绝对平面

线性代数基本定理 一、矩阵的运算1.不可逆矩阵的运算不满足消去律 AB=O,A 也可以不等于O11-1-1æèçöø÷1-1-11æèçöø÷=0000æèçöø÷ 2.矩阵不可交换(A +B )2=A 2+AB +BA +B2(AB )k=ABABABAB ...AB3.常被忽略的矩阵运算规则(A +B )T =A T +B T(l A )T=l AT4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算(diag(a1,a2,...,an))-1=diag(1a1,1a2,...,1an)(kA)-1=1kA-1方法1.特殊矩阵的乘法A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。

且：B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断A@BÛR(A)=R(B)任何矩阵等价于其标准型3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘n阶为列变换4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：A2-A-2I=O，证明(A+2I)可逆。

把2I项挪到等式右边，左边凑出含有A+2I的一个多项式，在确保A平方项与A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I项多加或少加了几个。

5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同矩阵乘法（以A*B为例）：A的列的分法要与B行的分法一致，如：如红线所示：左边矩阵列分块在第2列与第3列之间，那么，右边矩阵分块在第二行与第三行之间至于蓝线，如何画，画不画，只画在哪个矩阵里都无所谓，分块数只决定了最后结果矩阵的行列，并不能决定矩阵是否能做乘法的原则性问题。

求逆：如果均可逆，若，则反块对角阵也一样，把反对角线上的矩阵求逆。

求转置：块转置，每一块里面的也要转置 6.把普通线性组合式写成矩阵形式二、行列式的计算计算一般行列式时需注意： A ． 代数余子式的正负B ． 初等变换用等号，行列式的值可能变化A 1,A 2,...,A m1. 特殊形状行列式上下三角行列式、反上下三角行列式 det(kA)=det(A) det(AB)=det(A)det(B)块对角行列式（用拉普拉斯展开定理证明）2. 一般行列式的计算原则A.按0多的行或者列展开，进行行列式的降阶B.行列式中一行（列）出现加法的，可变成两个行列式C.行列式如果某一行（列）有公因子的，可以提出来 其中，B 点最容易被忽略掉！！！ 例题：已知abcd=1k nA nn O *B mm =A nn *OB mm =A BO A nn B mm*=*A nn B mmO=(-1)mnA Bdet(diag (A 1,A 2,...A n ))=det(A i )i =1nÕD=a2+1a2a1a1 b2+1b2b1b1 c2+1c2c1c1 d2+1d2d1d1=abcd a11a21ab11b21bc11c21cd11d21d+1a2a1a11b2b1b11c2c1c11d2d1d1不用计算每一个行列式值为多少，观察发现此式正好得03. 范德蒙德行列式注意：范德蒙德行列式第一行（列）从1开始到n-1次方，从上到下或从左到右升幂不同底数来说，右边减左边或下边减上边，这就是i 和j 的用处=(x i-x j)n ³i >j ³1Õ4.几种n阶行列式的巧算办法：见笔记本5.克拉默法则：解决伴随矩阵问题的好方法。

