中考数学之全等三角形的存在性(讲义)

专题16 全等三角形的核心知识点精讲1.熟悉全等三角形常考5种模型2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。

考点1：全等三角形的概念及性质考点2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角【题型1：平移型】【典例1】（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．1．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．2．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝D F，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【题型2：对称型】【典例2】（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．2．（2022•西藏）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．【题型3：旋转型】【典例3】（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．1．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．2．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．3．（2023•西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．【题型4：一线三等角】【典例4】（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC 的延长线于点E．求证：CE＝AB．1．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥A D于点F．求证：AF＝BE．一．选择题（共8小题）1．下列各组图案中，不是全等形的是（）A．B．C．D．2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50°B．58°C．60°D．72°3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（）A．10B．6C．4D．25．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列选项中的条件，能用HL 判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．填空题（共4小题）9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为．10．已知：如图，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件就可以判断△ABC ≌△BAD．11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是．12．如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝．三．解答题（共4小题）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．14．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的长．15．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度数．16．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求证：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正确的个数是（）个．A．5B．4C．3D．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CE F．其中正确的是（）A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④3．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接A F，下列结论：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤4．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠F AB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6B．8C．10D．126．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、B E相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列四个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB 交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠E DF；④若AE＝3，则AB+AC＝6．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）8．如图，以△ABC的每一条边为边，在边AB的同侧作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则∠FCE＝°．9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是．10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是（填序号）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③A C＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是．（填序号）12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，E、F在射线AC 与射线CB上运动，且满足AE＝CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为．三．解答题（共4小题）13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．14．如图所示，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：AP＝AQ；（2）试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由．15．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为，位置关系为．（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交A D于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．16．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB ＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．4．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．5．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B 作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．6．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是．7．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝B C．8．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．9．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠B AD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．10．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．。

考点11 三角形与全等三角形【命题趋势】三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，全等三角形也是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系。

所以，在中考中，考察的几率也是比较大。

但是因为该考点与其他几何考点的融入性特别多，所以不会再过多的单独考察，很多城市基本都是融合考察，不再单独出题。

【中考考查重点】一、三角形的三边关系二、三角形的内角和定理及其外角定理三、三角形中的重要线段四、全等三角形的性质与判定考向一：三角形的三边关系三角形三边关系的定理及其推论1．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．2．三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为．【分析】由三个数的大小关系初步确定a的取值范围a＜﹣2；再由三角形三边关系得到3+（1﹣a）＞1﹣2a，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，∴3＜1﹣a＜1﹣2a，∴a＜﹣2，∵这三个数为边长能构成三角形，∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，∴a＞﹣3，∴﹣3＜a＜﹣2，故答案为﹣3＜a＜﹣2．考向二：三角形的内角和定理及其外角定理角的定义、性质及其他相关：三角形内角和定理三角形的内角和等于180°三角形外角的推论三角形的一个外角=和它不相邻的两个内角的和【方法提炼】➢三角形内角和与外角定理是几何图形求解角度时常用的等量关系；即使是其他多边形，也常转化为三角形求角度【同步练习】1．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（）A．32°B．36°C．40°D．128°【分析】由三角形的内角和定理可得：∠A+∠B+∠C＝180°，再结合所给的条件，可得5∠C＝160°，从而可求解．【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，20°+4∠C+∠C＝180°，5∠C＝160°，∠C＝32°．故选：A．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B 的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】利用平角的定义可得∠ADE＝20°，再根据平行线的性质知∠A＝∠ADE＝20°，再由内角和定理可得答案．【解答】解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．故选：D．3．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60或10；4．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（）A．60°B．70°C．75°D．85°【分析】由三角形的内角和定理，可得∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，所以∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），由此解答即可．【解答】解：∵∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C）＝180°﹣（25°+35°+50°）＝180°﹣110°＝70°，故选：B．5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5C．∠A+∠B＝∠CD．一个外角等于和它相邻的一个内角【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝75°＜90°，∴满足条件的三角形为锐角三角形，选项A符合题意；B．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项B不符合题意；C．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项C不符合题意；D．∵一个外角等于和它相邻的一个内角，∴该内角＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项D不符合题意．故选：A．考向三：三角形中重要的线一．三角形的分类按角分类锐角三角形（三个内角都是锐角）直角三角形（有一个内角是直角）钝角三角形（有一个内角是钝角）按边分类非等边三角形（三边均不相等）等腰三角形普通等腰三角形（有两边长相等）等边三角形（三边长均相等）二．三角形中的重要线段∠CAD ∠BACEC=½BC∠AFC=90°½BC【方法提炼】三角形中“三线”的常见作用及其辅助线：（一）.