人教版初中数学不等式与不等式组知识点及习题总汇-

（文末附答案）人教版初中数学不等式与不等式组常考必考知识点总结单选题1、不等式3x −2<4中，x 可取的最大整数值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32、若关于x 的不等式mx - n ＞0的解集是x <15，则关于x 的不等式(m +n)x >n −m 的解集是（ ） A ．x >−23B ．x <−23C ．x <23D ．x >233、已知非负数 x ，y ，z 满足.3−x 2=y+23=z+54.，设 W =3x −2y +z ，则 W 的最大值与最小值的和为（ ）A ．−2B ．−4C ．−6D ．−84、已知关于x 的不等式3x ﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4≤m ＜7B ．4＜m ＜7C ．4≤m≤7D ．4＜m≤75、如果关于x 的不等式组{13(2x +5)>x −512(x +3)<x +a只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．−6<a <−112B ．−6≤a <−112C ．−6≤a ≤−112D ．−6<a ≤−112 6、下列说法中，错误的是( )A ．x ＝1是不等式x ＜2的解B ．－2是不等式2x －1＜0的一个解C ．不等式－3x ＞9的解集是x ＝－3D ．不等式x ＜10的整数解有无数个7、已知x =m +15，y =5−2m ，若m >−3，则x 与y 的关系为（ ）A ．x =yB ．x >yC ．x <yD ．不能确定8、小明放学回家后，问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果．爸爸说：“本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分．”妈妈说：特里得分的两倍与纳什得分的差大于10；纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．”爸爸又说：“如果特里得分超过20分，则小牛队赢；否则太阳队赢．”请你帮小明分析一下，那么本场比赛特里、纳什各得了（）分？A．23，25B．25，35C．35，25D．23，35 填空题9、已知实数x满足{5(x+1)≥3x−112x−1≤7−32x，若S＝|x﹣1|+|x+1|的最大值为m，最小值为n，则mn＝_____．10、（1）已知x<a的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是________．（2）已知x>a的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是________．11、不等式−5x>11的解集是__________．12、不等式4（x+1）≤16的正整数解是_____．13、不等式4x﹣6≥7x﹣12的非负整数解为________________.解答题14、（1）解二元一次方程组：{x−y=2x−y=y+1．（2）解不等式：x−2≥x+12+3．15、小明距书店8 km，他上午8∶30出发，以15 km/h的速度行驶了xh之后，又以18 km/h的速度行驶，结果在9∶00前赶到了书店，请列出不等式．（文末附答案）人教版初中数学不等式与不等式组_009参考答案1、答案：B解析：首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最大正整数即可．解：3x−2<4，3x<4+23x<6x<2，∴最大整数解是1．故选为：B．小提示：本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．2、答案：B解析：可判断m、n都是负数，且可得到m、n之间的数量关系，再解不等式(m+先解不等式mx- n＞0，根据解集x<15n)x>n−m可求得解不等式：mx- n＞0mx＞n∵不等式的解集为：x<15∴m＜0解得：x＜nm∴nm =15，∴n＜0，m=5n∴m+n＜0解不等式：(m+n)x>n−mx＜n−mm+n将m=5n代入n−mm+n得：n−m m+n =n−5n5n+n=−4n6n=−23∴x＜−23故选：B小提示：本题考查解含有参数的不等式，解题关键在在系数化为1的过程中，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号.3、答案：C解析：首先设3−x2=y+23=z+54=k，求得x=−2k+3，y=3k−2，z=4k−5，又由x，y，z均为非负实数，即可求得k的取值范围，则可求得W的取值范围．解：设3−x2=y+23=z+54=k，则x=−2k+3，y=3k−2，z=4k−5，∵x，y，z均为非负实数，∴{−2k+3⩾03k−2⩾04k−5⩾0，解得54⩽k⩽32，于是W=3x−2y+z=3(−2k+3)−2(3k−2)+(4k−5)=−8k+8，∴−8×32+8⩽−8k+8⩽−8×54+8，即−4⩽W⩽−2．∴W的最大值是−2，最小值是−4，∴W的最大值与最小值的和为−6，故选：C．小提示：此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：3−x2=y+23=z+54=k，根据已知求得k的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解．4、答案：A解析：先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．解:解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞m−13，∵不等式有最小整数解2，∴1≤m−13＜2，解得：4≤m＜7，故选A．