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整式的乘除知识点归纳整式是数学中常见的一类代数表达式，包含了整数、变量和基本运算符（加、减、乘、除）。
一、整式的定义整式由单项式或多项式组成。
单项式是一个数字或变量的乘积，也可以包含指数。
例如，3x^2是一个单项式，其中3和x表示系数和变量，2表示指数。
多项式是多个单项式的和。
例如，2x^2 + 3xy + 5是一个多项式，其中2x^2，3xy和5分别是单项式，+表示求和运算符。
二、整式的乘法整式的乘法遵循以下几个重要的法则：1.乘积的交换法则：a×b=b×a，即乘法运算符满足交换定律。
2.乘积的结合法则：(a×b)×c=a×(b×c)，即乘法运算符满足结合定律。
3.乘积与和的分配法则：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)，即乘法运算符对加法运算符满足分配律。
在进行整式的乘法运算时，要注意变量之间的乘积也需要按照乘法法则进行处理。
例如，(2x^2)×(3y)=6x^2y。
三、整式的除法整式的除法是乘法的逆过程。
除法运算中，被除数除以除数得到商。
以下是几个重要的除法规则：1.除法的整除法则：若a能被b整除，则a/b为整数。
例如，6除以3得到22.除法的商式法则：若x为任意非零数，则x/x=1、例如，2x^2/2x^2=13.除法的零律：任何数除以0都是没有意义的，即不可除以0。
例如，5/0没有意义。
在进行整式的除法运算时，要注意约分和消去的原则。
例如，(4x^2+ 2xy)/(2x) 可以约分为2x + y。
四、整式的运算顺序在解决整式的复杂运算问题时，需要遵循一定的运算顺序。
常见的运算顺序规则如下：1.先解决括号内的运算。
2.然后进行乘法和除法的运算。
3.最后进行加法和减法的运算。
五、整式的因式分解因式分解是将一个整式拆解为多个因式的乘积的过程。
对于给定的整式，可以通过以下步骤进行因式分解：1.先提取其中的公因式。
整式的乘除法整式是指由数字、字母和运算符号（加减乘除和括号）组成的代数式。
在数学中，整式的乘除法是学习代数运算的重要一环。
本文将介绍整式的乘法和除法，并提供相应的解题方法和技巧。
一、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
在进行整式的乘法时，需要注意以下几点：1. 符号相乘：当两个整式相乘时，需要根据乘法法则对各项进行符号相乘。
同号相乘得正，异号相乘得负。
2. 同类项合并：在得到乘积后，需要对乘积中的同类项进行合并。
即将相同指数的字母项合并，并将系数相加。
下面通过一个示例来展示整式的乘法：例题：计算乘积 $(3x-4y)(2x+5)$。
解答：按照乘法法则，我们将每一项进行符号相乘，得到乘积：$$6x^2+15x-8xy-20y$$然后，我们将乘积中的同类项进行合并：$$6x^2+15x-8xy-20y$$至此，我们得到了乘积的最简形式。
二、整式的除法整式的除法是将一个整式除以另一个整式，得到商和余数的过程。
在进行整式的除法时，需要遵循以下几个步骤：1. 确定除数和被除数：将要除以的整式称为除数，被除的整式称为被除数。
2. 用除法定律进行整式的除法：将整式的除法转化为有理数的除法。
3. 化简商式：对除法得到的商式进行化简，即将商式中的同类项合并。
4. 找到余式：将化简后的商式与被除数相乘，得到乘积后减去除数，得到余式。
下面通过一个示例来展示整式的除法：例题：计算商和余数 $\frac{4x^3-7x^2+10}{x-2}$。
解答：按照除法的步骤，我们首先确定除数为 $x-2$，被除数为$4x^3-7x^2+10$。
然后，我们用除法定律进行整式的除法：```4x^2 -5x___________________x-2 | 4x^3 -7x^2 +10- (4x^3 -8x^2)_______________x^2 +10- (x^2 -2x)____________12x +10- (12x -24)__________34```化简商式得到商 $4x^2-5x+1$，余数为 $34$。
整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。
一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。
例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。
整式的乘法与除法整式是指由常数、变量及它们的乘积和积的和差组成的代数式。
整式的乘法与除法是代数学中重要的运算，本文将从定义、性质及计算方法等方面进行探讨。
一、整式的定义整式是由常数、变量及它们的乘积和积的和差组成的代数式。
