高三第二次模拟试题数学试卷(文科)第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集},71{N x x x U ∈≤≤=，}3,2,1{=A ，若U C }7,6,5,4,2,1{)(=⋂B A ，则 集合B 可能为（ ）A ．}4,3,2{B ． }5,4,3{C ．}6,5,4{D ．}7,6,5{2．集合}),1)(1()1({22N x x x x x x x A ∈+-+≥+=，},3228{N x x x x B ∈>-=，则集合B A ⋂的元素个数为（ ）A ．1个B ．3个C ．5个D ．7个3．关于x 的一元二次方程0122=++x ax 至少有一个负根的充要条件为（ ）A ．10≤<aB ．1<aC ．1≤aD ．010<≤<a a 或4．若角α为第一象限角，则角2α为（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四象限角 5．已知向量R x x OA x ∈-+=),21),1(lg(12，O 为坐标原点，则点A 在平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．关于无穷项等差数列}{n a 的描述，错误的一项为（ ）A ．将数列的前m 项去掉，其余各项组成的新数列是等差数列.B ．将数列中项数为７的倍数的项留下，其余项去掉，组成的新数列是等差数列.C ．存在由数列中的无穷多项构成的新数列，其为等比数列.D ．存在另一个无穷项等差数列}{n b ，使得数列}{n n b a +是等比数列.7．若有且仅有一个实数x 满足方程x a x lg 21)lg(=-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．41-≥a B ．0>a C ．0≥a 或41-=a D ．0>a 或41-=a 8．已知椭圆)0(12222>>=+R a R y a x 和)0(12222>>=+b R bx R y 的离心率相同，则（ ） A ．R b a 2=+ B ．2R ab = C ．R b a 2=+ D ．2222R b a =+9．某城市现有人口总数为100万，若希望20年后该城市的人口控制在115万和120万之间，则该城市人口总数的年平均增长率最好控制在（ ）A ．%7.0~%5.0B ．%9.0~%7.0C ．%1.1~%9.0D ．%3.1~%1.110．过正方体中心的平面截正方体所得的平面图形可能为（ ）A ．三角形B ．梯形C ．五边形D ．六边形 11．将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则可能的排列方法共有（ ） A ．30种 B ．36种 C ．42种 D ．48种 12．如图，点P 是圆周上一动点，设t POx =∠，则以PO 为弦的 POx ∠内部的弓形面积S 是t 的函数，其函数图象可能为 （ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．已知ABC ∆中， 60,8,5=∠==C b a ，则CA BC ⋅=_____________.14．已知数列}{n a 满足：)(,)21(,1*11N n a a a n n n ∈==+，则2007a =______________.15．已知函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x 0x 1)(x f ，则关于x 的不等式0)1()()]1()([2≤-+-++x f x f x x f x f x 的解集为_______________.16．对于)2,0(π∈x ，不等式16cos sin 122≥+xp x 恒成立，则p 的取值范围是_________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数R x x x x f ∈-+-=),4cos(46)4sin(42)(ππ. （1）求函数)(x f y =的单调递增区间.（2）函数)(x f y =的图象可以由R x x y ∈=,2sin 2的图象怎样变换得到？18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中， 90,=∠==ABC a BC AB ，直线1AB 与侧面C C AA 11成角为 30.（1）求1AA 的长度.（2）证明：11AB C A ⊥.19．（本小题满分12分）A 、B 两支兵乓球队进行团体对抗赛，每队各有三名队员，A 队的三名队员是321,,A A A ，B 队的三名队员是321,,B B B ，且i A 对j B 的胜率为)3,1(≤≤+j i ji i .若1A 对2B ，2A 对3B ，3A 对1B ,比赛采用三局二胜制.(1) 求A 队取胜的概率.(2) 如何对阵，A 队的胜率最高？（直接写出最后对阵方式和胜率即可）20．（本小题满分12分）已知一段抛物线)11(122<<-++=x x x y ，过该段抛物线上一动点P 作抛物线的切线，交x 轴于A 点，交y 轴于B 点.O 为坐标原点.（1）写出AOB ∆的面积S 与点P 横坐标t 之间的函数关系.(2) 求S 的最大值及此时点P 的坐标.21．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：)(1211*2N n n n a S n n ∈--=-，其中n S 为数列}{n a 前n 项和. (1) 写出一个满足条件的数列}{n a 的通项公式.(2) 满足条件的数列}{n a 是否唯一？若唯一，请证明；若不唯一，给数列}{n a 增加一个限定条件使其唯一，并证明.22．（本小题满分14分） 已知双曲线),0,(12222b a b a by a x ≠>=-，P 为双曲线右支上一动点，过P 向两条渐近线x a b y =和x ab y -=作垂线，垂足分别为A 和B ，O 为坐标原点. （1）证明：PB PA ⋅为定值.（2）若A 点始终在第一象限内，B 点始终在第四象限内，求双曲线离心率e 的取值范围.（3）在（2）的条件下，求四边形PAOB 的面积最小时，点P 的坐标.东北育才学校2007-2008学年度高三第二次模拟试题数学试卷(文科)参考答案一、选择题1．B ；2．C ；3．D ；4．C ；5．D ；6．C ；7．C ；8．B ；9．B ；10．D ；11．B ；12．D ．二、填空题13．20-；14．100321；15．}1{-；16．9≥p ． 三、解答题17．（1）解：]23)4cos(21)4[sin(22)(⋅-+⋅-=ππx x x f =)34sin(22ππ+-x = )12sin(22π+x ……………………………………………………4分 令221222πππππ+≤+≤-k x k ，得：12521272ππππ+≤≤-k x k 所以，)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈+-],1252,1272[ππππ. …………………………………………………………………………6分（2）解：①将x y 2sin 2=图象上的所有点的横坐标都扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数x y sin 2=的图象.