小提示：本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，正确解不等式，熟练掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．5、答案：D解析：解不等式组得解集，根据解集可确定这5个整数解，从而可关于a的不等式，解不等式即可得a的取值范围．解不等式组得{x<20x>3−2a，∴3−2a<x<20，∴5个整数解为19，18，17，16，15，∴14≤3−2a<15，∴−6<a≤−112．故选：D小提示：本题考查了解一元一次不等式组，关键是根据不等式组的整数解得到不等式．6、答案：C解析：A、B、D正确，C. 不等式-3x＞9的解集是x<-3.故选C.7、答案：B根据题意，直接利用作差法进行计算，得x−y=3m+10，比较3m+10与0的大小，即可得到答案．解：∵x−y=m+15−(5−2m)=3m+10，∵m>−3，∴3m>−9．∴3m+10>1>0．∴x>y．故选：B．小提示：本题考查了有理数的比较大小，以及代数式的变形和不等式的解法，难度适中．解题的关键是熟练掌握作差法比较大小．8、答案：D解析：关键描述语是：特里得分的两倍与纳什得分的差大于10，纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多．不等关系为：特里得分×2−纳什得分＞10；纳什得分×2＞特里得分×3．根据这两个不等关系就可以列出不等式组，从而求解．解：设本场比赛特里得了x分，则纳什得了（x＋12）分，根据题意，得{2x−(x＋12)＞102(x＋12)＞3x．解得22＜x＜24．因为x为整数，故x＝23，23＋12＝35．23＞20．答：小牛队赢了，特里得了23分，纳什得了35分．D小提示：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等式组．并且要注意未知数的取值是正整数．9、答案：16解析：解不等式组得-3≤x≤4，根据两点间的距离的公式知当-1≤x≤1时，S=|x-1|+|x+1|取得最小值；当x=4时，S=|x-1|+|x+1|取得最大值，继而可得答案．解不等式5（x+1）≥3x﹣1，得：x≥﹣3，解不等式12x−1≤7−32x，得：x≤4，则﹣3≤x≤4，当﹣1≤x≤1时，S＝|x﹣1|+|x+1|取得最小值，最小值n＝2，当x＝4时，S＝|x﹣1|+|x+1|取得最大值，最大值m＝8，∴mn＝2×8＝16，所以答案是：16．小提示：本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握熟练掌握解不等式组的能力和数轴上两点间的距离公式．10、答案：3<a≤4−3≤a<−2解析：（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案．（2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案．解：（1）∵x<a的解集中的最大整数为3，∴3<a≤4，所以答案是：3<a≤4.（2）∵x>a的解集中最小整数为-2，∴−3≤a<−2，所以答案是：−3≤a<−2．小提示：本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键．11、答案：x<−115解析：根据不等式的性质求出不等式的解集即可．∵−5x>11，两边同除以-5，不等式方向改变，得x<−11．5．故填：x<−115小提示：本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．12、答案：1，2，3解析：首先确定不等式组的解集，然后再找出不等式的特殊解．移项得：4x≤16﹣4，合并同类项得：4x≤12，系数化为1得：x≤3，所以不等式4（x+1）≤16的正整数解为1，2，3．所以答案是：1，2，3．小提示：本题考查不等式的整数解问题，关键是先求出不等式的解，再找满足条件的解，掌握解不等式要点．13、答案：0，1，2解析：首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．解：移项得：4x－7x≥－12+6，合并同类项得：－3x≥－6；化系数为1得： x≤2；因而不等式的非负整数解是：0，1，2．小提示：正确解不等式，求出解集是解决本题的关键．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．14、答案：（1）{x=3y=1；（2）x≥11解析：（1）利用加减消元法求解即可；（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项可得答案．解：（1）{x −y =2①x −y =y +1②， ①﹣②得：0=2−(y +1)，解得y ＝1，把y ＝1代入①可得：x ＝3，所以方程组的解为{x =3y =1； （2）去分母，得：2(x −2)≥x +1+6，去括号，得：2x −4≥x +7，移项、合并同类项，得：x ≥11．小提示：本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解解二元一次方程组和一元一次不等式的方法步骤．15、答案：15x ＋18(12－x)＞8解析：根据题意，可得不等关系为以15 km/h 的速度行驶xh 的路程＋以18 km/h 的速度行驶(12－x) h 的路程＞8 km ． 小明上午8∶30出发, 在9∶00前赶到了书店,路途共用了不到12h, 由题意得15x ＋18(12－x)＞8．所以答案是：15x ＋18(12－x)＞8．小提示：此题主要考查列一元一次不等式，找到实际问题的不等关系是解题的关键．。