中线常见“用途”：平分线段、平分面积；辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；（二）高线常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；（三）角平分线常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰；（四）中垂线常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；辅助线类型：连接两点由△的三线组成的几个“心”：△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；【同步练习】1．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．8【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△ABD＝S△ACD＝12，再求出S△EBD＝6，S△ECD＝6，然后利用F点为CE的中点得到S△BEF＝S△EBC．【解答】解：∵D点为BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×24＝12，∵E点为AD的中点，∴S△EBD＝S△ABD＝6，S△ECD＝S△ACD＝6，∴S△EBC＝S△EBD+S△ECD＝6+6＝12，∵F点为CE的中点，∴S△BEF＝S△EBC＝×12＝6．故选：C．2．下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．【解答】解：三角形具有稳定性．故选：A．3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8B．7.5C．15D．无法确定【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．故选：B．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB 的长为．【分析】先根据D是BC的中点得出CD＝DB＝BC＝3，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD＝2CD＝6，进而求出AD+DB的长．【解答】解：∵D是BC的中点，BC＝6，∴CD＝DB＝BC＝3．∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6，∴AD+DB＝6+3＝9．故答案为：9．5．如图，BD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，BD交AE于F，若∠BAC＝44°，∠C＝80°，求∠BEF和∠AFD的度数．【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵BD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝44°，∠C＝80°，∴∠ADB＝90°，∠BAE＝∠EAD＝22°，∴∠CBA＝180°﹣44°﹣80°＝56°，∴∠BEF＝180°﹣22°﹣56°＝102°，∠AFD＝180°﹣90°﹣22°＝68°．考向四：全等三角形的性质和判定一．全等三角形的性质性质对应边相等，对应角相等推论全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应边上的高线相等，对应角的角平分线相等所有三角形SSS 、SAS 、ASA 、AAS直角三角形HL【方法提炼】➢证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。

2020中考数学专题突破：全等三角形的判定与性质（解析版）【例题1】如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件AB=DE或BC=EF或AC=DF，使得△ABC≌△DEF．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，同理，BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例题2】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S=AC•BD．正确的是 ①④ （填写所有正确结论的序号）【分析】①证明△ABC ≌△ADC ，可作判断；②③由于AB 与BC 不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；④根据面积和求四边形的面积即可．【解答】解：①在△ABC 和△ADC 中，∵，∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠ABC=∠ADC ，故①结论正确；②∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC=∠DAC ，∵AB=AD ，∴OB=OD ，AC ⊥BD ，而AB 与BC 不一定相等，所以AO 与OC 不一定相等，故②结论不正确；③由②可知：AC 平分四边形ABCD 的∠BAD 、∠BCD ，而AB 与BC 不一定相等，所以BD 不一定平分四边形ABCD 的对角；故③结论不正确；④∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △BCD =BD•AO +BD•CO=BD•（AO +CO ）=AC•BD ． 故④结论正确；所以正确的有：①④；故答案为：①④． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，第1问可以利用等边对等角，由等量加等量和相等来解决．【例题3】如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边边边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DEF，又∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即：BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF．【例题4】如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用的代数式表示PC的长度；（2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？【分析】（1）先表示出BP，根据PC=BC﹣BP，可得出答案；（2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．（3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；【解答】解：（1）BP=2t，则PC=BC﹣BP=6﹣2t；（2））△BPD和△CQP全等理由：∵t=1秒∴BP=CQ=2×1=2厘米，∴CP=BC﹣BP=6﹣2=4厘米，∵AB=8厘米，点D为AB的中点，∴BD=4厘米．∴PC=BD，在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）；（3）∵点P、Q的运动速度不相等，∴BP≠CQ又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，∴BP=PC=3cm，CQ=BD=4cm，∴点P，点Q运动的时间t==秒，∴V Q===厘米/秒．巩固练习一、选择题：1.在△ABC和△FED中，如果∠A=∠F，∠B=∠E，要使这两个三角形全等，还需要的条件是（）A．AB=DE B．BC=EF C．AB=FE D．∠C=∠D【分析】根据所给条件可知，应加一对对应边相等才可证明这两个三角形全等，AB和EF是对应边，因此应加AB=FE．【解答】解：A、加上AB=DE，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误；B、加上BC=EF，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误；C、加上AB=FE，可用ASA证明两个三角形全等，故此选项正确；D、加上∠C=∠D，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误；故选：C．2.如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC，则此图中全等三角形有（）A．2对 B．3 对C．4对 D．5对【分析】根据SAS推出△ABD≌△ACD，求出∠B=∠C，BE=CF，根据全等三角形的判定推出△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△AFB≌△AEC即可．【解答】解：全等三角形有：△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△AFB ≌△AEC，共4对，故选C3.如图，△ABD≌△ACE，若AB=6，AE=4，则CD的长度为（）A．10 B．6 C．4 D．2【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AB=AC，AE=AD，再由CD=AC﹣AD即可求出其长度．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AB=AC=6，AE=AD=4，∴CD=AC﹣AD=6﹣4=2，故选D．4.如图，AB∥DE，CD=BF，若要证明△ABC≌△EDF，还需补充的条件是（）A．AC=EF B．AB=ED C．∠B=∠E D．不用补充【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠D，求出BC=DF，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：AB=DE，理由是：∵AB∥DE，∴∠B=∠D，∵BF=DC，∴BC=DF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），即选项B正确，选项A、C、D都不能推出△ABC≌△DEF，即选项A、C、D都错误，故选B．5.如图是用直尺和圆规作角平分线的示意图，通过证明△DOP≌△EOP可以说明OC是∠AOB的角平分线，那么△DOP≌△EOP的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键．易知：OD=OE，PD=PE，OP=OP，因此符合SSS的条件，故选择A．【解答】解：由作图知：OD=OE、PD=PE、OP是公共边，即三边分别对应相等（SSS），△DOP≌△EOP，故选A．二、填空题：6.如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件AB=DE或BC=EF或AC=DF，使得△ABC≌△DEF．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF 或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可．7.如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：CE=BC，使得△ABC≌△DEC．【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC=DC，BC=EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．【解答】解：添加条件是：CE=BC，在△ABC与△DEC中，，∴△ABC≌△DEC．故答案为：CE=BC．本题答案不唯一．8.如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可），使得△ABC≌△DEF．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF 或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．9.如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件∠A=∠D使得△ABC≌△DEF．【分析】根据全等三角形的判定定理填空．【解答】解：添加∠A=∠D．理由如下：∵FB=CE，∴BC=EF．又∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．∴在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案是：∠A=∠D．10. AD是△ABC的中线，DE=DF．下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有.【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正确∴CE=BF，∠F=∠CED，故①正确，∴BF∥CE，故③正确，∵BD=CD，点A到BD、CD的距离相等，∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确，综上所述，正确的是①②③④．故答案为：①②③④．三、解答题：1.如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：AC∥BD．【分析】欲证明AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可．【解答】证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEB=∠AFC=90°，∵AE=BF，∴AF=BE，在△DEB和△CFA中，，△DEB≌△CFA，∴∠A=∠B，∴AC∥DB．2.学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；【解答】（1）解：HL；故答案为：HL；（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等．。

