a a "即部分和有界，所以收敛．例18（上海师大）证明：级数："+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−4131211713121151211311是收敛的．解 这是交错级数，且()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=n n n n n n a n 12111212121211121""111121112112111221121+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−++=n a n n n n n n ""， ()()0ln 1211211121→++−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=n n n c n n n a ε"． 由莱布尼兹判别法知收敛．∑∞=1n na例19（合肥工大2001）已知正项级数∑na 和∑nb 都发散，问下列级数收敛性如何？（1）∑； （2）),min(nnb a ∑),max(nnb a ．解（1）可能收敛，也可能发散，例如，取，则1−==n b a n n ∑),min(nn b a 发散；若取，，则n n a )1(1−+=1)1(1+−+=n n b 0),min(≡n n b a ，∑),min(nn b a 收敛．（2）一定发散，这是因为． n n n a b a ≥),max(思考题3（复旦大学1997）证明：如果任意项级数∑nu和∑nv都收敛，且成立.1,≥≤≤n v w u n n n则收敛．∑nw提示：利用柯西收敛准则．思考题4（上海交大2004）设.,2,1,1,11212"+==∫+−n dx x x n x n nn n 证明收敛．∑∞=−−11)1(n nn x 提示：12212111−+=<<+=n n n x n x n x ，应用Leibniz 判别法即可．例20（华东师大2000）设收敛，∑∞=1n na0lim =∞→n n na ．证明：．∑∑∞=∞=+=−111)(n n n n na a an 证 记级数的前n 项和为，则∑∞=−−11)(n n na an n S 12113221)()(2)(++−+++=−++−+−=n n n n n na a a a a a n a a a a S ""，而0])1(1[lim lim 11=+⋅+=+∞→+∞→n n n n a n n nna ，所以∑∑∞=∞=+=−111)(n n n n na a an ．思考题5（合肥工大2000）设数列{}n a 单调，且级数收敛于A ．证明：级数收敛，并求其和．∑∞=1n na∑∞=+−11)(n n na an 思考题6（北京工业大学2001）设数列{}n na 收敛，00=a ，级数收敛，证明：级数收敛．∑∞=−−11)(n n na an ∑∞=1n na思考题7（安徽大学2003）若级数满足：∑∞=1n na（1）；0lim =∞→n n a （2）∑收敛，∞=−+1212)(n n n a a证明：收敛．∑∞=1n na思考题8（华东师大2003）若级数满足：∑∞=1n na（1）；0lim =∞→n n a （2）∑收敛，∞=−−1212)(n n n a a证明：收敛．∑∞=1n na例21（吉林大学）证明级数"+−++−++−+611119141715121311发散到正无穷．证 记.,2,1,141241341"=−−−+−=n n n n a n 则nnna n 1)331(3142−=−>，而∑n1发散到正无穷，所以，+∞=∞→n n S 3lim ．又因为，故．n n n S S S 31323>>+++∞=∞→n n S lim 注（1）若要证明级数发散，则只需证明+∞=∞→n n S 3lim 即可．（2）在证明{收敛或发散时，有时通过求其子列的敛散性而使问题变得简单． }n S 思考题9（武汉大学1999）级数""+−−+++−+−nn 21)12(1514131211222 是否收敛？为什么？提示：考察． n S 2例22 证明：级数收敛的充分必要条件是：对于任意的正整数序列{和正整数数任意子序列{，都有∑∞=1n na}k p }k n .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a "证 必要性．设级数收敛，则由柯西收敛准则得：∑∞=1n na,0,0>∃>∀N ε当时，，都有N n >+∈∀Z p ε<++++++p n n n a a a "21，从而当时，，于是对于任意的正整数序列N k >N n k >{}k p ，有ε<++++++k k k k p n n n a a a "11，即 .0)(lim 11=++++++∞→k k k k p n n n k a a a "充分性．反证法．若发散，则，使得∑∞=1n na+∈∃>∃>∀>∃Z p N n N ,,0,00ε021ε≥++++++p n n n a a a "，特别地，分别取,,1,1111+∈∃>∃=Z p n N 使得 0211111ε≥++++++p n n n a a a "，{}+∈∃>∃>Z p N n n N 22212,,,2max ，使得 0212222ε≥++++++p n n n a a a "，如此下去，得一正整数子序列{和正整数序列}k n {}k p ，恒有011ε≥++++++k k k k p n n n a a a "，这与已知条件矛盾．