不等式与不等式组本章知识点：1、不等式：用>或<号表示大小关系的式子叫做不等式。

Shu 532、不等式的解：把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

3、解集：使不等式成立的x 的取值范围叫做不等式解的集合，简称解集。

4、不等式的性质：1、不等式两边同时加〔或减〕同一个数〔或式子〕，不等号的方向不变。

a+c>b+c,a-c>b-c2、不等式两边同乘〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变。

如果a>b,并且c>0,ac>bc,a/c<b/c3、不等式两边同乘〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改,a>b,c<0,ac<bc a/c<b/c5、一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

6、一元一次不等式组：把几个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。

7、不等式组的解集：不等式组中每一个解集的公共部分叫做不等式组的解集。

记：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解。

练习：1.用不等号填空：〔1〕假设b a -<π，则a π- b 〔2〕假设b a >，当bc ac <时，c 0 〔3〕假设b a >，则c a - c b - 〔4〕假设b a -<2，则a 2- b〔5〕假设0,0<>a ab ，则b 0 〔6〕a b a >-，则b 0〔7〕假设a b a ><,0，则ab 2a 〔8〕假设b a <，则3a b a 2一、画出数轴，在数轴上表示出以下不等式的解集：(1)⋅>213x (2)x ≥－4．(3)⋅≤51x (4) -2x<5 解以下不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

