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2019届中考数学总复习：方案设计与决策型问题【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：1．根据实际问题拼接或分割图形；2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【典型例题】类型一、利用方程（组）进行方案设计1．（2016•凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？【思路点拨】（1）根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题．【答案与解析】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y 吨，解得，即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，则解得，12.5≤x≤15，第一种方案：当x=13时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元；第二种方案：当x=14时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元；第三种方案；当x=15时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元；即购买A型污水处理设备13台，则购买B型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．【总结升华】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．举一反三：【变式】某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6∶5.(1)求出该班男生与女生的人数；(2)学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？【答案】解：(1)设男生有6x人，则女生有5x人．依题意得：6x＋5x＝55，∴x＝5，∴6x＝30,5x＝25.答：该班男生有30人，女生有25人．(2)设选出男生y人，则选出的女生为(20－y)人．由题意得：2027y yy--⎧⎨⎩＞≥，解得：7≤y<9，∴y的整数解为：7、8.当y＝7时，20－y＝13，当y＝8时，20－y＝12.答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人．类型二、利用不等式（组）进行方案设计2．温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球．某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地．(1)当n＝200时，①根据信息填表：A地B地C地合计产品件数(件)x 2x 200运费(元)30x②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？(2)若总运费为5800元，求n的最小值．【思路点拨】(1)①运往B地的产品件数＝总件数n－运往A地的产品件数－运往C地的产品件数：运费＝相应件数×一件产品的运费；②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可；(2)总运费＝A产品的运费＋B产品的运费＋C产品的运费，进而根据函数的增减性及(1)中②得到的x的取值求得n的最小值即可．【答案与解析】(1)①根据信息填表：A地B地C地合计产品件数(件)200－3x运费(元) 1 600－24x 50x 56x＋1 600②由题意得20032 1600564000x xx-≤⎧⎨+≤⎩解得40≤x≤4267.∵x为正整数，∴x＝40或41或42，∴有3种方案，分别为：(ⅰ)A地40件，B地80件，C地80件；(ⅱ)A地41件，B地77件，C地82件；(ⅲ)A地42件，B地74件，C地84件．(2)由题意得30x＋8(n－3x)＋50x＝5800，整理得n＝725－7x.∵n－3x≥0，∴x≤72.5.又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为正整数．∵n随x的增大而减小，∴当x＝72时，n有最小值为221.【总结升华】考查一次函数的应用，得到总运费的关系式是解决本题的关键，注意结合自变量的取值n的最小值. 举一反三：【高清课堂：方案设计与决策型问题例2】【变式】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，要求本次购买资金不超过．．．84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于．．．1300吨污水.（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）【答案】解：（1）设一台甲型设备的价格为x万元，由题意3x+2×0.75x=54，解得x＝12，∵12×75%＝9，∴一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元(2)设二期工程中,购买甲型设备a台,由题意有12a+9(8-a)≤84①；200a+160(8-a)≥1300②，解得：12≤a≤4，由题意a为正整数,∴a＝1,2,3,4 ∴所有购买方案有四种,分别为方案一:甲型1台,乙型7台；方案二:甲型2台,乙型6台方案三:甲型3台,乙型5台；方案四:甲型4台,乙型4台(3)设二期工程10年用于治理污水的总费用为W万元，W=12a+9（8-a）+1×10a+1.5×10（8-a），化简得:W=－2a＋192,∵W随a的增大而减少∴当a＝4时,W最小（逐一验算也可）∴按方案四甲型购买4台,乙型购买4台的总费用最少.类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计3．在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B两类学校的校舍进行改造．根据预测，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．(1)改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？(2)该县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所．【思路点拨】（1）等量关系为：改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元；（2）关系式为：地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770．【答案与解析】解：(1)设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍需资金y万元，则34803400x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得90130xy=⎧⎨=⎩.答：改造一所A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍需资金130万元．(2)设A类学校应该有a所，则B类学校有(8－a)所．则2030(8)(90-20)(13030)(8)a aa a+-⎧⎨+--⎩≥210≤770，解得aa⎧⎨⎩≤3≥1，∴1≤a≤3，即a＝1,2,3.答：有3种改造方案：方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所．【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．理解“国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元”这句话中包含的不等关系是解决本题的关键． 举一反三：【变式】为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品．已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元．(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？(2)时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x 个文具盒需要y 1元，买x 支钢笔需要y 2元，求y 1、y 2关于x 的函数关系式；(3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱． 【答案】解：(1)设每个文具盒x 元，每支钢笔y 元，由题意得5210047161x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1415x y =⎧⎨=⎩. 答：每个文具盒14元，每支钢笔15元．(2)由题意知，y 1关于x 的函数关系式为y 1＝14×90%x ，即y 1＝12.6x .由题意知，买钢笔10支以下(含10支)没有优惠，故此时的函数关系式为y 2＝15x .当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时的函数关系式为y 2＝15×10＋15×80%(x －10)， 即y 2＝12x ＋30.(3)当y 1<y 2，即12.6x <12x ＋30时，解得x <50； 当y 1＝y 2，即12.6x ＝12x ＋30时，解得x ＝50； 当y 1>y 2，即12.6x >12x ＋30时，解得x >50.综上所述，当购买奖品等于10件但少于50件时，买文具盒省钱； 当购买奖品等于50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等； 当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱．类型四、利用函数知识进行方案设计4．（2015•深圳模拟）将220吨物资从A 地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为15（吨/辆）和10（吨/辆），运往甲、乙两地的运费如表1：（1）求这两种货车各需多少辆？（2）如果安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，填写表2，写出 运费w （元）与a 的函数关系式．若运往甲地的物资不少于110吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费． 表1 甲地（元/辆） 乙地（元/辆）货车700 800 小货车400 600 表2． 甲地 乙地 大货车 a 辆 辆 小货车 辆 辆【思路点拨】（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，根据两种货车的运货总量为220吨建立方程求出其解即可（2）由安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，由总运费=两地费用之和就可以表示会出W 与a的关系式，由运往甲地的物资不少于110吨建立不等式求出a的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．