江苏省盐城市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷 含解析

2015—2016学年江苏省盐城市高二(下)期末数学试卷

一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．抛物线y2=8x的焦点坐标是

．

2．设复数z=m+i（m＞0）,若|｜=，则m= ．

3．某校高一有550名学生，高二有700名学生,高三有750名学生，学校为了解学生的课外阅读情况,决定按年级分层抽样，抽取100名学生，则高二年级应抽取 名学生．

4．从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为 ．

5．已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为

．

6．已知实数x，y满足，则z=x+2y的最大值为 ．

7．如图所示的伪代码，则输出的S的值为 ．

8．命题“∃x∈（0,+∞)，x+＜4"的否定的真假是 ．（填“真"或“假”）

9．设函数f（x）=x2+x﹣alnx,则a＜3是函数f（x）在［1，+∞)上单调递增的 条件．（选填“充分不必要"、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

10．四名高二学生报名参加数学、物理、化学三门学科竞赛，要求每名学生都参加且只参加1门学科竞赛，则3门学科都有学生参赛的种数有 种．

11．(文科学生做）设函数f（x)=mx3+xsinx(m≠0),若f（)=﹣，则f（﹣)= ．

12．(理科学生做)在（x2﹣3x+2）4的展开式中,x2项的系数为 （用数字作答）

13．（文科学生做）将函数f（x)=2sin(2x﹣）的图象向右平移m（m＞0）个单位,所得图象关于直线x=对称,则实数m的最小值为 ．

14．在斜△ABC中,由A+B+C=π，得A+B=π﹣C,则tan（A+B)=tan（π﹣C)，化简得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．类比上述方法，若正角α，β,γ满足α+β+γ=，则tanα,tanβ,tanγ满足的结论为 ．

15．若一元二次不等式mx2+(2﹣m）x﹣2＞0恰有3个整数解，则实数m的取值范围是 ．

16．已知函数f(x）=，g（x）=（k＞0）,对任意p∈(1，+∞)，总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p,使得f（p）=f（m）=g（n)，则整数k的最大值为 ．

二、解答题：本大题共9小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(理科学生做）甲、乙、丙三名学生参加A，B两所大学的自主招生考试,假设他们能通过A大学考试的概率都是，他们能通过B大学的概率都是．

（1)求甲只通过一所大学考试的概率；

（2）设三名学生中同时通过两所大学考试的人数为X，求X的概率分布与数学期望．

18．(文科学生做）设命题p：函数f（x)=x3+ax2+ax是R上的单调递增函数，命题q：|a﹣1|≤m(m＞0)．

(1)当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；

（2）若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围．

19．（理科学生做）在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=4，BC=CC′=2，求

（1)直线B′D与BC′所成角的大小;

(2)二面角A﹣B′D﹣C的余弦值．

20．（文科学生做）已知函数f（x）=sinx﹣cosx．

（1)求f(x）在（0,π)上的单调递增区间；

（2）若f（θ)=﹣（0＜θ＜π）,求sinθ的值．

21．已知函数f(x）=﹣x2+2x，若数列{an｝满足a1=1．an+1=f（an）．

（1）求a2,a3的值；

（2）猜想an与3的大小关系，并用数学归纳法证明．

22．（文科学生做）已知函数f（x）=tanx﹣sinx，x∈（﹣）．

（1）比较f（﹣），f（﹣)，f(）,f（）与0的大小关系；

（2）猜想f(x）的正负，并证明．

23．如图,已知四边形ABCD是一块边长为2千米的正方形地皮，其中曲边三角形ADE是一个小池塘,点E在边CD上且DE=1千米．假设曲边AE可用以A为顶点，AD为对称轴的抛物线拟合，现绿化部门拟过曲边AE上一点P作切线交边AB于点M,交CD于点N，在四边形MBCN内栽种花草．

（1）建立适当的坐标系，用点P的横坐标t表示花草的面积S（t)，并写出定义域;

（2）求S（t）的最大值．

24．已知A,B，C是椭圆E: +=1的左、右、上顶点，点P是椭圆E上不同于A，B，C的一动点,若椭圆E的长轴长为4,且直线CA,CB的斜率满足kCA•kCB=﹣．

（1）求椭圆E的方程；

（2)直线AC与PB交于点M，直线CP交x轴与点N，

①当点M在以AB为直径的圆上时，求点P的横坐标；

②试问：﹣(kMN，kCP表示直线MN，CP的斜率）是否为定值？若是，求出该定值；若不是．请说明理由．

25．设函数f(x）=mlnx（m∈R），g（x）=．

（1)当m=1时，求y=f（x）在x=1处的切线方程；

(2)设F（x）=f（x）﹣2g（x）,若函数F（x）在区间[1，e］上的最小值为﹣1，求实数m的值；

（3）当m=时，若不等式f（x）+t≤kx+b≤g(x）对∀x∈［2,4]恒成立，试给出实数t的一个值,使满足条件的实数k，b唯一,并直接写出k，b的值(不必证明）．

2015-2016学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共16小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1．抛物线y2=8x的焦点坐标是

