北京四中初三数学期中试题 (含答案)

北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析北京四中2020-2021学年度初三上学期期中数学试卷及参考答案一、选择题：本大题共10个小题,每小题2分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A ．6，7，8B ．2，3，4C ．3，4，6D ．6，8，10 2.下列各式中，运算正确的是（）A B ．3= C ．2+= D 2=-3.如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，点D 为AB 的中点，若2AC =，则CD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．54.右图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）A ．区域①处B ．区域②处C ．区域③处D ．区域④处 5.用配方法解方程2410x x --=，方程应变形为（）A ．()223x += B ．()225x += C ．()223x -= D ．()225x -= 6.下列条件中，不能．．判定一个四边形是菱形的是（）A ．一组邻边相等的平行四边形B ．一条对角线平分一组对角的四边形 C ．四条边都相等的四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形7.若a ，b ，c 满足0,0,a b c a b c ++=??-+=?则关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的解是（）A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无实数根8.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数.得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如下信息：则下列选项正确的是（） A ．可能会有学生投中了8个B ．五个数据之和的最大值可能为30C ．五个数据之和的最小值可能为20D ．平均数m 一定满足4.2 5.8m ≤≤之间9.如图1，将矩形ABCD 和正方形EFGH 的分别沿对角线AC 和EG 剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN ，中间空白部分的四边形KRST 是正方形.如果正方形EFGH 与正方形KRST 的面积分别是16和1，则矩形ABCD 的面积为（）A ．15B ．16C ．17D ．2510.如图，正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D .设AE x =，矩形ECFG 的面积为y ，则y 与x 之间的关系描述正确的是（）A ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先增大再减小B ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 先减小再增大C ．y 与x 之间是函数关系，且当x 增大时，y 一直保持不变D ．y 与x 之间不是函数关系二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.计算：已知x =y =xy = ．12.有意义的x 的取值范围是．13.如图，在平行四边形ABCD 中，2ED =，5BC =，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则CD 的长为．14.写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2，此方程可以是．15.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。

北京四中2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列学生喜欢的手机应用软件图标中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.抛物线y=−(x−3)2−2的顶点坐标是()A. (3,−2)B. (−2,3)C. (2,3)D. (−3,−2)3.已知x2=y3(x,y都不等于0)，那么下列式子中一定成立的是()A. x+y=5B. 2x=3yC. xy =32D. xy=234.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，若DB=6，AB=8，BE=3，则EC的长是()A. 4B. 2C. 1D. 85.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠A=35∘，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数为()A. 70∘B. 65∘C. 55∘D. 35∘6.抛物线y=2(x−2)2−1关于x轴对称的抛物线的解析式为()A. y=2(x−2)2+1B. y=−2(x−2)2+1C. y=−2(x−2)2−1D. y=−(x−2)2−17.已知抛物线y=x2−4x+3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为()A. y=x2+2x+1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2x+1D. y=x2−2x−18.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为()A. 0B. −1C. 1D. 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.请写出一个开口向上，且过点(0,1)的抛物线的表达式______．10.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则abc________0，a−b+c________0，b+5a________0.(填“>”或“<”号)．11.在△ABC中，点M，N分别是边AC和BC的中点，△CMN的面积等于1，则四边形MNBA的面积是______．12.若A(−4,y1)，B(−3,y2)，C(1,y3)为二次函数y=x2+4x−m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是______ ．13.如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60cm，小孔O到像CD的距离是30cm，若物体AB的长为16cm，则像CD的长是_____cm．14.把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为______________．15.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是______________．16.如图，Rt△ODC的直角顶点D在y轴上，DC边上的点P(√2,2)在抛物线y=ax2上，将Rt△ODC绕点O逆时针旋转90°，得到△OBA，点A恰好在抛物线上，则点A的坐标为_______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.(1)已知二次函数图象的顶点坐标为(−1,4)，且经过点M(2,−5)，求该函数的解析式．(2)抛物线过点(−2,0)、(2,−8)，且对称轴为直线x=1，求其解析式．18.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于F.求证：AF平分∠BAC．19.如图，在△ABC中，AB=AC，若△ABC≌△DEF，且点A在DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M．求证：△ABE∽△ECM．20.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；①y随x变化的部分数值规律如下表：x−10123y03430②有序数对(−1,0)、(1,4)、(3,0)满足y=ax2+bx+c；③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图)．(2)直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(−2,2)，B(−4,1)，C(−1,0)．(1)以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C(点A′与点A是对应点)，使△A′B′C的面积是△ABC的面积的4倍；(2)写出所画△A′B′C的顶点A′，B′的坐标．22.如图，已知抛物线y=−x2+bx+c的部分图象，A(1,0)，B(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的另一个交点是C点，求△ABC的面积．23.如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC=120°(1)求证：△ABD∽△CAE；(2)若BD=2，CE=8，求BC的长．24.某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双)与销售单价x(元)满足w=−2x+80(20≤x≤40)，设销售这种手套每天的利润为y(元)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？25.数学兴趣小组的同学们，想利用自己所学的数学知识测量学校旗杆的高度：下午活动时间，兴趣小组的同学们来到操场，发现旗杆的影子有一部分落在了墙上(如图所示).同学们按照以下步骤进行测量：测得小明的身高1.65米，此时其影长为2.5米；在同一时刻测量旗杆影子落在地面上的影长BC为9米，留在墙上的影高CD为2米，请你帮助兴趣小组的同学们计算旗杆的高度．26.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线BC与抛物线y=x2+bx+c交于点B(3,0)和点C(0,3)，抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A．(1)求直线BC及该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积．27.如图1，直角三角形ABC中，∠C=90°，CB=1，∠BCA=30°．(1)求AB、AC的长；(2)如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．①连接CE，BD.求证：BD=EC；②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长．28.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)(x1<x2)，且x1，x2是方程x2−2x−3=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点．(1)求点A，B的坐标；(2)分别求出抛物线和直线AC的解析式；(3)若将过点(0,2)且平行于x轴的直线定义为直线y=2.设动直线y=m(0<m<2)与线段AC、BC分别交于D、E两点．在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念即可求解．解：A.不是中心对称图形，故此选项错误；B.不是中心对称图形，故此选项错误；C.是中心对称图形，故此选项错误；D.不是中心对称图形，故此选项正确．故选C．2.答案：A解析：解：y=−(x−3)2−2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,−2)．故选：A．已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ．3.答案：D解析：本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键.根据比例的性质，可得答案．解：A.x+y不一定等于5，故A错误；B.2y=3x，故B错误；C.xy =23，故C错误；D.xy =23，故D正确；故选D．4.答案：C解析：此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键．由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=6，AB=8，BE=3，即可求得答案．解：∵DE//AC，∴DB：AB=BE：BC，∵DB=6，AB=8，BE=3，∴6：8=3：BC，解得：BC=4，∴EC=BC−BE=1．故选C．5.答案：A解析：本题主要考查旋转的性质，根据直角三角形的性质可求解∠ABC=55∘，由旋转的性质可得∠B′CA′=∠ACB=90∘，结合CB′=CB可得∠CBB′=∠B′=55∘，进而求解α度数．解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠A=35∘，∴∠ABC=55∘，∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，∴∠B′=∠ABC=55∘，∠B′CA′=∠ACB=90∘，CB′=CB，∴∠CBB′=∠B′=55∘，∴α=∠BCB′=70∘，故选A．6.答案：B解析：本题考查了二次函数图象与几何变换．先确定抛物线y=2(x−2)2−1的顶点坐标为(2,−1)，再利用关于x轴对称的点的坐标特征得到新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出新抛物线解析式．解：抛物线y=2(x−2)2−1的顶点坐标为(2,−1)，而(2,−1)关于x轴对称的点的坐标为(2,1)，所以所求抛物线的解析式为y=−2(x−2)2+1．故选：B．7.答案：A解析：此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．解：当y=0，则0=x2−4x+3，(x−2)2=1，解得：x1=1，x2=3，∴A(1,0)，B(3,0)，y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴M点坐标为：(2,−1)，∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y=(x+1)2=x2+2x+1．故选：A．8.答案：A解析：本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案．解：∵ax2+bx+m−1=0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx=1−m有两个不相等的实数根，令y1=ax2+bx，y2=1−m，∴函数y1与函数y2的图象有两个交点，∴1−m<2，∴m>−1，∵m是整数，∴m的最小值为0，故选：A．9.答案：y=x2+1等．答案不唯一解析：解：依题意，满足题意的抛物线解析式为y=x2+1等，答案不唯一．故本题答案为：y=x2+1等．答案不唯一．开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点(0,1)，说明常数项c=1．本题考查了抛物线的对称轴与抛物线解析式的关系．关键是明确对称轴的值与顶点横坐标相同．10.答案：<，<，<解析：本题考查了二次函数图像与系数的关系，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数：b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．解：∵抛物线开口方向向下，∴a<0，∵对称轴在y轴右侧，∴−b2a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0；当x=−1时，y=a−b+c<0，∴a−b+c<0；∵对称轴为直线x=2，∴−b2a=2，∴b=−4a，∴b+5a=−4a+5a=a<0．故答案为<，<，<．11.答案：3解析：解：∵M，N分别为AC，BC的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴MN//AB，且AB=2MN，∴△CMN∽△CAB，∴S△CABS△CMN =(ABMN)2=4，∴S△CAB=4S△CMN=4，∴S四边形ABNM=S△CAB−S△CMN=4−1=3．故答案为：3．利用三角形的中位线定理以及相似三角形的性质即可解决问题．本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用相似三角形的性质求出S△CAB的值是解题的关键．12.答案：y3>y1>y2解析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别计算出自变量为−4，−3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．解：当x=−4时，y1=x2+4x−m=16−16−m=−m；当x=−3时，y2=x2+4x−m=9−12−m=−3−m；当x=1时，y3=x2+4x−m=1+4−m=5−m；所以y3>y1>y2．故答案为y3>y1>y2．13.答案：8解析：[分析]根据相似三角形的性质即可解题．[详解]解：由小孔成像的特征可知，△OAB∽△OCD，由相似三角形的性质可知：对应高比=相似比=对应边的比，∴30:60=CD：16，解得：CD=8cm．[点睛]本题考查了相似三角形的判定和性质，属于简单题，熟悉性质内容是解题关键．14.答案：2√3解析：本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．解：∵每一个小长方形与原长方形相似，∴2x =x6，解得，x=2√3或x=−2√3(舍)，故答案为：2√3．15.答案：−1≤x≤2解析：解：根据图象可得出：当y1≥y2时，x的取值范围是：−1≤x≤2．故答案为：−1≤x≤2．根据图象可以直接回答，使得y1≥y2的自变量x的取值范围就是二次函数y1=ax2+bx+c的图象落在直线y2=kx+t上方的部分及交点对应的自变量x的取值范围．本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度．16.答案：(−2,4)解析：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．先把P点坐标代入y=ax2求出a=1，得到抛物线的解析式为y=x2，再根据旋转的性质得OD= OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，所以A点的横坐标为−2，然后把x=−2代入抛物线解析式计算出对应的函数值，于是确定A点坐标．解：由题意可得：OD=2，∠ODC=90°，把P(√2,2)代入y=ax2得2a=2，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2，∵Rt△ODC绕点O逆时针旋转90°，得到△OBA，∴OD=OB=2，∠ODC=∠OBA=90°，∴AB⊥x轴，∴A点的横坐标为−2，把x=−2代入y=x2得y=4，∴A点坐标为(−2,4)，故答案为(−2,4)．17.答案：解：(1)设所求函数的解析式为y=a(x+1)2+4，∵图象经过点M(2,−5)，∴−5=a(2+1)2+4，∴a=−1，∴y=−(x+1)2+4(或y=−x2−2x+3).解：(2)设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，则{4a−2b+c=04a+2b+c=−8−b2a=1，∴{a=1b=−2c=−8，∴y=x2−2x−8．解析：本题主要考查二次函数的图像与性质相关知识。

2020-2021学年数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级 学号 姓名 分数一、选择题（每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．）1．下列事件是必然事件的是（ ）．A ．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是6B ．掷一枚硬币，正面朝上C ．3个人分成两组，一定有两个人分在一组D ．打开电视，正在播放动画片2．抛物线2(1)2y x =-+可以由抛物线2x y =平移而得到，下列平移正确的是（ ）． A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm ，母线长为50cm ，则圆锥形纸帽的侧面积为（ ）． A ．2250cm πB ．2500cm πC ．2750cm πD ．21000cm π4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关系是（ ）．A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（ ）．A ． 14B ．13C ．34D ．126．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（ ）．A ．(53)，B ．(35)，C ．(54)，D ．(45)，7．抛物线21y x kx =++与2y x x k =--相交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为（ ）． A ．0B ． 2C ．−1D ．148．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=，6cm CD =，QPONxy MPQ ADCBAD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运 动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度 都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ． 二．填空题（每小题4分，本题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm ．10．函数223(22)y x x x =+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则图中阴影部分的面积是_______________．12． 已知二次函数2y ax bx c =++满足：（1）a b c <<； （2）0a b c ++=；（3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有．①0a < ②0a b c -+< ③0c > ④20a b -> ⑤ 124b a -<三．解答题（每小题5分，本题共30分）13．计算：()3031221250-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π 14．用配方法解方程： 212302x x --=15． 已知221(1)(3)m m y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？P AEFDC16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：（1）弦AB 的长； （2） AB⌒ 的长．17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，x 0 2 y−3−4−3（1（2）将表中的空白处填写完整；（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象； （4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y =ax 2+bx +c 的值大于0．_______________________18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D ． （1）求证：BC 是⊙O 切线； （2）若BD =5，DC =3，求AC 的长．xO yOC B A O A CB。

