2018届人教B版(文) 概率统计 检测卷

【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013 新课标全国】为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.70.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？【解析】（1）利用平均数公式进行计算；（2）绘制茎叶图，进行观察.2.【2014高考全国1文】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【解析】（1）（2）质量指标值的样本平均数为x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.800.06900.261000.381100.221200.081003. 【2015全国II 文18)】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得出A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图满意度评分频率/组距1009080706050400.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005(1)在答题卡上作出地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,给出结论即可）.0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0405060708090100频率/组距满意度评分B 地区用户满意度评分的频率分布直方图4.【2015全国I 文19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.年宣传费/千元年销售量/t 620600580560540520500480565452504846444240383634表中i w =,8118i i w w ==∑（1）根据散点图判断,y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可,不必说明理由）；（2II ）根据（1）的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与,x y 的关系为0.2z y x =-,根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费49x =时,年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大？附：对于一组数据()11,u v ,()22,u v , ,(),n n u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑, v u αβ=-. 解析（1）由散点图变化情况选择y c =+较为适宜.6.8=,即26.846.24x ==（千元）时,年利润的预报值最大, 【热点深度剖析】1.纵观2013年和2014年2015年的高考题对本热点的考查，可以发现概率和统计、统计案例相结合是高考命题的热点， 2013年考查了茎叶图、利用样本数据估计总体，考查学生的数据处理能力，这也体现了高考对新课标的新增内容的要求，试题难度不大，但是要求同学们对相关的基础知识掌握必须准确，2014年考查了频率分布表，频率分布直方图，平均数与方差的计算，主要考查生活中的概率统计知识和方法. 2015年分别考查了频率分布直方图、线性回归分析.从近几年的高考试题来看，古典概型、频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题考查知识点较单一，解答题考查得较为全面，常常和概率、平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解决问题的能力．独立性检验、回归分析高考对此部分内容考查较少，主要是以小题形式考查独立性检验、回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想，在高考中多为选择、填空题，也有解答题出现．，根据近三年高考趋势预测2016年高考，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差仍然是考查的热点，由于连续3年大题都没考古典概型、独立性检验，故应注意和概率知识的结合，同时应注意独立性检验在实际生活中的应用，有可能涉及一道与独立检验有关的大题． 【重点知识整合】 一，统计初步1.简单随机抽样简单随机抽样是不放回抽样，被抽取样本的个体数有限，从总体中逐个地进行抽取，使抽样便于在实践中操作．每次抽样时，每个个体等可能地被抽到，保证了抽样的公平性．实施方法主要有抽签法和随机数法． 2.系统抽样(1)定义：当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样，也称作等距抽样．(2)系统抽样的步骤：①编号．采用随机的方式将总体中的个体编号．②分段．先确定分段的间隔k .当N n (N 为总体中的个体数，n 为样本容量)是整数时，k ＝Nn ；当Nn 不是整数时，通过从总体中随机剔除一些个体使剩下的总体中个体总数N ′能被n 整除，这时k ＝N ′n .③确定起始个体编号．在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号S .④按照事先确定的规则抽取样本．通常是将S 加上间隔k ，得到第2个个体编号S ＋k ，再将(S ＋k )加上k ，得到第3个个体编号S ＋2k ，这样继续下去，获得容量为n 的样本．其样本编号依次是：S ，S ＋k ，S ＋2k ，…，S ＋(n －1)k . 3．分层抽样(1)定义：当总体由有明显差别的几部分组成时，按某种特征在抽样时将总体中的各个个体分成互不交叉的层，然后按照各层在总体中所占的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样．分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取．分层抽样要求对总体的内容有一定的了解，明确分层的界限和数目，分层要恰当． (2)分层抽样的步骤①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样(方法可以不同)；④汇合成样本．(3)分层抽样的优点分层抽样充分利用了己知信息，充分考虑了保持样本结构与总体结构的一致性．使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用． 4.绘制频率分布直方图把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，纵轴表示“频率/组距”，数据落在各小组内的频率用小矩形的面积表示，各小矩形的面积总和等于1. 5．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图．茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示，但当样本数据较多时，茎叶图就不太方便．6．平均数、中位数和众数(1)平均数：一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数．(2)中位数：如果将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的一个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间两个数的平均数，是这组数据的中位数．