2015年江西省宜春市高安市四校(二中、中学)高考一模数学试卷(文科)【解析版】
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第1页（共22页）
2015年江西省宜春市高安市四校（二中、中学、丰城中学、樟
树中学）高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）集合M＝{1，2}，N＝{3，4，5}，P＝{x|x＝a+b，a∈M，b∈N}，则集
合P的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（5分）已知复数z
1＝2+ai（a∈R），z
2＝1﹣2i，
若为纯虚数，则|z
1|＝（ ）
A． B． C．2 D．
3．（5分）“m＝﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1＝0，和直线3x+my+9＝0垂直”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A和C的距离
都小于1的概率为（ ）
A
． B
． C
． D
．
5．（5分）若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的
条件是（ ）
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A．k＜6？ B．k＜7？ C．k＜8？ D．k＜9？
6．（5分）把函数y＝sin（x
+
）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐
标不变）
，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为
（ ）
A
． B
． C
． D
．
7．（5分）直线x+y+＝0截圆x2+y2＝4所得劣弧所对圆心角为（ ）
A
． B
． C
． D
．
8．（5分）已知实数x，y
满足不等式组，若目标函数z＝y﹣ax取得
最小值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（0，1） C．[1，+∞） D．（1，+∞）
9．（5分）已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为
（
）
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A．6π B． C．3π D
．
10．（5分）已知椭圆C
1
：
+＝1（a
1＞b
1＞0）与双曲线C
2
：
﹣＝
1（a
2＞0，b
2＞0）有相同的焦点F
1，F
2，点P是两曲线的一个公共点，a
1，
a
2又分别是两曲线的离心率，若PF
1⊥PF
2，则4e
12+e
22的最小值为（ ）
A
． B．4 C
． D．9
11．（5分）已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，
若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b＝0，a，b∈R有
且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A
． B
．
C
． D．（﹣3，﹣1）
12．（5分）设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x
0，h（x
0））处的切线方程
为l：y＝g（x），当x≠x
0
时，若＞0在D内恒成立，则称P为函
数y＝h（x）的“类对称点”，则f（x）＝x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐
标是（ ）
A．1 B． C．e D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在△ABC中，若（a2+c2﹣b2）•tanB＝•ac，则角B＝ ．
14．（5分）已知是单位向量，．若向量满足|
的取值范围是 ．
15．（5分）数列{a
n}中相邻两项a
n与a
n+1是方程x2+3nx+b
n＝0的两根，已知a
10
＝﹣13，则b
21等于 ．
16．（5分）已知函数f（x）是定义在[﹣4，+∞）上的单调增函数，且对于一切
实数x，不等式f（cosx﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，则实数b的取值范
围是 ．
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三、解答题：本大题共六个大题，满分60分；解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤.
17．（12分）已知某学校高一、高二、高三年级分别有16、12、8个班．现采用
分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级中抽取9个班进行调查，
（1）求从高一、高二、高三年级分别抽取的班级个数；
（2）若从抽取的高二、高三年级各个班中再随机抽取2个进行调查，求抽取的
2个班中至少有1个来自高三年级的概率
（3）已知高二年级的A班和高三年级的B班在所抽取的9个班中，现再从这9
个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查，求高二年级的A
班和高三年级的B班都被抽取的概率．
18．（12分）已知单调递增的等比数列{a
n}满足：a
2+a
3+a
4＝28，且a
3+2是a
2，
a
4的等差中项．
（1）求数列{a
n}的通项公式；
（2）记数列{a
n}前n项的和为S
n，若数列{b
n}满足b
n＝a
nlog
2（S
n+2），试求数列
{b
n}前n项的和T
n．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A
1B
1C
1的所有棱长都是2，又AA
1⊥平面ABC，
D，E分别是AC，CC
1的中点．
（1）求证：AE⊥平面A
1BD；
（2）求点B
1到平面A
1BD的距离．
20．（12分）已知方向向量为＝（1，）的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：
+＝1（a＞b＞0
）的右焦点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（﹣8，0）的直线与椭圆相交于不同两点A、B，F为椭圆C的左
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焦点，求三角形ABF面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x
）＝+tx﹣1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上无极值，求t的值；
（Ⅱ）若存在x
0∈（0，2），使得f（x
0）是f（x）在[0，2]上的最大值，求t的取
值范围；
（Ⅲ）当t＞0时，若f（x）≤xex﹣1（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）
恒成立，求t的取值范围．
选做题（在22、23、24三题中任选一题作答）【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，
弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．
（1）求证：CE•EB＝EF•EP；
（2）若CE：BE＝3：2，DE＝3，EF＝2，求PA的长．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在极坐标系中，已知圆C
的圆心，半径r＝．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若，直线l
的参数方程为（t为参数），直线l
交圆C于A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣1，其中a＞1．
（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；
（Ⅱ）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤1
的解集为，求
a的值．
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2015年江西省宜春市高安市四校（二中、中学、丰城中
学、樟树中学）高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）集合M＝{1，2}，N＝{3，4，5}，P＝{x|x＝a+b，a∈M，b∈N}，则集
合P的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵M＝{1，2}，N＝{3，4，5}，a∈M，b∈N
∴a＝1或2，b＝3或4或5，
当a＝1时，x＝a+b＝4或5或6，
当a＝2时，x＝a+b＝5或6或7，
即P＝{4，5，6，7}，
故选：B．
2．（5分）已知复数z
1＝2+ai（a∈R），z
2＝1﹣2i，
若为纯虚数，则|z
1|＝（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵z
1＝2+ai（a∈R），z
2＝1﹣2i，
∴，
由
为纯虚数，则，解得a＝1，
则z
1＝2+i，
∴|z
1|＝．
故选：D．
3．（5分）“m＝﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1＝0，和直线3x+my+9＝0垂直”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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【解答】解：若直线mx+（2m﹣1）y+1＝0，和直线3x+my+9＝0垂直，则3m+m
（2m﹣1）＝0，
即2m（m+1）＝0，
解得m＝0或m＝﹣1，
则“m＝﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1＝0，和直线3x+my+9＝0垂直”的充
分不必要条件，
故选：A．
4．（5分）在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A和C的距离
都小于1的概率为（ ）
A
． B
． C
． D
．
【解答】解：满足条件的正方形ABCD，
其中满足动点P到点A和C的距离都小于1的平面区域如图中阴影所示：
则正方形的面积S
正方形＝1
阴影部分的面积S阴影＝2
（）
故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P
＝
＝；
故选：D．
5．（5分）若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的
条件是（ ）