【答案与解析】解：（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，由题意，得15x+10（18﹣x）=220，解得：x=8，需要小货车18﹣8=10辆．答：需要大货车8辆，则需要小货车10辆；（2）设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，表格2答案为：大货车去乙地（8﹣a）辆，小货车去甲、乙两地各（8﹣a）辆，（2+a）辆．由题意，得W=700a+800（8﹣a）+400（8﹣a）+600（2+a），W=100a+10800．15a+10（8﹣a）≥110，a≥6．∵k=100＞0，∴W随a的增大而增大，∴a=6时，W最小=11400，∴运往甲地的大货车6辆，小火车2辆，运往乙地的大货车2辆，小火车8辆．最小运费为11400辆．【总结升华】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根据题意用x表示出运往各地的台数是解决问题的关键．类型五、利用几何知识进行方案设计【高清课堂：方案设计与决策型问题例1】5．某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB=y米,BC=x米.(注：取π=3.14)(1)试用含x的代数式表示y；(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元；①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由.③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由.【思路点拨】（1）把组合图形进行分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可；（2）①利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答；②利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论；③建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题．【答案与解析】 解：（1）由题意得， πy+πx=628，∵3.14y+3.14x=628， ∴y+x=200则y=200﹣x ；（2）①W=428xy+400π2()2y+400π2()2x ，=428x （200﹣x ）+400×3.14×2(200)4x +400×3.14×24x ，=200x 2﹣40000x+12560000；②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务．理由如下，由①知W=200（x ﹣100）2+1.056×107＞107， 所以不能； ③由题意可知：x≤23y 即x≤23（200﹣x ）解之得x≤80， ∴0≤x≤80，又题意得：W=200（x ﹣100）2+1.056×107=107+6.482×105，整理得（x ﹣100）2=441，解得x 1=79，x 2=121（不合题意舍去）， ∴只能取x=79，则y=200﹣79=121；所以设计方案是：AB 长为121米，BC 长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆． 【总结升华】此题利用基本数量关系和组合图形的面积列出二次函数，运用配方法求得最值，进一步结合不等式与一元二次方程解决实际问题．【巩固练习】一、选择题1.小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水需2分钟；②洗菜需3分钟；③准备面条及佐料需2分钟；④用锅把水烧开需7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜需3分钟．以上各工序除(4)外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用( )A．14分钟 B．13分钟 C．12分钟 D．11分钟2．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．请问可行的租车方案有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种3．（2016•邯郸一模）如图是小李销售某种食品的总利润y元与销售量x千克的函数图象（总利润=总销售额﹣总成本）．由于目前销售不佳，小李想了两个解决方案：方案（1）是不改变食品售价，减少总成本；方案（2）是不改变总成本，提高食品售价．下面给出的四个图象中虚线表示新的销售方式中利润与销售量的函数图象，则分别反映了方案（1）（2）的图象是（）A．②，③ B．①，③ C．①，④ D．④，②二、填空题4．（2016春•乳山市期中）某足球赛一个赛季共进行了26轮比赛（即每队均需26场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在第一赛季中胜、平、负的场数依次是．5．开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)每支钢笔的价格为；每本笔记本的价格为；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有种购买方案？请你一一写出．6.“五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：（1）前往A 地的车票有_____张，前往C 地的车票占全部车票的________%；（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去B 地车票的概率为______.三、解答题 7．（2015春•高新区期末）为了实现区域教育均衡发展，我区计划对A ，B 两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所A 类学校和两所B 类学校共需资金230万元，改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．（1）改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元？（2）我区计划今年对A 、B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过380万元，地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案？哪种改造方案所需资金最少，最少资金为多少？8.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告.已知这种商品每月的广告费用m (千元)与销售量倍数p 关系为p =m m 24.02+-；试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！9.为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A 、B 两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：型号占地面积 (单位:m 2/个 )使用农户数 (单位:户/个)造价 (单位: 万元/个)A 15 18 2 B20303已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m 2，该村农户共有492户．(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程；(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．10.阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题：．．．．．．．．．．．．．．．．（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图表明探究方法并直接写出结果）.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】洗锅盛水2分钟，用锅把水烧开7分钟，用烧开的水煮面和菜要3分钟，这样一共是12分钟.而洗菜的3分钟和准备面及佐料的2分钟可以在烧开水的过程中来做.2.【答案】C；【解析】解：设甲车a辆，则乙车（10-a）辆.根据题意：40a+30×（10-a）≥340①16a+20×（10-a）≥170②由①得40a+300-30a≥340，a≥4由②得16a+200-20a≥170，a≤7.5所以4≤a≤7.5a=4，5，6，7所以租车方案有4种.3.【答案】B ；【解析】①根据函数图象可知，斜率不变，与y 轴交点上移，即售价不变，总成本减少；②根据函数图象可知，斜率不变，与y 轴交点下移，即售价不变，总成本增加；③根据函数图象可知，斜率变大，与y 轴交点不变，即总成本不变，售价增加；④根据函数图象可知，斜率变小，与y 轴交点不变，即总成本不变，售价减少．表示方案（1）的图象为①，表示方案（2）的图象为③．故选B ．二、填空题4.【答案】7、13、6；【解析】设这个队在第一赛季中胜了x 场，负了y 场，平了（y+7）场， 根据题意得：， 解得：， ∴y+6=13．故答案为：7、13、6．5.【答案】（1）3元，5元；（2）5；20，28；21，27；22，26；23，25；24，24． 【解析】（1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得：⎩⎨⎧=+=+3152183y x y x 解得：⎩⎨⎧==53y x 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元.(2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本依题意得：⎩⎨⎧≥-≤-+a a a a 48200)48(53，解得：2420≤≤a ，所以，一共有５种方案 即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28；21，27；22，26；23，25；24，24．6.【答案】（1）30；20．（2）12．【解析】（1）考查了条形图的知识，解题的关键是识图； （2）让去B 地车票数除以车票总数即为所求的概率；三、解答题7.【答案与解析】（1）解：设改造一所A 类学校需资金a 万元一所B 类学校需资金a 万元．， 解得．答：改造一所A 类学校需资金60万元，一所B 类学校需资金85万元；（2）解：设改造x 所A 类学校，（6﹣x ）所B 类学校，依题意得，解得2≤x ≤4，又因为x 是整数，∴x=2、3、4、6﹣x=4、3、2．所以共有三种方案：改造A 类学校2所，B 类学校4所；改造A 类学校3所，B 类学校3所；改造A 类学校4所，B 类学校2所．设改造方案所需资金W 万元w=60x+85（6﹣x ）=﹣25x+510．所以当x=4时，w 最小=410．答：改造A 类学校4所B 类学校2所用资金最少为410万元．8．【答案与解析】解：设涨价x 元，利润为y 元，则方案一：9000)20(10500040010)10500)(4050(22+--=++-=--+=x x x x x y∴方案一的最大利润为9000元；方案二：10125)25.2(2000900020001000500)4050(22+--=+-=-⨯-=x m m m p y∴方案二的最大利润为10125元；∴选择方案二能获得更大的利润.9．【答案与解析】解:(1)设建造A 型沼气池x 个，则建造B 型沼气池(20－x )个. 依题意得:()()⎩⎨⎧≥-+≤-+492203018365202015x x x x 解得：7≤ x ≤ 9∵x 为整数， ∴ x = 7，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种.(2)设建造A 型沼气池 x 个时，总费用为y 万元，则：y =2x +3(20－x )=－x+ 60∵－1<0，∴y 随x 增大而减小，当x =9 时，y 的值最小，此时y =51(万元)∴此时方案为：建造A 型沼气池9个，建造B 型沼气池11个． 解法②:由(1)知共有三种方案，其费用分别为：方案一:建造A 型沼气池7个，建造B 型沼气池13个， 总费用为:7×2 + 13×3 = 53( 万元 )方案二: 建造A 型沼气池8个， 建造B 型沼气池12个， 总费用为:8×2 + 12×3 = 52( 万元 )方案三: 建造A 型沼气池9个， 建造B 型沼气池11个， 总费用为:9×2 + 11×3 = 51( 万元 )∴方案三最省钱.10．【答案与解析】⑴如图中平行四边形即为所求.⑵如图：平行四边形MNPQ 面积为52.。