常数称为零次整式，单个变量称为一次整式，以此类推。
整式可以表示为：f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀其中，a₀、a₁、...、aₙ为系数，n为自然数，x为变量。
二、整式的乘法整式的乘法是将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
要进行整式的乘法，需要遵循以下规则：1. 同类项相乘：将相同指数的项的系数相乘，并将指数保持不变。
例如：(3x²)(4x³) = 12x⁵。
2. 多项式相乘：将一个整式中的每一项都与另一个整式的每一项相乘，然后将结果相加。
例如：(3x + 2)(4x + 5) = 12x² + 22x + 10。
3. 分配律：整式的乘法满足分配律。
例如：a(b + c) = ab + ac。
三、整式的除法整式的除法是将一个整式除以另一个整式，得到商式和余式。
要进行整式的除法，需要注意以下几点：1. 除数不为零：除数不为零，否则除法无意义。
2. 长除法：使用长除法的步骤进行计算，以下以一个例子作说明：例如：(2x³ + 3x² - 4x + 1) ÷ (x - 1)首先将被除式按降幂排列：2x³ + 3x² - 4x + 1然后进行第一步的除法，将2x³ ÷ x进行计算，得到2x²，并将结果写在商式上。
然后将2x²与(x - 1)相乘，并进行减法得到2x³ + 2x²。
依次进行下一步的除法计算，直到无法再继续进行为止。
四、整式乘法与除法的性质1. 乘法的交换律与结合律：整式的乘法满足交换律与结合律，即a ·b = b · a，(a · b) ·c = a · (b · c)。
整式的乘除整式是指由常数、变量及它们的乘、除运算符号经有限次组合而成的代数表达式。
整式是代数学中一个重要的概念，掌握整式的乘除运算是解决代数问题的关键。
一、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。
在整式的乘法中，我们需要遵循如下规则：1.同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
例如：am* an = am+n2.乘法满足交换律和结合律。
3.不同底数幂相乘时，可以将其视为两个不同的因数。
例如：am * bn = abn下面是一个整式乘法的示例：假设有整式 a = 2ab2，b = 3a2b，c = 4a2b2。
要求计算整式 d = a * (b + c) 的值。
根据乘法分配律，我们可以将乘法转化为加法运算，即：d = a * b + a * c。
将 a、b、c 的值代入计算，有：d = 2ab2 * 3a2b + 2ab2 * 4a2b2化简上式，将幂相加，并化简系数，得到：d = 6a3b3 + 8a3b4因此，整式 d 的值为 6a3b3 + 8a3b4。
二、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。
在整式的除法中，我们需要遵循如下规则：1.除法满足结合律，但不满足交换律。
2.同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
例如：am/ an = am-n3.除法中，除数不为零。
下面是一个整式除法的示例：假设有整式 p = 5a3b2c 和 q = 10a2c2。
要求计算整式 r = p / q 的值。
根据整式除法的规则，我们需要将p 和q 化简到最简形式，然后进行除法运算。
首先，我们将 p 和 q 化简，并将指数按照从大到小的顺序排列：p = 5a3b2c，q = 10a2c2进行除法运算，将 p 中每一项除以 q 中的对应项，并将指数进行相减：r = (5a3b2c) / (10a2c2)再化简这个分式，我们可以将分子和分母都除以其最大公因式 5ac，得到最简形式：r = (a2b2) / (2c)因此，整式 r 的值为 (a2b2) / (2c)。
数学知识点整式的乘法和除法整式是数学中的一个概念，是指由常数和变量及它们的乘积通过加法和减法运算而得到的代数表达式。
整式的乘法和除法是数学中的重要内容，本文将详细介绍整式的乘法和除法。
一、整式的乘法：整式的乘法是指将两个整式相乘并化简的过程。
下面以一个具体的例子来说明整式的乘法运算。
例子：将整式(2x + 3)(4x + 5)用乘法方式展开并化简。
解答：首先，我们可以利用分配律将两个整式相乘：(2x + 3)(4x + 5) = 2x * 4x + 2x * 5 + 3 * 4x + 3 * 5接下来，根据乘法的法则，我们可以将每一项相乘并合并同类项：= 8x^2 + 10x + 12x + 15最后，将结果进行合并化简，得到最简整式：= 8x^2 + 22x + 15这样，我们就完成了整式的乘法运算。