……………………………………8分②将函数x y sin 2=图象上的所有点向左平移12π个单位，得到函数 )12sin(2π+=x y 的图象.……………………………………………10分③将函数)12sin(2π+=x y 图象上所有点的纵坐标缩小为原来的21倍，横坐标不变，即得到函数)(x f y =的图象.………………………………12分18．（1）解：设x AA =1，取11C A 中点M ，连接AM M B ,1.由111C B A ∆为等腰三角形及直三棱柱的性质可知：C C AA M B 111面⊥，即AM B 1∠为直线1AB 与侧面C C AA 11的成角.……………………………………………………4分由于2211,22x a AB a M B +==，且21sin 111==∠AB M B AM B ，解得：a x AA ==1.…………………………………………………………8分(2) 证明：连接B A 1，由直三棱柱性质可知：B A 1为C A 1在面11ABB A 上的射影. 由于11ABB A 为正方形，知11AB B A ⊥，则由三垂线定理可知：11AB C A ⊥. ……………………………………………………………………………12分19．（1）解：设321,,A A A 的胜率分别为321,,p p p ，则43,52,31321===p p p ，A 队若取胜，必须胜两局或者三局，则A 队取胜的概率)(A P =)1(321p p p - +)1(132p p p -+321213)1(p p p p p p +-=6029.………………6分 (2)解：对阵方式为231231;;B A B A B A 对对对，……………………………10分A 队取胜的概率为6031．……………………………………………12分 ２０．（１）解：由22'+=x y 及)12,(2++t t t P ，过P 点的切线方程为：))(22()12(2t x t t t y -+=++-…………………………3分令0=x ，得21t y -=，令0=y ，得21-=t x ， 所以AOB ∆面积211212-⋅-=t t S ，又11<<-t ，则 )11)(1(4123<<-+--=t t t t S …………………………6分 （２）解：)1)(13(41)123(412'-+=--=t t t t S ，……………8分 由11<<-t 知： 当)31,1(--∈t 时，0'>S ，即函数)1(4123+--=t t t S 在)31,1(--上为增函数； 当)1,31(-∈t 时，0'<S ，即函数)1(4123+--=t t t S 在)1,31(-上为增函数；………………………………………………………………10分所以，当31-=t 时，S 取得最大值278，此时P 点坐标为)94,31(-． ………………………………………………………………………12分 ２１．（１）解：数列}{n a ：)(12*N n n a n ∈-=即满足条件．…………………4分（２）解：满足条件的数列}{n a 不唯一．令1=n 得：0111=-a S ，即111==S a ， 再由12112--=-n n a S n n 得：11212+--=n n a n n S ① 又11)1(21)1(121+-+-+=++n n a n n S 112212+++=+n a n n n ② ②－①得；n n n a n n a n n n a 1211222121---++=++，即n n a n n a n n 121121212--=+-+（＊） ……………………………………………………………………………………8分 则1=n 时，（＊）恒成立，无法确定2a 的值；当2≥n 时，（＊）式即为12121-=++n a n a n n ，由此可得),2(312*2N n n a n a n ∈≥-= 若2a 为确定的值，则满足条件的数列}{n a 唯一．因此我们给数列}{n a 增加一个限定条件：32=a 即可，此时数列}{n a 的通项为 )(12*N n n a n ∈-=．…………………………………………………………12分２２．（1）证明：设),(00y x P ，则1220220=-by a x ，即22202202b a y a x b =-． P 点到渐近线x a b y =的距离为2200b a bx ay PA +-=，同理2200ba bx ay PB ++= 所以PB PA ⋅＝⋅+-2200b a bx ay 2200b a bx ay ++＝222222202202b a b a b a x b y a +=+-为定值． …………………………………………………………………………………………3分 （２）解：直线PA 的方程为：)(00x x b a y y --=-，与渐近线x ab y =联立解得A 点横坐标22002b a aby x a x A ++=，同理B 点横坐标为22002b a aby x a x B +-=．…………………………………………………………………………………………5分 A 点第一象限，B 点在第四象限，等价于0>A x 且0>B x ，即022002>++b a aby x a 且022002>+-ba aby x a ，所以002aby x a >， 即00by ax >，平方得202202yb x a >恒成立．又22202202b a y a x b =-，则2222022202a b a x b b x a -⋅>， 即420242)(b x a b a ->-对于),[0+∞∈a x 恒成立，又b a ≠， 因此0242>-a b a ，即b a >，由此可得：.21<<e ……………………9分 （３）解：四边形PAOB 的面积为PAB ∆面积与AOB ∆面积和，而PAB ∆面积为APB PB PA ∠⋅sin 21，是定值，所以我们只要考察AOB ∆面积． AOB ∆面积AOB OB OA S ∠⋅=sin 21，而AOB ∠为定值， 我们只要考察B A x a bx a bOB OA 22)(1)(1-+⋅+=⋅＝ ⋅+222a b a 22002b a aby x a ++22002b a aby x a +-⋅＝22202202b a y b x a +-的最小值． 由（２）知b a >，且22202202b a y a x b =-，所以≥-202202y b x a 222024202ba yb a x a =-4202202)(a y a x b =- 当且仅当00=y ，即P 点坐标为)0,(a 时取等号．所以，四边形PAOB 的面积最小时，点P 的坐标为)0,(a ．…………14分。
