八年级上册全册全套试卷专题练习(解析版)

八年级上册全册全套试卷专题练习（解析版）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，在ABC中，45ABC,AD,BE分别为BC,AC边上的高，连接DE,过点D作DFDE与点F，G为BE中点，连接AF，DG．

（1）如图1，若点F与点G重合，求证：AFDF；

（2）如图2，请写出AF与DG之间的关系并证明．

【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF⊥DG,证明详见解析.

【解析】

【分析】

(1) 利用条件先△DAE≌△DBF,从而得出△FDE是等腰直角三角形,再证明△AEF是等腰直角三角形,即可.

(2) 延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM, 先证明△BGM≌△EGD,再证明△BDM≌△DAF即可推出.

【详解】

解:（1）证明:设BE与AD交于点H..如图，

∵AD,BE分别为BC,AC边上的高,

∴∠BEA=∠ADB=90°.

∵∠ABC=45°,

∴△ABD是等腰直角三角形.

∴AD=BD.

∵∠AHE=∠BHD,

∴∠DAC=∠DBH.

∵∠ADB=∠FDE=90°,

∴∠ADE=∠BDF.

∴△DAE≌△DBF.

∴BF=AE,DF=DE.

∴△FDE是等腰直角三角形.

∴∠DFE=45°.

∵G为BE中点,

∴BF=EF.

∴AE=EF.

∴△AEF是等腰直角三角形.

∴∠AFE=45°.

∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.

（2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,

∵点G为BE的中点,BG=GE.

∵∠BGM∠EGD,

∴△BGM≌△EGD.

∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.

∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.

∵∠DAC=∠DBE,

∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.

∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,

∴∠BDF=45°-∠DBE.

∵∠ADE=∠BDF,

∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.

∵BD=AD,

∴△BDM≌△DAF.

∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.

∵∠BDM+∠MDA=90°,

∴∠MDA+∠FAD=90°.

∴∠AHD=90°.

∴AF⊥DG.

∴AF=2DG,且AF⊥DG

【点睛】

本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.

2．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F

(1) 如图1，直接写出AB与CE的位置关系

(2) 如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK

【答案】（1）AB⊥CE；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）由全等可得∠ECD=∠A，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB⊥CE.

（2）延长HK于DE交于H，易得△ACD为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得DH=DE，然后证明△DGH≌△DGE，所以∠H=∠E，则∠H=∠B，可得HK=BK.

【详解】

解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△CED，

∴∠ECD=∠A，∠B=∠E，BC=DE，AC=CD

∵∠B+∠A=90°

∴∠B+ECD=90°

∴∠BFC=90°，∴AB⊥CE

（2）在Rt△ACD中，AC=CD，∴∠ADC=45°，

又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45°

∵CH＝DB，∴CH+CD=DB+CD，即HD=BC，

∴DH=DE，

在△DGH和△DGE中，

DH=DEHDG=EDG=45DG=DG

∴△DGH≌△DGE（SAS）

∴∠H=∠E

又∵∠B=∠E

∴∠H=∠B，

∴HK=BK

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.

3．如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm， BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．

（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)

（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．

（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）122t；（2）3t；（3）存在，2v或53v

【解析】

【分析】

（1）根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长；

（2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP，列方程求解即得；

（3）先分两种情况：当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ；或当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，然后分别列方程计算出t的值，进而计算出v的值．

【详解】

解：（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时2BPtcm

∵12BCcm

∴122PCBCBPtcm

故答案为：122t

（2）∵ABPDCP

∴BPCP

∴2122tt

解得3t．

（3）存在，理由如下：

①当BP=CQ ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，

∴PC=AB=5

∴BP=BC-PC=12-5=7

∵2BPtcm

∴2t=7

解得t=3.5

∴CQ=BP=7，则3.5v=7

解得2v．

②当BACQ，PBPC时，ABPQCP

∵12BCcm

∴162BPCPBCcm

∵2BPtcm

∴26t

解得3t

∴3CQvcm

∵5ABCQcm

∴35v

解得53v．

综上所述，当2v或53v时，ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．

4．在等边ABC中，点D是边BC上一点.作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E.连接CE并延长，交射线AD于点F.

（1）如图，连接AE，

①AE与AC的数量关系是__________；

②设BAF，用表示BCF的大小；

（2）如图，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明.

【答案】(1) ①AB=AE；②∠BCF=；(2) AF-EF=CF，理由见详解.

【解析】

【分析】

（1）①根据轴对称性，即可得到答案；

②由轴对称性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=，由ABC是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解；

（2）作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，易证∆FCG是等边三角形，得GF=FC，再证∆ACG≅∆BCF(SAS)，从而得AG=BF，进而可得到结论.

【详解】

（1）①∵点B关于射线AD的对称点为点E，

∴AB和AE关于射线AD的对称，

∴AB=AE.

故答案是：AB=AE；

②∵点B关于射线AD的对称点为点E，

∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=，

∵ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，

∴∠EAC=60°-2，AE=AC，

∴∠ACE=1180(602)602，

∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60-60°=.

（2）AF-EF=CF，理由如下：

作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，

∵∠BAF=∠BCF=，∠ADB=∠CDF，

∴∠ABC=∠AFC=60°，

∴∆FCG是等边三角形，

∴GF=FC，

∵ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∴∠ACG=∠BCF=.

在∆ACG和∆BCF中，

∵CACBACGBCFCGCF，

∴∆ACG≅∆BCF(SAS)，

∴AG=BF，

∵点B关于射线AD的对称点为点E，

∴AG=BF=EF，

∵AF-AG=GF，

∴AF-EF=CF.

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.

5．已知：4590ABCAACB，，，点D是AC延长线上一点，且22AD，，M是线段CD上一个动点，连接BM，延长MB到H，使得HBMB，以点B为中心，将线段BH逆时针旋转45，得到线段BQ，连接AQ．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：ABQAMB；

（3）点N是射线AC上一点，且点N是点M关于点D的对称点，连接BN，如果QABN， 求线段AB的长．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB

【解析】

【分析】

（1）根据题意可以补全图形；

（2）根据三角形外角的性质即可证明；

（3）作QE⊥AB，根据AAS证得QEBBCM，根据HL证得RtQEARtBCN，设法证得2ABCD，设ACBCx，则2ABx，22CDx，结合已知22AD，构建方程即可求解.

【详解】

（1）补全图形如下图所示：