高中数学选修1-1优质学案4：1.1.2 四种命题-1.1.3 四种命题间的相互关系

人教版高中数学选修1-1学案

1 1.1.2 四种命题~1.1.3 四种命题间的相互关系

教材新知

知识点一四种命题

提出问题

观察下列四个命题：

(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形；

(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等；

(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；

(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．

问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

导入新知

1．四种命题的概念

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的________、、．

2．四种命题结构

化解疑难

1．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p，q的否定．

2．四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的.

知识点二四种命题之间的关系

提出问题

问题：我们同样观察知识点一中的四个命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

导入新知

1．四种命题之间的关系 人教版高中数学选修1-1学案

2

2．四种命题的真假性之间的关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性．

化解疑难

互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.

常考题型

题型一四种命题的概念

例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)全等三角形的对应边相等；

(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.

类题通法

(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．

(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

活学活用

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：

(1)正数a的平方根不等于0；

(2)平行于同一条直线的两条直线平行．

题型二四种命题真假的判断

例2 有下列四个命题：

(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题； 人教版高中数学选修1-1学案

3 (2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；

(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；

(4)“对顶角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

类题通法

解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．

活学活用

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

(1)在△ABC中，若BC＞AC，则A＞B；

(2)相等的两个角的正弦值相等．

题型三等价命题的应用

例3 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

类题通法

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

活学活用 人教版高中数学选修1-1学案

4 证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.

随堂即时演练

1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是( )

A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B

C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A

2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )

A．3 B．2

C．1 D．0

3．命题“若x＞1，则x＞0”的逆命题是__________，逆否命题是________________．

4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0无解”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假．

——★ 参 考 答 案 ★——

教材新知

知识点一四种命题

问题：提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件； 人教版高中数学选修1-1学案

5 对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；

对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．

导入新知

1．互逆命题互否命题互为逆否命题逆命题否命题逆否命题

知识点二四种命题之间的关系

问题：提示：命题(2)(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互否命题，命题(3)(4)是互逆命题．

导入新知

2．(1)相同的

(2)没有关系

常考题型

题型一四种命题的概念

例1 解：(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；

逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；

否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；

逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；

逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；

否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；

逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.

活学活用

解：(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.是真命题．

逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．是假命题．

否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.是假命题．

逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．是真命题．

(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行．是真命题．

逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线．是真命题．

否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行．是真命题．

逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．是真命题.

题型二四种命题真假的判断

例2 [答案]B

[解析](1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题； 人教版高中数学选修1-1学案

6 (2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；

(3)该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；

(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．

活学活用

解：(1)逆命题：在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC.真命题．

否命题：在△ABC中，若BC≤AC，则A≤B.真命题．

逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则BC≤AC.真命题．

(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题．

否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题．

逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题.

题型三等价命题的应用

例3 证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．

若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，

∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．

∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

活学活用

证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．

由于m＋n＞2，则m2＋n2≥12(m＋n)2＞12×22＝2，所以m2＋n2≠2.

故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

随堂即时演练

1．[答案]B