2022-2023学年北京四中九年级（上）期中数学试卷1.下列四个图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.抛物线y=(x+2)2−1的顶点坐标是( )A. (−1,2)B. (−2,1)C. (−2,−1)D. (−1,−2)3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=100∘，则∠A的度数为( )A. 30∘B. 50∘C. 80∘D. 100∘4.下列方程中，有两个相等的实数根的方程是( )A. x2+3x=0B. x2+2x−1=0C. x2+2x+1=0D. x2−x+3=05.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为( )A. y=5(x−2)2+1B. y=5(x+2)2+1C. y=5(x−2)2−1D. y=5(x+2)2−16.如图，△OAB绕点O逆时针旋转75∘，得到△OCD，若∠AOB=40∘，则∠AOD等于( )A. 115∘B. 75∘C. 40∘D. 35∘7.如图，⊙O的半径是1，点P是直线y=−x+2上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为( )A. √2−1B. 1C. √2D. √38.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A. 4mB. 7mC. 8mD. 10m9.已知某个二次函数的最小值为−1，请你写出一个符合，上述条件的二次函数的表达式为______.10.已知扇形的半径为2cm，圆心角为120∘，则此扇形的弧长是______ cm.11.A(−1,y1)，B(2,y2)在二次函数y=−x2+2x+1的图象上，则y1与y2的大小关系为______.(用“>”，“<”，“=”连接)12.若抛物线y=x2+4x+m与x轴没有公共点，则m的取值范围是______.13.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是__________.14.如图，MA，MB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若∠AMB=60∘，AB=√3，则⊙O的半径等于______.15.为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______.16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=−1，它的图象经过点A(1,y1)，B(−2,y2)，C(−4,0).对于下列四个结论：①y1<y2；②c=−8a；③方程ax2+bx+c=0的解为x1=−4，x2=2；④对于任意实数t，总有a(t2+9)+bt+c≤0.其中正确的结论是______(填写序号).17.解下列方程：(1)x2−5x=0；(2)2x2−x−1=0.18.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O外一点P.求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，①连接OP；OP的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②分别以点O和点P为圆心，大于12③作直线MN，交OP于点C；④以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；⑤作直线PA，PB.直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．(1)请根据上述作法完成尺规作图；(2)连接OA，OB，可证∠OAP=∠OBP=90∘，理由是______；(3)直线PA，PB是⊙O的切线，依据是______.19.已知二次函数C：y=−x2+2x+3.(1)将y=−x2+2x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在图中画出二次函数C的图象；(3)当−1≤x≤2时，利用图象直接写出y的取值范围．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−1,1)，B(−4,2)，C(−3,3).(1)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90∘得到△AB2C2，请在图中画出△AB2C2；(3)连接A1C2，线段A1C2的长等于______.21. 已知关于x 的方程kx 2+(k −2)x −2=0(k ≠0).(1)求证：此方程总有实数根；(2)若k 为整数，且此方程有两个不相等的整数根，求k 的值．22. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，CD =8，BE =2.求⊙O 的半径.23. 如图，有一农户要建一个矩形菜地，菜地的一边利用长为12m 的墙(AD ≤12m)，另外三边用26m 长的篱笆围成．求当矩形的边长BC 为多少m 时，菜地面积为80m 2？24. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，CD 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交⊙O 于点D ，延长BA 到点P ，使得PE =PC.(1)求证：PC 与⊙O 相切；(2)若⊙O 的半径5，AC =6，求CD 的长．25. 已知函数y =x 2+bx +c(x ≥2)的图象过点A(2,1)，B(5,4).(1)直接写出y =x 2+bx +c(x ≥2)的解析式；(2)如图，请补全分段函数y ={−x 2+2x +1(x <2)x 2+bx +c(x ≥2)的图象(不要求列表). 并回答以下问题：①写出此分段函数的一条性质：______；②若此分段函数的图象与直线y =m 有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m 的取值范围；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记(2)中函数的图象与直线y =12x −1围成的封闭区域(不含边界)为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．26.已知，抛物线C1：y=−x2+bx+c经过点A(2,1)，B(0,1).(1)求抛物线C1的对称轴；(2)平移抛物线C1：y=−x2+bx+c，使其顶点在直线y=−2x+1上，设平移后的抛物线C2的顶点的横坐标为m.求抛物线C2与y轴交点的纵坐标的最大值．(3)在(2)的条件下，抛物线C2与y轴交于点M，将其向左平移2个单位得到点N，若抛物线C2与线段BN只有1个公共点，直接写出m的取值范围．27.如图，在正方形ABCD中，点E在线段CB的延长线上，连接AE，并将线段AE绕点E顺时针旋转90∘，得到线段FE，连接AF，BD，CF，线段AF与线段BD相交于点M.(1)请写出∠ECF的度数，并给出证明；(2)求证：点M是线段AF的中点；(3)直接写出线段CF，BM和AD的数量关系．28.在平面直角坐标系xOy中，已知点A和B，对于点P定义如下：以点A为对称中心作点P 的对称点，再将对称点绕点B逆时针旋转90∘，得到点Q，称点Q为点P的反转点．已知⊙O的半径为1.(1)如图，点A(2,1)，B(3,2)，点P在⊙O上，点Q为点P的反转点．①当点P的坐标为(−1,0)时，在图中画出点Q；②当点P在⊙O上运动时，求线段AQ长的最大值；(2)已知点A是⊙O上一点，点B和P是⊙O外两个点，点Q为点P的反转点．若点P在第一象限内，点B在第四象限内，当点A在⊙O上运动时，直接写出线段PQ长的最大值和最小值的差．答案和解析1.【答案】B【解析】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B.根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2.【答案】C【解析】解：∵y=(x+2)2−1，∴抛物线顶点坐标为(−2,−1)，故选：C.由二次函数顶点式求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．3.【答案】B【解析】解：∵∠BOC=100∘，∴∠A=12∠BOC=50∘.故选：B.直接根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．4.【答案】C【解析】解：A、Δ=9−4×1×0=9>0，故A不符合题意．B、Δ=4−4×1×(−1)=8>0，故B不符合题意．C、Δ=4−4×1×1=0，故C符合题意．D、Δ=1−4×1×3=−11<0，故D不符合题意．故选：C.根据根的判别式即可求出答案．本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．5.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律，可得答案．【解答】解：y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y=5(x−2)2+1，故选A.6.【答案】D【解析】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转75∘到△OCD的位置，∴∠BOD=75∘，∴∠AOD=∠BOD−∠AOB=75∘−40∘=35∘.故选：D.首先根据旋转角定义可以知道∠BOD=75∘，而∠AOB=40∘，然后根据图形即可求出∠AOD.此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．7.【答案】B【解析】解：∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，且OA=1，∴当OP最小时，PA最小，∴当OP与直线y=−x+2垂直时，OP最小，如图，设直线y=−x+2交x轴、y轴于点B、C，则B(2,0)，C(0,2)，∴OB=OC=2，∴BC=2√2，∴OP=1BC=√2，即OP的最小值为√2，2∴PA的最小值=√OP2−OA2=1，故选：B.连接OA、OP，由切线性质可知OA⊥PA，且OA=1，则当OP最小时，PA最小，故当OP与直线y=−x+2垂直时，PA最小，再利用等腰直角三角形的性质可求得OP的值，可求得答案．本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．8.【答案】C【解析】解：设运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系为y =ax 2+bx +c ，把图中数据(0,20)，(5,22.75)，(14,21,40)代入解析式，得{25a +5b +c =22.75196a +14b +c =21.40c =20，解得{a =−0.05b =0.80c =20.00，∴y =−0.05x 2+0.80x +20.00=−0.05(x −8)2+23.20，∵−0.05<0，∴当x =8时，y 最大，故选：C.根据图中数据用待定系数法求函数解析式，再根据函数的性质求y 最大时x 的值即可．本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题关键是求出函数解析式．9.【答案】y =x 2−1(答案不唯一)【解析】解：∵抛物线y =x 2−1开口向上，顶点坐标为(0,−1)，∴函数最小值为−1，故答案为：y =x 2−1.(答案不唯一)根据二次函数顶点纵坐标为函数最值求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．10.【答案】43π【解析】解：扇形的弧长=120⋅π⋅2180=43πcm.故答案为4π3.直接利用弧长公式计算．本题考查了弧长的计算：记住弧长公式：l =nπR 180(弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R)，在弧长的计算公式中，n 是表示1∘的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位．11.【答案】<【解析】解：当x=−1时，y1=−x2+2x+1=−1−2+1=−2，当x=2时，y2=−x2+2x+1=−4+4+1=1，所以y1<y2.故答案为：<.分别计算出自变量为−2和1对应的函数值即可得到y1与y2的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．12.【答案】m>4【解析】解：∵若抛物线y=x2+4x+m与x轴没有公共点，∴Δ=b2−4ac=42−4×1×m<0.即16−4m<0，解得：m>4，故答案为：m>4.根据抛物线与x轴的没有交点，即Δ=b2−4ac<0，即可求出m的取值范围．本题主要考查抛物线与x轴的交点．熟记抛物线与x轴的交点个数与系数的关系是解决此题的关键．13.【答案】(2,1)【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是(2,1).故答案为：(2,1).14.【答案】1【解析】解：∵MA、MB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠AMB=30∘，∠OAM=90∘，∴AM=BM，∠OMA=12∵OA=OB，∴OM是AB的垂直平分线，∵AB=√3，∴AC =√32，Rt △OAM 中，∠AOM =60∘，∵∠ACO =90∘，∴sin60∘=AC OA ，∴OA =√32√32=1，∴⊙O 的半径等于1，故答案为：1.根据切线长定理可得：AM =BM ，∠OMA =12∠AMB =30∘，∠OAM =90∘，由同圆的半径相等可知：OA =OB ，所以根据线段垂直平分线的逆定理可知：OM 是AB 的中垂线，由∠AOM =60∘，利用特殊的三角函数值或直角三角形30度的性质可得圆的半径的长．本题考查了切线长定理、线段垂直平分线的性质、三角函数等知识，熟练掌握切线长定理是关键．15.【答案】12000(1+x)2=27000【解析】解：依题意得12000(1+x)2=27000，故答案为：12000(1+x)2=27000.利用今年8月份的盈利=今年6月份的盈利×(1+6月份到8月份盈利的月平均增长率)2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】②③【解析】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =−1，1−(−1)>−1−(−2)，∴点A 与对称轴的距离大于点B 与对称轴的距离，∴y 1>y 2.①错误．∵抛物线经过C(−4,0)，对称轴为直线x =−1，∴抛物线经过(2,0)，∴方程ax 2+bx +c =0的解为x 1=−4，x 2=2，③正确．∵−b 2a =−1，∴b =2a ，由抛物线经过(2,0)可得4a +2b +c =8a +c =0，∴c =−8a ，②正确．∵抛物线开口向上，4ac−b 24a =−32a 2−4a 24a =−9a ，∴函数最小值为y=−9a，∴at2+bt+c≥−9a，即a(t2+9)+bt+c≥0，④错误．故答案为：②③．根据抛物线开口方向及点A，B与对称轴距离的大小关系可判断①，由抛物线对称轴可得a与b 的关系，由抛物线经过(−4,0)可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而判断②③，由b与a，c与a的关系可得抛物线顶点纵坐标，从而判断④．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．17.【答案】解：(1)x2−5x=0，x(x−5)=0，x=0或x−5=0，所以x1=0，x2=5；(2)2x2−x−1=0，(2x+1)(x−1)=0，2x+1=0或x−1=0，，x2=1.所以x1=−12【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x=0或x−5=0，然后解一次方程即可；(2)利用因式分解法把方程转化为2x+1=0或x−1=0，然后解一次方程即可．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.【答案】直径所对的圆周角为直角过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线【解析】解；(1)如图，PA、PB为所作；(2)∵OP为直径，∴∠OAP=∠OBP=90∘；故答案为：直径所对的圆周角为直角；(3)∵∠OAP=∠OBP=90∘，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∵OA、OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB是⊙O的切线．故答案为：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．(1)根据几何语言画出对应的几何图形即可；(2)根据圆周角求解；(3)根据切线的判定定理求解．本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定．19.【答案】解：(1)y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4；(2)由y=−(x−1)2+4得顶点坐标为(1,4)，开口向下，当x=0时，y=3，当x=3或−1时，y=0，作出函数图象如下图所示，(3)由图象可知，当x=1时，y最大值=4；当x=−1时，y最小值=0，∴当−1≤x≤2时，y的取值范围为0≤y≤4.【解析】(1)由完全平方公式化为顶点式；(2)由顶点式得到顶点坐标，再画出几个点，然后用平滑的曲线连接，从而得到二次函数的图象；(3)结合函数图象求出y的取值范围．本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是准确画出二次函数的图象．20.【答案】5【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△AB2C2即为所求；(3)线段A1C2的长=√32+42=5.故答案为：5.(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；(2)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B2，C2即可；(3)利用勾股定理求解即可．本题考查作图-旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是周围旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：∵k≠0，Δ=(k−2)2−4k×(−2)=(k+2)2≥0，∴方程总有两个实数根；(2)解：kx2+(k−2)x−2=0(k≠0)，(kx−2)(x+1)=0，，x2=−1，解得x1=2k因为该方程的两根均整数，所以2为整数，k∵方程有两个不相等的整数根，∴Δ=(k−2)2−4k×(−2)=(k+2)2>0，∴k≠−2，∴整数k为±1或2.【解析】(1)先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程总有两个实数根；(2)先利用因式分解法求得kx2+(k−2)x−2=0(k≠0)的解为x1=2，x2=−1，然后根据整数k的整除性可确定整数k的值．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．22.【答案】解：连接OC，设⊙O的半径为x.∵直径AB⊥弦CD，CD=4，∴CE=12在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2=(x−2)2+42，解得x=5，∴⊙O的半径为5.【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的关键.连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.23.【答案】解：设矩形菜地AB的长为x m，则BC的长为(26−2x)m，由题意得：x(26−2x)=80，化简得：x2−13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26−2x=16>12(不合题意舍去)，当x=8时，26−2x=10，∴BC的长为10m，答：当矩形的边长BC为10m时，菜地面积为80m2.【解析】设矩形菜地AB的长为x m，则BC的长为(26−2x)m，由矩形的面积公式建立方程，解方程即可．本题考查了一元二次方程的应用、矩形的面积公式等知识，解答时寻找题目的等量关系是关键．24.【答案】(1)证明：如图，连接OC、OD，则OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90∘，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=1∠ACB=45∘，2∴∠AOD=2∠ACD=90∘，∵PE=PC，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠OED，∴∠PCE=∠OED，∴∠OCP=∠PCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90∘，∴PC⊥OC，∵OC是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切．(2)解：如图，连接BD，在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，∴BC=√AB2−AC2=8，∵∠PCA+∠OCA=90∘，∠B+∠OAC=90∘，∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠B，∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB，∴AP CP =CP BP =AC BC =68=34，∴CP 2=PA ⋅PB ，CP =43AP ，∴CP 2=AP(AP +10)，∴169AP 2=AP 2+10AP ，∴AP =907或AP =0(不符合题意，舍去)，∴CP =PE =1207，∴AE =PE −PA =1207−907=307，∵∠BOD =2∠BCD =90∘，OB =OD =5，∴BD =√OB 2+OD 2=√52+52=5√2，∵∠BCD =∠ECA ，∠CDB =∠CAE ，∴△CDB ∽△CAE ，∴CD AC =BD AE， ∴CD =AC⋅BD AE =6×5√2307=7√2，∴CD 的长是7√2.【解析】(1)连接OC 、OD ，先证明∠AOD =2∠ACD =90∘，再证明OCP =∠PCE +∠OCD =∠OED +∠ODC =90∘，即可证明PC 与⊙O 相切；(2)连接BD ，根据勾股定理求出BC =8，先证明△PAC ∽△PCB ，得AP CP =CP BP =AC BC =34，所以PC 2=PA ⋅PB ，即可求得AP =907，CP =PE =1207，AE =307，再由勾股定理求得BD =5√2，然后证明△CDB ∽△CAE ，即可根据相似三角形的对应边成比例求得CD =7√2.此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．25.【答案】抛物线关于点(2,1)成中心对称【解析】解：(1)把A(2,1)，B(5,4)代入解析式得：{4+2b +c =125+5b +c =4， 解得{b =−6c =9， ∴y =x 2+bx +c(x ≥2)的解析式为y =x 2−6x +9；(2)如图所示：①性质：抛物线关于点(2,1)成中心对称，故答案为：抛物线关于点(2,1)成中心对称；②由图象可得：实数m的取值范围为0<m<2；(3)如图：由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为(0,0)，(1,1).(1)用待定系数法求函数解析式即可；(2)①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；(3)根据图象求整点坐标即可．本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．26.【答案】解：(1)∵抛物线C1：y=−x2+bx+c经过点A(2,1)，B(0,1)，∴{−4+2b+c=1c=1，解得{b =2c =1， ∴抛物线C 1：y =−x 2+2x +1，∴抛物线C 1的对称轴为直线x =−22×(−1)=1；(2)∵抛物线C 2的顶点的横坐标为m ，抛物线顶点在直线y =−2x +1上， ∴抛物线顶点纵坐标为−2m +1，∴抛物线C 2的解析式为y =−(x −m)2−2m +1，将x =0代入y =−(x −m)2−2m +1得y =−m 2−2m +1， ∴抛物线与y 轴交点的纵坐标为−m 2−2m +1，∵−m 2−2m +1=−(m +1)2+2，∴抛物线C 2与y 轴交点的纵坐标的最大值为2.(3)由(2)得抛物线与y 轴交点M 坐标为(0,−m 2−2m +1)， ∴点N 坐标为(−2,−m 2−2m +1)，当m =0时，抛物线顶点坐标为M(0,1)，与点B 重合，符合题意，当m >0时，抛物线延直线y =−2x +1向下移动，不符合题意，当m <0时，抛物线延直线y =−2x +1向上移动，当点N落在抛物线上时，由点M，N的对称性可得抛物线对称轴为直线x=−1，∴m=−1，∴−1≤m≤0符合题意，当m减小，点M与点B重合时，−m2−2m+1=1，解得m=0(舍)或m=−2，∵−m2−2m+1=−(m−1)2+2，∴m<−2时，点M向下移动，∴m≤−2符合题意．综上所述，−1≤m≤0或m≤−2.【解析】(1)通过待定系数法求解．(2)由C2的顶点的横坐标为m，顶点在直线y=−2x+1上，可得抛物线C2的顶点式，将x=0代入解析式求出抛物线与y轴交点纵坐标，再通过配方法求解．(3)由点M坐标可得点N坐标，由抛物线C2的顶点在直线y=−2x+1上可得抛物线的运动轨迹，结合图象求解．本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．27.【答案】(1)解：∠ECF=45∘，理由如下：如图1，过点F作FG⊥CB于G，由旋转得：AE=EF，∠AEF=90∘，∴∠AEB+∠FEG=90∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABE=90∘，AB=BC，∴∠BAE+∠AEB=90∘，∴∠BAE=∠FEG，∵∠ABE=∠EGF=90∘，∴△ABE≌△EGF(AAS)，∴AB=EG，BE=FG，∴EG=BC，∴BE=CG，∴FG=CG，∵∠CGF=90∘，∴∠ECF=45∘；(2)证明：如图2，过点F作FH//CD，交BD于H，交BC于G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，AB=CD，∠DBC=45∘，∵∠ECF=45∘，∴∠ECF=∠DBC，∴BD//CF，∴四边形DHFC是平行四边形，∴FH=CD，∵AB=CD，∴AB=FH，∵AB//CD，CD//FH，∴AB//FH，∴∠ABM=∠FHM，∵∠AMB=∠FMH，∴△ABM≌△FHM(AAS)，∴AM=FM，∴点M是线段AF的中点；(3)解：√2AD=2BM+FC，理由如下：∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD=√2AD，由(2)知：△ABM≌△FHM，四边形DHFC是平行四边形，∴BM=MH，HD=FC，∵BD=BM+MH+HD，∴√2AD=2BM+CF.【解析】(1)如图1，过点F作FG⊥CB于G，证明△ABE≌△EGF(AAS)，可得△CGF是等腰直角三角形，即可解答；(2)如图2，过点F作FH//CD，交BD于H，交BC于G，证明四边形DHFC是平行四边形，得FH=CD，再证明△ABM≌△FHM(AAS)，可得结论；(3)根据(2)中的结论可解答．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型．28.【答案】解：(1)①如图，当P(−1,0)时，点P关于点A的对称点P′(5,2)，把点P′绕点B逆时针旋转90∘得到Q(3,4).图形如图所示．②当点P在⊙O上运动时，点P关于点A的对称点P″在以T(4,2)为圆心，半径为1的圆上运动，此时点P关于点B的旋转对称点Q在圆J(3,3)为圆心，半径为1是圆上运动到，连接AJ.∵AJ=√12+22=√5，∴AQ的最大值=√5+1；(2)如图，作直径PD，连接P′D，AO.∵PA=AP′，OP=OD，∴DP′=2AO=2，∴当点P确定时，点P′的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转90∘，得到BG，连接GQ.∵∠P′BQ=∠DBG=90∘，∴∠P′BD=∠GBQ，∵BP′=BQ，BD=BG，∴△P′BD≌△QBG(SAS)，∴DP′=BG=2，∴此时点Q的运动轨迹是以G为圆心，2为半径的圆，∴PQ的最大值与最小值的差是2.【解析】(1)①如图，当P(−1,0)时，点P关于点A的对称点P′(5,2)，把点P′绕点B逆时针旋转90∘得到Q(3,4).图形如图所示．②判断出的Q的运动轨迹，可得结论；(2)如图，作直径PD，连接P′D，AO.证明DP′=2AO=2，推出当点P确定时，点P′的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转90∘，得到BG，连接GQ.证明△P′BD≌△QBG(SAS)，推出DP′=BG=2，推出此时点Q的运动轨迹是以G为圆心，2为半径的圆，由此可得结论．本题属于几何变换综合题，中心对称变换，旋转变换，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级 _________ 学号 __________ 姓名 _____________ 分数 __________________一、选择题（每小题4分，共32分.下列各题均有四个选项，其中只有一个.是符合 题意的.）1 •下列事件是必然事件的是（ ）.A .随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是 6B. 掷一枚硬币，正面朝上C. 3个人分成两组，一定有两个人分在一组D. 打开电视，正在播放动画片2. 抛物线y （x 1）2 2可以由抛物线y x 2平移而得到，下列平移正确的是（）.4. 两圆半径分别为2和3,圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关 系是（）.A .先向左平移1个单位，再向上平移B .先向左平移1个单位，再向下平移 C .先向右平移1个单位，再向上平移 D .先向右平移1个单位，再向下平移3. 已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为 面积为（）.2个单位 2个单位 2个单位2 A. 250 cm2 B. 500 cm C. 750 cm 2 D . 1000 cm 2A .外离B .外切C .相交D .内切 5.同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（）. C .6.如图, 在平面直角坐标系中，点D.- 2 P 在第一象限, 相切于点Q ,与y 轴交于M （0,2）, N （0,8）两点，则点P 的坐标是 ( ). A . (5,3) B . (3,5) C . (5,4) D . (4,5) 抛物线 x 2 kx 1 与 y x 2 x k 相交, 有一个交点在 )轴上, k 的值为-4BC , 如图，在直角梯形 AD = 2cm ,动点P 、Q 同时从点B 出发， 动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度 都是1cm/s ,而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C . ABCD 中, AD // C 90o , CD 点P 沿P 与x 轴 6cm ,DQ设P点运动的时间为t(s), △ BPQ的面积为y(cm2).下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是( ).填空题(每小题4分，本题共16 分)9.正六边形边长为3,则其边心距是 _________ m.10.函数y x22x 3( 2 x 2)的最小值为_________ 最大值为11.如图，在△ ABC中，BC=4,以点A为圆心，2为半径的O A 与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是。

