高考数学直接证明与间接证明

高考数学逻辑知识点总结在高考数学中，逻辑知识点是非常重要的一部分。

它不仅是解决数学问题的基础，还能培养我们的思维能力和推理能力。

下面我们就来详细总结一下高考数学中常见的逻辑知识点。

一、命题命题是可以判断真假的陈述句。

命题包括真命题和假命题。

比如“2+3=5”就是一个真命题，而“1+1=3”就是一个假命题。

命题通常用小写字母p，q 等来表示。

如果一个命题的条件成立时，结论一定成立，那么这个命题就是真命题；如果条件成立时，结论不一定成立，那么这个命题就是假命题。

二、四种命题及其关系原命题：若 p，则 q。

逆命题：若 q，则 p。

否命题：若¬p，则¬q。

逆否命题：若¬q，则¬p。

原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。

三、充分条件与必要条件如果有命题“若 p，则q”，那么 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

充分条件意味着只要 p 成立，q 就一定成立；必要条件则是说如果q 不成立，那么 p 也一定不成立。

比如“若 x＞1，则 x＞0”，那么“x＞1”是“x＞0”的充分条件，“x＞0”是“x＞1”的必要条件。

四、逻辑联结词1、“且”（∧）：表示两个命题同时成立。

比如“p 且q”只有当 p 和q 都为真时，整个命题才为真。

2、“或”（∨）：表示两个命题至少有一个成立。

“p 或q”只要 p 和q 中有一个为真，整个命题就为真。

3、“非”（¬）：表示对一个命题的否定。

如果原命题为真，那么其否定为假；如果原命题为假，那么其否定为真。

五、全称量词与存在量词1、全称量词：“所有”“任意”“一切”等，表示对某个范围内的所有对象都成立。

用符号“∀”表示。

2、存在量词：“存在”“至少有一个”“有些”等，表示在某个范围内存在某个对象成立。

用符号“∃”表示。

全称命题：∀x∈M，p(x)。

特称命题：∃x∈M，p(x)。

六、全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

数学是一门严谨的学科，其核心在于推理与证明。

在进行数学证明时，有直接证明和间接证明两种方法。

直接证明是通过逻辑推理直接得出结论，而间接证明则是通过反证法或者归谬法，通过推翻事实的否定来得出结论。

本文将分别介绍直接证明和间接证明，并分析它们在数学证明中的应用。

首先，我们来讨论直接证明。

直接证明是最常见、最直接的证明方法。

其核心思想是根据已知条件和数学定理，一步一步地推导出结论。

直接证明通常包括假设、推理和结论三个步骤。

首先，我们根据题目给出的条件假设一些前提条件，然后利用已知的定理和公理进行推理，最后根据这些推理得出结论。

直接证明的优点是逻辑性强、直观明了，容易让读者明白推理的过程。

此外，对于一些简单的数学问题，直接证明能够很快得出结论，省去了许多繁琐的步骤。

然而，直接证明的弊端是有时难以找到合适的定理进行推理，或者推导过程中的中间步骤比较复杂。

在遇到这种情况时，我们就需要采用间接证明的方法。

其次，我们来讨论间接证明。

间接证明有两种形式，一种是反证法，另一种是归谬法。

反证法的基本思想是通过假设反命题的真假进行推导，如果得出一个恒真的结论，则原命题成立。

归谬法则是通过假设原命题为真进行推导，最后得出一个恒假的结论，从而推翻了原命题。

间接证明的优点是可以处理一些复杂的数学问题，特别是那些直接证明困难的问题。

间接证明可以通过假设反命题的真假或者假设原命题的真假，利用反证法或归谬法的推导过程将问题的复杂性降低，从而得出结论。

然而，间接证明的过程通常较为繁琐，需要较高的抽象思维能力和逻辑推理能力。

在实际的数学证明中，常常需要根据题目的要求和限制条件选择合适的证明方法。

有时，我们可以通过观察和归纳总结出一些数量关系或性质，然后用直接证明进行推导。

而对于一些性质复杂的数学问题，我们可能需要采用间接证明的方法。

因此，掌握直接证明和间接证明的技巧对于解决数学问题至关重要。

总之，数学证明中的直接证明和间接证明是两种常用的推理方法。

§11.2直接证明与间接证明考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.直接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A 解答题★★★2.间接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A 解答题★★★分析解读本节内容江苏高考一般很少单独考查,一般都和其他知识相结合,放在不同的解答题中考查其运用.五年高考考点一直接证明1.(2013广东理,19,14分)设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=1,=a n+1-n2-n-,n∈N*.(1)求a2的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.解析(1)依题意,得2S1=a2--1-,又S1=a1=1,所以a2=4.(2)当n≥2时,2S n=na n+1-n3-n2-n,2S n-1=(n-1)a n-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),两式相减得2a n=na n+1-(n-1)a n-(3n2-3n+1)-(2n-1)-,整理得(n+1)a n=na n+1-n(n+1),即-=1,又-=1,故数列是首项为=1,公差为1的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n,所以a n=n2.(3)证明:当n=1时,=1<;当n=2时,+=1+=<;当n≥3时,=<=-,此时++…+=1++++…+<1++++…+=1++-=-<.综上,对一切正整数n,有++…+<.教师用书专用(2)2.(2013湖北理,22,14分)设n是正整数,r为正有理数.(1)求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值;(2)证明:<n r<;(3)设x∈R,记[x]为不小于x的最小整数,例如[2]=2,[π]=4,=-1.令S=+++…+,求[S]的值.