1、3(x+2)>4(x-1)+72、 312-x ≤643-x二、选择1、以下数中是不等式x 32>50的解的有〔 〕76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60Ａ、５个 Ｂ、６个 Ｃ、７个 Ｄ、８个2、以下各式中，是一元一次不等式的是〔 〕Ａ、５＋４>８ Ｂ、12-x Ｃ、x 2≤５ Ｄ、x x 31-≥０ 3、假设b a ，则以下不等式中正确的选项是〔 〕Ａ、b a +-+-33 Ｂ、0 b a - Ｃ、b a 3131Ｄ、b a 22-- 4、用不等式表示与的差不大于2-，正确的选项是〔 〕Ａ、2-- e d Ｂ、2-- e d Ｃ、e d -≥2- Ｄ、e d -≤2-5、不等式组⎩⎨⎧22 x x 的解集为〔 〕 A 、x >2- B 、2-<x <2 C 、x <2 D 、 空集6、不等式86+x >83+x 的解集为〔 〕A 、x >21 B 、x <0 C 、x >0 D 、x <21 7、不等式2+x <6的正整数解有〔 〕 A 、1个 B 、2个 C 、3 个 D 、4个8、以下图所表示的不等式组的解集为〔 〕-2A 、x 3B 、32 x -C 、 2- xD 、32 x -1.以下各数,,3,2.50421，，，，π-其中使不等式2-x >1成立有( ). A.–4,2.5,πB.3,2.5,πC.3,0,21 D.2.5,π 2.在以下数学表达式中,–3<0.4,32,5,,1,0322+>+≠+=>+y x x xy x x y x 其中不等式 有( ).A.1个B.3个C.4个D.5个3.“y 的2倍与3的差小于或等于4”,以下各式中表示正确的选项是( ).A.432<-yB.2y –3=4C.2y –3≤4D.2y –3>44.以下按要求列出的不等式中正确的选项是( ).A.“a 不是负数”即a >0B.“b 是不大于零的数”即b<0C.“m 是不小于–2的数”即m>–2D.“P+Q 是正数”即P+Q>05.有以下数字表达式，〔1〕,2)4(,32)3(,3)2(,04322y xy x y a y y x ++<+≠<+其中属于不等式的有〔 〕.A.1个B.2个C.3个D.4个6.“a 的3倍与21的和不大于4”,以下各式表示正确的选项是( ). A.4213≤+a B.4213<+a C.4213≥+a D.4213>+a7.以下按要求列出的不等式中不正确的选项是( ).A.“b 的相反数是正数”即–b>0B.“a 是不小于零的数”即a >0C.“k 不大于3”即k ≤3D.“m+n 是正数”即m+n>0三、填空题9、“x 的一半与2的差不大于1-”所对应的不等式是10、不等号填空：假设a<b<0 ，则5a - 5b -；a1 b 1；12-a 12-b 11、当a 时，1+a 大于212、直接写出以下不等式〔组〕的解集①42 -x ②105 x -③ ⎩⎨⎧-21 x x 13、不等式03 +-x 的最大整数解是四、解以下不等式，并把解集在数轴上表示出来： 1.2231061-+>-x x 2.17)10(2283--≤--x x x 3.4238171->--x x 4.)23(6)1(3)1(2+-≥+--x x x 5.413121+>+--y y y 6.1257433-≤--y y y 五、解答题19、代数式2131--x 的值不大于321x -的值，求x 的范围 五、解答题：1.x 取何值时，3)34(2-x 的值不大于6)125(5+x 的值. 2.已知)1(645)25(3+-<++x x x ，化简：x x 3113--+.3.已知0)24(1832=--++k y x x ，当k 为何值时，y 的值为非负数.七、求不等式95)1(3-≥+x x 的正整数解？4.求不等式25+>x kx 的解集.5.有个两位数的十位数字与个位数字的和大于11，如果这个两位数减去18后得到的数是原两位数的数字位置互换的两位数，求这个两位数.6.在爆破时，如果导火索燃烧的速度是每秒钟0.8厘米，人跑开的速度是每秒钟4米，为了使点导火索的人在爆破时跑到100米以外的安全地区，这个导火索的长度应有什么限制？六、列不等式〔组〕解应用题某次数学测验，共16个选择题，评分标准为：对一题给6分，错一题扣2分，不答不给分。

不等式与不等式组知识要点：不等式定义：用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

不等式的基本性质：1.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

如果那么2.不等式两边相乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果那么或3.不等式两边相乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果那么或延伸：1.若a＞b，b＞c，则a＞c (不等式的传递性)2.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d (同向不等式相加性质)3.若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向不等式相乘性质)4.若a＞b＞0，则0＜1a ＜1b(不等式的倒数性质)5.若a＞b＞0，则a n＞b n (n∈N*) (不等式的乘方性质)6.若a＞b＞0 (n∈N*，n＞1) (不等式的开方性质)一元一次不等式定义：只含一个未知数，并且未知数的次数是1，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

解不等式：移项，合并同类项，系数化为一，在数轴上表示出解集去分母，去分子，去括号，移项，合并同类项，系数化为一，在数轴上表示出解集联系实际：注意“不大于”“不小于”“不超过”“超过”。

