课时作业14：1.1.2 四种命题~1.1.3 四种命题间的相互关系
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1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
一、选择题
1．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥12”的否命题是( )
A．若a2＋b2<12，则a＋b≠1
B．若a＋b＝1，则a2＋b2<12
C．若a＋b≠1，则a2＋b2<12
D．若a2＋b2≥12，则a＋b＝1
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 C
解析 “a＋b＝1”，“a2＋b2≥12”的否定分别是“a＋b≠1”，“a2＋b2<12”，故否命题为“若a＋b≠1，则a2＋b2<12”．
2．命题“若(綈p)，则q”的逆否命题为( )
A．若p，则(綈q) B．若(綈q)，则(綈p)
C．若(綈q)，则p D．若q，则p
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 C
3．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
考点 四种命题的相互关系 题点 四种命题相互关系的应用
答案 A
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 A
解析 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
5．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题为( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．
6．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．
该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.
7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( ) A．逆否命题 B．逆命题
C．否命题 D．原命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 C
解析 特例：p：△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b；
r：△ABC中，若∠A≠∠B，则a≠b；
s：△ABC中，若a≠b，则∠A≠∠B；
t：△ABC中，若a＝b，则∠A＝∠B.
8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例如a＝1.2，b＝0.3.
二、填空题
9．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________．
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 若x，y不全为零，则xy≠0
解析 由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．
10．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为______________，是________命题(填“真”或“假”)．
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
答案 已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0 真 11．给定下列命题：
①“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”的逆否命题；
②“等腰三角形都相似”的逆命题；
③“若x－32是有理数，则x是无理数”的逆否命题；
④“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题．
其中真命题的序号是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①
解析 显然①为真；②为假；对于③中，原命题“若x－32是有理数，则x是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题；对于④中，“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a＋b≤2”为假命题．
12．命题“如果a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，那么a＋b≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 1
解析 a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0化简得(a＋b－1)(a＋b＋2)≠0，即a＋b≠1且a＋b≠－2.
命题“如果a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，那么a＋b≠1”的逆命题为“如果a＋b≠1，那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0”，为假命题，a＋b＝－2也可以使a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“如果a＋b＝1，那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0”，真命题．
三、解答题
13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为b≤－1，所以Δ≥4>0，
故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
四、探究与拓展
14．原命题为“若an＋an＋12 A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 A 解析 an＋an＋12 原命题与其逆命题都是真命题，所以其逆否命题和否命题也都是真命题，故选A. 15．设m，n∈R，证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2. 考点 四种命题的相互关系 题点 逆否证法 证明 将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题， 则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”． 因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥12(m＋n)2＞12×22＝2. 所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．