(参考数据:8≈344.7,8≈350.5,12≈618.3,12≈631.7)解析(1)因为f '(x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)[(1+x)r-1],令f '(x)=0,解得x=0. 当-1<x<0时, f '(x)<0,所以f(x)在(-1,0)内是减函数;当x>0时, f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)内是增函数.故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.(2)证明:由(1)知,当x∈(-1,+∞)时,有f(x)≥f(0)=0,即(1+x)r+1≥1+(r+1)x,且等号当且仅当x=0时成立,故当x>-1且x≠0时,有(1+x)r+1>1+(r+1)x.①在①中,令x=(这时x>-1且x≠0),得>1+.上式两边同乘n r+1,得(n+1)r+1>n r+1+n r(r+1),即n r<.②当n>1时,在①中令x=-(这时x>-1且x≠0),类似可得n r>.③且当n=1时,③也成立.综合②,③得<n r<.④(3)在④中,令r=,n分别取值81,82,83,…,125,得(8-8)<<(8-8),(8-8)<<(8-8),(8-8)<<(8-8),……(12-12)<<(12-12).将以上各式相加,并整理得(12-8)<S<(12-8).代入数据计算,可得(12-8)≈210.2,(12-8)≈210.9.由[S]的定义,得[S]=211.考点二间接证明1.(2014山东改编,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是.答案方程x3+ax+b=0没有实根2.(2013北京理,19,14分)已知A,B,C是椭圆W:+y2=1上的三个点,O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.解析(1)椭圆W:+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=±.所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|=×2×2|m|=.(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0).由消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设A(x1,y1),C(x2,y2),则=-,=k·+m=.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-.因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一直接证明1.(2018江苏淮安高级中学阶段测试)已知函数f(x)=e x,x∈R.(1)设x>0,判断函数g(x)=f(x)-mx零点的个数;(2)设a<b,比较与的大小,证明.解析(1)因为g(x)=e x-mx(x>0),所以g'(x)=e x-m.当m≤1时,g'(x)=e x-m>e0-m≥0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=1,此时函数无零点.当m>1时,令g'(x)=e x-m=0,得x=ln m,当x∈(0,ln m)时,g'(x)<0,g(x)在(0,ln m)上单调递减;当x∈(ln m,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(ln m,+∞)上单调递增.故g(x)min=g(ln m)=m-mln m=m(1-ln m).当1<m<e时,g(x)min=m(1-ln m)>0,此时函数无零点,当m=e时,g(x)min=0,此时函数有1个零点.当m>e时,g(ln m)<0.又因为g(0)=1>0,故函数在(0,ln m)上有唯一零点.g(2ln m)=e2ln m-m·2ln m=m2-2mln m=m(m-2ln m),令φ(m)=m-2ln m(m>e),则φ'(m)=1->0,所以φ(m)在(e,+∞)上单调递增,φ(m)>e-2>0,故g(2ln m)>0,故函数在(ln m,+∞)上有唯一零点,此时函数有两个零点.综上,当m<e时,函数无零点;当m=e时,函数有1个零点,当m>e时,函数有2个零点.(2)>.要证>,只要证>.只要证>==1-,令h(x)=+-1(x>0),所以h'(x)=-=>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,故h(x)>0,所以+-1>0,故原不等式成立.2. (2017江苏无锡一中月考)已知函数f(x)=tan x,x∈,若x1,x2∈,且x1≠x2,求证:[f(x1)+f(x2)]>f.证明要证[f(x1)+f(x2)]>f,即证明(tan x1+tan x2)>tan ,只需证明>tan ,只需证明>.由于x1,x2∈,故x1+x2∈(0,π).所以cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0.故只需证明1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2,即证1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2.即证cos(x1-x2)<1.由x1,x2∈,x1≠x2知上式显然成立,因此[f(x1)+f(x2)]>f.考点二间接证明3.(2016江苏无锡期中)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.答案③4.(苏教选2—2,二,2,9,变式)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+S n=2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证:数列{a n}中不存在三项按原来顺序成等差数列.解析(1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.又a n+S n=2,所以a n+1+S n+1=2,两式相减得a n+1=a n,所以{a n}是首项为1,公比为的等比数列,所以a n=.