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平面向量·数量积及其应用
作者：
来源：《高中生学习·高三理综版》2013年第07期
一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）
1. 已知[a=b=a-2b=1]，则[a+2b=]（ ）
A. 9 B. 3 C. 1 D. 2
2. 若非零向量[a，b]满足[a=b，b⋅（2a+b）=0]，则向量[a，b]的夹角为（ ）
A. [23π] B. [π6] C. [π3] D. [56π]
3. 在[ΔABC]中，点[P]满足[AP=t（AB+AC）][（t≠0）]，且[BP⋅AP=CP⋅AP]，则该[ΔABC]是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
4. 设[a，b，c]是单位向量，且[a⋅b=0]，则[（a-c）⋅（b-c）]的最小值为（ ）
A. [-2] B. [2-2]
C. [-1] D. [1-2]
5. 已知向量[a，b]是单位正交向量，且[c=5，c⋅a=3，c⋅b=4]，则[∀t1，t2∈R，c-t1a-t2b]取最小值时，[t1+t2]的值为（ ）
A. 5 B. 7 C. 12 D. 13
6. 已知[P]是边长为2的正[ΔABC]边[BC]上的动点，则[AP⋅（AB+AC）]的（ ）
A. 最大值为8 B. 是定值6
C. 最小值为2 D. 与[P]的位置有关
7. 称[d（a，b）=a-b]为两个向量[a，b]间的“距离”. 若向量[a，b]满足：①[b=1]；②[a≠b]；③对任意的[t∈R]，恒有[d（a，tb）≥d（a，b）]. 则（ ） 龙源期刊网
§5.3 平面向量的数量积
1．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.
2．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
3．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝a·a；
(4)cos θ＝a·b|a||b|；
(5)|a·b|__≤__|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)△ABC内有一点O，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，且OA→·OB→＝OB→·OC→，则△ABC一定是等腰三角形．( )
平面向量的数量积及应用举例
考纲解读 1.利用向量数量积的定义或坐标求数量积；2.利用向量数量积的运算求向量夹角及模；3.利用数量积的运算研究垂直关系及图形特征．
[基础梳理]
1．向量的夹角
定义 图示 范围 共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是a与b的夹角
设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180° θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b
2.平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos θ叫作向量a在b方向上的投影，
|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
①e·a＝a·e＝|a|cos θ.
②cos θ＝a·b|a||b|.
③a·b≤|a||b|.
4．数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c
5．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
数量积 a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ x21＋y21
夹角 cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22 向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0
[三基自测]
1．设a＝(3，1)，b＝1，－33，则向量a，b的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120° D．150°
答案：B
2．已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝( )
A.5 B．5
平面向量的数量积是《向量》这一章的重要内容，它是把向量问题代数化的重要手 段．以向量的平行、垂直、所成角为载体考查向量的数量积的问题一直是高考的热点， 与三角、解析几何、不等式等知识点的综合也是我们复习时要值得关注的方向．
平面向量的数量积及其应用 ・－・－・－・－・・・・・・ ・－・・・・・・・一・－・・・・－・・・・－・・一・・・・・－・ ０福建厦门外国语学校邱小瑾
； 逝辩 ， 黪 一一……………………一一一 瑟 重点：①掌握向量的数量积的 定义．体会平面向量的数量积与向 量投影的关系，并理解其几何意义； ②掌握平面向量数量积的重要性质 及运算律，掌握数量积的坐标表达 式，会进行平面向量积的运算；③能 运用平面向量的数量积处理三角、 几何等问题． 难点：①从数与形两个方面体 会向量数量积的定义，理解向量数
ｍ 瓣 螭趣 一一——…— 蕊函麓篷 蠢誊 树 粼 晦 嘴 潲 在解决关于向量数量积的问题 时，一是要善于运用向量的平移、伸 缩、合成、分解等变换，正确地进行 向量的各种运算．进一步加深对“向 量”这一二维性的量的本质的认识． 并体会用向量处理问题的优越性： 二是向量的坐标运算体现了数与形 互相转化和密切结合的思想，所以 要通过向量法和坐标法的运用．进 一步体会数形结合思想在解决数学 量积的相关性质并能进行简单的探 究；②运用向量数量积工具性的作 用，灵活处理向量与几何、圆锥曲 线、三角函数等其他数学知识的综 合问题．
问题上的作用．本节内容常见的题 型与方法是： （１）数量积概念的考查：要理解 向量的数量积为“数”的意义．要注 意向量的数量积的运算律不同于实 数乘法的运算律，向量的数量积运 算不满足结合律等． （２）数量积公式与性质的应用： 分为“基底法”与“坐标法”两类处理． 求长度：ａ・口 ２＝Ｉａ Ｉ ＋
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＊例１设ａ，西，ｃ是任意的非零 向量，且互不共线．已知下列命题： ①（口・６）・ｃ一（ｃ・ａ）・ｂ＝０； ②１ａｌ—ＩｂＩ＜Ｉｎ—ｂＩ； 证垂直、平行：口］＿ｂＣ＝＞ＸｌＸ２＋ｙ１Ｙ２＝ ０；口∥ｂｃ：：￣ｘｌｙ２－ｘ２．ｙ１＝０． 求两直线夹角：ｃｏｓ０＝ （Ｅｒａ于判定角是 、ｖ／ ＋ ・、／ ； ； 。’。’。。。 锐角还是钝角）． （３）数量积与其他数学知识的交 汇与融合．