数学试卷班级__________ 姓名__________学号__________ 成绩__________一、选择题 (共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．下面四个标志中是中心对称图形的是（ ）.A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（ ）. A ．0x =B ．2x =C ．0x =或2x =D ．0x =或2x =-3．若1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(3,)C y 为二次函数21y x =+（）图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）. A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数(5)(7)y x x =-+的图象的对称轴是（）. A ．直线1x =- B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为O 直径，点C 、D 在O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（ ）.A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（ ）. A ．21.058(1) 1.167x -= B ．1.058(12) 1.167x +=C ．21.058(1) 1.167x +=D ．21.167(1)1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时 的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，则表盘的半径长为（ ）.A ．3B． C ． D．A8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（ ）. A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A. B.C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为 ．10．如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为BC 延长线上一点，50A ∠=︒，则DCE ∠的度数为 ．11．抛物线256y x x =-+与y 轴的交点的坐标是 ．12．如图，PA 、PB 分别切O 于A 、B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作O 的切线分别交PA 、PB 于M 、N 两点，若△PMN 的周长为10，则切线长PA 等于 ．第10题图 第12题图13．已知22310a a -+=，则代数式2(3)(3)a a a -++的值为 ．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度．．．．是 cm ．图1 图2 第15题图15．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点(1,0)-， 对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在(0,1)A 和(0,2)B 之间（不与A 、B 重合）．下列结论：①0abc >； ②93a c b +>； ③40a b +=； ④当0y >时，15x -<<； ⑤a 的取值范围为2155a -<<-． 其中正确结论有 ．（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，∠A =90°，D 是AC 上一点，BD =10， AB =CD ，则BC 的最大值为 ．三、解答题（共68分，第17题8分，第18、21、25题每题4分，第19、23、24题每题5分，第20、26题6分，第22、27、28题每题7分）17．解下列方程：（1）23610x x -+=； （2）2(3)3x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(3,1)B -，(1,4)C -．将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到△11A BC ， （1）请在图中画出△11A BC ； （2）线段BC 旋转过程中所扫过的面积是 （结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE ． （1）求证：△AEB ≌△ADC ； （2）连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数． 20．已知关于x 的一元二次方程22(8)40x k x k +--=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围． 21．已知：如图O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B ．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：A ，A 交O 于点B ，则直线PB 是O 的切O 于点M ；②以点的长为半径作弧，交直线，交O 于点B PB 是O 的切线． 证明：如图1，连接OB ， A 直径，90PBO =︒．（ OB ． OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．请仔细阅读，并完成相应的任务．（1）“作法一”中的“依据”是指 ； （2）请写出“作法二”的证明过程．NQ M P22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过(0,2)A -，(2,0)B 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；（3）若一次函数y mx n =+的图象也 经过A ，B 两点，结合图象，直接写出 不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥． （1）求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；（2）若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米，竖直距离为6米．若发射石块在空中飞行的最大高度为10米． （1）求抛物线的解析式；（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．25．如图1，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7AB =cm ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、Q 两点间的距离为1y cm ，P 、Q 两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y 、2y 的图象． 解决问题：（1）在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；（2）结合函数图象，解决问题：当△APQ 中有一个角为30︒时，AP 的长度约为 cm ．图1图226．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线224(0)y ax a x a =-≠． （1）当1a =时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知1(M x ，1)y 和2(N x ，2)y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =45°，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC =BE ，连接AE ，过C 作CF ⊥AE 于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ． （1）求证：∠AEB =∠ACF ；（2）用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28. 对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”． 已知B （-1,0），C （2,0），（1）写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标________；（2）已知点1C （2,m ）（102m ），存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2l ：y =x+b 上，求b 的取值范围；（3）已知点H 是直线x =1上的一点，且点H 的纵坐标小于0，C （3,0），E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线x =6上的点F （6,h ），以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．备用图数学参考答案一、选择题1．D 2．C 3．B 4．A 5．A 6．C 7．B 8．C二、填空题9． 231y x =+ 10. 50° 11．(0,6) 12．5 13．8 14．18 15．③④⑤16. 5+ 补充说明：T15只有一个正确答案得1分，有错误答案不得分。

北京四中初三期中测试题 （答题时间：120分钟 总分：120分） 一. 选择题：（每小题3分，共30分） 1．若y =（2－m ）22m x 是二次函数，则m 等于（ ） A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．不能确定 2. 二次函数y=2（x －1）2－5的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（ ） A. 开口向上，对称轴为直线x=－1，顶点（－1，－5） B. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，5） C. 开口向下，对称轴为直线x=1，顶点（1，－5） D. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，－5） 3. 下列抛物线中，开口向上且开口最小的抛物线为（ ） A. y=x 2+1 B. y=43x 2－2x+3 C. y=2x 2 D. y=－3x 2－4x+7 4. 已知二次函数y=kx 2－7x －7的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围为（ ） A. k ﹥－47 B. k ≥－47且k ≠0 C. k ﹤－47 D. k ﹥－47且k ≠0 5. 二次函数图象y=2x 2向上平移1个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的关系式为（ ） A. y=2（x+3）2+1 B. y=2（x －3）2+1 C. y=2（x+3）2－1 D. y=2（x －3）2－1 6. 如图，函数y=ax 2和y=－ax+b 在同一坐标系中的图象可能为（ ） 7. 如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，点P （a+b ，ac ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 密 封 线 内 不 要 答 题 班级：_______ 姓名：__________（7题） （8题）8．如图，两根等高的电线杆的水平距离是50米，某人在杆的底部连结上E 处，测得一根杆顶的仰角是60°，另一根杆顶的仰角为30°，则电线杆顶距地面的高度是（ ）A ．25米B ．12.5米C ．D ．米9．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC 和△DEF ，数据如图3，如果把小敏画的的三角形的面积记作S 1，小颖画的三角形的面积记作S 2，那么你认为（ ）A ．12S S >B ．12S S <C ．12S S =D ．不能确定9题 15题图10. 抛物线的顶点坐标为P （1，3），且开口向下，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围为（ ）A. x ﹥3B. x ﹤3C. x ﹥1D. x ﹤1二. 填空题：（每小题3分，共30分）11．已知三角形三边的比是25∶24∶7，则最小角的余弦值为 ，最小角的正切值为______．12．若sin(10)α-︒=α为 ． 13. 若二次函数y=（m+8）x 2+2x+m 2－64的图象经过原点，则m= .14. 抛物线y=2x 2+bx+8的顶点在x 轴上，则b=E D C B A15．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．①这个二次函数的表达式是y=______；②当x=______时，y=3；③根据图象回答：当x______时，y>0．16. 二次函数y=2x2－4x－1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ，c= . 17．不论x取何值，二次函数y=－x2+6x+c的函数值总为负数，则c 的取值范围为.18、如图所示，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2cm的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y( 平方厘米)与时间t（秒）之间的函数式为————19、开口向上的抛物线y=a（x+2）（x－8）与x轴交于A、B，与y 轴交于点C，且∠ACB=90°，则a= .20. 将抛物y=2x2+16x－1绕顶点旋转180°后所得抛物线为 .三.解答题：（共60分）21. 已知抛物线y=ax2+bx+c与y=2x2开口方向相反，形状相同，顶点坐标为（3，5）. （1）求抛物线的关系式；（2）求抛物线与x轴、y 轴交点.坐标。

