高二数学周测体育-6打印版

2021年高二数学上学期第6周周考试题一、选择题(本大题共6个小题，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A．①是棱台B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱2．(xx·湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )3．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的2倍 C．不变 D．缩小到原来的1 64．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A．1倍 B．2倍 C.95倍 D.74倍5．(2011～x x·浙江龙岩一模)有一个几何体的三视图及其尺寸如右图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．36πcm26．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6 C．5 D．3二、填空题(本大题共3个小题，把正确答案填在题中横线上)7．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．8．(2011－xx·北京东城区高三第一学期期末检测)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________________ ________________．（第8题图）（第9题图）9．一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中主视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．三、解答题(本大题共2个大题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)10．(本题满分12分)如下图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．11．(本题满分12分)如图所示(单位：cm)，四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．天全中学xx 学年上期高二第6周周考数学详解答案1[答案] C[解析] 图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥．2[答案] D[解析] 本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A ，B ，C 都可能是该几何体的俯视图，D 不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．[点评] 本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．是近年高考中的热点题型．3[答案] A[解析] V ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2×2h ＝16πr 2h ，故选A.4 [答案] C [解析] 设最小球的半径为r ，则另两个球的半径分别为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2，所以36πr 24πr 2＋16πr 2＝95.5 [答案] C[解析] 由三视图可知该几何体是圆锥，S 表＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2＝π×3×5＋π×32＝24π(cm 2)，故选C.6[答案] A[解析] 设圆台较小底面圆的半径为r ，由题意，另一底面圆的半径R ＝3r .∴S 侧＝π(r ＋R )l ＝π(r ＋3r )×3＝84π，解得r ＝7.7[答案] 1423π [解析] 圆台高h ＝32－2－12＝22，∴体积V ＝π3(r 2＋R 2＋Rr )h ＝1423π.8[答案] 36[解析] 该几何体是底面是直角梯形的直四棱柱，如图所示，底面是梯形ABCD ，高h ＝6，则其体积V ＝Sh ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122＋4×2×6＝36. [答案] 24π2＋8π或24π2＋18π9[答案] 2(1＋3)π＋42[解析] 此几何体是半个圆锥，直观图如下图所示，先求出圆锥的侧面积S 圆锥侧＝πrl ＝π×2×23＝43π，S 底＝π×22＝4π，S △SAB ＝12×4×22＝42，所以S 表＝43π2＋4π2＋42＝2(1＋3)π＋4 2.10[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ′.圆锥的高h ＝42－22＝23，又∵h ′＝3，∴h ′＝12h .∴r 2＝23－323，∴r ＝1.∴S 表面积＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πrh ′＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.11[解析] 由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．又S 半球面＝12×4π×22＝8π(cm 2)，S 圆台侧＝π(2＋5)5－22＋42＝35π(cm 2)，S 圆台下底＝π×52＝25π(cm 2)，即该几何全的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm 2)． 27729 6C51 汑31578 7B5A 筚 24072 5E08 师 O31132 799C 禜28899 70E3烣24157 5E5D 幝35681 8B61 譡828175 6E0F 渏?。

高二上学期数学北师大版（2019）期末模拟测试卷B 卷【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则M 到直线的距离为( )2.已知A ，B 两点的坐标分别为，，两条直线和3.已知圆C ：，P 为直线上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，直线AB 的方程为( )A. B. C. D.4.某高中运动会设有8个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有()A.420种B.840种C.476种D.896种5.二项式展开式中的系数为( )A.120B.135C.D.6.过抛物线的焦点作直线，与抛物线C 分别交于点A ，B 和点M ，N ，若直线与A.8B.16C.24D.327.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为，她掷了k 次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X 表示每掷N 次硬币中正面向上的次数，现以使最大的N 值估计N 的取值并计算.(若有多个N 使最大，则取其中的最小N 值).下列说法正确的是( )()0,0,0A ()1,1,1B ()1,2,2M -AB ()0,1A ()1,0B 1:10l mx y -+=2:10l x my +-=(m ∈R 222440x y x y +---=:20l x y ++=5530x y ++=5530x y -+=5530x y +-=5530x y --=()()10211x x x ++-5x 140-162-2:8C y x =1l 2l 1l l (01)p p <<(10)P X =()E X (10)P X =A. B.C. D.与10的大小无法确定8.已知椭圆的焦距为2，A 为椭圆的右焦点，过点A 在x 轴上方作两条( )二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若三条不同的直线，，，能围成一个三角形，则m 的取值不可能为( )A. B. C. D.110.小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A 为“恰有两人所去景点相同”，事件B 为“只有小张去甲景点”，则( )A.这四人不同的旅游方案共有64种B.“每个景点都有人去”的方案共有72种11.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯的统计理论，随机事件A ，B 存在如下关系：餐厅就餐的概率分别为0.4，0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果他第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5.则王同学( )A.第二天去甲餐厅的概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44()10E X >()10E X <()10E X =()E X 2222:1(0)x y E a b a b +=>>2=1:240l mx y m +++=2:10l x y -+=3:350l x y --=2-6-3-()P AB =∣三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则m 的值为___________.13.若直线与曲线只有一个公共点，则实数m 的取值范围是______________.14.已知，，是球M 上三点，球心M 的坐标为，P 是球M 上一动点，则三棱锥的体积的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.15.（13分）如图，在直三棱柱中，，.(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求点B 到平面的距离.16.（15分）已知圆C 经过点、，并且直线平分圆C .（1）求圆C 的方程；（2）过点，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的交点M 、N ，且，求k 的值.17.（15分）从5名男生和3名女生中选出3人，分别求符合下列条件的选法数.（1）男同学甲、女同学乙必须被选出；（2）至少有2名女生被选出；（3）让选出的3人分别担任体育委员、文娱委员等3种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.18.（17分）已知m ，n 是正整数，的展开式中x 的系数为15.0m >6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2x 0:x y l m ++=:C y =(1,1,1)A (2,0,1)B (1,0,2)C (1,0,1)P ABC -111ABC A B C -BA BC ⊥12BA BC BB ===1AB 11A C 11A B C (1,3)A (2,2)B :320m x y -=(0,1)D 12OM ON ⋅=(1)(1)m n x x +++(1)求展开式中的系数的最小值；(2)已知.19.（17分）已知直线，直线，过动点M 作，，垂足分别为A ，B ，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且四边形（O 为原点）的面积为2.（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若，过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，线段CD 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于，两点，求的取值范围.2x (23x +b +1:l y x =2:l y x =-1MA l ⊥2MB l ⊥OAMB ()3,0F ()0,0P x ()00,Q y 00x y +答案以及解析1.答案：D解析：由，，，可知，则与同方向的单位向量为，又，，故点M 到直线的距离为.故选：D.2.答案：D 解析：由题意可得直线恒过定点，恒过定点，且两直线的斜率之积为，所以两直线相互垂直，所以点P 在以线段为直径的圆上运动，，设，所以，所以当大值2，此时点P 的坐标为.故选：D.3.答案：A解析：由，得圆C 的圆心，半径.因.故PC 的方程为，即.联立，，解得.所以直线AB 的方程为()0,0,0A ()1,1,1B ()1,2,2M -(1,1,1)AB = AB0AB = ||3AM = 0AM AB ⋅== AB d ===1:10l mx y -+=()0,1A 2:10l x my +-=()1,0B 1-AB AB =ABP θ∠=θθπ2sin 4AP BP θθθ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭θ==()1,1()()22222440129x y x y x y +---=⇒-+-=()1,2C 3r =122AP AC =⨯⋅=PC l ⊥21y x -=-10x y -+=1020x y x y -+=⎧⎨++=⎩x =y =31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，化简，得.4.