解一元一次不等式组 ：不等式组的解集：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解。

步骤：标序号①②，解不等式，将两式的解集在数轴上表示出来，写出解集题型：一．画数轴，表示出不等式解集：二．求不等式的解：三．判定一系列式子哪些是不等式:四．利用不等式的性质答题：例题1：不等号填空：若a<b<0 ，则5a- 5b-；a 1 b 1；12-a 12-b五．求解不等式及不等式组：例题1：⎪⎩⎪⎨⎧-++≤--)12(23134122x x x x x六．数解的个数：例题1：不等式2+x <6的正整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3 个 D、4个七．根据文字描述写出不等式：例题1：“x 的一半与2的差不大于1-”所对应的不等式是 （ ）。

三 不等式与不等式组1. 不等式的概念不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

不等式的解集：1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数 的值，都叫做这个不等式的解。

2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式 的解的集合，简称这个不等式的解集。

3）求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

用数轴表示不等式的方法，2.不等式基本性质1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3. {4. 一元一次不等式➢ 一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

➢ 解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为14. 一元一次不等式组➢ 一元一次不等式组：1）几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2）几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不 等式组的解集。

[如果a ＞b, 那么a ±c ＞b ±c < 如果a ＞b, c ＞0，那么ac ＞bc （或b ＞a ） 如果a ＞b, c ＜0，那么ac ＜bc （或cb c ＜a ）3）求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

➢一元一次不等式组的解法：1）分别求出不等式组中各个不等式的解集2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

四不等式与不等式组1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

—2.抽样调查：一种非全面调查，它是从全部调查研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据以对全部调查研究对象作出估计和推断的一种调查方法。