专题15 全等三角形阅读与思考两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系．全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法．我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的．了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：例题与求解【例1】考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个（山东省竞赛试题）解题思路：真命题给出证明，假命题举出一个反例．【例2】如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．（第十六届江苏省竞赛试题）解题思路：（1）证明对应的两个三角形全等；（2）证明∠PAQ ＝90°．【例3】如图，已知为AD 为△ABC 的中线，求证：AD ＜1()2AB AC ．（陕西省中考试题）解题思路：三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB ，AC ，AD 集中到同一个三角形中，从构造2AD 入手．【例4】如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ． 求证：AB ＝AC ＋BD ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题的基本方法，即在AB 上截取AF ，使AF ＝AC ，以下只要证明FB ＝BD 即可，于是将问题转化为证明两线段相等．【例5】如图1，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BECQABC DEOPABCDA BCDE＝∠CFA ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图2，若∠BCA ＝90°，∠α＝90°，则BE ＿＿＿＿CF ，EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图3，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图4，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，请提出EF ，BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）解题思路：对于②，可用①进行逆推，寻找△BCE ≌△CAF 应满足的条件．对于（2）可用归纳类比方法提出猜想．【例6】如图，在四边形ABCD 中，∠ACB ＝∠BAD ＝105°，∠ABC ＝∠ADC ＝45°． 求证：CD ＝AB ．（天津市竞赛试题）解题思路：由已知易得∠CAB ＝30°，∠GAC ＝75°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＋∠DAC ＝180°，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等．BCDEFαα图1ABCDEF 图2 ABCE F图3D ABCDEF图4AB CD能力训练A 级1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ︰DB ＝3︰5，则点D 到AB 的距离是＿＿＿＿．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过B ，C 作经过点A 的直线的垂线BD ，CE ，若BD ＝3cm ，CE ＝4cm ，则DE ＝＿＿＿＿．3．如图，△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的边AB 、AC 为边的形外的等腰直角三角形，CE 和BF 相交于O ，则∠EOB ＝＿＿＿＿．4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，且AB ＝AE ，AC ＝AD ．有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC ＝DE ；③∠DBC ＝12∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号＿＿＿＿．（把你认为正确结论的序号都填上）（天津市中考试题）5．如图，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠2＝∠3，AC ＝AE ，则（ ） A ．△ABD ≌△AFD B ．△AFE ≌△ADC C ．△AFE ≌△DFCD ．△ABC ≌△ADE6．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ．若AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（ ）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm7．如图，从下列四个条件：①BC ＝B 'C ；②AC ＝A ′C ；③∠A ′CA ＝∠B ′CB ；④AB ＝A ′B ′中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（北京市东城区中考试题）ABCD 第1题ADE第2题 ABC EFO第3题ABCDE第4题第5题ABCDE F321ABCD第6题ABCB 'A '第7题8．如图1，在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于F，且BF＝AC．（1）求证：ED平分∠FEC；（2）如图2，若△ABC中，∠C为钝角，其他条件不变，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明．9．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，连AD，M为AD中点，连OM．（1）如图1，请写出OM与BC的关系，并说明理由；（2）将图1中的△COD旋转至图2的位置，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．10．如图，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M．求证：∠M＝1()2ACB B∠-∠．（天津市竞赛试题）AB CDEF图1AB DEC图2A BCDMO图1A BCDMO图2ABCDEFMP2111．如图，已知△ABC 中，∠A ＝60°，BE ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，P 为BE ，CD 的交点． 求证：BD ＋CE ＝BC ．12．如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ．（1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD ．（日照市中考试题）B 级1．在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝＿＿＿＿．（武汉市竞赛试题）2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若AB ＝5，AC ＝3，则AD 的取值范围是＿＿＿＿．（“希望杯”竞赛试题）3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是角平分线，P 是AD 上任意一点，在AB -AC 与BP -PC 两式中，较大的一个是＿＿＿＿．4．如图，已知AB ∥CD ，AC ∥DB ，AD 与BC 交于O ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，那么图中全等的三角A BC DE PA BC 第2题DA BC PD第3题A BCD EFO 第4题第5题A BCDEF A形有（ ）A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对5．如图，AD 是△ABC 的中线，E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，则（ ） A ．BE ＋CF ＞EF B ．BE ＋CF ＝EFC ．BE ＋CF ＜EFD ．BE ＋CF 与的大小关系不确定（第十五届江苏省竞赛试题）6．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余D.互补或相等（北京市竞赛试题）7．如图，在△ABE 和△ACD 中，给出以下四个论断：①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③AM ＝AN ；④AD ⊥DC ，AE ⊥BE ．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（荆州市中考试题）8．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝1()2AB AD ，求∠ABC＋∠ADC 的度数． （上海市竞赛试题）9．在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝6，且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画出图形并证明你的结论．（河北省竞赛试题）ABC DEM NABCDE10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AD ，CE ：分别平分∠BAC ，∠ACB ．求证：AC ＝AE ＋CD ．（武汉市选拔赛试题）11．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AP ，CQ 分别平分∠BAC ，∠BCA ．AP 交CQ 于I ，连PQ ． 求证：IAC ACPQS S ∆四边形为定值．12．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD 丄MN 于O ，BE ⊥MN 于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：DE ＝AD ＋BE ； （2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD -BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问：DE ，AD ，BE 有怎样的等量关系？请写出这个等 量关系，并加以证明． （海口市中考试题）ABCDEMN图1ABCM N图3DEAB CMN图2DEQAB CIPA BCDEO13．CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC ＝∠CFA ＝∠α．（1）若直线CD 经过∠BCA 内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA ＝90°，∠α＝90°，则BE ＿＿＿＿CF ，EF ＿＿＿＿BE AF -（填“＞”、“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件＿＿＿＿，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；（2）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α＝∠BCA ，请提出EF ，BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．（台州市中考试题）A BCDE F 图1ABCE F图2DABCDEF图3。