名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质（含答案解析）●考试目标主词填空1.平面（1）平面是理想的、绝对的平且无限延展的.（2）平面是由它内部的所有点组成的点集，其中每个点都是它的元素.2.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.●题型示例点津归纳【例1】在空间内，可以确定一个平面的条件是 ( )A.两两相交的三条直线B.三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E. 两条直线【解前点津】 A中的两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不交于同一点；若交于同一点，则三直线不一定在同一个平面内.∴应排除A.B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，三条直线是不能确定一个平面的.∴应排除B.对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，后者是不能的.∴应排除C.条件E中的两条直线可能共面，也可能不共面.∴应排除E.只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，可确定一个平面.【规范解答】 D.【解后归纳】平面的基本性质（三个公理及公理3的三个推论）是研究空间图形性质的理论基础，必须认真理解，熟练地掌握本题主要利用公理3及其推论来解答的.【例2】把下列用文字语言叙述的语句，用集合符号表示，并画直观图表示.(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，点A、B都在直线l上；(2)平面α与平面β相交于直线l，直线a在平面α内且平行于直线l.【解前点津】注重数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)间的相互转化训练，有利于提高分析问题、解决问题的能力.正确使用⊂、⊄、∈、∉、⋂等符号表示空间基本元素之间的位置关系是解决本题的关键.【规范解答】 (1)A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ,如图(1)；(2)α∩β=l ,a ⊂α,a ∥l ,如图(2).例2题解图【例3】 如图，已知：l 不属于α,A 、B 、C …∈l ,AA 1⊥α,BB 1⊥α,CC 1⊥α.求证：AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解前点津】 证明n 条直线共面，首先，选择适当的条件，确定一个平面，然后分别证明直线都在此平面内.【规范解答】 证法一 ∵AA 1⊥α,CC 1⊥α,∴AA 1∥CC 1.∴AA 1与CC 1确定平面β,且β⊥α.∵AC ⊂β,即l ⊂β,而B ∈l,∴B ∈β,又知BB 1⊥α,∴BB 1⊂β.∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.证法二 反证法由证法1得β⊥α于A 1C 1，假设BB 1不属于β,在β内作BB ′⊥A 1C 1(如图).∴BB ′⊥α,已知BB 1⊥α,与过一点引面的垂线，有且只有一条矛盾.∴BB 1不属于β是不可能的,∴BB 1⊂β,∴AA 1、BB 1、CC 1…共面.【解后归纳】 证明共面的一般方法有直接法和间接法两种.【例4】 设平行四边形ABCD 的各边和对角线所在的直线与平面α依次相交于A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点，求证:A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【规范解答】 设平行四边形ABCD 所在平面为α,∵A ∈β,B ∈β,∴AB ⊂β,又A 1∈AB,∴A 1∈β,又A 1∈α∴A 1在平面α与平面β的交线上,设交线为l ,则A 1∈l ,同理可证B 1,C 1,D 1,E 1,F 1都在直线l 上,∴A 1,B 1,C 1,D 1,E 1,F 1六点在同一条直线上.【解后归纳】 证明点共线通常证明这些点都在两平面的交线 上,或先由某两点作一条直线再证明其他点也在这条直线上,选此题的意图，就是使学生掌握证点共线的一般方法.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.α、β是两个不重合的平面，在α上取4个点,在β上取3个点,则由这些点最多可以确定平面的个数为 ( ).32 C 例3题图例4题图2.下列说法正确的是 ( )A.如果两个平面α、β有一条公共直线a ，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝aB.两平面α、β有一公共点A ，就说α、β相交于过A 的任意一条直线C.两平面α、β有一个公共点，就说α、β相交于A 点，并记作α∩β＝AD.两平面ABC 与DBC 交于线段BC3.下列命题正确的是 ( )A.一点和一条直线确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.相交于同一点的三条直线一定在同一平面内D.两两相交的三条直线不一定在同一个平面内4.设α、β是不重合的两个平面，α∩β＝a ，下面四个命题：①如果点P ∈α，且P∈β，那么P ∈a ；②如果点A ∈α，点B ∈β，那么AB α；③如果点A ∈α，那么点B ∈β；④如果线段AB α，且AB β，那么AB a .其中正确命题的个数是 ( ).1 C5.