初中数学不等式专题复习

一元一次不等式知识点1.不等式不等式的概念：用不等号),,,,(≠≤<≥>表示不等关系的式子叫做不等式。

常用的表示不等关系的语言及符号：（1）大于、比……大、超过：>； （2）小于、比……小、低于：<；（3）不大于、不超过、至多：≥； （4）不小于、不低于、至少：≤；（5）正数：0>； （6）负数：0<；（7）非负数：0≥；（8）非正数：0≤【例1】下列式子中：① 21>-；② 13-≥x ；③ 3-x ；④ vt s =；⑤ y x 243<- ⑥ 2253+=-x x ；⑦ 022≥+a ；⑧ 222c b a ≠+.是不等式的有_________________.【例2】下列语句不能用不等式表示的是（ ）A. 1+m 是负数B. 2a 是正数C.n m +等于xD. 1-m 是非负数【练习1】下列式子：①05>；②043>+b a ；③2=x ；④1-x ；⑤53≠+x ；⑥732≤+a ；⑦812≥+x ，其中，不等式有______________.【练习2】符号“≥”的含义是“大于或等于”，即“不小于”；符号“≤”的含义是“小于或等于”，即“不大于”．请用文字语言翻译下列不等式：（1）02≥x ：____________.（2）0≤-x ：_____________.知识点2.不等式的基本性质不等式性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 即如果b a >，那么c b c a c b c a ->-+>+,不等式的性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即 如果0,>>c b a ，那么cb c a bc ac >>,.不等式的性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即 如果0,<>c b a ，那么cb c a bc ac <<,. 不等式的性质4 如果b a >，那么a b <.不等式的性质5 如果c b b a >>,，那么c a >.【例1】由13+<-b a ，可得到的结论（ ）A. b a <B. 13-<+b aC. 31+<-b aD. 31-<+b a【例2】如果b a >，那么下列变形错误的是（ ）A. b a 33->-B. b b a 2>+C.b a 2222-<-D.b a +->+-11【例3】下列判断中，正确的是（ ）A. 若b a <，则c b c a <B. 若b a <，则22bm am <C. 若22bm am <，则b a <D. 若b a <，则22b a <【例4】 若0<<b a ，则下列式子：① 21+<+b a ；② 1>ba ；③ ab b a <+；④ba 11<. 其中正确的有_______________. 【例5】已知关于x 的不等式()21>-x a 可化为ax -<12，试化简：21++-a a .【练习1】若b a >，则下列不等式成立的是（ ）A ． b a 22-<-B ．b m a m 22<C ．21-<-b aD ．21+<+b a 【练习2】已知y x >，则下列不等式不成立的是（ ）A ．66->-y xB ．y x 33>C ．y x 22-<-D ．6363+->+-y x【练习3】下列叙述正确的是（ ）A ．若b a =，则b a =B ．若b a >，则b a >C ．若b a <，则b a <D ．若b a =，则b a ±= 【练习4】有理数n m ,在数轴上的位置如图示，则下列关系式中正确的个数（ ）0<+n m ；0>-m n ；n m 11>；02>-n m ；0>--m n A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【练习5】如果0>+b a ，且0>b ，那么b a b a --,,,的大小关系为（ ）A ．b a b a -<-<<B ．b a a b <-<<-C ．b a b a <-<-<D ．a b b a -<<-<知识点3.不等式的解集1.使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。

初中数学知识归纳不等式的基本性质和解法初中数学知识归纳：不等式的基本性质和解法不等式是数学中重要的概念之一，它在实际问题中的应用十分广泛。

本文将对不等式的基本性质和解法进行归纳总结，以帮助初中学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式具有传递性，即若 a < b 且 b < c，则有 a < c。

