[学习]二次函数知识点复习PPT

时，S有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－ （m2－6m）＝－ （m－3）2＋ .


∵－ ＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－



−
＋ .∴


时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图

7二次函数的综合运用 二次函数的综合运用
二次函数的应用常见两种题型： 二次函数的应用常见两种题型：
1.将实际问题函数化，通过函数性 将实际问题函数化， 将实际问题函数化 质解决问题． 质解决问题． 2.用二次函数解决实际生活中的最 用二次函数解决实际生活中的最 大化问题(即最值问题 即最值问题) 大化问题 即最值问题 .
二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和 轴交点的横坐标，便是对应的一元二次 的图象和x轴交点的横坐标 二次函数 的图象和 轴交点的横坐标， 方程ax²＋bx＋c=0的解。 方程
二次函数y=ax +bx+c的图象和 轴交点有三种情况: 的图象和x 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 (1)有两个交点 b2 – 4ac > 0 (2)有一个交点 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
练习： 练习：
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图 所示， 的符号为（ 所示，则a、b、c的符号为（ ） B、 A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 c D、 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
b 4ac − b 2 当x = − 时, y最小值为 2a 4a
当x = h时, y最大值为k
例2： 已知二次函数 ：
1 2 3 y = x + x− 2 2
（1）求抛物线的对称轴和顶点M的坐标。 ）求抛物线的对称轴和顶点 的坐标。 的坐标 轴交于C点 轴交于A、 两 （2）设抛物线与 轴交于 点，与x轴交于 、B两 ）设抛物线与y轴交于 轴交于 的坐标。 点，求 C，A，B的坐标。 ， ， 的坐标 为何值时， 随的增大而减少 随的增大而减少， 为何值时 为何值时， （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时， ） 为何值时 y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ 有最大（ 这个最大（ 值是多少？ 有最大 （4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ ） 为何值时， ？ 为何值时， ？ 为何值时 为何值时

两交点的距离ba 为｜x1
-x2
｜c ＝
a
b2 4ac
|a|
练习1、填表
抛物线
开口 对称轴
顶点坐标
y=a(x–h)2+k（a>0） 向上
x=h
（h，k)
y=ax2+bx+c（a<0） 向下
x=-
b 2a
(-
b 2a
, 4ac-b2 4a
)
练习（四） 填空
1、二次函数y=
1 2
x2+2x+1写成顶点式为：
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、 负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交 于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°， 求抛物线解析式。
解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0） y
OB=1， ∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90°
BO
Ax
∴OC2=OA·OB=4
即： y=-2x2+4x
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的 对称轴是x=1 ，最高点在直线y=2x+4 上。 （1）求抛物线解析式.
（2）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1
∴图象的顶点横坐标为1 又∵图象的最高点在直线y=2x+4上 ∴当x=1时，y=6 ∴顶点坐标为（ 1 ， 6）
根据题意得： 4=a+b+c -1=a-b+c -2=4a+2b+c
2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，设抛物 线解析式为_y_=_a_(x_+_2_)_2_+_3_(a_≠_0_)__, 若图象还过点 (1,4) ，可得__4_=_a_(_1_+_2_)2_+_3___.

二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。

增减性: 1 当 x 时,y随x的增大而减小
(4) 由图象可知：
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0 y
•
(-3,0)
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)
3 (0,-– 2)
三、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 y=ax2+bx+c(a≠0) 析式为________________ 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. *3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点 (x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) _____________ 求出表达式后化为一般形式.
画二次函数的大致图象: ①画对称轴 ②确定顶点 x ③确定与y轴的交点 (-2,0) 0 (3,0) ④确定与x轴的交点 ⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点 ⑥连线 (1,-6) 25 (0,-6) 1 （—，- — ） 4 2
25 1 （—，- — 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 4） 2 1 x=— 对称轴是_________ 。 2 1 x= — y 2
四、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定. 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
c>0

