高效课堂教学模式探讨公开课
1 平面向量的数量积及应用教学设计
华罗庚中学 袁劲竹
一、教材分析
向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。《平面向量的数量积及应用》，计划安排两个课时，本节课是第2课时。也就是，在复习了平面向量数的有关概念， 坐标表示，以及平面向量数量积的基础知识之后，本节课是进一步去认识、掌握平面向量数量积及平面向量的相关应用。
二、课标要求
1、 平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
三、命题走向及高考预测
通过对近几年广东高考试题的分析，向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容。
预测高考：
预测2012年广东高考仍将以向量的数量积的运算、向量的平行、垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向。
四、学情分析
学生已复习了向量的相关概念、线性运算、数量积及初步应用，已较好地理解了向量的概念， 比较熟练地掌握向量的运算和性质，已初步体会研究向量运算的一般方法，具有一定的观察、探究能力，这为学生进一步复习数量积数量积及应用做了铺垫。由于本班是普通班，受实数乘法运算的影响，造成不少学生对数量积理解上的偏差，从而出现错误。
平面向量的数量积及运算律同步练习
一、选择题：
1. 若｜a｜＝｜b｜=１，a⊥b，且2a＋３b与ka-4b也互相垂直，则k的值为( )
A.－６ B.６ C.３ D.－３
2．若AP31PB，ABBP，则的值为 ( )
A．41 B．43 C．34 D．34
3．设a和b的长度均为6，夹角为 120，则|ab|等于 （ ）
A．36 B．12 C．6 D．36
4．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·为（ ）
A．23 B．3 C．32 D．21
5．若|a|=|b|=|a－b|,则b与a+b的夹角为 （ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
6．已知向量)sin,(cosa,向量)1,3(b则|2|ba的最大值，最小值分别（ ）
A．0,24 B．24,4 C．16，0 D．4，0
7．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| = （ ）
A．7 B．10 C．13 D．4
8．已知cba,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,cbcaba （ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件
9．已知a、b是非零向量且满足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，则a与b的夹角是（ ）
A．6 B．3 C．32 D．65
10．若向量a与b的夹角为60，||4,(2).(3)72babab,则向量a的模为（ ）
§5.3 平面向量的数量积
1．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是 a·b＝±|a||b|.
2．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
3．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝a·a；
(4)cos θ＝a·b|a||b|；
(5)|a·b|__≤__|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)△ABC内有一点O，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，且OA→·OB→＝OB→·OC→，则△ABC一定是等腰三角形．( )
平面向量的数量积和向量积推导
平面向量的数量积和向量积是向量运算中常用的两个操作。它们在几何学、物理学等领域中有广泛的应用。本文将对平面向量的数量积和向量积进行推导和说明。
一、平面向量的数量积
数量积（也称为点积或内积）是两个向量的乘积的数量表示。设有两个平面向量a和b，它们的数量积为：
a · b = |a| * |b| * cosθ
其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
由此可见，数量积的结果是一个实数。它有以下几个性质：
1. 交换律：a · b = b · a
2. 分配律：(a + b) · c = a · c + b · c
3. 数乘结合律：(k * a) · b = k * (a · b) = a · (k * b)
二、平面向量的向量积
向量积（也称为叉积或外积）是两个向量的乘积的向量表示。设有两个平面向量a和b，它们的向量积为：
a × b = |a| * |b| * sinθ * n
其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角，n表示与a和b均垂直的单位向量。 向量积的结果是一个向量，它的方向垂直于平面，由右手法则确定。由此可见，向量积具有以下几个性质：
1. 反交换律：a × b = - (b × a)
2. 分配律：(a + b) × c = a × c + b × c
3. 数乘结合律：(k * a) × b = k * (a × b) = a × (k * b)
三、数量积和向量积之间的关系
数量积和向量积之间存在一个重要的关系，即向量积的模长等于数量积的模长和夹角的正弦值的乘积：
|a × b| = |a| * |b| * sinθ
此外，还可以通过向量积来求得两个向量之间的夹角θ：
cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)
四、应用举例
1. 面积计算：对于平行四边形，以两边为相邻边的一条对角线为底，可以使用向量积求得其面积。