(3)众数：出现次数最多的数(若有两个或几个数据出现得最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数)．(4)在频率分布直方图中，最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．而在频率分布直方图上的中位数左右两侧的直方图面积应该相等，因而可以估计其近似值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．7．方差、标准差(1)设样本数据为x 1，x 2，…，x n 样本平均数为x －，则s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝1n [(x 12＋x 22＋…＋x n 2)－n x 2]叫做这组数据的方差，用来衡量这组数据的波动大小，一组数据方差越大，说明这组数据波动越大．把样本方差的算术平方根叫做这组数据的样本标准差．(2)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，其中极差反映了一组数据变化的最大幅度．方差则反映一组数据围绕平均数波动的大小． 8.两个变量的线性相关 (1)散点图将样本中n 个数据点(xi ，yi )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图．利用散点图可以判断变量之间有无相关关系． (2)正相关、负相关如果散点图中各点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．反之，如果两个变量的散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 9．回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：①画散点图，②求回归直线方程，③用回归直线方程作预报．(1)回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． (2)回归直线方程的求法——最小二乘法．设具有线性相关关系的两个变量x 、y 的一组观察值为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，则回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 的系数为：⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x ·y ∑i ＝1n x i 2－n x 2＝∑i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n (x i －x －)2a ^＝y －－b ^x其中x －＝1n ∑i ＝1n x i ，y －＝1n ∑i ＝1n y i ，(x －，y －)称作样本点的中心．a ^，b ^表示由观察值用最小二乘法求得的a ，b 的估计值，叫回归系数． 10.独立性检验(1)若变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，则这些变量称为分类变量． (2)两个分类变量X 与Y 的频数表，称作2×2列联表.二．随机事件的概率1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件. (1)在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母,,,A B C 表示． 2．频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n=为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，把这个常数记作()p A ，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 3．互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即A B 为不可能事件(A B φ= )，则称事件A 与事件B 互斥，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生．一般地，如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥.对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即A B 为不可能事件，而A B 为必然事件，那么事件A 与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件. 4.事件的关系与运算5.随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作()p A .由定义可知()01p A ≤≤，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：()01p A ≤≤. (2)必然事件的概率：()1p A =. (3)不可能事件的概率：()0p A =. (4)互斥事件的概率加法公式：①()()()p A B p A p B =+ (,A B 互斥)，且有()()()1p A A p A p A +=+=． ②()()()()1212n n p A A A p A p A p A =+++ (12,,,n A A A 彼此互斥)． (5)对立事件的概率：()()1P A P A =-． 三．古典概型1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n1.如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=nm . 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.四．几何概型1．（1）随机数的概念：随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的. （2）随机数的产生方法①利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；②在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数. 2.几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为为几何概率模型，简称几何概型．（2）特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； ②等可能性：每个结果的发生具有等可能性． （3）几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式()p A =构成事件A 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.（4）求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答.一般与线性规划知识有联系.3．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为： P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为： P=v 的体积/V 的体积 五．条件概率 1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号()/p B A 来表示，其公式为()()()/p AB p B A P A =.