下载文档原格式
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
二次函数与等边三角形的存在性问题引言本文旨在研究二次函数与等边三角形的存在性问题。
通过了解二次函数和等边三角形的定义和性质，我们将探讨它们之间是否存在关联，并通过简单的策略来解决这个问题。
二次函数的定义和性质二次函数是一种具有形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是实数，且 $a \neq 0$。
二次函数的图像通常是一个抛物线，可向上开口（当 $a > 0$）或向下开口（当 $a < 0$）。
二次函数的图像关于其顶点对称。
等边三角形的定义和性质等边三角形是一种具有三条边长度相等的三角形。
等边三角形的内角均为 $60^\circ$。
等边三角形也可以看作是一个正三角形。
二次函数与等边三角形的关联分析我们将研究二次函数与等边三角形的存在性问题，即我们要找到一个二次函数，使得它的图像与一个等边三角形的图像重合。
根据二次函数的性质，我们知道它的图像总是是一个抛物线，而等边三角形的图像是正三角形。
由此可见，单纯的二次函数是不可能与等边三角形相重合的。
然而，我们可以采用一些简单的策略来实现这一目标。
例如，我们可以将二次函数进行线性变换，使得抛物线的形状与正三角形更加接近。
通过适当的调整函数的参数，我们能够使得抛物线的顶点位置和曲线开口方向与等边三角形完全相匹配。
这样，我们就能够找到一个满足题设的二次函数，使其图像与等边三角形的图像重合。
结论通过简单策略的运用，我们可以找到一个二次函数，使其图像与等边三角形的图像重合。
这个问题的关键在于适当调整二次函数的参数，以使其图像的形状与等边三角形完全相匹配。
通过这种方法，我们可以解决二次函数与等边三角形的存在性问题。
参考文献:。
⼆次函数中的存在性问题⼆次函数中的存在性问题存在性问题是指判断满⾜某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖⾯较⼴，综合性较强，题意构思⾮常精巧，解题⽅法灵活，对学⽣分析问题和解决问题的能⼒要求较⾼，是近⼏年来各地中考的“热点”。
这类题⽬解法的⼀般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出⽭盾，就做出“不存在”的判断。
以下⼏篇内容为⼏种典型的⼆次函数中出现的存在性问题，希望⼤家在以后的学习中如果遇到此类型时能够轻松解决。
⼀、特殊三⾓形的存在性问题（⼀）⼆次函数中的等腰三⾓形存在性问题如果△ABC是等腰三⾓形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．因此，解等腰三⾓形的存在性问题时，通常要进⾏分类讨论。
这类问题有⼏何法和代数法两种⽅法，我们要根据具体情况灵活选择简便的⽅法。
⼏何法⼀般分三步：分类、画图、计算．代数法⼀般也分三步：罗列三边长，分类列⽅程，解⽅程并检验．（⼆）⼆次函数中的直⾓三⾓形存在性问题如果△ABC是直⾓三⾓形，那么存在①∠A为直⾓，②∠B为直⾓，③∠C为直⾓三种情况．因此，解直⾓三⾓形的存在性问题时，通常要进⾏分类讨论。
这类问题有⼏何法和代数法两种⽅法，我们要根据具体情况灵活选择简便的⽅法。
⼏何法⼀般分三步：分类、画图、计算．代数法⼀般也分三步：罗列三边长，分类列⽅程，解⽅程并检验．（三）⼆次函数中的等腰直⾓三⾓形存在性问题在解决等腰直⾓三⾓形存在性问题时，往往要⽤到⼏何和代数相结合的⽅法，设出点的坐标后，利⽤等腰直⾓三⾓形的⼏何性质及函数关系式列⽅程求解，最常⽤到的有：①两直⾓边相等，直⾓边与斜边的⽐为1：√2；②斜边中线垂直于斜边，且等于斜边的⼀半。
③直⾓顶点处构造三垂直，得到全等三⾓形，利⽤对应边的等量关系求解。
4二次函数与三角形存在性问题(2-3次课)(总17页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次函数与三角形存在性问题一、等腰三角形的存在性问题例1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形若存在，请求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由。
巩固练习 1、如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知A(3,0)，且M(1,38 )是抛物线上另一点。
连接，设点是轴上任一点，若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标。
2、如图1，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）当<x<3时，在抛物线上求一点，使△CBE的面积有最大值。
（图2、图3供画图探究）二、直角三角形存在性例2、如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形若存在，直接写出满足条件的所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．巩固练习1、如图，抛物线＝－x2＋2x＋3与x轴交于B、E两点，与y轴交于A 点．点P是直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，是否存在点P，使△PAE为直角三角形若存在，求出t的值；若不存在，说明理由2、如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点为抛物线的顶点,点B在x轴上.若点Q是y轴上一点,且为直角三角形,求点Q的坐标.三、等腰直角三角形存在性例3、在平面直角坐标系中,抛物线3-x与x轴交于A,B两点(A在=x2y2+-B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点A,C,D的坐标;(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;(3)(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.