高中数学选修2-3第二章概率单元测试试题2

选修2-3 第二章 2.2 2.2.1一、选择题11．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A ．56B ．910C ．215D ．115[答案] C[解析] P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故答案选C.2．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )A ．35B ．25C ．110D ．59[答案] D[解析] 设第一次摸到的是红球为事件A ，则P (A )＝610＝35，设第二次摸得红球为事件B ，则P (AB )＝6×510×9＝13，故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59，选D. 3．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．35[答案] B[解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件．所以其概率为4361236＝13.4．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A ．56B ．34C ．23D ．13[答案] C[解析] 在已知取出的小球不是红球的条件下，问题相当于从5黄10绿共15个小球中任取一个，求它是绿球的概率，∴P ＝1015＝23.5．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A ．911B ．811C ．25D ．89[答案] D[解析] 设事件A 表示“该地区四月份下雨”，B 表示“四月份吹东风”，则P (A )＝1130，P (B )＝930，P (AB )＝830，从而吹东风的条件下下雨的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝830930＝89.6．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是( )A ．23B ．14C ．25D ．15[答案] C[解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1、2)取到白球的事件，因为P (A 1)＝25，P (A 1A 2)＝25×25＝425，在放回取球的情况P (A 2|A 1)＝42525＝25.二、填空题7．甲、乙两地都处于长江下游，根据历史记载，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%与18%，两地同时下雨的比例为12%.(1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为________． (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为________． [答案] (1)23(2)0.6[解析] 设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则P (A )＝20%＝0.2，P (B )＝18%＝0.18，P (AB )＝12%＝0.12.(1)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝23.(2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.2＝0.6.8．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．[答案]9599[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P (A )＝5100＝120，P (AB )＝C 15C 195A 2100＝19396，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝9599. 9．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是________．[答案] 23[解析] 设A ＝“其中一个是女孩”，B ＝“其中一个是男孩”，则 P (A )＝34，P (AB )＝12，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝23.三、解答题10．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．[解析] 令A i ＝{第i 只是好的}，i ＝1,2.解法1：n (A 1)＝C 16C 19，n (A 1A 2)＝C 16C 15， 故P (A 2|A 1)＝n (A 1A 2)n (A 1)＝C 16C 15C 16C 19＝59.解法2：因事件A 1已发生(已知)，故我们只研究事件A 2发生便可，在A 1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P (A 2|A 1)＝C 15C 19＝59.一、选择题11．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A ．15B ．310C ．25D ．12[答案] C[解析] 从5个球中任取两个，有C 25＝10种不同取法，其中两球同色的取法有C 23＋1＝4种，∴P ＝410＝25.12．(2014·哈师大附中高二期中)一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．23[答案] A[解析] 解法1：设A ＝“第一次取到二等品”，B ＝“第二次取得一等品”，则AB ＝“第一次取到二等品且第二次取到一等品”，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝2×35×42×3＋3×25×4＝12.解法2：设一等品为a 、b 、c ，二等品为A 、B ，“第二次取到一等品”所含基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(b ，a )，(b ，c )，(c ，a )，(c ，b )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )共12个，其中第一次取到一等品的基本事件共有6个，∴所求概率为P ＝612＝12.13．从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18B ．14C ．25D ．12[答案] B[解析] ∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.二、填空题14．先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a 、b .将a ，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．[答案]718[分析] 本题有两点要点：一是构成三角形，须满足较小的两个数的和大于第三个数；二是构成等腰三角形，须有两个数相等．[解析] 基本事件的总数为6×6＝36. ∵三角形的一边长为5，∴当a ＝1时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝2时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝3时，b ＝3或5时符合题意，即有2种情况； 当a ＝4时，b ＝4或5时符合题意，有2种情况； 当a ＝5时，b ∈{1,2,3,4,5,6}时符合题意，即有6种情况； 当a ＝6时，b ＝5或6时符合题意，即有2种情况． 故满足条件的不同情况共有14种，所求概率为 P ＝1436＝718.15．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．[答案]3350[解析] 解法1：根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数的数共有33个，故所求概率为3350.解法2：设A ＝“取出的球不大于50”，B ＝“取出的数是2或3的倍数”，则P (A )＝50100＝12，P (AB )＝33100， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3350.三、解答题16．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一个作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． [解析] 设事件A 表示“选到第一组学生”， 事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝14.(2)解法1：要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝415. 解法2：P (B )＝1540＝38，P (AB )＝440＝110，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝415.17．投掷两颗均匀骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为ξ，求ξ≤6的概率． [解析] 解法1：投掷两颗骰子，其点数不同的所有可能结果共30种，其中点数之和ξ≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，共11种，∴所求概率P ＝1130.解法2：设A ＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B ＝“ξ≤6”，则P (A )＝3036＝56，P (AB )＝1136， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1130.18．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．[解析] 设D 为“该考生在这次考试中通过”，则事件D 包含事件A ＝{该考生6道题全答对}，事件B ＝{该考生6道题中恰答对5道}，事件C ＝{该考生6道题中恰答对4道}．设E ＝{该考生获得优秀}，由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620，P (AD )＝P (A )，P (BD )＝P (B )，P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P (A )P (D )＋P (B )P (D )＝C 610C 620C 610＋C 510C 110＋C 410C 210C 620＋C 510C 110C 620C 610＋C 510C 110＋C 410C 210C 620＝1358.故所求的概率为1358.[点评] 解此类题时利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )可使求有些条件概率时更为简捷，但应注意B 、C 互斥这一前提条件．。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第2章概率（人教实验B版选修2-3）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.在所有两位数中，任取一个数，则这个数能被3 整除的概率是A. B.C. D.2.四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为A. B.1-C. D.1-3.三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为 , , ，且他们是否破译出密码互不影响，设“密码被破译”的概率为，“密码未被破译”的概率为，则，的大小关系为A.＞B.=C.＜D.无法判断4.设随机变量XN（2，4），且P（X≤0）＝P（X≥a-2），则实数a的值为A.4B.5C.6D.75.若X是离散型随机变量，P（X=）= ,P（X=）= ，且<，又已知E（X）= ，D（X）= ，则+的值为（）A. B.C.3D.6.有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，分为精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是（）A. B.C. D.7.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程+bx+c=0有实根的概率为建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分A. B.C. D.8.下列四个游戏盘（各正方形边长和圆的直径都是单位1），如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖.小明希望中奖，他应选择的游戏盘是9. 设随机变量X~B(n，0.5)，且D(X)＝2，则事件“X＝1”的概率为（）A. B.C. D.10.已知椭圆 +=1的焦点为、，在长轴上任取一点M，过点M作垂直于的直线交椭圆于点P，则使得·＜0的点M的概率为A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）11.将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 .12.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则ξ的数学期望E（）＝ .13.在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，则刚好构成直角三角形的概率为 .14.设l为平面上过点（0,1）的直线,l的斜率等可能地取-2 ，- ，- ，0，，，2 ，用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量X的数学期望E（X）＝ .三、解答题（本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（14分）一袋中有6个黑球，4个白球.（1）依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率；（2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率.16.（14分）已知关于x的一元二次函数f(x)=-4bx+1.（1）设集合P＝{1,2,3}和Q＝{-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f(x)在区间［1,+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a,b）是区域内的随机点，求函数y=f(x)在区间［1,+∞）上是增函数的概率.17.(16分）某城市有甲、乙、丙三个旅游景点，一位游客游览这三个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（1）求ξ的分布列及期望；（2）记“f（x）=2ξx+4在［-3,-1］上存在,使f（）=0”为事件A，求事件A的概率.18.（18分）设关于x的一元二次方程+2ax+=0. （1）若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若a 是从区间［0，3］中任取的一个数，b 是从区间［0，2］中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.19.(18分)如图所示，某学校要用鲜花布置花圃中A ，B ，C ，D ，E 五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择. （1）当A ，D 区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；（2）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；（3）记ξ为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量ξ的分布列及数学期望E （ξ）.第2章 概 率 （人教实验B 版选修2-3）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题11． 12． 13. 14.三、解答题15.16.17.18.19.第2章概率（人教实验B版选修2-3）参考答案一、选择题1.D解析：两位数从10到99共有99-10+1＝90（个），其中能被3整除的数为12，15，18，…，99组成以12为首项，以3为公差的等差数列.由12+（n-1）×3=99得n=30，即能被3整除的两位数有30个，所以概率为P＝＝ .故选D.2.B 解析：如图，要使图中的点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝ =1- .故选B.3.A解析：记“第i个人破译出密码”为事件（i=1，2，3），依题意有P（）＝，P（）＝，P（）＝，且，，相互独立.设“密码被破译”为事件B，“密码未被破译”为事件C，则C＝··，且，，相互独立，故＝P（C）＝P·P·P＝×× = ，而=P（B）=1-P（C）= ，故.故选A.4.C解析：由正态曲线的对称性得 =2,∴a=6.故选C.5.C解析：分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得解得或又∵ ,∴∴ =3.6.A解析：设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A、B是相互独立的事件，所求概率为P（AB）.据题意可知P（A）= = ,P（B）= = ,∴P（AB）=P（A）P（B）= × = .7.A解析：若方程有实根，则Δ＝-4c≥0，当有序实数对（b,c）的取值为（6,6）,(6,5),…,(6,1),（5，6），(5,5)，…，（5，1），（4，4），…，（4，1），（3，2），（3，1），（2，1）时方程有实根，共19 种情况，而（b,c）等可能的取值共有36种情况，所以方程有实根的概率为P＝ .故选A.8.A解析：P（A）＝ ,P(B)= ,P(C)= ＝1- ,P（D）＝ ,P(A)最大，故选A.9.C 解析：D(X)＝n×0.5×(1-0.5)＝2，∴n=8，则P(X＝1)＝×0.5×＝故选C.10.C 解析：设点M的坐标为（,0），点P的坐标为（,)，则有∈［-2,2］，由题知两焦点为（- ,0）,( ,0),∴·＝-3+=-3+1- = -2＜0，解得- ＜＜ ,即点M的几何度量为 .又｜｜=4,∴P= = .故选C.二、填空题11. 解析：基本事件有6×6×6=216（个），点数依次成等差数列的有：（1）当公差d=0时，1，1，1及2，2，2;…，共6个.（2）当公差d=±1时，1，2，3及2，3，4；3，4，5；4，5，6；…，共4×2个.（3）当公差d=±2时，1，3，5；2，4，6；…，共2×2个.∴P＝ = .12. 解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球（试验）摸得红球（成功）的概率均为，连续摸4次（做4次试验），ξ为取得红球（成功）的次数，则ξB (4， ) ，从而有E（ξ）＝np=4× = .13. 解析：∵直角三角形的斜边是圆的直径，而圆周上的10个等分点能组成5条直径，∴直角三角形的个数为＝40个.而每3个点能构成的三角形有＝120（个），∴所求概率为P＝＝ .14. 解析：当k=±2 时，直线方程为±2 x-y+1＝0= ；当k=±时，= ；当k=±时，= ；当k=0时，=1.由等可能性事件的概率可得分布列如下：X 1P∴E（）＝× + × + × +1×＝ .三、解答题15. 解：（1）设A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球”，C=“第三次取到白球”，则在A发生的条件下，袋中只剩下6个黑球和3个白球，则P（C |A）= = = .（2）∵每次取之前袋中球的情况不变，∴n次取球的结果互不影响，∴P（C）= = .16.解：（1）∵函数f（x）=-4bx+1的图象的对称轴为x= ，要使f（x）=-4bx+1在区间［1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a.若a=1，则b=-1，若a=2，则b=-1，1，若a=3，则b=-1，1，∴所求事件包含基本事件的个数是1+2+2=5.而试验中包含的基本事件总数为3×5=15，∴所求事件的概率为 = .（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a＞0时函数f（x）＝-4bx+1在区间［1，+∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|}，则构成所求事件的区域为三角形阴影部分，如图所示，由得交点P ( ， ) .∴所求事件的概率为P= = .17.解：（1）设游客游览甲、乙、丙三个景点分别记为事件、、，已知、、相互独立，且P（）=0.4，P（）=0.5，P（）=0.6.游客游览的景点数可能取值为0、1、2、3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3、2、1、0，所以ξ的可能取值为1、3.则P（ξ=3）=P（··）+P（··）=P（）·P（）·P（）+P·P·P=2×0.4×0.5×0.6=0.24.P（ξ=1）=1-0.24=0.76.所以ξ的分布列为ξ 1 3P0.76 0.24∴E（ξ）＝1×0.76+3×0.24=1.48.（2）∵f（x）=2ξx+4在［-3，-1］上存在，使得f（）=0，∴f（-3）·f（-1）≤0,即（-6ξ+4）（-2ξ+4）≤0,解得≤ξ≤2.∴P（A）=P ( ≤ξ≤2) =P（ξ=1）=0.76.18.解：设事件A为“方程+2ax+=0有实根”.当a≥0，b≥0时，方程+2ax+=0有实根的充要条件是a≥b.(1)基本事件共有12个：（0,0）,(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本条件，事件A发生的概率为P（A）＝＝ .（2）试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为{（a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}.所以所求的概率为P（A）＝ = .19.解：（1）当A，D区域同时用红色鲜花时，其他区域不能用红色鲜花，因此，布置花圃的不同方法的种数为4×3×3=36（种）.（2）设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，当区域A，D同色时，共有5×4×3×1×3＝180（种）；当区域A，D不同色时，共有5×4×3×2×2＝240（种）.因此，所有基本事件共有180+240＝420（种）（是等可能的）.又因为A，D为红色时，共有4×3×3=36（种）；B，E为红色时，共有4×3×3＝36（种）.因此事件M包含的基本事件有36+36＝72（种），所以P（M）＝＝ .（3）随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2P所以E（ξ）＝0× +1× +2× =1.。