在古典概型中，若用()n A 表示事件A 中基本事件的个数，则()()()/n AB p B A n A =. (2)条件概率具有的性质： ①()0/1p B A ≤≤；② 如果B 和C 是两互斥事件，则()()()///p B C A p B A p C A =+ ． 2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则()()/p B A p B =，()()()()()/p AB p B A P A P A P B =⋅=⋅．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(4)若()()()p AB P A P B =⋅，则A 与B 相互独立．【应试技巧点拨】 1.三种抽样方法的比较2．样本频率直方图与样本的数字特征在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；中位数的估计值，应使中位数左右两边的直方图面积相等；最高小长方形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．3．方差是刻画一组数据离散程度的量，方差越大，这组数据波动越大，越分散．讨论产品质量、售价高低、技术高低、产量高低、成绩高低、寿命长短等等问题，一般都是通过方差来体现．5.判断两变量是否有相关关系很容易将相关关系与函数关系混淆．相关关系是一种非确定性关系，即是非随机变量与随机变量之间的关系，而函数关系是一种因果关系.6．求回归方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意回归直线方程中一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同)7．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出回归直线方程．8．独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的随机变量，对假设的正确性进行判断．【考场经验分享】1.进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性应相同；(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．2.在作茎叶图时，容易出现茎两边的数字不是从小到大的顺序排列，从而导致结论分析错误，在使用茎叶图整理数据时，要注意：一是数据不能遗漏，二是数据最好按从小到大顺序排列，对三组以上的数据，也可使用茎叶图，但没有表示两组记录那么直观、清晰．3．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．4．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．5．r的大小只说明是否相关并不能说明拟合效果的好坏，R2才是判断拟合效果好坏的依据．6．独立性检验的随机变量K2＝2.706是判断是否有关系的临界值，K2<2.076应判断为没有充分证据显示X与Y有关系，而不能作为小于90%的量化值来判断．7. 概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．8．在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了．9．相当一类概率应用题都是比如掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质．【名题精选练兵篇】1.【2016广西钦州上学期期末,文18】某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏,但可见部分如下,据此解答如下问题：（Ⅰ）求分数在[50,60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80,90）之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90）间的矩形的高；（Ⅲ）若规定：90分（包含90分）以上为优秀,现从分数在80分（包含80分）以上的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率．2.【2016河北唐山二模,文18】二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝i ＝1∑x i y i －n ·x-y -ni ＝1∑x 2i －nx-2,a ˆ＝y -－b ˆx -．） （Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测x 为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？ 解：（Ⅰ）由已知：x -＝6,y -＝10,5i ＝1∑x i y i ＝242,5i ＝1∑x 2i＝220, ^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx-y -ni ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45,a ˆ＝y -－^b x-＝18.7；所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2) ＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5＝－0.05(x －3)2＋1.95,所以预测当x ＝3时,销售利润z 取得最大值．3．【2016吉林长春质量监测二,文18】近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为35,对服务的好评率为34,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥4.【2016辽宁省沈阳质量监测一,文19】为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为25． （Ⅰ）求22 列联表中的数据x ,,,的值；（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？ （Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？未发病发病 合计未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y B合计505010010000005016.6710.8285020603==≈>⨯⨯．所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.5.【2016新疆乌鲁木齐一诊,文19】某城市居民月生活用水收费标准为未注射 注射未注射 注射1.6,022.7,23.54.0,3.5 4.5t t W t t t t t ≤<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩（）=（t 为用水量,单位：吨；W 为水费,单位：元）,从该市抽取的100户居民的月均用水量的频率分布直方图如图所示.(I)求这100户居民的月均用水量的中位数及平均水费；（II ）从每月所交水费在14元-18元的用户中,随机制取户,求2户的水费都超过16元的概率.()()0.50 2.250.28 2.750.12 3.25 2.70.08 3.750.04 4.2540.5⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⎤⎦5.05275=（元） …6分6. 