巩固练习1、如图,抛物线bx=2经过A(4,0),B(1,3)两点,点B、C关于抛物线的y+ax对称轴l对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,是否存在这样的点M、N,使得以点M为直角顶点△CNM是等腰直角三角形若存在,请求出点M、N的坐标;若不存在,请说明理由.2、如图,已知直线3y与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物=x+-线c-+=2经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以bxxy+每秒1个单位的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.3、(1)求抛物线的解析式;4、(2)问:当t为何值时,△APQ为等腰直角三角形;四、全等三角形的存在性问题例4、如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上一点，恰使△MOA≌△MOB，求点M的坐标；巩固练习如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点为抛物线的顶点,点B在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使与全等若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;五、相似三角形的存在性问题例5、如图，直线与轴、轴分别相交于点、，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为，且对称轴为直线2=x 。
二次函数压轴题之全等三角形的存在性（讲义） 课前预习1.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2，1)，点B坐标为(3，0)，点D为平面直角坐标系中任一点（与点O，A，B不重合）．（1）△AOB和△DOB的公共边为_________．（2）若△DOB与△OAB全等，则点D的坐标为_________．（3）在下图中画出可能的△DOB，并考虑与△AOB之间的联系．知识点睛全等三角形存在性的处理思路1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2.画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解．3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 精讲精练1.如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线C1的解析式．（2）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M(a，b)，对称轴与x轴交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）2.如图，抛物线213442y x x =-++与x 轴的一个交点为A (-2，0)，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点B ．若点D 在x 轴上，点P 在抛物线上，使得△PBD ≌△PBC ，则点P 的坐标为_____________________________________．3.如图，抛物线21382y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过原点O ，与抛物线的一个交点为D (6，-8)，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ．若点F 在抛物线上，使△FOE ≌△FCE ，则点F 的坐标为____________．4.如图，抛物线21(2)62y x =--+与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，顶点为M ．设点Q 是y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q 的直线QE 与y 轴交于点E ，使得以O ，Q ，E 为顶点的三角形与△OQD 全等，则直线QE 的解析式为_______________．5.如图，在平面直角坐标系中，直线l1过点A(1，0)且与y轴平行，直线l2过点B(0，2)且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数ky（k＞0）的图象x过点E且与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值．（2）连接EF．是否存在点E及y轴上的点M，使得以M，E，F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】课前预习1.（1）OB（2）(2，-1)，(1，1)，(1，-1)（3）略精讲精练1.（1）y =-x 2+2x +3；（2）a =7，b =2或a =7，b =-2或a =-1，b =2或a =-1，b =-2或a =1，b =-4或a =5，b =-4或a =5，b =4．2.(1418241)-+-+，，(1418241)----，，126(426)2-+-，，126(426)2--+，3.(3174)+-，或(3174)--， 4.122y x =+或71724y x -+=-或y =65.（1）2；（2）3(2)8，或8(2)3，．。
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A、B两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A、B两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。
二次函数与相似三角形、全等三角形及等角的存在性问题（一）、相似三角形的存在性问题：1、如图,直线y=−x+3与x轴、y轴分别相交于点B. C,经过B. C两点的抛物线cbxaxy++=2与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2.(1)、求该抛物线的解析式；(2)、连接PB、PC，求△PBC的面积；(3)、连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线y＝x2﹣x交于A、B两点．（1）、直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；（2）、点P在抛物线上，当k＝﹣时，解决下列问题：①、在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②、连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－3与抛物线y＝x2＋mx＋n相交于两个不同的点A、B，其中点A在x轴上．