日照实验高中选修2-3第二章概率综合测试卷一、选择题1、 袋中装有2个5分硬币 ，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则总面值超过1角的概率是AA 0.4B 0.5C 0.6D 0.7 2、先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的点数分别为X,Y,则满足1log 2=YX 的概率是CA61 B 365 C 121 D 21 3、从甲口袋摸出一个红球的概率是31，从乙口袋中摸出一个红球的概率是21，则32是CA 2个球不都是红球的概率B 2个球都是红球的概率C 至少有一个个红球的概率D 2个球中恰好有1个红球的概率 4、在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是8165，则事件A 在一次试验中出现的概率是A A31 B 52 C 65 D 32 5、设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果3.0)4(=<X P ，那么DA n=3B n=4C n=9D n=106、袋中有10个球，其中7个红球，3个白球，任意取出3个，则其中所含白球的个数是D A 0,1,2 B 1,2,3 C 2,3,4 D 0,1,2,37、将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则 概率)(B A P 等于A A9160 B 21 C 185 D 21691 8、甲、乙两人独立解同一个问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ， 那么恰好有一人解决这个问题的概率是BA 21p pB )1()1(1221p p p p -+-C 211p p -D )1)(1(121p p --- 9、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码，则EX 等于CA 4B 5C 4.5D 4.7510、设每门高射炮命中飞机的概率是0.6，今有一架飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它DA 3B 4C 5D 611、某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是BA 32B 16C 8D 20 12、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是71，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，然后甲在取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是D A73 B 356 C 351 D 3522 二、填空题13、设随机变量X 的概率分布是ka k X P 5)(==，a 为常数，3,2,1=k ，则a =31125_________. 14、在10个球中有6个红球，4个白球(各不相同)，不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是95_________. 15、一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，则==)12(X P ______________________. 16、在一次试验中，事件A 发生的概率是31，在n 次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率是不小于8166，则n 的最小值是5______________. 选择题答题卡三、解答题 必做题17、某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为32，求此人试验次数X 的分布列及期望和方差.813818、盒中有9个正品和3个次品零件，每次取出一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 得分布列. 略19、某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率是152，既刮风又下雨的概率是101，设A=“刮风”，B=“下雨”，求:)(),(B A P A B P 83,4320、已知甲、乙、丙三名射击运动员集中目标的概率分别是0.7，0.8，0.85，若他们分别向目标各发一枪，命中弹数记为X,求X 的分布列及期望.EX=2.3521、粒子A 位于数轴0=x 处，粒子B 位于2=x 处，这两棵粒子每隔一秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率是32，向左移动的概率是31. (1)求3秒后，粒子A 在点1=x 处的概率；(2)求2秒后，粒子A 、B 同时在2=x 处的概率. 8116,9422、有甲、乙两个箱子，甲箱中有6张卡片，其中有2张写有数字0，2张写有数字1，2张写有数字2；乙箱中有6张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，1张写有数字2. (1)如果从甲箱中取出1张卡片，乙箱中取出2张卡片，，那么取得的3张卡片都写有数字0的概率是多少？(2)如果从甲、乙两个箱子中各取一张卡片，设取出的2张卡片数字之积为X ，求X 的分布列和期望. (1)151 (2)3EX选做题(以下各题至少选做2题)23、某公司咨询热线电话共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，外线同时使若这段时间内，公司只安排2位接线员(一个接线员只能接一部电话). (1)求至少一路电话号不能一次接通的概率； (2)在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间至少一路电话不能一次接通，那么公司形象将受到损害，现在至少一路电话不能一次接通的概率表示公司的“损害度”，，求这种情况下公司形象的“损害度”；(3)求一周五个工作日的时间内，同时打入电话数X 的数学期望.解:(1)只安排2位接线员则至少一路电话号不能一次接通的概率是 1-0.13-0.35-0.27=0.25； (2)“损害度”51245)43()41(2335C ； (3)一个工作日内这一时间内同时打入电话数的期望是4.87，所以一周内5个工作日打入电话数的期望是24.35.24、一种赌博游戏:一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为:6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元. 而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.25X 和Y ，其分布列如下:(2)比较两名射手的水平. 解:(1)a=0.3,b=0.4;(2)23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX 6.0,855.0==DY DX所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.26、某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A 级的可作为入围选手，选拔过程中每人最多投篮5次，若投中3次则确定为B 级，若投中4次及以上则可确定为A 级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5.(1)求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率； (2)设阿明投篮投中次数为X ，求他入围的期望；(3)若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.解:(1)阿明投篮4次才被确定为B 级的概率1632121)21(223=⨯⨯=C P .(2)有已知X 的取值为4，5，且321)21()5(,32521)21()4(555245====⨯==C X P C X P 所以X 的数学期望322532153254=⨯+⨯=EX . (3)若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围这一事件有如下几种情况:①5次投中3次，有24C 种投球方式，其概率为163)21()3(524==C P ； ②投中2次，分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是325)21(3)21()2(54=⨯+=P ； ③投中1次分别有中否否、否中否否，概率为163)21()21()1(43=+=P ； ④投中0次只有否否一种，概率为41)21()0(2==P ； 所以阿明不能入围这一事件的概率是3225)0()1()2()3(=+++=P P P P P 27、袋中装有35个球，每个球上都标有1到35的一个号码，设号码为n 的球重15522+-n n 克，这些球等可能的从袋中被取出.(1)如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率； (2)如果任意取出2球，试求他们重量相等的概率.解:(1)由15522+-n n >n 可得6666,030122-<+>>+-n n n n 或所以， 由于35,,13,12,11,10,9,3,2,1,*⋅⋅⋅∈可取所以n N n 共30个数，故7635301==P ， (2)由21212221222121),(52,15521552n n n n n n n n n n ≠-=-+-=+-因为得 所以64738291,1021，），（，），（，），（，从而满足条件的球有（=+n n ) 故概率为59542=P28、甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X ，则EX=34，Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值. 求s 的值及Y 的分布列及期望.解:由已知可得),2(~s B X ，故32,342===s s EX 所以． 有Y 的取值可以是0，1，2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22=⨯，甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯，甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36139192361)0(=++==Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22=⨯，甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36591361)2(=+==Y P ，故21)2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P 所以Y 的分布列是所以 Y 的期望是EY=929、一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可新销售75万元. (1)求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率. (2)求开发商盈利的最大期望值. 解:(1)设A=“软件开发成功”，B=“新闻发布会召开成功” 软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72. (2)不召开新闻发布会盈利的期望值是5.189.0)5075()9.01(401=⨯-+-⨯-=E (万元)； 召开新闻发布会盈利的期望值是8.249.010)5060()8.01(9.072.0)50100()9.01(402=⨯--⨯-⨯+⨯-+-⨯-=E (万元) 故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元.30、现在，一些城市对小型汽车开始解禁，小型轿车慢慢进入百姓家庭，但是另一个问题相继暴露出来——堵车，某先生居住在城市的A 处，准备开车到B 处上班，若该地各路段发生堵车事件是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率为如图，(例如D C A →→ 算作两个路段:路段AC 发生堵车事件的概率是0.1，路段CD 发生堵车事件的概率是151) (1)请你为他选择一条由A 到B 的路段，使得途中发生堵车的概率最小；(2)若记路线B F C A →→→中遇到堵车的次数为随机变量X ，求X 的期望； 解:(1)路线B D C A →→→用遇到堵车的概率是 )()()(1)(11DB P CD P AC P DB CD AC P P -=⋅⋅-=1036515141091)](1)][(1)][(1[1=⨯⨯-=----=DB P CD P AC P 同理路线B F C A →→→遇到堵车的概率是800239；路线B F E A →→→遇到堵车的概率是30091. 因此应选择线路B F C A →→→可使途中发生堵车的概率最小.(2)路线B F C A →→→中遇到堵车的次数X 取值可能是0，1，2，3，31、现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到同色球的概率是2813. (1)求乙盒中红球的个数；(2)若从甲盒中任取两个球，放入乙盒中均匀后，再从乙盒中任意取出2个球放回到甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率；(3)从甲、乙两个盒子中各任取两个球进行交换，若交换后乙盒子中的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求当进行150次交换(都从初始状态交换)时，大约有多少次是成功的.解:(1)设乙盒中有n 个红球，由已知可得281323223=++n n C C C ，解的n=5，即乙盒中含有5个红球. (2)若甲盒中白球增加了，则有以下两种情况:从甲盒中取出了两个红球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出两个白球或一个白球一个红球放入甲盒中，此时的概率是35421017132328241=+⨯=C C C C C C P ； 从甲盒中取出一个红球和一个白球，放入乙盒中均匀后从乙盒中取出2个白球放入甲盒中，此时概率是1058210242814142=⨯=C C C C C P ； 所以甲盒中白球增加了的概率是2141058354=+，所以甲盒中白球没有增加的概率是2117. (3)从甲乙两个盒中各取2个球交换后乙盒中白球数和红球数相等的情况有以下两种:一是从甲盒中取２个白球与乙盒中取１个白球、一个红球进行交换；二是从甲盒中取出１个白球、１个红球与乙盒中取出２个红球进行交换；所以概率是34712528252814142815132824=⨯+⨯=C C C C C C C C C C P。