这个性质在解不等式时常常被使用。

2. 不等式的加减性对于不等式 a < b，若 c > 0，则 a + c < b + c；若 c < 0，则 a + c > b+ c。

同理，对于不等式 a > b，若 c > 0，则 a - c > b - c；若 c < 0，则 a - c < b - c。

3. 不等式的乘除性对于不等式 a < b，若 c > 0，则 ac < bc；若 c < 0，则 ac > bc。

若 c= 0，则不等号方向保持不变。

同理，对于不等式 a > b，若 c > 0，则ac > bc；若 c < 0，则 ac < bc。

若 c = 0，则不等号方向保持不变。

4. 不等式的倒置对于不等式 a < b，将两边同时取负号得到 -a > -b；若将两边同时取倒数，则不等号需要倒置，即 1/a > 1/b。

同理，对于不等式 a > b，将两边同时取负号得到 -a < -b；若将两边同时取倒数，则不等号方向保持不变。

二、不等式的解法1. 图解法对于简单的线性不等式，我们可以借助坐标轴将其图像表示出来，进而直观地找到解的范围。

例如，对于不等式 2x + 3 > 7，可以将其表示为一条直线，并标记出不等号所指向的一侧。

2. 正系数法若不等式中存在正系数，则我们可以通过减法或除法来推导解的范围。

初中数学知识点：不等式（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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初中数学专题复习（二次函数与不等式）1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4解：联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x＜2或x＞4，答案：D．2．二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x 的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2．解：由题意，可大致画出函数图象如下，则直线y＝kx+b关于y轴对称的直线为y＝﹣kx+b，根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点C、D，则点C、D的横坐标分别为﹣1，2，观察函数图象ax2+c＞﹣kx+b的解集为﹣1＜x＜2，即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2，答案：﹣1＜x＜2．3．小云在学习过程中遇到一个函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．（2）当x≥0时，对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：x0123…y01…结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．21教育名师原创作品（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，则m的最大值是．解：（1）当﹣2≤x＜0时，对于函数y1＝|x|，即y1＝﹣x，当﹣2≤x＜0时，y1随x的增大而减小，且y1＞0；对于函数y2＝x2﹣x+1，当﹣2≤x＜0时，y2随x的增大而减小，且y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当﹣2≤x＜0时，y随x的增大而减小．答案：减小，减小，减小．（2）函数图象如图所示：（3）∵直线l与函数y＝|x|（x2﹣x+1）（x≥﹣2）的图象有两个交点，观察图象可知，x＝﹣2时，m的值最大，最大值m＝×2×（4+2+1）＝，答案：．4．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，观察函数图象可知：当x﹣2＜x＜3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜3，即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3．故答案为﹣2＜x＜3．5．红红对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变量x的值为0或4时，函数值都为﹣3；当自变量x的值为1或3时，函数值都为0．探究过程如下，请补充完整．（1）这个函数的表达式为y＝|x2﹣4x|﹣3；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：函数关于直线x＝2对称．（3）进一步探究函数图象并解决问题：①直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有两个交点，则k的取值范围是k＞1或k＝﹣3；②已知函数y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程a|x2+bx|+c＝x﹣3的解为：x＝0或x＝3或x＝5．解：（1）将x＝0，y＝﹣3；x＝4，y＝﹣3；x＝1，y＝0代入y＝a|x2+bx|+c（a≠0），得到：c＝﹣3，b＝﹣4，a＝1，∴y＝|x2﹣4x|﹣3，故答案为y＝|x2﹣4x|﹣3．（2）如图：函数关于直线x＝2对称，故答案为函数关于直线x＝2对称．（3）①观察图像可知，直线y＝k与函数y＝a|x2+bx|+c有两个交点，则k的取值范围是k＞1或k＝﹣3故答案为k＞1或k＝﹣3．②y＝x﹣3与y＝x2﹣4x﹣3的交点为x＝0或x＝3或x＝5，结合图象，y＝|x2﹣4x|﹣3＝x﹣3的解为x＝0或x＝3或x＝5，故答案为x＝0或x＝3或x＝5．6．已知抛物线y＝﹣x2+2ax﹣4．（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，必要时可阅读【链接材料】．（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．例：解不等式：x2+x﹣2＞0．解：不等式x2+x﹣2＞0的解集，等价于不等式（x﹣1）（x+2）＞0的解集，等价于函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x+2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．∴不等式x2+x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1．解：（1）△＝（2a）2﹣4×（﹣）×（﹣4）＝4a2﹣8，①当抛物线和x轴没有交点时，则△＜0，即4a2﹣8＜0，解得﹣a＜；②当抛物线和x轴有一个交点时，则△＝0，即4a2﹣8＝0，解得a＝；③当抛物线和x轴有两个交点时，则△＞0，即4a2﹣8＞0，解得a＞或a＜﹣；综上，当抛物线和x轴没有交点时，﹣a＜，当抛物线和x轴有一个交点时，a＝，当抛物线和x 轴有两个交点时，a＞或a＜﹣；（2）当a＝1时，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，①当﹣2≤m≤2时，则抛物线在x＝m时取得最大值，此时y＝﹣m2+2m﹣4，抛物线在x＝﹣2时，取得最小值，y＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，则y＝﹣m2+2m﹣4﹣（﹣10）＝4m，解得m＝﹣6（舍去）或2；②当2＜m≤6时，y max＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，y min＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，则﹣2﹣（﹣10）＝4m，解得m＝2（舍去）；③当m＞6时，y max＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，y min＝﹣m2+2m﹣4，则﹣2﹣（﹣m2+2m﹣4）＝4m，解得m＝6﹣4（舍去）或6+4，综上，实数m的值为2或6+4．7．已知函数y1＝ax2﹣4ax+c（a＞0），当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3；当1≤x≤4时，y2＝﹣ax2+4ax+c的取值范围是（）A．3≤y2≤7B．3≤y2≤6C．16≤y2≤19D．7≤y2≤19解：∵y1＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，c﹣4a），∵当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3，∴c﹣4a＝﹣1，当x＝4时，y＝16a﹣16a+c＝3，∴c＝3，∴a＝1，∵y2＝﹣ax2+4ax+c∴y2＝﹣x2+4x+3═﹣（x﹣2）2+7，∴抛物线y2的对称轴为直线x＝2，∵1≤x≤4，∴在此范围内，当x＝2时，y2取最大值为7，当x＝4时，y2取最小值为﹣4+7＝3，∴3≤y2≤7．答案：A．8．已知二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0），一次函数y2＝2x﹣2，有下列结论：①当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；②二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）；③当m＝1时，y1≤y2；④在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y2≤y1均成立，则m＝．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：①∵y1＝mx2+4mx﹣5m＝m（x+2）2﹣9m，y2＝2x﹣2，当x＞﹣2时，y2随x的增大而增大，当m＜0时，y1随x的增大而减小，故①错误；②令y1＝0，则mx2+4mx﹣5m＝0，x＝1或﹣5，二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0），故②正确；【来源：21cnj*y.co*m】③当m＝1时，二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m的图象与一次函数y2＝2x﹣2的图象的交点的横坐标为﹣3和1，∴当﹣3≤x≤1时，y1≤y2；故③错误；④∵mx2+4mx﹣5m＝2x﹣2整理得，mx2+（4m﹣2）x+2﹣5m＝0，当△＝（4m﹣2）2﹣4m（2﹣5m）＝0时，函数值y2≤y1成立，解得m＝，故④正确．答案：C．9．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②B．①③⑤C．①④D．①④⑤解：①因为抛物线对称轴是直线x＝1，则﹣＝1，2a+b＝0，故①正确，符合题意；②∵抛物线开口向下，故a＜0，∵对称轴在y轴右侧，故b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，故c＞0，∴abc＜0，故②错误，不符合题意；③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根，正确，符合题意；④因为抛物线对称轴是：x＝1，B（4，0），所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故④错误，不符合题意；⑤由图象得：当1＜x＜4时，有y2＜y1，故⑤正确，符合题意；故正确的有：①③⑤；答案：B．10．如图所示，y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，则不等式mx+ax2+k＜n的解集为（）A．﹣2＜x＜5B．x＜﹣2或x＞5C．﹣5＜x＜2D．x＜﹣5或x＞2解：∵y＝mx+n过（﹣2，b），（5，c）两点，∴b＝﹣2m+n，c＝5m+n，当x＝2时，y＝﹣mx+n＝﹣2m+n＝b，当x＝﹣5时，y＝﹣mx+n＝5m+n＝c，∴直线y＝﹣mx+n过（2，b）和（﹣5，c）两点，∵y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，∴根据二次函数图象的对称性质可知，y＝ax2+k的图象过（2，b）和（﹣5，c）两点，如图所示，y＝﹣mx+n与y＝ax2+k的图象交于（2，b）和（﹣5，c）两点，由图象可知，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+k上方时，x＜﹣5或x＞2，∴不等式ax2+k＜﹣mx+n的解集为x＜﹣5或x＞2，即不等式mx+ax2+k＜n的解集为x＜﹣5或x＞2，答案：D．11．已知二次函数y1＝ax2+ax﹣1，y2＝x2+bx+1，下列结论一定正确的是（）A．若﹣2＜a＜0＜b，则y2＞y1B．若﹣2＜a＜b＜0，则y2＞y1C．若0＜a＜2＜b，则y2＞y1D．若0＜a＜b＜2，则y2＞y1解：y2﹣y1＝（1﹣a）x2+（b﹣a）x+2由y2＞y1得y2﹣y1＞0∴1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0选项A：若﹣2＜a＜0＜b，则1﹣a＞0，△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a），无法判断△与0的大小关系，故A错误；选项B：若﹣2＜a＜b＜0，则1﹣a＞1＞0，∵0＜b﹣a＜2，∴△＝（b﹣a）2﹣8（1﹣a）＜0故B正确；选项C：若0＜a＜2＜b，则1﹣a无法确定正负，故C错误；选项D：同选项C一样，无法确定1﹣a的正负，故D错误．综上，只有B正确．答案：B．12．直线y1＝x+1与抛物线y2＝﹣x2+3的图象如图，当y1＞y2时，x的取值范围为（）A．x＜﹣2B．x＞1C．﹣2＜x＜1D．x＜﹣2或x＞1解：由图可知，x＜﹣2或x＞1时，y1＞y2．答案：D．13．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）经过（﹣1，3）、（5，3）两点，则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤3的解集为x≤0或x≥6．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，3），（5，3）两点，∴大致图象如图所示：∴y＝a（x﹣h﹣1）2+k（a＞0）经过（0，3），（6，3）两点则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤3的解集为：x≤0或x≥6．答案：x≤0或x≥6．14．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1．解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．15．如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为x2＜x＜x3．解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．答案：x2＜x＜x3．16．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b经过点B（1，3），且与直线y＝﹣2x交于点A，抛物线y＝（x﹣m）2+n的顶点在直线y＝﹣2x上运动．（1）求点A的坐标．（2）当抛物线经过点A时，求抛物线的解析式．（3）当﹣1＜x＜1时，始终满足（x﹣m）2+n＜x+b，结合图象，直接写出m的取值范围．解：（1）将点B的坐标代入y＝x+b得：+b＝3，解得：b＝2.5，故y＝x+，联立，解得，故点A的坐标为（﹣1，2）；（2）∵抛物线y＝（x﹣m）2+n的顶点在直线y＝﹣2x上运动，则n＝﹣2m，则y＝（x﹣m）2﹣2m，将点A的坐标代入上式并解得：m＝±1，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣2或y＝（x+1）2+2；（3）设：y＝（x﹣m）2﹣2m，y′＝x+，当﹣1＜x＜1时，始终满足（x﹣m）2+n＜x+b，即y在y′的下方，当x＝﹣1时，y′＝×（﹣1）+＝2，而y＝（﹣1﹣m）2﹣2m＝m2+1，即m2+1＜2，解得：﹣1＜m＜1；当x＝1时，同理可得：y′＝3，y＝m2﹣4m+1，即y＝m2﹣4m+1＜3，解得2﹣≤m≤2+；故m的取值范围为2﹣≤m≤2+．。

不等式与不等式组知识要点：不等式定义：用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

不等式的基本性质：1.不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

如果那么2.不等式两边相乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果那么或3.不等式两边相乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果那么或延伸：1.若a＞b，b＞c，则a＞c (不等式的传递性)2.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d (同向不等式相加性质)3.若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向不等式相乘性质)4.若a＞b＞0，则0＜1a ＜1b(不等式的倒数性质)5.若a＞b＞0，则a n＞b n (n∈N*) (不等式的乘方性质)6.若a＞b＞0 (n∈N*，n＞1) (不等式的开方性质)一元一次不等式定义：只含一个未知数，并且未知数的次数是1，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

解不等式：移项，合并同类项，系数化为一，在数轴上表示出解集去分母，去分子，去括号，移项，合并同类项，系数化为一，在数轴上表示出解集联系实际：注意“不大于”“不小于”“不超过”“超过”。

解一元一次不等式组 ：不等式组的解集：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解。

步骤：标序号①②，解不等式，将两式的解集在数轴上表示出来，写出解集题型：一．画数轴，表示出不等式解集：二．求不等式的解：三．判定一系列式子哪些是不等式:四．利用不等式的性质答题：例题1：不等号填空：若a<b<0 ，则5a- 5b-；a 1 b 1；12-a 12-b五．求解不等式及不等式组：例题1：⎪⎩⎪⎨⎧-++≤--)12(23134122x x x x x六．数解的个数：例题1：不等式2+x <6的正整数解有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3 个 D、4个七．根据文字描述写出不等式：例题1：“x 的一半与2的差不大于1-”所对应的不等式是 （ ）。