二、整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，并求得商式和余式的过程。
下面以一个具体的例子来说明整式的除法运算。
例子：计算整式5x^3 + 4x^2 - 3x + 7除以整式x + 2的商式和余式。
解答：首先，我们需要按照除法的步骤进行演算。
Step 1: 将被除式和除式按照降幂排列。
被除式：5x^3 + 4x^2 - 3x + 7除式：x + 2Step 2: 将除式的首项与被除式的首项进行除法运算，并将结果作为商式的首项。
首项相除：(5x^3) / x = 5x^2Step 3: 将商式的首项乘以除式，并将结果与被除式相减，得到一个新的多项式。
计算：(5x^2)(x + 2) = 5x^3 + 10x^2被除式减去：(5x^3 + 4x^2 - 3x + 7) - (5x^3 + 10x^2) = -6x^2 - 3x + 7 Step 4: 重复以上步骤，直到被除式的次数小于除式的次数为止。
继续进行除法运算：次项相除：(-6x^2) / x = -6x计算：(-6x)(x + 2) = -6x^2 - 12x被除式减去：(-6x^2 - 3x + 7) - (-6x^2 - 12x) = 9x + 7再次进行除法运算：次项相除：(9x) / x = 9计算：(9)(x + 2) = 9x + 18被除式减去：(9x + 7) - (9x + 18) = -11由于被除式的次数小于除式的次数，停止除法运算。
七年级整式的乘除知识点在初中数学中，整式的乘除是十分重要的一个知识点。
本文将详细介绍关于七年级整式的乘除的知识点，同时带有例题和详细解析，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、整式的定义及基本运算整式是由常数和一元数的积以及它们的和（差）组成的代数式。
例如：$9x^4-5x^3+2x^2-7$就是一个整式。
整式的基本运算有加法、减法、乘法和除法，这些运算符号分别为$+$、$-$、$\times$和$÷$。
二、整式的乘法在整式的乘法中，需要运用分配律、结合律和交换律等运算法则，以简化计算过程。
以下是一个例题：$$(7x+3)(5x-2)$$首先使用分配律，将括号内的每一个项都与另一个括号内的每一个项相乘，得到：$$7x\times5x+7x\times(-2)+3\times5x+3\times(-2)$$继续化简，得到：$$35x^2-14x+15x-6$$最终化简为：$$35x^2+x-6$$三、整式的除法在整式的除法中，需要运用带余除法的方法。
以下是一个例题：$$\dfrac{12x^4-18x^3+10x^2-8x+6}{2x-3}$$首先将除式乘上商，得到：$$(6x^3+13x^2+16x+32) \times(2x-3)$$ 然后将被除式减去上面得到的结果：$$-78x+102$$ 因为余数是$-78x+102$，而这个余数的次数低于除式的次数，所以整个式子的结果为：$$\dfrac{12x^4-18x^3+10x^2-8x+6}{2x-3}=6x^3+13x^2+16x+32-\dfrac{78x-102}{2x-3}$$四、结合习题练习整式的乘除以下是一道整式乘除的练习题：$$\dfrac{8x^3y^2-12x^2y^3}{4xy^2}$$先将分子分母都约分，得到：$$\dfrac{2x^2y-3xy^2}{y}$$再将分子中的公因式提取出来，得到：$$xy(2x-3y)$$因此，原式的结果为：$$\dfrac{8x^3y^2-12x^2y^3}{4xy^2}=2x^2y-3xy^2$$五、总结整式的乘除是初中数学中的一大重要知识点，需要掌握整式的定义及基本运算、整式的乘法、整式的除法等知识。
七年级整式的乘除知识点整式的乘除是七年级代数学习中的重点内容，也是后续代数计算的基础。
掌握整式的乘法、除法方法，不仅能够帮助学生快速解决代数式计算问题，还可以在解决日常数学问题中提高计算效率。
本文将详细介绍七年级整式的乘除知识点。
一、整式的基础知识整式是由解析式给出的含参式，其中只包含常数项、单项式、多项式、幂函数、指数函数和其运算符，也就是只包含加减乘除和指数运算。
其中，常数项即只有一个数字，单项式是只含有一个未知数和这个未知数的各次幂的乘积，多项式是由多个单项式相加得来。
例如，3x^2 + 2xy + 5y^3就是一个多项式。
二、整式的乘法整式的乘法是代数学中最基本的操作之一，也是七年级整式的重点。
1. 单项式的乘法单项式相乘时，只需要按照乘法法则进行乘法即可。
例如，(2x^3)(3x^4) = 6x^7。
2. 多项式的乘法多项式的乘法需要用到分配律，即将每个单项式的系数依次相乘，然后将各项结果相加。