【山东省青岛市2015届高三上学期期末】右图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人 （I ）求该专业毕业总人数N 和90~95分数段内的人数n ；（II ）现欲将90~95分数段内的n 名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率.【解析】 (Ⅰ)8090 分数段频率为1(0.040.03)50.35p =+⨯=,此分数段的学员总数为21人所以毕业生的总人数N 为21600.35N ==，9095 分数段内的人数频率为21(0.010.040.050.040.030.01)50.1p =-+++++⨯=所以9095 分数段内的人数600.16n =⨯=；(Ⅱ) 9095 分数段内的6人中有两名男生,4名女生，设男生为12,A A ;女生为1234,,,B B B B ,设安排结果中至少有一名男生为事件A ，从中取两名毕业生的所有情况(基本事件空间)为121112131421222324121314232434;;;;;;;;;,,;;;;A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B 共15种组合方式,每种组合发生的可能性是相同的，其中, 至少有一名男生的种数为121112131421222324;;;;;;;;;A A A B A B A B A B A B A B A B A B 共9种，所以,93()155P A ==. 7.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，预测8t =时，细菌繁殖个数. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：。

阶段质量检测（三）概率（时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子,两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉;③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，第二次生男孩；⑤在标准大气压下，水加热到90 °C会沸腾．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ①③④都有可能发生，也可能不发生,故是随机事件；对于②,在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉，这是一定会发生的事件，属于必然事件．对于⑤，在标准大气压下,水加热到90 °C会沸腾,是不可能事件．故选C.2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A．至少有一个黑球与都是红球B．至少有一个黑球与都是黑球C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析:选D A中的两个事件是对立事件，不符合要求;B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求;C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球"这一事件，不是互斥事件；D中是互斥而不对立的两个事件．故选D。

3．从分别写有A，B,C,D,E的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为（）A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!解析:选B 试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是相邻字母的有(A，B）,（B，C)，（C，D)，(D，E）4种，故P＝错误!＝错误!。

4．在正方体ABCD。

A1B1C1D1中随机取一点，则点落在四棱锥O。

ABCD内（O为正方体的对角线的交点）的概率是（）A。

错误! B.错误!C.12D.错误!解析：选B 设正方体的体积为V，则四棱锥O。

ABCD的体积为错误!,所求概率为错误!＝错误!.5．在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2 m的概率为（)A。

第十章 综合过关规范限时检测(文)(时间：120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次，若用A 表示投进球这一事件，则A 的 ( B )A ．概率为45B ．频率为45C ．频率为8D ．概率接近0.8[解析] 投球一次即进行一次试验，投球10次，投进8次，即事件A 的频数为8，所以A 的频率为810＝45.2．(2016·河北衡水郑口中学模拟)一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 ( C )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶[解析] “至少有一次中靶”即为“一次中靶”或“两次中靶”，根据互斥事件是不能同时发生的这一定义知应选C ．3．(2016·河北三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为 ( D )A ．34B ．710C ．45D ．35[解析] 设2个红球分别为a 、b,3个白球分别为A 、B 、C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )(B ，C )，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35.4．(2017·福建省三明市清流一中期中数学试题)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( B )A ．12B ．512C ．14D ．16[解析] 根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝23×14＋13×34＝512，故选B ．[点拨] 本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系(对立，互斥，相互独立)．5．(2016·武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为 ( D )A ．34B ．23C ．13D ．14[解析] 因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0<4x －3≤1，即34<x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14，故选D ． 6.(2016·甘肃张掖一诊)如图所示，以边长为1的正方形ABCD 的一边AB 为直径在其内部作一半圆．若在正方形中任取一点P ，则点P 恰好取自半圆部分的概率为 ( D)A ．π2B ．12C ．π4D ．π8[解析] 所求概率P ＝12×π×(12)21×1＝π8.故选D ．7．(2017·福建省福州市外国语学校高三上学期适应性(一)数学试题)某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是 ( C )A ．710B ．67C ．47D ．25[解析] 设“某次射中”为事件A ，“随后一次的射中”为事件B ，则P (AB )＝0.4，P (A )＝0.7，利用P (B |A )＝P (AB )P (A )可得结论． 解：设“某次射中”为事件A ，“随后一次的射中”为事件B ， 则P (AB )＝0.4，P (A )＝0.7， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝47.