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第3讲 直接证明与间接证明随堂演练巩固1.证明命题:”f(x)=e x 1e x +在(0),+∞上是增函数”,某同学给出的证明如下:∵f(x)=e x 1e x +,∴f′(x)=e x 1e x-.又x>0,∴e x 1101e x >,<<.∴e x 10e x ->.也就是f′(x)>0.∴函数f(x)在(0),+∞上是增函数,这位同学所使用的证明方法是( )A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【答案】 A2.分析法又叫执果索因,若使用分析法证明,设a >b >c ,且a +b +c =0,求证<.索的因应 是( )A.a -b >0B.a -c >0C.(a -b )(a -c )>0D.(a -b )(a -c )<0【答案】 C【解析】 成立,由于a >b >c ,且a +b +c =0,∴a >0,即证223b ac a -<成立.也就是22()3a c ac a +-<成立.整理可得(a -c )(2a +c )>0,又a +c =-b ,∴即证(a -c )(a -b )>0.由于a >b >c ,∴a -b >0且a -c >0.也就是不等式(a -c )(a -b )>0显然成立.故若用分析法证本题,索的因应是C 项.3.用反证法证明命题“如果a >b ,>,假设的内容是 .【答案】≤【解析】 “如果a >b ,那么>,≤4.在用反证法证明数学命题时,如果原命题的否定事项不止一个时,必须将结论的否定情况逐一 驳倒,才能肯定原命题的结论是正确的.例如:在△ABC 中,若AB=AC,P 是△ABC 内一点APB ,∠> APC ∠,求证:BAP CAP ∠<∠.用反证法证明时应分:假设 和 两类.【答案】 BAP CAP ∠=∠ BAP CAP ∠>∠课后作业夯基基础巩固1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件【答案】 A2.<,其中最合理的是( ) A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法【答案】 B 3.命题“对于任意角θ,c os 4θ-sin 4θ=c os 2θ”的证明如下:“4cos θ-sin 4(θ=2cos θ-2sin )(θ2cos θ+2sin )θ=2cos θ-sin 2θ=c os2θ该过程应用了( )A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法【答案】 B【解析】 因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.4.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,假设正确的是( )A.假设三内角都不大于60B.假设三内角都大于60C.假设三内角至多有一个大于60D.假设三内角至多有两个大于60【答案】 B【解析】 命题可叙述为“三角形的内角中至少有一个小于或等于60”,它的反设应是“三角形的内角都大于60”.5.要证:222210a b a b +--≤,只要证明( )A.22210ab a b --≤B.4422102a b a b ++--≤C.222()102a b a b +--≤D.22(1)(1)0a b --≥【答案】 D【解析】 因为22222210(1)(1)0a b a b a b +--≤⇔--≥.6.设(0)a b c ,,∈-∞,,则111a b c b c a +,+,+( )A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2【答案】 C【解析】 因为1116a b c b c a +++++≤-,所以三者不能都大于-2.7.已知点P(a,b)在直线x+2y=4的第一象限的部分上,则log 2a +log 2b 的最大值是( )A.-1B.1C.-2D.2【答案】 B【解析】 由已知得a+2b=4,且0<a<4,0<b<2.则2a b +≥即4≥∴2(ab ≤当且仅当a=2b 时取”=”).∴log 2a +log 2b =log 2()ab ≤log 221=.因此,log 2a +log 2b 的最大值是1.8.<,则a ,b 应满足的条件是 .【答案】 ab >0时,b <a ;ab <0时,b >a【解析】 要使该不等式成立,则a b a b ---成立.<即证22ab a b <,整理得ab (a -b )>0.∴只要ab 与a -b 同号,上述不等式便成立.9.,正确的假设是 .【答案】 成等差数列10.设a 、b 、c 、d 是正数,求证:下列三个不等式a +b <c +d , ①(a +b )(c +d )<ab +cd , ②(a +b )cd <ab (c +d ) ③中至少有一个不正确. 【证明】 假设不等式①②③都成立.因为a 、b 、c 、d 都是正数,所以式①与式②相乘,得:2()a b ab cd +<+. ④由式③得(a +b )cd 2()()()2a b ab c d c d +<+≤+. 因为a +b >0,所以4cd <(a +b )(c +d ).结合式②,得4cd <ab +cd ,所以3cd <ab ,即13cd ab <. 由式④得24()3a b ab +<, 故22203a b ab +<-<,显然不成立. 所以不等式①②③中至少有一个不正确.11.已知△ABC 的三个内角A,B,C 成等差数列,且三个内角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,求证:311a b b c a b c+=++++. 【证明】 要证原等式成立,只需证3a b c a b c a b b c +++++=,++ 即1c a a b b c+=,++ 即只需证2221bc c a ab ab b ac bc+++=,+++而A+C=2B, ∴B=60.∴222b ac ac =+-. ∴222222222221bc c a ab bc c a ab bc c a ab ab b ac bc ab a c ac ac bc ab a c bc +++++++++===+++++-+++++.从而原等式得证. 拓展延伸12.如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为AB,DF 的中点.(1)若平面ABCD ⊥平面DCEF,求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值;(2)用反证法证明:直线ME 与BN 是两条异面直线.【解】(1)取CD 的中点G,连接MG,NG.设正方形ABCD,DCEF 的边长为2,则2MG CD MG NG ⊥,=,=因为平面ABCD ⊥平面DCEF,所以MG ⊥平面DC EF.可得MNG ∠是MN 与平面DCEF 所成的角.因为MN所以sin MNG ∠=即MN 与平面DCEF (2)证明:假设直线ME 与BN 共面,则AB ⊂平面MBEN,且平面MBEN 与平面DCEF 交于EN.由已知,两正方形不共面,故AB ⊄平面DCEF.又AB ∥CD,所以AB ∥平面DCEF.而EN 为平面MBEN 与平面DCEF 的交线,所以AB ∥EN.又AB ∥CD ∥EF,所以EN ∥EF,这与EN EF E ⋂=矛盾,故假设不成立. 所以直线ME 与BN 不共面,即它们是异面直线.。
直接证明与间接证明、数学归纳法[考试要求] 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法．2．间接证明——反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( ) (3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件． ( ) (4)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a <b ”． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材习题衍生1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [凸n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验n ＝3.]2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数B [“至少有一个”的否定为“都不是”，故B 正确．]3．若P ＝a ＋6＋a ＋7，Q ＝a ＋8＋a ＋5(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝Q C ．P <QD ．不能确定A [假设P >Q ，只需P 2>Q 2，即2a ＋13＋2(a ＋6)(a ＋7)>2a ＋13＋2(a ＋8)(a ＋5)，只需a 2＋13a ＋42>a 2＋13a ＋40.因为42>40成立，所以P >Q 成立．故选A ．]4．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *，且a 1＝2，则a 2＝ ，a 3＝ ，a 4＝ ，猜想a n ＝ .3 4 5 n ＋1 [易得a 2＝3，a 3＝4，a 4＝5，故猜想a n ＝n ＋1.]考点一 综合法的应用掌握综合法证明问题的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. [证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a ，b ，c 均为正数， a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ， 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.[母题变迁]本例的条件不变，证明a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 因为a ＋b ＋c ＝1，所以1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ， 因为2ab ≤a 2＋b 2,2bc ≤b 2＋c 2,2ac ≤a 2＋c 2， 所以2ab ＋2bc ＋2ac ≤2(a 2＋b 2＋c 2)， 所以1≤a 2＋b 2＋c 2＋2(a 2＋b 2＋c 2)， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.