选修2-3第二章概率质量检测(二)时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.82．若X的分布列为则D(X)等于(A．0.8 B．0.25 C．0.4 D．0.23．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为35，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为()A.36125 B.54125 C.81125 D.271254．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X<c)＝P(X>c)，则c的值为()A．0 B．1 C．μ D.μ25．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( )A.6091，12B.12，6091C.518，6091D.91216，12 6.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码后放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.4625 7．已知X 的分布列为且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 为( )A ．－1B ．－12C ．－13D ．－148．已知变量x 服从正态分布N (4，σ2)，且P (x >2)＝0.6，则P (x >6)＝( )A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.19．设由“0”，“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )等于( )A.25B.34C.12D.1810．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝( )A ．C 210×⎝⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568 B ．C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5610C ．C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210×162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568D ．以上都不对 11．已知随机变量X ～B (6,0.4)，则当η＝－2X ＋1时，D (η)＝( ) A ．－1.88 B ．－2.88 C ．5.76 D ．6.76 12．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没售出的鲜花以每束1.6元处理．据前5年节日期间这种鲜花销售情况得需求量ξ(单位：束)的统计如下表，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是( )A.706D ．720元第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．14.已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．15．如果一个随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，12，则使得P (ξ＝k )取得最大值的k 的值为________．16．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．18．(12分)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p，q的值；(3)求数学期望E(ξ)．19.(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)20.(12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．21.(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．22.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．答案1．B ∵E (ξ)＝7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝7(0.6－y )＋10y ＋3.5＝7.7＋3y ，∴7.7＋3y ＝8.9，∴y ＝0.4.2．B 由题意知0.5＋a ＝1，E (X )＝0×0.5＋a ＝a ＝0.5，所以D (X )＝0.25.3．C 设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量X ，则此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫352×25＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125.4．C 因为P (X <c )＝P (X >c )，由正态曲线的对称性知μ＝c . 5．A 由题意得事件A 包含的基本事件个数为6×5×4＝120，事件B 包含的基本事件个数为63－53＝91，在B 发生的条件下A 发生包含的基本事件个数为C 13A 25＝60，在A 发生的条件下B 发生包含的基本事件个数为C 13A 25＝60，所以P (A |B )＝6091，P (B |A )＝60120＝12.故正确答案为A.6．B 若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为6C 26＝25.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C 34⎝⎛⎭⎪⎫253×35＝96625. 7．C E (X )＝1×16＋2×23＋3×16＝2， 由Y ＝aX ＋3，得E (Y )＝aE (X )＋3. 所以73＝2a ＋3，解得a ＝－13.8．A 因为P (x >2)＝0.6，所以P (x <2)＝1－0.6＝0.4.因为N (4，σ2)，所以此正态曲线关于x ＝4对称，所以P (x >6)＝P (x <2)＝0.4.故选A.9．C 因为P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (A ∩B )＝1×1×22×2×2＝14，所以P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝12.10．DP (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 010×⎝⎛⎭⎪⎫160×⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568.11．C 由已知D (X )＝6×0.4×0.6＝1.44，则D (η)＝4D (X )＝4×1.44＝5.76.12．A 节日期间这种鲜花需求量的均值E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，则E (η)＝E (3.4ξ－450)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．13.370解析：加工出来的零件的合格品率为 ⎝⎛⎭⎪⎫1－170×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－169×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－168＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 14．1解析：区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以正态分布的数学期望就是1.15．7,8解析：P (ξ＝k )＝C k 15⎝ ⎛⎭⎪⎫1215，则只需C k 15最大即可，此时k ＝7,8. 16.38解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，所以该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B ＋A B ＋AB )C .所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38. 17．解：(1)由题可得，至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p ＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8.(2)ξ可能的取值有0,1,2,3， p (ξ＝0)＝(1－0.8)3＝0.008，p (ξ＝1)＝C 13(1－0.8)20.8＝0.096， p (ξ＝2)＝C 23(1－0.8)10.82＝0.384，p (ξ＝3)＝0.83＝0.512. 故ξ的分布列为ξ18．解：记事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1,2,3. 由题意知P (A 1)＝45，P (A 2)＝p ，P (A 3)＝q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P (ξ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝15(1－p )(1－q )＝6125， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125. 整理得pq ＝625，p ＋q ＝1. 由p >q ，可得p ＝35，q ＝25.(3)由题意知a ＝P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝45(1－p )(1－q )＋15p (1－q )＋15(1－p )q ＝37125，b ＝P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝58125.所以E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝95.19.解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.20．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.分布列为因为X ～B ，方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.21.解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220.因P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.22．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C .P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C ) ＝0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X ＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.。

高二数学 （选修2-3第二章） 随机变量及其分布测试题(全卷满分150分，考试时间120分钟。

)第I 卷 (选择题 共60分)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②长江上某水文站观察到一天中的水位X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是连续型随机变量的是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．①②③2．已知10件产品中有3件次品，从中任取2件，取到次品的件数为随机变量，用X 表示，那么X 的取值为（ ） A. 0，1 B. 0，2 C. 1，2 D. 0，1，23．甲、乙两人独立解答某道题，解错的概率分别为a 和b ，那么两人都解对此题的概率是（ ） A ．1-ab B ．(1-a )(1-b ) C ．1-(1-a )(1-b ) D ．a (1-b )+b (1-a ) 4．在15个村庄中，有7个村庄不太方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于46781015C C C 的是（ ）A. (2)P X =B. (2)P X ≤C. (4)P X =D. (4)P X ≤ 5．盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为（ ）A. 15B.25C. 13D. 236．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A. 5216B.25215C. 31216D. 912167．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A. 0.1536 B. 0.1808 C. 0.5632 D. 0.9728姓名________________ 班级__________________ 考号_____________--------------密------------------封-----------------线----------------内---------------不---------------------得--------------------答-------------------题-----------------------8．已知随机变量X 的分布为 则()E X 等于 （ ）A. 0B. －0.2C. －1D. －0.3 9．随机变量Y ～),(p n B ，且() 3.6E Y =,16.2)(=Y D ，则此二项分布是 （ ）A. (4,0.9)BB. (9,0.4)BC. (18,0.2)BD. (36,0.1)B 10．正态总体的概率密度函数为2()81()8πx x f x e-∈=R ，则总体的平均数和标准差分别为（ ）Ａ．0，8 B ．0，4 Ｃ．0，1 Ｄ．0，211．设随机变量ξ服从B （5，12），则P （ξ=3）的值是（ ）A ．516B ．316C ． 58D ．3812．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为： A ．0.4 B ．1.2 C ．34.0 D ．0.6第II 卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件．已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是 ．14.已知随机变量X ～2(0)N σ，且(20)P X -≤≤0.4=， 则(2)P X >= ．15. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为P 的坐标，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率___________。

