三门峡市外高2019届高三数学暑假作业 第七章 不等式、推理与证明
一、选择题
1．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( )． A ．a ＞ab ＞ab 2 B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2
D ．ab ＞ab 2＞a
2．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )． A ．a ＞b ＋1
B ．a ＞b －1
C ．a 2＞b 2
D ．a 3＞b 3
3．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0.那么下列选项中一定成立的是( )． A ．ab ＞ac
B ．c (b －a )＜0
C ．cb 2
＜ab 2
D ．ac (a －c )＞0
4．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1
x
＜a 等价于( )．
A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a
B ．－1a ＜x ＜1b
C ．x ＜－1a 或x ＞1b
D ．x ＜－1b 或x ＞1a
5．已知ax 2－bx －1≥0的解集是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--
31,21，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )． A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31 D.⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131,
6．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )． A.⎪⎭
⎫
⎝⎛215,
23
B ．[2,8]
C ．[2,8)
D ．[2,7]
7．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2，x ＞0，
x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集
为( )．
A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
B ．[－3，－1]
C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)
D ．[－3，＋∞) 8．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥x ，y ≤mx ，
x ＋y ≤1
下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为．
A ．(1,1＋2)
B ．(1＋2，＋∞)
C ．(1,3)
D ．(3，＋∞) 9．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )．
A.13
B.12
C.34
D.2
3
10．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )．
A.1a ＋1b 有最大值4 B ．ab 有最小值14 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值2
2
11．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2
cd 的最小值是( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
12．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n ，则当n ＝k ＋1时，左
端应在n ＝k 的基础上加上( )． A.12k ＋2 B ．－12k ＋2 C.12k ＋1－1
2k ＋2 D.12k ＋1＋12k ＋2
二、填空题
13．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1
2n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不等式是________．
14．若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为________． 15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋4y －13≤0，x －2y －1≤0，
x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取
得最小值，则m ＝________.
16．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2
x 的图象交于P ，Q 两点，则线
段PQ 长的最小值是________．
三、解答题
17、（1）．若x ＞1，求x ＋4
x －1
的最小值？
（2）函数y ＝a 1－
x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，
求1m ＋1
n 的最小值？
（3）若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，求x ＋y 的最大值？
（4）求解不等式|x ＋1|－|x －3|≥0
18．解关于x 的不等式ax 2
－2≥2x －ax (a ∈R )．
19．已知a ∈R ，试比较1
1－a 与1＋a 的大小．
20．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，求以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的
平面区域的面积．
21．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6
个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童S 这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
22．是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．