答案：D解析：由题意可知，可以分两种情况，第一种情况所选取3个项目恰有2个相同项目，第一步，在8个项目中选取2项，共有种，第二步，甲在剩下的6个项目中选取1项，共有种，第三步，乙在剩下5个项目中选取1项，共有种，由分步乘法计算原理可知，共有种；第二种情况所选取的3个项目有3个相同项目，则有种；由分类加法计数原理可知，总情况一共有种.故选：D 5.答案：D解析：展开式通项为：，令，则展开式中的系数为；令，则展开式中的系数为；令，则展开式中的系数为；展开式中的系数为.故选：D.6.答案：D解析：设直线与的斜率分别为，，则，联立方程组消去y 并整理得，设，，则，当且仅当时，等号成立，所以7.答案：B解析：由题，X 服从二项分布，则，最大即为满足的最小N ，即为28C 28=()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫---+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5530x y ++=16C 6=15C 5=2865840⨯⨯=38C 56=84056896+=()101x -()()11010C 1C rrr rr r T x x +=-=-⋅=5r ()1011x ⨯-5x ()55101C 252-=-4r =()101x x -5x ()44101C 210-=3r =()1021x x -5x ()33101C 120-=-()()10211x x x ∴++-5x 252210120162-+-=-1l 2l 1k 2k 121k k =-()122,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩()22221114240k x k x k -++=()11,A x y ()22,B x y ()211221424k x x k ++==()()12228AB AF BF x x =+=+++=8MN =+212221218811616832AB MN k k k k ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭22121k k ==AB MN +(,)B N p 101010(10)C (1)N N P X p p -==-(10)P X =101010101091C (1)C (1)N N N N p p p p --+-≥-，又为整数时，的最小整数，而，，答选：B.8.答案：C解析：由焦距为2知，，设直线与E的另外一个交点为D，，显然判别式大于0，或．故选：C．9.答案：ABC解析：由直线，，，若；若；101010101091C(1)1910111C(1)11NNNNp p NNp p p N p--+--≥⇔⋅≥⇔≥---+N+∈N1-10Np=--1-()E X Np=()10E X<⇔N<()10X<(1,0)A221a b-=AB()11,B x y)()222242122a x a x a a--+-=12x x+=12x=))1211x x--=12x x+()121x x+-=242222212121a a aa a-+-=--22= 2a=22=1:240l mx y m+++=2:10l x y-+=3:350l x y--=1l//2=-1//l l6=-若经过直线与的交点时，此时三条直线不能围成一个三角形，联立方程组，解得，，即交点，将点代入直线，可得，解得，故选：ABC.10.答案：CD解析：A 选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A 错误；B 选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，种方案，B 错误；C 选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，由B 选项可知，，事件AB ，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，故，所以D 选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另种方案，由A 选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，故11.答案：AC解析：设事件表示“第一天去甲餐厅”，表示“第二天去甲餐厅”，表示“第一天去乙餐厅”，表示“第二天去乙餐厅”，则，，，，所以，所以A 正确.，所以B 不正确.因为，所以，所以1l 2l 3l 10350x y x y -+=⎧⎨--=⎩3x =4y =(3,4)P P 1l 32440m m +⨯++=3m =-4381=33A 36=()36n A =()212312C C A 6n AB ==()()()n AB P B A n A ==312413C C A 24=23A 18==1A 2A 1B 2B ()10.4P A =()10.6P B =()210.6P A A =∣()210.5P A B =∣()()()()()21211210.40.60.60.50.54P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣()()2210.46P B P A =-=()()()()2122110.5P A P B A P A B P B ==∣∣()()2120.50.60.3P A P B A =⨯=∣()()1220.30.30.54P B A P A ===∣故选AC.12.答案：3解析：展开式的通项为（），令，解得，所以项的系数为，又，解得.13.答案：解析：因为曲线，所以曲线C 是以为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线的斜率为-1，在y 轴上的截距为，画图如下：由于直线与曲线只有一个公共点，由图得：，当直线l 与圆相切时，则或故答案为：.解析：依题意，，，则则，则球M 的半径，设平面的法向量为，则，令，得，()()()()121122P A P B A P A B P B =∣∣()()()121210.4(10.6)0.46P A P A A P B ⎡⎤-⨯-⎣⎦===∣6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭662166C C kk k k k kk m T x m x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭0,1,2,,6k = 622k -=2k =2x 2226C 15135m m ==0m >3m =(]{3,3-- :C y =()2290x y y +=≥(0,0):l y x m =--m -[)(]3,33,3m m -∈-⇒∈-3d m ⇒=±=-(]3,3∈-m =-(]{3,3-- (1,1,0)AB =- (0,1,1)AC =- ||||AB AC == ||||AB AC A AB AC ⋅==A =ABC =(0),1,0=||1R MA == ABC (,,)n x y z = 0n AB x y n AC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =(1,1,1)n =则点M 到平面的距离距离最大值为，所以三棱锥解析：（1）依题意可知，，两两相互垂直，以B 为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，设异面直线与所成角为，则由于（2），，，，设平面的法向量为，则，故可取，所以点B 到平面16.答案：（1）（2）1ABC ||||n MA d n ⋅===ABC 1d R +=P ABC -1)+=BA 1BB BC ()2,0,0A ()10,2,0B ()12,2,0A ()10,2,2C ()12,2,0AB =- ()112,0,2A C =-1AB 11A C θ111111cos AB A C AB A C θ⋅===⋅0θ<≤=()112,0,0A B =- ()0,0,2C ()12,2,2A C =-- ()10,2,0BB =11A B C (),,n x y z = 111202220n A B x n A C x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ()0,1,1n = 11A B C = 22(2)(3)1x y -+-=解析：（1）线段AB的中点，，故线段AB的中垂线方程为即，因为圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上.又因为直线平分圆C，所以直线m经过圆心.即与的交点为圆心，所以圆心的坐标为，而圆的半径，.（2）直线l的方程为.圆心C到直线l的距离，两边平方整理得：将直线l的方程与圆C的方程组成方程组得，将①代入②得：，设、，则由根与系数的关系可得：而，所以，，整理，解得.此时有，所以k值为1.17.答案：（1）6（2）16（3）90解析：（1）根据题意，先选出男同学甲，女同学乙，再从其它6个人中再选1人即可，共有种选法；（2）从8人中任选3人，有种选法，没有女学生入选，即全选男生的情况有种情况，只有1名女生入选，即选取1女4男，有种选法，故所有符合条件选法数为：35,22E⎛⎫⎪⎝⎭32112ABk-==--52y x-=-10x y-+=:320m x y-=10x y-+=320x y-=(2,3)C1r=22(2)(3)1x y-+-=1y kx=+d=1d=<23830k k-+<k<<1(2)2(3)21y kxx y=+⎧⎨-+-=⎩①②()2214(1)70k x k x+-++=()11,M x y()22N x y12x x+=12x=()()()212121212111y y kx kx k x x k x x=+⋅+=+++()()()222121121274(1k)4k(1k)OM ON111181k21k21k2yx x y k x x k x x k k++⋅=+=++++=+⋅+⋅+=++++812=2(1)1k k k+=+1k=>△16C6=38C35C2153C C⨯种；（3）选出一个男生担任体育班委，有种情况，再选出1名女生担任文娱班委，有种情况，剩下的6人中任取1人担任其它班委，有种情况，用分步计数原理可得到所有方法总数为：种.18.答案：(1)49；(2)解析：（1）根据题意得，即，所以，所以展开式中的的系数为故当或时，的系数的最小值为49.，则，，因为的展开式的通项为，令（*）即，所以.因为成立，所以，所以.19.答案：（1）（2）解析：（1）设，由直线，直线，可知，故四边形为矩形，四边形（O 为原点）的面积为2，即得，33218553C C C C 16--⨯=15C 13C 16C 111536C C C 90⨯⨯=2271511C C 15m n +=15m n +=15n m =-2x 2222(1)(1)C C 222m nm m n n m n m n --+--+=+=222211515(15)15105222m m m m m ⎛⎫⎡⎤=+--=-+=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭7m =8m =2x 7=172(23)(23)m n x x +-+=+3477C C 35a ===7(23)x +77177C 2(3)C 23r r r r r r r r T x x --+=⋅⋅=⋅716177718177C 23C 23C 23C 23r r r r r r r r r r r r -+-+----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩r r ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩*∈N 4r =434777C 232268032⋅⋅=>>22680b =352268022715a b +=+=()2242x y x -=≥(3,6)(6,)+∞ (,)M x y 1:l y x =2:l y x =-12l l ⊥OAMB OAMB ||||2MA MB ⋅=因为，，故，得，由于点A 在第一象限，点B 在第四象限，故动点M 的轨迹方程为；（2）由题意知，过点F 且斜率为k 的直线l 交M 的轨迹于C ，D 两点，即l 与双曲线的的右支交于两点，双曲线的渐近线为，故或；设直线l 的方程为，联立，整理得，，设，则故CD 中点的坐标为，则CD 的垂直平分线的方程为，令，得，得，故因为或，故，所以的取值范围为.||MA =||MB =2=22||4x y -=()2242x y x -=≥()3,0F 224x y -=y x =±1k >1k <-(3)y k x =-22(3)4y k x x y =-⎧⎨-=⎩()222216940k x k x k -+--=()()4222Δ36419420160k k k k =----=+>()()()()1122,3,,3C x k x D x k x --212261k x x k +=-=-22233,11k k k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭22231311k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭0y =0x =0x =0261k y k =-()()()2002261666611111k k k k k x y k k k k k ++=+===+--+--1k >k <61k <-0>6361k <+<-6>00x y +(3,6)(6,)+∞。