❖ ③b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的 左侧，则a、b同号；若对称轴在Y 轴的右侧， 则a、b异号；(a与b左同右异)
； 优游
观测特点在北半球夏季看到的银河（在天蝎座、人马座延伸至夏季大三角，甚至仙后座）最明显，冬季银河很黯淡（在猎户座与大犬座）。科学家发现银河系经历了漫长的过程。望远镜发明后，伽利略首先用望远镜观测银河，发现银河由恒星组成；而后，T.赖特、I.康德、J.H.朗伯等认 为，银河和全部恒星可能集合成一个巨大的恒星系统。 1750年，英国天文学家赖特（Wright Thomas）认为银河系是扁平的。1755年，德国康德和郎伯特（Lambert Johann heinrich）提出了恒星和银河之间组成一个巨大的天体系统。1785年，英国天文学家威廉·赫歇耳绘出了银河系的扁平形体，并认为太阳系位于银河的中心。 1918年，美国天文学家沙普利（Harlow Shapley）经过4年的观测，提出太阳系应该位于银河系的边缘。1926年，瑞典天文学家林得布拉德（Lindblad Bertil）分析出银河系也在自转。 在18世纪后期，F.W.赫歇尔用自制的反射望远镜开始恒星计数的观测，以确定恒星系统的结构和大小，他断言恒星系统呈扁盘状，太阳离盘中心不远。他去世后，其子J.F.赫歇尔继承父业，继续进行深入研究，把恒星计数的工作扩展到南天。 20世纪初，天文学家把以银河为表观现象的恒星系统称为银河系。J.C.卡普坦应用统计视差的方法测定恒星的平均距离，结合恒星计数，得出了一个银河系模型。在这个模型里，太阳居中，银河系呈圆盘状，直径8千秒差距，厚2千秒差距。H.沙普利应用造父变星的周光关系，测定球状星 团的距离，从球状星团的分布来研究银河系的结构和大小。他提出的模型是：银河系是一个透镜状的恒星系统，太阳不在其中心。沙普利计算出：银河系直径80千秒差距，太阳离银心20千秒差距，这些数值太大，因为沙普利在计算距离时未计入星际消光。 20世纪20年代，银河系自转被发现后，沙普利的银河系模型得到公认。银河系是一个巨型棒旋星系（漩涡星系的一种），Sb型，共有4条旋臂。包含1200亿颗恒星。银河系整体作较差自转，太阳处自转速度约220千米/秒，太阳绕银心运转一周约2.5亿年。银河系的目视绝对星等为－20.5等 ，银河系的总质量大约是我们太阳质量的1.4万亿倍，大致10倍于银河系全部恒星质量的总和。这是我们银河系中存在范围远远超出明亮恒星盘的暗物质的强有力证据。关于银河系的年龄，占主流的观点认为，银河系在宇宙大爆炸之后不久就诞生了，用这种方法计算出，我们银河系的年 龄大概在125亿岁左右，上下误差各有5亿多年。而科学界认为宇宙大爆炸大约发生于138亿年前。 2014年，科学家公布了最新的观测数据，银河系的质量仅为仙女座的一半。这个研究结果来自一支国际研究小组，包括卡内基·梅隆大学的宇宙学家马修·沃克，他们的研究论文发表在英国皇家天文学会的月刊上。论文指出，研究小组使用了一种全新的方法去测量星系的质量，比以往的 测量方法更加精确。 2015年3月，科学家使用斯隆数字巡天勘测数据分析了银河系边缘恒星的亮度和距离，结果发现银河系边缘像瓦楞纸板一样，存在皱褶结构，凹槽中存在着恒星。实际上这些恒星区域也是银河系的一部分，真实的银河系比之前预想大50%。

8、总结提高：求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析 式时 (1)关键是求出待定系数____________ a，b，c 的值．
(2)设解析式的三种形式：
2＋bx＋c (a≠0) y ＝ ax ①一般式：________________________，当已知抛物线
上三个点时，用一般式比较简便；
（4）b2-4ac的符号： a、b同号 a、b异号 b=0
由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
巩固练习1： 2 上 ,对称轴是 Y轴 （1）抛物线y =3x 2的开口向 , (0,0) 顶点坐标是 ,图象过第 一、二 象限 ； （2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 (不可能 )
B．6.18＜ X ＜6.19 D．6.19＜ X ＜6.20
3、已知二次函数 y a( x 1)2 c 的图象如图所示，则函数 y ax c
的图象只可能是（ D ）
1
y
0
x
y
y
y
y
0
x
0
x
0
x
0
x
( A)
( B)
(C )
(D)
（16）小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象观察得出下面的五条信息：① a＜ 0；② c＝0； ③ 函数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>0； ⑤当0 ＜x1＜x2＜2时，y1 > y2 你认为其中正确的个数有 y （ ） A．2 B． 3 C．4 D． 5
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
练一练：已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,

