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安徽省青少年科技活动中心
安徽省数学会文件安徽省数学会中数竞赛［2015］03号
关于公布2015年度全国高中数学联赛
安徽省获奖情况的通知
各市科协、教育局、数学会：
根据安徽省数学会中数竞赛［2015］02号文件通知的要求，2015年度全国高中数学联赛工作已顺利完成。
现将获奖情况通知如下：
经安徽省数学会竞赛委员会评卷，全国高中数学联赛组织委员会审定，评出“2015年度全国高中数学联赛”一等奖52名、二等奖487名、三等奖853名。
附：2015年度全国高中数学联赛安徽省获奖名单
安徽省青少年科技活动中心安徽省数学会
二○一五年十月二十二日
2015年度全国高中数学联赛安徽省获奖名单
一等奖
二等奖
三等奖
41
42。
2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1. 函数R ∈++++=-x x x x f x ，e 31)(的最小值是 ．2. 设24211111≥+-==--n x x x x n n n ，．数列}{n x 的通项公式是=n x ．3. 设平面向量βα,满足3|||,||,|1≤+≤βαβα，则βα∙的取值范围是．4. 设)(x f 是定义域为R 的具有周期π2的奇函数，并且0)4()3(==f f ，则)(x f 在]10,0[中至少有 个零点．5. 设a 为实数，且关于x 的方程1)sin )(cos (=-+x a x a 有实根，则a 的取值范围是.6. 给定定点)1,0(P ，动点Q 满足线段PQ 的垂直平分线与抛物线2x y =相切，则Q 的轨迹方程是 ． 7. 设z x yi =+为复数，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，其满足z 的虚部和1z iz--的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集(,)x y 所构成区域的面积是．8. 设n 是正整数．把男女乒乓球选手各n 3人配成男双、女双、混双各n 对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是 ．二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）9. 设正实数b a ,满足1=+b a ．求证：31122≥+++bb a a ．10. 在如图所示的多面体ABCDEF 中，已知CFBE AD ,,都与平面ABC 垂直．设c CF b BE a AD ===，，，1===BC AC AB ．求四面体ABCE 与BDEF 公共部分的体积（用c b a ,,表示）．11.设平面四边形ABCD的四边长分别为4个连续的正整数。
证明：四边形ABCD的面积的最大值不是整数。
2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）二题号一9101112总分得分评卷人复核人注意：1．本试卷共12小题，满分150分；2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线；4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1.函数的最小值是 ．R ∈++++=-x x x x f x ，e 31)(2.设．数列的通项公式是 ．24211111≥+-==--n x x x x n n n ，，}{n x =n x 3.设平面向量满足，则的取值范围是βα,3|||,||,|1≤+≤βαβαβα∙ ．4.设是定义域为的具有周期的奇函数，并且，则在)(x f R π20)4()3(==f f )(x f 中至少有 个零点．]10,0[5.设为实数，且关于的方程有实根，则的取值范围是a x 1)sin )(cos (=-+x a x a a .6.给定定点，动点满足线段的垂直平分线与抛物线相切，则的)1,0(P Q PQ 2x y =Q 轨迹方程是 ．7.设为复数，其中是实数，是虚数单位，其满足的虚部和的实z x yi =+,x y i z 1z iz--部均非负，则满足条件的复平面上的点集所构成区域的面积是(,)x y ．8.设是正整数．把男女乒乓球选手各人配成男双、女双、混双各对，每位选n n 3n 手均不兼项，则配对方式总数是 ．二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）9.设正实数满足．求证：．b a ,1=+b a 31122≥+++bb a a10.在如图所示的多面体中，已知ABCDEF 都与平面垂直．设CF BE AD ,,ABC ，．求四c CF b BE a AD ===，，1===BC AC AB 面体与公共部分的体积（用表示）ABCE BDEF c b a ,,．ABCD ABCD 11.设平面四边形的四边长分别为4个连续的正整数。
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.假如集合.A B 同时满意{}1.2.3.4A B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( )()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按依次排列而成那么A 除以126的余数是( ) 4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足.,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( )5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去全部与55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的依次排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==1+cos871-cos87则():A B =7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种.8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 动身的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按依次)分别为___________________ 11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________三．解答题13.已知椭圆22412:3y x +=Γ与点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试推断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由. 14. 数列{}n x 由下式确定: 112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数局部.)15. 设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满意,ayz bzx cxyp x y z++=其中p为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.07年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、选择题1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D. 第1题解答过程逐个元素考虑归属的选择. 元素1必需同时属于A 与B .