中考数学拓展专题之方案设计与决策问题姓名：__________指导：__________日期：__________方案设计是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，列举出所有可能方案，或确定出最佳方案的一类数学问题．一、主要题型分类①经济类方案设计题：根据方程(组)、不等式(组)的整数解、函数等模型，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题；②操作类方案设计题：根据实际问题拼接或分割图形．以上两类试题不仅要求学生要有扎实的数学知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化、抽象成具体的数学问题.二、解题的一般思路1、解决经济类方案设计题一般过程是：①阅读，弄清问题背景和基本要求；②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型或函数模型；④解题，求解上述建立的方程、不等式或函数，结合实际确定最优方案．2、解决操作类方案设计题一般过程是：①阅读，弄清问题背景和基本要求；②慎重考虑，设计出尽量简便符合要求的图形；③标上适当的数据，或附上文字说明．三、典例讲解【例题1】某市继2018年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？(2)该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10 000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【解题思路】(1)根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；(2)根据“费用不超过10 000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．【解答过程】(1)设温馨提示牌的单价为x 元，则垃圾箱的单价为3x 元，根据题意，得2x＋3×3x＝550，∴ x ＝50. 经检验，符合题意，∴ 3x ＝150元．即温馨提示牌和垃圾箱的单价分别是50 元和150 元；(2)设购买温馨提示牌y 个( y 为正整数)，则垃圾箱为(100－y) 个，根据题意，得∴ 50 ≤ y ≤ 52.∵ y 为正整数，∴ y 为50,51,52，共3 种方案．即温馨提示牌50 个，垃圾箱50 个；温馨提示牌51 个，垃圾箱49 个；温馨提示牌52 个，垃圾箱48 个．根据题意，费用为50y＋150(100－y)＝－100y＋15 000，当y ＝52 时，所需资金最少，最少是9 800 元．【总结归纳】本例题属于经济类方案设计问题，用方程、不等式知识，是通过计算比较获得解决问题的方案的．此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，一次函数的图像与性质等知识，正确找出相等关系是解决此类问题的关键．【例题2】为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17 个学生，还剩12 个学生没人带；若每位老师带18 个学生，就有一位老师少带4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2 名老师，可知租用客车总数为________辆；(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．【解题思路】(1) 设出老师有x 名，学生有y 名，得出二元一次方程组，解出即可；(2) 根据汽车总数不能小于300/42 ＝50/7 ( 取整为8 )辆，即可求出；(3) 设租用x 辆乙种客车，则甲种客车数为(8－x) 辆，由题意，得400x＋300(8－x) ≤ 3 100，得x 的取值范围，分析得出即可．【解答过程】(1)设老师有x 名，学生有y 名．根据题意，列方程组为故老师有16 名，学生有284 名．(2) ∵ 每辆客车上至少要有2 名老师，∴ 汽车总数不能大于8 辆．又要保证300 名师生有车坐，汽车总数不能小于300/42 = 50/7 ( 取整为8 )辆，综上可知汽车总数为8 辆．故答案为8.(3)设租用x 辆乙种客车，则甲种客车数为(8－x) 辆，∵ 车总费用不超过3 100 元，∴ 400x＋300(8－x) ≤ 3 100，解得x ≤ 7.为使300 名师生都有座，∴ 42x＋30(8－x) ≥ 300，解得x ≥ 5.∴ 5 ≤ x ≤ 7 ( x 为整数)．∴ 共有3 种租车方案：方案一：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆，租车费用为2 900 元；方案二：租用甲种客车2 辆，乙种客车6 辆，租车费用为3 000 元；方案三：租用甲种客车1 辆，乙种客车7 辆，租车费用为3 100元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3 辆，乙种客车5 辆．【总结归纳】本例题属于经济类方案决策型问题，综合运用二元一次方程组与一元一次不等式确定方案，由题意得出租用x 辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键．【例题3】有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：方案一方案二方案三小红发现这三种方案都能验证公式：对于方案一，小明是这样验证的：请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．【解题思路】根据题目中的图形面积可以分别写出方案二和方案三的推导过程，来解决问题．【解答过程】根据由题意，得方案二：方案三：【总结归纳】本例题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程．四、知识拓展与提高【例题4】已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如下图4-1 所示 .4-1(1)请说明图中①、② 两段函数图象的实际意义；(2)写出批发该种水果的资金金额w(元) 与批发量n(kg) 之间的函数关系式；在图4-2 的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；4-2(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图4-3 所示. 该经销商拟每日售出60 kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 .4 -3【解答过程】(1)图① 表示批发量不少于20 kg 且不多于60 kg 的该种水果，可按5 元/kg 批发；图② 表示批发量高于60 kg 的该种水果，可按4 元/kg 批发 .(2)根据题意，得函数图象如图4-4 所示 .4 -4由函数图象可知，资金金额满足240 w ≤ 300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果 .(3)解法一：设当日零售价为x 元，由函数图象可得日最高销量n = 320 - 40x ，当n 60 时，x 6.5 .根据题意，销售利润为y = (x-4)(320-40x) = 40(x-4)(8-x)= 40[-(x-6) +4] .从而x = 6 时，y最大值= 160，此时n = 80 .即销售商应批发80 kg 该种水果，日零售价定为6 元/kg，当日可得最大利润160 元 .解法二：设日最高销售量为x kg (x60) .则由图4-3 可知日零售价p 满足x = 320 - 40p .则p = (320-x)/40 .销售利润从而x = 80 时，y最大值= 160，此时p = 6 .即销售商应批发80 kg 该种水果，日零售价定为6 元/kg，当日可得最大利润160 元 .【总结归纳】本例题以实际生活中的水果批发为背景，考查了数形结合的数学思想，考查了列方程，求二次函数最值等知识点 .。
中考冲刺：方案设计与决策型问题—知识讲解（提高）【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：1．根据实际问题拼接或分割图形；2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【典型例题】类型一、利用方程（组）进行方案设计1．国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：（1）求这两种货车各多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，前往甲、乙两地的总运费为w 元，求出w 与a 的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【思路点拨】（1）设大货车用x 辆，则小货车用18－x 辆，根据运输228吨物资，列方程求解；（2）设前往甲地的大货车为a 辆，则前往乙地的大货车为（8－a ）辆，前往甲地的小货车为（9－a ）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a ）]辆，根据表格所给运费，求出w 与a 的函数关系式； （3）结合已知条件，求a 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案.运往地车型甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 ７２０ ８００ 小货车 ５００ ６５０【答案与解析】解：（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得，⎩⎨⎧=+=+228101618y x y x 解得⎩⎨⎧==.108y x 答：大货车用8辆，小货车用10辆．（2）根据题意，得w=720a+800（8-a ）+500（9-a ）+650[10-（9-a ）] =70a+11550，∴w=70a+11550（0≤a ≤8且为整数）.（3）16a+10（9-a ）≥120，解得a ≥5，又∵0≤a ≤8，∴5≤a ≤8且为整数， 而w=70a+11550，k=70＞0，w 随a 的增大而增大，∴当a=5时，w 最小，最小值为W=70×5+11550=11900（元）答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车，4辆小货车前往甲地；3辆大货车，6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元． 