牛顿环测曲率半径

2005级物理实验讲稿 孙文斌

1实验 3 光的干涉--牛顿环实验

【背景】

牛顿环是牛顿1675年在制作天文望远镜时，偶然将一个望远镜的物镜放在平板玻璃上最早发现并进

行研究的，但由于他主张光的微粒说而未能对这种物理现象作出正确的解释。牛顿环是一种光的干涉现象，

它证实了光的波动性。牛顿环的干涉在测量和光学加工技术上有着重要的应用，如检验光学元件的球面度、

平整度、光洁度等。

本实验是用牛顿环来测量透镜的曲率半径。

【实验目的】

1.观察和研究光的等厚干涉现象及其特点，加深对光的干涉理论的理解。

2.学习读数显微镜的使用方法。

3.用牛顿环测量透镜的曲率半径。

4.进一步用逐差法处理数据。

【实验仪器】

读数显微镜，牛顿环装置，钠光灯。

【实验原理】

当两束相干光在空间相遇时，就会形成明暗相间的干涉图

像。利用透明薄膜上下两表面对入射光的依次反射，入射光的振

幅分解成具有一定光程差的几个部分，然后使它们相遇产生干

涉。这是产生干涉现象的一种重要方法。若两束光在相遇时的光

程差取决于产生反射光的薄膜厚度，则同一干涉条纹所对应的薄

膜厚度相同。这就是所谓等厚干涉。牛顿环是这种干涉的一个典

型。

牛顿环的装置是由待测平凸透镜和一块光学平玻璃板叠合

在一个金属框架内组成的，如图1所示。框架上有三个螺丝，用

于调节平凸透镜与平玻璃板的接触状态。在平凸透镜与平玻璃板之间有一层空气薄膜。当一束单色平行光

垂直入射时（如图2所示），入射光在空气薄膜的上表面被分成两束，一束被反射；另一束透过到空气薄

膜的下表面再发生反射，与第一束反射光在空气薄膜的上表面附近相遇并发生干涉，形成明暗相间的干涉

条纹。（要求这层空气膜非常薄，以保证两束反射光是同一波列产生的。产生干涉的必要条件是，由同一

波列分解出来的两列子波列到达相遇点的光程差δ应小于原子发光的波列长度L。）

图1 牛顿环装置简图

由波动光学的知识可知，上述两束相干光在B点处的光程差δ为

2e2λ

+=δ (1)

图2 牛顿环及其形成光路图 式中e为B点处的空气薄膜厚度，λ为入射光的波长，λ/2是由于光从

光密媒质反射回光疏媒质时产生的半波损失。

根据干涉条件，

⎪

⎩⎪

⎨⎧

=+

=+==+

=

暗纹明纹

),2,1,0(

2)12(

22),2,1(

22

LL

kk

ekke

kk

λλλλ

δ (2)

(3)

其中，k为干涉条纹的级次。

任一明环(或暗环)都与一定的空气薄膜的厚度ek相对应，或者说，

同一明环(或暗环)对应的空气薄膜的厚度处处相同，故称为“等厚干

涉”。

由于空气薄膜的厚度是以平凸透镜和平玻璃板接触点为中心向外

逐渐增加的，同一圆周上的厚度相同，所以，牛顿环的干涉条纹是一2005级物理实验讲稿 孙文斌

2簇明暗相间的同心圆环，中心点(e k=0)是暗纹。

由于一般测量中均使用暗条纹，故对暗纹公式作进一步讨论。由式(3)得：

λke

k=2 (4)

本实验是用牛顿环来测量透镜的曲率半径，因此，需要找出干涉条纹半径r、光波波长λ与透镜的曲

率半径R的关系。由图(2)中的几何关系可得

222)(

kkeRrR−+=

式中R为透镜的曲率半径，rk为k级暗纹的半径。此式化简后得

222

kkkeRer−=

因为空气薄膜的厚度e远小于透镜的曲率半径R，即e<

Rr

ek

k2

2= (5)

由式(4)和(5)得

λkRr

k=2 (6)