元素2必需至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 与B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A . 同理，元素3与4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .所以4个元素满意条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C. 第2题解答过程令)110lg(+=-x y ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f . 令t x =2，则题设方程为)()(1t ft f -=-，即)110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+t t ，1)110)(110(=-+t t ，2102=t ， 2lg 2=t ，解得 2lg 212==t x . 从而 1)2(lg log )2lg 21(log 22-==x . 答：A.第3解答过程留意 972126⨯⨯=,2,7与9两两互质. 因为 0≡A （mod2）, 500102101100++++≡ 2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以6≡A （mod18）. （1） 又因为1103-≡，nn )1(103-≡（mod7）,所以ii i A 3400010)500(⨯-=∑=i i i ）（1)500(4000-⨯-≡∑=100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6300≡=（mod7）. (2)，（1），（2）两式以及7与18互质，知6≡A （mod126）.答：C.另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）（）（11011066--n ，,3,2,1=n 所以499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯= A其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6. 答：C. 第4解答过程易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .明显k u 是首项为k a ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项与.故ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(，3,2,1=k .即b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a ba故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得明显k u 是首项为k a ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项与，故ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ，,3,2,1=k . 于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满意递推关系 ,12k k k u u u +=++ ,3,2,1=k . 所以答案为A. 第5题解答过程{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去全部能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大依次排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的项的个数为其中⎣⎦a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数局部. 估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)1111)(511)(211(---⨯=m 11105421⨯⨯⨯=m m 114=，故 55194112007≈⨯≈m . 又因⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a . 答：B.又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去全部能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大依次排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±± ；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于401111511211110110=-⨯-⨯-⨯=∅）（）（）（）（.）明显1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=⨯中，不能被2，5，11整除的数有20005040=⨯个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a . 答：B .第6题解答过程 明显 287cos 127cos 123cos 12++++++=A留意到 所以 故5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==⨯⨯=B A B A12+=. 答：D.另解：2A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++= ，因为2A 与2B是实数，所以 1sin 5.22cos 22sin 2=A ， 1sin 5.22sin 22sin 2=B ,答：D. 第7解答过程解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a c b <+.易解得 b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<))((c a c a -+=，即ca c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形. 答：4.第8题解答过程留意到22-=x ，22+=y 满意4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π.从而22cos 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83πθ=，83cos)83sin 83(cosπππn i a n n =+=+ 83sinπn i . n a 取实数，当且仅当083sin =πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满意此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos2008-====ππx a a n . 答：-1. 第9题解答过程易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得3327=是奇异数（第一类）；73242⨯⨯=不是奇异数；23369⨯=是奇异数（第二类）； 373111⨯=是奇异数（第二类）； 35125=是奇异数（第一类）；137是质数，不是奇异数；37343=是奇异数（第一类）；221301900899-=-=）（130+=2931130⨯=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160⨯=-）（是奇异数（第二类）； 42119)12020)(120(120180007999233⨯=++-=-=-=是奇异数（第二类）.