中考数学一轮复习·学与练第四章 三角形 课时14 三角形及其全等知 识 清 单考点一 三角形的概念及分类 1．三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的 图形叫做三角形． 2．三角形的分类(1)按边分一般三角形：三条边都不相等等腰三角形：有两条边相等等边三角形：三条边都相等(2)按角分90锐角三角形：三个角都是锐角直角三角形：有一个角为钝角三角形：有一个角为钝角考点二 三角形的边角关系1．边的关系：两边之和 第三边，两边之差 第三边．判断三条边(a ，b ，c ，a ≤b ≤c )能否构成三角形，只需比较两条短边(a ，b )的和与第三边(c )的大小，若a ＋b >c ，则能构成三角形；反之不能构成三角形．2．角的关系(1)三角形内角和等于 ；(2)任意一个外角 与它不相邻的两个内角之和； (3)任意一个外角 任何一个和它不相邻的内角．3．边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对 ，大边对 ． 4．三角形的稳定性三角形具有稳定性，即当三角形的三边确定时，三角形的形状和大小也就随之确定，而不再发生改变．考点三 三角形中的重要线段 1．角平分线(1)概念：一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段．(2)图形及性质：如图1，在△ABC 中，AD 为角平分线，则有∠1＝ ＝12∠BAC .(3)内心(三角形内切圆的圆心)：三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心，该点到三角形三边的距离相等．图1 图22．中线(1)概念：连接一个顶点与它对边中点的线段．(2)图形及性质：如图2，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则有BD ＝ ＝12BC .(3)重心：三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，该点到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的 倍．3．高线(1)概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．(2)图形及性质：如图3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，则有AD ⊥ ，即∠ADB ＝∠ADC ＝90°.(3)垂心：三角形的三条高线的交点，该点称为三角形的垂心．图3 图4知识延伸：外心(三角形外接圆的圆心)：三角形三条边中垂线的交点．外心到三角形三个顶点的距离 ．4．中位线(1)概念：连接三角形两边中点的 ．(2)图形及性质：如图4，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE 为△ABC 中位线，DE ∥ 且DE ＝12BC .考点四全等三角形的性质及判定1．全等三角形的概念能够的两个三角形叫的全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应角、对应边、周长、面积；(2)全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线都分别．3．全等三角形的判定判定1：三边分别的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).判定2：两边和它们的分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).判定3：两角和它们的分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).判定4：两角和其中一个角的对边分别的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).判定5：斜边和一条直角边分别的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).重难点讲解命题点1 利用三角形“三线”的性质解题三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角；由三角形的中线可得线段之间的关系；由三角形的角平分线可得角之间的关系，可利用角平分线的性质和三角形的内角与外角的关系建立所求角度与已知条件的联系，达到解题的目的．经典例题1如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A．15°B．20°C．25°D．30°【解析】根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，由AD是BC边上的高可得∠ADB＝90°，再由三角形内角和定理可得∠BAD的度数，根据∠DAC＝∠BAC－∠BAD即可得解．【答案】B命题点2 全等三角形判定方法的合理选择从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，我们可以利用题目中的已知边(角)确定要补充的边(角)，完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．(1)已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS ，找直角→HL ，找第三边→SSS.(2)已知一边、一角⎩⎪⎨⎪⎧一边为角的对边→找另一角→AAS ，一边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS ，找夹边的另一角→ASA ，找边的对角→AAS.(3)已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA ，找其中一角的对边→AAS.经典例题2 如图，点E ，F 在AB 上，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：∠C ＝∠D .【解析】根据题意选择“边角边”(SAS)即可求证．【证明】 ∵AE ＝BF ，∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ，即AF ＝BE .在△ADF 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BE ，∴△ADF ≌△BCE . ∴∠C ＝∠D .命题点3 三角形的角度计算问题中的方程思想方程思想的本质是设未知数，用未知量表示已知量的方法，通过分析题目，利用所学定理、性质等寻找出等量关系．三角形有关角度的计算问题，可利用三角形内角和及外角性质构建方程，利用方程思想解决有关角度问题.经典例题3 在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶6∶7，则∠B 的度数是( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 【解析】因为∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶6∶7，设∠A ＝5x °，∠B ＝6x °，∠C ＝7x °，根据三角形的内角和是180°，可得5x ＋6x ＋7x ＝180，解得x ＝10，所以∠B ＝6x °＝60°.【答案】 B中 考 真 题 演 练一、选择题1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A ．4cm ，5cm ，9cmB ．8cm ，8cm ，15cmC ．5cm ，5cm ，10cmD ．6cm ，7cm ，14cm 2. 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( ) A ．1 B ．2 C ．8 D ．113. 如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的大小为( )A ．44°B ．40°C ．39°D ．38°第3题 第4题4. 如图，在△ABC 中有四条线段DE ，BE ，EF ，FG ，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是( )A ．线段DEB ．线段BEC ．线段EFD ．线段FG 5. 若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是( )A ．14B ．10C ．3D ．26. 如图，点D 在△ABC 边AB 的延长线上，DE ∥BC ．若∠A ＝35°，∠C ＝24°，则∠D 的度数是( )A ．24°B ．59°C ．60°D ．69°第6题 第7题7. 如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E 作EF ∥CD (点F 位于点E右侧)，且EF ＝2CD ，连接DF .若AB ＝8，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．2 3D ．3 2 8. 在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ，点E 在边AB 上，∠AED ＝60°，则一定有( ) A ．∠ADE ＝20° B ．∠ADE ＝30° C ．∠ADE ＝12∠ADC D ．∠ADE ＝13∠ADC9. 如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是( )A ．7B ．9C ．10D ．11第9题 第10题10. 如图，直线l 1∥l 2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 11. 如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c第11题 第12题12. 如图，已知点P 在线段AB 外，且P A ＝PB ，求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A ．作∠APB 的平分线PC 交AB 于点C B ．过点P 作PC ⊥AB 于点C 且AC ＝BC C ．取AB 中点C ，连接PCD ．过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C13. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长线交AC于点E.若DF＝5，BC＝16，则线段EF的长为( )A．4 B．3 C．2 D．1第13题第14题14. 如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2(AD2＋AB2)－CD2. 其中正确的是( )A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④二、填空题15. 三角形三边长分别为3，2a－1，4，则a的取值范围是 .16. 如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF.第16题第17题17. 如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB．若∠BOC＝110°，则∠A＝.18. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AC＝6，则AB＝.第18题第19题19. 如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是.20. 等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为.三、解答题21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．22. 如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当AB＝5时，求CD的长．23. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF.(1)求证：△AEF≌△DEC；(2)若CF＝AD，试判断四边形AFDC是什么样的四边形？并说明理由．24. 如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC，BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.25. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O.求证：AD与BE互相平分．26. 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上(AP＞BP)．作AQ⊥AB，且AQ＝BP，连接CQ(如图1)．(1)求证：△ACQ≌△BCP；(2)延长QA至点R，使得∠RCP＝45°，RC与AB交于点H，如图2.①求证：CQ2＝QA·QR；②判断三条线段AH，HP，PB的长度满足的数量关系，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网(.21c.c)。

专题29 全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示和性质全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：(1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)(2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)(3)边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。