故选C ． [点拨] 本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．8．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A (0,0)、B (2,0)、C (1,1)、D (0,2)、E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 ( C )A ．25B ．35C ．45D ．1[解析] 从5个点中取3个点，列举得ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BDE 、CDE 共有10个基本事件，而其中ACE 、BCD 两种情况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为810＝45.故选C ．9．已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为 ( C )A ．5.3B ．4.7C ．4.3D ．5.7[解析] S ＝10×(1－114200)＝4.3，故选C ．10．(2016·江西临川二中一模)同时投掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是 ( C )A ．118B ．112C ．19D ．16[解析] 同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1,5)、(2,6)、(5,1)、(6,2)，共4个，故P (A )＝436＝19.11．(2016·黑龙江大庆实验中学期中)如图，在A ，B 两点间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条且使每条网线通过最大信息量，则选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的概率是 ( A )A ．14B ．13C ．12D ．23[解析] 设这6条网线从上到下分别是a ，b ，c ，d ，e ，f ，任取3条有：(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20个不同的取法，选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的取法有：(a ，b ，f )，(a ，c ，e )，(a ，d ，e )，(b ，c ，e )，(b ，d ，e )，共5个不同的取法，所以选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为6的概率是14.12．(2016·湖南师大附中检测)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，b ，则事件“⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>03b －1>0”发生的概率为 ( A ) A ．49B ．19C ．23D ．13[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤1，该不等式组表示的区域为一个边长为1的正方形，其面积是1.⎩⎪⎨⎪⎧3a －1>03b －1>00≤a ≤10≤b ≤1表示的区域为一个边长为23的正方形，面积是49，所以所求概率为49.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(2016·长沙长郡中学检测)在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的慨率是 23.[解析] 所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15个，所以能被2或3整除的共有45＋30－15＝60(个)，所以所求概率是6090＝23.14．志愿者纷纷前往灾区救援，现从四男三女共7名志愿者中任选2名(每名志愿者被选中的机会相等)，则2名都是女志愿者的概率为 17.[解析] 从7人中选2人有21种情况，选出2名女志愿者的情况有3种，所以概率为321＝17. 15．(2016·重庆检测)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －2≤0y ≥0所表示的平面区域内随机地取一点P ，则点P 恰好落在第二象限的概率为 29.[解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －2≤0y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S △ABC＝12×3×32＝94，S △AOD ＝12×1×1＝12，所以点P 恰好落在第二象限的概率为S △AOD S △ABC ＝1294＝29.16.(2016·辽宁铁岭一中模拟)如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_0.3__.[解析] 甲的成绩为88,89,91,92；乙的成绩为85,83,95，x .看不清的成绩有10种可能，该数据为97时，甲、乙平均数恰好都为90，所以当该数据为97,98,99时，符合题意，所以概率为0.3.[点拨] 读图是解题关键，通过计算甲、乙的平均数，得到看不清的数据可以是几种情况，看不清的成绩共有10种可能，易被忽视，导致求概率错误．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·广东佛山一中等三校联考)高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有2名男生，2名女生，第二组有3名男生，2名女生．现在班主任老师要从第一组选出2人，从第二组选出1人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得.(1)求选出的3人均是男生的概率； (2)求选出的3人中有男生也有女生的概率． [答案] (1)110 (2)56[解析] (1)记第一组的4人分别为A 1、A 2、a 1、a 2；第二组的5人分别为B 1、B 2、B 3、b 1、b 2.设“从第一组选出2人，从第二组选出1人”组成的基本事件空间为Ω，则Ω＝{(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 2，B 3)，(A 1，A 2，b 1)，(A 1，A 2，b 2)，(A 1，a 1，B 1)，(A 1，a 1，B 2)，(A 1，a 1，B 3)，(A 1，a 1，b 1)，(A 1，a 1，b 2)，(A 1，a 2，B 1)，(A 1，a 2，B 2)，(A 1，a 2，B 3)，(A 1，a 2，b 1)，(A 1，a 2，b 2)，(A 2，a 1，B 1)，(A 2，a 1，B 2)，(A 2，a 1，B 3)，(A 2，a 1，b 1)，(A 2，a 1，b 2)，(A 2，a 2，B 1)，(A 2，a 2，B 2)，(A 2，a 2，B 3)，(A 2，a 2，b 1)，(A 2，a 2，b 2)，(a 1，a 2，B 1)，(a 1，a 2，B 2)，(a 1，a 2，B 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)}，共有30个．设“选出的3人均是男生”为事件A ，则事件A 含有3个基本事件． ∴P (A )＝330＝110，∴选出的3人均是男生的概率为110.(2)解法一：设“选出的3个人有男生也有女生”为事件B ，则事件B 含有25个基本事件，∴P (B )＝2530＝56，∴选出的3人中有男生也有女生的概率为56.