答：8.第10解答过程解：将向量1AA ，AB ，AD 分别记为a ，b ，c . 2==a 3==b ，4==c ，且易见)(2)(2222⋅+⋅+⋅+++=++=244332432222⨯+⨯+⨯+++==55，故551=AC . 类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33.答：55，19，15，33. 第11题解答过程令t x =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n ；令s y =+1，易见1-=s y ，2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ， ,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ， ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为（1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得 所以)()23()()23()(2339629696y x x z z y y x -=-=-=-⇒0=-⇒=-z y y x z y x ==⇒.代入（1）得所以原方程组的解为31323-===z y x . 答：31323-===z y x . 第12题解答过程.以l T V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 的中点，所以Q P ,分别是DM BN ,的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为)(2l NPQD l ADN l ABCD V V V V --∆-+==平行四边形平行四边形.由于2324===AD BD AB ，，，易见 3090=∠=∠DBA ADB ，，73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .明显CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FNDF >.且21727322==⨯==∆AO DO AD AO S DF ADO ，74716712422==-=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得 又71074147472=-=-=-=AF AC CF ，7==AO CO ，QO DF CO CF ::=， 215171021727=÷⨯=⨯=CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得ππππ71225657122534310007)2574940(7)72521710712(3=-⨯=-=⨯-⨯=.从而答：所求体积为1757302π：第13题解答过程解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m . 这是 y 的一元二次方程，由判别式0≥∆解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则 4324221+-=+m m y y ，4336221+=m y y . 由题设条件，02121<+=⋅y y x x ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ， 得16)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即016432444336)1(222<++-⋅++⋅+m m m m m ，即 0)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m ， 3252>m ， 253)1(2<m ，5353<<-m . 故l 的斜率的取值范围为)53,53(-. 因为F (1,0),所以）（111,1y x --=，）（22,1y x -=，从而 ∴1FA 与FB 共线， 即1A 与F 、B三点共线.III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，假如1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 与1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P 与Q 重合，4=q ，与假设冲突.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线.第14题解答过程 14.解：n n n n n x x x x x 1212121+=+=+， 22211441nn n x x x ++=+，故∑∑==++=-20061220061221)1(4)11(n n n nn x x x，亦即80244112006122122007∑=+=-n n x x x ， 由11=x 得 80254120061222007∑=+=n n x x .（*） 由于112121<+=+n n n x x x ，,,3,2,1 =n 且明显0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 故∑∑==++=2006322200612)31(1n n n nx x151********911)113(911200632<⨯++=++<∑=n ，由（*）式得 第15题解答过程证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满意0,,>c b a ，以及 因此，由平均不等式可知 从而22222222222)(])[(])[(])[(P zcxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即===z y x cb a P++.因此所求的S 的最大值为c b a P ++2，当S 取最大值时，===z y x cb a P++.（第13题答图） （第10题答图）（第12题答图）2008年安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题1.若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象重合，则（ ） （A ）()()1g x f x -=-（B ）()()1g x f x -=（C ）()()1g x f x -=--（D ）()()1g x f x -=-2.平面中，到两条相交直线的间隔 之与为1的点的轨迹为（ ） （A ）椭圆 （B ）双曲线的一局部 （C ）抛物线的一局部（D ）矩形3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++最接近的是（ ）y yA AB CDBCD A BC D Q MP N OF E（A ）-2008 （B ）-1 （C ）1 （D ）20084.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)解答集锦全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）高中数学联赛篇一：2015年全国高中数学联赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x) x2 ax b满足f(a) f(b)，则f(2)的值为2.若实数满足cos tan ，则1 cos4 的值为sin3.