2023-2024学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 72−C 75=（ ）A ．63B ．10C ．21D ．02．用最小二乘法得到一组数据（x ，y ）（i ＝1，2，3，4，5，6）的线性回归方程为y =2x +3，若∑ 6i=1x i =30，则∑ 6i=1y i =（ ） A ．11B ．13C ．63D ．783．方程x 22+k +y 28−k =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．k ＞﹣2B ．k ＜8C ．﹣2＜k ＜8D ．﹣2＜k ＜34．若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于（ ） A ．1B ．13C ．1或13D ．155．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ） A ．21B ．35C ．36D ．456．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝6，则8S 3+S 9的最小值为（ ） A ．18B ．24√2C ．30D ．337．已知圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，点P 是圆M 上任意一点，则|PA →+PB →|的取值范围是（ ） A ．[2√2，4+√2] B ．[4−√2，4+√2]C ．[4−√2，2√2]D ．[4−2√2，4+2√2]8．经过双曲线C ：x 212−y 2b2=1(b ＞0)的右焦点F 作该双曲线的一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，且l 交另一条渐近线于点N ，若3FN →=5MF →，则b 的值为（ ） A ．2√6B ．4C ．2D ．√3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．点A （﹣2，1），B （a ，1﹣a ），过A ，B 的直线为l ，下列说法正确的有（ ）A ．若a ＝1，则直线l 的方程为x +3y ﹣1＝0B ．若a ＝﹣1，则直线l 的倾斜角为π4C ．任意实数a ，都有|AB|≥√3D ．存在两个不同的实数a ，能使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数 10．甲、乙、丙等6人排成一列，下列说法正确的有（ ） A ．若甲和乙相邻，共有240种排法 B ．若甲不排第一个共有480种排法C ．若甲与丙不相邻，共有480种排法D ．若甲在乙的前面，共有360种排法11．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）交于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，且点T 的坐标为（3，0）．当m ＝1时，|AB|=√14，则（ ） A ．r ＝2B ．|AB |的最小值为2√3C ．存在点A ，使∠ATO ＝45°D ．存在m ，使QO →⋅QT →=−5412．在等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，T n 为数列{a n }的前n 项积，下列说法正确的有（ ） A ．﹣1＜q ＜0 B ．a 10+a 11＜0C ．若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则T n 的最大项为T 11D ．若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则T n 的最小项为T 10 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2﹣y ）6的展开式中，各项系数的绝对值之和为 ．14．已知等差数列{a n }的公差不为0，其前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 3+a 4a 1+a 2= ．15．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上两个不同的点，F 为抛物线的焦点，若AF →=3FB →，则△OAB 的面积为 ． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，点T （b ，0），若椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等，则e 2的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的2，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的1．（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；（2）判断是否有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．18．（12分）设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S n +S n−1−2a n=0(n ∈N ∗，n ≥2)． （1）求证；数列{S n 2}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式． 19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为（1，0），点A(−1，32)在C 上．（1）求C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求点P 的横坐标的取值范围． 20．（12分）已知f(x)=(x 2+2x +3)8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16． （1）求a n （n ＝0，1，2，…，16）的最大值； （2）求f （5）﹣5被13除的余数．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，数列{b n }满足b 1＝3，且b n +1＝2b n ﹣n +1． （1）证明：{b n ﹣n }是等比数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）将数列{a n }和{b n }的公共项从小到大排成的数列记为{c n }，求{（﹣1）n c n }的前2n 项和S 2n ． 22．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点Q （﹣1，0）的直线l （斜率为正数）与C 由左至右交于A ，B 两点，连结BF 并延长交C 于点D ． （1）证明：∠BQF ＝∠DQF ；（2）当△BDQ 的内切圆半径r ∈[12，23]时，求|QA |•|QB |的取值范围．2023-2024学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 72−C 75=（ ）A ．63B ．10C ．21D ．0解：A 72−C 75=A 72−C 72=7×6−7×62=21． 故选：C ．2．用最小二乘法得到一组数据（x ，y ）（i ＝1，2，3，4，5，6）的线性回归方程为y =2x +3，若∑ 6i=1x i =30，则∑ 6i=1y i =（ ） A ．11B ．13C ．63D ．78解：∵∑ 6i=1x i =30，∴x =16×30=5， ∵线性回归方程y =2x +3一定过点（x ，y ）， ∴y =2x +3＝2×5+3＝13， ∴∑ 6i=1y i =6×13＝78． 故选：D ．3．方程x 22+k +y 28−k =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．k ＞﹣2B ．k ＜8C ．﹣2＜k ＜8D ．﹣2＜k ＜3解：∵方程x 22+k +y 28−k=1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴8﹣k ＞2+k ＞0， ∴﹣2＜k ＜3，∴实数k 的取值范围是（﹣2，3）． 故选：D ．4．若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于（ ） A ．1B ．13C ．1或13D ．15解：双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，a ＝3，b ＝4，c ＝5．点P 在双曲线E 左支上． 则|PF 2|＝2a +|PF 1|＝6+7＝13． 故选：B ．5．定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（ ） A ．21B ．35C ．36D ．45解：按百位数字分类讨论：①百位数字为1时，后两位相加为7，有8种； ②百位数字为2时，后两位相加为6，有7种； ③百位数字为3时，后两位相加为5，有6种； ④百位数字为4时，后两位相加为4，有5种； ⑤百位数字为5时，后两位相加为3，有4种； ⑥百位数字为6时，后两位相加为2，有3种； ⑦百位数字为7时，后两位相加为1，有2种； ⑧百位数字为8时，后两位相加为0，有1种， 故共有8+7+6+5+4+3+2+1＝36种． 故选：C ．6．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＝6，则8S 3+S 9的最小值为（ ） A ．18B ．24√2C ．30D ．33解：正项等比数列{a n }中，S 6＝6， 又S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6成等比数列， 所以（6﹣S 3）2＝S 3（S 9﹣6），整理得，S 9=36S 3+S 3﹣6，S 3＞0， 则8S 3+S 9=36S 3+9S 3﹣6≥2√36S 3⋅9S 3−6＝30，当且仅当36S 3=9S 3，即S 3＝2时取等号． 故选：C ．7．已知圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点，点P 是圆M 上任意一点，则|PA →+PB →|的取值范围是（ ） A ．[2√2，4+√2] B ．[4−√2，4+√2]C ．[4−√2，2√2]D ．[4−2√2，4+2√2]解：根据题意，圆M ：x 2+y 2+4x ＝0和圆N ：x 2+y 2﹣4y ﹣12＝0相交于A ，B 两点， 联立两圆的方程有{x 2+y 2+4x =0x 2+y 2−4y −12=0，两式相减可得：4x +4y +12＝0，变形可得x +y +3＝0， 即AB 所在直线的方程为x +y +3＝0； 设AB 的中点为C ，易得MC ⊥AB ，圆M ：x 2+y 2+4x ＝0，即（x +2）2+y 2＝4，其圆心M 为（﹣2，0），半径为2， M 到直线AB 的距离d ＝|MC |=|−2+3|√1+1=√22， C 为AB 的中点，由平行四边形法则，有PA →+PB →=2PC →，则有|PA →+PB →|＝2|PC →|， P 为圆M 上任意一点，则|PC →|的最小值为r ﹣|MC |＝2−√22，最大值为r +|MC |＝2+√22，故|PA →+PB →|的取值范围是[4−√2，4+√2]． 故选：B ．8．经过双曲线C ：x 212−y 2b2=1(b ＞0)的右焦点F 作该双曲线的一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，且l 交另一条渐近线于点N ，若3FN →=5MF →，则b 的值为（ ） A ．2√6B ．4C ．2D ．√3解：根据题意可得F （c ，0），点F （c ，0）到直线y =ba x 的距离|MF |=√b +(−a)=bcc=b ，因为3FN →=5MF →，所以|FN →|=53|MF →|=53b ，过点F 作FH ⊥ON ，垂足为H ，则|FH |＝b ，则tan ∠FNO =b√(53b)2−b2=34=ab+53b， 从而b a =12=2√3，所以b =√3．