例如，(2x + 3y)(4x - 5y) = 8x^2 - 7xy - 15y^2。
三、整式的除法整式的除法基于整式的乘法方法，是代数学中的一种基本操作。
1. 单项式的除法单项式的除法是将两个单项式之间的系数分别相除，并将未知数的指数作差，最后得到新的单项式。
例如，8x^3 ÷ 4x^2 = 2x。
2. 多项式的除法多项式的除法需要用到辗转相减法，即将除式不断乘以某一因式，使它变为一个可以整除的式子，然后将这个因式除到商式中。
例如，(4x^3 + 6x^2 - 2x) ÷ (2x - 1) = 2x^2 + 4x + 2 余 0。
四、整式的乘除综合运用整式的乘除不仅是单独使用，还常常需要在代数式计算中进行综合运用。
例如，化简代数式3x^2y - 9xy^2 + 6xy ÷ 3xy，可以先进行拆分化简，将3x^2y ÷ 3xy 等于x，-9xy^2 ÷ 3xy 等于-3y，6xy ÷ 3xy 等于2，得到新的代数式x - 3y + 2。
七年级整式的乘除知识点乘法和除法是我们在学数学时最基本的运算之一，它们的应用涉及到很多领域。
在七年级的数学学习中，整式的乘除是一个重点内容，本篇文章将为大家介绍七年级整式的乘除知识点。
一、整式的基础概念整式，是指在有理数集中，任意选定若干个变量，用这若干个变量的指数，常数及它们的积以及它们的有理系数作为项构成的代数式。
其中，每一项是由若干个因式的积组成的，而每个因式都由一个变量的若干次幂和一个数乘积组成，数称为这个因式的系数，变量的若干次幂则称为这个因式的次数，而整个项的次数，则是它所包括的每个因式的次数的和。
二、整式的乘法整式的乘法就是将两个或两个以上的整式相乘，这个过程叫做整式的乘法运算。
整式的乘法规则如下：1.同类项相乘时，其系数相乘，而次幂相加。
例如：5x²和3x²相乘，结果为15x⁴。
2.异类项相乘时，先将其展开，展开后再分别进行乘法运算，最后合并同类项。
例如：(2x + 3)(x - 5)，先展开为2x² - 7x - 15，再合并同类项得到2x² - 7x - 15。
3.分配率，即a(b+c)=ab+ac。
例如：3(x+2)，展开后得到3x+6。
三、整式的除法整式的除法就是将一个整式除以一个整式，这个过程叫做整式的除法运算。
整式的除法规则如下：1.当被除式中次数最高的项的次数大于或等于除式中次数最高的项的次数时，可进行除法运算。
例如：(4x³+3x-2)÷(x²+1)，次数最高的项为4x³，次数为3，除式的次数最高的项为x²，次数为2，因此可以进行除法运算。
2.将被除式按照次数从高到低排列，然后逐项进行除法运算。
例如：(4x³+3x-2)÷(x²+1)，先将被除式按次数从高到低排列得到4x³+3x-2，然后将4x³÷x²得到4x，然后将4x²乘以除式得到4x³，将4x³×(x²+1)得到4x³+4x³=8x³，将8x³减去被除式中的4x³得到4x³+3x-2-8x³=-4x³+3x-2，这时又可以将-4x³÷x²得到-4x，将-4x²乘以除式得到-4x³，将-4x³×(x²+1)得到-4x³-4x³=-8x³，将-8x³减去被除式中的-4x³得到4x³+3x-2-8x³=-4x³+3x-2+8x³=3x-2，这时又可以将3x÷x²得到3/x，将3/x×(x²+1)得到3x/x+3/x=3+3/x，将3x减去被除式中的3x得到3x-3x=0，将-2减去被除式中的0得到-2，因此整个式子的最终结果为4x-3+3/(x²+1)-2。
《整式的除法》整式的乘除与因式分解日期:目录•整式的乘法和除法概述•整式的因式分解•整式的除法详细解析•练习题与答疑整式的乘法和除法概述整式是由常数、变量和运算符（加、减、乘）构成的代数表达式。
定义整式具有结合律、交换律和分配律等代数性质。
性质整式的定义和性质两个整式相乘时，可以将它们的各项相乘并相加，得到一个新的整式作为乘积。
在整式的除法中，我们通常通过因式分解的方式将被除数和除数进行化简，然后消除相同的因式，得到最简结果。
乘法法则和除法法则除法法则乘法法则解决实际问题：整式的乘除常常用于解决各种实际问题，如工程问题、物理问题等，通过建立整式模型，可以更好地理解和解决问题。
计算机科学：在计算机科学中，整式的乘除也有重要应用，如多项式求值、密码学等领域。
这些内容构成了《整式的除法》中整式的乘除与因式分解的基本框架和知识点。
通过对这些内容的深入学习和理解，可以更好地掌握整式的乘除运算以及其在各个领域中的应用。
数学推导：在数学推导过程中，整式的乘除是基本的代数运算，它们被广泛应用于证明定理、化简表达式等。
整式乘除的应用场景整式的因式分解因式分解的定义和意义因式分解，又称作因子分解，是将一个多项式表示为几个多项式的乘积的过程。
意义因式分解是代数的基本工具，它简化了多项式的运算，并在解决方程、不等式和其他数学问题中起到关键作用。