【总结升华】这是一道典型的三个“一次”携手结伴的中考试题，把一元一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数有机地结合起来，和谐搭配，形成知识系统化、习题系列化，可谓“一石三鸟”.类型二、利用不等式（组）进行方案设计2．为美化市容，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A ，B 两种园艺造型共50个，摆放在文庙广场，搭配每个造型所需花卉情况如表，解答问题： 造型 甲 乙 A 90盆 30盆 B 40盆 100盆（1）符合题意的搭配方案有哪几种？（2）若搭配一个A 种造型的成本为1000元，搭配一个B 种造型的成本为1200元，试说明选用哪种方案成本最低？ 【思路点拨】（1）设需要搭配x 个A 种造型，则需要搭配B 种造型（50﹣x ）个，根据题意列不等式组求解，取整数值即可；（2）通过计算比较得出那种方案成本最低． 【答案与解析】 解：（1）设需要搭配x 个A 种造型，则需要搭配B 种造型（50﹣x ）个， 则有，解得：30≤x ≤32，所以x=30或31或32．第一方案：A 种造型32个，B 种造型18个； 第二种方案：A 种造型31个，B 种造型19个； 第三种方案：A 种造型30个，B 种造型20个．（2）分别计算三种方案的成本为：32×1000+18×1200=53600，31×1000+19×1200=53800，30×1000+20×1200=54000，通过比较可知第一种方案成本最低．【总结升华】此题考查一元一次不等式组的实际运用，找出题目蕴含的不等关系是解决问题的关键．举一反三：【变式】荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和l辆乙型汽车共需费用2450元．且同一种型号汽车每辆租车费用相同．(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用．【答案】(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元．由题意得22500,22450,x yx y+=⎧⎨+=⎩解得800,850.xy=⎧⎨=⎩答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元．(2)设租用甲型汽车z辆，则租用乙型汽车(6-z)辆．由题意得1618(6)100, 800850(6)5000,z zz z+-≥⎧⎨+-≤⎩解得2≤x≤4．由题意知，z为整数，∴ z＝2或z＝3或z＝4．∴共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．方案一的费用是800×2+850×4＝5000(元)；方案二的费用是800×3+850×3＝4950(元)；方案三的费用是800×4+850×2＝4900(元)．5000＞4950＞4900，所以最低运费是4900元．答：共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．最低运费是4900元．类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计3．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【思路点拨】这是一道融三个“一次”为一体的综合性应用题，体现了任何数学知识不是片面、孤立存在的，而是相互依赖、相互联系和相互作用的数学意识.【答案与解析】解：（1）设该商店购进一件A 种纪念品需要a 元，购进一件B 种纪念品需要b 元.根据题意得方程组⎩⎨⎧=+=+，8006595038b a b a 解方程组，得⎩⎨⎧==.50100b a∴购进一件A 种纪念品需要100元，购进一件B 种纪念品需要50元.（2）设该商店购进A 种纪念品x 件，则购进B 种纪念品有（100—x ）件. ∴⎩⎨⎧≤-+≥-+.7650)100(501007500)100(50100x x x x 解得50≤x ≤53.∵x 为正整数,∴x 可取50,51,52,53.∴共有4种进货方案.（3）设所获利润为y 元，根据题意，有y=20x+30（100-x ）=-10x+3000.∵-10＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴x=50时，y 最大值=-50×10+3000=2500(元). ∴当购进A 种纪念品50件，B 种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元. 【总结升华】只要我们弄清了三个“一次”之间的内在联系，构建其模型，把握题型规律，梳理相关信息，就会轻松、有效地解决这类问题.举一反三：【变式】为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20∶1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅(课桌凳和办公桌椅均成套购进)． (1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ (2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案． 【答案】解：(1)设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x 元、y 元，则801042000y x x y =+⎧⎨+=⎩，解得120200x y =⎧⎨=⎩.答：一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元，200元． (2)设购买办公桌椅m 套，则购买课桌凳20m 套，由题意有 16000≤80000－120×20m －200×m ≤24000， 解得，21713≤m ≤24813， ∵m 为整数，∴m ＝22、23、24，有三种购买方案，具体方案如下表：方案一方案二方案三课桌凳(套)440460480办公桌椅(套)222324类型四、利用函数知识进行方案设计4．某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部销售后获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元；（2）根据题意可以写出W与x的函数关系式；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到有几种购进方案，哪种方案获利最大，最大利润是多少．【答案与解析】解：（1）设购进甲种花卉每盆x元，乙种花卉每盆y元，，解得，，即购进甲种花卉每盆16元，乙种花卉每盆8元；（2）由题意可得，W=6x+，化简，得W=4x+100，即W与x之间的函数关系式是：W=4x+100；（3），解得，10≤x≤12.5，故有三种购买方案，由W=4x+100可知，W随x的增大而增大，故当x=12时，，即购买甲种花卉12盆，乙种花卉76盆时，获得最大利润，此时W=4×12+100=148，即该花店共有三种购进方案，在所有的购进方案中，购买甲种花卉12盆，乙种花卉76盆时，获利最大，最大利润是148元．【总结升华】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意、列出相应的方程组或不等式组．类型五、利用几何知识进行方案设计5．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所饮水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图所示，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计)，点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的23km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村(线段CD某处)，甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(线段AB某处)，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？【思路点拨】本题以紧密联系学生生活的“将军饮马”问题为原型，情景设计合理，设问层次分明，可以参照“将军饮马”问题来解决该题.【答案与解析】解：方案一：由题意可得：MB⊥OB，∴点M到甲村的最短距离为MB．∵点M到乙村的最短距离为MD．∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小．即最小值为MB+MD＝323．方案二：如答图①，作点M关于射线OE的对称点M′，则MM′＝2ME，连接AM′交OE于点P，则PE 12 AM．∵AM＝2BM＝5，∴PE＝3．在Rt△DME中，∵DE ＝DM ·sin60°＝32332⨯=，1123322ME DM ==⨯=． ∴PE ＝DE ．∴P 、D 两点重合．即AM ′过D 点．在线段CD 上任取一点P ′，连接P ′A ，P ′M ，P ′M ′， 则P ′M ＝P ′M ′．∵AP ′－P ′M ′＞AM ′．∴把供水站建在乙村的D 点处，管道沿DA 、DM 线路铺设的长度之和最小． 即最小值为AD+DM ＝AM ′＝222262(3)43AM MM ''-=+=．方案三：如答图②，作点M 关于射线OF 的对称点M ′，连接GM ，则GM ′＝GM ． 作M ′N ⊥OE 于点N ，交OF 于点G ，交AM 于点H ， ∴M ′N 为点M ′到OE 的最短距离，即M ′N ＝GM+GN ． 在Rt △M ′HM 中，∠MM ′N ＝30°，MM ′＝6． ∴MH ＝3， ∴NE ＝MH ＝3． ∵DE ＝3，∴N 、D 两点重合，即M ′N 过D 点． 在Rt △M ′DM 中，DM ＝23 ∴M ′D ＝3在线段AB 上任取一点G ′，过G ′作G ′N ′⊥OE 于点N ′，连接G ′M ′、G ′M ． 显然G ′M+G ′N ′＝G ′M ′+G ′N ′＞M ′D ．∴把供水站建在甲村的G 处，管道沿GM 、GD 线路铺设的长度之和最小． 即最小值为GM+GD ＝M ′D ＝3 综上，∵32343+<∴供水站建在M 处，所需铺设的管道长度最短． 【总结升华】考查了学生的类比思想、操作、猜想论证和严密的数学思维能力，体现了对过程性目标的考查．举一反三：【变式】在△ABC 中，BC ＝a ，BC 边上的高h ＝2a ，沿图中线段DE 、CF 将△ABC 剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ，如图所示．请你解决如下问题：已知：在锐角△A ′B ′C ′中，B ′C ′＝a ，B ′C ′边上的高h ＝a 21．请你设计两种不同的分割方法，将△A ′B ′C ′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，画出分割线及拼接后的图形．【答案】中考冲刺：方案设计与决策型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1.有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲，乙，丙三种商品各一件共需（ ）A ．