解法二：由(1)知“选出的都是男生”的概率P (A )＝110，同理“选出的都是女生”的概率P (B )＝230＝115，记“选出的3人中为男生也为女生”为事件C ，则P (C )＝1－P (A ＋B )＝1－P (A )－P (B )＝1－110－115＝56.18．(本小题满分12分)一个袋中装有5个形状、大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球.(1)从袋中随机取出两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．[答案] (1)35 (2)1625[解析] (1)2个红球记为a 1、a 2,3个白球记为b 1、b 2、b 3.从袋中随机取两个球，其中一切可能的结果组成的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10个．设事件A 为“取出的两个球颜色不同”，A 中的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共6个，故P (A )＝610＝35.(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)，(b 2，b 3)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(b 3，b 3)，共25个．设事件B 为“两次取出的球中至少有一个红球”，B 中的基本事件有(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，共16个．所以P (B )＝1625.19．(本小题满分12分)(2016·河北“五个一名校联盟”质量监测)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据，其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．[解析] 高三(1)班学生视力的平均值为4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5.4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P ＝1015＝23.20．(本小题满分12分)(2016·郑州质量预测)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民，现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少．[解析] (1)显然当不处罚时，行人闯红灯的概率为25，设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，则P (A )＝40200＝15.∴当罚金定为10元时，比不进行处罚，行人闯红灯的概率会降低15.(2)由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民中各抽出2人，设从A 类市民中抽出的2人分别为A 1、A 2，从B 类市民中抽出的2人分别为B 1、B 2.设“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，则事件M 中首先抽出A 1的事件有：(A 1，A 2，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 2，B 1)，(A 1，B 1，A 2，B 2)，(A 1，B 1，B 2，A 2)，(A 1，B 2，A 2，B 1)，(A 1，B 2，B 1，A 2)，共6种．同理首先抽出A 2、B 1、B 2的事件也各有6种． 故事件M 共有24种．设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)，共4种，∴P (N )＝424＝16∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率为16.21．(本小题满分12分)(2016·江苏联考)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成五组，如下表所示：(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(3)若从第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．[解析] (1)这15名乘客的平均候车时间约为115×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝115×157.5＝10.5(分钟)(2)这15名乘客中候车时间少于10分钟的频率为2＋615＝815，所以这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约为60×815＝32.(3)将第三组乘客编号为a 1，a 2，a 3，a 4，第四组乘客编号为b 1，b 2，从6人中任选2人共包含以下15个基本事件：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)，共中2人恰好来自不同组包含以下8个基本事件：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，于是所求概率为P ＝815.22．(本小题满分12分)(2016·河南八市质检)某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据).(1)求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．[解析] (1)由题意可知，样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝250×10＝0.004，x ＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，记这5株分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，高度在[90,100]内的株数为2，记这2株分别为b 1，b 2.抽取2株的所有情况有21种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，a 5)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 5，b 1)，(a 5，b 2)，(b 1，b 2)．其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 4，a 5)．∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P ＝1－1021＝1121.。