空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线，那么这四点中 ( )A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( ) A.221+ B. 222+ C.21+ D.22+ 7.已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原三角形ABC 的面积为 ( )A.223aB. 243aC. 223a D.26a 8.两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的什么条件 ( )A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.不充分不必要二、思维激活9.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有 个.10.不重合的三个平面把空间分成n 个部分，则n 的可能值为 .11.四条线段首尾相连，它们最多确定平面的个数是 .12.与空间不共面四点距离相等的平面为 个.13.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ＝１，则成为空间四面体时，AC 的取值范围是 .三、能力提高14.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，l ∩l 1＝Ａ,l ∩l 2＝Ｂ，l ∩l 3＝C .求证：l １、l 2、l 3、l 共面.第14题图15.四个点不共面，证明它们中任何三点都不在同一条直线上.它的逆命题正确吗 已知：A 、B 、C 、D 是不共面四点.求证：它们中任何三点都不共线.16.已知△ABC 的三个顶点都不在平面α上，它的三边AB 、AC 、BC 的延长线交平面α于P 、R 、Q 三点．求证：P 、R 、Q 三点共线．17.已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF .求证：直线EF 、GH 、AC 交于一点.18.已知直线a,b,c ,其中b,c 为异面直线,试就a 与b,c 的不同位置关系,讨论可以确定平面的情况.第1课 平面的概念与性质习题解答C 24C 13+C 23C 13+2=32. 排除法.有三个交点或只有一个交点.②③错在条件不充分.分有三点共线和只有两点共线两类.第17题图根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1．容易求得下底边长为1+2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形．再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S=2211++·2=2+2． 按斜二测画法还原.充分性根据公理2进行判断，必要性用反证法得到证明.公共点最多1个，否则直线在平面内，得知直线上所有的点在平面内.,6,7,8.个 可确定C 24-2=4个．个 这四点构成一个四面体，当平面平行于四个面中某一个面时有四个；当平面平行于三对异面直线时有三个.13.(0，3) AC>0，ABCD 为菱形时AC ＝3.14.由l 1∥l 2，知l 1与l 2确定一个平面α，同理l 2、l 3确定一个平面β，由A ∈l 1,l 1α，知A ∈α，同理B ∈α，又A 、B ∈l ，故l α，同理l β.由上知l ∩l 2＝Ｂ，且l 、l 2α,l 、l 2β，因两相交直线l 、l 2确定一个平面，故α与β重合，所以l 1、l 2、l 3、l 共面.15.证明：假设其中有三点共线，如A 、B 、C 在同一直线a 上，点D ∉a .∴点D 和a 可确定一平面α，∴A 、B 、C 、D ∈α.与A 、B 、C 、D 不共面矛盾.逆命题是：如果四点中任何三点都不共线，那么这四点不共面.逆命题不正确.16.如图，∵AP ∩AR =A ,∴AP 与AR 确定平面APR又P 、R ∈α，∴α∩平面APR =PR .又B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC 平面APR ，即Q ∈平面APR ．又Q ∈α，∴Q ∈α∩平面APR =PR .∴P 、Q 、R 三点共线．点评：欲证三点共线，可以证明某点在经过其余两点的直线上即可．17.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝21BD ， ∵F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ， ∴EH ∥FG ，EH ≠FG ，∴四边形EFGH 为梯形，则EF 与GH 必相交，设交点为P .∵EF 平面ABC ，∴P ∈平面ABC .又P ∈平面DAC ，平面BAC ∩平面DAC ＝AC .故P ∈AC ，即EF 、GH 、AC 交于一点P .18.(1)若a 与b,c 都相交,a 与b ,a 与c 都能确定平面,故可确定两个平面.(2)若a 与b ,c 之一相交，不妨设a 与b 相交.①a ∥c ,a 与b ,a 与c 都可确定平面故可确定两个平面.②a 与c 不平行，只a 与b 确定平面，故可确定一个平面.(3)若a 与b ,c 都不相交. 第16题图解①若a与b,c之一平行,不妨设a与b平行，只a与b可确定平面,故确定一个平面.②若a与b,c都不平行，又因为都不相交，故不能确定平面.点评：此题应用启发、引导、归纳法讲解,这样才能达到使学生建立空间概念，加强严密的逻辑思维，并达到复习，巩固“分类讨论”的思想方法.本资料来源于《七彩教育网》。

