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辅助函数法 逆向分析
例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) f (a) f ( )(b a)
要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 .
方法1. 直观分析 由图可知 , 设辅助函数
y f (x)
y
F(x) f (x) f (b) f (a) x C ba
(C 为任意常数 )
即
x2
sin
1 x
(
2
sin
1
cos
1
)
x,
(0, x)
cos
1
2
sin
1
x
sin
1 x
当
x
0
时
0 ,
因此由上式得
cos
1
0.
问是否可由此得出
lim
x0
cos
1 x
0
?
不能 ! 因为 (x) 是依赖于 x 的一个特殊的函数.
x 0表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .
证： f (x) 0, f (x) 单调递增，
(2007 考研）
f (1) f (2) , f (2) f (1) f (1) 0 , 1 (1, 2) f (x) f (1) 0 , x 1 f (n) f (2) f (2)(n 2) f ( ) (n 2)2 (2,n)
f (b) g(b)
h(x)
f (a) g(a) h(a)
f (b) g (b) h(b)
f (x) g(x) h(x)
显然 F(x) 在[a , b] 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且
F(a) F(b) 0, 因此,由罗尔定理知至少存在一点
gf ((aa())a
h(a)
,
bgf)((,bb使))
1 2
f ()
(1 x)2
1 2
f ( ) x2
(1 x)2 x2 1 2 x(1 x) 1, x [0, 1]
例6. 设函数 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且满足 f (x) 0, f (1) f (2), 证明序列{ f (n)}发散.
g(a) h(a)
g(b) h(b)
f ( )
f (a) h(a)
f (b) h(b)
g( )
f (a) g(a)
f (b) g(b)
h( )
利用逆向思维设辅助函数
F(x)
g(a) h(a)
g(b) h(b)
f (x)
f (a) h(a)
f (b) h(b)
g(x)
f (a) g(a)
得
f (x) f (x0) f ( )(x x0)
( 界于 x0 与x 之间)
f (x) f (x0) f ( )(x x0)
f (x0) f ( ) x x0 f (x0) M (b a)
令 K f (x0) M (b a), 则对任意 x (a ,b),
在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
条件, 则中值 _3__145__ .
2) 设
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 上.
例2. 思考: 在
上对函数
应用拉格朗日中值定理得
f (x) f (0) f ( )(x 0), (0, x)
g(b) g(a) 原函数法 F(x) f (x) f (b) f (a) g( x)
g(b) g(a)
(3) 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此 可适当减弱. (如p85例13)
设 在 内可导,且 f (a 0) f (b 0),
则至少存在一点
使
证:
设辅助函数
证：逆向分析做辅助函数
设辅助函数 (x) xn f (x) 显然 (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件, 因此至少存在 (0,1) , 使得
( ) n n1 f ( ) n f ( ) 0
即
例2. 设函数 f (x)在 [0,1] 上二阶可导, 且
若取 h(x) 1, g(x) x , 即为拉格朗日中值定理;
若取 h(x) 1, g(x) 0, 即为柯西中值定理;
( 自己验证 )
2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
3. 中值定理的主要解题方法
2! f (2) f (2)(n 2) n 故序列 { f (n)} 发散.
第六讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
2. 证明有关中值问题的结论
例1 设 f (x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证，存在 (0,1),使
例3. 当 x 0 时, 试证
(p76例2)
x 1 x 1
( 1 (x) 1 )
2 x (x) 4
2
证: 设 f (t) t , 当 x 0 时, f (t) 在[x , x 1] 上
满足拉氏中值定理条件, 因此有
x 1 x 1
(0 (x) 1)
分析: n
在f n结1(论 )中f (换 )
f (1为
x),得f
n
(
)
f
(1
)
0
n f (x) f 因(x) f
n (ff)((1f1(1xx))
积分
) 0,
所nfln以n (fx()xnf)f(f1(()xl)n) f
2 x (x)
解出 (x) 1 1 ( x(x 1) x ) , 则 x 0 时
42
(x) 1 2x 1 1 1
2 2 x(x 1)
2
x
1 2
1 0
(x
1 2
)
2
1 4
(x) 1 1 ( x(x 1) x ) , (x) 0
内可导,
且
但当
时
求证对任意
自然数 n , 必有 (0, 1) , 使 n f ( ) f (1 ) f ( ) f (1 )
证: 两边积分设辅助函数 F(x) f n(x) f (1 x) 显然 F (x) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件, 因此必有
(0, 1) , 使 F( ) 0, 即
第五讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
第二章第二节
微分中值定理
一. 方法指导
1. 微分中值定理的理解及它们之间的关系
(1) 几个中值定理的关系
罗尔定理 f (a) f (b) 拉格朗日中值定理
f ( ) 0
yF (x) y xf (x) f (a) f (b)
柯o 西a 中值b定x理
oa b x
y
x C f (b) f (a) ba
方法2. 逆向分析 要证 即证
F(x) f (x) f (b) f (a) ba
原函数法 F(x) f (x) f (b) f (a) x
ba 辅助函数
同样, 柯西中值定理要证
即证 设 F(x) f (x) f (b) f (a) g(x)
罗分尔析定: 理在条结件论,中将故必 存换在为
x
,得(
,1) ,
使
F (
)
0
即有f (x) f (x)
2
f1(x)
积分
21f(l(n)1,fx()x2)(f(,x1))2lnC((10,1)x) ln
C
例3. 设函数
在 上连续, 在
(4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为恒等式 , 先证变式导数为 0 , 再利用 特殊点定常数 .
(6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的 技巧.
二. 实例分析 1.对微分中值定理的理解
例1. 填空题 1) 函数
42
又因 (0) 1
4
() lim
11(
x 4 2
x(x 1) x )
1 1 lim
x
1
4 2 x x(x 1) x 2
及 (x) 在 [0, ) 单调递增 , 于是 1 (x) 1 .
4
2
说明: 中值定理只告诉位于区间内的中值存在 , 一般 不能确定其值 , 此例也只给出一个最好的上下界 .
第六讲(一元微分学之二)
微分中值定理
及其应用
微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
例4. 设函数 在 内可导, 且
证明 在
内有界. (p77例3)
证: 取点 x0 (a ,b), 再取异于 的点 x (a ,b),
对 f (x)在以x0 , x 为端点的区间上用拉氏中值定理
F(x)
f f
(a 0), (x) ,
xa a xb
f (b 0) , x b
显然 在
上连续, 在
内可导, 由罗尔
定理可知 , 存在一点
使 F( ) 0 , 即
f ( ) 0 .
(4) 中值定理的统一表达式