当多项式的各项有公共因式时，可将公共因式提取出来，从而简化多项式。
提公因式法公式法分组分解法利用代数公式，如平方差公式、完全平方公式等，进行因式分解。
将多项式的项分组，使每组都能进行因式分解，然后再将各组的结果结合起来。
030201常见因式分解的方法通过因式分解，可以将某些类型的方程（如一元二次方程）化为更简单的形式，从而更容易求解。
解方程因式分解在不等式的求解过程中也起到简化作用，通过分解可以更清晰地看出不等式的解集。
求解不等式在多项式运算中，通过因式分解可以简化计算过程，提高计算效率。
整式的乘法与除法在初中数学中，整式的乘法与除法是一个重要的知识点。
它不仅涉及到数学运算的基本技巧，还能帮助我们解决实际问题。
本文将以实际问题为背景，通过举例、分析和说明来介绍整式的乘法与除法的应用。
一、整式的乘法整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
它的应用非常广泛，例如在代数表达式的化简、方程的解法、图形的面积计算等方面都有应用。
举例一：化简代数表达式假设有一个代数表达式：(3x + 2)(x - 5)。
我们可以使用整式的乘法运算将其展开化简。
首先，将括号中的每一项与另一个括号中的每一项相乘，得到以下结果：3x * x + 3x * (-5) + 2 * x + 2 * (-5)。
然后，将同类项相加合并，得到最简形式的代数表达式：3x^2 - 15x + 2x - 10。
最后，将同类项合并得到最终结果：3x^2 - 13x - 10。
通过整式的乘法运算，我们成功地将代数表达式化简为最简形式，从而更方便地进行后续计算或分析。
二、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。
它的应用也非常广泛，例如在多项式的因式分解、方程的解法、函数的图像绘制等方面都有应用。
举例二：因式分解假设有一个整式：x^3 - 8。
我们希望将其进行因式分解，以便更好地理解和分析。
首先，我们可以观察到这个整式是一个立方差式，即一个立方数减去另一个立方数。
根据立方差公式，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x^2 + 2x + 4)。
通过整式的除法运算，我们成功地将整式进行了因式分解，得到了更简洁的表达形式。
这样，我们可以更方便地研究整式的性质和特点。
三、实际问题的应用整式的乘法与除法不仅仅是数学中的一种运算，它还能帮助我们解决实际问题。
例如，在几何中，我们可以使用整式的乘法来计算图形的面积或体积；在经济学中，我们可以使用整式的乘法来计算成本、利润等。
举例三：计算图形的面积假设有一个矩形，长为2x + 3，宽为3x - 4。
整式的乘法与除法整式是由数字、变量和运算符（+、-、*、/）组成的代数表达式，而整式的乘法与除法是整式运算的两种基本操作。
了解整式的乘法与除法的规则和方法，可以帮助我们更好地理解和解决代数问题。
本文将介绍整式的乘法与除法的规则及其应用。
一、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘得到的结果。
在整式的乘法中，我们需要掌握以下几个规则：1. 相同项的乘法：将同类项的系数相乘，对应变量的指数相加，并保持未知量的字母不变。
例如，(2x^2y)(3xy^2) = 6x^3y^3。
2. 不同项的乘法：将一个整式的每一项与另一个整式的每一项相乘，并将结果整理成一个整式。
例如，(2x + 3)(4x - 5) = 8x^2 - 10x + 12x -15 = 8x^2 + 2x - 15。
3. 乘法分配律：若a、b和c为任意的整数或整式，则a(b + c) = ab+ ac。
即将一个整式与另一个整式的和相乘，相当于将该整式与另一个整式的每一项分别相乘，然后将结果相加。
例如，3(2x + 5) = 6x + 15。
二、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，得到商式和余式。
整式的除法通常使用长除法的方法进行计算，具体步骤如下：1. 将被除式与除式按照变量的指数从高到低排列。
2. 将被除数的第一个项除以除数的第一个项，得到商式的第一项。
将商式的第一项乘以除数，得到一个临时的乘积。
3. 将临时乘积与被除式进行相减，得到新的多项式。
4. 将新的多项式的第一个项除以除数的第一个项，得到商式的第二项。
将商式的第二项乘以除数，得到另一个临时的乘积。
5. 重复以上步骤，直到无法继续相减为止。
此时得到的商式为最终的商式，余式为未相减的多项式。