【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】1.【2013全国I 文】从1234，，，中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）.A.12 B. 13 C. 14 D. 16【答案】B2.【2013全国II 文】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是_______. 【答案】0.2【解析】两数之和等于5有两种情况()1,4和()2,3,总的基本事件有()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4, ()()()()2,5,3,4,3,5,4,5,共10种.所以20.210P ==. 3.【2014新课标Ⅰ文】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为 . 【答案】23【解析】 设2本不同的数学书为1a ,2a ,1本语文书为b ,在书架上的排法有12a a b ,12a ba ,21a a b ,21a ba ,12ba a ,21ba a ,共6种,其中2本数学书相邻的有12a a b ,21a a b ,12ba a ,21ba a ,共4种,因此2本数学书相邻的概率4263P ==. 4.【2014新课标Ⅱ文】甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为 .【答案】13【解析】甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种,其中颜色相同的有3种,所以所求的概率为3193=. 5．【2015全国I 文】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3 个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）.A.310 B.15 C. 110 D. 120【答案】110【热点深度剖析】从近三年全国卷高考来看,若解答题中只考查统计知识,没有概率问题,一般会有一道概率客观题,难度一般不大,主要考查等可能事件的概率,古典概型,几何概型,互斥事件的概率．2013年、2014年、2015年全国高考文科卷考查的都是古典概型,属于基础题；预测2016年高考考查重点是古典概型及互斥事件,不过提醒考生注意的是几何概型在全国卷高考中还没有出现过,但仍有考查的可能,不能忽视. 【重点知识整合】1．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤,其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=nm.理解这里m 、ｎ的意义. 3.互斥事件：（A 、B 互斥,即事件A 、B 不可能同时发生）.计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B ). 4.对立事件：（A 、B 对立,即事件A 、B 不可能同时发生,但A 、B 中必然有一个发生）.计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P (A )=1－P (A )；5.独立事件：（事件A 、B 的发生相互独立,互不影响）P(A•B)＝P(A) • P(B) .提醒：（1）如果事件A 、B 独立,那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是独立事件；（2）如果事件A 、B 相互独立,那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1－P （A ⋅B ）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A 、B 相互独立,那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1－P （A B ）＝1－P(A )P(B ). 6.古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型：(1)有限性：在一次试验中,可能出现的不同的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．古典概型中事件的概率计算如果一次试验的等可能基本事件共有n 个,随机事件A 包含了其中m 个等可能基本事件,那么事件A 发生的概率为P (A )＝mn .7．几何概型区域A 为区域Ω的一个子区域,如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A 的位置和形状无关,则称这样的概率模型为几何概率模型．几何概型的概率P(A)＝μAμΩ,其中μA 表示构成事件A 的区域长度(面积或体积)．μΩ表示试验的全部结果所构成区域的长度(面积或体积)． 【应试技巧点拨】1.事件A 的概率的计算方法,关键要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m .因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A 是什么？它包含的基本事件有多少．回答好这三个方面的问题,解题才不会出错．2．几何概型的两个特点：一是无限性,即在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性,即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的,同属于“比例解法”．即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、长度)”之比来表示．3.求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后用概率公式求解．一个复杂事件若正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解 【考场经验分享】 1古典概型求解时应注意：对于古典概型的概率计算问题,常见错误是基本事件数列举重复或遗漏,导致计数错误,避免此类错误发生的最有效方法是按照某种标准进行列举.2.几何概型求解时应注意：(1)对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率,关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点,使得全体结果构成一个可度量区域．(2)由概率的几何定义可知,在几何概型中,“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比,而与该区域的位置与形状无关．2.如果题设条件比较复杂,且备选答案数字较小,靠考虑穷举法求解,如果试题难度较大并和其他知识联系到一起,感觉不易求解,一般不要花费过多的时间,可通过排除法模糊确定,一般可考虑去掉数字最大与最小的答案【名题精选练兵篇】1.【2016福建福州4月质量检查】在2015年全国青运会火炬传递活动中,有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人,则选出的火炬手的编号相连的概率为（）A．310B．58C．710D．25【答案】D【解析】由题意得,从1,2,3,4,5,任取两人,共有10种取法；选出的火炬手的编号相连时,共有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),共计4种取法,所以概率为42105P==,故选D．2.【2016云南第一次统一检测】在长为3m的线段AB上任取一点P,则点P与线段AB两端点的距离都大于1m的概率等于（）A．12B．14C．23D．13【答案】D3.【2016广西钦州期末】AB是半径为1的圆的直径,在AB上的任意一点M,过点M垂直于AB的弦,则弦长大于的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当CD=时,OM=,即弦长大于,M 到圆心O 的距离|OM|,∴根据几何概型的概率可得弦长大于的概率是,故选C.4.【2016甘肃张掖市一诊】如图所示,以边长为1的正方形ABCD 的一边AB 为直径在其内部作一半圆.若在正方形中任取一点P ,则点P 恰好取自半圆部分的概率为（ ）A.2πB.12C.4πD.8π【答案】 D【解析】所求概率21122118P ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭==⨯．故D 正确．5.