50B ．100C ．150D ．2002．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④3. 下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题4．我们知道，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）. 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（1）：若这角恰好是直角，则这两个三角形全等. 方案（2）： . 方案（3）： . 5．适逢南开中学建校78周年暨（融侨）中学建校10周年校庆活动，学校准备印刷2000份校庆专刊．甲厂的优惠是先降价20%，再降价10%，乙厂的优惠是前1000份优惠10%，后1000份优惠30%，选择 厂更划算．6.几何模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA+PB 的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：（1） 如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________；（2） 如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，则PA PC +的最小值是___________；（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，则PQR △周长的最小值是___________．ABA 'PlOA B PRQ 图3OABC 图2ABE CPD图1P三、解答题7.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x 千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元）与x （千克）之间的函数关系式； （2）小明选择哪家快递公司更省钱？ 8．今年是“十二五”计划的开局之年，5月16日国务院讨论通过《国家基本公共服务体系“十二五”规划》．会议决定：本年度安排264亿元的财政补贴用于推广符合节能标准的家用电器（包括空调、平板电视、洗衣机和热水器），其中洗衣机、平板电视的补贴比热水器补贴分别多20%、40%，而热水器的补贴比空调补贴少；同时建议，以后两年用于推广符合节能标准家用电器的财政补贴每年递增a 亿元，“十二五”的最后两年用于此项财政补贴每年按照一定比例递增，从而使“十二五”期间财政补贴总额比规划第二年补贴的5.31倍还多2.31a 亿元．（1）若热水器的财政补贴今年比2011年增长10%，则2011年热水器的财政补贴为多少亿元？ （2）求“十二五”的最后两年用于此项财政补贴的年平均增长率．9.某工厂计划为某山区学校生产A ，B 两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A 型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m 3，一套B 型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m 3，工厂现有库存木料302m 3．（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往该学校，已知每套A 型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B 型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y （元）与生产A 型桌椅x （套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费）（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由.10.如图1,矩形铁片ABCD 的长为a 2,宽为a ;为了要让铁片能穿过直径为a 1089的圆孔,需对铁片进行处理(规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔)；(1)如图2,M 、N 、P 、Q 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点,若将矩形铁片的四个角去掉,只余下四边形MNPQ,则此时铁片的形状是_______________,给出证明,并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；(2)如图3,过矩形铁片ABCD 的中心作一条直线分别交边BC 、AD 于点E 、F(不与端点重合), 沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；①当BE=DF=a 51时,判断直角梯形铁片EBAF 能否穿过圆孔,并说明理由；②为了能使直角梯形铁片EBAF 顺利穿过圆孔,请直接写出线段BE 的长度的取值范围 .【答案与解析】一、选择题1.【答案】B ；【解析】设购甲，乙，丙三种商品各一件需要x 元、y 元、z 元．根据题意，得， 两方程相加，得4x+4y+4z=600，x+y+z=150．则购甲，乙，丙三种商品各一件共需150元． 2.【答案】B ；【解析】如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故选B ．3.【答案】A 【解析】根据旋转、轴对称的定义来分析．图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称．图形1可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形2可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；图形4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有4个．故选A ．二、填空题4.【答案】方案（2）：该角恰为两边的夹角时；方案（3）：该角为钝角时.5.【答案】甲.【解析】设每一份校庆专刊的单价为a 元．甲厂的花费：2000a （1﹣20%）（1﹣10%）=1440a ；乙厂的花费：1000a （1﹣10%）+1000a （1﹣30%）=1600a ；1440a ＜1600a所以选择甲厂更划算．故答案为：甲．6.【答案】（1）5；（2）32；（3）210．【解析】解：（1）PB PE +的最小值是DE ，22DE=21=5+. （2）延长AO 交⊙o 于点D ，连接CD 交OB 于P则PA=PD ，PA+PC=PC+PD=CD连接AC ，∵AD 为直径，∴∠ACD＝90°，AD ＝４∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝30°在Rt △ACD 中，CD ＝cos30°・AD=23，即PA+PC 的最小值为23（3）解：分别作点P 关于OA ，OB 的对称点E ，F ，连接EF 交OA ，OB 于R ，Q ，则△PRQ的周长为：EF，∵OP=OE=OF=10, ∠FOB=∠POB,∠POA=∠AOE,∵∠AOB=45°, ∴∠EOF=90°在Rt△EOF中，∵OE=OF=10，∴EF=102，即△PRQ的周长最小值为102三、解答题7．【答案与解析】解：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y甲=22x；当1＜x时，y甲=22+15（x﹣1）=15x+7．y乙=16x+3．（2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得：0＜x＜；令y甲=y乙，即22x=16x+3，解得：x=；令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得：＜x≤1．②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得：x＞4；令y甲=y乙，即15x+7=16x+3，解得：x=4；令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得：1＜x＜4．综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x=4或x=时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱．8．【答案与解析】解：（1）设2011年热水器的财政补贴为x亿元，则2012年热水器的财政补贴为1.1x，洗衣机的财政补贴1.2×1.1x、平板电视的财政补贴1.4×1.1x、空调的财政补贴×1.1x，根据题意列方程得：1.1x+1.2×1.1x+1.4×1.1x+×1.1x=264解得：x=5答：2011年热水器的财政补贴为5亿元；（2）设“十二五”的最后两年用于此项财政补贴的年平均增长率为m ．根据题意列方程得：（264﹣a ）+264+（264+a ）+（264+a ）×（1+m ）+（264+a ）（1+m ）2=264×5.31+2.31a即（264+a ）m 2+3（264+a ）m ﹣0.31（a+264）=0，m 2+3m ﹣0.31=0解得：m 1=3.1（舍去），x 2=0.1．答：此项财政补贴的年平均增长率是10%．9．【答案与解析】解（1）设生产A 型桌椅x 套，则生产B 型桌椅(500)x -套，由题意得0.50.7(500)30223(500)1250x x x x +⨯-⎧⎨+⨯-⎩≤≥ 解得240250x ≤≤因为x 是整数，所以有11种生产方案．（2）(1002)(1204)(500)2262000y x x x =+++⨯-=-+220-<，y 随x 的增大而减少．∴当250x =时，y 有最小值．∴当生产A 型桌椅250套、B 型桌椅250套时，总费用最少．此时min 222506200056500y =-⨯+=（元）（3）有剩余木料，最多还可以解决8名同学的桌椅问题．10．【答案与解析】（1）是菱形如图，过点M 作MG⊥NP 于点GM 、N 、P 、Q 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ∴MN=NP=PQ=QM∴四边形MNPQ 是菱形 222121a a a S S ABCD MNPQ =⨯⨯== MN=a a a 25)21(22=+ ∴MG=a a MN S MNPQ1089552<= ∴此时铁片能穿过圆孔.（2）①如图，过点A 作AH⊥EF 于点H, 过点E 作EK⊥AD 于点K 显然AB=a a 1089>， 故沿着与AB 垂直的方向无法穿过圆孔过点A 作EF 的平行线RS ，故只需计算直线RS 与EF 之间的距离即可BE=AK=a 51,EK=AB=a ，AF=a DF AD 59=- ∴KF=a AK AF 58=-,EF=a a a 589)58(22=+ ∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK∴△AHF∽△EKF ∴EFAF EK AH =可得AH=a a 108989899> ∴该直角梯形铁片不能穿过圆孔.② a BE 64893390-<<或a BE a 26489339<<+.。
1
2
根据题意得解得，
类型三、利用方程（组）3
类型四、利用函数知识进行方案设计4
5
【思路点拨】
本题以紧密联系学生生活的“将军饮马”问题为原型，情景设计合理，设问层次分明，可以参照“将军饮马”问题来解决该题.
