第一讲(随机事件,频率与概率)

概率统计专业
2.《数理统计引论》
首位中科院院士
国外有关经典著作
1.《概率论的分析理论》
P.- S.拉普拉斯著
1812年版
概率论的最早著作 数理统计最早著作
2. 《统计学数学方法》
H. 克拉默著
1946年版
“赌注分配问 题 ”
Ch1-6
甲、乙两人各出同样的赌注，用掷 硬币作为博弈手段 . 每掷一次，若正面朝 上，甲得 1 分乙不得分. 反之，乙得1分， 甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部 赌注. 当进行到甲还差 2分乙还差3分，就 分别达到规定分数时，发生了意外使赌局 不能进行下去，问如何公平分配赌注？
第一章 概率论的基本概念
在现实世界中发生的现象千姿百态， 概括起来无非 是两类现象： 一类是在一定条件下必然出现（或恒不出现）的现象，
例如，在标准大气压下，水加热到 100 时 必定沸腾，三角形内角和为 180 等等．
0 0
我们称这种现象为确定性现象。
读者可以从物理学、化学等其它学科中举出许多这样的实例。
概率论与数理统计
李师煜 江西理工大学数学教研室
Email: lishiyu83@
我想说
•课程的重要性 •课程要求
综合考评 期末成绩
Ch1-2
工科、经管各专业基础 考研基础
平时成绩
课时分配 授课学时 6*8=48
•如何学好
做好预习复习 多看多练多想
按时独立完成布置的作业
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件. 必然事件——全体样本点组成的事件,记 为, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件. 复合事件： 若干个基本事件组合而成的事件。
样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为 样本点,常记为 ， = {} 随机事件 (事件)—— 的子集,记为 A ,B ,… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
事件发生:当且仅当 该事件中的一个样本点在试验中出现。
例1 给出一组随机试验及样本空间和事件
E1 : 投一枚硬币一次，观察正反面出现的情况 1 {正，反}
A
A
事件
A的对立事件(逆事件)
集合
A的余(补)集
34
Ch1-35
（1）A－B，A与B的差集，表示事件A发生而B不发生。
(6) A B , 且A B .A B或B A.
表示事件A和B为对立事件.
(2) A B, A是B的子集,表示若事件A出现,事件B一定出现. (3) A B( A B), A与B的并集.表示事件A,B至少有一个出现. (4) A B( AB ), A与B的交集.表示事件A和B同时出现. (5) A B , A与B不相交,表示事件A和B不能同时出现, 称A与B互斥（或互不相容）.
实践证明， 研究了大量的同类随机现象后， 通常总 揭露出一种完全确定的规律， 也就是大量随机现象所特 有的一种规律性。
例如掷一枚硬币， 如果硬币是均匀的， 当抛掷次数少时， 正面、 反面没有明显的规律性， 随着抛掷次数增大就会发现， 出现正 面的次数占总数的 50％左右。
又如在射击中，当射击次数不大时，靶上命中点的分布是完 全没有规则的，杂乱无章的，没有什么显著的规律性；当射 击次数增加时，分布就开始呈现一些规律，射击次数越大， 规律性越清楚。
目前, 概率统计理论进入其他自然科学
领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领 领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经 济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率 统计方法》. 法国数学家拉普拉斯(Laplace) 说对了: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝 大 多数在实质上只是概率的问题.” 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾 对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正 的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那 么我们就寸步难行, 无所作为.
而另外的一类情况则比较复杂， 不能确切地测定所 需条件是否出现，当条件具有微小变化时，就会影响到 结果的发生与否。
例如船舶在海洋中航行时，由于受 到波浪的影响而产生各种各样的摇 摆（纵摇、横摇）以及高低起伏。
又如掷一枚硬币，结果可能出现正 面，也可能出现反面，其结果呈现 不确定性。
我们称这类现象为随机现象。
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个划分
A1 A2
A3
i 1


An
An 1
事件的关系与运算 事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算 一致，只是术语不同而已。 记号 Ω φ ω 概率论 样本空间,必然事件 不可能事件 样本点 集合论 空间,全集 空集 元素
Ch1-7
概率(或然率或几率) —— 随机事件出现 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关. 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. 16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即赌注分配问题 ).
对客观世界中随机现象的分析产生了概率 论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠 基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速 发展则在17世纪微积分学说建立以后. 第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
A {正} 表示事件“出现正面”
B {反} 表示事件“出现反面” E2 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数
2 {0,1, 2, 3}
有限样本空间
C {2, } 表示事件“正面出现两次或3次” 3 D {0} 表示事件“正面不出现”
Ch1-23
注：试验目的不一样，其样本空间也不一样。
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与《概率论》紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能 否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 和《数据处理》； 4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开《可靠性估计》; 5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》； 6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间
A A A A ( A B) A
E3 :观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数 3 {0,1, 2, 3,, N }
无限样本空间
F {2, } 表示事件“接到电话次数为2或3” 3
E4 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
4 {( x, y ) T1 x y T2 }
无限样本空间
其中T1,T2分别是该地区可能的最低与最高温度
A B 发生
A

A B
B
事件 A与事件B 至 少有一个发生
A1 , A2 ,, An 的和事件 —— A1 , A2 ,, An , 的和事件 ——
Ai
i 1
n
Ai
i 1
4. 事件的交(积)
A B 或 AB —— A 与B 的积事件
A B

A B 发生
事件 A与事件B 同时 发生
A1 , A2 ,, An 两两互不相容

A
B
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥(互不相容)
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
主要教材及参考书
教 材：《概率论与数理统计》第四版 江西高校出版社，2007年6月
参 考 书：《概率论与数理统计》学习指导 书 江西高校出版社，2007年6月 《概率论与数理统计》
浙江大学编
高教出版社
国内有关经典著作
1.《概率论基础及其应用》
王梓坤著
陈希儒著 科学出版社 1976 年版 科学出版社 1981年版
对偶律
A B A B
AB A B
Ai Ai
i 1 i 1
n
n
Ai Ai
i 1 i 1
n
n
Ch1-37
分配律
B A C
图 示
A (BC ) ( A B)( A C )
B
A
C
吸收律
A A A A ( AB ) A
§1.1 随机事件、频率、概率
一、样本空间与随机事件 观察一定条件下发生的现象, 称为试验. 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示
1、 可在相同的条件下重复进行
——可重复性
2、试验结果不止一个,但事先明确所有可能的 结果
——某种意义下的确定性
3、试验前不能预知出现哪种结果
——不确定性
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间，记为
也就是说个别随机现象虽然无规律的，但是大量性质相
同的随机现象总存在着统计规律性。
确定性现象（决定性现象）：在一定条件下
必然出现（或必然不出现）某种结果的现 象, 事前可预言。
随机现象 ：在一定条件下，可能出现这样的
结果，也可能出现那样的结果，而且在事先 无法预知确切结果的现象，事前无法预言。 1、每次试验前不能预言出现什么结果 2、每次试验后出现的结果不止一个 3、在相同的条件下进行大量观察或试 验时， 出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性