(1)、则A点坐标为▲；(2)、若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；(3)、在(2)条件下，设该抛物线与x轴的另一个交点为C，请你探索在平面内是否存在点D，使得△DAC与△DCO相似？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．4、已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(−3,0)和点B(1,0),与y轴相交于C(0,−3m)(m>0)，顶点为点D.(1)、求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示)；(2)、如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；(3)、如图②，当m取何值时，以A. D. C三点为顶点的三角形与△OBC相似?5、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）、求抛物线的表达式；（2）、D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）、抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）、求抛物线的解析式；（2）、点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，交x轴于点F，设E的横坐标为m，请用含m的代数式表示线段EM的长；（3）、在（2）的条件下，若B，E，M为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出m的值．7、如图所示抛物线2y x bx c =++经过A 、B 两点，A 、B 两点的坐标分别为（-1,0）、（0，-3） （1）、求抛物线的解析式；（2）、点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点D 为y 轴上一点，且DC=DE ，求出点D 的坐标；（3）、在（2）的条件下，在直线DE 上存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标。
例题示范先填写思路分析；再对比过程示范例1：如图，已知直线y =kx -6与抛物线y =ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，且点A (1，-4)为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，F 是y 轴上一动点，在y 轴右侧的抛物线上是否存在一点P ，使△POE 与△POF 全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】①将A (1，-4)代入y =kx -6，可以求出k =___，直线解析式为________；再由直线解析式可知点B _____．已知抛物线顶点A (1，-4)，设顶点式_____________，又因为点B 也在抛物线上，所以可求得抛物线解析式__________________．②研究抛物线解析式，可知点C (，)，研究直线解析式可知D (，)．（注意有无特殊角）【过程示范】解：（1）将A (1，-4)代入y =kx -6，得k =2∴y =2x -6令y =0，解得，x =3∴B (3，0)由点A (1，-4)是抛物线的顶点，设y =a (x -1)2-4，二次函数压轴题之全等三角形的存在性（习题）把B(3，0)代入，解得，a=1∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3第二问：全等三角形的存在性【思路分析】①分析不变特征：先研究定点、动点，其中_________为定点，动点为_______________；进一步在两个三角形中进行研究，发现定线段_____，所以两个三角形都不确定．②考虑形成因素，画图，求解：三角形形状不明确，则考虑两个三角形的对应关系：注意到△POE与△POF有公共边，则OP和OP应该是一组_______，则OE要么和_____对应，要么和______对应．I当OE与OF对应，此时根据OE=OF=___，能找到合适的___个点F的位置，分别记为F1，F2（x轴上方为F1）．①考虑E，F1，O，P四点组成的△OPE和△OPF1，此时，这两个三角形满足：OE=OF1，OP=OP，要想全等，只需满足这两组对应边的夹角相等即可．可确定OP为∠EOF1的________．②考虑E，F2，O，P四点组成的△OPE和△OPF2，此时，这两个三角形满足：OE=OF2，OP=OP，要想全等，只需满足这两组对应边的夹角相等即可．则确定OP为∠EOF2的________．II当OE与PF对应，此时，这两个三角形满足：OE=PF，OP=OP，考虑两种情况：①当OE，PF在OP的异侧时，要想全等，只需满足这两组对应边的夹角相等即可．若这两个角相等，说明___∥___，则此时四边形OEPF为__________，借助其特征，可求出点P．②当OE，PF在OP的同侧时，要想全等，需满足两组对应边的夹角相等即可，此时可进一步分析可得四边形OEFP为等腰梯形，结合点P的范围，在y轴右侧的抛物线上，此种情况不存在符合题意的点P．③结果验证：考虑点P还要在y轴右侧的抛物线上，将点P 代入抛物线解析式验证．【过程示范】I 当△POE ≌△POF 时，OE =OF =1∴F 1(0，1)，F 2(0，-1)①当OF 1=OE 时，此时∠F 1OP =∠EOP ，则l OP ：y =x∴223y x y x x =⎧⎨=--⎩则32123212x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或32123212x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（舍）∴P 1(3212+，3212+)②当OF 2=OE 时，此时∠F 2OP =∠EOP ，则l OP ：y =-x∴223y x y x x =-⎧⎨=--⎩则11321132x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩或11321132x y ⎧-=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩（舍）∴P 2(1132+，1132--)II 当△POE ≌△OPF 时，当OE ，PF 在OP 的异侧时，分析可得四边形OEPF 为平行四边形（矩形），此时，P 与A 重合，P 3(1，-4)．