§2.1----2.4习题课一、教学目标梳理知识，突出二项分布，注重知识的交叉使用，理解复杂背景的题意并正确解决二、重点、难点较复杂背景的二项分布问题；知识的交叉使用三、基础回顾1.求概率分布的步骤：2．已学习了三种常见的概率分布，分别是 、 、 ，记作 、 、 。

3.若),,(~N M n H X , 则),,;(N M n r H =4.)|(D C P = ；求条件概率的两种方法是： 、5.设B A ,是两个事件，则)(B A P += ；)(A A P += ；若B A ,互斥时，)(B A P += ，)(AB P = ；B A ,独立时，)(AB P = 。

6.若),(~p n B ξ，则)(k P =ξ=四、典例研究例1.一制药厂组织两组技术人员分别独立地试制不同类型的新药，设每组试制成功的概率分别是0.4，0.3.当第一组成功时，该组研制的新药的年销售额为400万元，若失败则没有收入；当第二组成功时，该组研制的新药的年销售额为600万元，若失败则没有收入。

以X 表示这两种新药的年销售总额，求X 的概率分布。

高二理科数学 选修2—3 第二章《概率》 撰稿人：张金凤 用案时间： 编号：例2.甲、乙两人进行五局三胜制的象棋比赛，若甲每盘的胜率为53，乙每盘的胜率为52（和棋不算），求○1甲：乙=3：0的概率；○2甲：乙=3：2的概率例3.某社区提供财会和计算机培训，社员可以选择这两项中的一项培训、两项培训或不参加培训，已知该社区参加财会培训的有60%，参加计算机的有75%，假设每个人对培训项目的选择是独立的，○1任选该社员中的一名，求该人参加过培训的概率 ○2任选该社区中的2名，记η表示“2人中参加培训的人数”，求η概率分步五．夯实基础1.一个盒子中装有a只黑球和b只白球，现在从中先后有放回．．．地任取2只，设A表示“第一次取得黑球”的事件，B表示“第二次取得黑球”的事件，试计算P(A)与P(A|B)的值，并判断A与B 是否是独立事件。

选修2-3第二章概率质量检测(二)时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.82．若X的分布列为则D(X)等于(A．0.8 B．0.25 C．0.4 D．0.23．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为35，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为()A.36125 B.54125C.81125 D.271254．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X<c)＝P(X>c)，则c的值为()A．0 B．1 C．μ D.μ25．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( )A.6091，12B.12，6091C.518，6091D.91216，12 6.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码后放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.4625 7．已知X 的分布列为且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 为( )A ．－1B ．－12C ．－13D ．－148．已知变量x 服从正态分布N (4，σ2)，且P (x >2)＝0.6，则P (x >6)＝( )A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.19．设由“0”，“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )等于( )A.25B.34C.12D.1810．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X ，则P (X ≤2)＝( )A ．C 210×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568 B ．C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5610C ．C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210×162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568 D ．以上都不对11．已知随机变量X ～B (6,0.4)，则当η＝－2X ＋1时，D (η)＝( ) A ．－1.88 B ．－2.88 C ．5.76 D ．6.76 12．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没售出的鲜花以每束1.6元处理．据前5年节日期间这种鲜花销售情况得需求量ξ(单位：束)的统计如下表，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是( )A.706D ．720元第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．14.已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．15．如果一个随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫15，12，则使得P (ξ＝k )取得最大值的k 的值为________．16．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．18．(12分)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)(2)求p ，q 的值； (3)求数学期望E (ξ)．19.(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)20.(12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．21.(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．22.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．答案1．B ∵E (ξ)＝7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝7(0.6－y )＋10y ＋3.5＝7.7＋3y ，∴7.7＋3y ＝8.9，∴y ＝0.4.2．B 由题意知0.5＋a ＝1，E (X )＝0×0.5＋a ＝a ＝0.5，所以D (X )＝0.25.3．C 设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量X ，则此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125.4．C 因为P (X <c )＝P (X >c )，由正态曲线的对称性知μ＝c . 5．A 由题意得事件A 包含的基本事件个数为6×5×4＝120，事件B 包含的基本事件个数为63－53＝91，在B 发生的条件下A 发生包含的基本事件个数为C 13A 25＝60，在A 发生的条件下B 发生包含的基本事件个数为C 13A 25＝60，所以P (A |B )＝6091，P (B |A )＝60120＝12.故正确答案为A.6．B 若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为6C 26＝25.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625.7．C E (X )＝1×16＋2×23＋3×16＝2， 由Y ＝aX ＋3，得E (Y )＝aE (X )＋3. 所以73＝2a ＋3，解得a ＝－13.8．A 因为P (x >2)＝0.6，所以P (x <2)＝1－0.6＝0.4.因为N (4，σ2)，所以此正态曲线关于x ＝4对称，所以P (x >6)＝P (x <2)＝0.4.故选A.9．C 因为P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (A ∩B )＝1×1×22×2×2＝14，所以P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝12.10．DP (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 010×⎝ ⎛⎭⎪⎫160×⎝ ⎛⎭⎪⎫5610＋C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569＋C 210×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568.11．C 由已知D (X )＝6×0.4×0.6＝1.44，则D (η)＝4D (X )＝4×1.44＝5.76.12．A 节日期间这种鲜花需求量的均值E (ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为η，则η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，则E (η)＝E (3.4ξ－450)＝3.4E (ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元)．13.370解析：加工出来的零件的合格品率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－170×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－169×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－168＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 14．1解析：区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以正态分布的数学期望就是1.15．7,8解析：P (ξ＝k )＝C k 15⎝ ⎛⎭⎪⎫1215，则只需C k 15最大即可，此时k ＝7,8.16.38解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，所以该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B ＋A B ＋AB )C .所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.17．解：(1)由题可得，至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p ＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8.(2)ξ可能的取值有0,1,2,3， p (ξ＝0)＝(1－0.8)3＝0.008，p (ξ＝1)＝C 13(1－0.8)20.8＝0.096， p (ξ＝2)＝C 23(1－0.8)10.82＝0.384，p (ξ＝3)＝0.83＝0.512. 故ξ的分布列为ξ18．解：记事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1,2,3. 由题意知P (A 1)＝45，P (A 2)＝p ，P (A 3)＝q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P (ξ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知P (ξ＝0)＝P (A 1A 2A 3)＝15(1－p )(1－q )＝6125， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125. 整理得pq ＝625，p ＋q ＝1. 由p >q ，可得p ＝35，q ＝25.(3)由题意知a ＝P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝45(1－p )(1－q )＋15p (1－q )＋15(1－p )q ＝37125，b ＝P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝58125.所以E (ξ)＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝95.19.解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.20．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064，P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432，P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.分布列为因为X ～B ，方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.21.解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220.因P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615，故所求的分布列为数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.22．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C .P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C ) ＝0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X ＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.。