绝对坐标系和相对坐标系绝对坐标系和相对坐标系是在空间和平面几何中常用的两种坐标系统。

它们分别用来描述点、线、面等几何图形在不同坐标系下的位置和相对关系。

下面将详细介绍绝对坐标系和相对坐标系的概念、特点和应用。

绝对坐标系是一种规则的坐标系统，经常用来描述在平面或者空间中的点的位置。

绝对坐标系采用原点和坐标轴来确定点的位置。

在二维平面中，通常使用两条相互垂直的坐标轴来构建一个直角坐标系，分别命名为x轴和y轴。

在三维空间中，使用三条相互垂直的坐标轴来构建一个直角坐标系，分别命名为x轴、y轴和z轴。

绝对坐标系的原点可以放置在任意位置，进行合适的偏移，以满足具体需求。

绝对坐标系的坐标值表示点相对于这些坐标轴的位置。

在绝对坐标系中，一个点的位置可以用一个有序的数字对或者有序的数字三元组来表示。

在二维平面中，坐标值(x, y)表示一个点在x 轴方向和y轴方向的距离。

在三维空间中，坐标值(x, y, z)表示一个点在x轴方向、y轴方向和z轴方向的距离。

绝对坐标系的坐标值是唯一的，可以精确定位一个点的位置。

相对坐标系是相对于某个点或者某个参考物体建立的坐标系统。

相对坐标系的原点通常位于参考物体的位置上，因此可以简化对点的描述。

在绘图软件中，经常使用相对坐标系进行绘图。

相对坐标系的原点位置和参考物体的位置密切相关，其坐标值表示点相对于参考物体的偏移量。

在相对坐标系中，一个点的位置可以用一个有序的数字对或者有序的数字三元组来表示。

如果参考物体位于原点，则其坐标值和绝对坐标系的坐标值相同。

如果参考物体不在原点，点的坐标值表示点相对于参考物体的偏移量。

在绘图软件中，可以通过移动参考点或者参考物体来方便地调整图形的位置。

相对坐标系的坐标值相对于参考物体是相对的，不能精确定位一个点的位置，需要参考物体的位置一同给出。

绝对坐标系和相对坐标系在不同领域有着广泛的应用。

在地理学中，地球表面通常采用经纬度坐标系来描述地点的位置。

经纬度坐标系属于绝对坐标系，通过经度和纬度可以准确地确定一个地点在地球上的位置。

“绝对平面”绝对手工活制造业最重要的概念是精度，这里面有两个概念，一个是加工精度，另一个是测量精度。

如何反映出设计者所要求的尺寸是加工精度，如何知道加工所完成的尺寸则是测量精度。

这两个精度都直接依赖于加工机械或者测量机械的工作母机的精度。

机械设备的加工精度只会损失而不会增加，1/100毫米精度的机械只能加工出误差在1/100毫米以上的工件，所以，即使在不考虑组装误差的前提下，使用中等加工精度的机械加工的零件组装起来的机械，也只能达到较低的精度，要生产组装成中等精度机械的零件，只能使用高精度的加工机械才能制造出来。

根据这个道理，要制造高精度加工机械，只能采用超高精度的加工机械。

这就出来了一个问题：所谓“超高精度的加工机械”又是如何加工制造出来的。

答案可能让人感到意外，“超高精度的加工机械”是用人手造出来的。

一提起“精度”，很让人联想到“电脑”、“数码式”什么的技术名词，实际上，精度和那些时髦名词无关，在那些时髦名词出现以前，人类就已经可以达到很高的精度了。

对加工用机械的精度影响最大的是导轨部分。

机械的运动部分是被导轨限制的，导轨的精度就直接决定了机械运动的精度。

超精密机械导轨的滑动面被称为“绝对平面”，要求精度在1/10000毫米以上，没有任何机械能够加工这种绝对平面，只能用手工的方式加工。

见过高精度机床导轨滑动面的人，都知道那个所谓“绝对平面”不是一个光滑的镜面，而是遍布了有规律的花纹的平面，那些花纹就是做出这个平面的手艺人的铲刀留下的痕迹。

绝对平面的制造过程是这样的：有经验的手艺人用铲刀一刀一刀地把粗加工得到的平面铲平，在铲出需要的平面的同时还在做一个对照平面，然后在对照平面上涂上颜色，把加工平面在对照平面上滑动，这时加工平面上沾上颜色的部分和对照平面上掉颜色的部分就分别是两个平面上高出来的部分，需要再铲掉，这样的过程反复进行，一直到两个平面靠上去的颜色完全达到均一为止，这时候平面上留下来的刀痕正好作为润滑油槽，一举两得。

