计算方法各习题及参考答案
- 格式：pdf
- 大小：206.05 KB
- 文档页数：12
计算⽅法各习题及参考答案
第⼆章 数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：
试构造⼀多项式()q x 通过下列点：
答案：54313()()()3122
q x p x r x x x x x =-=-
++-+． 2.2 观测得到⼆次多项式2()p x 的值：
表中2()p x 的某⼀个函数值有错误，试找出并校正它．
答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利⽤差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++ ．
2.4 当⽤等距节点的分段⼆次插值多项式在区间[1,1]-近似函数x
e 时，使⽤多少个节点能够保证误差不超过
61
102
-?． 答案：需要143个插值节点．
2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()
3()h H x 是()f x 关于等距节点
01n a x x x b =<<<= 的分段三次艾尔⽶特插值多项式，步长b a
h n
-=
．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．
答案：()4
43||()()||384
h M f x H x h ∞-≤．
第三章 函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2
{1,,}span x x Φ=上最佳平⽅逼近多项式，并给出平⽅误差．
答案：()sin f x x =的⼆次最佳平⽅逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-?+-，
⼆次最佳平⽅逼近的平⽅误差为0.1
22-1220
(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=??．
3.2 确定参数,a b c 和，使得积分
2
1
2
1
(,,)[I a b c ax bx c -=++-?取最⼩值．
答案：810, 0, 33a b c ππ=-
== 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳⼀致逼近多项式
()p x ．
答案：()f x 的最佳⼀致逼近多项式为32
3
()74
p x x x =++
． 3.4 ⽤幂级数缩合⽅法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．
答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤
3.5 求() (11)x
f x e x =-≤≤上的关于权函数
()x ρ=的三次最佳平⽅逼近
多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．
答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章 数值积分与数值微分4.1 ⽤梯形公式、⾟浦⽣公式和柯特斯公式分别计算积分1
(1,2,3,4)n x dx n =?
，并与
精确值⽐较．答案：计算结果如下表所⽰
4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量⾼，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?
（２）1
121
1
()[(1)2()3()]3
f x dx f f x f x -≈-++? （３）2
0()[(0)()][(0)()]2
h h f x dx f f h h f f h α''≈++-?
答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有⼆次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式
1
2300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++?
中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量⾼，并给出余项表达式．
答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440
f R f h η=，其中01(,)x x η∈．
4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的⼆次插值多项式，⽤2()P x 导出计算积分
30()h
I f x dx =?
的数值积分公式h I ，并⽤台劳展开法证明：453(0)()8
h I I h f O h '''-=+． 答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+?．
4.5 给定积分1
0sin x
I dx x =
（１）运⽤复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31
102
-?． （２）取同样的求积节点，改⽤复化⾟浦⽣公式计算时，截断误差是多少？
（３）要求的截断误差不超过610-，若⽤复化⾟浦⽣公式，应取多少个节点处的函数值？ 答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈
（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045
n b a R f h f η--=-≤=? （３）取７个节点处的函数值．
4.6 ⽤变步长的复化梯形公式和变步长的复化⾟浦⽣公式计算积分1
0sin x
I dx x =?．要
求⽤事后误差估计法时，截断误不超过31102-?和61
102
-?． 答案：使⽤复化梯形公式时，80.946I T ≈=满⾜精度要求；使⽤复化⾟浦⽣公式时，
40.946 083I s ≈=满⾜精度要求．
4.7（１）利⽤埃尔⽶特插值公式推导带有导数值的求积公式
2
()()[()()][()()][]212b
a b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+?，
其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30
b a R f f a b ηη-=
∈． （２）利⽤上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式
02
0()[()()]12N
x N N x h f x dx T f x f x ''≈--?，
其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++ ，
⽽ 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==- ．4.8 ⽤龙贝格⽅法计算椭圆2
214
x y +=的周长，使结果具有五位有效数字． 答案：49.6884l I =≈．
4.9
确定⾼斯型求积公式0011()()()x dx A f x A f x ≈+?
的节点0x ，1x 及系数0A ，
1A ．
答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证⾼斯型求积公式
00110
()()()x e f x dx A f x A f x +∞
-≈+?
的系数及节点分别为0001 2 2A A x x =
==-=+
第五章 解线性⽅程组的直接法5.1 ⽤按列选主元的⾼斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中11121
0110A -?? ?
= ? ?-??
． 答案： 1110331203321133A -?? ? ?
=-
--
5.2 ⽤矩阵的直接三⾓分解法解⽅程组1234102050101312431701037x x x x
= ? ? ? ? ? ? ? ? ??
答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．
5.3 ⽤平⽅根法(Cholesky 分解法)求解⽅程组
12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -?????? ??? ?-=- ??? ? ??? ???????
答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 ⽤追赶法求解三对⾓⽅程组
123421113121112210x x x x ?????? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?????
答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．
第六章 解线性代数⽅程组的迭代法
６.１ 对⽅程1212123879897
x x x x x x x -+=??
-+=??--=?作简单调整，使得⽤⾼斯－赛得尔迭代法求解时对任
意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x =，⽤该⽅法求近似解(1)k x
+，使
(1)()3||||10
k k x x +-∞-≤． 答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]T
x =．
６.２ 讨论松弛因⼦ 1.25ω=时，⽤SOR ⽅法求解⽅程组121232
343163420412
x x x x x x x +=??
+-=??-+=-? 的收敛性．若收敛，则取(0)
[0 0 0]T x
=迭代求解，使(1)()41
||||102
k k x x +-∞-<
． 答案：⽅程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*
3 2.16667x =-．
６.３ 给定线性⽅程组Ax b =，其中