初中数学不等式知识点大全一、不等式的基本概念1.不等式的定义：不等式是数学中表示两个数的大小关系的一种数学符号表示法。

2.不等式符号的意义："<"表示小于、">"表示大于、"<="表示小于等于、">="表示大于等于。

3.一元一次不等式、二元一次不等式和多变量不等式的定义和性质。

4.不等式的解集：表示满足不等式的全部解的集合，可以用数轴表示。

二、不等式的性质1.不等式的传递性：如果a<b，b<c，则a<c。

2.不等式两边加减同一个数，不影响不等关系的大小。

3.不等式两边乘除同一个正数，不影响不等关系的大小。

4.不等式两边乘除同一个负数，不等关系会发生改变。

5.不等式两边取倒数时，要注意变号问题。

6.乘以不等式时，要考虑所乘以的数的正负情况。

三、不等式的解法1.第一类不等式（一元一次不等式）的解法：根据不等式的性质，将不等式中的未知数移到一边，得到关于未知数的集合表示的解，进而求解交集、并集或全集。

2.第二类不等式（一元二次不等式）的解法：将不等式变形为一元二次函数的图像问题，通过观察函数图像，确定不等式的解集。

3.系统不等式的解法：将多个不等式作为一个整体进行考虑，得到多个不等式的交集或并集形式，再求解。

四、一些常见的数学不等式1.加减法不等式：例如2x+3>7，根据性质将未知数移到一边，得到解集x>22.乘除法不等式：例如3x/5>=6，根据性质将未知数移到一边，得到解集x>=10。

3.绝对值不等式：例如，3x+5，<7，根据绝对值的性质进行分段讨论，得到解集-4<x<24.开方不等式：例如√(x-1)>3，根据开方的定义和性质进行讨论，得到解集x>10。

5.取整不等式：例如[x]>2，根据整数函数的定义和性质进行讨论，得到解集x>3五、不等式的应用1.不等式在图像问题中的应用：例如求一元一次不等式的解集时，可以将不等式表示的区间在数轴上进行标注，直观地表示解集。