(2)证明:反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为a p+1,a q+1,a r+1(p<q<r,且p,q,r∈N*),则2·=+,所以2·2r-q=2r-p+1.(*)又因为p<q<r,且p,q,r∈N*,所以r-q,r-p∈N*.所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.所以假设不成立,原命题得证.5.(2017江苏苏中三校联考)若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f(x)是[a,b]上的“四维光军”函数.(1)设g(x)=x2-x+是[1,b]上的“四维光军”函数,求常数b的值;(2)是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.解析(1)由题设得g(x)=(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,所以函数在区间[1,b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,即b2-b+=b,解得b=1或b=3.因为b>1,所以b=3.(2)假设函数h(x)=在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,因为h(x)=在区间(-2,+∞)上单调递减,所以有即解得a=b,这与已知矛盾.故不存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=是区间[a,b]上的“四维光军”函数.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:15分时间:10分钟)解答题(共15分)(2017江苏射阳中学质检)各项均为正数的等比数列{a n},a1=1,a2a4=16,{b n}的各项均为正数,前n项和为S n,a4=b3,且6S n=+3b n+2(n∈N*).(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式;(2)令c n=(n∈N*),求使得c n>1的所有n的值,并说明理由;(3)证明{a n}中任意三项不可能构成等差数列.解析(1)设{a n}的公比为q,则q>0.∵a2a4=q4=q4=16,∴q2=4,∴q=2,∴a n=2n-1,∴b3=a4=8.∵6S n=+3b n+2,①∴当n≥2时,6S n-1=+3b n-1+2,②①-②得6b n=-+3b n-3b n-1(n≥2),即(b n+b n-1)(b n-b n-1)=3(b n+b n-1)(n≥2),∵b n>0,∴b n-b n-1=3,∴{b n}是公差为3的等差数列.当n=1时,6b1=+3b1+2,解得b1=1或b1=2,当b1=1时,b n=3n-2,此时b3=7,与b3=8矛盾;当b1=2时,b n=3n-1,此时b3=8=a4,∴b n=3n-1.(2)∵b n=3n-1,∴c n==,∴c1=2>1,c2=>1,c3=2>1,c4=>1,c5=<1,下面证明当n≥5时,c n<1.事实上,当n≥5时,c n+1-c n=-=<0,即c n+1<c n,∵c5=<1,∴当n≥5时,c n<1,故满足条件c n>1的所有n的值为1,2,3,4.(3)证明:假设{a n}中存在三项p,q,r(p<q<r,p,q,r∈N*)使a p,a q,a r构成等差数列,∴2a q=a p+a r,即2·2q-1=2p-1+2r-1.∴2q-p+1=1+2r-p.左边为偶数,右边为奇数,∴矛盾.∴假设不成立,故{a n}中不存在任意三项能构成等差数列.C组2016—2018年模拟·方法题组方法解有关证明问题的常用解题技巧与方法(2017江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考,19)已知函数f(x)=,g(x)=ln x,其中e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)g(x)在x=1处的切线方程;(2)若存在x1,x2(x1≠x2),使得g(x1)-g(x2)=λ[f(x2)-f(x1)]成立,其中λ为常数,求证:λ>e;(3)若对任意的x∈(0,1],不等式f(x)g(x)≤a(x-1)恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)因为y=f(x)g(x)=,所以y'=,当x=1时,y'=,y=0.所以曲线y=f(x)g(x)在x=1处的切线方程为y=(x-1),即x-ey-1=0.(2)证明:由g(x1)-g(x2)=λ[f(x2)-f(x1)]得g(x1)+λf(x1)=g(x2)+λf(x2).记p(x)=g(x)+λf(x)=ln x+,则x∈(0,+∞),且p'(x)=.假设λ≤e.①若λ≤0,则p'(x)>0,所以p(x)在(0,+∞)上为单调增函数.又p(x1)=p(x2),所以x1=x2,与x1≠x2矛盾.②若0<λ≤e,记r(x)=e x-λx,则r'(x)=e x-λ.设r'(x0)=0,解得x0=ln λ.当x>x0时,r'(x)>0,r(x)在(x0,+∞)上为单调增函数;当0<x<x0时,r'(x)<0,r(x)在(0,x0)上为单调减函数.所以r(x)≥r(x0)=λ(1-ln λ)≥0,所以p'(x)≥0,所以p(x)在(0,+∞)上为单调增函数.又p(x1)=p(x2),所以x1=x2,与x1≠x2矛盾.综合①②可知,假设不成立,所以λ>e.(3)由f(x)g(x)≤a(x-1)得ln x-ae x(x-1)≤0.记F(x)=ln x-ae x(x-1),0<x≤1,则F'(x)=-axe x=xe x.当a≤时,因为≥,xe x>0,所以F'(x)≥0,所以F(x)在(0,1]上为单调增函数,所以F(x)≤F(1)=0,故原不等式恒成立.当a>时,一方面,F'(1)=1-ae<0.另一方面,∃x1=<1,F'(x1)≥-aex1=x1=x1ae(ae-1)>0.所以∃x0∈(x1,1),使F'(x0)=0,所以当x0<x<1时,F'(x)<0,故F(x)在(x0,1)上为单调减函数,此时F(x)>F(1)=0,不合题意. 综上,a≤.。