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．点A （﹣2，1），B （a ，1﹣a ），过A ，B 的直线为l ，下列说法正确的有（ ） A ．若a ＝1，则直线l 的方程为x +3y ﹣1＝0B ．若a ＝﹣1，则直线l 的倾斜角为π4C ．任意实数a ，都有|AB|≥√3D ．存在两个不同的实数a ，能使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数 解：当a ＝1时，点B 的坐标为（1，0），直线的斜率k =0−11+2=−13， 所以直线方程为y =−13(x −1)即x +3y ﹣1＝0，所以A 正确；当a ＝﹣1时，点B 的坐标为（﹣1，2），直线的斜率k =2−1−1+2=1， 所以直线倾斜角为π4，所以B 正确．|AB |=√(a +2)2+(1−a −1)2=√2a 2+4a +4，当a ＝﹣1时，|AB |取得最小值√2，所以任意实数a ，都有|AB|≥√2，所以C 错误； 直线的方程为y−1x+2=1−a−1a+2，即y =−aa+2(x +2)+1，在x 轴上的截距为2−a a，在y 轴上的截距为2−a a+2，若2−a a+2−a a+2=0，则a ＝﹣1或a ＝2，所以存在两个不同的实数a 使直线l 在x ，y 轴上的截距互为相反数，所以D 正确． 故选：ABD ．10．甲、乙、丙等6人排成一列，下列说法正确的有（ ） A ．若甲和乙相邻，共有240种排法 B ．若甲不排第一个共有480种排法C ．若甲与丙不相邻，共有480种排法D ．若甲在乙的前面，共有360种排法解：对于A ，若甲和乙相邻，共有A 22⋅A 55=240种排法，故A 正确；对于B ，若甲不排第一个，共有A 51⋅A 55=600种排法，故B 错误； 对于C ，若甲与丙不相邻，共有A 44⋅A 52=480种排法，故C 正确；对于D ，若甲在乙的前面，共有A 66A 22=360种排法，故D 正确．故选：ACD ．11．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0（m ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）交于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，且点T 的坐标为（3，0）．当m ＝1时，|AB|=√14，则（ ） A ．r ＝2B ．|AB |的最小值为2√3C ．存在点A ，使∠ATO ＝45°D ．存在m ，使QO →⋅QT →=−54解：当m ＝1时，直线l ：x ﹣y ﹣1＝0，点O 到直线l 的距离为d =|−1|√1+(−1)2=√22，所以|AB |＝2√r 2−d 2=2√r 2−12=√14，解得r ＝2，故A 正确； 直线l ：mx ﹣y ﹣m ＝0过定点（1，0），圆O 的方程为x 2+y 2＝4，当点（1，0）为AB 的中点时，|AB |最小，最小值为2√4−1=2√3，故B 正确； 设∠ATO ＝α，当TA 与圆O 相切时，∠ATO 最大，此时sin α=23＜√22，所以∠ATO ＜45°，故C 错误；设Q （x ，y ），因为点Q 为线段AB 的中点，所以OQ ⊥AB ，所以Q 的轨迹是以（12，0）为圆心，12为半径的圆，所以点Q 的轨迹方程为（x −12）2+y 2=14，由QO →⋅QT →=−54，得x （x ﹣3）+y 2=54，即（x −32）2+y 2=72，而√142−1＜32−12＜√142+1， 所以圆（x −12）2+y 2=14与圆（x −32）2+y 2=72相交，所以存在m ，使QO →⋅QT →=−54，故D 正确．故选：ABD ．12．在等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，T n 为数列{a n }的前n 项积，下列说法正确的有（ ） A ．﹣1＜q ＜0 B ．a 10+a 11＜0C ．若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则T n 的最大项为T 11D ．若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则T n 的最小项为T 10 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，等比数列{a n }中，a 2＞0，a 1+a 2＜0，即a 1＜﹣a 2＜0，变形可得0＜a 2＜﹣a 1， 所以q =a 2a 1＞−1，且q ＜0，即﹣1＜q ＜0，A 正确； 对于B ，由题意得，a 10+a 11＝a 10（1+q ）＞0，B 错误；对于C ，若（a 10﹣1）（a 12﹣1）＜0，则0＜a 12＜1＜a 10，a 11＜0， 则T 10＜0，T 11＞0，T 12＞0，T 12＝T 11•a 12＜T 11， T n 的最大项为T 11，C 正确；对于D ，若（a 9+1）（a 11+1）＜0，则a 9＜﹣1＜a 11＜0，又由﹣1＜q ＜0，a 1＜0，则等比数列{a n }奇数项为负，偶数项为正， 则有a 1＜a 3＜……a 9＜﹣1， 则T 9＜0，T 10＜0，T 11＞0，但T 9﹣T 10＝T 9（1﹣a 10），不能确定1﹣a 10的符号，则T n 的最小项不一定是T 10，D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2﹣y ）6的展开式中，各项系数的绝对值之和为 64 ．解：二项式的展开式T r+1=C 6r ⋅(−1)r ⋅x 12−2r ⋅y r ，令x ＝1，y ＝﹣1，故各项系数的绝对值之和26＝64． 故答案为：64．14．已知等差数列{a n }的公差不为0，其前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 3+a 4a 1+a 2= 3 ．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 1，S 2，S 4成等比数列，且S 1＝a 1，S 2＝2a 1+d ，S 4＝4a 1+6d ，得(2a 1+d)2=a 1(4a 1+6d)， ∵d ≠0，∴d ＝2a 1， ∴a 3+a 4a 1+a 2=2a 1+5d 2a 1+d=6d 2d=3．故答案为：3．15．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上两个不同的点，F 为抛物线的焦点，若AF →=3FB →，则△OAB 的面积为4√33．解：因为抛物线C ：y 2＝4x ，则F （1，0）， 又AF →=3FB →，可得A ，F ，B 三点的共线，设直线AB 为：x ＝my +1，代入y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），故y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4， 由AF →=3FB →，可得（1﹣x 1，﹣y 1）＝3（x 2﹣1，y 2），求得﹣y 1＝3y 2，故y 1＝6m ，y 2＝﹣2m ，可得﹣12m 2＝﹣4，求得m 2=13，故|y 1﹣y 2|＝|8m |=8√33．则△OAB 的面积为：12×|OF |×|y 1﹣y 2|=4√33． 故答案为：4√33． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，点T （b ，0），若椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等，则e 2的取值范围为 （√5−12，1） ． 解：由椭圆C 上存在四个不同的点到点T 的距离相等， 可得在直线x ＝b 的右侧有两个点满足题意，设P （x 0，y 0），则y 02=b 2−b 2a2x 02，则|TP |=√(x 0−b)2+y 02=√c2a2x 02−2bx 0+2b 2，﹣a ≤x 0≤a ，可得﹣a ＜−−2b2c 2a 2＜a ，化为﹣c 2＜ab ＜c 2，即为c 4＞a 2（a 2﹣c 2），化为e 4+e 2﹣1＞0，解得e 2＞√5−12，又e 2＜1，可得√5−12＜e 2＜1． 故答案为：（√5−12，1）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．中国体育代表团获得201金111银71铜，共383枚奖牌，取得亚运会参赛历史最好成绩．亚运会结束后，某调查小组为了解杭州市不同年龄段的市民每日运动的情况，在市民中随机抽取了200人进行调查，结果如下表所示，其中每日平均运动低于1万步的人数占样本总数的2，40岁以上（含40岁）的人数占样本总数的1．（1）将题中表格补充完整（填写在答题卡上）；（2）判断是否有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．解：（1）由题意可知，40岁以上（含40岁）的人数为200×12=100，40岁以下的人数为100， 每日平均运动低于1万步的人数为200×25=80， 所以2×2列联表如下：（2）由2×2列联表可得，K 2=200×(80×60−40×20)2120×80×100×100=1003＞10.828，所以有99.9%的把握认为该市市民每日平均运动的步数与年龄有关． 18．（12分）设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S n +S n−1−2a n=0(n ∈N ∗，n ≥2)． （1）求证；数列{S n 2}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式． （1）证明：因为S n +S n−1−2a n=0， 所以S n 2−S n−12=(S n −S n−1)(S n +S n−1)=(S n −S n−1)2a n=2， 所以S n 2−S n−12=2 （常数）．所以{S n 2} 是以1为首项，2为公差的等差数列． （2）解：S n 2=1+2(n −1)=2n −1，且a n ＞0，所以S n =√2n −1，当n ≥2时，S n−1=√2n −3， a n =S n −S n−1=√2n −1−√2n −3． n ＝1时，a 1＝1不满足上式，所以a n ={1，n =1√2n −1−√2n −3，n ≥2．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为（1，0），点A(−1，32)在C 上．（1）求C 的方程；（2）斜率为1的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求点P 的横坐标的取值范围． 解：（1）易知椭圆C 的左右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）， 因为点A(−1，32)在C 上，所以AF 1+AF 2＝2a ＝4，解得a ＝2， 则b =√a 2−c 2=√3， 故C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设直线l 的方程为y ＝x +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， 联立{y =x +mx 24+y 23=1，消去y 并整理得7x 2+8mx +4m 2﹣12＝0，此时Δ＝（8m ）2﹣4×7×（4m 2﹣12）＝48（7﹣m 2）＞0， 解得−√7＜m ＜√7， 由韦达定理得x 1+x 2=−8m 7，x 1x 2=4m 2−127， 因为线段MN 的中点为P ，所以x 0=x 1+x 22=−47m ，此时−47√7＜x 0＜47√7， 故点P 的横坐标的取值范围为(−47√7，47√7)．20．（12分）已知f(x)=(x 2+2x +3)8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16． （1）求a n （n ＝0，1，2，…，16）的最大值； （2）求f （5）﹣5被13除的余数．解：（1）因为(x 2+2x +3)8=[2+(x +1)2]8=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 16(x +1)16，所以T r+1=C 8r 28−r [(x +1)2]r =C 8r 28−r(x +1)2r ，r =0，1，2，⋯，8， 所以a 1＝a 3＝⋯＝a 15＝0，a 2n =C 8n 28−n ，n ＝0，1，2， (8)令 C 8n 28−n ≥C 8n+127−n，则2≤n ≤3，所以a n 的最大值为1792．（2）因为f(5)−5=388−5=(39−1)8−5=C 80398+C 81397(−1)+⋯+C 8739(−1)7+1−5，所以f （5）﹣5 被13除的余数，即为﹣4被13除的余数为9．