学案4：1.1.3 四种命题间的相互关系
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1.1.3 四种命题间的相互关系
学习目标
1.会分析四种命题的关系，并能利用其关系解决一些问题.
2.理解转化思想和正难则反的方法，培养辨析能力、分析问题和解决问题的能力．
学习重点：四种命题的相互关系．
学习难点：会用互为逆否关系解决一些问题．
要点整合
知识点一 四种命题之间的关系
[学一学]
[答一答]
1．在四种命题中，具有互逆、互否、互为逆否关系的命题各有两对？
知识点二 四种命题的真假性之间的关系
[填一填]
1．两个命题互为逆否命题，它们有 真假性；
2．两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 ．
[答一答]
2．四种命题中真命题有几个？
3．如何运用互为逆否命题的两个命题之间的关系？
特别关注
1．对四种命题的真假性判断要注意：原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价．
2．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．如果直接判断或证明一个命题的真假性有困难，那么可以转化为判断或证明它的逆否命题的真假性．这种证法可称为逆否证法．
典例讲练 类型一 四种命题间的相互关系
例1 已知命题“如果|a|≤1，那么关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的有几个？并说明理由．
通法提炼
1.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”.互为逆否的命题同真同假.
2.判定命题为假命题，只要举一反例即可.
针对训练1
原命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
类型二 原命题与逆否命题等价性的应用
例2 求证：当a2＋b2＝c2时，a，b，c不可能都是奇数．
通法提炼
正难则反思想的利用：我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.
针对训练2
求证：若a＋b≥6，则a，b中至少有一个不小于3.
类型三 由命题的真假求参数
例3 已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：1－x＋x24<1，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
通法提炼
一般地，若命题q是假命题，那么命题非q就是真命题，它们的交集为∅，并集为全集R，实质上当命题q是假命题时，可先求出命题q为真命题时的解集，然后求其补集即命题q为假命题时的解集即可.
针对训练3
已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{x|x<0}，若命题A∩B＝∅是真命题，试求实数a的取值范围．
类型四 素养提升
等价命题的应用
例4 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
【解后反思】 根据原命题的逆否命题的真假来判断原命题的真假，有时可以简化解题步骤，达到事半功倍的效果．
针对训练4
判断下列命题的真假．
(1)若xy≠6，则x≠2或y≠3；
(2)若x＝2或x＝3，则(x－2)(x＋1)＝0.
课堂达标
1．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是( )
A．命题p是真
B．命题p的否命题是假命题
C．命题p的逆否命题是假命题
D．命题p的否命题是真命题
2．若p⇒q，则下列式子恒成立的是( )
A．q⇒p B．p⇒q
C．q⇒p D．q⇒/p
3．“若tanθ＝3，则θ＝60°”的否命题是若tanθ≠3，则θ≠60°，否命题是 命题(填真、假)．
4．命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为 ，是 命题(填真、假)． 5．写出命题“设x为实数，若x>0，则x2>0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
参考答案
[答一答]
1．提示：正确，从四种命题的相互关系图中可以看出这几种关系各有两对．
知识点二 四种命题的真假性之间的关系 [填一填]
1．相同的
2．没有关系
[答一答]
2．提示：因为原命题与逆否命题有相同的真假性，逆命题与否命题有相同的真假性，因此四种命题中真命题的个数一定为偶数，即真命题的个数只可能为0,2,4.
说明：根据四种命题中真命题的个数只可能为0,2,4，可以检验写出的逆命题、否命题、逆否命题是否正确．
3．提示：互为逆否命题的两个命题同真同假，也称为等价命题，在本节的主要应用有两点：
(1)通过判断逆否命题的真假判断原命题的真假．
(2)用于证明命题：当原命题的真假性不易证明时，可以先证明它的逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性．
典例讲练
类型一 四种命题间的相互关系
例1 解：由|a|≤1，得－1≤a≤1，且Δ＝(a＋2)2＋4(a2－4)＝5a＋252－45－12≤51＋252－45－12<0.所以原命题为真、逆否命题为真；反之，如a＝－2时，所给不等式的解集为空集，但a∉[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假．所以假命题有2个．
针对训练1
解：逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．
否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题。
逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．
类型二 原命题与逆否命题等价性的应用
例2 证明：构造命题p：若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数．
该命题的逆否命题是：若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2.下面证明该逆否命题是真命题．
由于a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，于是a2＋b2必为偶数，而c2为奇数，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．
针对训练2
证明：构造命题p：若a＋b≥6，则a，b中至少有一个不小于3，则其逆否命题为：若a，b都小于3，则a＋b<6.
而当a<3，且b<3时，必有a＋b<6，所以逆否命题为真，从而原命题p为真命题，故原结论成立．
类型三 由命题的真假求参数
例3 解：由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1， 即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
由1－x＋x24<1，得x2－4x<0，解得0 因为命题p为真命题，命题q为假命题， 所以 x≤－1或x≥3x≤0或x≥4，解得x≤－1或x≥4. 所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)． 针对训练3 解：命题A∩B＝∅是真命题，即A∩B＝∅成立． 当a＝0时，集合A＝∅，满足题意； 当a≠0时，集合A＝{x|x＝1a}，若A∩B＝∅，则1a≥0，解得a>0. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥0}． 类型四 素养提升 等价命题的应用 例4 【证明】 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R， 若a＋b<0，则f(a)＋f(b) 若a＋b<0，则a<－b，b<－a， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f(a) ∴f(a)＋f(b) 即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题． 针对训练4 解：(1)所给命题的逆否命题是“若x＝2且y＝3，则xy＝6”，显然成立，所以所给命题是真命题． (2)所给命题的逆否命题是“若(x－2)(x＋1)≠0，则x≠2且x≠3”，是假命题，所以所给命题是假命题． 课堂达标 1．【答案】B 【解析】由于一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，且互为逆否命题的真假性是一致的，所以命题p的否命题是假命题．故选B. 2．【答案】C 【解析】因为原命题和它的逆否命题同真同假，所以若p⇒q，则有q⇒p，选C. 3．【答案】真 4．【答案】10的常用对数是1 真 5．解：逆命题：设x为实数，若x2>0，则x>0，逆命题为假命题；否命题：设x为实数，若x≤0，则x2≤0，否命题为假命题；逆否命题：设x为实数，若x2≤0，则x≤0，逆否命题为真命题．