2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布(二)注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设在一次试验中事件A 出现的概率为p,在n 次独立重复试验中事件A 出现k 次的概率为p k ,则( )A.p 1＋p 2＋…＋n p ＝1B.p 0＋p 1＋p 2＋…＋n p ＝1C.p 0＋p 1＋p 2＋…＋n p ＝0D.p 1＋p 2＋…＋1n p -＝12.设随机变量ξ等可能取值1,2,3,…,n.如果P(ξ<4)＝0.3,那么( ) A.n ＝3 B.n ＝4 C.n ＝10D.n 不能确定3.甲、乙、丙三人参加某项测试,他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人中至少有一人达标的概率是( ) A.0.16B.0.24C.0.96D.0.044.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ,若()1P p ξ>=,则()10P ξ-<<=( ) A.12p + B.1p - C.12p -D.12p - 5.将一枚硬币连掷5次,如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率,则k 的值为( ) A.0B.1C.2D.36.设样本数据x 1,x 2,…,x 10的均值和方差分别为1和4,若i i y x a =+(a 为非零常数,i ＝1,2,…,10),则y 1,y 2,…,y 10的均值和方差分别为( ) A.1a +,4B.1a +,4a +C.1,4D.1,4a +7.某校14岁女生的平均身高为154.4 cm,标准差是5.1 cm,如果身高服从正态分布,那么在该校200个14岁女生中身高在164.6 cm 以上的约有( ) A.5人B.6人C.7人D.8人8.已知随机变量ξ的分布列为则ξ的数学期望是( ) A.2 B.2.1C.2.3D.随m 的变化而变化9.张家的3个鸡仔钻进了李家装有3个鸡仔的鸡笼里,现打开笼门,让鸡仔一个一个地走出来,若第一个走出的是张家的鸡仔,那么第二个走出的也是张家的鸡仔的概率是( ) A.25B.23C.15D.3510.某市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如下图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由图中曲线可得下列说法中正确的是( )A.甲科总体的标准差最小B.乙科总体的标准差及平均数都居中C.丙科总体的平均数最小D.甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同11.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b,不得分的概率为(),,0,1c a b c ∈⎡⎤⎣⎦,已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况),则ab 的最大值为( )此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号考场号 座位号A.148B.124C.112D.1612.某个游戏中,一个珠子按如图所示的通道,由上至下的滑下,从最下面的六个出口出来,规定猜中者为胜,如果你在该游戏中,猜得珠子从出口3出来,那么你取胜的概率为()A.516B.532C.16D.以上都不对二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.甲、乙同时炮击一架敌机,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,敌机被击中的概率为________.14.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为________.15.在等差数列{}n a 中,42a =,74a =-.现从{}n a 的前10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取3次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________(用数字作答).16.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号). ①P(B)＝25；②P(B|A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定,∵它与A 1,A 2,A 3中究竟哪一个发生有关.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张,将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞,求2张都是假钞的概率.18.(12分)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为12,乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为X,求X 的概率分布列及数学期望EX ； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.19.(12分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)20.(12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.21.(12分)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X 表示取出的3个小球上的最大数字,求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X的概率分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率.22.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一些质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求EX.附：150≈12.2.若Z～N(μ,σ2),则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.2018-2019学年选修2-3第二章训练卷随机变量及其分布(二)答 案一、选择题. 1.【答案】B【解析】由题意可知ξ～B(n,p),由分布列的性质可知∑k ＝0np k ＝1.故选B.2.【答案】C【解析】∵ξ是等可能地取值,∴P(ξ＝k)＝1n (k ＝1,2,…,n),∴P(ξ<4)＝3n ＝0.3,∴n ＝10.故选C.3.【答案】C【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04, 故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.故选C. 4.【答案】D【解析】()()()()1111121011112222P P p P P ξξξξ<<<<>>-=-=-=-=-⎡⎤⎣⎦. 故选D. 5.【答案】C【解析】由51511551111C C2222kkk k k k -+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即155C C k k +=.∴()15k k ++=.∴2k =.故选C.6.【答案】A【解析】给每个数据都加上常数a 后,均值也增加a ,方差不变,故选A. 7.【答案】A【解析】设某校14岁女生的身高为X(cm),则()2154.4,5.1X N ～. 由于P(154.4－2×5.1<X≤154.4＋2×5.1)＝0.9544, ∴P(X>164.6)＝12×(1－0.9544)＝0.0228.∵200×0.0228＝4.56,∴身高在164.6 cm 以上的约有5人.故选A. 8.【答案】B【解析】∵0.2＋0.5＋m ＝1,∴m ＝0.3,∴Eξ＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.故选B. 9.【答案】A【解析】∵()2326A A P AB =,()1316A A P A =,∴()()()2|=5P A P B P A B A =,故选A.10.【答案】A【解析】从甲、乙、丙三科曲线可知,它们总体的平均数相同,且甲科曲线“瘦高”, ∴甲科标准差最小,只有A 正确.故选A. 11.【答案】B【解析】由已知得3201a b c ++⨯=,即321a b +=, ∴221132111326626224a b ab a b +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅≤=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当1322a b ==,即16a =,14b =时取“等号”,故选B. 12.【答案】A【解析】由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法, 因而基本事件个数为25.而从出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”,即共25C 条路线,故所求的概率为255C 5216=.故选A.二、填空题. 13.【答案】0.8【解析】()()()1P P P =-敌机被击中甲未击中敌机乙未击中敌机()()110.610.510.20.8--⨯--===.14.【答案】16【解析】十个数中任取七个不同的数共有710C 种情况,七个数的中位数为6,那么6只有处在中间位置,有36C 种情况,于是所求概率36710C 1C 6P ==.15.【答案】625【解析】由42a =,74a =-可得等差数列{}n a 的通项公式为()1021,2,,10n a n n -==.由题意,三次取数相当于三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为25,取得负数的概率为12,在三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为2123216C 5225⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 16.【答案】②④【解析】由题意知P(B)的值是由A 1,A 2,A 3中某一个事件发生所决定的,故①③错误；∵()()()1111552111112P B A P B A P A ⨯===,故②正确；由互斥事件的定义知④正确,()11115554111110111011C C C C 9C C C C 22P B =⨯+⨯=.三、解答题. 17.【答案】217. 【解析】若A 表示“抽到的2张都为假钞”,B 表示“抽到的2张中至少有1张为假钞”,则所求概率为P(A|B).又()()25220C C P AB P A ==；()2115515220C C C C P B +=,∴()()()252115515C 102C C C 8517P AB P A B P B ====+. 18.【答案】(1)1.5；(2)1927；(3)124.【解析】(1)X 的概率分布列为EX ＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5或EX ＝3×12＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为3332191C 327⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1,甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2,则A ＝B 1＋B 2. B 1、B 2为互斥事件,P(A)＝P(B 1)＋P(B 2)＝38×127＋18×29＝124.19.【答案】(1)213；(2)分布列见解析,1213；(3)3月5日.【解析】设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市” ()i 1,2,,13=.根据题意,P(A i )＝113,且()i ij A A j =∅≠.(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则58B A A =.∴()()()()5858213P B P A A P A P A ==+=. (2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2, 且()()()()()()36711367114113P X P A A A A P A P A P A P A ==+++==, ()()()()()1212131212134)213(P X P A A A A P A P A P A P A ==+++==, ()()()5011213P X P X P X ==-==-=. ∴X 的分布列为故X 的期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 20.【答案】(1)见解析；(2)0.896.【解析】(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg”,B 表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)＝0.5,P(B)＝0.4, ∵利润＝产量×市场价格－成本, ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000, 300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.()()()()()10.510.40.40003P A P B P X ==-⨯-==,()()()()()()()10.50.420000.510.40.5P A P B P A P B P X =+=-⨯+⨯-==,()()()0.50.408.200P A P B P X ==⨯==, ∴X 的分布列为(2)设C i 表示事件“第i 由题意知C 1,C 2,C 3相互独立,由(1)知,P(C i )＝P(X ＝4000)＋P(X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3),3季的利润均不少于2000元的概率为P(C 1C 2C 3)＝P(C 1)P(C 2)P(C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利润不少于2000元的概率为()()()212312312330.80.20.384P C C C P C C C P C C C ++=⨯⨯=,∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 21.【答案】(1)23；(2)见解析；(3)1330.【解析】(1)“取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则()31115222310C C C C 2C 3P A ==. (2)由题意,X 的可能取值为2,3,4,5.()21122222310C C +C C 12C 30P X ===；()21124242310C C +C C 23C 15P X ===； ()21126262310C C +C C 34C 10P X ===；()21128282310C C +C C 85C 15P X ===. ∴随机变量X 的概率分布列为(3)“则P(C)＝P(X ＝3)＋P(X ＝4)＝215＋310＝1330. 22.【答案】(1)200x =, 2150s =；(2)①0.6826；②68.26.【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 200=,()()()2222222300.02200.091002200.33100.24200.08300.02s =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯-． 150=.(2)①由(1)知,Z ～N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826, 依题意知X ～B(100,0.6826),∴EX ＝100×0.6826＝68.26.。