【2016湖北七校联考】一只蜜蜂在一个半径为3的球体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与球的表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ． 【答案】2786.【2016甘肃河西五市第一次联考】若不等式222x y +≤所表示的平面区域为M ,不等式组0026x y x y y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为N ,现随机向区域N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域M 内的概率为（ ） A.8πB.9πC.24πD.6π【答案】C.【解析】作出不等式组所表示的区域N ,则13(62)122N S =⋅⋅+=,故所求概率为12221224ππ⋅⋅=,故选C ． 7.【2016新疆乌鲁木齐二诊,文13】盒子里装有大小质量完全相同的2个红球,3个黑球,从盒中随机抽取两球,颜色不同的概率为 . 【答案】538.【2016新疆乌鲁木齐一次诊,文15】函数2()23,[4,4]f x x x x =--∈-,任取一点0[4,4]x ∈-,则0()0f x ≤的概率为 .【答案】12【解析】由2230,x x --≤解得,13x -≤≤,所以使()00f x ≤成立的概率是()()311442--=--．9. 【2015届福建省龙岩市高三教学质量检查】（某工厂对一批新产品的长度（单位：mm ）进行检测,如图是检测结果的频率分布直方图,据此估计这批产品的中位数为（ ）A ．20B ．25C ．22.5D ．22.75 【答案】C【解析】产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4, ,设中位数是x ,则由0.10.20.08(20)0.5x ++⋅-=得,22.5x =,选C ．10. 【2015届甘肃省兰州市高三诊断考试】从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．23【答案】B【解析】从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数,有32,31,23,21,13,12共6种,则这个两位数大于30有32,31共2中,因此概率3162==P ,故答案为B. 11. 【2015届江西省吉安市第一中学高三上学期第二次阶段考试】（ 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A.112 B.110 C.15 D.310【答案】D【解析】由五个小球随意的取出两个,共有10种情况,其中符合情况（1,2）；（1,6）；（2,4）三种.所以所求概率是310.故选D. 12. 【2015届云南省弥勒市高三年级模拟测试一】现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）A ．0.852B ．0.8192C ．0.8D ．0.75【答案】D13. 【2015届甘肃省部分普通高中高三第一次联考】已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+00042),(y x y x y x y x 表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P （x,y ）,则点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（ ） （A ）163π （B ）16π （C ）32π （D ）323π 【答案】D【解析】满足不等式组的区域如图ABO ∆内部（含边界）,由于直线x y =与x y -=垂直,ABO ∆与圆222=+y x 的公共部分如图阴影部分是41圆,则点P 落在圆222≤+y x 内的概率为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯==∆434221241πABOS S P 扇形323π=,故答案为D.14. 在区间[0,2]π上任取一个数x ,则使得2sin 1x >的概率为（ ） A.16 B.14 C.13 D.23【答案】C.【解析】∵2sin 1x >,[0,2]x π∈,∴5[,]66x ππ∈,∴516623P πππ-==,故选C. 15. 若,{1,0,1,2}a b ∈-,则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为（ ） A ．1316 B ．78 C ．34 D ．58【答案】A综上符合条件的概率为：94131616+=,所以答案为：A. 解法二：（排除法）总的方法种数为16种,其中原函数若无零点须有0a ≠且0∆<即1ab >,所以此时,a b 取值组成的数对分别为：()()()1,2,2,1,2,2共3种,所以所求有零点的概率为：31311616-=,答案为A. 16. 从区间()3,3-中任取两个整数a ,b ,设点(),a b 在圆223x y +=内的概率为1P ,从区间()3,3-中任取两个实数a ,b ,直线30ax by ++=和圆223x y +=相离的概率为2P ,则（ ）A ．12P >PB ．12P <PC ．12P =PD ．1P 和2P 的大小关系无法确定 【答案】A17.【2015届湖北省襄阳市第五中学高三第一学期11月质检】如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩不低于乙的平均成绩的概率为________．【答案】109 【解析】甲的总成绩4509291908988=++++=,乙的四次成绩35299878383=+++=,要使甲的平均成绩低于乙的平均成绩,看不清的数字一定是9,而污损数字有10种取值,所以甲的平均成绩不低于乙的平均成绩的概率为109.18.【2015届上海市高境一中高三期末】若将一颗质地均匀的骰子,先后抛掷两次,出现向上的点数分别为a 、b ,设复数z a bi =+,则使复数2z 为纯虚数的概率是 【答案】16【名师原创测试篇】1. 某中学有男教职工200人,女教职工180人,现用分层抽样法从全体教职工中抽取19人参加座谈会,则男教职工应抽取的人数为___________.【答案】10 【解析】由已知抽样比为20118020019=+,故男教职工应抽取的人数为10201200=⨯人 2. 已知实数[]0,9x ∈,执行如下图所示的程序框图,则输出的x 不大于55的概率为( )A.35B.25C.23D.13 【答案】C【解析】通过算法框图可以知道当3,87n x x ==+,然后4n =不符合判断框,所以输出87x x =+即为87556x x +≤⇒≤,602903p -==-,所以答案为C. 3. 实数m 是[]0,6上的随机数,则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率是________． 【答案】13．【解析】因为关于x 的方程240x mx -+=有实根,所以()24140m --⨯⨯≥,解得：4m ≤-（舍去）或4m ≥,所以关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率是2163=． 4. 在区间[1,1]-内随机取两个数分别记为,a b ,则使得函数22()21f x x ax b =+-+有零点的概率为 （ ） A ．1-8πB ．1-4πC ．1- 2πD ．1-34π 【答案】B【解析】由函数22()21f x x ax b =+-+有零点得,△=22(2)4(1)a b --+≥0,即22a b +≥1．当点(a ,b )落在1a =±、1b =±与22a b +=1围成的区域内时,()f x 有零点,其概率为14π-,故选B .5.已知{}3,2,1,1,2,3,---∈b a 且b a ≠,则复数bi a z +=对应点在第二象限的概率为 .（用最简分数表示） 【答案】。