自学资料一、不等式综合复习【错题精练】例1．已知关于x的不等式ax＜b的解为x＞﹣2，则下列关于x的不等式中，解为x＜2的是（）A. ax+2＜﹣b+2B. ﹣ax﹣1＜b﹣1C. ax＞bD.【解答】由已知不等式的解集确定出a为负数，确定出所求不等式即可．解：∵关于x的不等式ax＜b的解为x＞﹣2，∴a＜0，则解为x＜2的是﹣ax﹣1＜b﹣1，故选：B．【答案】B例2．若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（）第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 1＜a≤7B. a≤7C. a＜1或a≥7D. a=7【解答】求出不等式2x＜4的解，求出不等式（a﹣1）x＜a+5的解集，得出关于a的不等式，求出a即可．本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键．解：解不等式2x＜4得：x＜2，∵不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，∴a﹣1＞0，x，∴≥2，﹣2≥0，≥0，≥0，∵a﹣1＞0，∴解得：1＜a≤7，故选：A．【答案】A例3．已知﹣2＜x+y＜3且1＜x﹣y＜4，则z=2x﹣3y的取值范围是__________ ．第2页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】【答案】1＜z＜11例4．若不等式x<a只有5个正整数解，则a的取值范围．【答案】5<a≤6．例5．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a(a−b)+1．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=﹣5，那么不等式3⊕x<13的解集为．【答案】x>−1．【举一反三】1．若关于x的不等式3m−2x＜5的解集是x＞3，则实数m的值为．．【答案】1132．我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为，如：，如果有，则x__________ .第3页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】解：列不等式得：2x﹣（3﹣x）＞0，整理得：2x﹣3+x＞0，解得：x＞1．故答案为：x＞1．【答案】x＞13．不等式组无解，则a的取值范围是__________.【解答】二、三角形的初步知识综合复习【错题精练】例1．如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠EDF的度数为（）A. 45°∠AB. 90∠AC. 90°﹣∠AD. 180﹣∠A【解答】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE=∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=CF，BE=CD∴△BDE≌△CFD，∴∠BDE=∠CFD，第4页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∠EDF=180°﹣（∠BDE+∠CDF）=180°﹣（∠CFD+∠CDF）=180°﹣（180°﹣∠C）=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°．∴∠A+2∠EDF=180°，∴∠EDF=90°﹣∠A．故选：B．【答案】B例2．如图∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=22，AC=10，则BE=．【答案】6．例3．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，求∠EFC的度数．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABE=45∘，又∵AB=AC，∴∠ABC=12(180∘−∠BAC)=12(180∘−45∘)=67.5∘，∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=67.5∘−45∘=22.5∘，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，第5页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训∴BF=EF，∴∠BEF=∠CBE=22.5∘，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5∘+22.5∘=45∘．【答案】45°．例4．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图，若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55∘，∠BCD=155∘，则∠BPD的度数为．【答案】130°．【举一反三】1．（1）如图1所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试说明∠BOC=90∘+∠A．（2）如图2所示，在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，试说明∠D=90∘−∠A．（3）如图3，B、C、D在一条直线上，∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，求证∠BPC＝∠BAC．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠OBC+∠OCB=12(180∘−∠A)=12×(180∘−x∘)=90∘−12∠A故∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=180∘−(90∘−12∠A)=90∘+12∠A（2）证明：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x∘∴∠BCD=12(∠A+∠ABC)、∠DBC=(∠A+∠ACB)，由三角形内角和定理得，∠BDC=180∘−∠BCD−∠DBC第6页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180∘−12(∠A+180∘)=180∘−12=90∘−1∠A2（3）证明：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点ECD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D(∠A+2∠1)，∠3=∠4，∴∠1=∠2，∠5=12在△ABE中，∠A=180∘−∠1−∠3∴∠1+∠3=180∘−∠A−−−−①在△CDE中，∠D=180∘−∠4−∠5=180∘−∠3−(∠A+2∠1)，即2∠D=360∘−2∠3−∠A−2∠1=360∘−2(∠1+∠3)−∠A−−−−②，把①代入②得：2∠D=∠A．【答案】略．2．如图，△ABC中，∠ACB=90∘，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22∘，则∠BDC等于（）A. 44°；B. 60°；C. 67°；D. 77°．【答案】C3．如图，P是等边△ABC外一点，把△ABP绕点B顺时针旋转60∘到△CBP′，已知∠AP′B=150∘，P′A:P′C=2:3，求PB:P′A．图一图二第7页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第8页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第9页 共25页 自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞 非学科培训【解答】、（1）证明：在△ABC 和△BAD 中，{AC =BD∠CAB =∠DBA AB =BA，∴△ABC ≌△BAD （SAS ），∴∠C =∠D ，在△ACE 和△BDE 中，{∠AEC =∠BED∠C =∠D AC =BD，∴△ACE ≌△BDE （AAS ），∴AE =BE ；（2）解：①四边形ACBF 为平行四边形，理由如下：由（1）得AE =BE ，∴∠EAB =∠EBA ，∵△ABF 与△ABD 关于直线AB 对称，∴∠EAB =∠BAF 且AD =AF ，∴∠EBA =∠BAF ，又∵△ABC ≌△BAD ，∴BC =AD ，∴BC =AF ，∴四边形ACBF 为平行四边形；②由题意得∠DAB =∠FAB =30∘，∴∠DAF =60∘，过E 作EG ⊥AF 于G ，∵AE =5，DE =3，∴AD =8，∴AF =8，AG =52，GE =5√32，∴GF =112， ∴EF =√EG 2+BF 2=7．【答案】（1）略；（2）平行四边形；7．例2．如图，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，AB交OP于点Q，且PA=PB，则下列结论：①OP平分∠AOB；②AB是OP的中垂线；③OP平分∠APB；④OP是AB的中垂线；⑤OQ=PQ；其中全部正确的序号是（）A. ①②③；B. ①②④；C. ①③④；D. ③④⑤．【答案】C例3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，点D为AC上一动点．（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE=AF，∠EAF=90∘．求证：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；（3）由（1）我们知道∠AFB=45∘，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠BAE+∠EAD=90∘，∠EAF=∠CAF+∠EAD=90∘∴∠BAE=∠CAF在△ABE和△ACF中第10页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训{AB =AC∠BAE =∠CAF AE =AF∴△ABE ≌△ACF （SAS ）（2）证明： ∵∠BAC =90∘∴∠ABE +∠BDA =90∘，由（1）得△ABE ≌△ACF∴∠ABE =∠ACF∴∠BDA +∠ACF =90∘又∵∠BDA =∠CDF∴∠CDF +∠ACF =90∘∴∠BFC =90∘∴CF ⊥BD（3）解：∠AFB =45∘不变化，理由如下:点A 作AF 的垂线交BM 于点E ，∵CF ⊥BD∴∠BAC =90∘∴∠ABD +∠BDA =90∘同理∠ACF +∠CDF =90∘∵∠CDF =∠ADB∴∠ABD =∠ACF同（1）理得∠BAE =∠CAF在△ABE 和△ACF 中{∠BAE =∠CAFAB =AC ∠ABD =ACF∴△ABE ≌△ACF （ASA ）∴AE =AF∴△AEF 是等腰直角三角形∴∠AFB =45∘．【答案】（1）略；（2）略；（3）∠AFB =45∘不变化，理由：略．【举一反三】1．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90∘，点D 为AC 上一动点．（1）如图1，点E 、点F 均是射线BD 上的点并且满足AE =AF ，∠EAF =90∘．求证：△ABE ≌△ACF ；（2）在（1）的条件下，求证：CF ⊥BD ；（3）由（1）我们知道∠AFB =45∘，如图2，当点D 的位置发生变化时，过点C 作CF ⊥BD 于F ，连接AF ．那么∠AFB 的度数是否发生变化？请证明你的结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠BAE+∠EAD=90∘，∠EAF=∠CAF+∠EAD=90∘，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中{AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）证明：∵∠BAC=90∘，∴∠ABE+∠BDA=90∘，由（1）得△ABE≌△ACF，∴∠ABE=∠ACF，∴∠BDA+∠ACF=90∘，又∵∠BDA=∠CDF，∴∠CDF+∠ACF=90∘，∴∠BFC=90∘，∴CF⊥BD；（3）解：∠AFB=45∘不变化，理由如下：过点A作AF的垂线交BM于点E，∵CF⊥BD，∴∠BAC=90∘，∴∠ABD+∠BDA=90∘，同理：∠ACF+∠CDF=90∘，∵∠CDF=∠ADB，∴∠ABD=∠ACF，同（1）理得：∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中{∠BAE=∠CAF AB=AC∠ABD=∠ACF∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AFB=45∘．【答案】略．2．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点．（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=90∘，∠ADB=90∘，又∵E为AB的中点，∴CE=12AB，DE=12AB，∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；（2）解：∵AD=BD，E为AB的中点，∴DE⊥AB，已知EF=3，DE=4，∴DF=5，过点E作EH⊥CD，∵∠FED=90∘，EH⊥DF，∴EH=EF⋅EDDF =125，∴DH=√DE2−EH2=165，∵△ECD是等腰三角形，∴CD=2DH=225．【答案】（1）略；（2）225．3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AE=AF；（2）若AB+AC=16，S△ABC=24，∠EDF=120∘，求AD的长．【解答】（1）证明：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED=∠AFD=90∘，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE=∠DAF，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE=AF；（2）解：∵△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∴S△ABC=12⋅AB⋅DE+12⋅AC⋅DF=12⋅DE(AB+AC)=24，∵AB+AC=16，∴DE=3，∵∠ADE=∠ADF=60∘，∴∠DAE=30∘，∴AD=2DE=6．【答案】（1）略；（2）6．4．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90∘，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：BD=CE，BD⊥CE，理由如下：由（1）知：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45∘，∴∠ACE+∠DBC=45∘，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90∘，则BD⊥CE．【答案】（1）略；（2）BD=CE，BD⊥CE．5．如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．（1）在图1中，你发现线段AC，BD的数量关系是，直线AC，BD相交成度角．（2）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转90∘角，这时（1）中的两个结论是否成立？请做出判断并说明理由．（3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断并说明理由．【解答】（1）解：在图1中，线段AC，BD的数量关系是相等，直线AC，BD相交成90度角；（2）解：（1）中结论仍成立；证明如下：如图延长CA交BD于点E，∵等腰直角三角形OAB和OCD，∴OA=OB，OC=OD．∵AC2=AO2+CO2，BD2=OD2+OB2，∴AC=BD．∴△DOB≌△COA(SSS)．∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO．∵∠ACO+∠CAO=90∘，∴∠ACO+∠DBO=90∘，则∠AEB=90∘，即直线AC，BD相交成90∘角．（3）解：结论仍成立；如图延长CA交OD于E，交BD于F，∵∠COD=∠AOB=90∘，∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，即：∠COA=∠DOB．∵CO=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB(SAS)．∴AC=BD，∠ACO=∠ODB．∵∠CEO=∠DEF，∴∠COE=∠EFD=90∘．∴AC⊥BD，即直线AC，BD相交成90∘角．【答案】见解答．四、全等三角形综合复习【错题精练】例1．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论．【解答】解：BM=BN，BM⊥BN．理由：在△ABE和△DBC中，{AB=DB∠ABD=∠DBCEB=CB，∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴∠BAE=∠BDC．∴AE=CD．∵M，N分别是AE，CD的中点，∴AM=DN．在△ABM和△DBN中，{AB=DB∠BAM=∠BDNAM=BN，∴△ABM≌△DBN（SAS）．∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180∘，∴∠ABD=∠ABM+∠MBE=90∘．∴∠MBE+∠DBN=90∘．即BM⊥BN．∴BM=BN，BM⊥BN．【答案】BM=BN，BM⊥BN．例2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=10，∠C=30∘，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）DF=；（用含t的代数式表示）（2）求证：△AED≌△FDE；（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）【解答】（1）解：∵DF⊥BC，∴∠CFD=90∘，在Rt△CDF中，∠CFD=90∘，∠C=30∘，CD=2t，∴DF=12CD=t．（2）证明：∵∠CFD=90∘，∠B=90∘，∴DF∥AB．∴∠AED=∠FDE．在△AED和△FDE中，{AE=FD=t∠AED=∠FDEED=DE，∴△AED≌△FDE（SAS）．（3）解：∵△AED≌△FDE，∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．∵∠A=90∘−∠C=60∘，∴AD=AE．∵AE=t，AD=AC−CD=10−2t，∴t =10−2t ．∴t =103． ∴当t 为103时，△DEF 是等边三角形．（4）解：∵△AED ≌△FDE ，∴当△DEF 为直角三角形时，△EDA 是直角三角形．当∠AED =90∘时，AD =2AE ，即10−2t =2t ．解得：t =52；当∠ADE =90∘时，AE =2AD ，即t =2(10−2t )．解得：t =4．综上所述：当t 为52或4时，△DEF 为直角三角形．【答案】（1）t ；（2）略；（3）103；（4）52或4．【举一反三】1．如图，△ABC 中，∠ABC =45∘，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与AD 相交于点G ，DF ⊥AB 于F ，交BE 于H ．下列结论：①AD =BD ；②CE =BH ；③AE =12BG ；④CD +AG =BD ．其中正确的序号是_________．【答案】①③④2．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF =90∘，且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【答案】解：（1）正确．证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．∵BM=BE．∴∠BME=45∘，∴∠AME=135∘．∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45∘，∴∠ECF=135∘．∴∠AME=∠ECF．∵∠AEB+∠BAE=90∘，∠AEB+∠CEF=90∘，∴∠BAE=∠CEF∴△AME≌△BCF(ASA)．∴AE=EF．（2）正确．证明：在BA的延长线上取一点N．使AN=CE，连接NE．∴BN=BE．∴∠N=∠PCE=45∘．四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE．∴∠DAE=∠BEA．∴∠NAE=∠CEF．∴△ANE≌△ECF(ASA)．∴AE=EF．3．如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【解答】（1）解：如图，过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB=60∘，∠DPF=∠CQD，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，∴△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形CF，BF=PB∴DF=CD=12∵P是AB的中点，即PB=1AB=3，2∴BF=3∴；（2）解：分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）证得△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形∴FD=12FC，EF=12BF∴ED=FD+EF=12FC+12BF=12BC=3∴ED为定值同理，如图，若P在BA的延长线上，作PM∥AC的延长线于M，∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=60∘，∴∠B=∠PMC=60∘，∴PM=PB，且PE⊥BC∴BE=EM=12BM，△PBM是等边三角形∴PM=PB=CQ∵PM∥AC∴∠PMB=∠QCM，∠MPD=∠CQD且PM=CQ ∴△PMD≌△QCD（ASA），∴CD=DM=12CM，∴DE=EM−DM=12BM−12CM=12(BM−CM)=12BC=3综上所述，线段ED的长度保持不变．【答案】（1）；（2）线段ED的长度保持不变．1．已知（a-）＜0，若b=2-a，则b的取值范围是__________．【解答】根据被开方数大于等于0以及不等式的基本性质求出a的取值范围，然后再求出2-a的范围即可得解．2．有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是__________．【解答】由①+②比③+④重可知③与④中至少有一个轻球，由⑤+⑥比⑦+⑧轻可知⑤与⑥至少有一个轻球，①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤．3．若a，b均为整数，a+b=﹣2，且a≥2b，则有最大值是__________ .【解答】【答案】14．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE，下列结论错误的是（）A. AD=CD；B. BE>CD；C. ∠BEC=∠BDC；D. BE平分∠CBD．【答案】D．5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D 处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）;A. 35；B. 45；C. 23．D. √32【答案】B．6．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠BAC＝60°，BC＝6，点D是BC边上一动点，将BD，CD翻折使得B′，C′分别落在AB，AC边上，（B与B′，C与C′分别对应），点D从点B运动运动至点C，△B′C′D 面积的大小变化情况是（）A. 一直减小；B. 一直不变；C. 先减小后增大；D. 先增大后减小．【答案】D7．如图，△ABC中，点D在AC的延长线上，E、F分别在边AC和AB上，∠BFE和∠BCD的平分线相交于点P，若∠B=80∘，∠FEC=70∘，则∠1−∠2=°；∠P=°．【答案】15，95．。