直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理(斜边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)【例1】(2019•上海)在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知∠C ＝∠C 1＝90°，AC ＝A 1C 1＝3，BC ＝4，B 1C 1＝2，点D 、D 1分别在边AB 、A 1B 1上，且△ACD ≌△C 1A 1D 1，那么AD 的长是 ．【分析】根据勾股定理求得AB ＝5，设AD ＝x ，则BD ＝5﹣x ，根据全等三角形的性质得出C 1D 1＝AD ＝x ，∠A 1C 1D 1＝∠A ，∠A 1D 1C 1＝∠CDA ，即可求得∠C 1D 1B 1＝∠BDC ，根据等角的余角相等求得∠B 1C 1D 1＝∠B ，即可证得△C 1B 1D ∽△BCD ，根据其性质得出5−x x =2，解得求出AD 的长．【解答】解：如图，∵在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠C ＝∠C 1＝90°，AC ＝A 1C 1＝3，BC ＝4，B 1C 1＝2， ∴AB =√32+42=5，设AD ＝x ，则BD ＝5﹣x ，∵△ACD ≌△C 1A 1D 1，∴C 1D 1＝AD ＝x ，∠A 1C 1D 1＝∠A ，∠A 1D 1C 1＝∠CDA ，∴∠C 1D 1B 1＝∠BDC ，∵∠B ＝90°﹣∠A ，∠B 1C 1D 1＝90°﹣∠A 1C 1D 1，∴∠B 1C 1D 1＝∠B ，∴△C 1B 1D 1∽△BCD ，∴BDC 1D 1=BC C 1B 1，即5−x x =2， 解得x =53，∴AD 的长为53， 故答案为53．【例2】(2019春•徐汇区校级期中)如图，BF ＝EC ，∠A ＝∠D ，那么要得到△ABC ≌△DEF ，可以添加一个条件(只需填上一个正确的条件 ．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ，∵∠A ＝∠D ，∴当∠B ＝∠E 或∠ACB ＝∠DFE 时，△ABC ≌△DEF ，故答案为∠B ＝∠E 或∠ACB ＝∠DFE【例3】(2019秋•浦东新区期末)已知：如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD ⊥BC ，BE ⊥AC 于D ，垂足分别为点D 、E ，AD 与BE 相交于点F ．求证：DF ＝DC ．【分析】证出△ABD 是等腰直角三角形，得出BD ＝AD ，证明△BDF ≌△ADC (ASA )，即可得出结论．【解答】证明：∵∠ABC ＝45°，AD ⊥BC ，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴BD ＝AD ，∵BE ⊥AC ，∴∠C +DBF ＝∠C +DAC ＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC ，在△BDF 和△ADC 中，{∠BDF =∠ADC =90°BD =AD ∠DBF =∠DAC，∴△BDF ≌△ADC (ASA )，∴DF ＝DC ．1．(2019春•普陀区期末)下列判定两个等腰三角形全等的方法中，正确的是()A．一角对应相等B．两腰对应相等C．底边对应相等D．一腰和底边对应相等【分析】依据全等三角形的判定定理回答即可．【解答】解：A．有一角对应相等，没有边的参与不能证明它们全等，故本选项不符合题意；B．两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；C．只有底边相等，别的边，角均不确定，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；D．一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用SSS可以证得两个等腰三角形全等，故本选项符合题意．故选：D．2．(2019春•普陀区期末)如图，已知△ABC≌△AEF，其中AB＝AE，∠B＝∠E．在下列结论①AC＝AF，②∠BAF＝∠B，③EF＝BC，④∠BAE＝∠CAF中，正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故①③正确；∠EAF＝∠BAC，∴∠EAB＝∠F AC，故④正确；∵AF≠BF，∴∠BAF≠∠B，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选：C．3．(2018秋•普陀区期中)不能使△ABC≌△DEF必定成立是()A．AB＝DE，∠A＝∠D，∠C＝∠F B．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠EC．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D D．AB＝DE，BC＝EF，CA＝FD【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断；【解答】解：A、根据AAS即可判断；本选项不符合题意；B、根据SAS即可判断；本选项不符合题意；C、错误，SSA无法判断三角形全等；本选项符合题意；D、根据SSS即可判断，本选项不符合题意；故选：C．4．(2018春•金山区期末)如图，△ABC≌△AED，点D在BC边上，BC∥AE，∠CAB＝80°，则∠BAE的度数是()A．35°B．30°C．25°D．20°【分析】根据全等三角形的性质得到∠CAB＝∠DAE，由平行可知可得∠CDA＝800°，利用等腰三角形性质可知∠C＝∠CDA＝80°，推出∠CAD＝20°即可解决问题；【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠CAB＝∠DAE＝80°，∵BC∥AE，∴∠CDA＝∠DAE＝80°∵AC＝AD，∴∠C＝∠ADC＝80°，∴∠CAD＝20°，∵∠CAB＝∠DAE，∴∠CAD＝∠BAE＝20°故选：D．5．(2019秋•静安区月考)如图，已知正方形ABCD中，E是AD的中点，BF＝CD+DF，若∠ABE为α，用含α的代数式表示∠CBF的度数是．【分析】延长BC至G，使得CG＝DF，连接FG交CD于H，判定△FDH≌△GCH(AAS)，即可得出FH ＝GH，DH＝CH，再判定△ABF≌△CBH(SAS)，即可得到∠ABF＝∠CBH＝α°，进而得出∠FBC＝2∠CBH＝2α°．【解答】解：如图，延长BC至G，使得CG＝DF，连接FG交CD于H，∵BF＝CD+DF，CD＝BC，∴BF＝BG，∵∠D＝∠HCG＝90°，∠DHF＝∠CHG，DF＝CG，∴△FDH≌△GCH(AAS)，∴FH＝GH，DH＝CH，∴等腰三角形BFG中，∠FBG＝2∠HBC，∵点E是AD中点，DH＝CH，∴AE＝CH，又∵∠A＝∠BCH，AB＝CB，∴△ABF≌△CBH(SAS)，∴∠ABF＝∠CBH＝α°，∴∠FBC＝2∠CBH＝2α°．故答案为：2α．6．(2019秋•浦东新区期中)如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝22°，∠ACE＝30°，则∠ADE＝．【分析】利用全等三角形的性质得出∠ABD＝∠2＝30°，再利用三角形的外角得出得出即可．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠1=∠CAE AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)；∴∠ABD＝∠2＝30°，∵∠1＝22°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝22°+30°＝52°，故答案为：52°7．(2019春•普陀区期末)如图，△ACE≌△DBF，如果∠E＝∠F，DA＝10，CB＝2，那么线段AB的长是．【分析】直接利用全等三角形的性质得出AB＝CD，进而求出答案．【解答】解：∵△ACE≌△DBF，DA＝10，CB＝2，∴AB＝CD=AD−BC2=10−224．故答案为：4．8．(2019秋•浦东新区期中)如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB＝60°，且CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为．【分析】由角平分线的性质可得∠ABP+∠BAP＝60°，由“SAS”可证△ACP≌△BCP，可得AP＝PE，∠CAP＝∠CEP，可得PE＝BE，由等腰三角形的性质和外角性质可得∠P AB＝2∠PBA，即可求解．【解答】解：如图，在BC上截取CE＝AC，连接PE，∵∠ACB＝60°，∴∠CAB+∠ABC＝120°∵点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，∴∠CAP＝∠BAP=12∠CAB，∠ABP＝∠CBP=12∠ABC，∠ACP＝∠BCP，∴∠ABP+∠BAP＝60°∵CA＝CE，∠ACP＝∠BCP，CP＝CP∴△ACP≌△ECP(SAS)∴AP＝PE，∠CAP＝∠CEP∵CA+AP＝BC，且CB＝CE+BE，∴AP＝BE，∴BE＝PE，∴∠EPB＝∠EBP，∴∠PEC＝∠EBP+∠EPB＝2∠PBE＝∠CAP∴∠P AB＝2∠PBA，且∠ABP+∠BAP＝60°，∴∠P AB＝40°，∴∠CAB＝80°故答案为：80°9．(2019春•浦东新区期末)如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝6cm，BC＝12cm，AC＝10cm，DO＝3cm，那么OC的长是cm．【分析】根据全等三角形的性质得到DB＝AC＝10cm，∠ABC＝∠DCB，∠DBC＝∠ACB，求出OB，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴DB＝AC＝10cm，∠ABC＝∠DCB，∠DBC＝∠ACB，∴OB＝DB﹣DO＝7cm，∠OBC＝∠OCB，∴OC＝OB＝7cm，故答案为：7．10．(2018秋•嘉定区期末)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是．【分析】作出图形，延长中线AD到E，使DE＝AD，利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝BE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的范围，再除以2即可得解．【解答】解：如图，延长中线AD到E，使DE＝AD，∵AD是三角形的中线，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，∵{BD=CD∠BDE=∠ADC DE=AD，∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴AC＝BE，∵AB＝5，BE＝AC＝7，∴7﹣5＜2AD＜7+5，即2＜2x＜12，∴1＜AD＜6．故答案为：1＜AD＜6．11．(2019秋•虹口区校级月考)如图，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，且直线CD 经过∠BCA 的内部，点E ，F 在射线CD 上，已知CA ＝CB 且∠BEC ＝∠CF A ＝∠α．(1)如图1，若∠BCA ＝80°，∠α＝100°，问EF ＝BE ﹣AF ，成立吗？说明理由．(2)将(1)中的已知条件改成∠BCA ＝∠β，∠α+∠β＝180°(如图2)，问EF ＝BE ﹣AF 仍成立吗？说明理由．【分析】(1)根据“AAS ”可以证明△BCE ≌△CAF ，则BE ＝CF ；(2)同理证明△BCE ≌△CAF ，则CE ＝AF ，BE ＝CF ，可得EF ＝CE ﹣CF ＝BE ﹣AF ．【解答】解：(1)EF ＝BE ﹣AF 成立，理由如下：∵∠BCA ＝80°(已知)，∴∠BCE +∠ACE ＝80°∵∠BEC ＝∠α＝100°(已知)，∴∠BEF ＝180°﹣100°＝80°(平角定义)．∴∠B +∠BCE ＝80°(三角形外角和定理)∴∠B ＝∠ACE (等量代换)．在△BCE 和△CAF 中，{∠B =∠ACF ∠BEC =∠CFA CB =AC，∴△BCE ≌△CAF (AAS )，∴BE ＝CF ，AF ＝EC (全等三角形对应边相等)．∴EF ＝CF ﹣CE ＝BE ﹣AF (等量代换)．(2)EF ＝BE ﹣AF 成立，理由如下：∵∠BCA ＝∠β，∴∠BCE +∠ACE ＝∠β∵∠BEC ＝∠α＝180°﹣∠β，∴∠BEF ＝180°﹣∠α＝∠β．∴∠B +∠BCE ＝∠β．∴∠B ＝∠ACE在△BCE 和△CAF 中，{∠B =∠ACF ∠BEC =∠CFA CB =AC，∴△BCE ≌△CAF (AAS )．∴BE ＝CF ，AF ＝EC ，∴EF ＝CF ﹣CE ＝BE ﹣AF ．12．(2019秋•浦东新区期中)已知：如图所示，AB ＝BC ，AD 为△ABC 中BC 边的中线，延长BC 至E 点，使CE ＝BC ，连接AE ．求证：∠DAC ＝∠CAE ．【分析】延长AD 到F ，使得DF ＝AD ，连接CF ．证明△ACF ≌△ACE 即可解决问题．【解答】解：延长AD 到F ，使得DF ＝AD ，连接CF ．∵AD ＝DF ，∠ADB ＝∠FDC ，D ＝DC ，∴△ADB ≌△FDC (SAS )，∴AB ＝CF ，∠B ＝∠DCF ，∵BA ＝BC ，CE ＝CB∴∠BAC ＝∠BCA ，CE ＝CF ，∵∠ACE ＝∠B +∠BAC ，∠ACF ＝∠DCF +∠ACB ，∴∠ACF ＝∠ACE ，∵AC ＝AC ，∴△ACF ≌△ACE (SAS )，∴∠CAD ＝∠CAE ．13．(2019春•长宁区期末)如图，已知AD 是△ABC 的一条中线，延长AD 至E ，使得DE ＝AD ，连接BE ．如果AB ＝5，AC ＝7，试求AD 的取值范围．【分析】根据SAS 即可证明△BED ≌△CAD ．在△ABE 利用三边关系定理即可解决．【解答】解：∵AD 是△ABC 的一条中线，∴BD ＝CD ，在△BED 和△CAD 中，{BD =CD∠BDE =∠ADC ED =AD，∴△BED ≌△CAD (SAS )，∴BE ＝AC ＝5，∵AB ＝7，∴2＜AE ＜12，∴2＜2AD ＜12，∴1＜AD ＜6．14．(2019春•长宁区期末)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，AD 与BE 相交于F ，(1)∠DAC 与∠EBC 相等吗？为什么？(2)如果∠BAC ＝45°，请说明△AEF ≌△BEC 的理由；(3)如果∠BAC ＝45°，AF ＝2BD ，试说明AD 平分∠BAC 的理由．【分析】(1)由垂直的定义得到∠ADC＝90°，求得∠DAC＝90°﹣∠C，于是得到结论；(2)根据三角形的内角和得到∠ABE＝180°﹣∠BEA﹣∠BAE＝45°，求得BE＝AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(3)根据已知条件得到BC＝2BD，由D是BC的中点，得到BD＝CD，于是得到结论．【解答】解：(1)相等，理由：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠C＝90°，∴∠DAC＝90°﹣∠C，∴∠DAC＝∠EBC；(2)∵∠BEA＝90°，∠BAE＝45°，∴∠ABE＝180°﹣∠BEA﹣∠BAE＝45°，∴∠ABE＝∠BAE，∴BE＝AE，在△AEF与△BEC中，{∠EAF=∠EBC ∠AEF=∠BEC AE=BE，∴△AEF≌△BEC(AAS)；(3)由(2)知，AF＝BC，∵AF＝2BD，∴BC＝2BD，∴D是BC的中点，∴BD＝CD，∵AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC，∴AD平分∠BAC．。