数学试卷<考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级学号姓名分数一、选择题<每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）1．下列事件是必然事件的是< ）．A．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是6B．掷一枚硬币，正面朝上C．3个人分成两组，一定有两个人分在一组D．打开电视，正在播放动画片2．抛物线可以由抛物线平移而得到，下列平移正确的是< ）．A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm，母线长为50cm，则圆锥形纸帽的侧面积为< ）．A．B． C． D．4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为<1，0）和<-4，0），则两圆的位置关系是< ）．A．外离 B．外切 C．相交 D．内切5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为< ）．A ．B ．C ．D ．6．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是< ）．A ．B ．C ．D ． 7．抛物线与相交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为< ）．A ．0B ． 2C ．−1D ．8．如图，在直角梯形中，∥，，，AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点出发，点沿BA 、AD 、DC 运 动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是1cm/s ，而当点到达点时，点 正好到达点．设P点运动的时间为，的面积为．下图中能正确表示整个运动中关于的函数关系的大致图象是< ）．A ．B ．C ．D ．b7ee0oNvygb5E2RGbCAP 二．填空题<每小题4分，本题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm ．10．函数的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是_______________．b7ee0oNvygp1EanqFDPw 12． 已知二次函数满足：<1）； <2）；<3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ．b7ee0oNvygDXDiTa9E3d ① ② ③ ④ ⑤三．解答题<每小题5分，本题共30分）13．计算：14．用配方法解方程：15． 已知，当m 为何值时，是二次函数？ 16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：<1）弦AB 的长； <2） 错误!的长．17．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下表是x 与y的对应值表：b7ee0oNvygRTCrpUDGiT<1）求出二次函数的解读式；<2）将表中的空白处填写完整；<3）在右边的坐标系中画出y=ax2+bx+c 的图象；<4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y=ax2+bx+c 的值大于0．_______________________x O y18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D ． b7ee0oNvyg5PCzVD7HxA <1）求证：BC 是⊙O 切线；<2）若BD=5，DC=3，求AC 的长．四．应用题<19题6分，20题5分，21题4分）19． 桐桐和大诚玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从剩余的3张牌中也抽出一张． xOqEenXxxajLBHrnAILg桐桐说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．<1）请用列表<或树状图）表示出两人抽牌可能出现的所有结果；<2）若按桐桐说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件；若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？xOqEenXxxaxHAQX74J0X 21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的位置．<保留作图痕迹，不写作法）五．解答题<本题5分）22．已知如图，正方形AEDG 的两个顶点A 、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为 C ，试判断线段AC 与线段BC 的关系．xOqEenXxxaLDAYtRyKfE六．综合运用<23、25题7分，24题8分）23．已知： 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2−bx+kc<c ≠0）的图与x 轴一个交点的横坐标为1．xOqEenXxxaZzz6ZB2Ltk <1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；<2）求代数式的值；<3）求证： 关于x 的一元二次方程ax2−bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．24． 已知：如图，在直角坐标系xoy 中，点A<2，0），点B 在第一象限且△OAB 为正三角形，△OAB 的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ．xOqEenXxxadvzfvkwMI1<1）求B 、C 两点的坐标；<2）求直线CD 的函数解读式；<3）设E 、F 分别是线段AB 、AD 上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长．试探究：当点E 运动到什么位置时，△AEF 的面积最大？最大面积是多少？ 25．抛物线交轴于两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为直线，．<1）求二次函数的解读式；<2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；xOqEenXxxarqyn14ZNXI<3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．初三期中考试参考答案及评分标准 四中一、选择题：<本题共32分，每小题4分）二、填空题：<本题共16分，每小题4分）9． 10． −4， 5 11． 12． ①②③⑤<少选1个扣1分，多选或选错均不得分）xOqEenXxxaEmxvxOtOco 三、 解答题：<本题共30分，每小题5分）13． 计算：解：原式=…………．．4分<化简运算对一个数给1分） =……………………5分14．用配方法解方程：解：………．．1分………．．3分∴……．．5分 15．已知，当m 为何值时，是二次函数？解：依题设，若原函数为二次函数，则有 (2)解得 m=3 ………．．．5分16．如图，在半径为6 cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离 OC为3 cm．试求：<1）弦AB的长； <2）错误!的长．解：依题设有OC⊥AB于C，又∵AB为⊙O的弦∴ AC=BC=AB ……… 2分连结OA 则又∵OA=6，OC=3∴ AC=∴ AB=………3分<2）由<1）知，在Rt△ACO中，OA=6，OC=3∴∠OAC=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=120° ………4分∴错误!= =………．．5 分17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点位于x轴下方，它到x轴的距离为4，下表是x与y的对应值表：xOqEenXxxaSixE2yXPq5<1）求出二次函数的解读式；解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为<1，4）……1分∴二次函数解读式可变形为又由图象过<0，-3），有-3=a-4，解得a=1∴二次函数解读式为．．．．．2分<2）将表中的空白处填写完整；．．．．．3分<3）在右边的坐标系中画出y=ax2+bx+c的图象；………4分<4）根据图象回答：当x为何值时，函数y=ax2+bx+c的值大于0．x<−1或x>3．．．．．5分18．如图，在△ABC中，∠C=90°， AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．<1）求证： BC是⊙O切线；<2）若BD=5， DC=3，求AC的长．解：<1）证明：如图1，连接OD．∵ OA=OD， AD平分∠BAC，∴∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠CAD．………………1分∴∠ODA=∠CAD．∴ OD//AC．…………………………………2分∴∠ODB=∠C=90︒．∴ BC是⊙O的切线．……………………………3分图1<2）解法一：如图2，过D作DE⊥AB于E．∴∠AED=∠C=90︒．又∵ AD=AD，∠EAD=∠CAD，∴△AED≌△ACD．∴ AE=AC， DE=DC=3．在Rt△BED中，∠BED =90︒，由勾股定理，得图2 BE=．………………………………………………………4分设AC=x<x>0），则AE=x．在Rt△ABC中，∠C=90︒， BC=BD+DC=8， AB=x+4，由勾股定理，得x2 +82= <x+4） 2．解得x=6．即AC=6．…………………………………………………………5分解法二：如图3，延长AC到E，使得AE=AB．∵ AD=AD，∠EAD =∠BAD，∴△AED≌△ABD．∴ ED=BD=5．在Rt△DCE中，∠DCE=90︒，由勾股定理，得CE=．………………………4分图3在Rt△ABC中，∠ACB=90︒， BC=BD+DC=8，由勾股定理，得AC2 +BC2= AB 2．即 AC2 +82=<AC+4） 2．解得AC=6． (5)分19．解：<1）树状图为：共有12种可能结果．················· 3分<2）游戏公平．·················· 4分∵两张牌的数字都是偶数有6种结果：<6，10），<6，12），<10，6），<10，12），<12，6），<12，10）．∴桐桐获胜的概率P==．············5分大诚获胜的概率也为．··············6分∴游戏公平．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件．若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？xOqEenXxxa6ewMyirQFL解：设若想盈利1200元，每件器材应降价x元，则有 (2)可解得，答：若想盈利1200元，每件器材降价10元或20元均可 (3)设降价x元时，盈利为y元，则0<x<40 (4)解读式可变形为且 0<15<40由此可知，当降价15元时，最大获利为1250元． (5)分．21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O的位置．<保留作图痕迹，不写作法）任作2弦 给1分，两条中垂线各1分，标出并写出 点O 即为所求给1分 五．解答题<本题5分）22． 已知如图，正方形AEDG 的两个顶点A 、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为 C ，试判断线段AC 与线段BC 的关系．xOqEenXxxakavU42VRUs 解：线段AC 与线段BC 垂直且相等 ………1分 证明：连结AD ………2分 ∵ 四边形AEDG 为正方形 ∴ ∠ADE =45°∵ 四边形ABCD 内接⊙O∴∠B+∠ADC =180° ……．．．3分 又∵∠ADE+∠ADC =180° ∴∠B=∠ADE =45° 又∵AB 为⊙O 直径∴ ∠ACB=90°，即AC ⊥BC ……4分 ∴ ∠BAC =45°∴ AC=BC ……．．5分 23． 解：<1）解：由 kx=x+2，得<k-1） x=2． 依题意 k-1≠0．∴ ． (1)分∵ 方程的根为正整数，k 为整数， ∴ k-1=1或k-1=2．∴k1= 2，k2=3．…………………………………………………2分<2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点<1，0），∴ 0 =a-b+kc， kc = b-a ．∴ =…3分<3）证明：方程②的判别式为Δ=<-b）2-4ac= b2-4ac．由a≠0，c≠0，得ac≠0．xOqEenXxxay6v3ALoS89证法一：< i ）若ac<0，则-4ac>0．故Δ=b2-4ac>0．此时方程②有两个不相等的实数根．……4分xOqEenXxxaM2ub6vSTnP< ii ）若ac>0，由<2）知a-b+kc =0，故 b=a+kc．Δ=b2-4ac= <a+kc）2-4ac=a2+2kac+<kc）2-4ac = a2-2kac+<kc）2+4kac-4acxOqEenXxxa0YujCfmUCw=<a-kc）2+4ac<k-1）．…………………………………………………5分∵方程kx=x+2的根为正实数，∴方程<k-1） x=2的根为正实数．由x>0，2>0，得k-1>0．…………………………………6分∴ 4ac<k-1）>0．∵ <a-kc）2 0，∴Δ=<a-kc）2+4ac<k-1）>0．此时方程②有两个不相等的实数根．…………7分证法二：< i ）若ac<0， 则-4ac>0． 故Δ=b2-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． ……4分xOqEenXxxaeUts8ZQVRd < ii ）若ac>0，∵ 抛物线y=ax2-bx+kc 与x 轴有交点， ∴ Δ1=<-b ）2-4akc =b2-4akc ≥0．<b2-4ac ）-< b2-4akc ）=4ac<k-1）． 由证法一知 k-1>0， ∴ b2-4ac> b2-4akc ≥0．∴ Δ= b2-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………………7分综上， 方程②有两个不相等的实数根． 证法三：由已知，，∴可以证明和不能同时为0<否则），而，因此．24．解：<1）∵A<2，0）， ∴OA=2． 作BG ⊥OA 于G ，∵△OAB 为正三角形，∴OG=1，BG=，∴B<1，）． ………………………………1分连AC ，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO =60°．，∴OC=．∴C<0，）． …………………………………2分<2）∵∠AOC=90°，∴AC 是圆的直径， 又∵CD 是圆的切线，∴CD ⊥AC ． ∴∠OCD =30°，OD=．∴D<，0）．<第24题）设直线CD 的函数解读式为y=kx+b<k ≠0）， 则，解得∴直线CD 的解读式为y=．…4分<3）∵AB=OA=2，OD=，CD=2OD=，BC=OC=，∴四边形ABCD 的周长6+．设AE=t ，△AEF 的面积为S ， 则AF=3+－t ，S=<3+）．∵S=<3+）=．∵点E 、F 分别在线段AB 、AD 上， ∴ ∴…………………………6分 ∴当t=时，S 最大=．…………8分25．<1）设抛物线的解读式为，∵点、在抛物线上， ∴解得∴抛物线的解读式为． ……………2分<2）， ∴A<，0），B<3，0）． ∴． ∴PA=PB ，<第24题）E∴．………．．3分如图1，在△PAC中，，当P在AC的延长线上时，．设直线AC的解读式为，∴解得∴直线AC的解读式为．当时，．∴当点P的坐标为<1，）时，的最大值为． (5)<3）如图2，当以MN为直径的圆与轴相切时，．∵点N的横坐标为，∴．∴．解得，．……………．．7分申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

北京四中初三上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为（ ）． A ．直线1x = B ．直线1x =- C ．直线2x = D ．直线2x =-2．已知反比例数ky x=的图象过点(2,1)，下列各点也在反比例函数图象上的点是（ ）． A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．1(2,)2D ．1(4,)23．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则OC 的长为（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数解析式为（ ）． A ．23(2)1y x =-+ B ．23(2)1y x =+- C ．23(2)1y x =--D ．23(2)1y x =++5．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若35ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）． A ．20︒ B ．40︒ C ．60︒ D ．70︒6．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象可能为下列中的（ ）．A ．B ．C ．D ．7．如图，P 是反比例函数图象上的一点，过点P 向x 轴作垂线，垂足为A ，若PAO △的面积为4，则这个反比例函数的解析式为（ ）． A ．4y x = B ．4y x =-C ．8y x=D ．8y x=-xOyxOyxO yxO yOCABO DC BAPA xOy8．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．A ．0a >B ．不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<C ．0a b c -+>D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大9．若抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，则t 的取值范围为（ ）．A ．13t -<<B ．13t -<≤C ．534t << D ．1t -≥10．如图，ACB △中，60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，点D 是BC 边上一动点，以AD 为直径作⊙O ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，若弦EF 的最小值为1，则AB 的长为（ ）． A ．22 B ．263 C ．1.5D ．433二、填空题（每空4分，共24分）11．已知双曲线3y x=，如果1(1,)A b -，2(2,)B b 两点在该双曲线上，那么1b __________2b ．（比较大小）12．将抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，则旋转后抛物线的解析式为__________．13．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x … 2- 1- 0 1 2 3 … y…5 03-4-3-…当函数值0y <时，x 的数值范围是__________．14．已知：如图，⊙O 是的内切圆，分别切BC 、AB 、AC 于点D 、E 、F ，ABC △的周长为24cm ，10cm BC =，则AE =__________cm ．15．已知：如图，AB 是半圆O 的直径，E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知8cm BC =，2cm DE =，则AD 的长为__________cm ．52OxyFE OCDABFEDCBA OCAE DB16．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)和1(,0)x ，其中121x -<<-，与y 轴交于正半轴上一点，下列结论：①0b >；②214ac b <；③a b >；④2a c a -<<-．其正确结论的序号是__________．三、解答题（本题共18分，每题6分）17．若二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点，求此二次函数的解析式．18．已知；如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(1,2)A -、(2,)B n 两点． （1）求出上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出当m kx b x+≥时x的取值范围．19．已知抛物线212(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），对称轴为直线1x =-．（1）m 的值为__________；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x … … 1y……（2）若直线2y kx b =+过点B 且与抛物线交于点(2,3)P --，根据图象直接写出当x 取什么值时，21y y ≤．yxOBA1221yxO20．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在D ∠的内部，四边形OABC 为平行四边形． 求OAD OCD ∠+∠的度数．21．如图，PB 切⊙O 于点B ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于点C ，连结BC 、AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）若6BC =，:1:2AD FD =，求⊙O 的半径r 的长．22．已知21(2)y x kx k k =-+->．（1）求证：抛物线21(2)y x kx k k =-+->与x 轴必有两个交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若tan 3OAC ∠=，求此抛物线的解析式；（3）以（2）中的抛物线上一点(,)P m n 为圆心，1为半径作圆，直接写出：当m 分别取何值时，x 轴与⊙P 相离、相切、相交．xy O –1–21234–1–2123423．对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E ．现有点(2,0)A 和抛物线E 上的点(1,)B n -，请完成下列任务： 【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为__________． （2）点A __________（填在或不在）在抛物线E 上； （3）n 的值为__________．【发现】通过（2）或（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为__________．【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．24．如图，ABC △外接圆⊙O 半径为r ，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 、BE 交于点K ，AK r =．求BAC ∠的度数．K E OCADB25．如图，在平面直角坐标系中有Rt ABC △，90A ∠=︒，AB AC =，(2,0)A -、(0,1)B 、(,2)C d ． （1）求d 的值；（2）将ABC △沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B '、C '正好落在某反比例函数图象上，请求出这个反比例函数和此时的直线B C ''的解析式；（3）在（2）的条件下，直线B C ''交y 轴于点G ．问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数图象上的点P ，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．C'B'A'GBCAyOx北京四中初三上期中数学试卷答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBDDBDBBB二、填空题（每空4分，共24分）题号 1112 13 14 15 16 答案 <21y x =--13x -<<2213②④三、解答题（本题共18分，每题6分）17．解：二次函数23y ax bx =++的图象经过(1,0)A 、(2,1)B -两点， ∴031423a b a b =++⎧⎨-=++⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩． ∴二次函数的解析式为243y x x =-+．18．解：（1）∵(1,2)A -在my x=上， ∴2m =-．∴反比例函数的解析式是2y x =-． ∵点(2,)B n 在2y x=-上， ∴212n =-=-，即(2,1)B -．∵(1,2)A -，(2,1)B -在y kx b =+上， ∴221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩．∴一次函数的解析式是1y x =-+．（2）由函数图象可知，x 的范围为1x -≤或02x <≤．19．解：（1）由题意得12b a -=-，即2(2)12m +-=-， ∴1m =-．∴抛物线解析式为：2123y x x =+-． 令10y =，得13x =-，21x =． 列表如下：x … 3- 2-1- 0 1 … 1y…3-4-3-…描点画图如图所示：（2）如图所示，易知，当2x -≤或1x ≥时，21y y ≤．1221y xOPB1221y xO20．解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴180B D ∠+∠=︒．∵四边形OABC 为平行四边形， ∴AOC B ∠=∠． 又∵2AOC D ∠=∠， ∴60D ∠=︒．连结OD ，可得AO OD =，CO OD =． ∴OAD ODA ∠=∠，OCD ODC ∠=∠．∴60OAD OCD ODA ODC D ∠+∠=∠+∠=∠=︒．21．（1）证明：如图，连接OB ． ∵PB 是⊙O 的切线， ∴90PBO ∠=︒．∵OA OB =，BA PO ⊥于D ， ∴AD BD =，POA POB ∠=∠． 又∵PO PO =， ∴PAO △≌PBO △． ∴90PAO PBO ∠=∠=︒． ∴直线PA 为⊙O 的切线．（2）解：∵OA OC =，AD BD =，6BC =， ∴132OD BC ==． 设AD x =．∵:1:2AD FD =，∴2FD x =，23OA OF x ==-．在Rt AOD △中，由勾股定理，得222(3)23x x -=+． 解之得，14x =，20x =（不合题意，舍去）． ∴4AD =，235OA x =-=． 即⊙O 的半径的长5．22．（1）证明：∵22()41(1)(2)k k k ∆=--⨯⨯-=-， 又∵2k >， ∴20k ->．∴2(2)0k ->，即0∆>．∴抛物线21y x kx k =-+-与x 轴必有两个交点．（2）解：∵抛物线21y x kx k =-+-与x 轴交于A 、B 两点， ∴令0y =，有210x kx k -+-=． 解得：1x k =-或1x =． ∵2k >，点A 在点B 的左侧， ∴(1,0)A ，(1,0)B k -． ∵抛物线与y 轴交于点C ， ∴(0,1)C k -．∵在Rt AOC △中，tan 3OAC ∠=， ∴tan 311OAC OC k OA ∠=-==，解得4k =． ∴抛物线的表达式为243y x x =-+．（3）解：当22m <-或22m >+时，x 轴与⊙P 相离． 当22m =-或2m =或22m =+时，x 轴与⊙P 相切． 当222m -<<或222m <<+时，x 轴与⊙P 相交．23．解：（1）将2t =代入抛物线E 中，得：2222(32)(12)(24)242(1)2y x x x x x x =-++--+=-=--， ∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-； （2）点A 在抛物线E 上，理由如下：∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得0y =， ∴点(2,0)A 在抛物线E 上． （3）∵点(1,)B n -在抛物线E 上，∴将1x =-代入抛物线E 的解析式中，得：(132)(1)(24)6n t t =+++-+=． 【发现】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+， ∴抛物线E 必过定点(2,0)、(1,6)-． 【应用】不是，理由如下：∵将1x =-代入2352y x x =-++，得66y =-≠， ∴二次函数2352y x x =-++的图象不经过点B ．∴二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的“再生二次函数”．24．解法一：如图1，连接CO 并延长，交⊙O 于点N ，连接AN ，BN ． ∵CN 为⊙O 直径， ∴90NAC NBC ∠=∠=︒， ∵AD BC ⊥，BE AC ⊥， ∴AN BE ∥，NB AD ∥． ∴四边形ANBK 为平行四边形． ∴NB AK r ==，在Rt NBC △中，2NC r =， ∴1cos 2NB NBC NC ∠==， ∴60BNC ∠=︒， ∴60BAC BNC ∠=∠=︒．解法二：如图2，连接OA ，过点O 作OF AB ⊥于点F ． ∵90AOF OAF ∠+∠=︒，90KAE C ∠+∠=︒， 且AOF C ∠=∠， ∴OAF KAE ∠=∠．又∵OA KA r ==，90AEK AFO ∠=∠=︒， ∴AFO △≌AEK △．图1NK E O CADB F图2K E O CADB∴AF AE =， ∴2AB AE =．∴在Rt ABE △中，60BAC ∠=︒．25．解：（1）作CN x ⊥轴于点N ． 在Rt CNA △和Rt AOB △中， ∵2NC OA ==，AC AB =， ∴Rt CNA △≌Rt AOB △（HL ）．∴1AN BO ==，3NO NA AO =+= 又∵点C 在第二象限， ∴3d =-．（2）设反比例函数为ky x=，点C '和B '在该比例函数图像上， 设(,2)C m '，则(3,1)B m '+． 把点C '和B '的坐标分别代入ky x=，得2k m =；3k m =+， ∴23m m =+，3m =，则6k =， ∴反比例函数解析式为6y x=. ∴点(3,2)C '，(6,1)B '．∴直线B C ''的解析式为133y x =-+．（3）设点M 的坐标为(,0)m ，点P 的坐标为6(,)p p． 当以MP 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p +=+，解得215m =-； 当以MG 为平行四边形对角线时，03m p +=-，6032p+=+，解得3m =； 当以MC 为平行四边形对角线时，30m p -=+，6023p+=+，解得3m =-． 综上所述，存在点121(,0)5M -，2(3,0)M ，3(3,0)M -，使得P 、G 、M 、C 为顶点的四边形是平行四边形．N C'B'A'GBCAyOx11 北京四中初三上期中数学试卷部分答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】抛物线2(1)2y x =-+的对称轴为直线1x =．故选A ．2．【答案】D 【解析】∵反比例数k y x =的图象过点(2,1)，∴2k =，易知点1(4,)2在2y x =的图象上．故选D ．3．【答案】B【解析】∵半径OD 过AB 的中点C ，弦AB 的长为8，∴4BC =，90OCB ∠=︒，在Rt OCB △中，2222543OC OB BC =-=-=．故选B ．4．【答案】D【解析】根据“上加下减，左加右减”可得，所求二次函数的解析式为23(2)1y x =++．故选D ．5．【答案】D【解析】由圆周角定理可得，270AOC ABC ∠=∠=︒．故选D ．6．【答案】B【解析】由解析式可知，两个函数均过点(0,)c ；当0a >时，一次函数单调递增，二次函数开口向上；当0a <时，一次函数单调递减，二次函数开口向下．故选B ．7．【答案】D【解析】由k 得几何意义，可知142PAO S k ==△， 又∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴0k <， ∴8k =-，∴反比例函数的解析式为8y x=-．故选D ．8．【答案】B【解析】由二次函数的图象可知，开口向下，∴0a <；抛物线的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点为(5,0)，故另一个交点为(1,0)-， ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<；又∵抛物线经过点(1,0)-，∴0a b c -+=；当2x >时，y 随x 的增大而减小．故选B ．9．【答案】B【解析】抛物线的对称轴为直线2x =，开口向上，∵抛物线243y x x t =-+-（t 为实数）在1032x <<的范围内与x 轴有公共点，12∴当2x =时，48310y t t =-+-=--≤，当0x =时，30y t =->，∴13t -<≤．故选B ．10．【答案】B【解析】连接OE ，OF ．∵60B ∠=︒，75ACB ∠=︒，∴45BAC ∠=︒，∴90EOF ∠=︒． ∴222EF OE AD ==． ∵弦EF 的最小值为1，∴AD 的最小值为2，即当AD BC ⊥时，2AD =．在Rt ABD △中，60B ∠=︒，∴26cos603AD AB ==︒．故选B ． 二、填空题11．【答案】<【解析】易得13b =-，232b =，∴12b b <．故答案为<．12．【答案】21y x =--【解析】抛物线21y x =+绕原点旋转180︒，顶点由(0,1)变为(0,1)-，开口方向由向上变为向下，故旋转后抛物线的解析式为21y x =--．故答案为21y x =--．13．【答案】13x -<<【解析】由表格中数据已知，当函数值0y <时，x 的数值范围是13x -<<．故答案为13x -<<．14．【答案】2【解析】设AE x =，则AF x =，又∵CD CF =，BD BE =，∴22024x +=，解得2x =．故2cm AE =．故答案为2．15．【答案】213【解析】设半圆O 的半径为r ．∵AB 是半圆O 的直径，∴90C ∠=︒，∵E 为BC 弧中点，∴OE BC ⊥，∴OE AC ∥，∴22(2)AC OD r ==-，在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∴2224(2)84r r -+=，解得5r =． F EO C D A B13 ∴6AC =，142CD BC ==， ∴22213AD AC CD =+=．故答案 为213．16．【答案】②④【解析】由题意可知，二次函数的图象大致如图所示： 由图可知，0b <，①错误；240b ac ∆=->，∴214ac b <，②正确； ∵1122x ba +-=，121x -<<-， ∴1211222ba --<-<，即01ba <<，∵0a <，∴a b <，③错误． 又∵11cx a ⋅=，121x -<<-， ∴21ca -<<-，∵0a <，∴2a c a -<<-，④正确．故答案为②④．-1-21y x。