【答案与解析】
解：方案一：由题意可得：MB⊥OB，
∴点M到甲村的最短距离为MB．
∵点M到乙村的最短距离为MD．
∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小．
PE 1 2
方案三：如答图②，作点M关于射线OF的对称点M′，连接作M′N⊥OE于点N，交OF于点G，交AM于点H，
∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N＝GM+GN．
在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6．
∴MH＝3，
∴NE＝MH＝3．
∵DE＝3，
∴N、D两点重合，即M′N过D点．。
中考冲刺：方案设计与决策型问题(基础)一转眼，距离中考只有短短几个月了，这个时候，我们不能再像以前那样慢慢悠悠地学习，而是要全力以赴，做好冲刺。
我将为大家分享一套中考冲刺方案，主要针对基础阶段的方案设计与决策型问题。
1.分析问题类型我们要明确决策型问题的特点。
这类问题通常涉及多个选项，需要我们根据已知信息进行分析、比较和判断，最终作出最佳选择。
这类问题分为两种：一种是单一决策问题，另一种是多阶段决策问题。
2.确定解题思路（1）理解题意：仔细阅读题目，确保理解题目所描述的情境、条件和目标。
（2）分析选项：对每个选项进行分析，找出其优点和缺点。
（3）比较选项：将各选项进行对比，找出最佳方案。
（4）作出决策：根据比较结果，作出最终选择。
3.实战演练下面，我们通过几个例子来具体讲解决策型问题的解题方法。
A.方案一：投资100万元，预计一年后收回投资并盈利50万元；B.方案二：投资200万元，预计一年后收回投资并盈利100万元；C.方案三：投资300万元，预计一年后收回投资并盈利150万元。
请问，该企业应该选择哪个方案？解答：我们要分析每个方案的优缺点。
方案一投资较少，但收益也较低；方案二投资适中，收益适中；方案三投资较多，收益也较高。
我们需要比较这三个方案。
从收益角度看，方案三最优；但从投资角度看，方案一最具优势。
综合考虑，我们可以认为方案二是最佳选择。
A.方案一：投资50亿元，预计五年后收回投资并盈利10亿元；B.方案二：投资80亿元，预计四年半后收回投资并盈利15亿元。
请问，该城市应该选择哪个方案？解答：同样地，我们先分析每个方案的优缺点。
方案一投资较少，但收益较低；方案二投资较多，收益也较高。
我们比较这两个方案。
从投资角度看，方案一更具优势；但从收益角度看，方案二更佳。
考虑到地铁建设对城市发展的长远影响，我们可以认为方案二是最佳选择。
4.决策型问题拓展（1）考虑时间因素：如上面的例2，我们需要根据项目的投资回收期来判断方案的优劣。
中考冲刺：方案设计与决策型问题—知识讲解（基础）【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：1．根据实际问题拼接或分割图形；2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【典型例题】类型一、利用方程（组）进行方案设计1．（2016•凉山州）为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少？【思路点拨】（1）根据1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨，可以列出相应的二元一次方程组，从而解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以得到购买方案，从而可以算出每种方案购买资金，从而可以解答本题．【答案与解析】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨，解得，即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨；（2）设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备（20﹣x）台，则解得，12.5≤x ≤15，第一种方案：当x=13时，20﹣x=7，花费的费用为：13×12+7×10=226万元； 第二种方案：当x=14时，20﹣x=6，花费的费用为：14×12+6×10=228万元； 第三种方案；当x=15时，20﹣x=5，花费的费用为：15×12+5×10=230万元； 即购买A 型污水处理设备13台，则购买B 型污水处理设备7台时，所需购买资金最少，最少是226万元．【总结升华】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 举一反三：【变式】某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6∶5.(1)求出该班男生与女生的人数；(2)学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？ 【答案】解：(1)设男生有6x 人，则女生有5x 人． 依题意得：6x ＋5x ＝55， ∴x ＝5，∴6x ＝30,5x ＝25.答：该班男生有30人，女生有25人．(2)设选出男生y 人，则选出的女生为(20－y )人．由题意得：，解得：7≤y <9，∴y 的整数解为：7、8. 当y ＝7时，20－y ＝13， 当y ＝8时，20－y ＝12.答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人．类型二、利用不等式（组）进行方案设计2．温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球．某制笔企业欲将n 件产品运往A ，B ，C 三地销售，要求运往C 地的件数是运往A 地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x 件产品运往A 地．(1)当n ＝200时，①根据信息填表：A 地B 地C 地 合计 产品件数(件)x 2x 200 运费(元)30x2027y y y --⎧⎨⎩＞≥②若运往B 地的件数不多于运往C 地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？(2)若总运费为5800元，求n 的最小值．【思路点拨】(1)①运往B 地的产品件数＝总件数n －运往A 地的产品件数－运往C 地的产品件数：运费＝相应件数×一件产品的运费；②根据运往B 地的件数不多于运往C 地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可；(2)总运费＝A 产品的运费＋B 产品的运费＋C 产品的运费，进而根据函数的增减性及(1)中②得到的x 的取值求得n 的最小值即可．【答案与解析】(1)①根据信息填表：A 地B 地C 地合计产品件数(件) 200－3x运费(元)1 600－24x 50x56x ＋1 600②由题意得解得40≤x ≤42.∵x 为正整数，∴x ＝40或41或42，∴有3种方案，分别为： (ⅰ)A 地40件，B 地80件，C 地80件； (ⅱ)A 地41件，B 地77件，C 地82件； (ⅲ)A 地42件，B 地74件，C 地84件． (2)由题意得30x ＋8(n －3x )＋50x ＝5800， 整理得n ＝725－7x . ∵n －3x ≥0，∴x ≤72.5.又∵x ≥0，∴0≤x ≤72.5且x 为正整数．∵n 随x 的增大而减小，∴当x ＝72时，n 有最小值为221.【总结升华】考查一次函数的应用，得到总运费的关系式是解决本题的关键，注意结合自变量的取值n 的最小值.举一反三：【变式】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，要求本次购买资金不超过．．．84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于．．．1300吨污水.200321600564000x xx -≤⎧⎨+≤⎩（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费） 【答案】解：（1）设一台甲型设备的价格为x 万元，由题意3x+2×0.75x=54，解得x ＝12，∵12×75%＝9，∴一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元(2)设二期工程中,购买甲型设备a 台,由题意有12a+9(8-a)≤84①；200a+160(8-a)≥1300②，解得：≤a≤4，由题意a 为正整数,∴a ＝1,2,3,4 ∴所有购买方案有四种,分别为 方案一:甲型1台,乙型7台；方案二:甲型2台,乙型6台 方案三:甲型3台,乙型5台；方案四:甲型4台,乙型4台 (3)设二期工程10年用于治理污水的总费用为W 万元， W=12a+9（8-a ）+1×10a+1.5×10（8-a ）， 化简得:W=－2a ＋192,∵W 随a 的增大而减少 ∴当a ＝4时,W 最小（逐一验算也可） ∴按方案四甲型购买4台,乙型购买4台的总费用最少.类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计3．在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A 、B 两类学校的校舍进行改造．根据预测，改造一所A 类学校和三所B 类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A 类学校和一所B 类学校的校舍共需资金400万元．(1)改造一所A 类学校和一所B 类学校的校舍所需资金分别是多少万元？(2)该县A 、B 两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A 、B 两类学校各有几所． 【思路点拨】（1）等量关系为：改造一所A 类学校和三所B 类学校的校舍共需资金480万元；改造三所A 类学校和一所B 类学校的校舍共需资金400万元；（2）关系式为：地方财政投资A 类学校的总钱数+地方财政投资B 类学校的总钱数≥210；12国家财政投资A 类学校的总钱数+国家财政投资B 类学校的总钱数≤770．【答案与解析】解：(1)设改造一所A 类学校的校舍需资金x 万元，改造一所B 类学校的校舍需资金y 万元，则，解得.答：改造一所A 类学校的校舍需资金90万元，改造一所B 类学校的校舍需资金130万元．(2)设A 类学校应该有a 所，则B 类学校有(8－a )所． 则，解得，∴1≤a ≤3，即a ＝1,2,3. 答：有3种改造方案：方案一：A 类学校有1所，B 类学校有7所； 方案二：A 类学校有2所，B 类学校有6所； 方案三：A 类学校有3所，B 类学校有5所． 【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．理解“国家财政拨付的改造资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元”这句话中包含的不等关系是解决本题的关键． 举一反三：【变式】为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品．已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元．(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元？(2)时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x 个文具盒需要y 1元，买x 支钢笔需要y 2元，求y 1、y 2关于x 的函数关系式；(3)若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱． 【答案】解：(1)设每个文具盒x 元，每支钢笔y 元，由题意得 ，解得. 答：每个文具盒14元，每支钢笔15元．(2)由题意知，y 1关于x 的函数关系式为y 1＝14×90%x ，即y 1＝12.6x .由题意知，买钢笔10支以下(含10支)没有优惠，故此时的函数关系式为y 2＝15x . 当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时的函数关系式为y 2＝15×10＋15×80%(x －10)，即y 2＝12x ＋30.