2.3.1 条件概率5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.掷两枚均匀的骰子，求在已知它们点数不同的条件下，至少有一枚是6点的概率是（ ） A.21 B.31 C.41 D.61 答案:B解析：设“至少有一枚是6点”为事件A ，“两枚骰子上点数不同”为事件B ，则n(A)=6×5=30,n(AB)=10.则P （A|B ）=313010)()(==B n AB n . 2.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为（ ）A.191B.3817C.194D.172 答案:D解析：令A 表示“抽到2张都是假钞”，则B 事件为“2张中至少有一张是假钞”，所求为P （A|B ）.而P （AB ）=22025C C ，P （B ）=2201151515C C C C ++, ∴P（A|B ）=172)()(=B P AB P . 3.某批产品中甲厂生产的产品占60%，已知甲厂的产品的次品率为10%，从这批产品中随意地抽取一件，则该产品是甲厂生产的次品的概率为（ ）A.60%B.6%C.10%D.40% 答案:B4.如果B 和C 是两个互斥事件，则P （B∪C|A）=________________.答案:P （B|A ）+P （C|A ）10分钟训练（强化类训练，可用于课中）阅读下面材料，解答1、2两个小题.甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%.1.乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是（ ）A.32B.54C.51D.254 答案:A解析：设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”，则根据题意有P （A ）=0.20，P(B)=0.18,P(AB)=0.12，所以乙地为雨天时甲地也为雨天的概率为P （A|B ）=18.012.0)()(=B P AB P ≈0.67. 2.甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是（ ）A.0.12B.0.38C.0.60D.0.24% 答案:C解析：设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”，则根据题意有P （A ）=0.20,P(B)=0.18,P(AB)=0.12，甲地为雨天时乙地也为雨天的概率为P （B|A ）=20.012.0)()(=A P AB P =0.60. 3.P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,则P(A|B)=______ _____,P(B|A)=_______________. 答案:23 25 P(A|B)=3.02.0)()(=B P AB P =32,P(B|A)=52)()(=A P AB P . 4.设A 、B 互斥，且P （A ）＞0,则P （B|A)=___________.若A 、B 相互独立，P （A ）＞0，则P （B|A ）=______________.答案:0 P(B) A 、B 相互独立，相互不影响，∴P（B|A ）=P （B ）.5.一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩,问这时另一个是男孩的概率是多少？解：一个家庭的两个小孩子只有4种可能:{两个都是男孩},{第一个是男孩,第二个是女孩},{第一个是女孩,第二个是男孩},{两个都是女孩}.由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的.根据题意,设基本事件空间为Ω,A=“其中一个是女孩”,B=“其中一个是男孩”，则Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，A={（男,女）,(女,男),(女,女)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)},问题是求在事件A 发生的情况下,事件B 发生的概率,即求P(B ｜A).由上面分析可知P(A)=43,P(AB)=42. 由公式②可得P(B ｜A)=4342=32, 因此所求条件概率为32. 30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）阅读下面材料，解答1、2两个小题.某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班共分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人.如果要在班内任选一人当学生代表.1.这个代表恰好在第一小组内的概率为（ ）A.41B.51C.101D.21 答案:A解析：设A={在班内任选一个学生；该学生属于第一小组}.B={在班内任选一个学生，该学生是团员}.由古典概率知P （A ）=4010=41，选A. 2.现在要在班内任选一个团员代表，求这个代表恰好在第一小组内的概率是（ ） A.152 B.154 C.51 D.31 答案:B 解析：由古典概率知P （A|B ）=154，选B. 3.某家庭电话，打进电话响第一声被接的概率是0.1，响第二声被接的概率是0.2，响第三声被接的概率是0.3,响第4声被接的概率是0.3,则电话在响5声之前被接的概率是____________________.答案:0.9解析：记“电话响第i 次时被接”为事件A i (i=1,2,3,4),“电话响5声之前被接”为事件A ，由于A 1、A 2、A 3、A 4互斥，所以P （A ）=P （A 1+A 2+A 3+A 4）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）+P （A 4）=0.1+0.2+0.3+0.3=0.9.4.同时抛掷两个均匀的正方体玩具（各个面上分别标有1，2，3，4，5，6），则向上的一面数之积为偶数的概率为_______________.答案:43 解析：向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面数都为奇数，其可能出现的结果数为13C ·13C ，因此向上的一面数之积为奇数的概率为661313⨯C C =41，向上的一面数之积为偶数的概率为1-P=1-41=43. 5.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意拨号，假设拨过了的电话号码不再重复，试求下列事件的概率.（1）第3次才接通电话；（2）如果他记得号码的最后一位是奇数，拨号不超过3次而接通电话.解:设第i 次接通电话为事件A i (i=1,2,3)，A 表示不超过3次接通电话.（1）第3次才接通电话可表示为21A A A 3，于是P （A ）=1018198109=⨯⨯. (2)用B 表示最后一位按奇数的事件，则P （A|B ）=P （A 1|B ）+P （A 1A 2|B ）+P （21A A A 3|B ） =51+533451344514=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯. 6.一个箱子中装有2n 个白球和2n-1个黑球，一次摸n 个球，（1）求摸到的都是白球的概率；（2）在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是白色的概率.解:(1)P=n n n n C C 122-. (2)记“摸出n 个白球”为事件A ，“摸出n 个黑球”为事件B.n(A)=n n C 2,n(B)=n n C 12-,n(A∪B)=22n C +n n C 12-. P(A|A∪B)= n n n n n n C C C B A n A n 1222)()(-+=⋃. 7.有三个孩子的家庭中，已知一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设生男、生女是等可能的）.解:设三个孩子中有一女孩是事件A ，三个孩子中至少有一男孩为事件B.由古典概率，知P（A ）=1-P （A ）=1-81=87，P （AB ）=828-=86，故P （B|A ）=767886)()(=⨯=A P AB P . 8.若M 件产品中包含m 件废品，今在其中任取两件，求（1）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率；（2）取出的两件中至少有一件是废品的概率.解:（1）设“两件中有一件不是废品”为事件A ，“两件中恰有一件是废品”为事件B ，则P （A ）=2112Mm M m m M C C C C --+,P(B)=211M m M m C C C -, 所以P （B|A ）=12)()()()(-+==m M m A P B P A P AB P . (2)设“取出的两件中至少有一件废品”为事件C ，则P （C ）=1-)1()12(22---=-M M m M m C C Mm M . 9.袋中有a 只黑球，6只白球，甲、乙两人依次从袋中取出一球（取后不放回），试分别求出两人各自取得白球的概率(b≥2).解:“设甲取出一球为白球”为事件A.甲取出一球后，“乙取出一球为白球”为事件B ，则P （A ）=ba b +，又AB 与事件AB 互斥. ∴P（B ）=P （AB ）+P （AB ）=221122bb a b a b A A A A A +++ =ba b b a b a ab b b +=-+++-)1)(()1(.。

第二章 概率综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．已知随机变量ξ的概率分布列如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P23232 233 234 235 236 237 238 239 m则A.239 B.2310 C.139 D.1310 答案 C解析 P(ξ＝10)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)－…－P (ξ＝9)＝1－23－232－…－239＝139. 2．(2014·新课标全国Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 答案 A解析 根据条件概率公式，直接代入，可求得随后一天的空气质量为优良的概率． 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.3．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：ξ 1 3 5 P0.5m0.2则其数学期望E(ξ)等于( A ．1 B ．0.6 C ．2＋3m D ．2.4 答案 D解析 ∵0.5＋m ＋0.2＝1，∴m ＝0.3.∴E (ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 4．已知随机变量X 服从二项分布X ～B(6，13)，则P(X ＝2)等于( )A.1316B.4243 C.13243 D.80243答案 D解析 P(X ＝2)＝C 62·(23)4·(13)2＝80243.5．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是( ) A.38 B.12 C.58 D.78答案 D解析 P(至少有一枚正面)＝1－P(三枚均为反面)＝1－(12)3＝78.6．(2014·浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i(i ＝1，2)个球放入甲盒中． (a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1，2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2)．则( ) A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E(ξ2) B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E(ξ2) C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E(ξ2) D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E(ξ2)答案 A解析 从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0，1，则P(ξ＝0)＝n m ＋n ＝P (ξ1＝1)，P (ξ＝1)＝mm ＋n＝P(ξ1＝2)，所以E (ξ1)＝1·P (ξ1＝1)＋2·P(ξ1＝2)＝m m ＋n ＋1，所以p 1＝E （ξ1）2＝2m ＋n2（m ＋n ）；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0，1，2，则P(η＝0)＝C n2C m ＋n 2＝P (ξ2＝1)，P (η＝1)＝C n 1C m 1C m ＋n 2＝P(ξ2＝2)，P (η＝2)＝C m2C m ＋n 2＝P(ξ2＝3)，所以 E(ξ2)＝1·p(ξ2＝1)＋2P(ξ2＝2)＋3P (ξ2＝3)＝2m m ＋n ＋1，所以p 2＝E （ξ2）3＝3m ＋n3（m ＋n ），所以p 1>p 2，E (ξ1)<E(ξ2)．故选A.7．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为( ) A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4答案 C解析 P(ξ＝k)＝16(k ＝1，2，3，…，6)，∴E (ξ)＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋…＋6)＝16×[6×（1＋6）2]＝3.5. 8.某个游戏中，一个珠子按如右图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为( )A.516B.532C.16 D ．以上都不对答案 A解析 由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 52条路线，故所求的概率为C 5225＝516. 9．已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ 10 20 30 P0.6A14－a 2则D(3ξ－3)等于( ) A ．42 B ．135 C ．402 D ．405答案 D10．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P (ξ>1)＝p ，则P(－1<ξ<0)等于( ) A.12p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 答案 D解析 由于随机变量服从正态分布N(0，1)，由标准正态分布图像可得P(－1<ξ<1)＝1－2P(ξ>1)＝1－2p.故P(－1<ξ<0)＝12P(－1<ξ<1)＝12－p.11．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164 B.5564 C.18 D.116答案 B解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P(T)＝P(R)＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率为P ＝1－P(T)·P(R)·P(C)·P(D －)＝5564.12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )自然状况方案盈利概率A 1A 2A 3A 4S 1 0.25 50 70 －20 98 S 2 0.30 65 26 52 82 S 30.4526 1678－10A.A 1 2C ．A 3 D ．A 4答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设随机变量ξ只能取5，6，7，…，14这10个值，且取每一个值的概率均相等，则P(ξ≥10)＝______；P(6<ξ≤14)＝________． 答案25，45解析 由题意P(ξ＝k)＝110(k ＝5，6，…，14)，P (ξ≥10)＝4×110＝25.P (6<ξ≤14)＝8×110＝45.14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________． 答案 0.8解析 P(敌机被击中)＝1－P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8.15．如果随机变量ξ服从N(μ，σ2)，且E(ξ)＝3，D (ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________． 答案 3，1解析 ∵ξ～N(μ，σ2)，∴E (ξ)＝μ＝3，D (ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 答案 0.128解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3，4，5，6，7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列． 解析 ξ的取值分别为3，4，5，P (ξ＝5)＝C 22C 53＝110，P (ξ＝4)＝C 32C 53＝310，P (ξ＝3)＝C 42C 53＝35，所以ξ的分布列为ξ 3 4 5 P3531011018.(12分)人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动． (1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P(B)和P(B|A)． 解析 (1)ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得P(ξ＝0)＝C 43C 63＝15，P (ξ＝1)＝C 42C 21C 63＝35，P (ξ＝2)＝C 41C 22C 63＝15.∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515(2)则P(C)＝C 43C 63＝420＝15.∴所求概率为P(C －)＝1－P(C)＝1－15＝45.(3)P(B)＝C 52C 63＝1020＝12；P(B|A)＝C 41C 52＝410＝25.19．(12分)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E(X)．解析 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ， 由题意知P(B)＝34，P(C)＝P(D)＝23.由于A ＝B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ， 根据事件的独立性和互斥性得 P(A)＝P(B C － D －＋B －C D －＋B － C －D) ＝P(B C － D －)＋P(B －C D －)＋P(B － C －D)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5. 根据事件的独立性和互斥性得P(X ＝0)＝P(B － C － D －)＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136， P(X ＝1)＝P(B C － D －)＝P(B)P(C －)P(D －)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112，P(X ＝2)＝P(B －C D －＋B － C －D)＝P(B －C D －)＋P(B － C －D)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19， P(X ＝3)＝P(BC D －)＋B C －D)＝P(BC D －)＋P(B C －D) ＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13， P(X ＝4)＝P(B －CD)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P(X ＝5)＝P(BCD)＝34×23×23＝13.故X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 P13611219131913所以E(X)＝0×36＋1×12＋2×9＋3×3＋4×9＋5×3＝12.20．(12分)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X)．思路 (1)利用组合求出总的情况个数和颜色相同的情况个数，代入古典概型公式求解； (2)写出X 的可能取值，计算出概率并列出概率分布，利用数学期望公式求期望． 解析 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 42＋C 32＋C 22C 92＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2，3，4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X ＝4)＝C 44C 94＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X ＝3)＝C 43C 51＋C 33C 61C 94＝20＋6126＝1363； 于是P(X ＝2)＝1－P(X ＝3)－P(X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：X 2 3 4 P111413631126因此随机变量X 的数学期望为 E(X)＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.21．(12分)(2014·新课标全国Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似的样本方差s 2. ①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)． 附：150≈12.2.若Z ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4. 解析 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N(200，150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.22．(12分)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)1 2 3 4 5 频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解析设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1(1)A A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一X所有可能的取值为0，1，2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为：X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01E(X)方法二X的所有可能取值为0，1，2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为：X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01E(X)。

