6因式分解

6.二元二次式的分解形如 f ey dx cy bxy ax +++++22的x 、y ，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．6.1 欲擒故纵例1 分解因式：.233222+++-+y x y xy x解 如果只有二次项,3222y xy x -+那么由算式得 ).3)((3222y x y x y xy x +-=-+如果没有含y 的项，那么对于多项式,232++x x 由算式得 ).2)(1(232++=++x x x x 如果没有含x 的项，那么对于多项式,232++-y y 由算式得 ).23)(1(232++-=++-y y y y 把以上三个算式“拼”在一起，写成便得到所需要的分解：233222+++-+y x y xy x).23)(1(+++-=y x y x上面的算式称为长十字相乘，式中的三个十字叉就是上面所说的三次十字相乘（我们省略了横线及横线下面的数）．两次十字相乘就可以确定算式中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下，长十字中的第一行1-1+1表示因式,1+-y x 第二行231++表示 另一个因式.23++y x为了解决问题，常常先忽略一些条件，导出部分结果，然后再把几方面的部分结果综合起来，这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜．例2 分解因式： .2023265622-++--y x y xy x 解 先进行两次十字相乘，由算式得 ),23)(32(65622y x y x y xy x +-=-- ).53)(42(20262-+=-+x x x x为避免混淆，我们在算式中写上(x)、(y)、(1)，表示相应的列是x 、y 的系数或常数项．然后把两个算式拼成检验一下，正好有,2342)5()3(=⨯+-⨯-于是 2023265622-++--y x y xy x ).523)(432(-++-=y x y x6.2 三 元 齐 次长十字相乘对于三个字母x 、y 、z 的二次齐次式dxz cy bxy ax +++222fz eyz ++也同样适合． 例3 分解因式： .615596222z yz xz y xy x ++-+- 解 由算式得 222615596z yz xz y xy x ++-+- ).33)(23(z y x z y x ----=例4 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且.027334222=+--++b bc ab c ac a求证：.2c a b += 解 由算式得 22227334b bc ab c ac a +--++).2)(3(c b a c b a +-+-=于是，由已知条件，得.0)2)(3(=+-+-c b a c b a因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以,03=/+-c b a从而 ,02=+-c b a即 .2c a b +=6.3 项 数 不 全如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通常更为简单）．例5 分解因式： .43522+++-y x y x 解 由算式得 43522+++-y x y x).4)(1(+-++=y x y x在例5中，如果仅看22y x -与,452++x x 也可能导出不完全正确的算式在用第三个十字相乘时，可以发现第三列的4与1应当交换位置，例6 分解因式：⋅++++y x y xy x 422322 解 由算式得 y x y xy x 422322++++).2)(2(+++=y x y x6.4 能 否 分 解二元二次式并不是一定能分解的，如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这个二元二次式就不能分解．所以，在编制分解二元二次式的习题时，应当先拟好答案，即两个一次因式，然后把它们相乘，导出一个二元二次式．换句话说，应当先写出长十字相乘的算式，然后再写出二元二次式，如果随意地写一个二元二次式，那么多数是不能分解的，例7 m 为什么数时，24518722-+--+my x y xy x 可以分解为两个一次因式的积？解 对于多项式,18722y xy x -+有算式对于多项式,2452--x x 有算式这两个算式可以拼成长十字相乘或对第一个长十字相乘，有,43)8()2(39=-⨯-+⨯而对第二个长十字相乘，有,783)2()8(9-=⨯-+-⨯所以，m = 43或m=一78时，24518722-+---my x y xy x 才可以分解，并且由第一个长十字相乘，得2443518722-+---y x y xy x),32)(89(+--+=y x y x由第二个长十字相乘，得2478518722-----y x y xy x).82)(39(--++=y x y x小 结x 、y ，的二次式（或x 、y 、z 的二次齐次式）应当用长十字相乘来分解．长十字相乘由三个十字相乘组成，它们分别表示x 、y 的二次齐次式、不合x 的二次式（或y 、z 的二次齐次式）与不舍y 的二次式（或z 、x 的二次齐次式）的因式分解，习 题 6将以下各式分解因式：1 .233222+++++y x y xy x2 .27614422-+-+-y x y xy x 3 .423222yz xz z y x +---4 .252222a ax ay x xy y ---+-5 .221033222ab ca bc c b a --+--6 .3355227222-+---b a b ab a7 .2732222xz yz xy z y x +++--8 .77362222yz xz xy z y x ++-+- 9 .36294222yz xz z y x -++- 10 .292422yz xz xy z x ++++习题答案。

因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

因式分解教案6篇在教学工作者开展教学活动前，时常要开展教案准备工作，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。

教案要怎么写呢？下面是精心整理的因式分解教案6篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。

因式分解教案篇1知识点：因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。

教学目标：理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。

考查重难点与常见题型：考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。

重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

教学过程：因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积。

分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。

分解因式的常用方法有：（1）提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。

（2）运用公式法，即用写出结果。

（3）十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行。

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。

（5）求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么2、教学实例：学案示例3、课堂练习：学案作业4、课堂：5、板书：6、课堂作业：学案作业7、教学反思：因式分解教案篇2一、教材分析1、教材的地位与作用“整式的乘法”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成合理的知识结构，提高数学思维能力．利用公式法进行因式分解时，注意把握多项式的特点，对比乘法公式乘积结果的形式，选择正确的分解方法。

因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。

1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。

下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。

在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。

例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。

因式分解最常用的公式因式分解是代数中常用的一种运算方法，它能够将多项式表达式分解为简化形式，从而更方便地进行计算和理解。

在因式分解中，有一些常用的公式被广泛应用，本文将介绍因式分解中最常用的公式及其应用。

一、一次因式分解公式一次因式分解是最简单的一种分解方式，其公式为\[ a x + b = 0 \]，其中a和b为常数。

通过这个公式，我们可以解出方程的根，即\[ x = -\frac{b}{a} \]。

这个公式在代数中应用广泛，是解一元一次方程的基础。

二、二次因式分解公式二次因式分解是因式分解中比较常见的一种形式，其公式为\[ a x^2 + b x + c = 0 \]，其中a、b、c为常数且\(a\neq0\)。

根据二次因式分解公式，我们可以利用求根公式\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]求出方程的根。

三、完全平方式分解公式完全平方式分解是指将二次三项式\( ax^2 + 2bx + c \)分解成两个因式的乘积形式，即\[ ax^2 + 2bx + c = (mx + n)(px + q) \]。

通过这个公式，我们可以快速地分解二次三项式，进而简化计算。

四、差几平方式分解公式差几平方式分解是将\( a^2 - b^2 \)形式的多项式分解成两个因式相乘的形式，即\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]。

这个公式在代数中也经常被使用，用于分解差平方式，简化计算过程。

五、分组因式分解公式分组因式分解是一种将多项式按照一定规则进行分组，然后进行因式分解的方法。

通过这种方式，我们可以快速简化多项式的形式，方便计算。

分组因式分解在代数中也是一种常用的技巧。

六、特殊公式因式分解除了以上常用的公式外，还有一些特殊公式在因式分解中也有广泛的应用。

例如\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)、\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)等。

因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x-2x-xx-2x–x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a+4ab+4b解：a+4ab+4b=（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。