初三期中测试数学学科参考答案：一、选择题1、D2、B3、A4、B5、B6、D7、A8、A 二、填空题9、9 10、110 11、-6 12、2 13、（2，1） 14、-3，0 15、90º的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等。

16、③④ 三、解答题17.（1）3,121-=-=x x ；（2）231,23121-=+=x x . 18.2)2(212++-=x y 或x x y 2212--=.19.⊙O 半径的长为25.20.（1）图略 （2）412≤<-y . 21.证明略. 22.（1）6；（2）解：设有x 支球队参加比赛..8,936)1(2121-===-x x x x82-=x 不合题意，舍去. 答：有9支球队参加比赛.23.（1）函数22||y x x =-的自变量x 的取值范围是全体实数． （2）当x >0时函数x x y 22-=，当x <0时函数x x y 22+=.（3）图象略，写出该函数的一条性质：当x >1时，y 随x 增大而增大.(答案不唯一） （4）若直线y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断k 的取值范围为k=-1或k>0． 24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+232y mx mx m =-+.（1） 求抛物线的对称轴；（2） 过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .求点M ，N 的坐标； （3） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内(不包括边界)恰有3个整点，求出m 的取值范围．解：（1） 对称轴为直线x =-1； （2） M （-3,2）；N （1,2）（3）1113223m m <≤≤<-1或-25. （1）①如下图1、图2.②由图1，由∠APB =∠ACB =60°，做等边三角形△APE. 可得△APC ≌△AEB ，可得BP =AP +PC .由图2，同理可得AP =BP +PC . （2）①如下图3、图4；②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.由图3，由∠APB =∠ACB =45°，做等腰直角三角形△APE.可得△CAK ≌△CBP ，可得A P -BP =2PC .由图4，同理可得A P +BP =2PC .图1 FO CABP 图2 KBOAPLBOAP图3图426.答案：（1）B 、C（2）346≤≤DE（3）784<≤b 或478-≤<-b .。

2023-2024学年北京四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（ ）A．36°B．33°C．30°D．27°3．（2分）抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的对称轴是直线（ ）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣3D．x＝34．（2分）关于x的一元二次方程4x2+（4m+1）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（ ）A．1B．0C．﹣1D．﹣25．（2分）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）A．A，B，C都不在B．只有BC．只有A，C D．A，B，C6．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）A．40°B．70°C．80°D．75°7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝x2﹣2ax+4．若A（a﹣1，y1），B （a，y2），C（a+2，y3）为抛物线上三点，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 8．（2分）在一化学实验中，因仪器和观察的误差，使得三次实验所得实验数据分别为a1，a2，a3．我们规定该实验的“最佳实验数据”a是这样一个数值：a与各数据a1，a2，a3差的平方和M最小．依此规定，则a＝（ ）A．a1+a2+a3B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图，AB为⊙O的切线，切点为点A，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是 ．10．（2分）若正六边形的半径等于4，则它的边心距等于 ．11．（2分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O 的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是 ．12．（2分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．13．（2分）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为 ．14．（2分）某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行雨道，如图所示，阴影部分为雨道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设雨道的宽为x米，根据题意可列方程为 ．15．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 ．①abc＞0；②a+b+c＝2；③b＞2a；④b＞1．16．（2分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23题每题5分，第27题7分）17．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）x2﹣1＝2（x+1）．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，1），B（﹣4，2），C （﹣3，3）．（1）平移△ABC，若点A的对应点A1的坐标为（3，﹣1），画出平移后的△A1B1C1；（2）将△ABC以点（0，2）为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A2B2C2；（3）已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 ．19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D在AB上，且BA＝3AD，连接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，连接BE，DE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求线段DE的长度．21．（5分）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O（纸片），其半径为r．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；⑤以AE为边作正方形AEFG．正方形AEFG即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l为⊙O的切线，其依据是 ．（2）由②③可知，AC＝r，AB'＝πr，则MC＝ ，MA＝　（用含r的代数式表示）．（3）连接ME，在Rt△AME中，根据AM2+AE2＝EM2，可计算得AE2＝ （用含r的代数式表示）．由此可得S正方形AEFG＝S⊙O．22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B （3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）当0≤x≤3时，直接写出y的取值范围；（3）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围．23．（5分）如图，AB是⊙O的弦，∠OAB＝45°，C是优弧AB上一点，BD∥OA交CA 延长线于点D，连接BC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AC＝，∠CAB＝75°，求⊙O的半径．24．（6分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：表1 直发式x（dm）024********…y（dm） 3.84 3.964 3.96m 3.64 2.56 1.44…表2 间发式x（dm）024681012141618…y（dm） 3.36n 1.680.840 1.40 2.403 3.203…根据以上信息，回答问题：（1）表格中m＝ ，n＝ ；（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．25．（6分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝5cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 AC/cm0.10.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9CD/cm0.10.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0FD/cm0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.80.5在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是 ．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）与y轴交于点A，与直线x＝﹣4交于点B．（1）若AB∥x轴，求抛物线的解析式；（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（x P，y P），都有y P≥﹣3，求a的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D为AB上一点．过点D作DE⊥AC 于点E，过点D作DF⊥BC于点F，G为直线BC上一点，连接GE，M为线段GE的中点．连接MD，MF，将线段MD绕点M旋转，使点D恰好落在AB边上，记为D'．（1）①在图1中将图形补充完整；②求∠FMD'的度数．（2）如图2所示，，当点G，M，D′在一条直线上时，请直接写出∠GFM 的度数．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为．对于平面内一点A，若存在边长为1的等边△ABC，满足点B在⊙O上，且OC≥OA，则称点A为⊙O的“近心点”，点C为⊙O的“远心点”．（1）下列各点：D（﹣3，0），，，中，⊙O 的“近心点”有 ；（2）设点O与⊙O的“远心点”之间的距离为d，求d的取值范围；（3）直线分别交x，y轴于点M，M，且线段MN上任意一点都是⊙O的“近心点”，请直接写出b的取值范围．2023-2024学年北京四中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2．【解答】解：连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∵∠BCD＝54°，∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，∴∠A＝∠D＝36°．故选：A．3．【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x＝＝1．故选：B．4．【解答】解：∵4x2+（4m+1）x+m2＝0，∴Δ＝（4m+1）2﹣16m2＝16m2+8m+1﹣16m2＝8m+1，∵有实数根，∴8m+1≥0，∴，∴最小整数值为0．故选：B．5．【解答】解：∵AB＝300m，BC＝400m，AC＝500m，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∵点D是斜边AC的中点，∴AD＝CD＝250m，BD＝AC＝250m，∵250＜300，∴点A、B、C都在圆内，∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C．故选：D．6．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，∴∠DAB＝40°，∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∴∠ADE＝70°，故选：B．7．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2ax+4的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，∴A（a﹣1，y1）到对称轴的距离为1，B（a，y2）点为顶点，C（a+2，y3）点到对称轴的距离为2，∴y2＜y1＜y3．故选：D．8．【解答】解：根据题意：要使a与各数据a1，a2，a3差的平方和M最小，这M应是方差；根据方差的定义，a应该为a1，a2，a3的平均数；故a＝．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∵∠ABO＝32°，∴∠AOB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ADC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案为：29°．10．【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCD是正六边形，∴∠OAD＝60°，∴OD＝OA•sin∠OAB＝4×＝2．故答案为：2．11．【解答】解：由切线长定理得，BF＝BG，CM＝CG，DF＝DN，EN＝EM，∴BF+CM＝BG+GC＝BC＝9，∴AF+AM＝25﹣9﹣9＝7，△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DF+AE+EM＝AF+AM＝7，故答案为：7．12．【解答】解：设圆的半径为r m，由题意可知，DF＝CD＝m，EF＝2.5m，Rt△OFD中，OF＝，r+OF＝2.5，所以+r＝2.5，解得r＝1.3．故答案为：1.3．13．【解答】解：由勾股定理得，，则OC2+OD2＝CD2，∴∠COD＝90°，∵四边形OACB是正方形，∴∠COB＝45°，∴，，，∴阴影部分的面积为．故答案为：．14．【解答】解：∵花园长20米，宽18米，且雨道的宽为x米，∴种植花卉的部分可合成长为（20﹣2x）米，宽为（18﹣x）米的矩形．根据题意得：（20﹣2x）（18﹣x）＝306．故答案为：（20﹣2x）（18﹣x）＝306．15．【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x＝﹣＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故①错误，不符合题意；②当x＝1时，函数值为2，∴a+b+c＝2；故②正确，符合题意；③∵对称轴直线x＝﹣＞﹣1，a＞0，∴2a＞b，故③错误，不符合题意；④当x＝﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又∵a+b+c＝2，将a+c＝2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故④正确，符合题意；综上所述，其中正确的结论是②④；故答案为：②④．16．【解答】解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，故点B（4，0），设圆的半径为r，则r＝2，连接PB，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，故答案为：3.5．三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23题每题5分，第27题7分）17．【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝8＞0，∴x＝＝±，所以x1＝+，x2＝﹣；（2）x2﹣1＝2（x+1）．（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，（x+1）（x﹣1﹣2）＝0，x+1＝0或x﹣1﹣2＝0，所以x1＝﹣1，x2＝3．18．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，交于点P，∴旋转中心的坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．19．【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，∴Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：△ABC为等腰三角形，∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，∴三角形的三边长为4、6、6，当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，∴三角形的三边长为6、6、10，②当b＝c时，则方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．还可采取以下方法：由x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0得到（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0，解得x＝2k或k+1，当a＝b＝2k＝6时，则a＝b＝6，k＝3，此时，三角形的边长为6，6，4；当a＝c＝k+1＝6时，则a＝c＝6，k＝5，则x＝2k＝10＝b，此时，三角形的边长为6，6，10；当b＝c时，即2k＝k+1，解得k＝1，则b＝c＝2，此时，三角形的边长，2，2，6（构不成三角形，舍去）∴综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．20．【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD＝∠BCE．在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝6．∵AB＝3AD，∴AD＝2，BD＝4．由（1）可知△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠A＝45°，BE＝AD＝2，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°．在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，∴DE2＝BE2+BD2，∴DE＝＝2．21．【解答】解：（1）∵l⊥OA于点A，OA为⊙O的半径，∴直线l为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）∵以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C，∴AC＝r．∵纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处，∴AB'＝＝πr，∴CB′＝CA+AB′＝r+πr＝（π+1）r．∵M为CB′的中点，∴MC＝CB′＝．∴MA＝MC﹣AC＝﹣r＝．故答案为：；；（3）连接ME，如图，则ME＝MC＝．在Rt△AME中，∵AM2+AE2＝EM2，∴AE2＝EM2﹣AM2＝﹣＝[][]＝πr×r＝πr2．∴S正方形AEFG＝S⊙O．故答案为：πr2．22．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）﹣1≤y≤3．理由如下：当x＝0时，y＝3；当x＝3时，y＝0；又y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，即x＝2时，y有最小值﹣1，∴当0≤x≤3时，y的取值范围为：﹣1≤y≤3；（3）设直线BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0），∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），又∵B（3，0），∴，解得，所以直线BC的表达式为y＝﹣x+3；抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为x＝＝＝2，当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝﹣1，故顶点坐标为（2，﹣1），画出函数图象如图，∵垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），∴y1＝y2，∴x1+x2＝4．令y＝﹣1，代入BC的解析式y＝﹣x+3，得x＝4．∵x1＜x2＜x3，∴3＜x3＜4，∴7＜x1+x2+x3＜8．23．【解答】（1）证明：连接OB，如图．∵OA＝OB，∠OAB＝45°，∴∠1＝∠OAB＝45°，∵AO∥DB，∴∠2＝∠OAB＝45°，∴∠1+∠2＝90°，∴BD⊥OB于B，又∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；（2）解：作OE⊥AC于点E．∵OE⊥AC，AC＝4，∴AE＝＝2．∵∠BAC＝75°，∠OAB＝45°，∴∠3＝∠BAC﹣∠OAB＝30°．∴在Rt△OAE中，OA＝＝＝4．24．【解答】解：（1）由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：m＝3.84；在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设这条直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，3.36）、（8，0）代入，得，解得：，∴这条直线的解析式为y＝﹣0.42x+3.36，当x＝2时，y＝﹣0.42×2+3.36＝2.52，表格2中，n＝2.52；故答案为：3.84，2.52；（2）由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：“直发式“模式下，抛物线的顶点为（4，4），∴设此抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4（a＜0），把（0，3.84）代入，得3.84＝a（0﹣4）2+4，解得：α＝﹣0.01，∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+4；（3）当y＝0时，0＝﹣0.01（x﹣4）2+4，解得：x1＝﹣16（舍去），x2＝24，∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1＝24；“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为（16，3.20），∴设这条抛物线的解析式为y＝m（x﹣16）2+3.2 （m＜0），把（8，0）代入，得0＝m（8﹣16）2+3.2，解得：m＝﹣0.05，∴这条抛物线的解析式为y＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2，当y＝0时，0＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2，解得：x1＝8，x2＝24，∴d2＝24dm，∴d1＝d2，故答案为：＝．25．【解答】解：（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数．故答案为：AC，CD，FD．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知CD＞DF时，3.5cm＜x＜5cm．故答案为：3.5cm＜x＜5cm．26．【解答】解：（1）若AB∥x轴，则A、B关于抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）的对称轴对称，∵抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）与y轴交于点A，与直线x＝﹣4交于点B，∴A（0，3），∴B（﹣4，3），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，∴a＝＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣3；（2）当x＝﹣4时，y＝8a2+16a﹣3，∵y P≥﹣3，∴8a2+16a﹣3≥﹣3，a2+2a≥0，a（a+2）≥0，∴或，解得：a＞0或a≤﹣2；综上所述：a的取值范围是a＞0或a≤﹣2．27．【解答】（1）①补全图形如图1.1；②延长FM、DE，相交于H，如图1.2，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠D'DF＝135°，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠C＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DE∥FC，∴∠H＝∠MFG，∵M为EG中点，∴EM＝GM，∵∠FMG＝∠HME，∴△FMG≌△HME（AAS），∴HM＝FM，∵△FDH是直角三角形，∴DM＝HM＝FM，由题意得：MD＝MD′，∴DM＝D′M＝FM，∴∠MDD′＝∠MD′D，∠MDF＝∠MFD，∴∠FMD′＝360°﹣∠MDD′﹣∠MD′D﹣∠MDF﹣∠MFD＝360°﹣2∠D′DF＝360°﹣2×135°＝90°，即∠FMD'＝90°；（2）∠GFM的度数为15°或75°．理由如下：分两种情况讨论：①如图2.1，连接EF，∵DE＝DF，在Rt△DEF中，tan∠DEF＝＝，∴∠DEF＝30°，∴∠EFC＝30°，由（1）得：∠FMD'＝90°，∴FM⊥EG，∵M为线段GE的中点，∴FM垂直平分EG，∴∠GFM＝∠EFC＝15°；②如图2.2，同①可得：∠GFM＝∠EFC＝（180°﹣30°）＝75°．综上，∠GFM的度数为15°或75°．28．【解答】解：（1）如下图，观察图形可知，∴⊙O的“近心点”有F，G，故答案为：F，G；（2）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0），根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上，当O．B，C在同一直线上，即C也位于x轴上时，点O与⊙O的“远心点“C之间的距离最大，此时OC＝OB+BC＝+1；当A'C'⊥x轴时，点O与⊙O的“远心点”C之间的距离最小，设A'C'与x轴交于点K，∵BC'＝BA'，∴A'K＝C'K＝A'C'＝，∴BK＝＝＝，∴OK＝OB﹣BK＝＝，∴OC'＝＝＝1，综上所述，点O与⊙O的“远心点“之间的距离d的取值范围为：1≤d≤+1；（3）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0），根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上，当AC⊥x轴时，点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最大，设AC与x轴交于点G，∵BC＝BA，∴AG＝CG＝AC＝，∴BG＝＝＝，∴OG＝OB+BG＝+＝，∴OA＝＝＝，当O．，A'，C'在同一直线上，即C也位于x轴上时，点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最小，此时OA'＝OB+A'B＝﹣1，点O与⊙O的“近心点”之间的距离d的取值范围为﹣l≤d≤；对于直线y＝﹣x+b，令x＝0，则y＝b，即N（0，b），令y＝0，则有0＝﹣+6，解得x＝b，M（b，0）；如下图，当b取最大值时，有b＝，解得b＝，当b取最小值时，过点O作OH⊥MN，垂足为H，此时OH＝﹣1，∵M（b，0），N（0，b），∴OM＝b，ON＝b，∴MN＝＝2b，∵S△OMN＝OM•ON＝MN•OH，∴，解得b＝2﹣，∴b的取值范围为2﹣≤b≤．。