绝对值的代数意义和几何意义绝对值是数学中一个重要的概念，它具有代数意义和几何意义。

在代数中，绝对值表示一个数与零之间的距离，而在几何中，绝对值表示一个点在数轴上的位置。

代数意义：在代数中，绝对值常用符号“，x，”表示，其中x表示任意实数。

绝对值的定义是：x，=x,当x>=0x，=-x，当x<0绝对值的代数意义是表示一个数与零之间的距离。

无论一个数是正数还是负数，它与零的距离都是一个非负数。

例如，对于数-5来说，它与零的距离为5，即，-5，=5、对于数8来说，它与零的距离也是8，即，8，=8、因此，绝对值可以将负数转化为正数，而保持正数不变。

绝对值在代数中有多种应用。

首先，绝对值可以用来定义两个实数的大小关系。

例如，对于实数a和b来说，如果，a，<，b，则a的绝对值小于b的绝对值，即a的绝对值离零更近。

其次，绝对值还可以用来确定一个数的符号。

如果一个数的绝对值是正数，则该数为正数；如果一个数的绝对值是负数，则该数为负数。

几何意义：在几何中，绝对值被用来表示一个点在数轴上的位置。

数轴是一个直线，可以将实数一一对应地映射到数轴上的点。

绝对值表示一个点到原点的距离，且方向无关。

通过绘制一个数轴，我们可以将绝对值的几何意义更加直观地理解。

假设有一个点A在数轴上，它与原点O之间的距离为，x，点A在数轴上的位置取决于该点到原点的距离。

如果x>=0，则点A在原点的右侧距离为x；如果x<0，则点A在原点的左侧距离为-x。

无论点A在哪一侧，它的距离始终是非负数。

除了数轴，绝对值的几何意义还可以应用到平面几何中。

在平面几何中，绝对值可以表示一个点到原点的距离，在二维坐标系中常用来计算两个点之间的距离。

例如，对于点P(x1,y1)和Q(x2,y2)来说，它们之间的距离可以表示为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，sqrt表示平方根运算。

由于平方根运算的结果始终是非负数，因此绝对值用于确保距离始终是非负数。

绝对值几何意义的经典例题摘要：1.绝对值的概念回顾2.绝对值的几何意义3.经典例题解析4.解题技巧与方法5.总结与应用正文：绝对值是数学中一个重要的概念，它在几何和代数中都有广泛的应用。

下面我们将探讨绝对值的几何意义，并通过经典例题来加深理解。

一、绝对值的概念回顾绝对值是指一个数到零点的距离，可以用以下公式表示：|x| = x（x≥0），|x| = -x（x<0）。

二、绝对值的几何意义在直角坐标系中，对于一个点P(x, y)，其绝对值的几何意义表示点P到原点O的距离。

在平面几何中，绝对值表示两点之间的距离。

三、经典例题解析例题1：求解|3x - 5| = 2 的解。

解析：根据绝对值的定义，可分为两种情况：1.3x - 5 = 2，解得x = 1；2.3x - 5 = -2，解得x = 1。

所以，方程的解为x = 1。

例题2：求解|2x + 3| = 7 的解。

解析：同样根据绝对值的定义，可分为两种情况：1.2x + 3 = 7，解得x = 2；2.2x + 3 = -7，解得x = -5。

所以，方程的解为x = 2 或x = -5。

四、解题技巧与方法1.熟悉绝对值的定义，掌握绝对值在几何和代数中的应用；2.根据绝对值的意义，将问题分为两种情况讨论；3.利用代数方法求解，注意区分正负号。

五、总结与应用通过以上分析，我们可以看出绝对值在数学中的重要性。

在解决含有绝对值的题目时，要熟练掌握绝对值的几何意义，运用分类讨论的思维方法，将问题分为两种情况来求解。

绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式是一种重要的数学概念，它涉及到求出
未知数的绝对值在运算中扮演着重要的作用。