二 绝对收敛与条件收敛例23 判别下列级数是条件收敛，还是绝对收敛： （1）()∑∞=+−−1111n np n n（南京师大2002，1=p 为武汉大学1995）；（2）∑∞=−1sin)1(n nnx（内蒙古大学）； （3）)0()23()1(12>−+−∑∞=x n n n xn（复旦大学1997）． 解（1）当时，不趋于0，发散； 0≤p n u 当时，原级数绝对收敛； 1>p 当时，10≤<p ()∑∞=−−1111n p n n收敛，nn 11单调有界，由阿贝尔判别发知其收敛，但 ()1111→−−+−p np n n n（∞→n ）；故原级数条件收敛．（2）当时绝对收敛，当0=x 0≠x 时，不妨设，则0>x 0>∃N ，当时，有N n >20π<<x ，且nxsin关于单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛． n 又因为)(1sin)1(∞→→−n nx n xn ，而∑∞=1n n x发散，故原级数条件收敛．（3）当时，数列0>x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+x n n )23(12单减趋于0，由莱布尼兹判别法知其收敛．又因为 ，所以222423n n n n <−+<xx n x x nn n n 2221)23()1(41≤−+−<，从而，当21>x 时，绝对收敛，当21≤x 时，条件收敛． 思考题10（武汉大学2005）判别级数∑∞=2sin ln ln ln n n nn是否绝对收敛或条件收敛． 思考题11（南京大学2001）设1,0,1,111≥>>++=+n x k x x k x nnn ．（1）证明：级数绝对收敛；∑∞=+−01)(n n n x x（2）求级数之和．∑∞=+−11)(n n n x x例24（北京大学1999,中国矿大1999，安徽大学2000，2001）设()x f 在的某邻域内有二阶连续导数，且0=x ()0lim 0=→x x f x ．证明：级数∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛11n n f 绝对收敛．证 由()0lim=→xx f x 得，()00=f ()00=′f ，()x f 在0=x 某邻域内的二阶泰勒展式为()()()()()22212100x x f x x f x f f x f θθ′′=′′+′+=，10<<θ 由连续知，，有()x f ′′0>∃M ()M x f ≤′′，从而有2121nM n f ⋅≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 故∑∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛11n n f 绝对收敛． 思考题12 证明：（1）（华南理工大学2005）设是偶函数，在)(x f 0=x 的某个领域中有连续的二阶导数， 则级数.2)0(,1)0(=′′=f f ∑∞=−1)11((n n f 绝对收敛．（2）（浙江大学2004）设函数在区间)(x f )1,1(−内具有直到三阶的连续导数，且，0)0(=f .0)(lim 0=′→x x f x 则∑∞=2)1(n n nf 绝对收敛．例25 设（）单调，且级数0>n a ",2,1=n ∑∞=11n n a 收敛，讨论级数()∑∞=++−111n nn a a n"是条件收敛还是绝对收敛．解 由于且单调，故0>n a 01→na ↑⇒n a ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++<++++⋅−=<+++⋅−++,2112121,22211221122212n n n n nn n n a a n n a a a n a na n a a a n "" 由已知条件，∑∞=12n na 收敛，故原级数绝对收敛． 例26 （哈尔滨工大2000）证明：若级数∑收敛，且级数绝对收敛，则级数收敛．∞=1n nb(∑∞=−−11n n na a)∑∞=1n nn ba 证 设n nb b b S +++="21，则1−−=n n n S S b ，于是由收敛知：，∑∞=1n nb0>∃M M S n ≤，．由收敛知：",2,1=n (∑∞=−−11n n n a a )0>∀ε，01>∃N ，1,N m n >∀，有ε<−++−+−−+−111m m n n n n a a a a a a "，又收敛，对上述{}n S 0>ε，，02>∃N 2N n >∀，，有2N m >ε<−m n S S ，取{}1,max 21+=N N N ，于是，当时，N m n >,m m n n n n b a b a b a +++++"11()()()1111−++−−++−+−=m m m n n n n n n S S a S S a S S a "[]()11121−−+++−+−+−++−+−≤n m n n m m m n n n n S S a a a M a a a a a a M "εM 3<．由柯西收敛准则知级数∑收敛．∞=1n nn ba 另证收敛⇒∑∞=1n nb0>∀ε，0>∃N ，N n >∀，，有+∈∀Z p ε<∑++=pn n k kb1．