华东师大版九年级数学上册22.2 .5课题 一元二次方程根的判别式课件

解：(1)∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(k＋1)2－4k2＞0，∴k＞－
1 2
；
(2)证明：∵当x＝－1时， 方程左边＝1＋2k＋2＋k2＝k2＋2k＋3＝(k＋1)2＋2＞0， 而右边＝0，
∴左边≠右边， ∴x＝－1不可能是此方程的实数根
课堂小结
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)：
b
b2 4ac
x
2a
2a
也就是说，只有当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的系数a、b、c满足条件b2－4ac≥0时才有实数根， 因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根 的情况． 分析：观察方程(*)，我们发现有如下三种情况：
(1)当b2－4ac＞0时，方程(*)的右边是一个正数， 它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等 的实数根：
)2＋3＞0.
∴关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等 的实数根．
展示提升
1．关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等 的实数根，则实数m的取值范围为( B )
9
9
A．m＞4 B．Βιβλιοθήκη ＜ 4C．m＝9 4
D．m＜－
9 4
2．若关于x的方程kx2－2x－1＝0有两个实数根，则 实数k的取值范围是( C )
A．k＞－1 C．k≥－1且k≠0
B．k＜1且k≠0 D．k＞－1且k≠0
3．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋
m2 4
＝0有两个不
相等的实数根，则m的最大整数值是__0__．
4．已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个不 相等的实数根．
(1)求k的取值范围； (2)求证：x＝－1不可能是此方程的实数根．
解：(3)4y2－y＋4＝0， ∵Δ＝(－1)2－4×4×4＝－63＜0， ∴原方程无实数根．
范例 2：求证：关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总 有两个不相等的实数根．
证明：∵Δ＝(2k)2－4×1×(k－1)
＝4k2－4k＋4＝4(k－
1 2
)2＋3
又(k－
1 2
)2≥0，∴Δ＝4(k－
1 2
x1＝－b＋ 2ab2－4ac，x2＝－b－ 2ab2－4ac；
(2)当b2－4ac＝0时，方程(*)的右边是0，因此方程有 两个相等的实数根：
x1＝x2＝－2ba；
(3)当b2－4ac＜0时，方程(*)的右边是一个负数，而 对于任何实数x，方程左边
(x＋2ba)2≥0，
因此方程没有实数根．
(二)合作探究
b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 “Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况； 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程没有实数根．
知识模块二 一元二次方程根的判别式的应用
归纳： 应用：(1)不解方程，判别方程根的情况． 注：先化成一般形式． (2)已知根的情况，求字母的取值范围． 注：考虑二次项系数不能为0.
范例 1：不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)3x2＝5x－2；
解：(1)3x2－5x＋2＝0， ∵Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)4x2－2x＋
1 4
＝0；
(3)4(y2＋1)－y＝0.
1
解：(2)∵Δ＝(－2)2－4×4× 4 ＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根.
反之，同样成立！
一元二次方程根的判别式
情景导入
用公式法解下列方程． (1)x2＋x－1＝0； (2)x2－2x＋1＝0； (3)2x2－2x＋1＝0
自学互研
知识模块一 一元二次方程根的判别式的推导
(一)自主探究
在推导一元二次方程求根公式的配方过程中，得到
(x＋2ba)2＝b2－4a42 ac
(*)
只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，得