绝对值是实数或复数的
一种计算方法，即不考虑数的符号，只考虑数的大小。

如果a表示一个实数，可表示为绝对值的形式：
| a | = a (实数)
如果z是一个复数，可以用复平面上的模量表示为绝对值的形式：| z | = √(x² + y² ) (复数)
绝对值的运算规则有以下三条：
1、绝对值的加法法则：
| a + b | = |a| + |b|
2、绝对值的乘法法则：
| a × b | = |a| × |b|
3、绝对值的减法法则：
| a - b |≤|a| + |b|
此外，绝对值还有三个基本性质：
1、不等式性质：对任意实数a，都有0 ≤ | a | 。

2、加法性质：对任意实数a，都有| a + b |≤|a| + |b| 。

3、乘法性质：对任意实数a，都有| a × b |=|a| × |b| 。

以上就是绝对值的运算规则及公式，它们不但在数学中有着广泛
的应用，而且在日常生活中也是重要的数学知识。

因此，了解绝对值
运算的基本规则和公式，对我们的数学学习和生活有着重要的意义。

绝对值的几何意义公式(一)
绝对值的几何意义公式
1. 基本公式
•绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值记作| x | ，表示x 与原点之间的距离。

•绝对值的几何意义：绝对值表示一个数到原点的距离。

2. 几何意义公式
数轴上的绝对值公式
•公式1：对于任意实数x，有| x |=x或者|x |=- x 。

–解释：若x≥0，则x与原点之间的距离为x本身；若x<0，则x与原点之间的距离为-x，即与x绝对值相等。

平面直角坐标系中的绝对值公式
•公式2：对于平面直角坐标系中的两点A(a, b)与B(c, d)，有| AB |=√(c-a)^2+ (d-b)^2。

–解释：两点A(a, b)和B(c, d)之间的距离就是线段AB的长度，而绝对值| AB |表示线段AB的长度。

三维空间中的绝对值公式
•公式3：对于三维空间中的两点A(x1, y1, z1)与B(x2, y2, z2)，有| AB |=√(x2-x1)^2+ (y2-y1)^2+ (z2-z1)^2。