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，数列{b n }满足b 1＝3，且b n +1＝2b n ﹣n +1． （1）证明：{b n ﹣n }是等比数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）将数列{a n }和{b n }的公共项从小到大排成的数列记为{c n }，求{（﹣1）n c n }的前2n 项和S 2n ． 解：（1）由a 3+a 4＝12，a 5+a 7＝22，可得{a 1+2d +a 1+3d =12a 1+4d +a 1+6d =22，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n ﹣1．根据b n +1＝2b n ﹣n +1，整理得b n +1﹣（n +1）＝2（b n ﹣n ）， 因为b 1﹣1＝2≠0，可知b n ﹣n ≠0，所以b n+1−(n+1)b n −n=2（常数），所以{b n ﹣n }是公比为2的等比数列，首项为b 1﹣1＝2，可得b n ﹣n ＝2×2n ﹣1＝2n ，即b n =2n +n ． （2）根据（1）的结论，可知：c n =b 2n−1=22n−1+(2n −1)，则S 2n ＝﹣c 1+c 2﹣c 3+c 4+⋯﹣c 2n ﹣1+c 2n ＝﹣（2+1）+（23+3）﹣（25+5）+⋯﹣（24n ﹣3+4n ﹣3）+（24n﹣1+4n ﹣1）＝（﹣2+23﹣25+27+…﹣24n ﹣3+24n ﹣1）+[﹣1+3﹣5+7+…﹣（4n ﹣3）+（4n ﹣1）] =−2−24n−1×(−4)1−(−4)+[(−1+3)+(−5+7)+⋯+(−4n +3+4n −1)]=24n+1−25+2n ．22．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点Q （﹣1，0）的直线l （斜率为正数）与C 由左至右交于A ，B 两点，连结BF 并延长交C 于点D ． （1）证明：∠BQF ＝∠DQF ；（2）当△BDQ 的内切圆半径r ∈[12，23]时，求|QA |•|QB |的取值范围．（1）证明：设BF ：x ＝ny +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 3，y 3），y 2＞y 1， 由 {x =nyy 2=4x，得y 2﹣4ny ﹣4＝0，y 2+y 3＝4n ，k BQ +k DQ =y 2x 2+1+y 3x 3+1=y 2ny 2+2+y 3ny 3+2=2ny 2y 3+2(y 2+y 3)(ny 2+2)(ny 3+2)=2n(−4)+2(4n)(ny 2+2)(ny 3+2)=0，所以∠BQF ＝∠DQF ．（2）解：过B 作BB ′垂直抛物线的准线于B ′，设直线l 的倾斜角为θ，如图：由（1）可知：△BDQ 的内切圆圆心在x 轴上，所以设圆心M （a ，0），﹣1＜a ＜1，设直线l ：x ＝my ﹣1（m ＞0）， 由{x =my −1y 2=4x，得y 2﹣4my +4＝0，则Δ＞0⇒m 2＞1⇒m ＞1，y 2+y 1＝4m ，y 1y 2＝4， 因为△BDQ 的内切圆为圆M ，所以|QM||FM|=|BQ||BF|=|BQ||BB′|=1cosθ=√1+m 2m，即a+11−a=√1+m 2m，又点M 到直线l 的距离为r =|a+1|√1+m ，所以√m 2+1=1−a m=r ，所以a =r 24，所以m =1−a r =1−r 24r =1r −r4，因为y =1r −r 4 在 r ∈[12，23] 上单调减，所以m ∈[43，158]， 所以|QA|⋅|QB|=(√1+m 2⋅y 1)(√1+m 2⋅y 2)=(1+m 2)y 1y 2=4(1+m 2)∈[1009，28916|．。

高二数学“每周一练〞系列试题及答案高二数学每周一练系列试题1.将标号为1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6的6张卡片放入3个不同的信封中.假设每个信封放2张 ,其中标号为1 ,2的卡片放入同一信封 ,那么不同的方法共有 ( )A.12种B.18种C.36种D.54种2.从5名男医生.4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队 ,要求其中男.女医生都有 ,那么不同的组队方案共有 ()A.70种B.80种C.100种D.140种3.某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班 ,每天安排2人 ,每人值班1天 . 假设6位员工中的甲不值14日 ,乙不值16日 ,那么不同的安排方法共有 ( )A.30种B.36种C.42种D.48种4.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数 ,组成没有重复数字的四位数的个数为 ()A.300B.216C.180D.1625.现安排甲.乙.丙.丁.戌5名同学参加广州亚运会志愿者效劳活动 ,每人从事翻译.导游.礼仪.司机四项工作之一 ,每项工作至少有一人参加。

甲.乙不会开车但能从事其他三项工作 ,丙丁戌都能胜任四项工作 ,那么不同安排方案的种数是A.152B.126C.90D.546.有6个座位连成一排 ,现有3人就坐 ,那么恰有两个空座位相邻的不同坐法有 ()A.36种B.48种C.72种D.96种7.由1.2.3.4.5.6组成没有重复数字且1.3都不与5相邻的六位偶数的个数是 ( )A.72B.96 C .108 D.1448.如图 ,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色 ,要求每个点涂一种颜色 ,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 ,那么不同的涂色方法用 ( )A.288种B.264种C.240种D.168种9.将4个相同的白球 ,5个相同的黑球 ,6个相同的红球 ,放入四个不同盒中的三个中 ,使得有一个空盒 ,且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法共有________种.10.将6名实习教师分配到高一年级的4个班实习 ,每班至少1名 ,那么不同的分配方案有________种.参考答案1.解析：标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封 ,每个信封两个有种方法 ,共有种 ,应选 B.2.解析：选 A.分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类 ,从而组队方案共有：C52C41+C51C42=70种.应选 A.3.解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日 ,再加上甲值14日且乙值16日的排法即 =42法二：分两类甲.乙同组 ,那么只能排在15日 ,有 =6种排法甲.乙不同组 ,有 =36种排法 ,故共有42种方法4.解析：选C.可分两类：①选0.有C21C32C31A33=108个;②不选0.有C32A44=72个.共有108+72=180个 ,应选C.5.解析：分类.讨论：假设有2人从事司机工作 ,那么方案有 ;假设有1人从事司机工作 ,那么方案有种 ,所以共有18+108=126种 ,故B正确6.解析：选 C.恰有两个空位相邻 ,相当于两个空位与第三个空位不相邻 ,先排三个人 ,然后插空.从而共A33A42=72种排法.7.解析：先选一个偶数字排个位 ,有3种选法w_w_w.k*s 5*u.c o*m①假设5在十位或十万位 ,那么1.3有三个位置可排 ,3 =24个②假设5排在百位.千位或万位 ,那么1.3只有两个位置可排 ,共3 =12个算上个位偶数字的排法 ,共计3(24+12)=108个答案：C8.解析：此题主要考查排列组合的根底知识与分类讨论思想 ,属于难题。

x y O x y O x y O xy O高二数学第六次周练试卷（文科A 卷）.（试卷总分：100分 考试时间：80分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )．A ．一个圆台、两个圆锥B ．两个圆台、一个圆柱C ．两个圆台、一个圆锥D ．一个圆柱、两个圆锥2.在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线； ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面； ③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则//αβ；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直. 其中正确的两个命题是（ ）A.①、③ .B.②、④C.①、④D.②、③ 3．三个平面将空间最多能分成（ ）A ．6部分B ．7部分C ．8部分D ．9部分4. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．5．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长， 则12a b+ 的最小值为 （ ） A ．1 B ．5C ．D ．3+6．两点)2,2(++b a A 、B ),(b a b --关于直线1134=+y x 对称，则 （ ）Ａ.2,4=-=b a Ｂ.2,4-==b a Ｃ.2,4==b a Ｄ. 2,4a b ==7．直三棱柱ABC －A 111C B 的底面为等腰直角三角形ABC ，∠C ＝900，且,1a AA BC AC ===则1AB 与1BC 所成角为（ ）A.300B.450C.600D.900O t h h t O h t O O t h O t h h t O t 8．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 如图，正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM 的长为( )A.12B.22C.33D.6610. 如图，PA 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E, F 分别是点A 在PB, PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥BC .正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）11.已知直线过点P （-2，-1）且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程_____________。

高二上学期数学第六次周练试题一、选择题（共10题；共50分）1．平面α 外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α 内的射影分别是m ＇和n ＇，给出下列四个命题：①m ＇⊥n ＇⇒m ⊥n ；②m ⊥n ⇒m ＇⊥n ＇；③m ＇与n ＇相交⇒m 与n 相交或重合；④m ＇与n ＇平行⇒m 与n 平行或重合，其中不正确的命题个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.42. 命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有( )A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个3.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A ,B 两点，则2ABF ∆是正三角形，则椭圆的离心率是（ ） A22 B 12 C 33 D 135.在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为( )A.24 B.23 C.33 D.326．已知α 是三角形的一个内角，且51cos sin =+αα，则方程x 2sin α －y 2cos α ＝1表示( )A.焦点在x 轴上的双曲线B.焦点在y 轴上的双曲线C.焦点在x 轴上的椭圆D.焦点在y 轴上的椭圆7．如图，在正四棱锥P －ABCD 中，23=PA AB ，E 是AB 的中点，G 是△PCD 的重心，则在平面PCD 内过G 点且与PE 垂直的直线有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条第7题图 第9题图8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( )A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面9.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则2BP的值为( )A.32 B ．2 C.10－24 D.9410. 若椭圆x y n m ny mx -=>>=+1)0,0(122与直线交于A ，B 两点,过原点与线段AB 中点的连线的斜率为22，则m n的值是( )2.23.22.292. D C B A二、填空题（共4题；共20分）11. 已知向量k -+-==2),2,0,1(),0,1,1(且互相垂直,则实数k 的值是 .12．已知空间四边形OABC ，如图所示，其对角线为OB ，A C ．M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基向量,,表示向量，并设z y x ++=，则x ，y ，z 之和为______．13．已知椭圆x 2＋2y 2＝12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率 为1的直线被椭圆截得的弦长为3144，则点A 的坐标是______． 14. 已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为___．高二上学期数学第六次周练试题（高二（19）班）姓名 学号 得分 . 题12 3 4 5 6 7 8 9 10 总计 答11、__ __ ． 12、_ __ _____． 13、___ _____ 14、____ ____．三、解答题（共2题；共30分）15．设命题P ：2",2"x R x x a ∀∈->，命题Q ：2",220"x R x ax a ∃∈++-=；如果“P 或Q ”为真，“P 且Q ”为假，求a 的取值范围。