2022年北京市西城区北京四中九上期中数学试卷1.下列图标中，是中心对称的是( )A．B．C．D．2.抛物线y=(x+2)2−3的顶点坐标是( )A．(2,−3)B．(−2,−3)C．(−2,3)D．(2,3)3.已知3x=2y，那么下列式子中一定成立的是( )A．x+y=5B．x3=y2C．xy=23D．xy=324.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，则EC的长是( )A．8B．6C．4D．35.如图，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘，得到△AʹBʹC，连接AAʹ，若∠1=25∘，则∠BAC的度数是( )A．10∘B．20∘C．30∘D．40∘6.已知二次函数y=−3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的表达式为( )A．y=−3x2−1B．y=3x2C．y=3x2+1D．y=3x2−17.抛物线y=(x+1)2−2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为( )A．−1B．1C．−2D．28.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A，B，C．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x=−2时，y取最大值；③当m<4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c(k≠0)经过点A，C，当kx+c>ax2+bx+c时，x的取值范围是−4<x<0．其中推断正确的是( )A．①②B．①③C．①③④D．②③④9.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,−1)的抛物线的表达式：．10.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则ac0（填“>”或“=”或“<”）．11.在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为．12. 点 A (−1,y 1)，B (1,y 2) 在二次函数 y =x 2−2x −1 的图象上，则 y 1 与 y 2 的大小关系是 y 1y 2．（用“>”、“<”、“=”填空）13. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体 AB 的高度为 18 cm ，那么它在暗盒中所成的像 CD 的高度应为 cm ．14. 北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华．经测算发现，太和殿，中和殿，保和殿这三大殿的矩形宫院 ABCD （北至保和殿，南至太和门，西至弘义阁，东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域 EFGH 为相似形，若比较宫院与台基之间的比例关系，可以发现接近于 9:5，取“九五至尊”之意．根据测量数据，三大殿台基的宽 (EF ) 为 40 丈，请你估算三大殿宫院的宽 (AB ) 为 丈．15. 已知二次函数 y =ax 2+bx −2 自变量 x 的部分取值和对应的函数值 y 如下表，则在实数范围内能使得 y >1 成立的 x 的取值范围是 ．x ⋯⋯−2−10123⋯⋯y ⋯⋯61−2−3−21⋯⋯16. 如图，点 A 是抛物线 y =x 2−4x 对称轴上的一点，连接 OA ，以 A 为旋转中心将 AO 逆时针旋转 90∘ 得到 AOʹ，当 Oʹ 恰好落在抛物线上时，点 A 的坐标为 ．17.已知二次函数y=x2+bx−3的图象过点(1,0)．求该二次函数的解析式和顶点坐标．18.如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．19.已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．(1) 求证：△AED∽△ACB；(2) 若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．20.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x⋯−4−3−2−10⋯y⋯−50343⋯(1) 求此二次函数的表达式；(2) 画出此函数图象（不用列表）．(3) 结合函数图象，当−4<x≤1时，写出y的取值范围．21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(2,0)，B(3,2)，C(5,−2)．以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△AʹBʹCʹ．(1) 画出△AʹBʹCʹ；(2) 分别写出B，C两点的对应点Bʹ，Cʹ的坐标．22.已知二次函数y=x2−kx+k−1(k>2)．(1) 求证：抛物线y=x2−kx+k−1(k>2)与x轴必有两个交点；(2) 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若△OAC的，求抛物线的解析式．面积是3223.如图，在等边△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA上的点，且满足∠DEF=60∘．(1) 求证：BE⋅CE=BD⋅CF；的值．(2) 若DE⊥BC且DE=EF，求BEEC24.某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=−5x+150．(1) 该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式；(2) 当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？25.小左同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，她在某一时刻立一长度为1米的标杆，测得其影长为0.8米，同时旗杆投影的一部分在地上，另一部分在某一建筑物的墙上，测得旗杆与建筑物的距离为10米，旗杆在墙上的影高为2米，请帮小左同学算出学校旗杆的高度．26.在平面直角坐标系xOy中，点A(−4,−2)，将点A向右平移6个单位长度，得到点B．(1) 直接写出点B的坐标；(2) 若抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式；(3) 若抛物线y=−x2+bx+c的顶点在直线y=x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．27.已知：在等腰直角三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘．D是平面上一点，连接BD．将线段BD绕点B逆时针旋转90∘得到线段BE，连接AE，CD．(1) 在图1中补全图形，并证明：AE⊥CD．(2) 当点D在平面上运动时，请猜测线段AD，CE，AB，BD之间的数量关系．(3) 如图2，作点A关于直线BE的对称点F，连接AD，DF，BF．若AB=11，BD=7，AD=14，求线段DF的长度．28.定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P(a,b)和抛物线y=x2+ax+b，我们称P(a,b)是抛物线y=x2+ax+b的相伴点，抛物线y=x2+ax+b是点P(a,b)的相伴抛物线．如图，已知点A(−2,−2)，B(4,−2)，C(1,4)．(1) 点A的相伴抛物线的解析式为过A，B两点的抛物线y=x2+ax+b的相伴点坐标为；(2) 设点P(a,b)在直线AC上运动：①点P(a,b)的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式．②当点P(a,b)的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．答案1. 【答案】C【解析】A．不是中心对称图形，故此选项错误；B．不是中心对称图形，故此选项错误；C．是中心对称图形，故此选项正确；D．不是中心对称图形，故此选项错误．2. 【答案】B【解析】抛物线y=(x+2)2−3的顶点坐标是(−2,−3)．3. 【答案】C【解析】A．3x=2y，不一定能得到x+y=5，故A错误；B．由x3=y2得到：2x=3y，故B错误；C．由xy =23得到：3x=2y，故C正确；D．由xy =32得到：2x=3y，故D错误．4. 【答案】D【解析】∵AD=6，BD=2，∴AB=AD+BD=8；又∵DE∥BC，AE=9，∴ADAB =AEAC，∴AC=12，∴EC=AC−AE=12−9=3．5. 【答案】B【解析】将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘，得到△AʹBʹC，∴AC=AʹC，∠ACAʹ=90∘,∠BAC=∠BʹAʹC，∴∠AAʹC=∠CAAʹ=45∘．∵∠1=25∘，∴∠BʹAʹC=20∘，∴∠BAC=20∘．故选：B．6. 【答案】D【解析】二次函数y=−3x2+1的图象的顶点坐标为(0,1)，点(0,1)关于x轴的对称点的坐标为(0,−1)，又∵二次函数y=−3x2+1的图象沿x轴翻折后所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，∴所得抛物线的解析式为y=3x2−1．7. 【答案】D【解析】y=(x+1)2−2向上平移a个单位后得到抛物线恰好与x轴有一个交点，∴解析式y=(x+1)2，∴a=2．8. 【答案】B【解析】①由图象可知，抛物线开口向下，∴①正确；②若当x=−2时，y取最大值，则由于点A和点B到x=−2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，∴②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，∴③是正确的；易知直线y=kx+c(k≠0)经过点A，C，当kx+c>ax2+bx+c时，x的取值范围是x<−4或x>0，从而④错误．9. 【答案】y=x2−1（答案不唯一）．【解析】抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．抛物线的解析式为y=x2−1．10. 【答案】<【解析】∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c>0，∴ac<0．11. 【答案】1:4【解析】∵点D，E分别为边AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE:BC=1:2．∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的面积之比为1:4．12. 【答案】>【解析】当x=−1时，y1=x2−2x−1=2；当x=1时，y2=x2−2x−1=−2；∵2>−2，∴y1>y2．13. 【答案】8【解析】∵△ABO∽△CDO，∴ABCD =4520，又∵AB=18cm，∴CD=8cm．14. 【答案】72【解析】设三大殿宫院的宽为x丈，由题意得：x：40=9：5，解得：x=72．故答案为：72．15. 【答案】x<−1或x＞3【解析】∵x=0，x=2的函数值都是−3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x=1．∵x=−1时，y=1，∴x=3时，y=1．根据表格得：自变量x<1时，函数值逐点减小，当x=1时，达到最小，当x>1时，函数值逐点增大，∴抛物线的开口向上，∴y>1成立的x取值范围是x<−1或x>3．16. 【答案】(2,2)或(2,−1)【解析】∵抛物线y=x2−4x对称轴为直线x=−−42=2，∴设点A坐标为(2,m)，如图所示，作AP⊥y轴于点P，作OʹQ⊥直线x=2，∴∠APO=∠AQOʹ=90∘，∴∠QAOʹ+∠AOʹQ=90∘，∵∠QAOʹ+∠OAQ=90∘，∴∠AOʹQ=∠OAQ，又∠OAQ=∠AOP，∴∠AOʹQ=∠AOP，在△AOP和△AOʹQ中，{∠APO=∠AQOʹ,∠AOP=∠AOʹQ, AO=AOʹ,∴△AOP≌△AOʹQ（AAS），∴AP=AQ=2，PO=QOʹ=m，则点Oʹ坐标为(2+m,m−2)，代入y=x2−4x得：m−2=(2+m)2−4(2+m)，解得：m=−1或m=2，∴点A坐标为(2,−1)或(2,2)．17. 【答案】把(1,0)代入y=x2+bx−3得：1+b−3=0，解得：b=2，∴抛物线解析式为y=x2+2x−3，∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，∴抛物线的顶点坐标为(−1,−4)．18. 【答案】∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE．∴BA=BD．∴∠A=∠ADB．∵∠A=∠BDE，∴∠ADB=∠BDE．∴DB平分∠ADE．19. 【答案】(1) ∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△AED∽△ACB．(2)∵△AED∽△ACB，∴AEAC =ADAB，∵AB=6，AD=4，AC=5，∴AE5=46，∴AE=103．20. 【答案】(1) 由表知，抛物线的顶点坐标为(−1,4)，设y=a(x+1)2+4，把(0,3)代入得a(0+1)2+4=3，解得a=−1，∴抛物线的解析式为y=−(x+1)2+4，即y=−x2−2x+3；(2) 函数图象如图所示，(3) 当−4<x≤1时，−5<y≤4．21. 【答案】(1) ∵以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△AʹBʹCʹ，∴Aʹ(4,0)，Bʹ(6,4)，Cʹ(10,−4)；如图画出△AʹBʹCʹ：(2) 由（1）得：Bʹ(6,4)，Cʹ(10,−4)．22. 【答案】(1) ∵Δ=(−k)2−4×1×(k−1)=(k−2)2，又∵k>2，∴(k−2)2>0，即Δ>0，∴抛物线y=x2−kx+k−1与x轴必有两个交点．(2) ∵抛物线y=x2−kx+k−1与x轴交于A，B两点，∴令y=0，有x2−kx+k−1=0，解得：x=k−1或x=1．∵k>2，点A在点B的左侧，∴A(1,0)，B(k−1,0)．∵抛物线与y轴交于点C，∴C(0,k−1)．∵S△AOC=12×1×(k−1)=32，∴k−1=3，解得：k=4，∴抛物线的表达式为y=x2−4x+3．23. 【答案】(1) ∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60∘，又 ∵∠DEF =60∘，∴∠DEF =∠B ．∵∠DEC 是 △DBE 的外角，∴∠DEC =∠B +∠BDE ，即 ∠DEF +∠FEC =∠B +∠BDE ．∵∠DEF =∠B ，∴∠BDE =∠CEF ，又 ∵∠B =∠C ，∴△BDE ∽△CEF ，∴BD CE =BE CF ，∴BE ⋅CE =BD ⋅CF ．(2) ∵△BDE ∽△CEF ，∴BD CE =DE EF ，又 ∵DE =EF ，即 DE EF =1，∴BD =CE ．∵DE ⊥BC ，∴∠DEB =90∘．∵∠B =60∘，∴∠BDE =30∘，∴BE =12BD ， ∴BE EC =BE BD =12．24. 【答案】(1) w =(x −10)(−5x +150)=−5x 2+200x −1500．∵{x −10≥0,−5x +150≥0,∴ 自变量的取值范围为 10≤x ≤30；∴w =−5x 2+200x −1500，其中 10≤x ≤30；(2) w =−5x 2+200x −1500=−5(x −20)2+500.∵a =−5<0，∴ 当 x =20 时，w 有最大值，为 500 元．答：当销售单价定为 20 元时，每月可获得最大利润，最大利润为 500 元．25. 【答案】设墙上的影高 2 米落在地面上时的长度为 x 米，旗杆的高度为 ℎ 米．∵ 某一时刻测得长为 1 米的竹竿影长为 0.8 米，墙上的影高为 2 米，∴10.8=2x，解得 x =1.6（米）． ∴ 树的影长为：1.6+10=11.6（米）．∴10.8=ℎ11.6，解得 ℎ=14.5（米）．答：学校旗杆的高度 14.5 米．26. 【答案】(1) B (2,−2)(2) ∵ 抛物线 y =−x 2+bx +c 经过点 A ，B ，∴{−16−4b +c =−2,−4+2b +c =−2, 解得：{b =−2,c =6.∴ 抛物线表达式为 y =−x 2−2x +6；(3) ∵ 抛物线 y =−x 2+bx +c 顶点在直线 y =x +2 上，∴ 抛物线顶点坐标为 (t,t +2)，∴ 抛物线表达式可化为 y =−(x −t )2+t +2．把 A (−4,−2) 代入表达式可得：−2=−(−4−t )2+t +2．解得：t 1=−3，t 2=−4，∴−4≤t <−3．把 B (2,−2) 代入表达式可得 −(2−t )2+t +2=−2．解得：t 3=0，t 4=5，∴0<t ≤5．综上可知：t 的取值范围时 −4≤t <−3 或 0<t ≤5．【解析】(1) 根据平移的性质，可得：B (2,−2)；27. 【答案】(1) 作图见图 1．∵ 将线段 BD 绕点 B 逆时针旋转 90∘ 得到线段 BE ，∴∠DBE =90∘，BD =BE ．∵∠ABC =90∘，∴∠ABE =∠CBD ．在 △ABE 和 △CBD 中，∵{AB =BC,∠ABE =∠CBD,BE =BD,∴△ABE≌△CBD，∴∠EAB=∠DCB．∵∠AMB=∠CMN，∴∠CNM=∠ABM=90∘，∴AE⊥CD．(2) AD2+CE2=2AB2+2BD2．理由如下：连接ED，如图2．∵AE⊥CD，∴CE2=CN2+NE2，AD2=AN2+ND2，∴AD2+CE2=CN2+NE2+AN2+ND2=(CN2+AN2)+(NE2+ND2)．∵AC2=CN2+AN2，DE2=NE2+ND2，∴AD2+CE2=AC2+DE2．∵AC2=AB2+BC2=2AB2，DE2=BE2+BD2=2BD2，∴AD2+CE2=2AB2+2BD2．(3) 延长EB到G，如图3．∵A和F关于直线BE对称，∴∠ABG=∠FBG，AB=BF．∵AB=BC，∴BC=BF．∵∠ABC=∠DBE=90∘，∴∠ABG+∠CBE=90∘，∠FBG+∠FBD=90∘，∴∠CBE=∠FBD．在△CBE和△FBD中，∵{CB=FB,∠CBE=∠FBD, BE=BD,∴△CBE≌△FBD，∴CE=FD．由（2）可知：AD2+CE2=2AB2+2BD2，∴142+CE2=2×112+2×72，∴CE=12，∴DF=CE=12．28. 【答案】(1) y=x2−2x−2；P(−2,−10)(2) ①由点A，C的坐标得：直线AC的表达式为：y=2x+2，设点P(m,2m+2)，则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶点为：(−12m,−14m2+2m+2)，令 x =−12m ，则 m =−2x ，则 y =−14m 2+2m +2=−x 2−4x +2， 即抛物线 Ω 的解析式为：y =−x 2−4x +2；②如图所示，Ω 抛物线落在 △ABC 内部为 EF 段，抛物线与直线 AC 的交点为点 E (0,2)；当 y =−2 时，即 y =−x 2−4x +2=−2，解得：x =−2±2√2，故点 F(−2+2√2,−2)；故 0<x <−2+2√2，由①知：a =m =−2x ，故：4−4√2<a <0．【解析】(1) a =b =−2，故抛物线的表达式为：y =x 2−2x −2．故答案为：y =x 2−2x −2；将点 A ，B 坐标代入 y =x 2+ax +b 得：{4−2a +b =−2,16+4a +b =−2,解得：a =−2，b =−10． 故答案为：(−2,−10)；。