全等三角形解题模型一解题模型一平移模型1.如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，AB∥DE.求证：BC＝EF.【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠EDF，∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF∴AC＝DF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF.【解析】【分析】由AB∥DE，可得∠A＝∠EDF，由AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF，可得AC=DF，根据SAS可证△ABC≌△DEF，从而可得BC=EF.2.如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．【答案】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，在△ABF和△DCE中图示：∴△ABF≌△DCE（SAS），∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG．【解析】【分析】先利用BE＝CF求出BF＝CE，结合已知条件易证△ABF≌△DCE，然后利用全等三角形得性质得∠GEF＝∠GFE，进而利用等角对等边可得EG＝FG．3.如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：DE=AF．【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴ DE=AF【解析】【分析】由线段的和差和全等三角形的判定方法SAS，得到△ABF≌△DCE，得到对应边DE=AF.4.如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．（1）求证：AB=DC；（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．【答案】证明：（1）∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE．又∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB=DC．（2）解：△OEF为等腰三角形理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴OE=OF，∴△OEF为等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据BE=CF得到BF=CE，又∠A=∠D，∠B=∠C，所以△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）根据三角形全等得∠AFB=∠DEC，所以是等腰三角形．5.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．【答案】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．【解析】【分析】直接利用HL判断出Rt△ABC≌Rt△DCB，根据全等三角形对应角相等得出∠OBC=∠OCB，根据等角对等边得出BO=CO．解题模型二对称模型1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．【答案】解：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∵∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E．【解析】【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△ABC≌△ADE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．图示：2.已知：在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC.求证：AC＝AE.【答案】证明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE＋∠CAE＝∠DAC＋∠CAE∴∠BAC＝∠DAE在△BAC和△DAE中∴△BAC≌△DAE∴AC＝AE【解析】【分析】根据角的和差证出：∠BAC＝∠DAE，然后利用AAS证明△BAC≌△DAE，即可得AC＝AE.3.如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C。

中考数学复习考点知识与题型专题讲义26 全等三角形的应用（提高篇）1．小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝10米，请根据上述信息求标语CD的长度．【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO＝∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO＝90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD＝OB，利用ASA定理可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得标语CD的长度．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB，在△ABO与△CDO中，{∠ABO =∠CDOOB =OD ∠AOB =∠COD，∴△ABO ≌△CDO （ASA ），∴CD ＝AB ＝10m ．即标语CD 的长度是10m ．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．2．如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为边BC 上一点（不与点B 、C 重合），连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，延长CE 至F ，使得CF ＝AE ．（1）依题意补全图形（图2）；（2）求证：BF ⊥CE ；（3）作CM ⊥AB 于点M ，连接FM ，若AC ＝a ，∠CAE ＝30°，求FM 的长．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）证明△ACE ≌△CBF （SAS ），推出∠AEC ＝∠F ＝90°，即可解决问题．（3）如图3中，连接EM ，设CF 交AB 于点O ．证明△MCE ≌△MBF （SAS ），推出ME ＝MF ，∠CME ＝∠BMF ，推出∠EMF ＝∠CMB ＝90°，推出FM =√22EF =√22（CF ﹣EC ），由此即可解决问题．【解答】（1）解：图形如图2所示：（2）证明：∵CF ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∵CA ＝CB ，∠ACD ＝90°，∴∠ACE +∠BCF ＝90°，∠CAE +∠ACE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCF ，在△ACE 和△CBF 中，{AC =CB ∠CAE =∠BCF AE =CF，∴△ACE ≌△CBF （SAS ），∴∠AEC ＝∠F ＝90°，∴BF ⊥CF ．（3）如图3中，连接EM ，设CF 交AB 于点O ．在Rt △ACE 中，∵∠AEC ＝90°，AC ＝a ，∠CAE ＝30°，∴EC =12AC =12a ，AE =√3EC =√32a ，∵∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，CM ⊥AB ，∴CM ＝AM ＝BM ．∵∠CMO ＝∠OFB ＝90°，∠COM ＝∠FOB ，∴∠MCO ＝∠MBF ，∵△ACE ≌△CBF ，∴CE ＝BF =12a ，AE ＝CF =√32a在△MCE 和△MBF 中，{CM =BM ∠MCE =∠MBF CE =BF，∴△MCE ≌△MBF （SAS ），∴ME ＝MF ，∠CME ＝∠BMF ，∴∠EMF ＝∠CMB ＝90°，∴FM =√22EF =√22（CF ﹣EC ）=√22（√32a −12a ）=√6−√24a ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED ＝AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．【分析】由已知可以得到∠ABC ＝∠BDE ，又CD ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC．【解答】证明：∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠BDE又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE∴△EDC≌△ABC（ASA），∴DE＝BA．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．4．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A：②沿河岸直走20m有一树C．继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．（1）河的宽度是5米．（2）请你说明他们做法的正确性．【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性．【解答】证明：（1）由题意知，DE＝AB＝5米，即河的宽度是5米．故答案是：5．（2）如图，由题意知，在Rt △ABC 和Rt △EDC 中，{∠ABC =∠EDC =90°BC =DC ∠ACB =∠ECD∴Rt △ABC ≌Rt △EDC （ASA ）∴AB ＝ED ．即他们的做法是正确的．【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．5．小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB 无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与AB 垂直的岸边BF 上取两点C 、D 使CD ＝ CB ，再引出BF 的垂线DG ，在DG 上取一点E ，并使A 、C 、E 在一条直线上，这时测出线段 DE 的长度就是AB 的长．（1）按小明的想法填写题目中的空格；（2）请完成推理过程．【分析】（1）根据全等三角形的性质进行填空，构造全等三角形即可；（2）首先证明△ABC ≌△EDC ，进而可根据全等三角形对应边相等可得DE ＝AB ．【解答】解：（1）在与AB 垂直的岸边BF 上取两点C 、D 使CD ＝CB ，再引出BF 的垂线DG ，在DG 上取一点E ，并使A 、C 、E 在一条直线上，这时测出线段DE 的长度就是AB 的长． 故答案为：CB ，DE ；（2）由题意得DG ⊥BF ，∴∠CDE ＝∠CBA ＝90°，在△ABC 和△EDC 中，{∠CDE =∠CBACB =CD ∠ACB =∠ECD，∴△ABC ≌△EDC （ASA ），∴DE ＝AB （全等三角形的对应边相等）．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形对应边相等．6．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A ，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A 水平距离为17米，高为3米的矮台B ，求旗杆的高度OM 和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN ．【分析】首先得出△AOE ≌△OBF （AAS ），进而得出CD 的长，进而求出OM ，MN 的长即可．【解答】解：作AE ⊥OM ，BF ⊥OM ，∵∠AOE +∠BOF ＝∠BOF +∠OBF ＝90°∴∠AOE ＝∠OBF在△AOE 和△OBF 中，{∠OEA =∠BFO∠AOE =∠OBF OA =OB，∴△AOE ≌△OBF （AAS ），∴OE ＝BF ，AE ＝OF即OE +OF ＝AE +BF ＝CD ＝17（m ）∵EF ＝EM ﹣FM ＝AC ﹣BD ＝10﹣3＝7（m ），∴2EO +EF ＝17，则2×EO ＝10，所以OE ＝5m ，OF ＝12m ，所以OM ＝OF +FM ＝15m又因为由勾股定理得ON ＝OA ＝13，所以MN ＝15﹣13＝2（m ）．