人教版初中数学不等式与不等式组基础知识点归纳总结单选题1、不等式组{3(x −1)>x −72x +2⩾3x的解集是（ ） A ．﹣2＜x≤2B ．x ＜﹣2C ．x≥2D ．无解答案：A解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解不等式3(x ﹣1)＞x ﹣7，得：x ＞﹣2，解不等式2x+2≥3x ，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，故选：A ．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2、下列说法中错误的是（ ）A ．不等式x +2≤3的整数解有无数个B ．不等式x +4<5的解集是x <1C ．不等式x <3的正整数解有限个D ．0是不等式2x <−1的解答案：D解析：逐一对选项进行分析即可．A. 不等式x +2≤3的解集为x ≤1 ，所以整数解有无数个，故正确；B. 不等式x +4<5的解集是x <1，故正确；C. 不等式x <3的正整数解为1，2，是有限个，故正确；D. 0不是不等式2x <−1的解，故错误；故选：D ．小提示：本题主要考查不等式的解集及解的个数，会解不等式是解题的关键．3、“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为（ ）A ．2x +3≥0B ．2x +3>0C ．2x +3≤0D ．2x +3<0答案：A解析：非负数就是大于或等于零的数，再根据x 的2倍与3的和是非负数列出不等式即可.解：“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为：2x +3≥0,故选：A.小提示：本题考查的是列不等式，掌握“非负数是正数或零，用不等式表示就是大于或等于零”是解题的关键.4、关于x 的方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m>92B ．m<0C ．m<92D ．m>0 答案：A解析：解：方程4x －2m ＋1＝5x －8的解为x ＝9－2m ．由题意得：9－2m ＜0，则m ＞92．故选A ．5、下列式子：①3＞0；②4x +5＞0；③x ＜3；④x 2+x ；⑤x ≠﹣4；⑥x +2＞x +1，其中不等式有（ ）个A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C解析：根据不等式定义可得答案．①3＞0；②4x +5＞0；③x ＜3；⑤x ≠﹣4；⑥x +2＞x +1是不等式，共5个，故选C ．小提示：本题考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．6、关于x 的一元一次方程4x-m+1=3x-1的解是负数，则m 的取值范围是（ ）.A ．m=2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m≤2答案：C解析：∵方程x ﹣m +2=0的解是负数，∴x =m ﹣2＜0，解得：m ＜2，故选C ．7、下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（ ）A ．{x −1<3x +1<3B ．{x −1<3x +1>3C ．{x −1>3x +1>3D ．{x −1>3x +1<3答案：B分析：先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式组的解集，再找出符合条件的不等式组即可．详解：A、此不等式组的解集为x＜2，不符合题意；B、此不等式组的解集为2＜x＜4，符合题意；C、此不等式组的解集为x＞4，不符合题意；D、此不等式组的无解，不符合题意；故选B．点睛：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心与空心圆点的区别，即一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．8、不等式3x−1>x+1的解集在数轴上表示为( )A．B．C．D．答案：C解析：试题解析：由3x﹣1＞x+1，可得2x＞2，解得x＞1，所以一元一次不等式3x﹣1＞x+1的解在数轴上表示为：故选C．点睛：首先根据解一元一次不等式的方法，求出不等式3x﹣1＞x+1的解集，然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法，把不等式3x﹣1＞x+1的解集在数轴上表示出来即可．9、用不等式表示：x 减去2的差的绝对值不大于32_________________． 答案：|x −2|≤32解析：根据题意以及不等式的定义列不等式．解：x 减2的绝对值不大于32，列式：|x −2|≤32．故答案是：|x −2|≤32． 小提示：本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式．10、一次测验共出5道题，做对一题得一分，已知26人的平均分不少于4.8分，最低的得3分，至少有3人得4分，则得5分的有______ 人．答案：22解析：解：设得5分的人数为x 人，得3分的人数为y 人．则可得{x +y +3=265x +3y +12>26×4.8，解得：x ＞21.9． ∵一共26人，最低的得3分，至少有3人得4分，∴得5分最多22人，即x ≤22．∴21.9＜x ≤22且x 为整数，所以x =22．故得5分的人数应为22人．故答案为22．点睛：此题考查不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．解题过程中一定要符合题目的意思，以事实为依据．11、已知不等式组{x >1x <a −1无解，则a 的取值范围为__．答案：a⩽2解析：求出不等式组中每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a的不等式，即可得出答案．解：∵不等式组{x>1x<a−1无解，∴a−1⩽1，解得：a⩽2，所以答案是：a⩽2．小提示：本题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式，题目比较好，难度适中．12、不等式组{2x−1<3−12x−1≤0的整数解的和为________．答案：-2解析：先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值，再相加．解：{2x−1<3①−12x−1≤0②，解不等式①得，x＜2；解不等式②得，x≥-2，∴不等式组的解集是：-2≤x＜2，∴不等式组的整数解是：-2，-1，0，1，∴整数解的和为-2-1+0+1=-2，所以答案是：-2．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．13、已知关于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，则k的值为________.答案：2解析：试题分析：不等式可变形为：3x＞5k－7，x＞5k−7，3∵关于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1，∴5k−7＝1，3解得：k＝2．故答案为2．点睛：本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的方程是解题关键．解答题14、在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则定|x1−x2|和|y1−y2|中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为d min(P,Q)．例如：P(−2,3),Q(0,2)，因为x1=−2,x2=0,|x1−x2|=|−2−0|=2；y1=3,y2=2,|y1−y2|=|3−2|=1，而|3−2|<|−2−0|，所以d min(P,Q)=|3−2|=1．（1）请直接写出A(3,−2)和B(−1,1)的直角距离小分量d min(A,B)=_________；（2）点D是坐标轴上的一点，它与点C(3,−1)的直角距离小分量d min(C,D)=2，求出点D的坐标；（3）若点M(m+1,2m−2)满足以下条件：a）点M在第一象限；b）点M与点N(5,0)的直角距离小分量d min(M,N)<2c）∠MON>45°，O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______．答案：（1）3；（2）D(0,1)或D(0,−3)；（3）M(5,6)或(6,8)解析：（1）根据新概念求得即可；（2）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可；（3）根据题意得出{m+1>02m−2>0，解出m的取值范围，再由∠MON>45°可推导出K OM =2m−2m+1>1，解出m的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取m的值即可．解：（1）∵A(3,−2)，B(−1,1)，∴|3+1|=4>|−2−1|=3，∴d min(A,B)=3；故答案为3；（2）∵点D是坐标轴上的一点，若D在x轴上，设D(a,0)，由于|0+1|=1<2与题意矛盾，故点D是在y轴上的一点，设D(0,b)，|0−3|=3>2，∴|b+1|=2，解得：b=1或−3，∴D(0,1)或D(0,−3)；（3）由题意得：{m+1>02m−2>0，解得m>1，|m+1−5|=|m−4|,|2m−2−0|=2|m−1|，∴(m−4)2−[2(m−1)]2=−3m2+12，当1<m<2时，d min(M,N)=2|m−1|<2，解得：0<m<2，当m≥2时，d min(M,N)=|m−4|<2，解得：2<m<6，∴m的取值范围是：0<m<2或2<m<6，∵∠MON>45°恰好为l OM的倾斜角，∴K OM>1，K OM=2m−2m+1>1，解得：m<−1或m>3综上：m的取值范围是：3<m<6，∵横纵坐标都为整数，∴m=4和5，∴M(5,6)或(6,8)，所以答案是：M(5,6)或(6,8)．小提示：本题考查了坐标与图形的性质，解一元一次不等式组，解题的关键是根据新概念列出不等式组．15、求不等式2x+13≤3x−25+1的非负整数解．答案：不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．解析：去分母，去括号，移项，合并同类项，即可得出不等式的解集．去分母得：5（2x +1）≤3（3x -2）+15，去括号得：10x +5≤9x -6+15，移项得：10x -9x ≤-5-6+15，合并同类项得x ≤4，∴不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．小提示：考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生运用不等式的性质解一元一次不等式的能力.。