点评：(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”；(2) 应用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 放缩时要注意待证不等式的方向性．[跟进训练]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知si n A si n B ＋si n B si n C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若C ＝2π3，求证：5a ＝3b .[证明] (1)由已知得si n A si n B ＋si n B si n C ＝2si n 2B ， 因为si n B ≠0，所以si n A ＋si n C ＝2si n B ，由正弦定理，得a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列． (2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0， 即5a ＝3b .考点二 分析法的应用分析法证明问题的思路及适用范围利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．[典例2] 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. [证明] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，也就是ca ＋b ＋ab ＋c ＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2ac cos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．点评：(1)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，如本例中，通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c2＋a2＝ac＋b2”，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．[跟进训练]若a，b∈(1，＋∞)，证明a＋b＜1＋ab.[证明]要证a＋b＜1＋ab，只需证(a＋b)2＜(1＋ab)2，只需证a＋b－1－ab＜0，即证(a－1)(1－b)＜0.因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，即(a－1)(1－b)＜0成立，所以原不等式成立．考点三反证法的应用用反证法证明问题的步骤[典例3] 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．[证明] 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1， 有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1； 同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．点评：(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．(2)在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等．[跟进训练]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d .所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)(n ∈N *)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋2，假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， 所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0，因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，所以p ＝r ，与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 考点四 数学归纳法的应用1．应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．2．利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性．[典例4] (2019·浙江高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n ＜2n ，n ∈N *. [解] (1)设数列{a n }的公差为d ，∴a n ＝2n －2，n ∈N *. ∴S n ＝n 2－n ，n ∈N *.∵数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列， ∴(S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )， 解得b n ＝1d (S 2n ＋1－S n S n ＋2)，即b n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)证明：c n ＝a n2b n＝2n －22n (n ＋1)＝n －1n (n ＋1)，n ∈N *，用数学归纳法证明：①当n ＝1时，c 1＝0＜2，不等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立， 即c 1＋c 2＋…＋c k ＜2k ， 则当n ＝k ＋1时，c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1＜2k ＋k (k ＋1)(k ＋2)＜2k ＋1k ＋1＜2k ＋2k ＋1＋k＝2k ＋2(k ＋1－k )＝2k ＋1，即n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由①②得c 1＋c 2＋…＋c n ＜2n ，n ∈N *.点评：用数学归纳法证明与n 有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．[跟进训练]已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． [解] (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)＜g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)＜g (3)．(2)由(1)猜想，f (n )≤g (n )，用数学归纳法证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k (k ＞3，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2，则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3＜32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为12(k ＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1(k ＋1)3＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2＜0，所以f (k ＋1)＜32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．。
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第4节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法与分析法1,3，4，5，7，8，9，13反证法2数学归纳法6,10,15推理与证明的综合应用11，12,14基础巩固（时间：30分钟)1。
命题“如果数列｛a n}的前n项和S n=2n2—3n,那么数列｛a n}一定是等差数列”是否成立( B ）(A)不成立 (B)成立（C）不能断定(D)与n取值有关解析:因为S n=2n2—3n,所以n=1时a1=S1=-1,当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n2-3n-2(n—1）2+3(n-1）=4n—5，n=1时适合a n，且a n-a n—1=4,故｛a n｝为等差数列，即命题成立。
故选B.2.用反证法证明某命题时，对结论:“自然数a,b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为（ B ）（A)a，b,c中至少有两个偶数(B）a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数（C）a,b，c都是奇数（D)a，b,c都是偶数解析:a，b,c恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数。
其否定有a，b，c 均为奇数或a,b，c至少有两个偶数。
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第2节直接证明与间接证明最新考纲 1.了解直接证明的两种基本方法—-分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2。
了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点。
知识梳理1.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等）为止实质由因导果执果索因框图表示错误!→错误!→…→错误!错误!→错误!→…→错误!文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1）反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立的证明方法.（2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立；②归谬--根据假设进行推理，直到推出矛盾为止;③结论—-断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立。