直接证明与间接证明1． 直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)． (2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件. 2． 间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． [难点正本 疑点清源]1． 综合法证明问题是由因导果，分析法证明问题是执果索因．2． 分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用． 基础题1． 要证明“3＋7<25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________．(填序号)①反证法，②分析法，③综合法．2． 下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab≥2成立的条件的个数是________． 3． 已知函数f (x )＝lg1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝______(用b 表示)．4． 下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法；⑤反证法是间接证法．其中正确的有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5． 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60° 题型分类题型一 综合法的应用例1 已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．思维启迪：利用a 2＋b 2≥2ab ，1a 2＋1b 2≥2ab ，再利用ab ＋1ab ≥2，根据这个解题思路去解答本题即可．已知a 、b 、c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2≤6. 题型二 分析法的应用例2 已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .思维启迪：本题若使用综合法，不易寻求证题思路．可考虑使用分析法．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.题型三 反证法的应用例3 已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0， x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数根．思维启迪：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三个方程都没有实数根”．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．随堂练A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2<bc 2B ．a 2>ab >b 2 C.1a <1bD.b a >a b2． 设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ≤b3． 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<04． 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是__________．6． 用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是_____． 7． 设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线． 三、解答题(共22分)8． (10分)已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.9． (12分)已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1.(1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2D.a b <a ＋1b ＋12． 设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－23． 已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论： (1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题(每小题5分，共15分)4． 关于x 的方程ax ＋a －1＝0在区间(0,1)内有实根，则实数a 的取值范围是__________． 5． 若a ，b ，c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么当n >2，n ∈N *时，a n ＋b n 与c n 的大小关系为____________．6． 凸函数的性质定理为如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上 是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________． 三、解答题7． (13分)已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1.(1)若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围； (2)设m ，n ∈R ＋，且m >n ，求证：m －n ln m －ln n <m ＋n 2.。