干涉环的特征：

(1)对于中心点，rk=0，k=0。由里向外，rk逐渐增大，k也随着增大。即牛顿环环纹的级次，中心最低，

越往外级次越高。

(2)对式(6)微分后可得

dk

rR

dr

kk2λ

= (7)

由此式可以看出，随着牛顿环半径r k的增大，对于一定的级次间隔dk，牛顿环半径rk的增量drk逐渐减小，

也就是说环纹的间隔逐渐减小。牛顿环的分布由里向外逐渐变密变细。

应用：

如果已知入射光的波长λ，测出第k级暗条纹的半径rk，则可算出透镜的曲率半径R。

测量方案：

1、中心非“0级”处理

在实际情况中，由于平凸透镜和平玻璃板接触时机械压力引起形变以及空气薄膜中可能有微小的灰尘

存在等，附加了光程差。这都会给实验结果带来较大的系统误差。对这种系统误差，可以采用数学方法来

消除。

假定中心厚度为a，对应的中心环的级别不再是0，而是l；对应以中心环为第0条往外数到第n条环，

此环满足

λRlnr

n)(2+=

对应第m条环满足

λRlmr

m)(2+=

式中m、n为条纹的条数。将两式相减得

λRnmrr

nm)(22−=− (8)

说明：严格说来，m、n不能认为是条纹“级数”，而是从中心往外的条纹数目，即应称为条纹“条数”。

但不论称为“级数”还是“条数”，不影响测量结果。

2、中心环的圆心不易确定处理

观察牛顿环时将会发现，牛顿环中心不是一点，而是一个不甚清晰的暗或亮的圆斑。其原因是由于压

力形变，使接触点不可能是理想的几何点，而是一个圆面，所以中心处的环纹比较模糊和粗阔，难以确定

中心点的位置，因而环纹半径rk难以测准。但环纹的直径容易测准，故改为测量环纹直径Dk，于是式(8)改

为

λRnmDD

nm)(422−=− (9)

即得出透镜曲率半径的实验测量公式

λ)(422

nmDD

Rnm

−−

= (10) 2005级物理实验讲稿 孙文斌

3 注意：在测量各条环直径时，尽可能选择较细的条纹。

【实验操作】

1.调节牛顿环装置

先直接观察牛顿环装置，可以看到一个圆形小黑点。调节三个螺丝的松紧程度，使小黑点移到中心。

（三个螺丝的松紧程度要适当，不能太松，也不能太紧。）

将牛顿环装置放到读数显微镜的底座平台上，使其中心对着读数显微镜的物镜。

2.调节光路

调节光源与读数显微镜的高低方位，使钠光灯最明亮的部分，能充分射入显微镜，显微镜中的视场

明亮。(注视目镜，旋转物镜下的45°玻璃片，直到视野变亮。)