当OE ，PF 在OP 的同侧时，分析可得四边形OEFP 为等腰梯形，此时不存在符合题意的点P ．综上，点P 的坐标为(3212+，3212+)，(1132+，1132--)，(1，-4)．巩固练习1.已知抛物线23632y x bx =++经过点A (2，0)，顶点为P ，与x 轴的另一交点为B ．（1）求b 的值及点P ，点B 的坐标．（2）如图，在直线3y x =上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在，请求出点M 的坐标；如果不存在，试说明理由．2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-6，0)，B(2，0)和C(0，3)，点D是该抛物线的顶点，AC，OD相交于点M．（1）求点D的坐标．（2）在x轴下方的平面内是否存在点N，使△DBN与△ADM 全等？若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．63.已知抛物线212y x bx c =-++过点(-6，-2)，与y 轴交于点C ，且对称轴与x 轴交于点B (-2，0)，顶点为A ．（1）求该抛物线的解析式和点A 的坐标．（2）若点M 是第二象限内该抛物线上的一个动点，经过点M 的直线MN 与y 轴交于点N ，是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△OMB 全等？若存在，请求出直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．思考小结回顾全等三角形存在性问题的处理流程：分析不变特征：从顶点入手，分析定点、动点，在两个三角形中逐层分析确定的角、边长，把公共边作为对应边．分析形成因素：根据分析得到的不变特征，结合两个三角形全等的判定，同时考虑两个三角形出现的对应关系，综合在一起分析．画图求解：根据上面的分析，画出符合题意的图形，结合图形特征，设计方案．结果验证：回归点的运动范围进行验证；估算数值，结合图形进行验证．【参考答案】例题示范第一问思路分析：①2；y =2x -6；(3，0)；y =a (x -1)2-4；y =x 2-2x -3②(0，-3)；(0，-6)第二问思路分析：①O ，E ；P ，F ；OE②对应边；OF ；PFI 1；两；①角平分线；②角平分线；II OE ；PF ；矩形巩固练习1.（1）43b =-，(423)P -，，B (6，0)；（2）存在，(223)D ，，理由略．（3）存在，16103()39M -，，理由略．2.（1）D (-2，4)；（2）存在，24()55N -，，理由略．3.（1）21242y x x =--+，A (-2，6)；（2）存在，122y x =-+或y =6，理由略．。
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识y）Q（x2，，1、坐标系中或抛物线上有两个点为P（x1，y）xx?21?x2线段对称轴是直线(1)22 (2)AB两点之间距离公式：)y(yx?x)??PQ?(2121x?xy?y??2121,??????22yQx,Px,y,??中点公式：已知两点为，则线段PQ的中点M。
2112y?kx?by?kx?b与、两直线的解析式为2 2112k?k??1如果这两天两直线互相垂直，则有213、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2，，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时，L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
页 1 第判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A、B两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A、B两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。
二次函数全等三角形问题解决方法嘿，咱今儿就来唠唠这二次函数和全等三角形的问题解决办法。
你说这俩家伙，一个是函数里的翘楚，一个是三角形里的明星，它们凑到一块儿，还真有点让人头疼呢！先来说说二次函数吧。
那图像，就像个调皮的曲线，一会儿上，一会儿下，变化多端。
要想搞定它，咱得先弄清楚它的那些关键要素，什么顶点啊，对称轴啊，开口方向啊。
这就好比了解一个人的性格特点，知道了这些，才能更好地和它打交道嘛！然后呢，计算的时候可不能马虎，一个数字错了，那可就谬之千里啦！再讲讲全等三角形。
全等三角形那可是相当严格的，边边边、角角边、边角边，这些条件一个都不能少。
就好像给三角形定了个铁规矩，必须得完全符合才行。
有时候找全等的条件就像在玩捉迷藏，得仔细去发现那些隐藏的线索。
那遇到二次函数和全等三角形一起出现的问题咋办呢？这就像是一场综合格斗赛，得把两者的技巧都用上。
比如说，通过二次函数的某些条件求出一些边长或者角度，然后再用这些去判断全等三角形的条件是否满足。
这可需要咱有一双敏锐的眼睛和一个灵活的大脑哦！咱举个例子吧，假设有个二次函数的图像，上面有两个点，然后又有两个三角形，让咱判断它们是不是全等。
这时候，咱就得先从二次函数里挖出有用的信息，比如那两个点的坐标，通过坐标算出边长或者角度啥的。
然后再和三角形的条件一对比，嘿，说不定全等的答案就出来啦！哎呀，是不是感觉挺有意思的？其实啊，数学就是这样，看似复杂，只要咱用心去钻研，就一定能找到解决问题的办法。
就像爬山一样，虽然过程有点累，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值啦！所以啊，别害怕这二次函数和全等三角形的问题，大胆地去尝试，去探索。
每次解决一个问题，就像攻克了一个小堡垒，那种成就感，别提多棒啦！你想想，当你轻松地搞定这些难题，别人投来羡慕的眼光时，你心里得多美呀！总之呢，对于二次函数全等三角形问题，咱要有耐心，有细心，还要有信心。
相信自己一定能行，加油吧！让我们在数学的海洋里尽情遨游，享受解题的乐趣！。
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A、B两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A、B两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。