第二章概率§2、1、1离散型随机变量一、预习检测1、一个口袋装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸出一个球，得到白球”这个现象是（）A、必然现象B、随机现象C、不可能发生D、不能确定是哪种现象2、以下四个随机变量中，是离散型随机变量的是（）⑴某电话亭内的一部电话使用的次数X；⑵黄河某水位监测站所测水位记为X；⑶一个数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置X⑷某人射击一次，击中目标的环数记为X；A、⑴⑵⑷ B ⑶⑷ C ⑴⑷ D ⑴⑶3、下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）A、从n只编号（0号到n-1号）的球中任取一只，被抽出的球的号码X；B、量一批电阻的阻值在950欧~1050欧之间；C、掷5枚硬币，正面向上的硬币个数；D、电信局在某日内接到电话呼叫次数；4、6件产品在有2件次品，从中任取一件，则下列是随机变量的是（）A、取到产品的个数B、取到正的品个数C、取到正品的概率D、取到次品的概率5、如果随机变量X的所有可能的则称X为离散型随机变量。

6、下列描述正确的是⑴用随机变量所表示的随机试验的结果一定是一个数；⑵用随机变量的取值只能有有限个⑶随机变量的取值只能是自然数⑷随机变量的取值可以是全体实数7、下列随机试验结果可以用离散型随机变量表示的是⑴某篮球运动员在某场比赛中的得分⑵某中学学生的体重⑶一名同学的高考分数8、50件产品中有3件次品，从中任取3件，次品件数的取值集合是二、双基落实1、抛掷的均匀硬币一次，随机变量为（）A、出现正面的次数B、出现正面或反面的次数C、掷硬币的次数D、出现正反面次数之和2、如果抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机实验结果是（）A、两颗都是4点B、1颗是1点，另一颗是3点C、两颗都是2点D、1颗是1点，另一颗是3点或2颗都是2点3、一个代中装有5个白球和3个红球，从中任取3个，则随机变量为（）A、所取球的个数B、其中含白球的个数C、所取白球和红球的总数D、袋中球的总数4、将一颗均匀骰子掷两次，随机变量为（）A、第一次出现的点数B、第二次出现的点数C、两次出现点数之和D、两次出现相同点的种数5、某人投篮4次，投中次数记为X，则X所有可能取值是6、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数。

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高中数学第二章概率单元测试北师大版选修2—3(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1投掷3枚硬币,至少有一枚出现正面的概率是（）A.38B.错误! C。

错误! D.错误!2在比赛中,如果运动员A胜运动员B的概率是错误!，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是…(）A。

错误! B.错误! C.错误! D。

错误!3如果随机变量X表示抛掷一个各面分别为1，2,3，4，5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量X的均值为（)A．2.5 B．3 C．3.5 D．44设随机变量X服从二点分布，P(X＝1)＝p，P(X＝0）＝q，其中p＋q＝1,则DX为( ) A．p B．q C．pq D．p＋q5某地区气象台统计,该地区下雨的概率是错误!，刮风的概率为错误!,既刮风又下雨的概率为错误!，设A为下雨，B为刮风，那么P(B｜A)等于( ）A.错误!B.错误! C。

错误! D.错误!6某校高考数学成绩近似地服从正态分布N（100,102)，则此校数学成绩不低于120分的考生占总人数的百分比为( )A．46％ B．23％ C．2。

3％ D．4。

6%7给出A、B、C、D四个表，其中能成为随机变量X的分布列的是（）A.B。

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《概率》测评(时间90分钟,满分100分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1。

某地区气象台统计,该地区下雨的概率是154，刮风的概率为52,既刮风又下雨的概率为101，设A 为下雨，B 为刮风，那么P （B ｜A ）等于A 。

43 B.83 C 。

101 D 。

758答案：B 解析：P （A ）=154,P （AB ）=101，由条件概率公式P （B ｜A ）=83154101)()(==A P AB P .2.设离散型随机变量X 的概率分布如下:则q 的值为A 。

21B 。

41C 。

31 D.51答案：C 解析：∵61+31+61+q=1,∴q=31。

3。

某校高考数学成绩近似地服从正态分布N （100，102）,则此校数学成绩不低于120分的考生占总人数的百分比为A 。

46%B 。

23％C 。

2.3%D 。

4。

6% 答案：C 解析：P (μ—2σ<X 〈μ+2σ）=95.4％， 即P(80〈X<120)=95。

4％，2P(X ≥120）=1—P （80〈X<120）=4。

6％， ∴P(X ≥120)=2。

3％。

4.某兴趣小组共12人,有5名“三好学生”,现从中任选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，下列概率等于6123735C C C •的是 A.P(X=2) B 。

章末检测(二) 概 率时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某人射击的命中率为p (0＜p ＜1)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是( )A ．1,2,3，…，nB ．1,2,3，…，n ，…C ．0,1,2，…，nD ．0,1,2，…，n ，…解析：射击次数至少1次，由于命中率p ＜1，所以，这个人可能永远不会击中目标． 答案：B2．若随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝( )A.19B.16C.14D.13解析：由分布列的性质12a ＋22a ＋32a ＝1，解得a ＝3，则P (X ＝2)＝22a ＝13.答案：D3．将一枚硬币连掷4次，出现“2个正面，2个反面”的概率是( ) A.12 B.38 C.25D ．1解析：掷一枚硬币一次看作一次试验，出现正面事件为A ，则P (A )＝12，而连掷4次可看成4次独立试验，由题意，硬币出现正面的次数X ～B (4，12)，故可得P (X ＝2)＝C 24·(12)2·(12)2＝38. 答案：B4．已知X ～B (n ，p )，EX ＝2，DX ＝1.6，则n ，p 的值分别为( ) A ．100,0.8 B ．20,0.4 C ．10,0.2D ．10,0.8解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2，np (1－p )＝1.6，解得p ＝0.2，n ＝10.答案：C5．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么下列事件中发生的概率为710的是( )A ．都不是一等品B ．恰有1件一等品C ．至少有1件一等品D ．至多有1件一等品解析：P (都不是一等品)＝C 22C 25＝110，P (恰有1件一等品)＝C 13C 12C 25＝35，P (至少有1件一等品)＝C 13C 12＋C 23C 25＝910， P (至多有1件一等品)＝C 22＋C 13C 12C 25＝710. 答案：D6．随机变量X 的分布密度函数f (x )＝12πe22x - (x ∈R)，X 在(－2，－1)与(1,2)内取值的概率分别为P 1和P 2，则P 1和P 2的大小关系是( )A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．不能确定解析：由f (x )＝12πe22x -可知随机变量X ～N (0,1)，由于f (x )的图像关于直线x ＝0对称，且区间(－2，－1)与(1,2)为两个对称区间，故P 1＝P 2.答案：C7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，那么其中至少有一人能解决这个问题的概率是( )A ．P 1＋P 2B ．P 1·P 2C ．1－P 1·P 2D ．1－(1－P 1)·(1－P 2)解析：至少有1人能解决这个问题的对立事件是两人都不能解决，两人解决问题是相互独立的，故所求概率为1－(1－P 1)·(1－P 2)．答案：D8．设ξ为离散型随机变量，则E (E ξ－ξ)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．不确定解析：∵E ξ是常数，∴E (E ξ－ξ)＝E ξ－E ξ＝0. 答案：A9．已知X 的分布列为：设Y ＝2X ＋1，则Y 的数学期望EY 的值是( ) A ．－16B.23 C ．1D.2936解析：EY ＝2EX ＋1，由已知得a ＝13，∴EX ＝－12＋13＝－16，∴EY ＝23.答案：B10．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49 B.190C.45D.59解析：该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.答案：B11．已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为( )A ．(90,100]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]解析：∵X ～N (110,52)， ∴μ＝110，σ＝5，5760＝0.95≈P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ) ＝P (100＜X ≤120)． 答案：C12．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116 B.18 C.316D.14解析：满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.所以所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13．设随机变量X ～B (4，13)，则P (X ≥3)＝________.解析：P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝C 34(13)3×23＋C 44(13)4＝881＋181＝981＝19. 答案：1914．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员投中3分的概率是________．解析：由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以投中3分的概率是16. 答案：1615．两台车床加工同一种机械零件质量情况如下表：从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的产品，则是合格品的概率是________．解析：记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A ，记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件B .则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝3540＝0.875. 答案：0.87516．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝________.解析：由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的概率分布为：EX ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：53三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70，102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90间的学生占多少？解析：(1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10. 分析成绩在60～80之间的学生的占比为：P (70－10＜X ≤70＋10)＝0.683，所以成绩不及格的学生的占比为： 12(1－0.683)＝0.158 5， 即成绩不及格的学生占15.85%.(2)成绩在80～90之间的学生的占比为：12[P (70－2×10＜X ≤70＋2×10)－P (70－10＜x ≤70＋10)]＝12(0.954－0.683)＝0.135 5，即成绩在80～90之间的学生占13.55%.18．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X 表示．据统计，随机变量X 的概率分布如下表所示.(1)求a 的值和X 的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解析：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a ＋a ＝1， 解得a ＝0.2. ∴X 的概率分布为：∴EX ＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”；事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．则由事件的独立性，得P (A 1)＝C 12P (X ＝2)·P (X ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P (A 2)＝[P (X ＝1)]2＝0.32＝0.09，∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.19．(12分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列，期望和方差；(2)若η＝a ξ＋b ，E η＝1，D η＝11，试求a ，b 的值．解析：(1)由题意，得ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120，P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320，P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为：以E ξ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D ξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (a ξ＋b )＝a 2D ξ＝11，E (a ξ＋b )＝aE ξ＋b ＝1，及E ξ＝1.5，D ξ＝2.75，得2.75a 2＝11,1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.20．(12分)把一副扑克(除去大小王)的52张随机均分给赵、钱、孙、李四家，A ＝{赵家得到6张草花(梅花)}，B ＝{孙家得到3张草花}．(1)计算P (B |A )； (2)计算P (A ∩B )．解析：(1)四家各有13张牌，已知A 发生后，A 的13张牌已固定，余下的39张牌中恰有7张草花，在另三家中的分派是等可能的．问题已经转变成：39张牌中有7张草花，将这39张牌随机分给钱、孙、李三家，求孙家得到3张草花的概率 .于是P (B |A )＝C 37C 1039－7C 1339≈0.278.(2)在52张牌中任选13张牌有C 1352种不同的等可能的结果．于是Ω中的元素为C 1352，A 中的元素数为C 613C 739，利用条件概率公式得到P (A ∩B )＝P (A )P (B |A )＝C 613C 739C 1352×0.278≈0.012.21．(12分)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．解析：(1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为故X 的数学期望为EX ＝2×14＋3×34＝114.22．(14分)从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求：(1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．解析：(1)设“选出的3位同学中，至少有一位男同学”为事件A ，则事件A 为“选出的3位同学中没有男同学”，而P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56.即选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为56.(2)设“女同学甲和男同学乙被选中”为事件A ，“女同学甲通过测验”为事件B ，“男同学乙通过测验”为事件C ，则“甲、乙同学被选中且通过测验”为事件A ∩B ∩C ，由条件知A 、B 、C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125.即甲、乙同学被选中且通过测验的概率为4125.。