2021年高二数学周日测试6 含答案1.i+i2+i3+i xx= .2．函数已知时取得极值，则= .3.命题“对所有的正数x，”的否定是 .4.命题“使x为31的约数”是命题.（从“真”和“假”中选择一个填空）5.若A=+i，则A2= .6.“a=b”是“”的条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选择一个填空）7．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .8.复数z1，z2满足|z1|=|z2|=|z2-z1|=2，则|z1+z2|= .9.函数的零点的个数是 .10.如果复数是纯虚数，那么实数等于 .11．过曲线f(x)=-x3+3x的点A(2,-2)的切线方程 .12.从等式2c os，2c os，2c os，中能归纳出一个一般性的结论是 .13.在等差数列中，若已知两项a p和a q，则等差数列的通项公式a n=a p+（n-p）.类似的，在等比数列中，若已知两项a p和a q（假设pq），则等比数列的通项公式a n= .14．已知函数在处有极值10，则= .15.已知命题p：∀x∈[1,12]，x2－a≥0.命题q：∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1<0.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．（2）实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i 是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？16．如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． （1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若M 是PC 的中点，求三棱锥M —ACD 的体积．17．已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）.ABCDPM18. 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数.(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值.(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.19.在平面直角坐标系中，过点A(-2,-1)椭圆的左焦点为F,短轴端点为、，。

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河南省正阳县第二高级中学2017—2018学年高二下期数学理科周练（六)一。

选择题:1．已知集合A=｛1，a ｝，B={1,2，3}，则“a=3”是“A ⊆B“的（ ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．命题“对任意x∈R，都有x 2≥0”的否定为（ ）A ．对任意x∈R，都有x 2＜0 B ．不存在x∈R,都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R，使得x 02≥0D ．存在x 0∈R，使得x 02＜03.已知命题p ：若x 2+y 2=0，则x 、y 全为0；命题q ：若a ＞b ，则11a b<．给出下列四个复合命题：①p 且q ，②p 或q ，③¬p ④¬q ，其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44. 若曲线f （x ）=sinx 的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为( ）A ．[0,]3πB ．2[,]33ππC ．2[0,][,)33πππD ．2[0,][,]33πππ5. 与椭圆C:2211612y x +=共焦点且过点（1的双曲线的标准方程为（ ）A ．x 2﹣23y =1 B ．y 2﹣2x 2=1 C ．222y x -= D ．23y ﹣x 2=16. 函数f(x ）的导函数为/()f x ,且满足关系式f （x ）=x 2+3x /(2)f +lnx ，则/(2)f 的值等于（ )A ．2 B ．﹣2 C ．94 D ．-947。

2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l 过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l 的方程为（ ） A ．﹣x +y ＝1B ．x +y ﹣5＝0C ．y ＝3D ．x ＝22．二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（ ） A ．x =−14aB ．x =−a 4C ．y =−14aD ．y =−a 43．已知三条直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（ ） A ．k 3＜k 1＜k 2B ．k 1＜k 2＜k 3C ．k 2＜k 3＜k 1D ．k 3＜k 2＜k 14．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，小椭圆的短轴长为10cm ，则小椭圆的长轴长为（ ）cm ．A ．30B ．20C ．10√3D ．105．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√58．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2 10．已知方程x 27−t +y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 ．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 ． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 ；|PF 1|2|PF 2|的最小值为 ．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝ ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点． （1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．2023-2024学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，则直线l的方程为（）A．﹣x+y＝1B．x+y﹣5＝0C．y＝3D．x＝2解：∵直线l过点（2，3），且倾斜角为90°，∴直线l的方程为x＝2．故选：D．2．二次函数y＝ax2（a≠0）的图像为抛物线，其准线方程为（）A．x=−14aB．x=−a4C．y=−14a D．y=−a4解：将二次函数y＝ax2（a≠0）化为抛物线标准式得x2=1ay，所以准线方程为y=−14a．故选：C．3．已知三条直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α，β，γ．若α＜β＜γ，则下列关系不可能成立的是（）A．k3＜k1＜k2B．k1＜k2＜k3C．k2＜k3＜k1D．k3＜k2＜k1解：若γ＞90°＞β＞α，则tanβ＞tanα＞0＞tanγ，A成立，若α＜β＜γ＜90°，则tanα＜tanβ＜tanγ，B成立，若α＜90°＜β＜γ，则tanα＞0＞tanγ＞tanβ，C成立，故选：D．4．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（）cm．A．30B．20C．10√3D．10解：扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，大椭圆a1=20，b1=10，c1=√202−102=10√3，离心率为e1=√32，小椭圆b 2＝5，离心率e 2=e 1=√32=√a 22−25a 2，解得a 2＝10，故长轴长为20．故选：B ．5．直线y ＝kx +1与椭圆x 24+y 2m=1总有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）∪（1，+∞）B ．[1，4）∪（4，+∞）C ．（0，1）∪（1，4）D ．（1，+∞）解：直线y ＝kx +1恒过点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆上， 即024+12m≤1，解得m ≥1，又m ≠4，则m 的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．故选：B ．6．已知△ABC 的顶点在抛物线y 2＝4x 上，若抛物线的焦点F 恰好是△ABC 的重心，则|F A |+|FB |+|FC |的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），抛物线y 2＝4x ，则F （1，0）， 因为焦点F 恰好是△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 3＝3×1＝3， 故|F A |+|FB |+|FC |＝x 1+1+x 2+1+x 3+1＝6． 故选：D ．7．已知实数x 、y 满足x 2+y 2＝1，则|2x +y ﹣5|的最小值是（ ） A ．√5−1B ．√5+1C ．5−√5D ．5+√5解：x 2+y 2＝1，则圆心C （0，0），半径r ＝1， |2x +y ﹣5|=√5|2x+y−5|√2+1，√22+12表示圆上的点到直线2x +y ﹣5＝0的距离，该距离的最小值为√22+12−r =√5−1，故|2x +y ﹣5|的最小值是：√5×(√5−1)=5−√5． 故选：C ．8．如图，加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解：不妨设P （x 0，y 0），则过点P 的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{x 2a 2−y 2b 2=1y −y 0=k(x −x 0)，消去y 并整理得（b 2﹣a 2k 2）x 2﹣2a 2k （y 0﹣kx 0）x −a 2[(y 0−kx 0)2+b 2]，因为过点P 的切线方程与双曲线只有一个交点，所以Δ＝0，解得(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0，易知k AP ，k BP 为关于k 的方程(x 02−a 2)k 2−2x 0y 0k +y 02+b 2=0的两个根，且k AP •k BP ＝﹣1，所以y 02+b 2x 02−a 2=−1，整理得x 02+y 02=a 2−b 2，所以点P 的轨迹方程为x 02+y 02=a 2−b 2（a ＞b ），可得双曲线C ：x 24−y 2=1的蒙日圆的轨迹方程为x 2+y 2＝3， 所以r =√3，则该蒙日圆的面积S ＝πr 2＝3π． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线l 1：ax +2y ﹣1＝0和直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0，下列说法不正确的是（ ） A ．当a ＝﹣2或1时，l 1∥l 2 B ．当a =−23时，l 1⊥l 2C ．