答：旗杆的高度OM 为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN 为2米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用，正确得出△AOE ≌△OBF 是解题关键．7．如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ，在△ABC 的顶点A ，C 处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A 向B 和由C 向A 爬行，经过t （s ）后，它们分别爬行到了D ，E 处，设DC 与BE 的交点为F ．（1）证明△ACD ≌△CBE ；（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC 与BE 所成的∠BFC 的大小有无变化？请说明理由．【分析】（1）根据小蚂蚁的速度相同求出AD ＝CE ，再利用“边角边”证明△ACD 和△CBE 全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠EBC ＝∠ACD ，然后表示出∠BFC ，再根据等边三角形的性质求出∠ACB ，从而得到∠BFC ．【解答】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A 、C 出发，速度相同，∴t （s ）后两只小蚂蚁爬行的路程AD ＝CE ，∵在△ACD 和△CBE 中，{AD =CE ∠A =∠ACB AC =CB，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）；（2）解：∵△ACD ≌△CBE ，∴∠EBC ＝∠ACD ，∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，＝180°﹣∠ACB，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝60°，∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BFC无变化．【点评】本题考查了全等三角形的应用，主要利用了全等三角形对应角相等的性质，等边三角形的性质，根据小蚂蚁的速度相同求出AD＝CE是证明三角形全等的关键．8．如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：（1）请你求出另一旗杆BD的高度；（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？【分析】（1）首先证明△CAM≌△MBD，可得AM＝DB，AC＝MB，然后可求出AM的长，进而可得DB长；（2）利用路程除以速度可得时间．【解答】解：（1）∵CM和DM的夹角为90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠DBA ＝90°，∴∠2+∠D ＝90°，∴∠1＝∠D ，在△CAM 和△MBD 中，{∠A =∠B∠1=∠D CM =MD，∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM ＝DB ，AC ＝MB ，∵AC ＝3m ，∴MB ＝3m ，∵AB ＝12m ，∴AM ＝9m ，∴DB ＝9m ；（2）9÷0.5＝18（s ）．答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△CAM ≌△MBD ，掌握全等三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．9．小强为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝36°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝54°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB 是多少米？【分析】根据题意可得△CPD ≌△P AB （ASA ），进而利用AB ＝DP ＝DB ﹣PB 求出即可．【解答】解：∵∠CPD ＝36°，∠APB ＝54°，∠CDP ＝∠ABP ＝90°，∴∠DCP ＝∠APB ＝54°，在△CPD 和△P AB 中∵{∠CDP =∠ABPDC =PB ∠DCP =∠APB，∴△CPD ≌△P AB （ASA ），∴DP ＝AB ，∵DB ＝36，PB ＝10，∴AB ＝36﹣10＝26（m ），答：楼高AB 是26米．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD ≌△P AB 是解题关键．10．如图是小磊家的两个房间甲与乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA ，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB ．（1）当他在甲房间时，测得MA ＝a ，NB ＝b ，求甲房间的宽AB ；（2）当他在乙房间时，测得MA ＝c ，NB ＝d ，且∠MP A ＝75°，∠NPB ＝45°①求∠MPN 的度数；②求乙房间的宽AB ．【分析】（1）证明△AMP ≌△BPN ，从而得到MA ＝PB ＝a ，P A ＝NB ＝b ，即可求出AB ＝P A +PB ＝a +b ；（2）①根据平角的定义即可求出∠MPN ＝60°；②根据PM ＝PN 以及∠MPN 的度数可得到△PMN 为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN ，MP 的长，可得到房间宽AB 和AM 长相等．【解答】解：（1）∵∠MPN ＝90°，∴∠APM +∠BPN ＝90°，∵∠APM +∠AMP ＝90°，∴∠AMP ＝∠BPN ．在△AMP 与△BPN 中，{∠AMP =∠BPN∠MAP =∠PBN =90°MP =PN，∴△AMP ≌△BPN ，∴MA ＝PB ＝a ，P A ＝NB ＝b ，∴AB ＝P A +PB ＝a +b ；（2）①∠MPN ＝180°﹣∠APM ﹣∠BPN ＝60°；②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．设AB＝x，且AB＝ND＝x．∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°．∵∠APM＝75°，∴∠AMP＝15°．∴cos15°=xMN=MAMP．∵△PNM为等边三角形，∴NM＝PM．∴x＝MA＝c．即乙房间的宽AB是c．【点评】此题考查了全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据PM＝PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键．11．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；（2）请模仿正方形情景下构造全等三角形的思路，利用构造全等三角形完成下题：如图2，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC ＝AE ，求BE 的长（结果保留根号）．【分析】（1）由正方形的性质就可以得出△ADC ≌△ABE ，就可以得出CD ＝BE ；（2）在AB 的外侧作AD ⊥AB ，使AD ＝AB ，连结CD ，BD ，就可以得出△ADC ≌△ABE ，就有CD ＝BE ，在Rt △CDB 中由勾股定理就可以求出CD 的值，进而得出结论．【解答】解：（1）CD ＝BE ．理由：如图①∵四边形ABFD 和四边形ACGE 都是正方形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠CAE ＝90°，∴∠DAB +∠BAC ＝∠CAE +∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中，{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ；（2）如图②，在AB 的外侧作AD ⊥AB ，使AD ＝AB ，连结CD ，BD ，∴∠DAB ＝90°，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°．∵∠ABC ＝45°，∴∠ABD +∠ABC ＝45°+45°＝90°，即∠DBC ＝90°．∴∠CAE ＝90°，∴∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB +∠BAC ＝∠CAE +∠BAC ，即∠DAC ＝∠BAE ．在△ADC 和△ABE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE，∴△ADC ≌△ABE （SAS ），∴CD ＝BE ．∵AB ＝100m ，在直角△ABD 中，由勾股定理，得BD ＝100√2．∴CD =√1002+(100√2)2=100√3，∴BE ＝CD ＝100√3，答：BE 的长为100√3米．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．12．如图，在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A 向B和由C 向A 爬行，经过7分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，设DC 与BE 的交点为点F ．（1）求证：△ACD ≌△CBE ；（2）蜗牛在爬行过程中，DC 与BE 所成的∠BFC 的大小有无变化？请证明你的结论．【分析】（1）根据SAS 即可判断出△ACD ≌△CBE ；（2）根据△ACD ≌△CBE ，可知∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠BCD ＝180°﹣∠ACD ﹣∠BCD ．【解答】（1）证明：∵AB ＝BC ＝CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE ＝AD ；∠A ＝∠BCE ＝60°，在△ACD 与△CBE 中，{AC =CB ∠A =∠BCE CE =AD，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）；（2）解：DC 和BE 所成的∠BFC的大小不变．理由如下：∵△ACD ≌△CBE ，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠BCD ＝180°﹣∠ACD ﹣∠BCD ＝120°．【点评】本题考查全等三角形的应用及等边三角形的性质，难度适中，求解第二问时找出∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠BCD ＝180°﹣∠ACD ﹣∠BCD 是关键．13．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足∠BAD＝2∠EAF关系时，仍有EF＝BE+FD．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝（40√3−40）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为40（√3+1）米．【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．【类比引申】延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△F AE≌△MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE＝AB＝80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD＝2∠EAF即可得出EF＝BE+FD．【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG ＝AE ，∠DAG ＝∠BAE ，DG ＝BE ，又∵∠EAF ＝45°，即∠DAF +∠BEA ＝∠EAF ＝45°，∴∠GAF ＝∠F AE ，在△GAF 和△F AE 中，{AG =AE ∠GAF =∠FAE AF =AF，∴△AFG ≌△AFE （SAS ）．∴GF ＝EF ．又∵DG ＝BE ，∴GF ＝BE +DF ，∴BE +DF ＝EF ．【类比引申】∠BAD ＝2∠EAF ．理由如下：如图（2），延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠D ＝180°，∠ABC +∠ABM ＝180°，∴∠D ＝∠ABM ，在△ABM 和△ADF 中，{AB =AD ∠ABM =∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ，∵∠BAD ＝2∠EAF ，∴∠DAF +∠BAE ＝∠EAF ，∴∠EAB +∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ，在△F AE 和△MAE 中，{AE =AE ∠FAE =∠MAE AF =AM，∴△F AE ≌△MAE （SAS ），∴EF ＝EM ＝BE +BM ＝BE +DF ，即EF ＝BE +DF ．故答案是：∠BAD ＝2∠EAF ．【探究应用】如图3，把△ABE 绕点A 逆时针旋转150°至△ADG ，连接AF ，过A 作AH ⊥GD ，垂足为H ．∵∠BAD ＝150°，∠DAE ＝90°，∴∠BAE ＝60°．又∵∠B ＝60°，∴△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝80米．