3.调节读数显微镜

(1)调节目镜，使叉丝清晰；

(2)调节物镜，使牛顿环的环纹清晰：

先由镜筒外目视调节物镜高低，使其下端靠近牛顿环装置（但不接触）。然后转动调焦手轮，使物

镜筒缓缓上升（由下而上），同时，用眼睛对着显微镜观察牛顿环条纹，直到环纹清晰且无视差。再移动

牛顿环装置，使环纹中心与叉丝中心基本一致，旋转目镜使视场中水平叉丝与显微镜的标尺大致平行。

4.试测

旋转读数显微镜的测微鼓轮，调整十字叉丝，使得十字叉丝的水平线与大圆直径平行。（尽可能重合。）

5.实测：测量第 10、11、12、13、14、15、16、17、18、19 环等10条暗环的直径 D。

转动读数显微镜的测微鼓轮，使竖直叉丝超过某一侧第 19 环(例如达到第 20 环或者更高)，然后

反转测微鼓轮，使竖直叉丝与此侧第 19条暗环纹中心重合，记录读数显微镜的读数；（实际上，对高条数

环来说，可以是相切，因为环很细。实验中之所以选择第10～19环的目的就是避免粗环对测量的影响。）

再依次测出同侧的第18条、17条、......，直到第 10条环纹坐标；越过环纹的中心区域，使叉丝移到环纹

的另一侧，依次测出另一侧的第 10条环纹到第 19条环纹的坐标。对应暗环纹直径D为两侧对应环纹的

坐标的差值的绝对值。

（注意：在测量过程中，应朝同一方向旋转微分转筒。）

【数据处理】 牛顿环测量数据记录及处理（钠光 λ=589.3nm）

k Dk左位置

mm Dk右位置

mm Dk

mm Dk2

mm2Dm2－Dn2

mm2

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19 =−2

n2

mDD mm2

注：表中→表示测量顺序

由测量公式可得透镜得曲率半径为：

λ)(422

nmDD

Rnm

−−

== mm

【实验结论】

所测平透镜得曲率半径为： mm

实验小结与实验体会（自由发挥）

【实验结论与注意事项】

1.仪器调节中，关键是使读数显微镜的视场明亮，因此，开始的粗调一定要认真调好，即把光源、牛

顿环装置和读数显微镜的相对位置要调好，否则，干涉条纹的可见度很低。

2.使用读数显微镜时要注意消除螺距差(空程差):

(1)开始测量时要先使叉丝竖线超过预测的最大环纹一些，然后回到预测的最大环纹按顺序进行测量。

(2)测量时，读数显微镜鼓轮只能向一个方向转动，即叉丝只能向一个方向移动，中途不能倒退。 2005级物理实验讲稿 孙文斌

4附：1、读数显微镜介绍

读数显微镜外形如图3所示，是一种用来精密测量长

度的仪器，它有一套显微镜和一套可移动读数装置构成。

显微镜有一短焦距物镜和一目镜构成。物体经物镜成

一个放大的实像，这个实像位于目镜的焦距以内，再经目镜

成一放大的虚像。并且这个虚像与观察者眼睛的距离正好为

明视距离。显微镜的角放大率为物镜线放大率与目镜角放大

率之积。目镜前方有一十字形的测量准线。

显微镜装在一个较精密的可移动的装置上，使其可在

垂直与光轴的某一方向上移动，移动的距离可以从其螺旋测

微器装置中读出。

使用方法是先调节目镜与分划板的距离，看清视场中

的十字叉丝，并使叉丝的一条刻线与标尺平行；然后用调焦

手轮调节整个显微镜使被测物最清晰且无视差；转动鼓轮，使叉丝竖线与被测物一端相切，记下读数，再

转动鼓轮，使叉丝竖线与被测物另一端相切，记下读数，两次读数之差就是被测物长度。

图 3 读数显微镜

测量时应注意，只能沿同一方向转动读数鼓轮。

2、逐差法

在实验测量中经常采用多次测量来减少随机误差，例如测量一圆柱体的高度6次：h1、h2、h3、h4、

h5、h6，最后利用它们的平均值作为最终测量值。

但在某些测量中，我们要的不是这些直接测量数据（d1、d2、d3、d4、d5、d6、d7、d8、d9、d10）

的平均值，而是相邻两值的差值是我们要测的物理量，同时这些测量数据基本上成等差数列分布（从理论

上可以推断是。）。此时在一般处理时会出现弊端，体现不了多次测量的优势。如：

121dd−=∆、、232dd−=∆

343dd−=∆、454dd−=∆

565dd−=∆、、676dd−=∆

787dd−=∆、898dd−=∆、9109dd−=∆

9987654321∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆+∆

=∆＝

9110dd−

从结果可以看出中间测量8个数据根本就用不上。这就是我们为何要介绍逐差法的原因。

按照逐差法的思想，将测量数据（一般要求偶数个）（d1、d2、d3、d4、d5、d6、d7、d8、d9、d10）

分成两组（d1、d2、d3、d4、d5）和（d6、d7、d8、d9、d10），再对应相差，即得

、、161dd−=∆

272dd−=∆

383dd−=∆、494dd−=∆、5105dd−=∆

注意：此处的间隔上相邻数据间隔的5倍。上面5个差值的平均数为

554321∆+∆+∆+∆+∆

=∆′

相邻量测量数据的平均间隔可以表示为

55554321

×∆+∆+∆+∆+∆

=∆′

∆＝