已知复数数列{zn}满足z1 1,zn 1 zn 1 ni(n 1,2,3, )，其中i为虚数单位，zn 表示zn的共轭复数，则z2015的值为4.在矩形ABCD中，AB 2,AD 1,边DC（包含点D,C）上的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足DP BQ,则向量PA与向量PQ的数量积PA PQ的最小值为5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy中，点集K (x,y)(x 3y 6)(3x y 6) 0所对应的平面区域的面积为7.设为正实数，若存在a,b( a b 2 )，使得sin a sin b 2，则的取值范围是8.对四位数abcd(1 a 9,0 b,c,d 9)，若a b,b c,c d，则称abcd为P类数，若a b,b c,c d，则称abcd为Q类数，用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P) N(Q)的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a 4b 2c,4a 2b 4c，求c的最小值.10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得31 aa1 i j 4 24, 2, , ,1,3 ，求a1 a2 a3 a4的值. ij 28x211.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆y2 1的左、右焦点，2设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）一、（本题满分40分）设a1,a2, ,an(n 2)是实数，证明：可以选取1, 2, , n 1, 1 ，使n2 得ai iai (n 1) ai . i 1 i 1 i 1二、（本题满分40分）设S A1,A2, ,An ，其中A1,A2, ,An是n个互不相同的有限集合（n 2），满足对任意的Ai,Aj S，均有Ai Aj S，若k minAi 2.证明：存在x Ai，1 i ni 1nn2n2使得x属于A1,A2, ,An中的至少n个集合（这里X表示有限集合X 的元素个数）.k 上一点，点K在线段AP上，使得三、（本题满分50分）如图，ABC内接于圆O，P为BCBK平分ABC，过K,P,C三点的圆与边AC交于D，连接BD交圆于点E，连接PE并延长与边AB交于点F.证明：ABC 2 FCB.（解题时请将图画在答卷纸上）四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：(kn)!对任意正整数n，2(k 1)n 1不整除.n!高中数学联赛篇二：高中数学联赛基本知识集锦高中数学联赛基本知识集锦一、三角函数常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++,于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34．解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l)（其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =u u u r u u u r 得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---u u u r u u u r,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥u u u r u u u r ．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=u u u r u u u r ．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤．有36x y +≤,故先考虑1K 在第一象限中的部分，此时这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ．答案：9513[,)[,)424w ∈+∞U ．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式．当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况： (i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞U ． 8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题（考试时间：2015年7月4日上午9：00-11:30）一．填空题（每题8分，共64分）1.已知函数()|1||3|,x f x x x e x R -=++++∈，那么这个函数的最小值是 .2.一个数列{}n x ，满足11111,,224n n n x x x n x ---==≥+ ，那么这个数列{}n x 的通项公式是 。
3.已知向量,,1||,||,||3αβαβαβ≤+≤，则αβ的范围是 。
4.函数()f x 是定义域为R ，周期为2π的奇函数，有f (3)=f(4)=0,则该函数在[0,10]上的零点个数至少是5.已知,(cos )(sin )1a R a x a x ∈+-=有实根，那么a 的范围是 。
6.在平面直角坐标系中有一点P （0,1），Q 点满足PQ 的中垂线与函数2y x =相切，那么Q 点的轨迹方程是 。
7.已知复数z x yi =+，z 的虚部和1z i z--的实部都大于等于0，那么在复平面内满足条件的（x ，y ）构成的图形面积为 。
8.对任意的正整数n ，从男女乒乓球选手中各选配男双、女双、混双各n 对，且每位选手不兼项，那么各种配对的方法总数为 。
二．解答题（第9、10题每题21分，第11、12题每题22分，共86分）9.已知,,1,a b R a b +∈+=3≥。
10.如图，AD 、BE 、CF 都垂直于平面ABC ，AD=a, BE=b, CF=c, AB=AC=BC=1,求四面体ABCE 和四面体BDEF 的公共部分体积（用a, b, c 表示）11.平面四边形ABCD 四边长分别为四个连续整数，求证：ABCD 面积的最大值不是整数。
12.已知31位学生参加一次考试，共10题，每人至少做出6道题，证明：存在两名学生，做出的题目中至少有5题相同。
B。
2015全国高中数学联赛安徽省初赛试卷（考试时间：2015年7月4日上午9:00—11:30）注意： 1．本试卷共12小题，满分150分； 2．请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线； 4．不得使用计算器．一、填空题（每题8分，共64分）1. 函数R ∈++++=-x x x x f x ，e 31)(的最小值是 ．2. 设24211111≥+-==--n x x x x n n n ，．数列}{n x 的通项公式是=n x ．3. 设平面向量βα,满足3|||,||,|1≤+≤βαβα，则βα∙的取值范围是．4. 设)(x f 是定义域为R 的具有周期π2的奇函数，并且0)4()3(==f f ，则)(x f 在]10,0[中至少有 个零点．5. 设a 为实数，且关于x 的方程1)sin )(cos (=-+x a x a 有实根，则a 的取值范围是.6. 给定定点)1,0(P ，动点Q 满足线段PQ 的垂直平分线与抛物线2x y =相切，则Q 的轨迹方程是 ． 7. 设z x yi =+为复数，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，其满足z 的虚部和1z iz--的实部均非负，则满足条件的复平面上的点集(,)x y 所构成区域的面积是 ．8. 设n 是正整数．把男女乒乓球选手各n 3人配成男双、女双、混双各n 对，每位选手均不兼项，则配对方式总数是 ．二、解答题（第9题20分，第10━12题22分，共86分）9. 设正实数b a ,满足1=+b a ．求证：31122≥+++bb a a ．10. 在如图所示的多面体ABCDEF 中，已知CFBE AD ,,都与平面ABC 垂直．设c CF b BE a AD ===，，，1===BC AC AB ．求四面体ABCE 与BDEF 公共部分的体积（用c b a ,,表示）．11.设平面四边形ABCD的四边长分别为4个连续的正整数。