例如，我们将(3x^2 - 2x + 5)除以(x - 1)：3x - 1_________x - 1 | 3x^2 - 2x + 5- (3x^2 - 3x)________x + 5所以，商式为3x - 1，余式为x + 5。
初一数学整式的加减乘除整式是初中数学中的一个重要概念，它是由数字和字母的乘积及其相加减所组成的代数表达式。
在初一阶段，学生初步接触整式的加减乘除运算，掌握这些运算规则对于进一步学习代数和方程式解题至关重要。
本文将系统地介绍初一数学整式的加减乘除运算规则，帮助初一学生更好地理解和掌握相关知识。
一、整式的加法运算整式的加法运算有两个基本的规则：1. 同类项相加。
同类项是指具有相同字母或者字母幂相同的项。
例如：2x和5x就是同类项，因为它们都是字母为x的一次幂；3x^2和4x^2也是同类项，因为它们都是字母为x的二次幂。
2. 常数项相加。
常数项是指没有字母的项。
例如：3和7就是常数项。
例如，我们有两个整式：3x^2 + 2x + 5和2x^2 + 4x + 6。
将它们相加时，我们可以按照同类项相加的原则，首先将同类项相加，然后将常数项相加。
计算过程如下：(3x^2 + 2x + 5) + (2x^2 + 4x + 6) = 3x^2 + 2x^2 + 2x + 4x + 5 + 6= 5x^2 + 6x + 11因此，两个整式相加后的结果是5x^2 + 6x + 11。
二、整式的减法运算整式的减法运算也有两个基本的规则：1. 减去一个整式，相当于加上这个整式的相反数。
相反数指的是正负相反的数。
例如，-3和3就是互为相反数。
2. 差的规则。
在减法中，可以将减数加上负号，并把减法转化为加法运算，然后按照加法的规则进行计算。
例如，我们有两个整式：4x^2 + 5x + 2和2x^2 + 3x + 1。
将第二个整式减去第一个整式时，我们可以按照差的规则，先求出第二个整式的相反数，再将它与第一个整式相加。
计算过程如下：(4x^2 + 5x + 2) - (2x^2 + 3x + 1) = (4x^2 + 5x + 2) + (-(2x^2 + 3x + 1)) = 4x^2 + 5x + 2 - 2x^2 - 3x - 1= 4x^2 - 2x^2 + 5x - 3x + 2 - 1= 2x^2 + 2x + 1因此，两个整式相减后的结果是2x^2 + 2x + 1。
第十讲 整式的乘法与除法
中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．
整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析． 正整数指数幂的运算法则：
(1)n m n m a a a +∙=； (2) ()n n n a b a b ∙=；
(3) ()n m n m a a ∙=； (4) m n m n a a a -÷=(a ≠0，m ＞n)；
常用的乘法公式： (1)(a+b)(a+b)=a 2-b 2； (2)(a ±b)2=a 2±2ab+b 2；
(4)(d ±b)3=a 3±3a 2b+3ab 2±b 3； (5)(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca ．
例1 求[x 3-(x -1)2](x -1)展开后，x 2项的系数 ．
解 [x 3-(x -1)2](x -1)=x 3(x -1)-(x -1)3．因为x 2项只在-(x -1)3中出现，所以只要看-(x -1)3=(1-x)3中x 2项的系数即可．根据乘法公式有
(1-x)3=1-3x+3x 2-x 3，
所以x 2项的系数为3．
说明 应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．
(x -2)(x 2
-2x+4)-x(x+3)(x -3)+(2x -1)2
．
解 原式=(x 3-2x 2+4x -2x 2+4x -8)-x(x 2-9)+(4x 2-4x+1) =(x 3-4x 2+8x -8)-(x 3-9x)+(4x 2-4x+1) =13x -7=9-7=2．
说明 注意本例中(x -2)(x 2-2x+4)≠x 3-8．
例3 化简(1+x)[1-x+x 2-x 3+…+(-x)n-1]，其中n 为大于1的整数． 解 原式=1-x+x 2-x 3+…+(-x)n-1
+x -x 2+x 3+…-(-x)n-1+(-x)n =1+(-x)n ．
说明 本例可推广为一个一般的形式：
(a -b)(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1)=a n -b n ．
例4 计算
(1)(a -b+c -d)(c -a -d -b)；
(2)(x+2y)(x -2y)(x 4-8x 2y 2+16y 4)．
分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．
原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2
=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．
(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但
x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2
与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了．
原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3
=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3
=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．
例5 设x，y，z为实数，且
(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，
解先将已知条件化简：
左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，
右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．
所以已知条件变形为
2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，
即(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．
因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以
说明本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．
我们把形如
a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0
(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．
多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除．例6 设g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．解法1 用普通的竖式除法
解法2 用待定系数法．
由于f(x)为3次多项式，首项系数为1，而g(x)为2次，首
r(x)= bx+ c．
根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得
x3-3x2-x-1
比较两端系数，得
例7 试确定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．
解由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若设
f(x)=x4+ax2-bx+2，
假如f(x)能被x2+3x+2整除，则x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，当x=-1时，f(-1)=0，即
1+a+b+2=0，①
当x=-2时，f(-2)=0，即
16+4a+2b+2=0，②
由①，②联立，则有
练习十
1．计算：
(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；
(2)(x+y)4(x-y)4；
(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)．
2．化简：
(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；
(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；
(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z)．
3．已知z2=x2+y2，化简
(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．
4．设f(x)=2x3+3x2-x+2，求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式．。