记，，则∑++==in n k ki bS 1p i ,,2,1"=ε<i S ，p i ,,2,1"=．由绝对收敛得其部分和有界，即，有(∑∞=−−11n n na a)0>∃MM a aS mn n nm ≤−=′∑=−11，",2,1=m ．由阿贝尔定理得p n p p n p n p n n n n pn n k kk a S a a S a a S a a S ba ++−+−++++++=+−++−+−≤∑113222111"p n p a S M ++≤ε又M a a a a a a a p n p n p n +<−++−+=−+++01010"，从而()012a M ba pn n k kk +≤∑++=ε．由柯西收敛准则知其收敛．例27（华东师大2001）证明：若级数绝对收敛，则级数也绝对收敛．∑∞=1n na∑∞=+++121)(n n na a a a"证 记，则由绝对收敛知收敛，所以{有界，即，有n n a a S ++="1∑∞=1n na∑∞=1n na}n S 0>∃M .,2,1,"=≤n M S n 于是有n n n a M a a a a ≤+++)(21"，由绝对收敛知级数∑也绝对收敛．∑∞=1n na∞=+++121)(n n na a a a"思考题14（华中科技2004）设，求级数之和．)(),1(,010∞→→≥==∑=n b x n ax x n nk kn ∑−+)(1n n nx x a提示：1−−=n n n x x a ．例28 证明：若对任意收敛于0的数列{}n x ，级数∑都收敛，则级数绝对收敛．∞=1n n nx a∑∞=1n n a 分析 问题等价于：若级数∑na发散，则至少存在一个收敛于0的数列{，使得级数发散，于是问题转化为：从}n x ∑n nx a∑+∞=n a 出发，构造出满足条件的数列{．联想例10中（1）的结论立明．}n x证 假设∑∞=1n n a 发散，记其前项和为，则n n S +∞=∞→n n S lim ．取210=ε，，，由0>∀N N n >∃+∞=∞→n n S lim 得 210lim<=∞→mn m S S ，从而当充分大（）时，有m n m >21<m n S S ，于是0221121ε=>−≥+++++=++m n m m m n n n n S S S S a S a S a "， 由柯西收敛准则知级数 ∑∞=1n n n S a 发散，取1,1≥=n S x nn ，则0lim =∞→n n x ，且发散，这与题目的条件矛盾，故命题成立．∑∞=1n n n x a 思考题15（中国人民大学2000）若正项级数发散，则存在收敛于0的正数序列，使得级数发散．∑∞=1n na{}n b ∑∞=1n n n b a 例29 研究级数∑∞=1sin n n n的收敛性．记其前n 项和为，将其分成两项 n S −++=nn n S S S ， 其中分别表示前n 项和中所有正项之和与负项之和．证明：极限−+nnS S ,−+∞→nnn S S lim 存在，并求其值．证 由Dirichlet 判别法知其收敛．又因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=−=≥111212cos 21121sin sin n n n n n n n n n n ，右端第一个级数发散，第二个级数收敛（利用Dirichlet 判别法），从而∑∞=1sin n n n非绝对收敛． 由于)(sin 2122)(1∞→−∞→−=−−+=∑=−+−+−n k k S S S S S S n k n n n n n n，所以，1)1(lim lim lim −=−=−+=−∞→−−−+∞→−+∞→nnn n n n n n n n n S S S S S S S S ． 注 此例给出了条件收敛与绝对收敛的一个本质区别，且这个结论对一切条件收敛级数都成立．三 构造级数例30 试构造一级数，使它满足：∑∞=1n na（1）∑收敛； （2）∞=1n na ⎟⎠⎞⎜⎝⎛≠n o a n 1． 解 ∑∞=121n n ，∑∞=11n n 满足（2），将两者结合起来，构造级数如下： "+++++=∑∞=22221514131211n n a 即当n 是整数平方时，n a n 1=，否则21n a n =，显然⎟⎠⎞⎜⎝⎛≠n o a n 1，同时 +∞<≤+≤=∑∑∑∑=≤==nk n k nk nk k n k kk a S 12212112112故此级数收敛．例31 举出一个发散的交错级数，使其通项趋于零． 分析 交错级数""+−++−+−−n n a a a a a a 2124321 （）0>n a 部分和为，可见只要构造一个级数，使得，同时使和一个收敛，另一个发散即可．为此可构造级数如下：∑∑==−−=n k k nk k n a aS 121122∑∞=1n n a 0→n a ∑∞=−112k k a∑∞=12k ka()""+−−+−+−+−nn 21121514131211222． 例32（南开大学1999）已知级数收敛，问级数和是否必收敛？说明理由．∑∞=1n na∑∞=12n na∑∞=13n na解 未必收敛．如级数∑∞=−1)1(n nn收敛，但发散．令∑∞=12n na"+−−−+−−+−=∑∞=33333331331331331312212212111n n a""+−−−−+项k k k k k k k k k k k11113。