(3)当y 1<y 2，即12.6x <12x ＋30时，解得x <50； 当y 1＝y 2，即12.6x ＝12x ＋30时，解得x ＝50； 当y 1>y 2，即12.6x >12x ＋30时，解得x >50.34803400x y x y +=⎧⎨+=⎩90130x y =⎧⎨=⎩2030(8)(90-20)(13030)(8)a a a a +-⎧⎨+--⎩≥210≤770a a ⎧⎨⎩≤3≥152********x y x y +=⎧⎨+=⎩1415x y =⎧⎨=⎩综上所述，当购买奖品等于10件但少于50件时，买文具盒省钱；当购买奖品等于50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱．类型四、利用函数知识进行方案设计4．（2015•深圳模拟）将220吨物资从A地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为15（吨/辆）和10（吨/辆），运往甲、乙两地的运费如表1：（1）求这两种货车各需多少辆？（2）如果安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，填写表2，写出运费w（元）与a的函数关系式．若运往甲地的物资不少于110吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费．【思路点拨】（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，根据两种货车的运货总量为220吨建立方程求出其解即可（2）由安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，由总运费=两地费用之和就可以表示会出W与a的关系式，由运往甲地的物资不少于110吨建立不等式求出a的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．【答案与解析】解：（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，由题意，得15x+10（18﹣x）=220，解得：x=8，需要小货车18﹣8=10辆．答：需要大货车8辆，则需要小货车10辆；（2）设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，表格2答案为：大货车去乙地（8﹣a）辆，小货车去甲、乙两地各（8﹣a）辆，（2+a）辆．由题意，得W=700a+800（8﹣a）+400（8﹣a）+600（2+a），W=100a+10800．15a+10（8﹣a）≥110，a≥6．∵k=100＞0，∴W随a的增大而增大，∴a=6时，W最小=11400，∴运往甲地的大货车6辆，小火车2辆，运往乙地的大货车2辆，小火车8辆．最小运费为11400辆．【总结升华】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根据题意用x表示出运往各地的台数是解决问题的关键．类型五、利用几何知识进行方案设计5．某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示),其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆,若整个广场的周长为628米，矩形的边长AB=y 米,BC=x米.(注：取π=3.14)(1)试用含x的代数式表示y；(2)现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为428元,在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为400元；①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；②若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由.③若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由.【思路点拨】（1）把组合图形进行分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可；（2）①利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答；②利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论；③建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题．【答案与解析】解：（1）由题意得，πy+πx=628，∵3.14y+3.14x=628，∴y+x=200则y=200﹣x；（2）①W=428xy+400π+400π，=428x （200﹣x ）+400×3.14×+400×3.14×，=200x 2﹣40000x+12560000；②仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务．理由如下， 由①知W=200（x ﹣100）2+1.056×107＞107， 所以不能；③由题意可知：x≤y 即x≤（200﹣x ）解之得x≤80， ∴0≤x≤80，又题意得：W=200（x ﹣100）2+1.056×107=107+6.482×105， 整理得（x ﹣100）2=441，解得x 1=79，x 2=121（不合题意舍去）， ∴只能取x=79，则y=200﹣79=121；所以设计方案是：AB 长为121米，BC 长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆． 【总结升华】此题利用基本数量关系和组合图形的面积列出二次函数，运用配方法求得最值，进一步结合不等式与一元二次方程解决实际问题．2()2y2(200)4x 24x。
中考冲刺：方案设计与决策型问题(提高)清晨的阳光透过窗帘的缝隙，洒在了我的书桌上，思绪也随之活跃起来。
在这个关键时期，如何设计一套高效的中考冲刺方案，帮助学生在决策型问题上游刃有余，成了我心中的牵挂。
我们要明确决策型问题的特点。
这类问题往往要求学生在有限的时间内，对复杂情境进行快速、准确的判断。
因此，提高解题速度和准确度是关键。
一、知识点梳理1.系统梳理各科知识点，形成知识框架。
让学生对所学知识有一个整体的把握，为解决决策型问题奠定基础。
2.针对每个知识点，设计相应的例题和练习题，让学生在实践中掌握解题方法。
二、解题技巧训练2.设计针对性强的解题技巧训练题，让学生在实际操作中提高解题速度和准确度。
3.组织模拟考试，让学生在实战中检验自己的解题技巧。
三、心理素质培养1.培养学生的自信心。
在冲刺阶段，信心是成功的一半。
要让学生相信自己，敢于面对挑战。
2.增强学生的抗压能力。
决策型问题往往要求学生在高压环境下保持冷静，因此，培养学生的抗压能力至关重要。
3.提高学生的应变能力。
面对复杂的情境，学生要学会灵活应对，迅速作出决策。
四、时间管理策略1.合理安排学习时间。
在冲刺阶段，时间就是金钱。
要让学生学会合理分配时间，提高学习效率。
2.设定学习目标。
为学生设定明确的学习目标，让他们有针对性地进行复习。
3.利用碎片时间。
鼓励学生充分利用碎片时间，如上下学途中、课间休息等，进行复习。
五、家校合作2.家长要关心学生的生活。
在冲刺阶段，学生的生活节奏加快，家长要关注学生的饮食、作息等，确保学生身心健康。
3.家长要给予学生适当的支持。
在关键时刻，家长的支持是学生最大的动力。
六、冲刺阶段具体方案1.第一阶段：知识点复习（1周）重点复习各科知识点，形成知识框架。
每天安排一定时间进行复习，确保学生对所学知识有一个整体的把握。
2.第二阶段：解题技巧训练（2周）针对每个知识点，设计相应的例题和练习题，让学生在实践中掌握解题方法。
利用函数与不等式解方案设计与决策型问题一、从一道例题的解答看方案设计与决策型问题引例：恩发建筑公司从上海某厂购得挖机4台，从北京某厂购得挖机10台。
现在决定运往重庆分公司8台，其余都运往汉口分公司；从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台，从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台 。
（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应多少台？解:(1）设上海运往汉口应x 台，则400(6-x)+ 300x + 800(x+4) + 500(4-x) = 8400解得:x=4因此，若总运费为8400元， 上海运往汉口应4台。
（2）若总运费少于8400元，有哪几种调运方案？解:（2）由题意知：200x+7600＜8400解得:x ＜ 4∵x 为非负整数∴x=0、1、2或3∴若要求总运费不超过 8400元，共有4种调运方案。
如下表：（3）求出总运费最低的调运方案，总运费是多少？设总运费为y 元，由题意知：y= 200x+7600∵200＞0 ∴x=0时y 最小，为7600元。
调运方案如下: 北京到汉口6台，北京到重庆4台，上海到重庆4台.二、方案设计与决策型问题的基本解题方法方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法，来按题目所呈现的要求进行计算，论证，选择，判断，设计的一种数学试题。
纵观近年来各地的中考试题，涉及方案设计与应用的试题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜，新颖别致。
其类型有利用不等式（组）进行方案设计，利用概率与统计进行方案设计，利用函数知识进行方案设计，利用几何知识进行方案设计。
其中以利用函数与不等式解决的方案设计问题为最多。
利用函数与不等式解决的方案设计问题的基本方法是：（1）根据题意建立一次函数关系式；（2）根据实际意义建立关于自变量的不等式组，求函数自变量的取值范围；（3）根据函数自变量的取值范围，确定符合条件的设计方案；（4）利用一次函数的性质求最大值或最小值，确定最优化方案。
中考冲刺：方案设计与决策型问题【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要．如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主．方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题．题型主要包括：1．根据实际问题拼接或分割图形；2．利用方程(组)、不等式(组)、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等．方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视．【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案．解题策略：建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【典型例题】类型一、利用方程（组）进行方案设计例1．国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：（1）求这两种货车各多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，前往甲、乙两地的总运费为w 元，求出w 与a 的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．运往地车型甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 ７２０ ８００ 小货车 ５００ ６５０类型二、利用不等式（组）进行方案设计例2．为美化市容，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个，摆放在文庙广场，搭配每个造型所需花卉情况如表，解答问题：造型甲乙A 90盆30盆B 40盆100盆（1）符合题意的搭配方案有哪几种？（2）若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1200元，试说明选用哪种方案成本最低？举一反三：【变式】荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和l辆乙型汽车共需费用2450元．且同一种型号汽车每辆租车费用相同．