直线l 1过定点（0，1），直线l 2过定点（1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为√2解：A 中，两条直线平行时，则a （a +1）＝2×1，且a ×（﹣1）≠﹣1×1，解得a ＝﹣2，所以A 不正确；B 中，a =−23时，a •1+2•（a +1）=−23+23=0，即两条直线垂直，所以B 正确； C 中，直线l 1：ax +2y ﹣1＝0可得恒过定点（0，12），直线l 2：x +（a +1）y ﹣1＝0整理可得ay +x +y ﹣1＝0，恒过定点（1，0），所以C 不正确；D 中，由A 可知，两条直线平行时a ＝﹣2，此时直线l 1：﹣2x +2y ﹣1＝0，即x ﹣y +12=0， 直线l 2：x ﹣y ﹣1＝0，所以两条直线的距离d =|12−1|√1+(−1)=√24，所以D 不正确．故选：ACD ． 10．已知方程x 27−t+y 23+t=1表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当﹣3＜t ＜7时，曲线C 是椭圆B ．当t ＞7或t ＜﹣3时，曲线C 是双曲线 C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则﹣3＜t ＜2D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞7 解：当方程x 27−t+y 23+t=1是椭圆时，则{7−t ＞03+t ＞07−t ≠3+t，解得﹣3＜t ＜2或2＜t ＜7，∴A 错误，当方程x 27−t+y 23+t =1是双曲线时，则（7﹣t ）（t +3）＜0，解得t ＜﹣3或t ＞7，∴B 正确；若方程x 27−t +y 23+t =1是焦点在x 轴上的椭圆，则{7−t ＞3+t 3+t ＞0，解得﹣3＜t ＜2，∴C 正确； 若方程x 27−t+y 23+t=1是焦点在y 轴上的双曲线，则 {3+t ＞07−t ＜0，解得t ＞7，∴D 正确．故选：BCD ． 11．P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上的一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．c ≤|OP |≤aB ．若∠F 1PF 2＝60°，则S △F 1PF 2=√3b 2C ．若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆C 的离心率e ∈[√22，1)D ．若PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2|=b2a解：对于A ，易知|OP |∈[b ，a ]，故A 错误； 对于B ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m +n ＝2a ，根据余弦定理，（2c ）2＝m 2+n 2﹣2mn cos60°，解得mn =4a 2−4c 23=4b23，所以S △F 1PF 2=12mnsin60°=√3b 23，故B 错误；对于C ，若存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°， 则c ⩾b ，所以c 2⩾a 2﹣c 2，即c 2a 2⩾12，所以e ∈[√22，1)，故C 正确；对于D ，若PF 1的中点在y 轴上，则PF 2⊥x 轴，所以|PF 2|=b2a，故D 正确．故选：CD ．12．已知F 是抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，直线AB 经过点F 交抛物线于A 、B 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 B ．若AF →=2FB →，则直线AB 的斜率k ＝3C ．弦AB 的中点M 的轨迹为一条抛物线，其方程为y 2＝2px ﹣p 2D ．若p ＝4，则|AF |+4|BF |的最小值为18解：A ．由抛物线的方程可得焦点F （p2，0），准线方程为：x =−p2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB 的中点M （x 1+x 22，y 1+y 22），利用焦点弦的性质可得|AB |＝x 1+x 2+p ，而AB 的中点M 到准线的距离d =x 1+x 22−（−p 2）=12（1+x 2+p ）=12|AB |，∴以AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A 正确；B ．设直线AB 的方程为x ＝my +p 2，k =1m ＞0，联立{x =my +p2y 2=2px ， 整理可得：y 2﹣2mpy ﹣p 2＝0， 可得y 1+y 2＝2mp ，y 1y 2＝﹣p 2， ∵AF →=2FB →，∴y 1＝﹣2y 2， 解得y 2＝﹣2mp ，y 1＝4mp ， ∴﹣8m 2p 2＝﹣p 2，解得m 2=18， ∴k =√1m 2=2√2，因此B 不正确； C ．设M （x ，y ），结合A ，B 可得：y =y 1+y 22=mp ，x =x 1+x 22=m(y 1+y 2)2+p 2=m 2p +p 2，消去m 可得：2y 2＝2px ﹣p 2，因此C 不正确； D ．若p ＝4，则抛物线C ：y 2＝8x ，不妨设x 1＞x 2＞0，x 1x 2=(y 1y 2)264=4，∴|AF |+4|BF |＝x 1+4x 2+10=4x 2+4x 2+10≥4×2√1x 2⋅x 2+10＝18，当且仅当x 2＝1，x 1＝4时取等号，因此D 正确． 故选：AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．请写出一个焦点在y 轴上，焦距为2的椭圆的标准方程 y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y轴上且a 2﹣b 2＝1） ． 解：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）． 故答案为：y 22+x 21=1（答案不唯一，只要焦点在y 轴上且a 2﹣b 2＝1）．14．P 、Q 分别是圆E ：（x +9）2+（y +4）2＝1与圆F ：（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝1上的动点，A 为直线y ＝x 上的动点，则|AP |+|AQ |的最小值为 11 ． 解：由题意知E （﹣9，﹣4），F （1，3），如图，设圆E 关于y ＝x 的对称圆为圆G ，点Q 与点Q '关于y ＝x 轴对称，则圆G 的方程为（x +4）2+（y +9）2＝1，G （﹣4，﹣9），所以（|AP |+|AQ |）min ＝（|AP |+|AQ ′|）min ≥|PQ ′|，当且仅当P ，A ，Q ′三点共线时取得最小值， 此时|PQ ′|＝|FG |﹣1﹣1=√(−4−1)2+(−9−3)2−1﹣1＝11，所以AP |+|AQ |的最小值为11． 故答案为：11． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则双曲线C 的离心率为 3 ； |PF 1|2|PF 2|的最小值为 8 ． 解：已知椭圆x 281+y 272=1的离心率e 1=√1−7281=13，而c =√81−72=3， 因为双曲线C 与椭圆x 281+y 272=1的离心率互为倒数，所以双曲线C 的离心率e 2＝3，① 因为双曲线C 的焦点与椭圆x 281+y 272=1的焦点重合，所以双曲线C 的半焦距c ＝3，② 又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③，解得a ＝1，b ＝2√2，则双曲线C 的方程为x 2−y 28=1，若F 1、F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点， 可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ＝2， 即|PF 1|＝2+|PF 2|， 所以|PF 1|2|PF 2|=(2+|PF 2|)2|PF 2|=4+4|PF 2|+|PF 2|2|PF 2|=4|PF 2|+|PF 2|+4，因为|PF 2|≥c ﹣a ＝1， 所以4|PF 2|+|PF 2|+4≥2√4|PF 2|⋅|PF 2|+4=8， 当且仅当4|PF 2|=|PF 2|，即|PF 2|＝2时，等号成立，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为8．故答案为：3；8．16．参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝79．解：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，|NQ |＝a +c ，|QR |＝a ﹣c 由题意可得P （0，4），R （﹣3，0），则PR ：4x ﹣3y +12＝0，k PR =43， 设M （n ，1），Q （n ，0）， 则M 到PR 的距离d =|4n−3+12|√4+3=1，解得n ＝﹣1（舍去）．n =−72，则|QR |=72−3=12=a ﹣c ， 又设PN ：kx ﹣y +4＝0，由d =|−72k−1+4|√1+k =1，得45k 2﹣84k +32＝0．∴k PR •k PN =3245，则k PN =815，得x N =−152， ∴2a =152−3=92，a =94，解得c =74． ∴椭圆的离心率e =ca =79． 故答案为：79．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在平行四边形ABCD 中，A （﹣2，1），B （1，7），D （1，﹣2），点E 是线段CD 的中点．（1）求直线CD 的方程；（2）求过点E 且与直线BC 垂直的直线方程． 解：（1）由题意可得k AB =7−11−(−2)=2，由平行四边形可得CD ∥AB ，所以直线CD 的斜率为2，所以直线CD 的方程为y ﹣（﹣2）＝2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣4＝0； （2）设所求直线为l ．设点C 的坐标为（m ，n ），则DC →=(m −1，n +2)， 由题意AB →=DC →，又AB →=(3，6)，故{m −1=3n +2=6，解得m ＝4，n ＝4，即C （4，4）， 点E 是线段CD 的中点，则E(52，1)， 直线BC 的斜率为k BC =7−41−4=−1，由于直线BC 与l 垂直，故直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程为y −1=x −52， 即2x ﹣2y ﹣3＝0．18．（12分）已知焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，焦点到其中一条渐近线的距离为√5．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的上焦点F 1的直线l 交双曲线的上支于M 、N 两点．在y 轴上是否存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）因为焦点在y 轴上的双曲线的离心率为32，所以e =√1+b 2a2=32，①因为焦点到其中一条渐近线的距离为√5， 所以d =√a 2+b=b =√5，②联立①②，解得a ＝2， 则双曲线的标准方程为y 24−x 25=1；（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝kx +3，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{y =kx +3y 24−x 25=1，消去y 并整理得（5k 2﹣4）x 2+30kx +25＝0，由韦达定理得x 1+x 2=−30k 5k 2−4，x 1x 2=255k 2−4，假设在y 轴上存在定点T ，使得∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立， 不妨设点T （0，t ），此时k TM +k TN ＝0， 即y 1−t x 1+y 2−t x 2=x 2(y 1−t)+x 1(y 2−t)x 1x 2=x 2(kx 1+3−t)+x 1(kx 2+3−t)x 1x 2=2k +(3−t)(x 1+x 2)x 1x 2=2k +(3−t)−30k 5k 2−4255k 2−4=0，解得t =43，则点T 的坐标为(0，43)．综上，y 轴上存在点T(0，43)，使∠F 1TM ＝∠F 1TN 恒成立． 19．（12分）已知圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0． （1）证明：圆C 过定点．（2）当λ＝1时，是否存在斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点，使得以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．