专题25 全等三角形的存在性
破解策略
全等三角形的存在性问题的解题策略有：
（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固
定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解．
（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应
相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．
例题讲解
例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可列方程组
4240
3
2
a b
b
a
-+=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
，解得
1
4
3
2
a
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
所以抛物线的表达式为213
442
y x x =-++．
（2）显然OA ＝2， OB ＝3， OC ＝4． 所以225BC OB OC BA =+==． 若△P BD ≌△PBC ，则BD ＝ BC ＝5，PD ＝PC
所以D 为抛物线与x 轴的左交点或右交点，点B ，P 在CD 的垂直平分线上， ①若点D 为抛物线与 x 轴的左交点，即与点A 重合．
如图1，取AC 的中点E ，作直线BE 交抛物线于P 1（x 1，y 1），P 2（x 2．y 2）两点． 此时△P 1BC ≌△P 1BD ，△P 2BC ≌△P 2 B D ．
由A 、C 两点的坐标可得点E 的坐标为（－1，2）． 所以直线BE 的表达式为1322
y x =-+．
联立方程组21322
13442y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
，解得114261262x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，224261262x y ⎧=+⎪⎨--=
⎪⎩ ． 所以点P 1，P 2的坐标分别为（4一26，
1262
-+）．（4＋26，1262--）．
②若D 为抛物线与x 轴的右交点，则点D 的坐标为（8，0）． 如图2，取CD 的中点F ．作直线BF 交抛物线于P 3（x 3，y 3），P 4（x 4，，y 4）两点． 此时△P 3BC ≌△P 3BD ，△P 4BC ≌△P 4 B D ．
由C 、D 两点的坐标可得点F 的坐标为（4，2）， 所以直线BF 的表达式为y ＝2x －6．
联立方程组22613
442y x y x x =-⎧⎪
⎨=-++⎪⎩
，解得331418241x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，441418241x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩ 所以点P 3，P 4的坐标分别为（－1＋41，－8＋241），（ －1－41，－8－241）， 综上可得，满足题意的点P 的坐标为（426126-+），（426126
--，
（－1418＋41）或（－1418－41）．
（3）由题意可设点M （0，m ），N （3，n ），且m ＞0，
则AM 2＝4＋m 2，MN 2＝9＋（m －n ）2，BN 2＝n 2． 而∠AMN ＝∠ABN ＝900
， 所以△AMN 与△ABN 全等有两种可能： ①当AM ＝AB ，MN ＝BN 时，
可列方程组222
4259()m m n n
⎧+=⎪
⎨+-=⎪⎩，解得1121521m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩2221521m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（舍）， 所以此时点M 的坐标为（021）．
②当AM ＝NB ，MN ＝BA 时，可列方程组：222
49()25
m n
m n ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩·
解得11
3252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
，2232
52
m n ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）
所以此时点M 的坐标为（0，
3
2
）． 综上可得，满足题意的点M 的坐标为（0，21）或（0，
32
）． 例2 如图，在平面直角坐标系xoy 中，△ABO 为等腰直角三角形，∠ABO ＝ 900
，点A 的坐标为（4．0），点B 在第一象限．若点D 在线段BO 上，OD ＝ 2DB ，点E ，F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标．
图1 图2 解： 由题意可得OA ＝4，从而OB ＝AB ＝22．所以OD ＝23OB ＝423，BD ＝13
OB ＝223．
①当点F 在OA 上时，
（ⅰ）若△DFO ≌△DFE ，点E 在OA 上．如图1．
此时DF ⊥OA ，所以OF ＝
22OD ＝43，所以OE ＝2OF ＝83，即点E 的坐标为（8
3
，0）． （ⅱ）若△DFO ≌△DFE ，点F 在AB 上，如图2．
此时ED ＝OD ＝2BD ，所以sin ∠BED ＝BD ED ＝12
；所以∠BED ＝300
， 从而BE ＝3BD ＝
26，AE ＝6226
-． 过点E 作EG ⊥OA 于点G ．则EG ＝AG ＝2AE ＝23
2-， 所以OG ＝232+，即点E 的坐标为（232+，23
2-）．
图3 图4
（ⅲ）若△DFO ≌△FDE ，点E 在AB 上，如图3．