证明：四边形ABCD的面积的最大值不是整数。
12.已知31位学生参加了某次考试，考试共有10道题，每位学生解出了至少6道题．求证：存在两位学生，他们解出的题目中至少有5道相同．试题解答一、填空题（每题8分，共64分）1. 当3-≤x 时，,e 42)(x x x f -+--=0e 2)(<--='-x x f , 因此)(x f 单调减；当13-≤≤-x 时，,e 2)(x x f -+= 0e )(<-='-x x f ，此时)(x f 亦单调减；当1-≥x 时，x x x f -++=e 42)(，x x f --='e 2)(. 令0)(='x f 得.2ln -=x 因此)(x f 在2ln -=x 处取得最小值6-2ln2．2. 设x a v x a u sin cos -=+=，．方程有实根⇔双曲线1=uv 与圆1)()(22=-+-a v a u 有公共交点. 注意到圆的圆心位于直线x y =之上，只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 易计算得，圆与双曲线切于A(1,1)点时，圆心坐标为2/21-或2/21+.圆与双曲线切于B(-1,-1)点时，圆心坐标为2/21--或2/21+-.因此，a 的取值范围为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---∈221,221221,221 a ．3. 由4213111++=+--n n n x x x 和421221211++=+--n n n x x x ，可得2112312123121---⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=++n n n n n x x x x ．故222223232-----⋅-=n n n n n x ． 4. ()217299121222-=--≥--+=∙βαβαβα．()494122≤--+=∙βαβαβα．以上等号均可取到．故βα∙的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-49,217．5. 由题设可知)()()(x f x f x f --=+-=+πππ。
令x=0得0=)(πf 。
另一方面，0.)4()4()42(=-=-=-f f f π 类似地，03)-f(2=π 因此，)(x f 在]10,0[中的零点一定包含34,3,32,44,2,4,32,,3,420-+---ππππππππ,这11个零点．6. 设PQ 的垂直平分线l 与抛物线2x y =相切于),(2t t ，切向为)2,1(t . 则l 的方程为2)(2t t x t y +-=．设),(y x Q ，由PQ 与l 垂直且PQ 中点在l 上，可得⎩⎨⎧-=+=-+②①221)1(0)1(2t tx y y t x ． 由①解得yxt 22-=，代入②得Q 的轨迹方程为 0)1)(1(2)12(22=-++-y y x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,1y ．7. 0)1()1()1(i 1i )1(Re 1i Re22≥+----=---+=--yx yy x x y x y x z z 等价于 21221221)()(≤-+-y x . 又由于0≥y，故满足条件的点集构成了圆的一部分，计算得其面积为823+π．8. 从3n 名男选手中选取2n 人作为男双选手有23n n C 种选法，把他们配成n 对男双选手有(2)!2!n n n 种配对方式。
女选手类似。
把n 个男选手和n 个女选手配成n 对混双有n!种配对方式。
因此，配对方式总数是n n n nn n n n n n C C 2322232)!()!3(!2!=⎪⎭⎫ ⎝⎛．二、 解答题（第9题20分，第10━12题每题22分，共86分）9. 证明：对任意)1,0(∈a ，由均值不等式有 .414214=⨯≥+aa aa ----------------------------------（5分）因此，a a a aa a a a a -=+-≥++-=+2441441222．------------（15分）同理，对于任意)1,0(∈b ，.212b bb -≥+因此，3221122=-+-≥+++b a bb a a ．---------------------（20分）10. 设H CE BF G BD AE == ，，则四面体BEGH 是ABCE 与BDEF 的公共部分．-----------------------------------------------------（5分） 易计算得：G 到直线AB 的距离ba abd +=1，---------------------------------（10分） G 到平面BCFE 的距离ad d 2312=， ------------------------------------------（15分） H 到直线BC 的距离c b bc d +=3，23d b S BEH -=∆．----------------（20分） 因此，))((123332c b b a bd S V BEH BEGH ++==∆．---------------------（22分）11. 不妨设ABCD 是凸四边形，其面积为S ．记DA d CD c BC b AB a ====，，，。
由Dcd d c B ab b a AC D cd B ab S cos 2cos 2，sin 21sin 2122222-+=-+=+=， 可得Dcd B ab d c b a D cd B ab S cos cos 2/)(，sin sin 22222-=--++=，--------------（8分）两遍平方和得．))()()((41)(41)()(41)cos(2)()(422222222222222d c b a c d b a b d c a a d c b d c b a cd ab d c b a D B abcd cd ab S -++-++-++-++=--+-+≤--+-+-+= 等号成立当且仅当π=+D B ，即D C B A ,,,四点共圆--------------------（16分）现根据假设d c b a ,,,为四个连续整数).1(3,2,1,≥+++n n n n n 由此)3)(2)(1(+++=n n n n S . 显然 .13322++<<+n n S n n 因此，S 不是整数。
----------------------------------------------------（22分）12. 证明：设S 是所有试题的集合，i S 是第i 位学生解出的试题的集合，i i S S T \=．题目即证存在j i ≠使得5≥j i S S ．--------------------------------（5分）不妨设i T S i i ∀==，，4 6．S 共有120310=C 个三元子集，每个i T 恰包含4个三元子集．因此，存在j i ≠使得j i T T ,包含相同的三元子集，3≥j i T T ．---（15分）从而，52≥+=-+=j i j i j i j i T T S S S S S S ．-----------------（22分）。