根据旋转的性质得到：∠ADG ＝∠B ＝60°，又∵∠ADF ＝120°，∴∠GDF ＝180°，即点G 在 CD 的延长线上．易得，△ADG ≌△ABE ，∴AG ＝AE ，∠DAG ＝∠BAE ，DG ＝BE ，又∵AH ＝80×√32=40√3，HF ＝HD +DF ＝40+40（√3−1）＝40√3，故∠HAF ＝45°，∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF∴根据上述推论有：EF＝BE+DF＝80+40（√3−1）＝40（√3+1）（米），即这条道路EF的长为40（√3+1）．故答案是：40（√3+1）．【点评】此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明∠BAD＝2∠EAF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．14．如图，小强在河的一边，要测河面的一只船B与对岸码头A的距离，他的做法如下：①在岸边确定一点C，使C与A，B在同一直线上；②在AC的垂直方向画线段CD，取其中点O；③画DF ⊥CD 使F 、O 、A 在同一直线上；④在线段DF 上找一点E ，使E 与O 、B 共线．他说测出线段EF 的长就是船B 与码头A 的距离．他这样做有道理吗？为什么？【分析】首先证明△ACO ≌△FDO ，根据全等三角形的性质可得AO ＝FO ，∠A ＝∠F ，再证明△ABO ≌△FEO ，进而可得EF ＝AB ．【解答】解：有道理，∵DF ⊥CD ，AC ⊥CD ，∴∠C ＝∠D ＝90°，∵O 为CD 中点，∴CO ＝DO ，在△ACO 和△FDO 中{∠C =∠DCO =DO ∠AOC =∠DOF，∴△ACO ≌△FDO （ASA ），∴AO ＝FO ，∠A ＝∠F ，在△ABO 和△EOF 中{∠A =∠FAO =FO ∠AOB =∠FOE，∴△ABO ≌△FEO （ASA ），∴EF ＝AB ．【点评】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法和性质定理．15．如图，一个特大型设备人字梁，工人师傅要检查人字梁的AB 和AC 是否相等，但是他直接测量不方便，身边只有一个刻度尺（长度远远不够）．它是这样操作的：①分别在BA 和CA 上取BE ＝CG ；②在BC 上取BD ＝CF ；③量出DE 的长a 米，FG 的长b 米，如果a ＝b ，则说明AB 和AC 是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？【分析】利用全等三角形的判定方法得出△BDE ≌△CFG （SSS ），进而得出答案．【解答】解：合理，理由：在△BDE 和△CFG 中，{BE =CG BD =CF DE =FG，∴△BDE ≌△CFG （SSS ），∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意正确得出对应边相等是解题关键．16．如图，在等边△ABC 的顶点B 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别都以每分钟1个单位的速度由C 向A 和由B 向C 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、P 处，请问：（1）在爬行过程中，BD 和AP 始终相等吗？（2）在爬行过程中BD 与AP 所成的∠DQA 有变化吗？若无变化是多少度？【分析】（1）根据等边三角形性质得出∠CAB ＝∠C ＝∠ABP ＝60°，AB ＝BC ，根据SAS 推出△BDC ≌△APB 即可．（2）根据△BDC ≌△APB 得出∠CBD ＝∠BAP ，根据三角形外角性质求出∠DQA ＝∠ABC ，即可求出答案．【解答】解：（1）在爬行过程中，BD 和AP 始终相等，理由是：∵△ABC 是等边三角形，∴∠CAB ＝∠C ＝∠ABP ＝60°，AB ＝BC ，在△BDC 和△APB 中，{BC =AB ∠C =∠ABP CD =BP，∴△BDC ≌△APB （SAS ），∴BD ＝AP ．（2）蜗牛在爬行过程中BD 与AP 所成的∠DQA 大小无变化，理由：∵△BDC ≌△APB ，∴∠CBD ＝∠BAP ，∴∠DQA ＝∠DBA +∠BAP ＝∠DBA +∠CBD ＝∠ABC ＝60°，即蜗牛在爬行过程中BD 与AP 所成的∠DQA 大小无变化，始终是60°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质以及全等三角形的性质和判定的应用．注意证得△BDC≌△APB是关键．17．对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求CDAD的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）【分析】（1）依据△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=√2BC，由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，即可得到CD=√2AD，即CDAD=√2；（2）①由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2＝BP2+BC2，进而得出AP＝BC，再根据PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），进而得到∠CPH＝90°；②由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，进而得到CP平分∠BCE，故沿着过点C 的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE=12∠BCD＝45°，又∵∠B＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BCEC=cos45°=√22，即CE=√2BC，由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，∴CD=√2AD，∴CDAD=√2；（2）①设AD＝BC＝a，则AB＝CD=√2a，BE＝a，∴AE＝（√2−1）a，如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝AE＝（√2−1）a，设AP＝x，则BP=√2a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，∴AH2+AP2＝BP2+BC2，即[（√2−1）a]2+x2＝（√2a﹣x）2+a2，解得x＝a，即AP＝BC，又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH＝∠BCP，又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠APH+∠BPC＝90°，∴∠CPH＝90°；②折法：如图，由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；折法：如图，由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，又∵∠DCH＝∠ECH，∴∠BCP＝∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．18．如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB、AD的中点E、F处贴两根彩线EC 、FC ．（1）∠B 与∠D 相等吗？请说明理由；（2）求证：EC ＝FC ．【分析】（1）结论∠B ＝∠D ，只要证明△ABC ≌△ADC 即可．（2）欲证明EC ＝FC ，只要证明△EBC ≌△FDC ，或△ACE ≌△ACF 即可．【解答】（1）解：结论∠B ＝∠D ．理由：连接AC ．在△ACB 和△ACD 中，{AC =AC BC =CD AB =AD，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）∴∠B ＝∠D（2）∵点E 与F 分别是AB 、AD 的重点∴BE =12AB ，DF =12AD ，∵AB ＝AD∴BE ＝DF ，在△EBC 和△FDC 中，{BE =DF ∠B =∠D BC =DC，∴△EBC ≌△FDC （SAS ）∴EC ＝FC ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据条件正确寻找全等三角形解决问题，属于基础题．19．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，点D 是BC 上一点，连接AD ，过点A 作AG ⊥AD ，在AG 上取点F ，连接DF ．延长DA 至E ，使AE ＝AF ，连接EG ，DG ，且GE ＝DF ．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出AB CG 的值．【分析】（1）如图1中，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别在RT △ABH ，RT △AHC 中求出BH 、HC 即可．（2）如图1中，过点A 作AP ⊥AB 交BC 于P ，连接PG ，由△ABD ≌△APG 推出BD ＝PG ，再利用30度角性质即可解决问题．（3）如图2中，作AH ⊥BC 于H ，AC 的垂直平分线交AC 于P ，交BC 于M ．则AP ＝PC ，作DK⊥AB 于K ，设BK ＝DK ＝a ，则AK =√3a ，AD ＝2a ，只要证明∠BAD ＝30°即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，过点A 作AH ⊥BC 于H ． ∴∠AHB ＝∠AHC ＝90°，在RT △AHB 中，∵AB ＝2√2，∠B ＝45°，∴BH ＝AB •cos B ＝2√2×√22=2， AH ＝AB •sin B ＝2，在RT △AHC 中，∵∠C ＝30°，∴AC ＝2AH ＝4，CH ＝AC •cos C ＝2√3，∴BC ＝BH +CH ＝2+2√3．（2）证明：如图1中，过点A 作AP ⊥AB 交BC 于P ，连接PG ， ∵AG ⊥AD ，∴∠DAF ＝∠EAC ＝90°，在△DAF 和△GAE 中，{AF =AE DF =EG， ∴△DAF ≌△GAE ，∴AD ＝AG ，∴∠BAP ＝90°＝∠DAG ，∴∠BAD ＝∠P AG ，∵∠B ＝∠APB ＝45°，∴AB ＝AP ，在△ABD 和△APG 中，{AB =AP ∠BAD =∠PAG AD =AG，∴△ABD ≌△APG ，∴BD＝PG，∠B＝∠APG＝45°，∴∠GPB＝∠GPC＝90°，∵∠C＝30°，∴PG=12GC，∴BD=12CG．（3）如图2中，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP＝PC，在RT△AHC中，∵∠ACH＝30°，∴AC＝2AH，∴AH＝AP，在RT△AHD和RT△APG中，{AH=APAD=AG，∴△AHD≌△APG，∴∠DAH＝∠GAP，∵GM⊥AC，P A＝PC，∴MA＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠MAH＝30°，∴∠DAM＝∠GAM＝45°，∴∠DAH＝∠GAP＝15°，∴∠BAD＝∠BAH﹣∠DAH＝30°，作DK⊥AB于K，设BK＝DK＝a，则AK=√3a，AD＝2a，∴ABAD=a+√3a2a=√3+12，∵AG＝CG＝AD，∴ABCG=√3+12．【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、线段垂直平分线性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会设参数解决问题，属于中考压轴题．20．如图，A，B，C，D，E，F，M，N是某公园里的8个独立的景点，D，E，B三个景点之间的距离相等；A，B，C三个景点距离相等．其中D，B，C在一条直线上，E，F，N，C在同一直线上，D，M，F，A也在同一条直线上．游客甲从E点出发，沿E→F→N→C→A→B→M游览，同时，游客乙从D点出发，沿D→M→F→A→C→B→N游览．若两人的速度相同且在各景点游览的时间相同，甲、乙两人谁最先游览完？请说明理由．【分析】根据等边三角形的性质求出∠ABD＝∠CBE，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AD，全等三角形对应角相等可得∠BDA＝∠BEC，再利用“角边角”证明△MBD和△NBE全等，根据全等三角形对应边相等可得BM＝BN，然后求出两人游览路线长度相同．【解答】答：甲、乙两人同时浏览完．理由如下：∵D ，E ，B 三个景点之间距离相等，∴BD ＝BE ＝DE ．∴△BDE 是等边三角形．∴∠DBE ＝60°．同理，△ABC 也是等边三角形，∠ABC ＝60°．∴∠ABE ＝180°﹣∠DBE ﹣∠ABC ＝60°．∴∠DBE ＝∠ABC ＝∠ABE ．∴∠ABD ＝∠ABE +∠DBE ，∠CBE ＝∠ABE +∠ABC ．∴∠ABD ＝∠CBE ．在△ABD 和△CBE 中，{AB =CB∠ABD =∠CBE BD =BE，∴△ABD ≌△CBE （SAS ）．∴CE ＝AD ，∠BDA ＝∠BEC ．在△MBD 和△NBE 中，{∠BDA =∠BEC∠DBE =∠ABE BD =BE，∴△MBD ≌△NBE （ASA ）．∴BM ＝BN ．∴EC +AC +AB +BM ＝AD +AC +BC +BN ．∴沿E →F →N →C →A →B →M ，D →M →F →A →C →B →N 的距离相等，所以甲、乙两人同时浏览完．【点评】本题考查了全等三角形的应用，等边三角形的性质，利用两次三角形全等证明得到BM ＝BN是解题的关键．。