初中数学不等式知识点大全知识点1：不等式不等式是用不等号（。

≥、<、≤、≠）表示不等关系的式子。

常用的表示不等关系的语言及符号有：1.大于、比……大、超过。

2.小于、比……小、低于。

<；3.不大于、不超过、至多：≥；4.不小于、不低于、至少。

≤；5.正数。

6.负数：<；7.非负数：≥；8.非正数：≤。

例1中是不等式的有-1>2，3x≥-1，3x-4<2y，3x-5=2x+2，a^2+2≥0，a^2+b^2≠c^2.例2中不能用不等式表示的是m+n等于。

练1中是不等式的有5>x，3a+4b>y，2a+3≤7，x^2+1≥8.练2中(1)的含义是x^2大于等于0，(2)的含义是-x小于等于0.知识点2：不等式的基本性质不等式有以下基本性质：1.不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

即如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。

2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

即如果a>b，c>0，那么ac>bc，a/b>b/b。

3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

即如果a>b，c<0，那么ac<bc，a/b<b/a。

4.如果a>b，那么b<a。

5.如果a>b，b>c，那么a>c。

例1中由a-3<b+1可得到的结论是a<b+4.例2中如果a>b，那么下列变形错误的是2-2a>2-2b。

例3中正确的判断是若a<b，则a^2<b^2.例4中若a1，a+b<ab。

例1】解下列不等式组，结果正确的是（）B．不等式组x7的解集是x 1解析：用数轴法解不等式组，先求出每一个不等式的解集，再找出它们的公共部分。

对于不等式组x7的解集是x 1x 1其解集为x7，x1，即x7.结果正确的是B.练1】嘉年华小区计划新建50个停车位，已知新建1个地上停车位和1个地下停车位需0.7万元，新建3个地上停车位和2个地下停车位需1.6万元。

If the heart is tired, a person loses his soul, and does not have a mind to do things, and everything in the worldseems to have nothing to do with him.（页眉可删）初中数学不等式的解法知识点复习大家要知道不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向会发生改变。

解不等式主要的有：①不等式F(x) G(x)与不等式 G(x)F(x)同解。

②如果不等式F(x) G(x)的定义域被解析式H( x )的定义域所包含，那么不等式 F(x)③如果不等式F(x)0，那么不等式F(x)H(x)G(x)同解。

④不等式F(x)G(x)0与不等式同解;不等式F(x)G(x)0与不等式同解。

注意事项1.符号：不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。

2.确定解集：比两个值都大，就比大的还大;比两个值都小，就比小的还小;比大的大，比小的小，无解;比小的大，比大的小，有解在中间。

三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。

3.另外，也可以在数轴上确定解集：把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。

有几个就要几个。

4.不等式两边相加或相减，同一个数或式子，不等号的方向不变。

(移项要变号)值得大家注意的是，不等式两边相乘或相除，同一个正数，不等号的方向不变。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

初中数学不等式知识点大全一、不等式的定义不等式是数与数之间大小关系的一种表示形式。

对于实数a、b，若存在一个符号“>”或“<”，使得它们之间满足关系式“a>b”或“a<b”，则称“a与b之间存在不等关系”，这种关系用不等式符号“>”或“<”来表示。