- 第一学期北京四中初三年级数学期中测试题一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．一元二次方程的解是（）A．B．C．或D．或2．如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，则CE的值为（）A．9B．6C．3D．43．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，则∠AOB的度数为（）A．60°B．120°C．30°D．90°4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．30°C．40°D．50°5．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．700m B．500m C．400m D．300m（5题）（6题）6．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．7．如图⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6则⊙O的半径为（）A．6B．13C．D．8．如图(甲)，扇形OAB的半径OA=6，圆心角∠AOB=90°，C是上不同于A、B 的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点H在线段DE上，且EH=DE．设EC的长为x，△CEH的面积为y，图(乙)中表示y与x的函数关系式的图象可能是（）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．已知⊙O的周长等于6cm，则它的内接正六边形ABCDEF的边长为_______cm．（9题）（10题）10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是__________．11．如图，圆A、圆B的半径分别为4、2，且AB=12．若作一圆C使得三圆的圆心在同一直线上，且圆C与另两个圆一个外切、一个内切，则圆C的半径长可能为__________．12．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：．14．解关于x的方程：x2+4x-2=0．15．丁丁要制作一个形状如图1的风筝，想在一个矩形材料中裁剪出如图2 阴影所示的梯形翅膀，请你根据图2中的数据帮助丁丁计算出BE，CD的长度．（精确到个位，）图1图2 16．请利用直尺和圆规，过定点A作⊙O的切线，不写作法，保留尺规作图的痕迹．17．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，求tanC的值．18．如图，在平行四边形ABCD中过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点且∠AFE＝∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长．16．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系．设该圆弧所在圆的圆心为点D，连结AD、CD．请完成下列问题：①写出点D的坐标：D___________；②D的半径=_____（结果保留根号）；③若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为__________（结果保留π）；④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由．20．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°,∠A=60°，AC=10，试求CD的长．21．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C.（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若EB=AB，，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．22．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．（1）请在所给的图中，画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．（3）若把正方形放在直线上，让纸片ABCD按上述方法旋转，请直接写出经过多少次旋转，顶点A经过的路程是．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的方程（k为常数，且k＞0）．（1）证明：此方程总有两个不等的实数根、；（2）设此方程的两个实数根为、，若，求k的值．24．在△ABC中，点D在线段AC上，点E在BC上，且DE∥AB将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△（使＜180°），连接、，设直线与AC交于点O．（1）如图①，当AC=BC时，:的值为______；（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求:的值；（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值．25．如图，已知点A（0，6），B（4，－2），C（7，），过点B作x轴的垂线，交直线AC于点E，点F与点E关于点B对称．（1）求证：∠CFE=∠AFE；（2）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FBC相似，若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．25．【参考答案】一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. C2. B提示：.3. B提示：四边形AOBP中，∠OAP=∠OBP=90°，∠P＝60°，∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°4. D提示：∠A=∠BOC.5. B提示：易证图中的两个三角形全等.6. D7. C提示：延长AO交BC于点D. ∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD⊥BC，且BD=CD=3，AD=BC=3，∴OD=3-1=2，在Rt△BOD中，勾股定理得OB=.8. A提示：连接OC，∵四边形ODCE是矩形，∴DE=OC=6，∴EH=4，再定性分析即可.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 3 .10.11. 5或7.提示：圆C可能与圆A内切，与圆B外切；也可能与圆B内切，与圆A 外切.12. ≤CP′≤提示：如图，连接CP、BP′，易证△APC≌△AP′B则PC=P′B=1，在等腰Rt△ABC 中，AC=2，∴BC=2在△BCP′中，有＜CP′＜，当三点共线时取到等号，此时不是三角形，但符合题意.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13.14. 提示：用配方法解得：15. 解：在Rt△BEC中，∠BCE=30º,EC=51，∴BE=≈30，AE=64=CF,在Rt△AFD中，∠FAD=45º,FD=FA=51，∴CD=64—51≈13，∴CD=13cm，BE=30cm.16. 如图：17．提示：连接BD，则EF是△ABD的中位线，所以BD=4，在△BCD中，∵，∴△BCD是以D点为直角顶点的直角三角形，∴tanC=.18.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED ，∠B+∠C=180°，∵∠AFE+∠AFD=180，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC.（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=4，又∵AE⊥BC ，∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=，∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴AF=.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.①D（2，0）②.③.设圆锥的底面半径为r，则，∴r=，∴圆锥的底面面积为④相切.理由：∵CD=，CE=，DE=5∴CD2+CE2=25=DE2∴∠DCE=90°即CE⊥CD∴CE与⊙D相切。

ABC D九年级上册期中数学试卷 （时间：120分钟总分：120分）姓名： 班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．已知，则锐角A 的度数是（）A ．B ．C ．D ． 2．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB =1∶2，若DE =2，则BC 等于（）A ．4B ．6C ．12D ．184．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为（）A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+5．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，BC ＝6， AC ＝3，则CD 的长为（ ）A ．1B ．32 C ．2 D ．526．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是（）A ．512B ．5131sin 2A =30︒45︒60︒75︒C．1213D．1257. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将△BCE绕点C旋转得到△ACD，则cos∠ABC的值等于（）A.33 B.21C.31D.1010第7题第8题8.如图，二次函数2y ax bx c=++的图象的对称轴是直线x＝1，则下列结论：①0,0,a b<<②20,a b->③0,a b c++>④0,a b c-+<⑤当1x>时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①③④9. 若抛物线1222-++-=mmmxxy（m是常数）的顶点是点M，直线2+=xy 与坐标轴分别交于点A、B两点，则△ABM的面积等于（）A．6B．3C．25D．2310．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点'P是点P关于BD的对称点，'PP交BD于点M，若BM=x，'OPP△的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）二、填空题（本题共18分，每小题3分）M OP'PDBACxyxyxyxyO OOODA B C48333384844811. 如果23a b b =-，那么ab=________． 12．已知抛物线522+-=x x y 经过两点A （-2，y 1）和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小关系是．13．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为m. 14．已知在△ABC 中，tan A =43，AB =5，BC =4，那么AC 的长等于. 15．若关于x 的一元二次方程0142=-+-t x x （t 为实数）在270<<x 的范围内有解，则t 的取值范围是__________．16．在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，点E ，F 分别为线段BC ，DB 上的动点，且BE DF =．（1）如图①，当52BE =时，计算AE AF +的值等于；（2）当AE +AF 的值取得最小时，请在图②的网格中，用无刻度的直尺画出线段AE 或AF .三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．18．如图，在△ABC 和△CDE 中，∠B =∠D =90°，C 为线段BD 上一点，且AC ⊥CE ．AB =3，DE =2，BC =6．求CD 的长．ADC B EF图①图②CEADB19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，， AC=3.（1）求∠B 的度数；（2）求AB 及BC 的长．20. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x 和y 满(1) 可求得m 的值为；(2) 求出这个二次函数的解析式； (3) 当y >3时，x 的取值范围为.21．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A (1,2)，B (2,1)，C (4,3)，在第一象限内，以原点为位似中心，画出△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使得对应边长变为原来的2倍，并写出点C 1坐标．22．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD ．xCBA23．某宾馆有房间50间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满；当每个房间的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个的房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少元时，宾馆利润最大？24．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE +∠CBE =90°.（1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF ． （i ）求证：△CAE ∽△CBF ； （ii ）若BE =1，AE =2，求CE 的长；k FCEF==时，若BE =1，AE =2，CE =3，则k 的值等于.图1 图225．抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)设点P 是第一象限的抛物线上的一个动点，求出△ABP 面积的最大值； (3)设点Q 是抛物线上的一个动点，若抛物线上有且仅有三个点Q 使m S ABQ =∆，则m 的值等于.A26. 有这样一个问题：探究函数11-+=x x y 的图象与性质. 小东根据学习函数的经验，对函数11-+=x x y 的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数11-+=x x y 的自变量x 的取值范围是___________； (2)下表是y 与x 的几组对应值求m 的值；(3)如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________.x27. 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1+=x y 交于点A ，点A 关于直线1-=x 的对称点为B ，抛物线21:C y x bx c =++经过点A ，B .(1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线22:(0)C y ax a =≠与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象， 求a 的取值范围.28．如图1，△ABC 为等腰直角三角形，∠C =90°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，线段AF ，BE 交于点P ，将线段AF 绕点A 顺时针旋转α（0°≤α≤180°）得到线段AQ .（1）直接写出APPF的值为；（2）如图2，当α=180°时，延长BE 到D 使得ED =BE ，连接QD ，证明QD ⊥BD ；（3）如图3，在旋转过程中，直线AQ 交直线BE 于点M ，当△AMP 为等腰三角形时，△AMP 的底角正切值为.图1 图2图3EBD29．如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时抛物线C 2的顶点在抛物线C 1上，那么我们称抛物线C 1与C 2关联．（1）已知抛物线①122-+=x x y ，判断下列抛物线②122++-=x x y 、抛物线③122++=x x y 与已知抛物线①是否关联；（t ，2）旋转180°得到抛物线C 2，若抛物线C 1与C 2关联，求抛物线C 2的解析式；10-=x 上?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A ABCCBDCBD16．（Ⅰ）561+；（Ⅱ）如图，取格点H ，K ，连接BH ，CK ，相交于点P ．连接AP ，与BC 相交，得点E ．取格点M N ，，连接DM ，CN ，相交于点G ．连接AG ，与BD 相交，得点F ．线段AE ，AF 即为所求．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒232332⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭……………… 3分 1332=+-1.2= ……………… 5分18．解：∵在△ABC 中，∠B =90º，∴∠A +∠ACB = 90º． ∵AC ⊥CE ，∴∠ACB +∠ECD =90º． ∴∠A =∠ECD ． ……………………2分∵在△ABC 和△CDE 中，∠A =∠ECD ，∠B =∠D =90º， ∴△ABC ∽△CDE ．………………………3分 ∴DEBC CDAB =．……………………4分∵AB = 3，DE =2，BC =6，∴CD =1． ……………………5分19．解：（1）∵在△ACD 中，90C ∠=︒，CD =3，AC =3，∴3tan 3CD DAC AC∠==．题号 11 12 131415 16答案 3512y y ＞2474±13<≤-t2615+∴∠DAC =30º．………………………1分∵AD平分∠BAC，∴∠BAC =2∠DAC =60º．……………2分∴∠B =30º．…………………………………3分(2) ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=30º，AC=3，∴AB =2AC =6．………………………4分tan3ACBCB==……………………5分20．解：(1) m的值为 3 ；1分(2) 二次函数为y=a（x-2）2−1 2分∵过点（3，0）∴a=1 y=x2-4x+3 3分(3) 当y>3时，x的取值范围为x<0或x>4 . 5分21. C1坐标（8,6）．22. 3160200+米23．设房价为（180+10x）元利润y=(180+10x）（50-x)-(50-x)20=-10x2 +340x+8000当x=17即房间定价为180+170=350的时利润最大.24.（1）（i）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴∠ACE=∠BCF，∴△CAE∽△CBF．（ii）解：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠CBF，AE：BF＝AC：BC，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=90°，又∵AE：BF＝AC：BC＝2，AE=2，．25．（1）322++-=x x y （2）当=x ABP 面积的最大值是827. （3）82726.27. （3）292<≤a .28．（1）2；（2）作AH ⊥BD 于D ，证明△APH ∽△QPD ，得证；（3） 43，13或3.29.（1）②1分（2）21781218122-+=-+=)x (y ,)x (y 5分（3）)1014310--8分-+-210,(),,(),,4C2(1。