(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来，并求出最低的租车费用．类型三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计例3．为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？举一反三：【变式】为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20∶1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅(课桌凳和办公桌椅均成套购进)．(1)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？(2)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．类型四、利用函数知识进行方案设计例4．某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉x盆，全部销售后获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？类型五、利用几何知识进行方案设计例5．某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所饮水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．如图所示，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计)，点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的23km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村(线段CD某处)，甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(线段AB某处)，请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？举一反三：【变式】在△ABC 中，BC ＝a ，BC 边上的高h ＝2a ，沿图中线段DE 、CF 将△ABC 剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ，如图所示．请你解决如下问题：已知：在锐角△A ′B ′C ′中，B ′C ′＝a ，B ′C ′边上的高h ＝a 21．请你设计两种不同的分割方法，将△A ′B ′C ′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，画出分割线及拼接后的图形．【巩固练习】 一、选择题1.有甲，乙，丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需285元钱，那么购甲，乙，丙三种商品各一件共需（ ）A ．50B ．100C ．150D ．2002．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④3. 下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题4．我们知道，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）.解：设有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（1）：若这角恰好是直角，则这两个三角形全等.方案（2）： .方案（3）： .5．适逢南开中学建校78周年暨（融侨）中学建校10周年校庆活动，学校准备印刷2000份校庆专刊．甲厂的优惠是先降价20%，再降价10%，乙厂的优惠是前1000份优惠10%，后1000份优惠30%，选择厂更划算．6.几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．+=的值最小（不必证方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，则PA PB A B'明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方+的最小值是形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB PE___________；（2） 如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，则PA PC +的最小值是___________；（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，则PQR △周长的最小值是___________．三、解答题7. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x 千克．（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元）与x （千克）之间的函数关系式； （2）小明选择哪家快递公司更省钱？ 8．今年是“十二五”计划的开局之年，5月16日国务院讨论通过《国家基本公共服务体系“十二五”规划》．会议决定：本年度安排264亿元的财政补贴用于推广符合节能标准的家用电器（包括空调、平板电视、洗衣机和热水器），其中洗衣机、平板电视的补贴比热水器补贴分别多20%、40%，而热水器的补贴比空调补贴少；同时建议，以后两年用于推广符合节能标准家用电器的财政补贴每年递增a 亿元，“十二五”的最后两年用于此项财政补贴每年按照一定比例递增，从而使“十二五”期间财政补贴总额比规划第二年补贴的5.31倍还多2.31a 亿元．（1）若热水器的财政补贴今年比2011年增长10%，则2011年热水器的财政补贴为多少亿元？ （2）求“十二五”的最后两年用于此项财政补贴的年平均增长率．ABA 'PlOA B PRQ 图3OABC 图2ABE CPD图1P9.某工厂计划为某山区学校生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3．（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往该学校，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费）（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由.10.如图1,矩形铁片ABCD 的长为a 2,宽为a ;为了要让铁片能穿过直径为a 1089的圆孔,需对铁片进行处理(规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔)；(1)如图2,M 、N 、P 、Q 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点,若将矩形铁片的四个角去掉,只余下四边形MNPQ,则此时铁片的形状是_______________,给出证明,并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；(2)如图3,过矩形铁片ABCD 的中心作一条直线分别交边BC 、AD 于点E 、F(不与端点重合), 沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；①当BE=DF=a 51时,判断直角梯形铁片EBAF 能否穿过圆孔,并说明理由；②为了能使直角梯形铁片EBAF 顺利穿过圆孔,请直接写出线段BE 的长度的取值范围 .。
方案设计与决策性问题专题复习精讲上海甘泉外国语中学孙振飞（1）专题精讲：方案设计为决策性问题通常是创设一种实际悄境，要求学生首先能理解题意，然后再用文字语言或图形表述设计方案，最后给予解答；或预设几种方案，从中选取某一种（或几种）方案进行探讨，确定方案的町行性，或将几种方案进行比较，确定出最优方案.方案设计与决策性试题是中考的热点题材，主耍利用图案设计或经济决策来解决实际问题，题型常包括：1.根据实际问题拼接或分割图形、设计图形、设计测量方案；2.利用方程（组）、不等式（组）、函数等知识对实际问题中的方案进行比较，设计出最佳方案等.题目多以解答题为主，难度为中等偏上，有时位居解答题的倒数第二题，通常由浅入深设置二〜三个问题，初始问题较为简单，只需利用基本知识或看懂题意即口J解决，后续问题的已知条件或解题要求则冇了较大的变化，不可生搬锁套、简单效仿，需找出与上一个问题差升所在，把解决IH问题的方法迁移到新问题中来.由于学生知识和能力的差界，使得方案具有不确定性与多样性，重点考査同学们思维的深刻性和创新性，此类试题显苦变化的趋势是以方案设计的合理性看应用的深刻程度，以设计质量看创新能力的高低，更着重考杳学住综合运用知识解决实际问题的能力.（2）典例剖析：例1 （2010•湖南衡阳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工來完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车; 2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.（1）每名熟练工和新工人每刀分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘H（0<n<10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招轉方案？• • •（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每刀发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数虽多于熟练工，同时工厂每刀支出的工资总额W （元）尽可能的少?解析：笫（1）问较为简单，由题T•部分所提供的两个等量关系，可设每名熟练工和新工人每月分别x + 2y = 8 \x = 4可以安装"辆电动汽车，建立出二元-次方程组2“爲4'解得“2'即每名熟练工和新工人每月分別可以安装4、2辆电动汽车.笫（2）问抓住“刚好”这一关键要素，得到关于加和n的二元一次方程：2nxl2+4mxl2=240, n=\0~2m f再由限制条件0<n<10,得到0<m<5,加之加是正整数,可知有四种方案，方案1：抽调1名熟练工，需招聘8名新工人；方案厶抽调2名熟练工，需招嗚6名新工人；方案3：:抽调3名熟练工，需招删4名新工人；方案4：抽调4名熟练工，需招聘「2名新工人.第（3）问在第（2）问的基础上，先据“新工人的数虽多于熟练工”这一条件，舍去方案4.在余下的三种方案中确定“工资总额尽可能的少”的方案有两种处理方法，方法一：根据具体的熟练工和新工人的人数分別求出相应的T资总额，通过比较后，确定最优方案；方法二：建立出W与n的函数关系式为W=\200n+（5--n ）2 x2000 =200 H+10000,由一次函数的增减性可知，招聘4名新工人时，每月支出的工资总额最少.反思：从确定一次不定方程整数解个数的角度来考杳方案的可能情况，是方案设计类问题的一种新趋势，本题关键是根据题意建立出二元一次方程，并能由题FI中的限制条件得到整数解；对丁•最优方案的确定，因本题中的方案个数较少，逐一计算是可行的，若问题中的方案情况较多，采用计算较为麻烦，此时, 用函数增减性的知识来处理则较为方便，口思维更流畅有序.例2 （2011-福建省莆田市）某高科技公司根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：信息一：人、8两种型号的医疔器械共生产80台.信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800 万元，但不超过⑻0万元.且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械.信息三：A、B两种医疗器械的牛产成本和售价如下表：根据上述信息.解答下列问题：（1）该公司对此两种医疗器械有哪儿种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？（2）根据市场调查，每台4型医疗器械的售价将会提高a万元（。