二、不等式的性质1.加减性质：如果一个不等式两边同加（减）一个相同的实数，不等式的方向不变。

2.正数倍性质：如果一个不等式两边同乘以一个正实数，不等式的方向不变。

3.负数倍性质：如果一个不等式两边同乘以一个负实数，不等式的方向反转。

4.零倍性质：如果一个不等式两边同乘以零，不等式的方向不变。

三、常见的不等式形式1. 单变量一次不等式：形如ax+b>0（或<0），其中a、b为实数，x为变量。

2. 绝对值不等式：形如，ax+b，>0（或<0），其中a、b为实数，x为变量。

3. 二次不等式：形如ax²+bx+c>0（或<0），其中a、b、c为实数，x为变量。

4. 有理不等式：形如$\frac{f(x)}{g(x)} >0$（或<0），其中f(x)、g(x)为有理式，x为变量。

5. 分式不等式：形如$\frac{f(x)}{g(x)} >n$（或<n），其中f(x)、g(x)为整式，n为实数，x为变量。

四、不等式的解集表示方法1.集合表示法：使用集合符号表示不等式的解集。

2.区间表示法：使用数轴上的区间表示不等式的解集，包括开区间、闭区间和半开半闭区间。

3.集合与区间混合表示法：使用集合符号和数轴上的区间混合表示不等式的解集。

五、不等式的求解方法1.移项法：将不等式中含有变量的项移到一边，将常数项移到另一边，得到简化的不等式。

2.加减法：根据不等式的性质，可以通过加减相同的实数使不等式变得简单。

3.乘除法：根据不等式的性质，可以通过乘除相同的实数使不等式变得简单。

不等式例题71．p=|x+1|+|x－3|为定值，则此定值为，相应的x的范围是．2．p=|6－2x|+|2x+9|为定值，则此定值为，相应的x的范围是．答案：①零点分段法；②最值1．x=－1，x=3，①x≤－1时，原式=－x－1+3－x=2－2x；②－1≤x≤3时，原式=x+1+3－x=4；③x＞3时，原式=2x－2．综上－1≤x≤3时定值为4．2．原式=|2x－5|+|2x+9|=2|x－52|+2|x+92|=2(|x－52|+|x+92|)，当－92≤x≤52时，定值为14．3．如果对于某一给定范围内x的任意允许值，s=|x－1|+|x－2|+|x－3|+······+|x－2016|的值恒为一定常数，则相应的x的范围是．答案：1008≤x≤1009．练习如果对于某一定范围内的x值，m=|2－3x|+|3x+7|为定值，则此定值为，相应的x的范围是．答案：9；－73≤x≤23．例题81．若2x+|4－5x|+|1－3x|+4的值恒为常数，则x应该满足怎样的条件？此常数的值为多少？答案：①当x≤13时，原式=2x+4－5x+1－3x+4=－6x+9，②当13≤x≤45时，原式=2x+4－5x+3x－1+4=7，当x＞45时，原式=2x+5x－4+3x－1+4=10x－1．2．如果对于某一给定范围内的x值，p=|x－5|－|x+2|为定值，则此定值为．答案：①x≤－2时，原式=7；②x≥5时，原式=－7．3．如果对于某一给定范围内a的任意允许值，p=|6a+7|－|5－2a|－|4a|的值恒为一常数，则此常数值为（）A．12B．2C．－12D．12或－12答案：①67052040aaa，∴7652aaa，∴a≥52时，原式=(6a+7)－(2a－5)－4a=12；②67052040aaa，a≤－76时，原式=(－6a－7)－(5－2a)－(－4a)=－12．练习若|3－a|+|3－4a|－3a的值是一个定值，求a的取值范围．答案：当a＜34时，原式=6－8a不符合题意；34≤a≤3时，原式=3－a+4a－3－3a=0；当a＞3时，原式=2a－6不符合题意．拓展是否存在x的值使得|x－1|－|2x－1|－|3x－l|为定值．答案：当原式=x－1+2x－1－(3x－1)=－1时，1>021<031>0xxx无解，当原式=－x++2x+1+(3x－1)=1时，1<021>031<0xxx无解，∴不存在例题9已知x为正数，且对于x在某一范围内任意取值，代数式|x－2|+|2x－2|+|3x－2|+ |4x－2|+ |5x－2|+ |7x－2 |+ |8x －2|的值恒为定值，试求出x的取值范围及这个定值．答案：上式恒为定值，即其值与x的取值无关，前5项≤0与后2项≥0，符号相反即可，∴27≤x≤25时，原式=－(x－2)－(2x－2)－(3x－2)－(4x－2)－(5x－2)+(7x－2)+(8x－2)=6．练习x满足何种条件时，可使|x－1|+|2x－1|+|3x－1|+|4x－1|+2|5x－1|恒为定值．答案：前4项≤0，最后项≥0，15≤x≤14时，原式=2．翻到课本第68页例9已知abc≠0，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|－c=0，试化简|b|－|a+b|－|c－b|+|a－c|．答案：∵|a|+a=0，∴a≤0，又abc≠0，∴a＜0，∵|ab|=ab≠0，∴ab＞0，∴b＜0，且|c|－c=0，∴c＞0，综上所述a＜0，b＜0，c＞0，∴原式=－b+(a+b)－(c－b)+(c－a)=b．练习若非零有理数a、b、c满足a＞|b |＞|c|，且aa+bb+cc=－1，m= |－c－a |－|c－b|+|2－b|，求1－2016(m－a－3)3的值．答案：∵a＞|b |＞|c|≥0，∴a＞0，又aa+bb+cc=－l，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴a＞b＞－c，∴－c－a＜0，c－b＞0，2－b＞0，∴m=2+a，∴m－a=2，代入原式=1－2016(2－3)3=2017．例10已知三个有理数a、b、c满足|a+b+c|=a－b+c，且b≠0，那么|a－b+c+1|－|b－2|的值为．答案：分析|a+b|=a－b，①a+b+c≥0时，a+b+c=a－b+c，b=0（舍）；②a+b+c＜0时，－a－b－c=a－b+c，∴a+c=0，|b|=－b，∴b≤0，又b≠0，∴－b＜0，原式= |－b+1|－|b－2 |= |b－1|－|b－2 |=－1．练习1．已知三个有理数x、y、z满足|x－y－z+5|=x+y+z，且x>0，求(y+z)x－52(x+4)值．答案：①x－y－z+5≥0时，x－y－z+5=x+y+z，∴y+z=52，|x+52|= x+52≥0符合，②x－y－z+5＜0时，－x+y+z－5=x+y+z，x=－52舍去，∴原式=52x－52(x+4)=－10．2．已知有理数a、b满足ab<0，|a|>|b|，2（a+b）=|b－a|，则ab的值为．答案：∵ab<0，|a|>|b|，∴当a＞0，b＜0时，2（a+b）=|b－a|=a－b，即a=－3b，∴ab=－3；当a＜0，b＞0时，a+b＜0，b－a＞0，2（a+b）≠|b－a|，不符合题意，舍去，综上ab=－3．翻到第100页1．一件商品的进价为a元，将进价提高80%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元．答案：a(1+80%)710－a=0.26a元．2．一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是元．答案：100．3．一件服装在成本基础上提价50%标价，若打八折销售，仍可获利36元，则这件服装的利润率是．答案：20%，设成本x元，x(1+50%)810－x=36，x=0.2．1．有一商店把某件商品按进价加20%作为定价，可总卖不出去，后来老板按定价减价20%，以96元出售，很快卖掉了，则这次生意的盈亏情况为（）A．赚了6元B．不亏不赚C．亏了4元D．亏了24元答案：C，设价格x元，x(1+20%)(1－20%)=96，x=100，96－100=－42．甲乙两商场经营同一种商品，进价相同，标价也相同．为了促销，甲商场按标价提价30%后再打九折销售，乙商场按标价的八折再提价40%销售，两商场售出的商品一样多，则两家商场获利（）A．甲商场大B．乙商场大C．一样大D．不能确定答案：C，设进价a元，标价b元，出售n件，甲利润1.3b×0.9n－an=1.17bn－an；乙商场利润0.9b×1.3n －an=1.17bn－an；∴一样大3．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%，则售货员应标在标签上的价格为．答案：7801080x=5%，x=120．例1将7张相同的小正方形片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1和S2，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a>b．（1）当a=9，b=2，AD=30时，长方形ABCD的面积是，s1－s2的值是；（2）当AD=30时，请用含a，b的式子表示s1－s2的值；（3）若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而s1－s2的值总保持不变，则a，b满足的关系是．答案：（1）30×17=510，21×8－24×9=－48；（2）s 1－s 2＝a (30－3b )－4b (30－a )=30a －3ab －120b +4ab =ab +30a －120b ；（3）s 1－s 2＝4b (AD －a ) －a (AD －3b )，整理得s 1－s 2＝(4b －a )AD －ab ，∵AB 长度不变，AD 变长，而s 1－s 2的值总保持不变，∴4b －a =0，解得a ，b 满足的关系是a =4b .练习如图所示，用三种正方形六个和一个缺角的长方形AFHGKE 拼成长方形ABCD ，其中GH =a ，GK =2，设BF =x ．（1）DM = （用含x 和a 的代数式表示）；（2）求长方形ABCD 的周长（用含x 和a 的代数式表示）．答案：（1）2a +2x －3；（2）AD =3x +2(a +x )=2a +5x ，CD =2a +2x －2－+a +x =3a +3x －2，C 四边形ABCD =2(2a +5x +3a +3x －2)=10a +16x －4．例2A 、B 两地分别有水泥40吨和30吨，C 、D 两地分别需要水泥25吨和45吨．现将A 、B 两地的水泥按需求全部运到C 、D 两地，已知从C 、D 两地的运价如下表：（1）用含有x 的式子表示从A 地的水泥为 吨，从地将这些水泥运到D 地的运输费用为 元；（2）用含有x 的式子表示从B 地运到D 地的水泥为 吨；（3）用含有x 的式子表示将全部水泥从A 、B 两地运到C 、D 两地的运输费用，并化简该式子． 答案：（1）(40－x )，12(40－x )=480－12x ；（2）(x +5)；（3）总费用=15x +12(40－x )+10(25－x )+9(x +5)=2x +775．练习一架直升机从高度为450米的位置开始，先以20米/秒的速度上升60秒，后以12米/秒的速度下降120秒，规定上升为正，下降为负．baM H GA DCFB E K（1）这时直升机的高度是多少？（2）直升机每上升1米耗油112(2x 2－12+3x )升，每下降1米耗油518(x 2－x －12)升，其中x >1，问这架直升机在上升和下降的过程中共耗油多少升？答案：（1）450+20×60－12×120=210；（2）1200×112(2x 2－12+3x )+12×120×518(x 2－x －12)=600x 2－100x －250．例4某居民小区的俯视图如图所示，点A 处为小区的大门，小方块处是建筑物，圆饼处是花坛，扇形处是休闲广场，空白处是道路，从小区大门口向东或向南走到休闲广场，走法共有（ ）A ．7种B ．8种C ．9种D ．10种答案：C ，标数字，练习教师某处的俯视图如图所示，点A 处为小明所处位置，点B 处为后门，小方块处是课桌，空白处是过道，从小明所处位置向右或向左走到后门，走法共有 种？答案：10种例5BA右后观察下面的三行单项式：x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，······；－2x，4x2，－8x3，16x4，－32x5，64x6，······；2x2，－3x3，5x4，－9x5，17x6，－33x7，······；（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为；（2）第二行第n个单项式为；（3）第三行第8个单项式为；第n个单项式为；（4）取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算x=12时，512（A+14）的值．答案：（1）12n n x=782x=1288x；（2）(－1)n2n n x；（3）－129x9，(－1)1n(21n+1)x1n；（4）A =10112x－11112x+(102+1)x12，∴x=12时，512（A+14）=18．练习观察下面三行数：2、－4、8、－16、32、－64 ······；0、－6、6、－18、30、－66 ······；2、－10、14、－34、62、－130······；（1）第一行第n个数是；（2）分别说出第二行和第三行的规律？（3）第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为－20，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由．答案：（1）(－1)1n2n；（2）(－1)1n2n－2；(－1)1n2n+(－1)1n2n－2=(－1)1n21n－2；（3）设n列和为1020，则a+a－2+2a－2=1020，a=256，若存在，则(－1)1n2n=256，∵82=256，n=8时(－1)1n=－1，∴矛盾不符，∴不存在．。

初中不等式重要知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是指两个不同实数之间的大小关系，用不等号表示的式子称为不等式。

