§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
●教学目标
１．熟悉椭圆的几何性质；
２．利用椭圆几何性质求椭圆标准方程；
３．了解椭圆在科学研究中的应用．
●教学重点：椭圆的几何性质应用
●教学过程：
Ⅰ、复习回顾：
利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质．
Ⅱ、讲授新课：
例6．点 ),(yxM与定点 )0,4(F的距离和它到定直线
425:xl的距离的比是常数54，求点 的轨迹．
解：设 是点 直线 的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合
54dMFMP由此得54425)4(22xyx．
将上式两边平方，并化简得 22525922yx
即192522yx
所以，点M的轨迹是长轴、短轴分别是10、6的椭圆
说明：椭圆的一个重要性质：椭圆上任意一点
与焦点 的距离和它到定直线的距离的比是常数 （e为椭圆的离心率）。其中定直线叫做椭圆的准线。
对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是
．根据椭圆的对称性，相应于焦点 的准线方程是
，所以椭圆有两条准线．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
【典例剖析】
［例1］已知椭圆2222byax＝1(a＞b＞0)的焦点坐标是F1(－c，0)和F2(c，0)，P(x0，y0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，其中e是椭圆的离心率．
［例2］已知点A(1，2)在椭圆121622yx＝1内，F的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．
［例3］在椭圆92522yx＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．
Ⅲ、课堂练习：
课本Ｐ52，练习 ５
再练习：已知椭圆 上一点 到其左、右焦点距离的比为1：3，求 点到两条准线的距离．（答案： 到左准线的距离为 ，到右准线的距离为 ．） 思考： 已知椭圆 内有一点 ， 是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 ，使 的值最小，求 的坐标．（如图）
高中数学-打印版
精心校对完整版 2．2．2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
预习课本P43～47，思考并完成以下问题
1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？
2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？
[新知初探]
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 高中数学-打印版
精心校对完整版 离心率
e＝ca(0
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c( )
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3，45
B．10,6，45
C．5,3，35 D．10,6，35
答案：B
3．若椭圆x2a2＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )
A．32 B．12
C．22 D．52
答案：A
4．若焦点在y轴上的椭圆x2m＋y22＝1的离心率为12，则m的值为________．
答案：32
由标准方程研究几何性质
[典例] 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
高中数学选修2-1课时作业
1 2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
一、选择题
1.已知点(3,2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，则( )
A.点(－3，－2)不在椭圆上
B.点(3，－2)不在椭圆上
C.点(－3,2)在椭圆上
D.无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上
[答案] C
[解析] 由椭圆的对称性知(－3,2)必在椭圆上.
2.椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )
A.32 B.34 C.22 D.23
[答案] A
[解析] 将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋y214＝1，则a2＝1，b2＝14，即a＝1，c＝a2－b2＝32，故离心率e＝ca＝32.
3.椭圆x24＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|的值为( )
A.32 B.3
C.72 D.4
[答案] C
[解析] 由x24＋y2＝1知，F1，F2的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，即点P的横坐标为xP＝－3，代入椭圆方程得|yP|＝12，∴|PF1|＝12.
∵|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－12＝72.
4.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的方程是( ) 高中数学选修2-1课时作业
2 A.x24＋y2＝1
B.x24＋y2＝1或x2＋y24＝1
C.x2＋4y2＝1
D.x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16
[答案] D
[解析] 若焦点在x轴上，则a＝2.
又e＝32，∴c＝3.
∴b2＝a2－c2＝1，
∴方程为x24＋y2＝1，
即x2＋4y2＝4.
若焦点在y轴上，则b＝2.
又e＝32，∴b2a2＝1－34＝14，
∴a2＝4b2＝16，
∴方程为x24＋y216＝1，即4x2＋y2＝16.
5.椭圆x212＋y23＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，若线段PF1的中点M在y轴上，则点P的纵坐标是( )
椭圆的简单几何性质（1）教学设计
杨华
燕大附中
1 / 2 2.2.2椭圆的简单几何性质（1）教学设计
一、教学任务及对象
1、教学内容分析
《椭圆的简单几何性质》是选修2-1第二章第二节的内容，本节内容是在学生已经学过曲线与方程和椭圆的概念及其标准方程基础上引入的，是利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，它是由方程研究曲线的性质的一个应用，也是为后面学习利用双曲线、抛物线的标准方程研究其几何性质做铺垫，因此本节课起到承前启后的作用。
2、教学对象分析
本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了椭圆的标准方程，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
二、教学目标
依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：
1、知识与技能：使学生掌握椭圆的几何性质，初步学会运用椭圆的几何性质解决问题，进一步体会数形结合的思想。
2、过程与方法：通过数和形两条线研究椭圆的几何性质，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数形结合的思想方法；对椭圆的几何性质的归纳、总结时培养学生抽象概括能力；进一步强化数形结合思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
三、重、难点分析
重点：椭圆的简单几何性质
难点：培养数形结合思想
四、教学策略
为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：
1．教法分析
为了充分调动学生学习的积极性，采用“生本课堂”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣.
2．学法分析
本节课通过探究椭圆的几何性质，让学生体会数形结合思想，加深对解析几何的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．