类题通法 解分式不等式的基本方法就是利用符号法则，将分式不等式转化 为两个整式不等式组或转化为与其同解的整式不等式(组).
二、易错易混 3．当 x∈{x|1<x<2}时，不等式 x2＋mx＋4<0 恒成立，则实数 m 的 取值范围是( ) A．{m|－5≤m≤－4} B．{m|m≤－4} C．{m|m≤－5} D．{m|m<－5}
答案：C 解析：令 y＝x2＋mx＋4，由题意知 x＝1 与 x＝2 时，y 的值恒小 于等于 0，即 1＋m＋4≤0 且 4＋2m＋4≤0，所以 m≤－5 且 m≤－4. 所以 m≤－5.故选 C.
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4a0
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
有 两 个 _不__相__等___ 有 两 个相__等__ 的 实
答案：{x|x<2 或 x≥5} 解析：移项得xx－＋21－2≤0，整理得xx－ －52≥0， 不等式等价于(x－5)(x－2)≥0 且 x－2≠0， 解得 x<2 或 x≥5， 故原不等式的解集是{x|x<2 或 x≥5}．
(2)不等式x2＋x＋x＋2 1>1 的解集为________．
答案：{x|－1<x<1} 解析：∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0 ∴原不等式化为 x＋2>x2＋x＋1 即 x2－1<0，解得－1<x<1 故原不等式的解集为{x|－1<x<1}.
答案：C 解析：M＝{x|4x2－4x－15>0}＝{x|x>52或 x<－32} N＝{x|x2－5x－6>0}＝{x|x>6 或 x<－1} ∴M∩N＝{x|x>6 或 x<－32}．

y=ax2+bx+c的图 方程ax2+bx+c=0
象和x轴交点
的根
b2-4ac
有两个交点
方程有两个不相等的 b2-4ac>0
实数根
只有一个交点
方程有两个相等的 b2-4ac=0
实数根
没有交点
方程没有实数根 b2-4ac<0
函数的图象
y
.
. ox
y
o
x
y
o
x
根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函数 值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0
(4)函数的自变量x的取值范围：任意实数
当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范
围.
二次函数的一般形式:
• 函数y＝ax2＋bx＋c
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
向上
直线X=-h
（-h，k）
a ＜ 0 向下
图象的平移规律：
对于抛物线y=a(x+h)2+k的平移有以下规律： (1)、平移不改变 a 的值； (2)、h决定图象沿x轴方向左右平移，左+右— (3)、k决定图象沿y轴方向上下平移，上+下—
知识运用
（坐1标）是抛物线,图(y0象=,0过)x32 第2的开口向一象、,限对上二称；轴是
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a ＞ 0 向上 直线X=0 a ＜ 0 向下 （或y轴）

02 二次函数的图像性质
CHAPTER
开口方向
总结词：由二次项系数决定 a>0时，向上开口；a<0时，向下开口。
顶点坐标
01
总结词：由公式 y=ax^2+bx+c(a≠0)直接读
02
顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐 标为y=4ac-b^2/4a。
对称轴
总结词：对称轴是直线x=-b/2a
二次函数图像是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a，对称轴与y轴平行。
二次函数的表达式由三部分组成，分 别是二次项系数$a$、一次项系数$b$ 和常数项$c$。这些系数可以根据实际 情况进行选择和调整。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个开口方向由系数$a$决定的抛物线。当$a > 0$时，抛物 线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。同时，抛物线的对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$ 。
二次函数图PPT课件
目录
CONTENTS
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像性质 • 二次函数的应用 • 二次函数与其他知识点的联系 • 练习题与答案
01 二次函数的基本概念
CHAPTER
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其定义形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其 中$a, b, c$为常数，且$a neq 0$。