例如：a ＞b，a、b为实数。

不等式包括开区间不等式和闭区间不等式。

开区间不等式：a ＞ b（>表示大于，不包括a）；闭区间不等式：a ≥ b（≥表示大于等于，包括a）。

2. 不等式的解集不等式的解集是所有满足不等式条件的实数构成的集合。

例如：不等式2x ＞ 6的解集为{x | x ＞ 3}。

3. 不等式的性质不等式与等式一样，具有传递性、对称性和反对称性。

传递性：若a ＞ b，b ＞ c，则a ＞c；对称性：若a ＞ b，则-b ＜ -a；反对称性：若a ＞ b，且b ＞ a，则a = b。

另外，对于不等式，还有加减法原理和乘除法原理。

加减法原理：不等式两边都加（减）同一个实数，不等式号的方向不变；乘除法原理：不等式两边都乘（除）同一个正数，不等式号的方向不变，都乘（除）同一个负数，不等式号的方向改变。

二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的书写一元一次不等式是指形如ax + b ＞ 0或ax + b ＜ 0的不等式，其中a和b是常数，x是未知数。

一元一次不等式中，a不等于0。

2. 一元一次不等式的解法解一元一次不等式，主要有以下几种方法：（1）图解法：将不等式转化为方程，利用函数的图像找出满足不等式条件的实数解。

（2）试数法：通过代入试数的方式，找出满足不等式条件的实数解。

（3）分析法：通过移项整理和求解，找出满足不等式条件的实数解。

三、一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的定义一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式构成的集合。

2. 一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组，主要有以下几种方法：（1）图解法：将不等式转化为方程，找出满足所有不等式条件的实数解，画出其图像，并找出图像的交集部分。

（2）试数法：通过代入试数的方式，找出满足所有不等式条件的实数解。

不等式性质①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z，那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；⑦如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n 次幂<y的n次幂（n为负数）。

⑧倒数法则。

例如：a＜b如果a，b同号（同为正数或同为负数）那么则有1/a＞1/b成立（即不等号变号）如果a为负数，b为正数则仍然是1/a＜1/b（即不等号不变号）总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

符号不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。

（移项要变号）不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。

不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。

（×÷负数要变号）解集确定解集：①比两个值都大，就比大的还大(同大取大）；②比两个值都小，就比小的还小(同小取小）；③比大的大，比小的小，无解（大大小小取不了）；④比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小取中间）。

三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。

数轴法把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。

有几个就要几个。

注意实点与空点的区别。

在确定一元二次不等式时，a>0，Δ=b²-4ac>0时，不等式解集可用"大于取两边，小于取中间"求出。

一、不等式的基本性质1．若x＞y，则下列等式不一定成立的是（）A．x+4＞y+4 B．﹣3x＜﹣3y C．D．x2＞y2 2．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c=d则ac＞bd C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，c＜d则3．下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2 4．若a＜﹣1，那么不等式（a+1）x＞a+1的解集为（）二、不等式（组）的解集和整数解1．如图，数轴所表示的不等式的解集是．2．不等式2（1﹣x）＜4的解集表示正确的是（）A．B．C．D．3．不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．不等式组的解集是（）5．不等式11﹣3x＞1的所有非负整数解的和为．6．不等式组的最小整数解为（）7．不等式组的所有整数解的积是（）8．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为．三、解不等式（组）1．解不等式，并把解集表示在数轴上．①2x+9≥3（x+2）②③≤﹣12．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来（注意原点和单位长度的比例）．（1）（2）（3）（4）四、可转化为不等式（组）1．“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（）2．如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围是 .3．若代数式的值不小于1，则t 的取值范围是．4．已知（x﹣2）2+|2x﹣3y﹣m|=0中，y为正数，则m的取值范围为 .5．不等式组的解集为﹣1＜x＜1，求（a+1）（b+1）的值．6．关于x，y的方程组的解满足x+y＞2，求m的取值范围．7．若方程组中，x是正数，y是非正数．求k的正整数解. 五、求不等式（组）中字母的取值范围1．若不等式组的解集为x＜5，则m的取值范围是（）2．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（）3．若不等式组的解集是x＞4，则n的取值范围是4．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是．5．若不等式x＜a的正整数解有两个，那么a的取值范围是．6．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）7．对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是．六、不等式（组）与一次函数1．函数y=中自变量x的取值范围是（）2．如左图，当y＞0时，自变量x的取值范围是．3．如中图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b＞ax+3的解集为（）4．如右图直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为．5．在k=1的条件下求一次函数y=与坐标轴围成的面积．七、不等式（组）应用题1．学校举行百科知识抢答赛，共有20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃记﹣4分，八年级一班代表的得分目标为不低于88分，则这个队至少要答对道题才能达到目标要求．2．出租车的收费标准是：起步价6元（即行驶距离不超过3千米都需付6元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地路程是x千米，出租车费为16.5元，那么x 的最大值是（）3．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）A．40% B．33.4% C．33.3% D．30%4．一水果经销商购进了A，B两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：（1）若甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能盈利多少元？（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？选1．某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元，并且篮球数不少于排球数的3倍，那么有哪几种购买方案？（3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？选2．学校图书馆准备采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．选3．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产1件B种产品需甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产A、B两种产品可获总A种水果/箱B种水果/箱甲店11元17元乙店9元13元利润是y元，其中A种产品的生产件数是x．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）符合题意的生产方案有几种？请你帮忙设计出来；（3）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．。

初中不等式的知识点归纳一、不等式的概念。

1. 不等式的定义。

- 用不等号（＞、≥、＜、≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

例如：3x + 5>2，a - 1≤0等。

2. 不等式的解。

- 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

例如，对于不等式x + 1>0，x = 1就是它的一个解，因为当x = 1时，1+1 = 2>0。

3. 不等式的解集。

- 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

例如，不等式x - 3>0的解集是x>3，这表示所有大于3的数都是这个不等式的解。

4. 解不等式。

- 求不等式解集的过程叫做解不等式。

二、不等式的基本性质。

1. 性质1（不等式的传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。

例如：若5>3，3>1，则5>1。

2. 性质2（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变）- 如果a>b，那么a±c>b±c。

例如：若x>2，那么x+1>2 + 1，即x+1>3；x-3>2-3，即x - 3>-1。

3. 性质3（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或(a)/(c)>(b)/(c)）。

例如：若2x>4，两边同时除以2（2是正数），得到x>2。

4. 性质4（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）- 如果a>b，c<0，那么ac（或(a)/(c)<(b)/(c)）。