–举例：设点A(1, 2, 3)和点B(4, 5, 6)，计算| AB |的值。

–解答：根据公式3，计算得到| AB |=√(4-1)^2+ (5-
2)^2+ (6-3)^2=√27≈。

3. 结论
•绝对值的几何意义公式包括数轴上的绝对值公式、平面直角坐标系中的绝对值公式和三维空间中的绝对值公式。

这些公式用于计
算点之间的距离，并在几何学中具有重要的应用价值。

相对坐标和绝对坐标相对坐标和绝对坐标是在地理、数学和计算机图像处理等领域中常用的两种坐标系统。

它们在描述和定位位置时有不同的使用方式和适用场景。

首先，相对坐标是基于某一参考点或参考对象的位置来描述其他点或对象的位置的坐标系统。

它通常用于局部坐标系统中，将位置与参考点或参考对象的位置的差值表示。

相对坐标可以是二维或三维的，用于表示平面或三维空间的位置。

它的值是相对于一个参考点的位置偏移量的表示，而不是绝对位置。

例如，在二维平面上，我们可以将原点作为参考点，某个点的相对坐标就是相对于原点的水平和垂直偏移量。

相对坐标的使用有助于在局部区域内准确描述和定位位置，特别适用于局部位置的计算和描述。

相对坐标在计算机图像处理中也有重要的应用，如图像的平移、旋转和缩放等操作。

相对坐标的使用还有另外一个场景，即在相对位置关系中描述物体间的位置。

例如，当我们谈论一个物体相对于另一个物体的位置时，我们可以使用相对坐标来描述它们之间的相对位置关系。

这种相对坐标的使用有助于描述物体的相对位置关系，而不需要关心它们在整个坐标系统中的绝对位置。

然而，相对坐标也有一些限制和局限性。

相对坐标不能提供物体的绝对位置信息，并且需要参考点或参考对象的位置来计算相对位置。

如果参考点或参考对象的位置发生变化，相对坐标的值也会发生变化。

因此，在某些情况下，绝对坐标更适用。

绝对坐标是将位置直接表示为某个固定的坐标系统中的值的坐标系统。

它通常以一个特定的原点和一组坐标轴来表示。

绝对坐标可以使用直角坐标系、极坐标系或其他类型的坐标系。

它的值是相对于原点和坐标轴的直接表示，而不是相对于其他点或对象的位置偏移量。

例如，在二维直角坐标系中，我们可以使用水平和垂直方向上的数值来表示一个点的绝对位置。

绝对坐标的使用有助于在整个坐标系统中准确描述和定位位置，特别适用于全局位置的计算和描述。

绝对坐标的使用优势在于它提供了完整和准确的位置信息，不仅可以表示物体的相对位置关系，还可以提供物体的绝对位置信息。

第五节数控铣床编程实例（参考程序请看超级链接）实例一毛坯为70㎜×70㎜×18㎜板材，六面已粗加工过，要求数控铣出如图3-23所示的槽，工件材料为45钢。

1．根据图样要求、毛坯及前道工序加工情况，确定工艺方案及加工路线1）以已加工过的底面为定位基准，用通用台虎钳夹紧工件前后两侧面，台虎钳固定于铣床工作台上。

2）工步顺序①铣刀先走两个圆轨迹，再用左刀具半径补偿加工50㎜×50㎜四角倒圆的正方形。

②每次切深为2㎜，分二次加工完。

2．选择机床设备根据零件图样要求，选用经济型数控铣床即可达到要求。

故选用XKN7125型数控立式铣床。

3．选择刀具现采用φ10㎜的平底立铣刀，定义为T01，并把该刀具的直径输入刀具参数表中。

4．确定切削用量切削用量的具体数值应根据该机床性能、相关的手册并结合实际经验确定，详见加工程序。

5．确定工件坐标系和对刀点在XOY平面内确定以工件中心为工件原点，Z方向以工件表面为工件原点，建立工件坐标系，如图2-23所示。

采用手动对刀方法（操作与前面介绍的数控铣床对刀方法相同）把点O作为对刀点。

6．编写程序按该机床规定的指令代码和程序段格式，把加工零件的全部工艺过程编写成程序清单。

考虑到加工图示的槽，深为4㎜，每次切深为2㎜，分二次加工完，则为编程方便，同时减少指令条数，可采用子程序。

该工件的加工程序如下（该程序用于XKN7125铣床）：N0010 G00 Z2 S800 T1 M03N0020 X15 Y0 M08N0030 G20 N01 P1.-2 ；调一次子程序，槽深为2㎜N0040 G20 N01 P1.-4 ；再调一次子程序，槽深为4㎜N0050 G01 Z2 M09N0060 G00 X0 Y0 Z150N0070 M02 ；主程序结束N0010 G22 N01 ；子程序开始N0020 G01 ZP1 F80N0030 G03 X15 Y0 I-15 J0N0040 G01 X20N0050 G03 X20 YO I-20 J0N0060 G41 G01 X25 Y15 ；左刀补铣四角倒圆的正方形N0070 G03 X15 Y25 I-10 J0N0080 G01 X-15N0090 G03 X-25 Y15 I0 J-10N0100 G01 Y-15N0110 G03 X-15 Y-25 I10 J0N0120 G01 X15N0130 G03 X25 Y-15 I0 J10N0140 G01 Y0N0150 G40 G01 X15 Y0 ；左刀补取消N0160 G24 ；主程序结束实例二毛坯为120㎜×60㎜×10㎜板材，5㎜深的外轮廓已粗加工过，周边留2㎜余量，要求加工出如图2-24所示的外轮廓及φ20㎜的孔。