数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）同学们：一分耕耘一分收获，只要我们能做到有永不言败+勤奋学习+有远大的理想+坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（可删除）班级 学号 姓名 分数一、选择题（每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．）1．下列事件是必然事件的是（ ）．A ．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是6B ．掷一枚硬币，正面朝上C ．3个人分成两组，一定有两个人分在一组D ．打开电视，正在播放动画片2．抛物线2(1)2y x =-+可以由抛物线2x y =平移而得到，下列平移正确的是（ ）． A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm ，母线长为50cm ，则圆锥形纸帽的侧面积为（ ）． A ．2250cm πB ．2500cm πC ．2750cm πD ．21000cm π4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关系是（ ）．A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（ ）．A ． 14B ．13C ．34D ．126．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（ ）．A ．(53)，B ．(35)，C ．(54)，D ．(45)，7．抛物线21y x kx =++与2y x x k =--相交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为（ ）． A ．0B． 2 C ．−1 D ．148．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=，6cm CD =， AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度 都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ． 二．填空题（每小题4分，本题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm ．10．函数223(22)y x x x =+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则图中阴影部分的面积是_______________．12． 已知二次函数2y ax bx c =++满足：（1）a b c <<； （2）0a b c ++=；（3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ．①0a < ②0a b c -+< ③0c > ④20a b -> ⑤ 124b a -<三．解答题（每小题5分，本题共30分）13．计算：()3031221250-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π 14．用配方法解方程： 212302x x --=15． 已知221(1)(3)m m y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？ PQ A DCBP AEFDC16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：（1）弦AB 的长； （2） AB⌒ 的长．17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，（1（2）将表中的空白处填写完整；（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象； （4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y=ax 2+bx +c 的值大于0．_______________________18．如图，在△ABC中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D ． （1）求证：BC 是⊙O 切线； （2）若BD =5，DC =3，求AC 的长．xO y四．应用题（19题6分，20题5分，21题4分）19．桐桐和大诚玩纸牌游戏．下图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，桐桐先从中抽出一张，大诚从剩余的3张牌中也抽出一张．桐桐说：若抽出的两张牌的数字都是偶数，你获胜；否则，我获胜．（1）请用列表（或树状图）表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）若按桐桐说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件；若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）五．解答题（本题5分）22．已知如图，正方形AEDG的两个顶点A、D都在⊙O上，AB为⊙O直径，射线线ED与⊙O的另一个交点为C，试判断线段AC与线段BC的关系．六．综合运用（23、25题7分，24题8分）23．已知： 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2−bx +kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1． （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcabb kc +-22)(的值；（3）求证： 关于x 的一元二次方程ax 2−bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根．24．已知：如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB 为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．（1）求B、C两点的坐标；（2）求直线CD的函数解析式；（3）设E、F分别是线段AB、AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：当点E运动到什么位置时，△AEF的面积最大？最大面积是多少？第24题图25．抛物线23A、两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴y ax bx=+-交x轴于B为直线1AB=．x，4=（1）求二次函数23y ax bx=+-的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到CB、两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于NM、两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．初三期中考试参考答案及评分标准 四中一、选择题：（本题共32分，每小题4分）二、填空题：（本题共16分，每小题4分） 9．10． −4， 5 11． 849π- 12． ①②③⑤（少选1个扣1分，多选或选错均不得分）三、 解答题：（本题共30分，每小题5分）13． 计算：()3031221250-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π解：原式=127-…………．．4分（化简运算对一个数给1分）=28……………………5分 14．用配方法解方程：212302x x --= 解：21(4)302x x --= ………．．1分 21(2)52x -= ………．．3分2x -= ∴ 1222x x == ……．．5分15．已知221(1)(3)m m y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？解：依题设，若原函数为二次函数，则有210212m m m +≠⎧⎨--=⎩ (2)解得 m =3………．．．5分16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：（1） 弦AB 的长； （2） AB⌒ 的长． 解：依题设有OC ⊥AB 于C ，又∵AB 为⊙O 的弦∴ AC =BC =12AB ……… 2分连结OA 则 AC =又∵OA =6，OC =3∴ AC =∴ AB =………3分（2）由（1）知，在Rt △ACO 中，OA =6，OC =3 ∴ ∠OAC =30° ∴ ∠AOC =60°∴ ∠AOB =120° ………4分∴ AB ⌒ = 123OA π⋅⋅=4π ………．．5 分17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，下表是x x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0（1 解：由上表可知，二次函数图象的对称轴为直线x =1， 顶点坐标为（1，4） ……1分∴ 二次函数解析式可变形为2(1)4y a x =-- 又由图象过（0，-3），有-3=a -4，解得a =1 ∴ 二次函数解析式为223y x x =-- ．．．．．2分（2）将表中的空白处填写完整； ．．．．．3分（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象； ………4分 （4）根据图象回答：当x 为何值时， 函数y =ax 2+bx +c 的值大于0．x <−1或x >3．．．．．5分18．如图，在△ABC 中，∠C =90°， AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点， 以 OA 为半径的⊙O 经过点D ． （1）求证： BC 是⊙O 切线；（2）若BD =5， DC =3， 求AC 的长． 解：（1）证明： 如图1，连接OD ． ∵ OA =OD ， AD 平分∠BAC ，∴ ∠ODA =∠OAD ， ∠OAD =∠CAD ． ………………1分∴ ∠ODA =∠CAD ．∴ OD //AC ． …………………………………2分∴ ∠ODB =∠C =90︒．∴ BC 是⊙O 的切线． ……………………………3分 （2）解法一： 如图2，过D 作DE ⊥AB 于E ． ∴ ∠AED =∠C =90︒．又∵ AD =AD ， ∠EAD =∠CAD ，∴ △AED ≌△ACD ． ∴ AE =AC ， DE =DC =3．在Rt △BED 中，∠BED =90︒，由勾股定理，得 图2 BE =422=-DE BD ． ………………………………………………………4分 设AC =x （x >0）， 则AE =x ．在Rt △ABC 中，∠C =90︒， BC =BD +DC =8， AB =x +4， 由勾股定理，得 x 2 +82= （x +4） 2． 解得x =6．CAOB EB CAO解法二： 如图3，延长AC 到E ，使得AE =AB ． ∵ AD =AD ， ∠EAD =∠BAD ， ∴ △AED ≌△ABD ． ∴ ED =BD=5．在Rt △DCE 中，∠DCE =90︒， 由勾股定理，得CE =422=-DC DE ． ………… ……………4分 图3在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒， BC =BD +DC =8， 由勾股定理，得 AC 2 +BC 2= AB 2．即 AC 2 +82=（AC +4） 2．解得 AC =6． …………………………………………………………5分19． 解：（1） 树状图为：共有12种可能结果． ··················································································· 3分 （2）游戏公平． ···················································································· 4分 ∵ 两张牌的数字都是偶数有6种结果：（6，10），（6，12），（10，6），（10，12），（12，6），（12，10）．∴ 桐桐获胜的概率P =126=21． ·································································· 5分 大诚获胜的概率也为21． ··········································································· 6分∴ 游戏公平．20．某体育品商店在销售中发现：某种体育器材平均每天可售出20件，每件可获利40元；若售价减少1元，平均每天就可多售出2件．若想平均每天销售这种器材盈利1200元，那么每件器材应降价多少元？若想获利最大，应降价多少？ 解：设若想盈利1200元，每件器材应降价x 元，则有(40)(202)1200x x -+= ……………．2分 可解得1210,20x x ==，答：若想盈利1200元，每件器材降价10元或20元均可 ………．3分 设降价x 元时，盈利为y 元，则 (40)(202)y x x =-+ 0<x <40 ………．4分 解析式可变形为22(15)1250y x =--+ 且 0<15<40由此可知，当降价15元时，最大获利为1250元． …………5分． 21．用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O 的位置． （保留作图痕迹，不写作法）任作2弦 给1分，两条中垂线各1分，标出并写出 点O 即为所求给1分BDCAOE五．解答题（本题5分）22． 已知如图，正方形AEDG 的两个顶点A 、D 都在⊙O 上，AB 为⊙O 直径，射线线ED 与⊙O 的另一个交点为 C ，试判断线段AC 与线段BC 的关系． 解：线段AC 与线段BC 垂直且相等 ………1分 证明：连结AD ………2分 ∵ 四边形AEDG 为正方形 ∴ ∠ADE =45°∵ 四边形ABCD 内接⊙O ∴∠B +∠ADC =180° ……．．．3分 又∵∠ADE +∠ADC =180°∴∠B =∠ADE =45° 又∵AB 为⊙O 直径∴ ∠ACB =90°，即AC ⊥BC ……4分 ∴ ∠BAC =45°∴ AC =BC ……．．5分 23． 解：（1）解：由 kx =x +2，得（k -1） x =2．依题意 k -1≠0．∴ 12-=k x ． ……………………………………1分 ∵ 方程的根为正整数，k 为整数， ∴ k -1=1或k -1=2．∴ k 1= 2， k 2=3． …………………………………………………2分 （2）解：依题意，二次函数y =ax 2-bx +kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a -b +kc ， kc = b -a ．∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.122-=--a ab aba …3分 （3）证明：方程②的判别式为 Δ=（-b ）2-4ac = b 2-4ac ． 由a ≠0， c ≠0， 得ac ≠0．证法一：（ i ）若ac <0， 则-4ac >0． 故Δ=b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根．……4分 （ ii ）若ac >0， 由（2）知a -b +kc =0， 故 b =a +kc ．Δ=b 2-4ac = （a +kc ）2-4ac =a 2+2kac +（kc ）2-4ac = a 2-2kac +（kc ）2+4kac -4ac =（a -kc ）2+4ac （k -1）． …………………………………………………5分 ∵ 方程kx =x +2的根为正实数， ∴ 方程（k -1） x =2的根为正实数．由 x >0， 2>0， 得 k -1>0． …………………………………6分 ∴ 4ac （k -1）>0． ∵ （a -kc ）2≥0，∴Δ=（a -kc ）2+4ac （k -1）>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………7分 证法二：（ i ）若ac <0， 则-4ac >0． 故Δ=b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根． ……4分 （ ii ）若ac >0，∵ 抛物线y =ax 2-bx +kc 与x 轴有交点， ∴ Δ1=（-b ）2-4akc =b 2-4akc ≥0． （b 2-4ac ）-（ b 2-4akc ）=4ac （k -1）． 由证法一知 k -1>0， ∴ b 2-4ac > b 2-4akc ≥0．∴ Δ= b 2-4ac >0． 此时方程②有两个不相等的实数根． …………………7分 综上， 方程②有两个不相等的实数根．证法三：由已知，a b kc =-，∴2222244()(2)4(1)b ac b c b kc b c k c ∆=-=--=-+- 可以证明2b c -和c 不能同时为0（否则0a =），而10k ->，因此20∆>．24．解：（1）∵A （2，0）， ∴OA =2．作BG ⊥OA 于G ，∵△OAB 为正三角形，∴OG =1，BG =3， ∴B （1，3）． ………………………………1分 连AC ，∵∠AOC =90°，∠ACO =∠ABO =60°．90AOC ∠=，∴OC =332． ∴C （0，332）． …………………………………2分（2）∵∠AOC =90°，∴AC 是圆的直径， 又∵CD 是圆的切线，∴CD ⊥AC ． ∴∠OCD =30°，OD =32．∴D （32-，0）． 设直线CD 的函数解析式为y =kx +b （k ≠0）， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==bk b 320332，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3323b k ∴直线CD 的解析式为y =3323+x ．…4分 （3）∵AB =OA =2，OD =32，CD =2OD =34，BC =OC =332，∴四边形ABCD 的周长6+332． 设AE =t ，△AEF 的面积为S ， 则AF =3+33－t ，S =t 43（3+t -33）． ∵S =t 43（3+t -33）=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2337639432t ． ∵点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，∴⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+≤≤≤322333020t t ∴2331≤≤+t …………………………6分 ∴当t =639+时，S 最大=831237+．…………8分（第24题）EF（第24题）25．（1）设抛物线的解析式为2(1)y a x h =-+，∵点(3 0)B ，、0 3C -（，）在抛物线上，∴403.a h a h +=⎧⎨+=-⎩， 解得14.a h =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为22(1)423y x x x =--=--． ……………2分 （2）223(1)(3)y x x x x =--=+-， ∴A （1-，0），B （3，0）． ∴221310AC =+=． ∴P A=PB ，∴PB PC PA PC -=-． ………．．3分 如图1，在△P AC 中，PA PC AC -<，当P 在AC 的延长线上时，10PA PC AC -==． 设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴03.k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得33.k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为33y x =--． 当1x =时，336y =--=-．∴当点P 的坐标为（1，6-）时，PA PC -的最大值为10．……………．5分 （3）如图2，当以MN 为直径的圆与x 轴相切时，N y r =． ∵点N 的横坐标为1r +，∴22(1)2(1)34N y r r r =+-+-=-． ∴24r r -=． 解得11172r +=，21172r -+=． ……………．．7分。