例如：若-3x>6，两边同时除以 - 3（-3是负数），得到x<-2。

三、一元一次不等式。

1. 一元一次不等式的定义。

- 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

其一般形式是ax + b>0或ax + b<0（a≠0），例如2x - 1>0，3 - x<0等。

解不等式组专题训练（含答案）1、求不等式的正整数解．1．解不等式组：．2．解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．3．解不等式组：．5．解不等式，要求写出详细步骤：，并把解集在数轴上表示出来．6．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．7．解不等式组：，并写出它所有的整数解．8．解不等式组：．9．解不等式组：．10．解不等式组：．11．解不等式（组）：（1）解不等式；（2）解不等式组，并写出它的非负整数解．11．解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．13．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．14．解不等式组：，并写出它的正整数解．15．解不等式组：．16．解不等式组，并把解集在下面的数轴上表示出来．16．（1）解方程组；（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．17．解不等式组：．18．解不等式组，并写出它的所有的负整数解．19．解不等式组并求出它的正整数解．20．解不等式组：．答案：1．求不等式的正整数解．【解答】解：，去分母得：2（3x﹣1）﹣3（x+1）≤6，去括号得：6x﹣2﹣3x﹣3≤6，移项得：6x﹣3x≤6+2+3，合并同类项得：3x≤11，化系数为1得：x≤，∴原不等式的正整数解为1，2，3．2．解不等式组：．【解答】解：解不等式2x﹣1＞x+2，得：x＞3，解不等式x+5＜4x﹣1，得：x＞2，则不等式组的解集为x＞3．3．解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．【解答】解：不等式组，由①得x≥﹣1，由②得：x＜2，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，即整数解为﹣1，0，1，则整数解的和为﹣1+0+1＝0．4．解不等式组：．【解答】解：，由＞1得x＞，由4x﹣5≤3x+2得x≤7，故不等式组的解集为＜x≤7．5．解不等式，要求写出详细步骤：，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：，去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），去括号得：3x﹣6≤14﹣2x，移项合并同类项得：5x≤20，解得：x≤4．把解集在数轴上表示出来，如图：6．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：，∵解不等式①得：x≤7，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤7．在数轴上表示不等式组的解集为：7．解不等式组：，并写出它所有的整数解．【解答】解：解不等式＞得：x＞﹣2，解不等式x﹣3（x﹣2）≥4得：x≤1，则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，所以不等式组的整数解为﹣1、0、1．8．解不等式组：．【解答】解：解不等式①，得x＜4，由②，得x≥3，∴不等式组的解集是3≤x＜4．9．解不等式组：．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．10．解不等式组：．【解答】解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＜3，∴该不等式组的解集为2＜x＜3．11．解不等式（组）：（1）解不等式；（2）解不等式组，并写出它的非负整数解．【解答】解：（1），去分母得：3（2+x）≤2（2x﹣1）﹣12，去括号得：6+3x≤4x﹣2﹣12，移项得：3x﹣4x≤﹣2﹣12﹣6，合并同类项得：﹣x≤﹣20，化系数为1得：x≥20；（2），由①得：x≤1，由②得：x＞﹣7，∴不等式组的解集为﹣7＜x≤1，则它的非负整数解为0，1．12．解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．【解答】解：，由①得，x≥﹣1；由②得，x＜2，把不等式①和②的解集在数轴上表示为：故不等式组的解集为﹣1≤x＜2，13．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【解答】解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为：2＜x≤4，在数轴上表示不等式的解集如图所示，14．解不等式组：，并写出它的正整数解．【解答】解：解不等式①，得：x＜2.5，解不等式②，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2.5，所以该不等式组的正整数解为1、2．15．解不等式组：．【解答】解：，由①得：x＜19，由②得：x＞1，所以这个不等式组的解集为1＜x＜19．16．解不等式组，并把解集在下面的数轴上表示出来．【解答】解：，解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得x≤5，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤5，表示在数轴上，如图所示：17．（1）解方程组；（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：（1）方程组化为，①﹣②×2，得：x＝2，将x＝2代入②，得：2+y＝5，解得y＝3，∴方程组的解为；（2）解不等式①，得：x＞﹣2，解不等式②，得：x≤3，将不等式①和②的解集表示在数轴上如下：∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3．18．解不等式组：．【解答】解：，解不等式①得，x＞1，解不等式②得，x≤4，则不等式组的解集为1＜x≤4．19．解不等式组，并写出它的所有的负整数解．【解答】解：，由①可得：，由②可得：x≥﹣4，∴原不等式组的解集为：，∴该不等式组的负整数解有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1．20．解不等式组并求出它的正整数解．【解答】解：解不等式①得：x≤，解不等式②得：x＞，所以不等式组的解集为＜x≤，则不等式组的正整数解为1，2，3．21．解不等式组：．【解答】解：解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜10，所以不等式组的解集为﹣2≤x＜10．。

初中数学复习如何快速解决不等式与绝对值问题不等式与绝对值问题是初中数学中的重要内容之一，对于学生来说，掌握快速解决这类问题的方法非常关键。

本文将介绍一些有效的复习策略和解题技巧，帮助初中生快速解决不等式与绝对值问题。

一、复习策略1.复习基础知识：在解决不等式与绝对值问题之前，我们需要掌握基本的数学概念和知识。

因此，复习基础知识是构建解题能力的重要基础。

初中学生可以通过预习教材、复习课堂笔记和解题方法等方式来巩固基础知识。

2.理解概念定义：对于不等式与绝对值的相关概念，如何理解其定义是解题的关键。

学生应该深刻理解不等式中的大小关系及其图像表示，以及绝对值的意义和特性等。

3.掌握解题步骤：在解决不等式与绝对值问题时，学生需要按照一定的步骤进行推理与求解。

初中生可以通过大量的练习来熟悉解题的步骤，加深对题型的理解和记忆。

4.总结规律方法：在解题过程中，总结规律方法可以帮助学生快速捕捉问题的特点，提高解题效率。

例如，学生可以通过观察和归纳，总结出不等式的基本性质和解法思路，并把它们应用于不同的问题中。

二、不等式问题的解决方法1. 简化问题：对于复杂的不等式问题，学生可以通过逐渐简化问题，化繁为简。

例如，可以通过进行数的替换、数的分解、绝对值的拆分等方法，将一个复杂的不等式问题转化为一系列简单的等式问题。

2. 确定不等式的类型：不同类型的不等式问题有不同的解题方法，学生需要根据题目给出的条件和要求，确定不等式的类型。

常见的不等式类型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。

3. 运用数轴进行解题：在解决一元一次不等式时，可以利用数轴的性质进行推理和求解。

学生可以将不等式中的变量在数轴上标出，根据不等式的符号关系确定变量的取值范围，从而得到不等式的解集。

4. 利用性质和规律求解：学生还可以通过利用不等式的性质和规律，运用代数方法进行求解。

例如，可以通过移项、配方法、整理等操作，将复杂的不等式化简为简单的等式或不等式，从而得到问题的解。

初中数学知识归纳不等式的性质与解法初中数学知识归纳：不等式的性质与解法在初中数学中，不等式是一种重要的数学工具，它常常用于描述数值之间的关系。

通过学习不等式的性质与解法，我们可以更好地理解数学问题，并能够灵活地运用不等式进行问题的求解。

本文将从不等式的基本性质、不等式的解集表示以及不等式的解法等方面进行归纳总结。

一、不等式的基本性质不等式的基本性质是我们学习不等式的起点，它们包括：1. 同加同减性质：对于不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等关系保持不变。

例如，若a > b，则 a + c > b + c，a - c > b - c。

2. 同乘同除性质：对于不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等关系保持不变；如果乘或除以一个负数，不等关系改变。

例如，若a > b，则 ac > bc （c > 0），ac < bc （c < 0）。

3. 对称性质：不等关系的两边可以互换。

例如，若a > b，则b < a。

以上基本性质为我们解决不等式问题提供了基础，我们可以通过对不等式进行恰当的运算，来得到不等式的等价形式或简化形式，以便更好地分析和求解。

二、不等式的解集表示对于不等式问题，我们通常需要确定其解集表示。

以下是一些常见的解集表示形式：1. 数轴表示法：对于一元不等式，我们可以使用数轴上的点来表示解集。

例如，若不等式为x > 2，解集可以表示为一个开区间(2, +∞)。

2. 区间表示法：对于一元不等式，我们可以使用区间表示解集。

例如，若不等式为-1 ≤ x ≤ 3，解集可以表示为闭区间[-1, 3]。

3. 集合表示法：解集也可以用集合的形式表示。

例如，若不等式为x < -2，解集可以表示为{x | x < -2}。

不同的表示形式可以根据具体问题的需求进行选择，有时也可以根据问题的要求进行转换。

三、不等式的解法在解决不等式问题时，我们需要根据具体的不等式形式和问题要求选择相应的解法。

不等式专题整理1. 一次不等式：- 加减法：- 如果 a>b，则 a+c > b+c （c为任意实数）- 如果 a>b，则 a-c > b-c （c为任意实数）- 乘法：- 如果 a>b 且 c>0，则 ac > bc- 如果 a>b 且 c<0，则 ac < bc- 除法：- 如果 a>b 且 c>0，则 a/c > b/c- 如果 a>b 且 c<0，则 a/c < b/c- 平方：- 如果 a>b 且 a>0 且 b>0，则 a^2 > b^2- 如果 a>b 且 a<0 且 b<0，则 a^2 > b^2- 开方：- 如果 a>b 且 a>0 且 b>0，则√a > √b- 如果 a>b 且 a<0 且 b<0，则√a < √b2. 二次不等式：- 求根：- 如果 ax^2+bx+c > 0 且 a>0，则该二次函数有两个实根。

可以通过求解方程 ax^2+bx+c = 0 来确定实根所在的区间。

- 如果 ax^2+bx+c < 0 且 a<0，则该二次函数有两个实根。

可以通过求解方程 ax^2+bx+c = 0 来确定实根所在的区间。

- 判别式：- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac > 0 时，该二次函数有两个不相等的实根。

- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac = 0 时，该二次函数有两个相等的实根。

- 当二次函数 ax^2+bx+c = 0 的判别式 D = b^2-4ac < 0 时，该二次函数无实根。

3. 绝对值不等式：- 绝对值大于等于某个数：- 如果|a| ≥ b，则a ≥ b 或a ≤ -b （b为非负实数）- 绝对值小于等于某个数：- 如果|a| ≤ b，则 -b ≤ a ≤ b （b为非负实数）4. 分式不等式：- 分式大于等于某个数：- 如果f(x) ≥ a，则分别对 f(x)-a ≥ 0 进行相应的不等式变形和求解。