北师大版选修2—3第二章测试《概率》一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设随机变量X的概率分布如下:则P（X〉0)等于()A．0B。

错误!C.错误!D．不确定2．已知离散型随机变量X的概率分布如下:则其数学期望EX等于（A．1 B．0.6 C．2＋3m D．2。

43．设随机变量X等可能地取值1,2，3,…，10。

又设随机变量Y＝2X－1,则P(Y〈6）的值为（）A．0.3 B．0。

5 C．0.1 D．0。

24．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯次数的数学期望为（)A．0。

4 B．1.2 C．0。

43D．0.65．投掷3枚一元硬币，至少有一枚出现正面向上的概率为（）A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!6．位于西部地区的A，B两地,据多年来的资料记载：A,B两地一年中下雨天仅占6%和8％，而同时下雨的比例为2%，则A地为雨天B地也为雨天的概率是(）A.错误!B.错误!C。

错误!D.错误!7．在10个球中有6个红球和4个白球,不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸出红球的概率为（）A。

错误!B。

错误!C。

错误!D.错误!8．已知离散型随机变量X的分布列如下：则均值EX 与方差DX 分别为( )A ．1。

4，0。

2B ．0.44，1.4C ．1。

4，0.44D ．0。

44,0。

29．箱子里有5个黑球，4个白球,每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中,重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为（ ）A .错误!B ．C 错误!×(错误!）3×错误! C ．(错误!）3×错误!D .错误!×1410．某人射击一次命中目标的概率为错误!,则此人射击6次,3次命中且恰有2次连续命中的概率为( )A ．C 错误!(错误!）6B ．A 错误!(错误!)6C ．C 错误!(错误!）6D ．C 错误!(错误!)611．某厂生产的零件外直径X ～N(8，0.152）(mm ）,今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm 和7。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作章末综合测评(二) 概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法不正确的是( )A.某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B.正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C.公式E (X )＝np 可以用来计算离散型随机变量的均值D.从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】 公式E (X )＝np 并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算.故选C.【答案】 C2.若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111的是( ) A.P (X ＝0) B.P (X ≤2) C.P (X ＝1)D.P (X ＝2)【解析】 由已知易知P (X ＝1)＝C 18C 15＋C 14C 16C 112C 111. 【答案】 C 3.若X 的分布列为X 0 1 P15a则E (X )＝( ) A.45 B.12 C.25D.15【解析】 由15＋a ＝1，得a ＝45，所以E (X )＝0×15＋1×45＝45.【答案】 A4.甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A.0.16B.0.24C.0.96D.0.04【解析】 三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】 C5.如果随机变量X ～N (4,1)，则P (X ≤2)等于( ) (注：P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4) A.0.210 B.0.022 8 C.0.045 6D.0.021 5【解析】 P (X ≤2)＝(1－P (2<X ≤6))×12＝[1－P (4－2<X ≤4＋2)]×12＝(1－0.954 4)×12＝0.022 8.【答案】 B6.某同学通过计算机测试的概率为13,他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为( )A.49B.29C.427D.227【解析】 连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P ＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫1－132＝49. 【答案】 A7.校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X 的方差是( )【导学号：62980062】A.165B.6425C.1625D.645【解析】 由题意知成活棵数X ～B ⎝⎛⎭⎫4，45，所以成活棵数X 的方差为4×45×⎝⎛⎭⎫1－45＝1625.故选C. 【答案】 C8.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )A.35B.25 C.110D.59【解析】 记“第一次摸到正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13. 故P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝59. 【答案】 D9.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f (x )＝1102πe－(x －80)2200，则下列命题中不正确的是( )A.该市在这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩标准差为10【解析】 利用正态密度函数的表达式知μ＝80，σ＝10.故A ，D 正确，利用正态曲线关于直线x ＝80对称，知P (ξ>110)＝P (ξ<50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C 正确，故选B.【答案】 B10.设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P (η<6)＝( ) A.0.3 B.0.5 C.0.1D.0.2【解析】 因为P (ξ＝k )＝110，k ＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<72，即ξ＝1,2,3，所以P (η<6)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝310＝0.3.【答案】 A11.甲、乙两个工人在同样的条件下生产，日产量相等，每天出废品的情况如下表所示，则有结论( )工人 甲乙废品数 0 1 2 3 0 12 3 概率0.40.30.20.10.30.50.2A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些C.两人的产品质量一样好D.无法判断谁的产品质量好一些【解析】 ∵E (X 甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， E (X 乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9. ∵E (X 甲)>E (X 乙)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些. 【答案】 B12.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望为( )A.827 B.113 C.1681D.6581【解析】 记a 2，a 3，a 4，a 5位上出现1的次数为随机变量η，则η～B ⎝⎛⎭⎫4，23， E (η)＝4×23＝83.因为ξ＝1＋η，E (ξ)＝1＋E (η)＝113.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X ，则P (X ≤6)＝________.【解析】 P (X ≤6)＝P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝C 44＋C 34C 13C 47＝1335. 【答案】133514.一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________.【导学号：62980063】【解析】 由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131＝49. 【答案】 4915.一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.【解析】 如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4，所以n (A ∩B )＝1，P (A |B )＝n (A ∩B )n (B )＝14. 【答案】 1416.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________.【解析】 ①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝⎛⎭⎫6，23，其方差为6×23×⎝⎛⎭⎫1－23＝43，故②正确； ③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}. 则P (A )＝23，P (A ∩B )＝4×36×5＝25，∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－233＝2627， 故④正确. 【答案】 ①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B ：从1号箱中取出的是红球. P (B )＝42＋4＝23. P (B )＝1－P (B )＝13.(1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B )＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B ) ＝49×23＋13×13＝1127. 18.(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N (90,100).(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？ 【解】 因为ξ～N (90,100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人).19.(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表.试对这两名工人的技术水平进行比较.X 0 1 2 P610110310Y 0 1 2 P510310210【解】 工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为 E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为 E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )>D (Y )，可见乙的技术比较稳定.20.(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望. (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数) 【解】 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112.故X 的分布列为X123P1742 4384 112从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.21.(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1).(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及E (ξ)；(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.【解】 (1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.ξ的分布列为ξ 1 0 －1 P121414E (ξ)＝12－14＝14.(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为η 2 －2 PαβE (η)＝2α－2β＝4α－2. 依题意得4α－2≥14，故916≤α≤1. 22.(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【解】 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为X 10 20 100 －200 P38381818(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1∩A 2∩A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得的分数X 的均值为负， 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.。