解：（1）证明：圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0，即x 2+y 2﹣10+λ（3x ﹣y ﹣10）＝0， 令{3x −y −10=0x 2+y 2−10=0，解得{x =3y =−1， 把（3，﹣1）代入圆C ：x 2+3λx +y 2﹣λy ﹣10﹣10λ＝0成立， 所以圆过定点（3，﹣1）．（2）当λ＝1时，圆C 的方程为：x 2+y 2+3x ﹣y ﹣20＝0． 假设存在直线l 符合题意，直线l 的斜率为1，设直线l 的方程为y ＝x +m ，与圆C 联立{y =x +mx 2+y 2+3x −y −20=0，化简整理可得，2x 2+2（m +1）x +m 2﹣m ﹣20＝0，Δ＝4（m +1）2﹣4×2×（m 2﹣m ﹣20）＞0①， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） x 1+x 2＝﹣（m +1），x 1x 2=m 2−m−202， 若以AB 为直径的圆经过原点，则OA ⊥OB ，OA →⋅OB →=0，即x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+m)(x 2+m)=2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=m m 2﹣m ﹣20﹣m （m +1）+m 2＝m 2﹣2m ﹣20＝0，解得m =1±√21，均满足①，故直线l 的方程为y =x +1−√21或y =x +1+√21． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2且垂直于x 轴的弦长为3，且_____．（从以下三个条件中任选一个，将其序号写在答题卡的横线上并作答．） ①椭圆C 的长轴长为4；②椭圆C 与椭圆x 213+y 212=1有相同的焦点；③F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 经过F 2，且与椭圆交于M ，N 两点，求△F 1MN 面积的最大值． 解：（1）选①：由题意得{2a =42b 2a =3，解得{a =2b =√3．所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选②：椭圆x 213+y 212=1的焦点坐标为（±1，0），则c ＝1，又2a ＝4，得a ＝2，由a 2＝b 2+c 2得，b 2＝4﹣1＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．选③：由题意得2b 2a=3，因为F 1，F 2与椭圆C 短轴的一个端点组成等边三角形， 所以b =√3c ，又a 2＝b 2+c 2，得a ＝2，b =√3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）【解法一】：由题知F 2（1，0）， 设直线l 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6m 3m 2+4)2−−363m 2+4=12√m 2+13m 2+4， 设t =√m 2+1≥1，则S △F 1MN =12t 3t 2+1=123t+1t，因为函数y =3t +1t在t ∈[1，+∞）上单调递增， 所以函数y =123t+1t在t ∈[1，+∞）上单调递减， 所以当t ＝1时，y max =123×1+1=3（此时m ＝0，直线为x ＝1）， 所以△F 1MN 面积的最大值为3． 【解法二】：由题知F 2（1，0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，此时M （1，32），N （1，−32）或M （1，−32），N （1，32），所以|MN |＝3，所以△F 1MN 的面积为12|F 1F 2|⋅|MN|=3，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，设点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 所以x 1+x 2=8k23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，所以y 1+y 2=−6k3+4k 2，y 1y 2=−9k23+4k2，所以S △F 1MN =S △MF 1F 2+S △NF 1F 2=12⋅2c|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6k 3+4k2−4⋅−9k23+4k2)=12√k 2(k 2+1)3+4k 2，设t ＝3+4k 2＞3，则k 2=t−34，所以S =12√(t−34)2−t−34t 2=3√1−2t −3t2（其中0＜1t ＜13），所以当1t→0时，S →3，综上所述：△F 1MN 面积的最大值为3．21．（12分）已知动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切．设圆心M 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 为直线x ＝﹣2上任意一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为E 、F ，求证：PE ⊥PF ． 解：（1）因为动圆M 经过点A （2，0），且与直线x ＝﹣2相切， 所以|MA |＝|x +2|，即点M 到点A （2，0）的距离与到直线x ＝﹣2的距离相等，由抛物线定义知圆心M 的轨迹C 为抛物线，且焦点为（2，0），准线方程为x ＝﹣2， 所以曲线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：易知过点P 的切线斜率存在，且不为0； 因为P 为直线x ＝﹣2上任意一点，不妨设P （﹣2，t ），切线方程为x +2＝m （y ﹣t ），联立{x +2=m(y −1)y 2=8x ，消去x 并整理得y 2﹣8my +8mt +16＝0，此时Δ＝64m 2﹣4（8tm +16）＝64m 2﹣32tm ﹣64＝0， 因为过点P 存在两条切线，所以关于m 的方程有两个不相等的实数根m 1，m 2， 由韦达定理得m 1m 2＝﹣1，不妨设切线PE 、PF 的斜率分别为k 1，k 2， 此时k 1k 2=1m 1⋅1m 2=−1，故PE ⊥PF ．22．（12分）已知两定点A （﹣3，0），B （3，0），过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89．设动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设F 1（﹣1，0），过F 1的直线l 交曲线C 于M 、N 两点（不与A 、B 重合）．设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1k 2为定值．解：（1）不妨设点P （x ，y ），因为过动点P 的两直线P A 和PB 的斜率之积为−89， 所以k PA ⋅k PB =yx+3⋅yx−3=−89， 整理得x 29+y 28=1(x ≠±3)；（2）证明：不妨设直线l 的方程为x ＝my ﹣1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 联立{x =my −1x 29+y 28=1，消去x 并整理得（8m 2+9）y 2﹣16my ﹣64＝0，由韦达定理得y 1+y 2=16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9， 则k 1k 2=y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=x 2y 1−3y 1x 1y 2+3y 2=(my 2−1)y 1−3y 1(my 1−1)y 2+3y 2=my 1y 2−4y 1my 1y 2+2y 2=−64m8m 2+9−4y 1−64m 8m 2+9+2(16m8m 2+9−y 1)=−64m8m 2+9−4y 1−32m8m 2+9+2y 1=2．综上，k 1k 2为定值2．。

2021年高二下学期周末训练数学（理）试题（6） Word版含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“x∈N，x2≠x”的否定是▲．1．x∈N，x2＝x2．在平面直角坐标系xOy中，焦点为F(5，0)的抛物线的标准方程是▲．2．y2＝20x3．设复数z满足z·i＝3＋4i (i是虚数单位)，则复数z的模为▲． 3．54．椭圆x28＋y24＝1的右准线方程是▲．4．x＝45．记函数f(x)＝x＋1x的导函数为f(x)，则f (1)的值为▲．5．－16．记命题p为“若＝，则cos＝cos”，则在命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是▲． 7．27．已知实数、满足，则的最小值为 .8．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为▲．8．5 29．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线上，若PF＝2，则点P到抛物线顶点O的距离是▲．10．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ 10．(1，e) 11．“a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋a cos x 在区间(0，2)上为增函数”的 ▲ 条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．11．充分不必要12.对于任意实数x ，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是▲ 。

13．定义在R 上的函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点O ，且它的导函数y ＝f (x ) 的图像是如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像一定不经过第 ▲ 象限．一14. 设二次函数的值域为，且，则的最大值是 。

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分14分）已知a ∈R ，设p ：函数f (x )＝x 2＋(a －1)x 是区间(1，＋∞)上的增函数，q ：方程x 2－ay 2＝1表示双曲线．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．15．解 （1）因为p 为真命题，即函数f (x )＝x 2＋(a －1)x 是(1，＋∞)上的增（第14题Oxy函数，所以－a－1 2≤1．………………… 3分解得a≥－1．即实数a的取值范围是[－1，＋∞．………………… 7分（2）因为“p且q”为真命题，所以p为真命题，且q也为真命题．由q为真命题，得a＞0．所以a≥－1且a＞0，即a＞0．所以实数a的取值范围是(0，＋∞)．…………………14分16、（本题满分14分）已知曲线过点P（1，3），且在点P处的切线恰好与直线垂直.求(Ⅰ)常数的值；(Ⅱ)的单调区间.解(Ⅰ)据题意，所以，又曲线在点P处的切线的斜率为，∴，即解得.（Ⅱ）. ∴当时，；当时，.∴的单调区间为，在区间上是增函数，在区间上是减函数.17. （15分）已知双曲线以点为顶点，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求离心率为，且以双曲线的焦距为短轴长的椭圆的标准方程；（3）已知点在以点为焦点、坐标原点为顶点的抛物线上运动，点的坐标为，求的最小值及此时点的坐标.解：（1）依题意，…………………2分设将代入，得双曲线标准方程为：…………………5分（2）由（1）知，椭圆标准方程为：或…………………11分（3）依题意，抛物线标准方程为：设点到准线的垂线段为此时， (15)分18. （本题满分15分）经过长期的观测得到：在交通繁忙时段，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 17．解：（1）2920920920160031600833v y v v v v==≤=≈++++11.1，当且仅当，即时，上式取等号．所以，当汽车的平均速度v 为40千米/小时时，车流量最大，最大车流量为11.1千辆/小时．（2）由得，，即， 解得25＜v ＜64．所以，当汽车的平均速度大于25千米/小时，小于64千米/小时时，该时段内车流量超过10千辆/小时．19．（16分）已知函数f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）2，a ，b 是常数． （1）若a≠b，求证：函数f （x ）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为﹣，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度。