(2，0） ．

【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线的标准方程，进而可求得p，根据抛物线的性质进而可得焦点坐标．

【解答】解:抛物线y2=8x,

所以p=4，

所以焦点（2，0），

故答案为(2，0）．

2．设复数z=m+i（m＞0）,若｜｜=，则m= ．

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】根据共轭复数的定义先求出共轭复数，根据复数的模长公式进行求解即可．

【解答】解:∵复数z=m+i（m＞0），

∴=m﹣i，

若|｜=，

则｜|==，

即m2+1=，

则m2=，

∵m＞0，

∴m=，

故答案为：．

3．某校高一有550名学生，高二有700名学生，高三有750名学生，学校为了解学生的课外阅读情况,决定按年级分层抽样，抽取100名学生，则高二年级应抽取 35 名学生．

【考点】分层抽样方法．

【分析】先求出每个个体被抽到的概率，用高二年级的人数乘以每个个体被抽到的概率，即得高二年级应抽取人数．

【解答】解:每个个体被抽到的概率等于=，

由于高二有700名学生，故高二年级应抽取的人数为700×=35,

故答案为：35．

4．从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为 ．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】先写出从1，2,3中任选两个数字构成一个两位数，再找出两位数是偶数，然后相比就可以了．

【解答】解：从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，有：12，13,23,21，31,32，共6个基本事件，

其中满足条件的有2个，

故两位数是偶数的概率为：

5．已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为 ．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】等轴双曲线的离心率是．

【解答】解：∵曲线的一条渐近线方程为y=x,

∴双曲线为等轴双曲线，

∴离心率是，

故答案为．

6．已知实数x,y满足，则z=x+2y的最大值为 7 ．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值．

【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分）．

由z=x+2y得y=﹣x+z，

平移直线y=﹣x+z,

由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣x+z的截距最大，

此时z最大．

由，解得,即A（﹣1，4），

代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×4=7

故答案为：7．

7．如图所示的伪代码，则输出的S的值为

36 ．

【考点】伪代码．

【分析】根据已知中的伪代码，可知该程序是变量初值为1,终值为11,步长为2的累加运算，由此可得答案．

【解答】解:由于循环变量的初值为1，终值为11，步长为2;

所以该程序运行后输出的是算式

S=1+3+5+7+9+11=36．

故答案为：36．

8．命题“∃x∈（0，+∞），x+＜4”的否定的真假是 真 ．（填“真"或“假”)

【考点】特称命题．

【分析】首先明确原命题的否定命题,然后利用基本不等式判断真假．

【解答】解：命题“∃x∈(0,+∞）,x+＜4”的否定是命题“∀x∈（0，+∞)，x+≥4”，根据基本不等式得到此命题正确；

故答案为：真．

9．设函数f（x）=x2+x﹣alnx，则a＜3是函数f(x）在[1，+∞)上单调递增的 充分不必要

条件．（选填“充分不必要"、“必要不充分”、“充要"、“既不充分也不必要”）

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】通过已知条件，求出函数的导数，转化导数大于等于0恒成立,得到a的表达式,求出a≤3，只要在a≤3范围上取一段区间或一个点，都是这个命题成立的充分不必要条件．

【解答】解:∵f(x）=x2+x﹣alnx在区间[1，+∞)上是增函数,

∴f′（x）=2x+1﹣≥0,在［1，+∞)上恒成立，

∴a≤2x2+x， 由y=2x2+x在[1，+∞）为增函数，

∴ymin=3，

∴a≤3，

只要在a≤3范围上取一段区间或一个点，都是这个命题成立的充分不必要条件,

则a＜3是函数f（x)在[1，+∞）上单调递增的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要

10．四名高二学生报名参加数学、物理、化学三门学科竞赛,要求每名学生都参加且只参加1门学科竞赛,则3门学科都有学生参赛的种数有

36 种．

【考点】计数原理的应用．

【分析】先从4人中选出2个人为一组，看成一个整体，再和另外的2个人全排列，运算可得结果

【解答】解：由题意可得，必有2个人参加同一学科的竞赛，每门学科至少有1人参加，

故先从4人中选出2个人为一组，看成一个整体，再和另外的2个人全排列，则不同的参赛方案有C42A33=36，

故答案为：36．

11．（文科学生做）设函数f（x）=mx3+xsinx（m≠0），若f（）=﹣，则f(﹣）=

．

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】利用函数的解析式，化简求解即可．

【解答】解：函数f（x)=mx3+xsinx（m≠0），f(）=﹣,

可得m+sin=，

f（﹣）=﹣m+sin=﹣（m+sin）+2×sin=+=．

故答案为:．

12．（理科学生做)在(x2﹣3x+2）4的展开式中，x2项的系数为 248 (用数字作答）

【考点】二项式系数的性质．

【分析】分析x2的几个由来，分两种可能分别求系数即可．

【解答】解:(x2﹣3x+2）4展开式的x2项的系数为=248．

故答案为:248．

13．(文科学生做）将函数f（x）=2sin(2x﹣)的图象向右平移m(m＞0）个单位，所得图象关于直线x=对称，则实数m的最小值为 ．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．