第九章 不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。

2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。

4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。

规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。

用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ；不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。

用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。

用字母表示为： 如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式。

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

不等式与不等式组知识点总结一、知识导航图二、课标要求一元一次不等式(组)的应用一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式(组)解集的含义一元一次不等式(组)的概念不等式的性质一元一次不等式和一元一次不等式组三、知识梳理考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

常见的不等号有五种：“≠”、“>” 、“<” 、“≥”、“≤”．2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是:①确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；②确定方向：大向右，小向左。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

考点二、不等式基本性质（3～5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果a >b ,并且c >0,那么a c >b c3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果a >b ,并且c <0,那么a c <b c4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式 （6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为1说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例：131321≤---x x 解不等式： 解：去分母,得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!） 移 项，得 23663-+≤-x x （移项要变号）合并同类项，得 73≤-x （计算要正确） 系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）考点四、一元一次不等式组 （8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

一元一次不等式与一元一次不等式组一、不等式考点一、不等式的概念不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

不等号包括.题型一会判断不等式下列代数式属于不等式的有 .22①-X > 5 ② 2x-y V 0 ③2 5 3 ④-3 V 0 ⑤ x=3 ⑥ x xy y⑦x工5⑧ x2-3x 2>0 ⑨ x y 0题型二会列不等式根据下列要求列出不等式①.a是非负数可表示为 .―②.m的5倍不大于3可表示为③.x与17的和比它的2倍小可表示为.④.x和y的差是正数可表示为3⑤.x的-与12的差最少是6可表示为.5考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数基本训练：若a>b, ac>be,则c 0.3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。

基本训练：若a>b, ae V be,贝U e 0.4、如果不等式两边同乘以0,那么不等号变成等号，不等式变成等式。

练习：1、指出下列各题中不等式的变形依据①.由3a>2得a> 3理由： _________________________________ _______________________________a>-7 理由：5③ .由-5a<1得a>④ .由4a>3a+1得a>1理由：-) C. x+3 > y+3 D.-3x > -3y))))()式的解。

练习：1、判断下列说法正确的是( )A. x=2是不等式x+3v 2的解B.x =3是不等式3x v 7的解。

C.不等式3x v 7的解是x v 2D.x=3是不等式3x> 9的解2.下列说法错误的是( )A.不等式x v 2的正整数解只有一个B. -2是不等式2x-1 v 0的一个解C.不等式-3x > 9的解集是x >-3D.不等式x v 10的整数解有无数个不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。